Một số kết quả về định lý paley wiener

ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIấN ắNG VN TIEN MđT SO KET QUA VE бNH LÝ PALEY - WIENER Chuyên ngành : TOÁN GIAI TÍCH Mã so: 60 46 01 02 LU¾N VĂN THAC SY TOÁN HOC Ngưài hưáng dan khoa HQC: TS V NHắT HUY H Nđi - 2015 Li cỏm n Trúc trỡnh by nđi dung chớnh cna luắn vn, tơi xin bày to lịng biet ơn chân thành sâu sac cna tói TS Vũ Nh¾t Huy, ngưịi t¾n tình giúp đõ chi bao tơi suot q trình hồn thành lu¾n văn tot nghi¾p Tơi xin chân thành cám ơn sn giúp đõ cna thay giáo, giáo khoa Tốn - Cơ - Tin HQ c, trưòng Đai HQc Khoa HQc Tn nhiên - Đai HQc Quoc gia Hà N®i Khoa sau đai HQc, nhi¾t tình truyen thu kien thúc tao đieu ki¾n giúp đõ tơi hồn thành khóa Cao HQc Tơi xin bày to lịng biet ơn đen gia đình, ban bè ln đ®ng viên khuyen khích tơi rat nhieu thịi gian nghiên cúu HQc t¾p Do mói làm quen vói cơng tác nghiên cúu khoa HQc han che ve thòi gian thnc hi¾n nên lu¾n văn khơng the tránh khoi nhung thieu sót Tơi kính mong nh¾n đưoc ý kien đóng góp cna thay ban đe lu¾n oc hon thiắn hn H Nđi, 11/2015 ắng Vn Tien Mnc lnc Ma đau CÁC KHÔNG GIAN HÀM CƠ BAN VÀ KHƠNG GIAN HÀM SUY R®NG 1.1 1.2 1.3 Không gian hàm ban D(Rn) Không gian hàm suy r®ng DJ(Rn) Cap cna hàm suy r®ng 1.4 Không gian hàm giam nhanh S (Rn) 10 1.5 1.6 1.7 1.8 Khơng gian hàm suy r®ng tăng ch¾m S J (Rn) 11 Giá cna hàm suy r®ng 13 Khơng gian hàm suy r®ng vói giá compact E J (Rn) 14 Tích ch¾p 15 1.9 Phép bien đői Fourier 16 1.9.1 1.9.2 Phép bien đői Fourier không gian hàm giam nhanh S (Rn) .16 Phép bien đői Fourier không gian S J (Rn) E J (Rn) 23 DANG PHÚC CUA бNH LÝ PALEY- WIENER 25 2.1 Dang phúc cna Đ%nh lý Paley- Wiener cho hàm thu®c D(Rn) .25 2.2 Dang phúc cna Đ%nh lý Paley- Wiener cho hàm thu®c EJ(Rn) 28 DANG THUC CUA бNH LÝ PALEY- WIENER 30 n 3.1 Dang thnc cna Đ%nh lý Paley- Wiener cho hàm thu®c D(R ) 30 3.1.1 Dang thnc cna Đ%nh lý Paley- Wiener cho t¾p compact bat kì 30 3.1.2 Dang thnc cna Đ%nh lý Paley- Wiener cho t¾p sinh boi dãy so 35 3.1.3 Dang thnc cna Đ%nh lý Paley- Wiener cho t¾p sinh boi đa thúc 40 3.2 3.1.4 Dang thnc cna Đ%nh lý Paley- Wiener cho t¾p loi 42 Dang thnc cna Đ%nh lý Paley- Wiener cho hàm thu®c EJ(Rn) .43 3.2.1 Dang thnc cna Đ%nh lý Paley- Wiener cho t¾p compact bat kì 43 3.2.2 Dang thnc cna Đ%nh lý Paley- Wiener cho t¾p sinh boi dãy so 48 3.2.3 Dang thnc cna Đ%nh lý Paley- Wiener cho t¾p sinh boi đa thúc 50 3.2.4 Dang thnc cna Đ%nh lý Paley- Wiener cho t¾p loi 51 Ket lu¾n 53 Tài li¾u tham khao 53 Ma đau Bien đői Fourier đưoc đ¾t tên theo nhà tốn HQc ngưịi Pháp Joseph Fourier, m®t nhung hưóng nghiên cúu quan TRQNG cna Tốn HQc nói chung cna Giai tích nói riêng Phép bien đői Fourier m®t lóp nhung phép bien đői tích phân phő bien nhat, có úng dung rđng rói nhat Luắn ny e cắp túi nghiờn cúu m®t so tính chat cna hàm kha vi vơ han thông qua giá cna bien đői Fourier Van đe có ý nghĩa rat lón đoi vói úng dung vào giai quyet nhung tốn khó khác Giai tích hàm, Phương trình vi phân đao hàm riêng, Lý thuyet hàm suy r®ng, Lý thuyet nhúng, Lý thuyet xap xi, Lý thuyet sóng nho Ngồi phan mo đau, ket lu¾n tài li¾u tham khao, lu¾n văn đưoc chia làm ba chương: Chương 1: Các không gian hàm ban khơng gian hàm suy r®ng Chương lu¾n văn trình bày nhung kien thúc ban ve không gian hàm ban, không gian hàm suy rđng, tớch chắp cna hm suy rđng, phộp bien đői Fourier cna m®t hàm ban, cna hàm suy r®ng, đ%nh lý ket qua liên quan đen luắn lm c so e xõy dnng nđi dung chương tiep theo Chương 2: M®t so ket qua ve dang phÉc cua Đ%nh lý Paley- Wiener Chương lu¾n a ieu kiắn can v n e mđt hàm so bien đői Fourier cna hàm so có giá chúa m®t hình cau tâm 0, bán kính R cho trưóc bien đưoc xét o bien phúc Chương 3: M®t so ket qua ve dang thEc cua Đ%nh lý Paley- Wiener Chương lu¾n văn trình bày dang thnc cna Đ%nh lý Paley- Wiener cho t¾p compact bat kì, t¾p sinh boi dãy so, t¾p sinh boi đa thúc cho t¾p loi Chương CÁC KHÔNG GIAN HÀM CƠ BAN VÀ KHÔNG GIAN HM SUY RđNG Trong chng ny, luắn trỡnh by nhung khái ni¾m ket qua ban ve lý thuyet hàm suy r®ng phép bien đői Fourier (xem [1], [2], [5]) 1.1 Không gian hàm ban D(Rn) Trưóc nghiên cúu ve khơng gian hàm ban, luắn chi mđt so ký hiắu oc trình bày lu¾n văn Cho N = {1, 2, } t¾p so tn nhiên, Z+ = {0, 1, 2, } t¾p √các so ngun khơng âm, R t¾p so thnc, C t¾p so phúc Đơn v% ao −1 = i Vói moi so tn nhiên n ∈ N t¾p Z+n = {α = (α1, , αn) | αj ∈ Z+, j = 1, 2, , n}, Rn không gian Euclid n chieu x = (x1, x2, , xn) ∈ Rn Σ Σ Vói chuan Euclid ǁxǁ = n x2 1/2 , tích vơ hưóng (x, ξ) n xjξj j ( j= ) = j= Vói moi k ∈ Z+ ký hi¾u t¾p sau Ck(Rn) = {u : Rn → C|u kha vi liên tuc đen cap k}, Ck(Rn) = {u : Rn → C|u ∈ Ck(Rn), suppu t¾p compact}, C ∞ (Rn ) = ∩∞k=1 C k (Rn ), C0∞ (Rn ) = ∩∞k=10 C k (Rn ), suppu = {x ∈ Rn| u(x) ƒ= 0} Vói ε > K t¾p compact Rn ta đ%nh nghĩa: Kε = {x ∈ Rn| ∃ξ ∈ K, ǁx − ξǁ < ε} K(ε) = {x ∈ C| ∃ξ ∈ K, ǁx − ξǁ < ε} Ký hi¾u F phép bien đői Fourier, f^ (hay Ff ) anh Fourier cna hàm f, suppf giá cna anh Fourier (GQI phő) cna hàm f ^ Các giói han lim am, am, am tương úng giói han, giói han trên, giói m→∞ lim m→ ∞ lim m→∞ ∞ han dưói cna dãy hàm {am } m=1 Bây giị lúc ta có the phát bieu đ%nh nghĩa, đ%nh lý, đong thòi đưa ví du minh HQA đe làm rõ ve khơng gian hàm ban Đ%nh nghĩa 1.1 Không gian D(Rn ) không gian gom hàm ϕ ∈ ∞ C0 (Rn ) vỏi khỏi niắm hđi tn sau: dóy {ϕj } j=1 hàm C0∞ (Rn ) đưac ∞ n GQI h®i tn đen hàm ϕ ∈ C0 (R ) neu (i) cú mđt compact K ⊂ Rn mà suppϕj ⊂ K, j = 1, 2, , (ii) lim sup |Dαϕj(x) − Dαϕ(x)| = 0, ∀α ∈ Zn j→∞ x∈Rn Khi đó, ta viet ϕ = D− lim j→∞ ϕj + Ví dn 1.1 Ta đ%nh nghĩa hàm m®t bien Ψ(x) sau Ψ(x) = ce1/(|x|−1) neu |x| < 0 neu |x| ≥ 1, Khi Ψ ∈ D(R) M¾nh đe 1.1 Khơng gian D(Rn) đu 1.2 Không gian hàm suy r®ng DJ(Rn) Đ%nh nghĩa 1.2 Ta nói rang f m®t hàm suy r®ng Rn neu f m®t phiem hàm tuyen tính liên tnc D(Rn) Hàm suy r®ng f ∈ DJ (Rn ) tác đ®ng lên mői ϕ ∈ D(Rn ) đưac viet (f, ϕ) Hai hàm suy r®ng f, g ∈ DJ (Rn ) đưac GQI bang neu (f, ϕ) = (g, ϕ) , ∀ϕ ∈ D(Rn) T¾p tat ca hàm suy rđng Rn lắp thnh khụng gian DJ (Rn ) Chú ý 1.1 Trên DJ (Rn ) có the xây dnng m®t cau trúc khơng gian vectơ C, nghĩa ta có the đ%nh nghĩa phép tốn tuyen tính sau (i) phép c®ng: vái f, g ∈ DJ(Rn) tőng f + g đưac xác đ%nh sau f + g : ϕ ›→ (f + g, ϕ) = (f, ϕ) + (g, ϕ) , ϕ ∈ D (Rn) , đó, f + g ∈ DJ (Rn ), nghĩa là, f + g phiem hàm tuyen tính liên tnc D(Rn), (ii) phép nhân vái so phúc: vái λ ∈ C, f ∈ DJ (Rn ) tích λf đưac xác đ%nh sau λf : ϕ ›→ (λf, ϕ) =λ(f, ϕ) , ϕ ∈ D (Rn) , đó, λf ∈ DJ (Rn ), nghĩa là, λf phiem hàm tuyen tính liên tnc D(Rn ) Hơn the, ta cịn có the đ%nh nghĩa phép nhân vái m®t hàm C ∞ (Rn ) Vái φ ∈ C ∞ (Rn ), f ∈ DJ (Rn ) tích φf ∈ DJ (Rn ) đưac xác đ%nh sau φf : ϕ ›→ (φf, ϕ) = (f, φϕ) , ϕ ∈ D (Rn) , đó, φf ∈ DJ (Rn ) Ví dn 1.2 Vái mői f ∈ L1(Rn) đưac coi m®t hàm suy r®ng bang cách sau f : ϕ ›→ (f, ϕ) = ∫ f (x)ϕ(x)dx, ϕ ∈ D(Rn) Như v¾y, có the coi L1 (Rn ) t¾pR cua DJ (Rn ) Hàm suy r®ng f ∈ L1 (Rn ) đưac GQI hàm suy r®ng quy Vái f, g ∈ L1(Rn), sn bang theo nghĩa hàm suy r®ng theo nghĩa thông thưàng nhau, nghĩa f, g ∈ L1(Rn), ∫ f (x)ϕ(x)dx = ∫ g(x)ϕ(x)dx, ∀ϕ ∈ D(Rn) n f = g, h.k.n R Rn 1.3 Cap cua hàm suy r®ng Đ%nh nghĩa 1.3 Cho K ⊂ Rn , f ∈ DJ (Rn ) Ta nói hàm suy r®ng f có cap huu han K neu có m®t so ngun khơng âm k m®t so dương C cho |(f, ϕ)| ≤ C Σ |α|≤k x∈K sup |Dα ϕ(x)| , ∀ϕ ∈ C0∞ (Rn ), suppϕ ⊂ K (1.1) So ngun khơng âm k nhó nhat so ngun khơng âm mà ta có bat thúc (1.1) đưac GQI l cap cua hm suy rđng f trờn K Neu khơng có m®t so ngun khơng âm k đe có (1.1) vái so dương C đó, ta nói rang, hàm suy r®ng f có cap vô han K Đe đơn gian, ta nói rang, hàm suy r®ng f ∈ DJ (Rn ) có cap k neu có cap k Rn Ví dn 1.3 MQI hàm f ∈ L1 (Rn ) đeu có cap Ta có: |(f, ϕ)| = ∫ f (x)ϕ(x)dx sup ϕ (x) |f (x) dx R n x∈Rn ∫≤ | |R | = c sup| ϕ (x) , x∈Rn | ∫ c= Rn |f (x)| dx < ∞ Do f ∈ L1(Rn) có cap Đ%nh lý 1.1 Mői phiem hàm tuyen tính f D(Rn) m®t hàm suy r®ng chs khi, mői t¾p compact K ⊂ Rn, có m®t so ngun khơng âm k m®t so dương C cho Σ |(f, ϕ)| ≤ C sup |Dαϕ(x)| = CǁϕǁCk (Rn), ∀ϕ ∈ C0∞(Rn), suppϕ ⊂K |α|≤k x∈R n Chúng minh Đe chúng minh đieu ki¾n đn ta chi can chúng minh tính liên tuc cna f tai goc, nghĩa neu có m®t dãy {ϕj }∞j=1 C0∞ (Rn ) mà D− lim ϕj j→∞ =0 lim (f, ϕj = j→∞ ) Đieu de thay tù gia thiet Đe chúng minh đieu ki¾n can ta dùng phan chúng, nghĩa gia su có mđt compact K Rn vúi moi k Z+ ta đeu có su p |(f, ϕ)| ǁϕǁCk = +∞ ϕ∈C0∞ (Rn ) suppϕ⊂K,ϕ= (Rn) đó, ton tai ϕk ∈ C0∞ (Rn ), suppϕ ⊂ K, ǁϕkǁC k (Rn ) > cho = ∫ (( − ηη F ( η)) α ǁ D d ( η ϕ( = x) )) ǁ η α ϕ α ! γ = γ Σ ! ( Σ ϕ α F − ( − γ ) ! x γ≤α ) α − γ P m ( x ) Σ m ≤ γ≤ α Σ m γ!(α −1 γ)! α! D D F −1 Dγ ϕ(x)D α−γ 1Pm(x Pm(x Σ Σ ∫ α Khi theo Bő đe 3.1 η lim m→ ∞ ϕm(η).dη R ≤ sup |P ξ∈B[σ,G] Σ1/ (ξ)| Tù ta m có vói ≤k≤N : 1/m ∫  2k lim ǁ | R m n η ϕm( ǁ η)| dη  ≤ (3.28 s ) u |P (ξ)| p ξ ∈ B [ σ , G ]  Tù (3.27)(3.28) ta thu đưoc 1/m  N ∫ lim  (1 R m n + ǁη ǁ) | ϕm( η)| dη  ≤ (3.2 s 9) u |P (ξ)| p ξ ∈ B [ σ , G ] Tù (3.26) (3.29) ta có vói m > m0 m→∞ m Cho s → ta nh¾n đưoc lim|P (ξ)|, ∀s > C inf ξ∈B[σ,G] lim m→∞ C1/m ≥ |P (σ)| m Do ta có đánh giá (3.25) Bő đe đưoc chúng minh Chúng minh Đ%nh lý 3.5 Chieu thu¾n: Gia su u ∈ E J (K) N ≥ Ta can chúng minh ton tai m®t hang so Cδ < ∞ thoa mãn đánh giá N | s|P (x)| ( u p | x +∈ K ( δ ) Th¾t v¾y, gia su u ∈ E J (K) Ta co đ%nh δ > cHQN m®t4 hàm ψδ ∈ C0∞ (K δ ) cho ψδ = K δ , Kλ = {x + y : x ∈ K, y∈ Rn , |y| ≤ λ} Khi ton tai N > cho u m®t hàm suy r®ng cap N Do đó, |P (D)u(η)| = |F (P (ξ)u(ξ)) (η)| Do suppu ⊂ K ψδ = lân c¾n cna K nên |P (D)u^(η)| = |F (ψδ (ξ) P (ξ)u(ξ)) (η)| ^ Suy |P (D)u^(η)| ≤ u(ξ), ψδ(ξ)P (ξ)e−i(η,ξ) Σ Σ ≤C |α|≤N sup Dα ψδ(ξ)P (ξ)e−i(η,ξ) Σ ξ∈Kδ vói MQI η ∈ Rn vói MQI đa thúc P Tù cơng thúc Leibniz ta có δ Dα ψ (ξ)P (ξ)e −i(η,ξ) δ γ! (α − γ)! γ≤ α Σ= Σ α! Dγ P (ξ)Dα−γψ (ξ)e−i(η,ξ) Ta biet rang đao hàm cna hàm nguyên P (ξ) có the đưoc ưóc lưong Kδ bang cách lay giá tr% lón nhat cna môđun K(δ), ta thu đưoc (3.24) Ngưoc lai, gia su u^ thoa mãn đánh giá N |P (D)u(η)| Cδ(1 + ǁηǁ)≤ ^ su p |P (x)| x∈K( δ) ta can chúng minh u ∈ E j (K) n Th¾t n đó, u v¾y, ∈ S ju(Rthoa ) mãn đánh giá rõ ràng u ∈ S j (R ) Do Bây giò ta^chúng minh u ∈ E j (K) bang phan c^húng: Gia su ton tai m®t điem θ ∈ suppu, θ ∈/ K Ta đ%nh nghĩa Q(x) = t − (x − θ)2, − t = sup(x θ) x∈K Khi áp dung (3.24) cho trưòng hop đa thúc P (x) = Qm(x) ta đưoc Do | (x )| m ≤ m N (1 + ǁηǁ) x∈K(δ) m→∞n η∈R |Qm (D)u^(η)| ≥ |Q(θ)| N (1 + ǁηǁ) su p | (1 ( ǁη D + ǁ)N x )| C δ s u p Q x Q lim m | su ( Q p ( ) x) u| ( η (3 ) | N ≤0) m→ ∞ η∈ th Rn Tì h e o B ő đ e li m D ^ | m (3.31) Ket hop (3.30) (3.31) ta đưoc |Q(θ)| ≤ sup |Q(x)| x∈K Đieu mâu thuan Đ %nh lý đưoc chúng minh 3.2.2 Dang thEc cua Đ%nh lý Paley- Wiener cho t¾p sinh bai dãy so Đ%nh lý 3.6 Gia su K compact có tính chat g Khi u ∈ E J (K) neu chs neu u ∈ C ∞ (Rn ) ton tai m®t so N cho vái δ > bat kì ton tai m®t so Cδ ^ |D u^(η)| ≤ Cδ (1 + ǁηǁ) α sup | |, ∀η ∈ ξ ξ∈Kδ N Rn, α ≥ (3.32) α Chúng minh Đieu ki¾n can: Gia su u ∈ E J (K), u ∈∞ Rn ) N, δ ^ C so ( dương cho trưóc Ta can chúng minh ton tai hang so Cδ thoa mãn đánh giá (3.32) Th¾t v¾y, theo Đ%nh lý 3.5 áp dung P (x) = xα ta thu đưoc |Dα u^(η)| ≤ Cδ (1 + ǁηǁ) N sup |ξα| ξ∈K(δ/n) Ta thay rang, vói moi x ∈ K(δ/n) ton tai ξ ∈ K cho n |ξj − xj| Σ1/ < δ/n, ǁx − ξǁ = Σj= 22 |xj | < |ξj | + (δ/n) vói MQI j = 1, 2, , n (3.33) Tù ξ = (ξ1, ξ2, , ξn) ∈ K K có tính chat g, ta có (|ξ1|, |ξ2|, , |ξn|) ∈ K √2|, , Do đó, tù ǁ(|ξ1|+(δ/(2n)), |ξ2|+(δ/(2n)), , |ξn|+(δ/(2n)))−(|ξ1|, |ξ |ξn|)ǁ = δ/ 4n < δ vói η = (|ξ1| + (δ/(2n)), |ξ2| + (δ/(2n)), , |ξn| + (δ/(2n))) ∈ Kδ Vì v¾y, tù (3.33) vói MQI α ∈ Z+n ta đưoc |x α| ≤ |η |, x ∈ K(δ/n), η ∈ Kδ |xα| ≤ sup |xα| ∀α ∈ Zn hay sup x∈K(δ/n) x∈Kδ + (3.34) Do đó, tù (3.32) (3.34), ta đưoc |Dα u^(η)| ≤ Cδ (1 + ǁηǁ) N sup |ξα | ξ∈Kδ Đieu ki¾n đn: Gia su ^u thoa mãn đánh giá α |D u^(η)| ≤ Cδ (1 + ǁηǁ) N α sup |ξ | ξ∈Kδ ta can chúng minh u ∈ E J (K) Th¾t v¾y, ^u thoa mãn (3.32), rõ ràng u ∈ S j (Rn ) Do đó, u ∈ S j (Rn ) Bây giò ta chúng minh u ∈ E J (K) bang phan chúng: Gia su ton tai m®t điem θ ∈ suppu, ^ θ ∈/ K Khi tù K = g(K) ton tai γ ∈ +Zn cho γ | |θ γ| > sup |ξ ξ∈K Ta đ%nh nghĩa Q(x) = (xγ)2, x ∈ Rn Khi áp dung (3.24) cho trưịng hop đa thúc P (x) = Qm(x) ta đưoc |Q (D)u^(η)| ≤ Cδ (1 + m ǁηǁ) N sup |Qm(x)| x∈K(δ) Do m |Q (D)u^(η)| m | ≤ Do v¾y (1 + su ǁηǁ) np η∈R N Cδ sup (x)| Q x∈K(δ) lim sup |Qm( D )u(η) ^ ≤ sup |Q(x)| N | m→∞n (1 + ǁηǁ) x∈K(δ) η∈R (3.35) |Qm (D)u^(η)| su ≥ |Q(θ)| li N p m m→∞ η∈Rn (1 + ǁηǁ) (3.36) Theo Bő đe 3.4 Ket hop (3.35) (3.36) ta đưoc |Q(θ)| ≤ sup |Q(x)| x∈K Đieu mâu thuan Đ %nh lý đưoc chúng minh 3.2.3 Dang thEc cua Đ%nh lý Paley- Wiener cho t¾p sinh bai đa thÉc Đ%nh nghĩa 3.3 Gia su P (ξ) m®t đa thúc Ta đ¾t Q(P ) = {ξ ∈ Rn : |P (ξ)| ≤ 1} GQI t¾p sinh bái P (ξ) Rõ ràng, Q(P ) có the t¾p khơng loi khơng compact Ta gia su Q(P ) ƒ= ∅ ) ta có chúng minh sau Neu Q(P ) compact (vói trưịng hop, P (ξ) = |ξ| Đ%nh lý 3.7 Gia su P (ξ) m®t đa thúc Q(P ) compact Neu u ∈ E J (Q(P )) ton tai m®t so N ≥ cho vái δ > bat kì ton tai m®t so Cδ < ∞ m n m N |P (D)u^(η)| ≤ Cδ (1 + ǁηǁ) (1 + δ) , m ≥ 0, R η∈ (3.37) Ngưac lai, vái MQI hàm u(η) Rn thóa mãn (3.37) bien đői Fourier ^ cua hàm suy r®ng vái giá chúa Q(P ) Chúng minh Gia su u ∈ E J (K) δ m®t so dương Do K = {ξ ∈ Rn : |P (ξ)| ≤ 1} nên ton tai so δ1 cho sup |P (ξ)| ≤ + δ (3.38) ξ∈K(δ1) Khi theo Đ%nh lý 3.5 ta có: |P m(D)u^(η)| ≤ CN,δ (1 + ǁηǁ) N sup |Pm(x)| x∈K(δ1) Áp dung (3.38) ta có N m m |P (D)u ^(η)| ≤ CN,δ (1 + ǁηǁ) (1 + δ) Do ta nh¾n đưoc đánh giá (3.37) Ngưoc lai, ^u thoa mãn (3.37), rõ ràng u ∈ S j (Rn ) Do đó, u ∈ S j (Rn ) Bây giò ta chúng minh u ∈ E J (K) bang phan chúng: Gia su ton tai m®t điem θ ∈ suppu,^nhưng θ ∈/ K Khi |P (θ)| > Ta đ%nh nghĩa Q(x) = |P (x)| , x ∈ Rn Khi áp dung (3.24) cho trưòng hop đa thúc P (x) = Qm(x) ta đưoc |Q (D)u^(η)| ≤ Cδ (1 + m ǁηǁ) N sup |Qm(x)| x∈K(δ) Do m |Q (D)u^(η)| m | ≤ (1 + su ǁηǁ) np η∈R Do v¾y N Cδ sup (x)| Q x∈K(δ) Q (D )u(η) ^ lim sup | ≤ sup |Q(x)| N | m→∞n (1 + ǁηǁ) x∈K(δ) η∈R (3.39) |Qm (D)u^(η)| su ≥ |Q(θ)| li N p m m→∞ η∈Rn (1 + ǁηǁ) (3.40) m Theo Bő đe 3.4 Ket hop (3.39) (3.40) ta đưoc |Q(θ)| ≤ sup |Q(x)| Đieu mâu thuan Đ x∈K %nh lý đưoc chúng minh 3.2.4 Dang thEc cua Đ%nh lý Paley- Wiener cho t¾p loi Kí hi¾u P1 HQ tat ca đa thúc vói h¾ so thnc b¾c ≤ Đ%nh nghĩa 3.4 Vái t¾p K compact bat kì Rn kí hi¾u ch(K) = {ξ ∈ Rn : |P (ξ)| ≤ sup |P (t)| ∀P ∈ P1} GQI bao loi cua K t∈ K Rõ ràng, K t¾p loi chi K = ch(K) Ta có the chúng minh nhung ket qua sau Đ%nh lý 3.8 Gia su t¾p K compact loi Neu u ∈ E J (K) vái δ > bat kì ton tai m®t so Cδ < ∞ cho |P m(D)u^(η)| ≤ Cδ (1 + ǁηǁ) N sup |P (z)|m z∈K(δ) (3.41) vái MQI m ∈ Zn , P (ξ) ∈ P1 η ∈ Rn + Ngưac lai, neu (3.41) vái u(η) ∈ C∞(Rn) cua m®t hàm suy r®ng E J (K^) u^(η) bien đői Fourier Chúng minh Gia su u ∈ E J (K), theo Đ%nh lý 3.5 ta có |P m(D)u^(η)| ≤ Cδ (1 + ǁηǁ) N m sup |P (z)| z∈K(δ) Ngưoc lai, ^u thoa mãn (3.41), rõ ràng u ∈ S j (Rn ) Do đó, u ∈ S j (Rn ) Bây giò ta chúng minh u ∈ E J (K) bang phan chúng: Gia su ton tai m®t điem θ ∈ suppu,^ θ ∈/ K Khi ton tai đa thúc P ∈ P1 cho |P (θ)| > Ta đ%nh nghĩa Q(x) = |P (x)| , x ∈ Rn Khi áp dung (3.24) cho trưòng hop đa thúc P (x) = Qm(x) ta đưoc |Q (D)u^(η)| ≤ Cδ (1 + m ǁηǁ) N sup |Qm(x) | x∈K(δ) Do m |Q (D)u^(η)| m | ≤ Do v¾y (1 + su ǁηǁ) p n η∈R N Cδ sup (x) | Q x∈K(δ) lim sup |Qm( D )u(η) ^ ≤ sup |Q(x)| N | m→∞n (1 + ǁηǁ |) x∈K(δ) η∈R (3.42) |Qm (D)u^(η)| su ≥ |Q(θ)| li N p m m→∞ η∈Rn (1 + ǁηǁ |) (3.43) Theo Bő đe 3.4 Ket hop (3.42) (3.43) ta đưoc |Q(θ)| ≤ sup |Q(x)| x∈K Đieu mâu thuan Đ %nh lý đưoc chúng minh Ket lu¾n Lu¾n ó trỡnh by mđt cỏch chi tiet v hắ thong lai ve lý thuyet hàm suy r®ng, phép bien đői Fourier cna m®t so ket qua cna %nh lý PaleyWiener Nđi dung chớnh cna luắn bao gom: ã Giúi thiắu ve cỏc khụng gian hm c ban, khơng gian hàm suy r®ng lý thuyet ve phép bien đői Fourier • Dang phúc cna Đ%nh lý Paley- Wiener cho hình cau Rn • Dang phúc cna Đ%nh lý Paley- Wiener cho t¾p compact bat kì, t¾p sinh boi dãy so, t¾p sinh boi đa thúc t¾p loi Tơi xin chân thành cam ơn! Tài li¾u tham khao [1] Đ¾ng Anh Tuan, (2005), Lý thuyet hàm suy r®ng khơng gian Sobovlep, Giáo trình [2] Vũ Nh¾t Huy, (2012), Nghiên cúu tính chat cua hàm so thông qua giá cua phép bien đői Fourier, Lu¾n án tien sĩ [3] N.B Andersen, M de Jeu (2010), Real Paley-Wiener theorems and local spectral radius formulas, Trans Amer Math Soc., 362, pp 3613-3640 [4] H.H Bang, The Paley-Wiener-Schwartz theorem for nonconvex domains, Proc Amer Math Soc., 108, pp 19-31 [5] V.S Vladimirov (2002), Methods of the Theory of Generalized Functions Taylor Francis, London, New York [6] [Schwartz 1952] L Schwartz, Transformation de Laplace des distributions, Comm Sém Math Univ Lund (1952), 196-206 ... CUA бNH LÝ PALEY- WIENER 25 2.1 Dang phúc cna Đ%nh lý Paley- Wiener cho hàm thu®c D(Rn) .25 2.2 Dang phúc cna Đ%nh lý Paley- Wiener cho hàm thu®c EJ(Rn) 28 DANG THUC CUA бNH LÝ PALEY- WIENER. .. Dang thnc cna Đ%nh lý Paley- Wiener cho hàm thu®c D(R ) 30 3.1.1 Dang thnc cna Đ%nh lý Paley- Wiener cho t¾p compact bat kì 30 3.1.2 Dang thnc cna Đ%nh lý Paley- Wiener cho t¾p sinh... 3.1.3 Dang thnc cna Đ%nh lý Paley- Wiener cho t¾p sinh boi đa thúc 40 3.2 3.1.4 Dang thnc cna Đ%nh lý Paley- Wiener cho t¾p loi 42 Dang thnc cna Đ%nh lý Paley- Wiener cho hàm thu®c EJ(Rn)