Luận văn một số kết quả về định lý paley wiener

1.1 Không gian hàm cơ bản D RnTrước khi nghiên cứu về không gian các hàm cơ bản, luận văn chỉ ra một số kýhiệu được trình bày trong luận văn.. Số nguyên không âm k nhỏ nhất trong các số

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

ĐẶNG VĂN TIẾN

MỘT SỐ KẾT QUẢ VỀ ĐỊNH LÝ PALEY - WIENER

Chuyên ngành : TOÁN GIẢI TÍCH

Mã số: 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS VŨ NHẬT HUY

Hà Nội - 2015

Lời cám ơn

Trước khi trình bày nội dung chính của luận văn, tôi xin bày tỏ lòng biết ơnchân thành và sâu sắc của mình tới TS Vũ Nhật Huy, người đã tận tình giúp

đỡ và chỉ bảo tôi trong suốt quá trình hoàn thành luận văn tốt nghiệp

Tôi cũng xin chân thành cám ơn sự giúp đỡ của các thầy giáo, cô giáo trongkhoa Toán - Cơ - Tin học, trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốcgia Hà Nội và Khoa sau đại học, đã nhiệt tình truyền thụ kiến thức và tạo điềukiện giúp đỡ tôi hoàn thành khóa Cao học

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn đến gia đình, bạn bè đã luôn động viên và khuyếnkhích tôi rất nhiều trong thời gian nghiên cứu và học tập

Do mới làm quen với công tác nghiên cứu khoa học và còn hạn chế về thờigian thực hiện nên luận văn không thể tránh khỏi những thiếu sót Tôi kínhmong nhận được ý kiến đóng góp của các thầy cô và các bạn để luận văn đượchoàn thiện hơn

Hà Nội, 11/2015

Đặng Văn Tiến

Mục lục

1.1 Không gian hàm cơ bản D(Rn ) 6

1.2 Không gian các hàm suy rộng D0(Rn) 7

1.3 Cấp của hàm suy rộng 8

1.4 Không gian các hàm giảm nhanh S (Rn) 10

1.5 Không gian các hàm suy rộng tăng chậm S0(Rn) 11

1.6 Giá của hàm suy rộng 13

1.7 Không gian hàm suy rộng với giá compact E0(Rn) 14

1.8 Tích chập 15

1.9 Phép biến đổi Fourier 16

1.9.1 Phép biến đổi Fourier trong không gian các hàm giảm nhanh S (Rn) 16

1.9.2 Phép biến đổi Fourier trong không gian S0(Rn) và E0(Rn) 23 2 DẠNG PHỨC CỦA ĐỊNH LÝ PALEY- WIENER 25 2.1 Dạng phức của Định lý Paley- Wiener cho hàm thuộc D(Rn) 25

2.2 Dạng phức của Định lý Paley- Wiener cho hàm thuộc E0(Rn) 28

3 DẠNG THỰC CỦA ĐỊNH LÝ PALEY- WIENER 30 3.1 Dạng thực của Định lý Paley- Wiener cho hàm thuộc D(Rn ) 30

3.1.1 Dạng thực của Định lý Paley- Wiener cho tập compact bất kì 30

3.1.2 Dạng thực của Định lý Paley- Wiener cho tập sinh bởi dãy số 35

3.1.3 Dạng thực của Định lý Paley- Wiener cho tập sinh bởi đa

thức 403.1.4 Dạng thực của Định lý Paley- Wiener cho tập lồi 423.2 Dạng thực của Định lý Paley- Wiener cho hàm thuộc E0(Rn) 433.2.1 Dạng thực của Định lý Paley- Wiener cho tập compact

bất kì 433.2.2 Dạng thực của Định lý Paley- Wiener cho tập sinh bởi dãy

số 483.2.3 Dạng thực của Định lý Paley- Wiener cho tập sinh bởi đa

thức 503.2.4 Dạng thực của Định lý Paley- Wiener cho tập lồi 51

Mở đầu

Biến đổi Fourier được đặt tên theo nhà toán học người Pháp Joseph Fourier,

là một trong những hướng nghiên cứu quan trọng của Toán học nói chung vàcủa Giải tích nói riêng Phép biến đổi Fourier là một trong lớp những phép biếnđổi tích phân phổ biến nhất, có ứng dụng rộng rãi nhất

Luận văn này đề cập tới nghiên cứu một số tính chất của hàm khả vi vôhạn thông qua giá của biến đổi Fourier Vấn đề này có ý nghĩa rất lớn đối vớiứng dụng vào giải quyết những bài toán khó khác nhau trong Giải tích hàm,Phương trình vi phân đạo hàm riêng, Lý thuyết hàm suy rộng, Lý thuyết nhúng,

và biến được xét ở đây là biến phức

Chương 3: Một số kết quả về dạng thực của Định lý Paley- Wiener.Chương này luận văn trình bày dạng thực của Định lý Paley- Wiener cho tậpcompact bất kì, tập sinh bởi dãy số, tập sinh bởi đa thức và cho tập lồi

1.1 Không gian hàm cơ bản D (Rn)

Trước khi nghiên cứu về không gian các hàm cơ bản, luận văn chỉ ra một số kýhiệu được trình bày trong luận văn

Cho N = {1, 2, } là tập các số tự nhiên, Z+ = {0, 1, 2, } là tập các sốnguyên không âm, R là tập các số thực, C là tập các số phức Đơn vị ảo√−1 = i.

Với mỗi số tự nhiên n ∈N tập Zn+ = {α = (α1, , αn) | αj ∈Z+, j = 1, 2, , n}, Rn

là không gian Euclid n chiều x = (x1, x2, , xn) ∈Rn.

Với chuẩn Euclid kxk = (

trong đó suppu = {x ∈ Rn | u(x) 6= 0}.

Với ε > 0 và K là tập compact trong Rn ta định nghĩa:

Kε = {x ∈Rn| ∃ξ ∈ K, kx − ξk < ε}

K(ε) = {x ∈C| ∃ξ ∈ K, kx − ξk < ε}

Ký hiệuF là phép biến đổi Fourier, bf (hay F f) là ảnh Fourier của hàm f, supp bf

là giá của ảnh Fourier (gọi là phổ) của hàm f.

Bây giờ là lúc ta có thể phát biểu định nghĩa, định lý, đồng thời đưa ra các ví

dụ minh họa để làm rõ về không gian các hàm cơ bản

Định nghĩa 1.1 Không gian D(Rn ) là không gian gồm các hàm ϕ ∈ C0∞(Rn)

với khái niệm hội tụ sau: dãy {ϕj}∞j=1 các hàm trong C0∞(Rn) được gọi là hội tụđến hàm ϕ ∈ C0∞(Rn) nếu

(i) có một tập compact K ⊂ Rn mà suppϕj ⊂ K, j = 1, 2, ,

1.2 Không gian các hàm suy rộng D0(Rn)

Định nghĩa 1.2 Ta nói rằng f là một hàm suy rộng trong Rn nếu f là mộtphiếm hàm tuyến tính liên tục trên D(Rn )

Hàm suy rộng f ∈ D0(Rn) tác động lên mỗi ϕ ∈ D(Rn) được viết là hf, ϕi Haihàm suy rộng f, g ∈ D0(Rn) được gọi là bằng nhau nếu

hf, ϕi = hg, ϕi , ∀ϕ ∈ D(Rn).

Tập tất cả các hàm suy rộng trong Rn lập thành không gian D0(Rn).

Chú ý 1.1 Trên D0(Rn) có thể xây dựng một cấu trúc không gian vectơ trên C,nghĩa là ta có thể định nghĩa các phép toán tuyến tính như sau

(i) phép cộng: với f, g ∈ D0(Rn) tổng f + g được xác định như sau

f + g : ϕ 7→ hf + g, ϕi = hf, ϕi + hg, ϕi , ϕ ∈ D (Rn) ,

khi đó, f + g ∈ D0(Rn), nghĩa là, f + g là phiếm hàm tuyến tính liên tục trên

Như vậy, có thể coi L1(Rn) là tập con của D0(Rn) Hàm suy rộng f ∈ L1(Rn)

được gọi là hàm suy rộng chính quy

Với f, g ∈ L1(Rn), thì sự bằng nhau theo nghĩa hàm suy rộng và theo nghĩa thôngthường là như nhau, nghĩa là

Số nguyên không âm k nhỏ nhất trong các số nguyên không âm mà ta có bấtđẳng thức (1.1) được gọi là cấp của hàm suy rộng f trên tập K Nếu không cómột số nguyên không âm k nào để có (1.1) với số dương C nào đó, thì ta nóirằng, hàm suy rộng f có cấp vô hạn trên K Để đơn giản, ta nói rằng, hàm suyrộng f ∈ D0(Rn) có cấp k nếu nó có cấp k trên Rn.

Ví dụ 1.3 Mọi hàm f ∈ L1(Rn) đều có cấp 0 Ta có:

|hf, ϕi| =

Z

Rn

f (x)ϕ(x)dx

Định lý 1.1 Mỗi phiếm hàm tuyến tính f trên D(Rn) là một hàm suy rộng khi

và chỉ khi, trên mỗi tập compact K ⊂Rn, có một số nguyên không âm k và một

số dương C sao cho

Điều này dễ thấy từ giả thiết

Để chứng minh điều kiện cần ta dùng phản chứng, nghĩa là giả sử có một tậpcompact K ⊂Rn với mỗi k ∈Z+ ta đều có

sup

ϕ∈C ∞

0 (R n ) suppϕ⊂K,ϕ6=0

nên f / ∈ D0(Rn), trái với giả thiết.

Như vậy, điều giả sử sai hay ta có điều phải chứng minh

1.4 Không gian các hàm giảm nhanh S (Rn)

Định nghĩa 1.4 Không gian S (Rn ) là tập hợp

Ví dụ 1.4 Không gian C0∞(Rn) là không gian con của không gian các hàm giảmnhanh S (Rn)

Chứng minh Xét hàm ϕ ∈ C0∞(Rn)

Khi đó, ta đặt

suppϕ = K, Klà tập compact trong Rn.

Với mọi x / ∈ K, suy ra

Ví dụ 1.5 Cho hàm số ϕ (x) = e−kxk , x ∈Rn Khi đó ϕ là hàm số thuộc khônggian các hàm giảm nhanh S (Rn ).

Chứng minh Theo giả thiết, ta có kxk2 = x21+ x22+ + x2n nên

1.5 Không gian các hàm suy rộng tăng chậm S0(Rn)

Định nghĩa 1.5 Ta nói rằngf là hàm suy rộng tăng chậm nếu f là một phiếmhàm tuyến tính liên tục trên không gian S (Rn)

Hàm suy rộng tăng chậm f tác động lên mỗi hàm ϕ ∈ S(Rn) được viết là f, ϕ Không gian các hàm suy rộng tăng chậm S0(Rn) là tập hợp tất cả các hàm suyrộng tăng chậm

Trên không gian các hàm suy rộng tăng chậm S0(Rn) có thể xây dựng mộtcấu trúc không gian vectơ trên Rn, nghĩa là ta có thể định nghĩa các phép toántuyến tính như sau.

•Phép cộng : với các hàm f1, f2 ∈ S0(Rn) tổng các hàm f1 + f2 được xácđịnh như sau

(f1+ f2) : ϕ → hf1+ f2, ϕi = hf1, ϕi + hf2, ϕi ∀ϕ ∈ S (Rn)

•Phép nhân với số thực : với hàmf ∈ S0(Rn) , λ ∈ Rn tích λf được xác địnhnhư sau

Khi đó δa là hàm suy rộng tăng chậm

Chứng minh Hiển nhiên ta thấy hàm Dirac tạia là một phiếm hàm tuyến tính,

hδa, ϕki = ϕk(−a) ∀ϕ ∈ S (Rn) , k = 1, 2,

Nên ta nhận được

lim

k→∞ hδa, ϕki = hδa, ϕi ∀ϕ ∈ S (Rn)

Vậy nên δ a là hàm suy rộng tăng chậm

Chứng minh được hoàn thành

1.6 Giá của hàm suy rộng

Trước hết, ta định nghĩa thế nào là hai hàm suy rộng tăng chậm bằng nhau tạimột điểm trong Rn Cùng với đó ta sẽ định nghĩa giá của hàm suy rộng trongkhông gian các hàm tăng chậm S0(Rn)

Định nghĩa 1.6 Cho x ∈ Rn, các hàm suy rộng f, g ∈ S0(Rn) Ta nói rằnghàm suy rộng f = g tại x nếu tồn tại một lân cận mở ω ∈Rn của x để

hf, ϕi = hg, ϕi ∀ϕ ∈ S (Rn) , suppϕ ⊂ ω.

Từ định nghĩa trên, ta thấy rằng hàm suy rộngf 6= g tại x ∈Rn, nếu với mọilân cận mở ω ⊂ Rn của điểm x đều tồn tại một hàm ϕ ∈ C0∞(Rn), suppϕ ⊂ ω

sao cho

hf, ϕi 6= hg, ϕi

Định nghĩa 1.7 (Giá của hàm suy rộng)

Cho hàm suy rộng f ∈ S0(Rn) Giá của hàm suy rộng f được xác định như sau

Chứng minh Ta xét σ 6= 0 Khi đó, với mọi hàm ϕ ∈ S(R) thỏa mãn

Chứng minh được hoàn thành

1.7 Không gian hàm suy rộng với giá compact E0(Rn)

Trong phần này, ta sẽ nghiên cứu về đặc điểm của hàm suy rộng với giá compact

E0(Rn) Trước tiên, ta sẽ đi vào khái niệm hội tụ trong không gian E (Rn).Định nghĩa 1.8 Không gian E (Rn) là không gian tôpô tuyến tính các hàm

ϕ ∈ C∞(Rn) với khái niệm hội tụ như sau: dãy {ϕk}∞k=1 các hàm trong khônggian C∞(Rn) được gọi là hội tụ đến hàm ϕ ∈ C∞(Rn) nếu

Định lý 1.2 i) Giả sử f là hàm suy rộng có giá compact Khi đó, ta có thểthác triển f lên thành phiếm hàm tuyến tính liên tục trên không gian hàm cơbản E (Rn).

ii) Giả sửf là phiếm hàm tuyến tính liên tục trên không gian hàm cơ bảnE (Rn).Khi đó, ta có thể thu hẹp hàm f trên không gian các hàm giảm nhanh S (Rn)

thành hàm suy rộng có giá compact

Định nghĩa 1.11 (Tích chập của hàm suy rộng thuộc D0(Rn) và D(Rn )) Cho

1.9 Phép biến đổi Fourier

Đối tượng chính của luận văn nghiên cứu trong phần này, sẽ là phép biến đổiFourier của những hàm thuộc không gian các hàm giảm nhanh S (Rn), khônggian các hàm tăng chậm S0(Rn), không gian hàm suy rộng với giá compact

Định lý 1.4 Cho hàm ϕ ∈ S (Rn) Khi đó F ϕ, F−1ϕ ∈ S (Rn) và

• DαF ϕ (ξ) = (−i)|α|F (xαϕ (x)) (ξ) , DαF−1ϕ (ξ) = i|α|F−1(xαϕ (x)) (ξ) ,

• ξαF ϕ (ξ) = (−i)|α|F (Dαϕ (x)) (ξ) , ξαF−1ϕ (ξ) = i|α|F−1(Dαϕ (x)) (ξ)

Chứng minh Theo định nghĩa phép biến đổi Fourier của hàm ϕ thuộc khônggian các hàm giảm nhanh S (Rn ), có

e−ihx,ξixαϕ (x)

=

≤ Cm2nsup

ξ∈K

1

P m (ξ)