Mục tiêu nghiên cứu của luận văn này trình bày một số trong những phương pháp ấy. Ý tưởng chủ đạo của phương pháp là làm giảm dần cấp của các dãy số lặp(phương trình sai phân) bằng cách đưa vào những biến đổi thích hợp, có liên quan đến phương trình đặc trưng của các phương trình sai phân. Bằng cách đó đối với các dãy số lặp tuyến tính cấp ba được đưa về dãy cấp hai, dãy số cấp bốn được đưa về dãy số cấp ba, nói chung dãy số cấp cao sẽ được đưa về dãy số cấp thấp hơn.
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC THĂNG LONG VŨ THỊ HÀ MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP XÁC ĐỊNH DÃY SỐ LẶP TUYẾN TÍNH HỆ SỐ HẰNG TĨM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Hà Nội-Năm 2019 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC THĂNG LONG VŨ THỊ HÀ MÃ HỌC VIÊN: C01078 MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP XÁC ĐỊNH DÃY SỐ LẶP TUYẾN TÍNH HỆ SỐ HẰNG CHUYÊN NGÀNH: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP MÃ SỐ: 46 01 13 TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS NGUYỄN VĂN NGỌC Hà Nội-Năm 2019 Mở đầu Dãy số lặp tuyến tính tốn học bậc phổ thơng bao gồm cấp số cộng, cấp số nhân, cộng-nhân, dãy Fibonacci, dãy Lucas, dãy LucasPell, Các dãy số dãy số tuyến tính cấp cấp hai Tuy nhiên, công thức tổng quát dãy số cịn biết đến Vấn đề mục tiêu nghiên cứu luận văn cách sử dụng phương pháp quy nạp Dãy số lặp tuyến tính cách gọi khác phương trình sai phân tuyến tính Đối với dãy số tuyến tính cấp hai cấp cao hơn, để xác định số hạng tổng quát, người ta thường sử dụng kỹ thuật phương trình sai phân Kỹ thuật giới thiệu chương trình lớp chun Tốn Tuy nhiên, lớp phổ thơng khơng chun, phương trình sai phân khơng giới thiệu Vì cần thiết phải có tìm tịi phương pháp giải khác mà kiến thức không vượt kiến thức bậc THPT Luận văn trình bày số phương pháp Ý tưởng chủ đạo phương pháp làm giảm dần cấp dãy số lặp(phương trình sai phân) cách đưa vào biến đổi thích hợp, có liên quan đến phương trình đặc trưng phương trình sai phân Bằng cách dãy số lặp tuyến tính cấp ba đưa dãy cấp hai, dãy số cấp bốn đưa dãy số cấp ba, nói chung dãy số cấp cao đưa dãy số cấp thấp Trong luận văn trình bày phương pháp quy nạp xác định số hạng tổng qt dãy số lặp tuyến tính có dạng đẹp hình thức, thơng qua dãy số lặp hệ số Bản luận văn gồm phần Mở đầu, ba chương nội dung, Kết luận Tài liệu tham khảo Chương 1: Phương pháp quy nạp xác định dãy số lặp tuyến tính cấp hai hệ số , trình bày định nghĩa tính chất vài dãy số với số hạng tổng (hoặc hiệu) hai hay nhiều số nguyên, có dãy số liên kết với hai số liên kết với dãy số cho Sử dụng phương pháp quy nạp xác định số hạng tổng quát dãy số cấp hai liên kết với hai số Chương 2: Phương pháp cấp số xác định dãy số lặp tuyến tính cấp cấp hai , trình bày sở lý thuyết phương pháp đưa dãy số lặp cấp hai hệ số hằng(phương trình sai phân cấp hai) cấp số nhân(phương trình sai phân cấp nhất), hay cấp số cộng-nhân(phương trình sai phân cấp khơng đặc biệt) Chương 3: Dãy số lặp tuyến tính cấp ba cấp bốn, trình bày sở lý thuyết phương pháp đưa dãy số lặp cấp ba cấp cao dãy số lặp tuyến tính có cấp thấp Luận văn hoàn thành giúp đỡ Thầy: TS Nguyễn Văn Ngọc Dù tác giả cố gắng tránh khỏi thiếu sót Tơi mong nhận ý kiến góp ý q báu thầy, bạn đồng nghiệp Nội dung luận văn hình thành dựa tài liệu tham khảo [1]-[5] Luận văn hoàn thành Trường Đại học Thăng Long, 2018-2019 Xin trân trọng cảm ơn! Hà Nội, Tháng 9, Năm 2019 Tác giả Vũ Thị Hà Chương Phương pháp quy nạp xác định dãy số lặp tuyến tính cấp hai hệ số 1.1 1.1.1 Dãy số tuyến tính cấp hai liên kết với hai số Khái niệm Định nghĩa 1.1 Dãy số Un gọi dãy số lặp tuyến tính cấp k hệ số Un+k = aUn+k−1 + bUn+k−2 + + cUn + f (n) a, b, , c số, f (n) biểu thức biết Nếu f n) ≡ 0, dãy gọi nhất, trường hợp lại gọi khơng Ví dụ, dãy cấp số cộng dãy cấp số nhân, cấp số cộng-nhân Un+1 = Un + b, Un+1 = aUn , Un+1 = aUn + b dãy cấp Cấp số nhân dãy số cấp nhất, cấp số cộng cấp số cộng-nhân với b = dãy số cấp không Dãy số Fibonacci Fn với n ≥ F0 = 0, F1 = dạng Fn+1 = Fn + Fn−1 dãy số tuyến tính cấp hai Định nghĩa 1.2 Cho số nguyên a, b U0 , U1 Lập dãy số Un dạng Un+1 = aUn + bUn−1 (1.1) với n ≥ Dãy số (Un ) gọi dãy số liên kết với hai số a, b sinh U0 , U1 Cho số nguyên a, b G0 = 0, G1 = Dãy số (Gn ) dạng Gn+1 = aGn + bGn−1 (1.2) với n ≥ gọi dãy số sở dãy số Un Định nghĩa 1.3 Cho số nguyên a V0 , V1 Lập dãy số (Vn ) dạng Vn+1 = aVn + Vn−1 (1.3) với n ≥ Dãy số (Vn ) gọi dãy số liên kết loại với số a sinh V0 , V1 Cho số nguyên a H0 = 0, H1 = Dãy số (Hn ) dạng Hn+1 = aHn + Hn−1 (1.4) với n ≥ gọi dãy số sở dãy số (Vn ) Định nghĩa 1.4 Cho số nguyên b Z0 , Z1 Lập dãy số (Zn ) dạng Zn+1 = Zn + bZn−1 (1.5) với n ≥ Dãy số (Zn ) gọi dãy số liên kết loại hai với số b sinh Z0 , Z1 Cho số nguyên b K0 = 0, K1 = dãy số (Kn ) dạng Kn+1 = Kn + bKn−1 (1.6) với n ≥ gọi dãy số sở dãy số (Zn ) Mệnh đề 1.1 Cho dãy số Un+1 = aUn + bUn−1 với n ≥ 1, liên kết với hai số a, b sinh U0 , U1 Xét dãy số (Dn ) xác định Dn = Un+1 + bUn−1 (1.7) với D0 = 2U1 − aU0 , D1 = aU1 + 2bU0 Khi có cơng thức Dn+1 = aDn + bDn−1 , tức dãy (Dn ) dãy số liên kết với hai số a b (1.8) 1.1.2 Ví dụ Ví dụ 1.1 Dãy số Fibonacci Fn với n ≥ F0 = 0, F1 = dạng Fn+1 = Fn + Fn−1 (1.9) dãy số liên kết loại với số a = Mười số hạng dãy số là: F0 = 0, F1 = 1, F2 = 1, F3 = 2, F4 = 3, F5 = 5, F6 = 8, F7 = 13, F8 = 21, F9 = 34, F10 = 55, · · · Dãy số mang tên nhà toán học người Italia Leonardo Pisano (khoảng 1170 đến khoảng 1250), nghĩa Leonardo thành phố Pisa Người Italia gọi ông Fibonacci, nghĩa ông Bonaccio (bố ơng lấy biệt hiệu Bonaccio) Nhiều nhà tốn học nghiên cứu đưa hệ thức số hạng dãy số Fibonacci Lucas, Binet, Cassini, Catalan, D’Ocagne,· · · Ví dụ 1.2 Dãy số Lucas Ln với n ≥ L0 = 2, L1 = dạng Ln+1 = Ln + Ln−1 (1.10) dãy số liên kết loại với số a = Mười số hạng dãy số là: L0 = 2, L1 = 1, L2 = 3, L3 = 4, L4 = 7, L5 = 11, L6 = 18, L7 = 29, L8 = 47, L9 = 76, L10 = 123 Dãy số nhà toán học người Pháp Fran¸cois Édouard Anatole Lucas nghiên cứu Ví dụ 1.3 Dãy số Fibonacci tổng quát Wn với n ≥ hai số W0 , W1 dạng Wn+1 = Wn + Wn−1 (1.11) dãy số liên kết loại với số a = Dãy số Fibonacci Fn dãy số sở dãy số Wn Dãy số Lucas Ln trường hợp riêng dãy số Wn W0 = L0 = 2, W1 = L1 = Ví dụ 1.4 Dãy số Pell Pn với n ≥ P0 = 0, P1 = dạng Pn+1 = 2Pn + Pn−1 (1.12) dãy số liên kết loại với số a = Mười số hạng dãy số Pn là: P0 = 0, P1 = 1, P2 = 2, P3 = 5, P4 = 12, P5 = 29, P6 = 70, P7 = 169, P8 = 408, P9 = 985, Ví dụ 1.5 Dãy số Lucas- Pell Qn với n ≥ Q0 = 2, Q1 = dạng Qn+1 = 2Qn + Qn−1 (1.13) dãy số liên kết loại với số a = Chín số hạng dãy số Qn là: Q0 = 2, Q1 = 2, Q2 = 6, Q3 = 14, Q4 = 34, Q5 = 82, Q6 = 198, Q7 = 478, Q8 = 1154, Ví dụ 1.6 Dãy số Tn với n ≥ hai số T0 , T1 dạng Tn+1 = 2Tn + Tn−1 (1.14) dãy số liên kết loại với số a = Dãy số Pell Pn dãy số sở dãy số Tn Dãy số Lucas- Pell Qn trường hợp riêng dãy số Tn T0 = Q0 = 2, T1 = Q1 = 1.2 1.2.1 Xác định dãy số liên kết tuyến tính cấp hai phương pháp quy nạp Dãy số {Kn } • Xét dãy số cho cơng thức K1 = K2 = 1, Kn+1 = Kn + bKn−1 (n ≥ 2) (1.15) • Thực tính tốn có cơng thức sau đây: K1 = 1, K2 = 1, K3 = + b, K4 = + 2b, K5 = + 3b + b2 , •Để tiện tính tốn số Kn ta lập quy tắc tính hệ số bm đây: Trong bảng số hình tam giác ghi hệ số knm bm cột m hàng n (n > m ≥ 0), cột m ghi số mũ b, hàng n ghi thứ tự Kn Các hệ số xếp theo quy luật ghi số sau: m = với n ≥ 1, m ≥ 1, tức số cột 0( b0 ) số Q1 kn0 = k2m+1 cột m (bm ) hàng 2m +1 số 1 Q2 kn+2 = n với n ≥ 1, tức số cột 1( b1 ) dãy số nguyên dương liên tiếp kể từ n = m+1 m+1 = kn+2 với n ≥ 2m + Q3 knm + kn+1 Định lý 1.1 Có hệ thức sau 2 n−2 n−2 n−1 n−1 K2n = + k2n b + k2n b + + k2n b + k2n b , n−1 n−1 n K2n+1 = + k2n+1 b + k2n+1 b2 + + k2n+1 b + k2n+1 bn , (1.16) (1.17) m+1 m+1 knm + kn+1 = kn+2 1.2.2 (1.18) Dãy số {Hn } • Xét dãy số {Hn } xác định theo công thức H1 = 1, H2 = a, Hn+1 = aHn + Hn−1 , n ≥ • Thực tính tốn có cơng thức sau đây: H1 = 1, H2 = a, H3 = a2 + 1, H4 = a3 + 2a, H5 = a4 + 3a2 + 1, m • Quy ước hệ số Ký hiệu hm n hệ số a Hn HQ1 hnn+1 = 1, HQ2 h02n+1 = 1, m+1 m+1 HQ3 hm n + hn−1 = hn+1 Định lý 1.2 Có hệ thức sau 2n−3 2n−3 2n−5 H2n = a2n−1 + h2n a + h2n−5 + + h32n a3 + h12n a, 2n a (1.19) 2n−2 2n−2 2n−4 H2n+1 = a2n + h2n+1 a + h2n−4 + + h22n+1 a2 + 1, 2n+1 a (1.20) m+1 m+1 hm n + hn−1 = hn+1 1.2.3 (1.21) Dãy số {Gn } • Xét dãy số {Gn } xác định theo công thức G1 = 1, G2 = a, Gn+1 = aGn + bHn−1 , n ≥ • Thực tính tốn có công thức sau đây: G1 = 1, G2 = a, G3 = a2 + b, G4 = a3 + 2ab, G5 = a4 + 3a2 b + b2 , Bằng phương pháp quy nạp dễ dàng có cơng thức xác định số hạng tổng qt Un = U0 an + bSn (a) (2.6) n, a = 1, Sn (a) = − an , a = 1−a (2.7) Nhận xét 2.1 Khi a = 1, b = dãy số cộng-nhân trở thành dãy cấp số cộng, a = 0, b = dãy số cộng-nhân dãy cấp số nhân 2.1.4 Các toán Bài tốn 2.1 Xác định cơng thức tổng qt dãy số Un = aUn−1 + bn + c, a, b, c = 0, U0 = d b b+c Kết quả: Un = an−1 (ad − b − c) − n + a a Bài tốn 2.2 Xác định cơng thức tổng quát dãy số Un = 2Un−1 + an2 + bn + c, a, b, c = 0, U0 = d Kết quả: Công thức số hạng tổng quát Un = 2n (6a − 2b + c + d) − an2 + (b − 4a)n − 6a + 2b − c Bài toán 2.3 Xác định công thức tổng quát dãy số Un = aUn−1 + bcn , a, b, c = 0, c = a, U0 = d Kết quả: Công thức số hạng tổng quát dãy số Un = a n bcn+1 dc − da − bc + c−a c−a Bài tốn 2.4 Xác định cơng thức tổng qt dãy số Un = aUn−1 + ban , a, b = 0, U0 = d Kết quả: Un = an (nb + d) 11 2.2 Phương pháp cấp số biểu diễn dãy số tuyến tính cấp hai hệ số 2.2.1 Cơng thức biểu diễn Mục trình bày phương pháp xác định dãy số Un+1 = aUn + bUn−1 , n ∈ N (2.8) theo giá trị đầu U0 , U1 , biến số n hệ số a, b Chúng ta luôn giả sử U0 , U1 , Un , a b số thực Định lý 2.1 Hệ thức (2.8) tương đương với hệ thức Un+1 − xUn = (a − x)(Un − xUn−1 ) + (b + ax − x2 )Un−1 , (2.9) x số tùy ý(thực phức) Chứng minh Thật vậy, khai triển vế phải (2.9) ước lượng số hạng đồng dạng ta nhận hệ thức (2.8) Định nghĩa 2.1 Phương trình x2 − ax − b = (2.10) gọi phương trình đặc trưng hệ thức (2.8) Ký hiệu α, β nghiệm phương trình đặc trưng (2.10) Chúng ta có cơng thức Viet α + β = a, αβ = −b (2.11) Định lý 2.2 Cho dãy số tuyến tính cấp hai liên kết với số a, b hai số nguyên U0 , U1 cho trước dạng (2.8) với n ≥ 1 Giả sử a2 + 4b ≥ α, β nghiệm thực phương trình x2 − ax − b = Khi ta có a) Nếu α khác β (U1 − U0 α)β n − (U1 − U0 β)αn Un = β−α 12 (2.12) b) Nếu α = β tức a2 + 4b = Un = nαn−1 U1 − (n − 1)αn U0 (2.13) Giả sử a2 + 4b < α, β nghiệm phức phương trình x2 − ax − b = Khi ta có ρn sin(n − 1)ϕ ρn−1 sin nϕ Un = − U0 + U1 , sin ϕ sin ϕ (2.14) ρ ϕ tương ứng modul argument số phức α dạng lượng giác 2.2.2 Các toán Bài toán 2.5 (Dãy Fibonacci) Xét toán: Fn+1 = Fn + Fn−1 , F0 = 0, F1 = Kết quả: số hạng tổng quát Fn xác định công thức √ √ (1 + 5)n − (1 − 5)n √ Fn = 2n √ Chú ý Toán học thực tế, người ta thường ký hiệu chữ ϕ : √ ϕ= 5+1 5+1 ≈ 1, 618 gọi tỷ lệ Vàng, hay tỷ lệ Thần Thánh Ý nghĩa hình học tỷ lệ vàng là: tỷ lệ nửa chu vi cạnh dài hình chữ nhật ϕ tỷ lệ vàng, hình chữ nhật có tỷ lệ vàng hình chữ nhật lý tưởng Bài toán 2.6 (Dãy Lucas) Xét toán: Ln+1 = Ln + Ln−1 , Kết quả: Ln = (1 + √ L0 = 2, L1 = 5)n + (1 − 2n 13 √ 5)n Bài toán 2.7 (Dãy Pell) Xét toán: Pn+1 = 2Pn + Pn−1 , P0 = 0, P1 = Kết quả: Công thức số hạng tổng quát dãy số cho công thức √ √ (1 + 2)n − (1 − 2)n √ Pn = 2 Bài toán 2.8 Xét toán Un+2 = 8Un+1 − 16Un , U0 = 1, U1 = 16 Lời giải Phương trình đặc trưng x2 − 8x + 16 = có nghiệm kép α = β = Theo công thức (2.13) ta có Un = nαn−1 U1 − (n − 1)αn U0 = n4n−1 16 − (n − 1)4n = (1 + 3n)4n Bài toán 2.9 Xét toán Un+1 = Un − Un−1 , U0 = 1, U1 = Kết quả: Un = cos nπ/3 2.3 2.3.1 Dãy không Công thức biểu diễn Mục trình bày phương pháp xác định dãy số Un+1 = aUn + bUn−1 + f (n), n ∈ N (2.15) theo giá trị đầu U0 , U1 , biến số n hệ số a, b hàm số f (n) Chúng ta giả thiết U0 , U1 , a, b f (n) số thực Đối với trường hợp f (n) = c = const ta có kết sau: Định lý 2.3 Cho dãy số tuyến tính cấp hai liên kết với số a, b, c hai số nguyên U0 , U1 cho trước dạng (2.15) với n ≥ 14 Giả sử a2 + 4b ≥ α, β nghiệm thực phương trình x2 − ax − b = Khi ta có a) Nếu α khác β Un = (U1 − U0 α)β n − (U1 − U0 β)αn [Sn (β) − Sn (α)]c + , β−α β−α (2.16) Sn (α) xác định theo công thức (2.7) b) Nếu α = β tức a2 + 4b = Un = nαn−1 U1 −(n−1)αn U0 +[(n−1)αn−2 +(n−2)αn−3 + +3α2 +2α+1]c (2.17) Giả sử a2 + 4b < α, β nghiệm phức phương trình x2 − ax − b = Khi ta có ρn sin(n − 1)ϕ ρn−1 sin ϕ U0 + U1 sin ϕ sin ϕ sin ϕ + ρn−1 sin nϕ + ρn sin(n − 1)ϕ + c (1 + ρ2 ) sin ϕ Un = − (2.18) ρ ϕ tương ứng modul argument số phức α dạng lượng giác 2.3.2 Các toán Bài toán 2.10 Xét toán Un+1 = −2Un + 3Un−1 + 4, U0 = 3, U1 = Kết quả: Un = (−3)n + n + Bài toán 2.11 Xét toán Un+1 = 6Un − 9Un−1 + 3, U0 = 0, U1 = Kết quả: Un = n.3n−1 + [(n − 1).3n−2 + (n − 2).3n−3 + + 3.32 + 2.3 + 1].3 15 Bài toán 2.12 Xét toán Un+1 = Un + Un−1 + kn2 + ln + m, U0 = p, U1 = q, k, l, m, p q số cho Bài toán 2.13 Xét toán Un+1 = 3Un − 2Un−1 + 3n , U0 = p, U1 = q, p q số cho Bài toán 2.14 Xét toán Un+1 = aUn + bUn−1 + kn2 + ln + m + cn , U0 = p, U1 = q, a, b, c, k, l, m, p q số cho, c = c = 16 Chương Dãy số lặp tuyến tính cấp ba cấp bốn 3.1 Dãy số lặp tuyến tính cấp ba Trường hợp phương trình đặc trưng có nghiệm thực phân biệt Mục trình bày phương pháp xác định dãy số Un+2 = aUn+1 + bUn + cUn−1 , n ∈ N (3.1) theo giá trị đầu U0 , U1 , U2 , biến số n hệ số a, b, c Chúng ta giả thiết U0 , U1 , U2 , a, b, c số thực 3.1.1 Các biến đổi Định lý 3.1 Đẳng thức Un+2 = aUn+1 + bUn + cUn−1 , n ∈ N (3.2) tương đương với Un+2 − xUn+1 = (a − x)(Un+1 − xUn ) + (b + ax − x2 )(Un − xUn−1 ) + (c + bx + ax2 − x3 )Un−1 (3.3) Định nghĩa 3.1 Phương trình x3 − ax2 − bx − c = gọi phương trình đặc trưng dãy (3.1) 17 (3.4) Tiếp theo, giả sử α, β, γ nghiệm phương trình bậc ba Theo định lý Viet ta có α + β + γ αβ + βγ αβγ = a, +γα = −b, = c Vì phương trình bậc ba với hệ số thực có nghiệm thực, nên khơng tính tổng qt, giả thiết α số thực Trong (3.4) thay x α, β, γ Đối với x = α ta có Un+2 − αUn+1 = (a − α)(Un+1 − αUn ) + (b + aα − α2 )(Un − αUn−1 ) (3.5) Đặt Vn (α) = Un+1 − αUn (3.6) Các đại lượng Vn (α), n = 0, 1, biểu diễn theo đại lượng biết U0 , U1 , U2 Khi hệ thức (3.5) viết dạng Un+2 − αUn+1 = Vn+1 (α) = (a − α)Vn (α) + (b + aα − α2 )Vn−1 (α) (3.7) Dãy Vn (α) (3.7) dãy số lặp tuyến tính cấp hai nghiên cứu Chương 3.1.2 Công thức biểu diễn U2 − (α + γ)U1 + αγU0 αn − β n β−γ α−β n U2 − (α + β)U1 + αβU0 α − γ n + − β−γ α−γ Un = U0 αn + (3.8) Đổi chỗ α tương ứng với β γ ta có cơng thức biểu diễn tương ứng 3.1.3 Các toán Bài toán 3.1 Xét toán Un+2 = 6Un+1 − 11un + 6Un−1 , 18 U0 = 0, U1 = 1, U2 = 3n Kết quả: Un = − + 2n+1 − 2 3.2 3.2.1 Dãy số lặp tuyến tính cấp ba Trường hợp phương trình đặc trưng có nghiệm kép hay nghiệm bội Trường hợp nghiệm kép Giả sử phương trình (3.4) có ba nghiệm thực α = β = γ Trong trường hợp này, theo kết dãy số cấp Chương Ta có cơng thức số hạng tổng qt Un = αn U0 + [(n − 1)β n−2 + (n − 2)α.β n−3 + + + 2αn−3 β + 1.αn−2 ](U2 − αU1 ) − [(n − 2)β n−1 + (n − 3)αβ n−2 + + + 1.αn−3 β + (−1)αn−1 ](U1 − αU0 ) (3.9) Bài toán 3.2 Un+2 = 7Un+1 − 11Un + 5Un−1 , U0 = 0, U1 = 1, U2 = 3, n ≥ (3.10) Kết quả: 3.2.2 5n 3n Un = + − 16 16 Trường hợp nghiệm bội ba Giả sử phương trình (3.4) có ba nghiệm thực α = β = γ Khi từ cơng thức (3.9) ta có cơng thức xác định số hạng tổng qt n(n − 1) (U2 − αU1 ) (n − 1)(n − 2) − (U1 − αU0 ) Un = αn U0 + αn−2 − αn−1 19 (3.11) Bài toán 3.3 Xét toán Un+2 = 3Un+1 − 3Un + Un−1 , U0 = 0, U1 = 1, U2 = (3.12) n2 + n Kết quả: Un = 3.3 3.3.1 Dãy số lặp tuyến tính cấp ba Trường hợp phương trình đặc trưng có nghiệm phức Dạng lượng giác số phức liên hợp Giả sử phương trình (3.4) có nghiệm thực γ hai nghiệm phức α, β Khi α β số phức liên hợp với Giả sử chúng có dạng lượng giác: α = ρ(cos ϕ + i sin ϕ), β = ρ(cos ϕ − i sin ϕ), i đơn vị số ảo, ρ ϕ tương ứng gọi modul argument số phức α 3.3.2 Công thức biểu diễn Giả sử α β số phức liên hợp Trong trường hợp ta có cơng thức biểu diễn số hạng tổng quát ρ(U1 − γU0 ) αn−1 − γ n−1 γ n−1 Im + sin ϕ α−γ α n n (U2 − γU1 ) α −γ Im + ρ sin ϕ α−γ Un = U0 γ n − 3.3.3 Các toán Bài toán 3.4 Xét toán: Un+2 = 5Un+1 − 8Un + 6Un−1 , U0 = 0, U1 = 1, U2 = Kết quả: √ Un = 3n−1 + 3n−2 ( 2)1 cos 1.π/4 + + √ √ + 3( 2)n−2 cos(n − 2)π/4 + ( 2)n−1 cos(n − 1)π/4 20 (3.13) 3.4 3.4.1 Dãy số cấp ba không Biến đổi Định lý 3.2 Đẳng thức Un+2 = aUn+1 + bUn + cUn−1 + f (n), n ∈ N (3.14) tương đương với Un+2 − xUn+1 = (a − x)(Un+1 − xUn ) + (b + ax − x2 )(Un − xUn−1 ) + (c + bx + ax2 − x3 )Un−1 + f (n), (3.15) f (n) hàm cho theo biến n Giả sử α, β, γ nhiệm phương trình đặc trưng (3.4) x3 − ax2 − bx − c = (3.16) Trong (3.15) thay x α, β, γ Đối với x = α ta có Un+2 − αUn+1 = (a − α)(Un+1 − αUn ) + (b + aα − α2 )(Un − αUn−1 ) + f (n), (3.17) Đặt Vn (α) = Un+1 − αUn , Vn (β) = Un+1 − βUn , Vn (γ) = Un+1 − γUn (3.18) Các đại lượng Vn (α), n = 0, 1, biểu diễn theo đại lượng biết U0 , U1 , U2 Khi hệ thức (3.5) viết dạng Un+2 − αUn+1 = Vn+1 (α) = (a − α)Vn (α) + (b + aα − α2 )Vn−1 (α) + f (n), (3.19) Dãy Vn (α) (3.7) dãy số lặp tuyến tính cấp hai nghiên cứu Chương có cơng thức nghiệm tổng quát trường hợp f (n) = d = const = 21 3.4.2 Trường hợp nghiệm phương trình đặc trưng thực khác Xét phương trình (3.19) với giả thiết f (n) = d Chúng ta có cơng thức số hạng tổng quát U2 − (α + γ)U1 + αγU0 αn − β n Un = U0 α + β−γ α−β U2 − (α + β)U1 + αβU0 αn − γ n + − β−γ α−γ n d + β−γ n−2 αk [Sn−1−k (β) − Sn−1−k (γ)] (3.20) k=0 Thay đổi vai trò số α, β, γ ta công thức tương tự tương ứng 3.5 3.5.1 Dãy số lặp tuyến tính cấp bốn Các biến đổi Xét dãy số lặp tuyến tính cấp bốn Un+3 = aUn+2 + bUn+1 + cUn + dUn−1 + e, (3.21) a, b, c, d, e số thực biết, Un−1 , Un , Un+1 , Un+2 Un+3 số thực chưa biết, cho biết đại lượng U0 , U1 , U2 , U3 Mục đích mục trình bày cách đưa dãy số cấp bốn (3.21) dãy số cấp ba, nghiên cứu mục Định lý 3.3 Hệ thức (3.21) tương đương với hệ thức sau Un+3 − xUn+2 = (a − x)(Un+2 − xUn+1 ) + (b + ax − x2 )(Un+1 − xUn ) + (c + bx + ax2 − x3 )(Un − xUn−1 ) + (d + cx + bx2 + ax3 − x4 )Un−1 + e, (3.22) x số (thực phức) Định nghĩa 3.2 Phương trình x4 − ax3 − bx2 − cx − d = gọi phương trình đặc trưng dãy (3.21) 22 (3.23) Ký hiệu nghiệm phương trình (3.23) α, β, γ, δ Khi đó, ta có cơng thức Viet α + β + γ + δ = a, αβ + αγ + αδ + βγ + βδ + γδ = −b, αβγ + αβδ + αγδ + βγδ = c, αβγδ = −d (3.24) Trước hết xét trường hợp e = Trong (3.22), cho x α, β, γ δ ta dãy cấp ba Chẳng hạn x = α ta có Un+3 − αUn+2 = (a − α)(Un+2 − αUn+1 ) + (b + aα − α2 )(Un+1 − αUn ) + (c + bα + aα2 − α3 )(Un − αUn−1 ) (3.25) Đặt Vn (α) = Un+1 − αUn (3.26) Khi hệ thức (3.25) viết dạng Un+3 − αUn+2 = Vn+2 (α) = (a − α)Vn+1 (α) + (b + aα − α2 )Vn (α) + (c + bα + aα2 − α3 )Vn−1 (3.27) Dãy Vn (α) (3.27) dãy số lặp tuyến tính cấp ba nghiên cứu với điều kiện đầu V0 , V1 , V2 , V3 biểu diễn qua điều kiện đầu U0 , U1 , U2 , U3 Các vấn đề dãy số cấp ba Vn (α) xét mục chương này, từ suy cơng thức tổng qt Un Các vấn đề khơng trình bày phần luận văn 3.5.2 Các toán Bài toán 3.5 (Bốn nghiệm thực phân biệt) Xét toán Un+3 = 3Un+2 +7Un+1 −27Un +18Un−1 , U0 = 0, U1 = 1, U2 = 2, U3 = 1 Kết quả: Un = 2n − 3n − (−3n ) − 60 23 Kết luận Luận văn " Một số phương pháp xác định dãy số lặp tuyến tính hệ số " thu lượm trình vấn đề sau đây: Trình bày quy luật tính chất số dãy số lặp tuyến tính mở rộng dãy số kinh điển dãy Fibonacci, Lucas, Pell, Đã đưa công thức số hạng tổng quát dãy số liên kết với hai số thực Trình bày phương pháp xác định công thức tổng quát dãy số lặp tuyến tính cấp hai, cấp ba cấp bốn dãy số lặp cấp thấp Thực chất phương pháp giải phương trình sai phân tuyến tính hệ số cách đưa chúng về phương trình sai phân có cấp thấp Đã xét nhiều tốn ví dụ minh họa tương ứng với phần lý thuyết trình bày Luận văn 24 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Nguyễn Văn Mậu(2006), Một số toán chọn lọc dãy số, NXBGD, Hà Nội [2] Phan Huy Khải(2007),Các toán dãy số, NXBGD, Hà Nội [3] Hội nghị khoa học "Ba mươi năm Việt Nam tham dự Olympic Toán quốc tế," Hà Nội(2005) [4] Lê Định Thịnh, Đằng Đình Châu, Lê Định Định, Phan Văn Hạp(2001),Phương trình sai phân số ứng dụng, NXBGD, Hà Nội Tiếng Anh [5] Goldberg S.(1960), Introduction to Difference Equations, The United States of America 25 ... C01078 MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP XÁC ĐỊNH DÃY SỐ LẶP TUYẾN TÍNH HỆ SỐ HẰNG CHUYÊN NGÀNH: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP MÃ SỐ: 46 01 13 TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS NGUYỄN VĂN... Kết luận Luận văn " Một số phương pháp xác định dãy số lặp tuyến tính hệ số " thu lượm trình vấn đề sau đây: Trình bày quy luật tính chất số dãy số lặp tuyến tính mở rộng dãy số kinh điển dãy Fibonacci,... pháp quy nạp xác định dãy số lặp tuyến tính cấp hai hệ số 1.1 1.1.1 Dãy số tuyến tính cấp hai liên kết với hai số Khái niệm Định nghĩa 1.1 Dãy số Un gọi dãy số lặp tuyến tính cấp k hệ số Un+k =