Tóm tắt luận văn Thạc sĩ Toán học: Đồ thị phẳng và bài toán tô màu bản đồ

Luận văn với mục tiêu tìm hiểu và trình bày một số kiến thức cơ bản về đồ thị, đồ thị phẳng và các kết quả lý thuyết, các định lý liên quan đến bài toán tô màu (tô đỉnh, tô cạnh và tô diện - tô màu bản đồ) trên các loại đồ thị khác nhau, cách tô màu đỉnh, cạnh và diện dựa trên các kết quả lý thuyết đã có và đề cập một số ứng dụng thiết thực của bài toán tô màu trong thực tế.

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC THĂNG LONG ĐINH THỊ DỊU - C01055 ĐỒ THỊ PHẲNG VÀ BÀI TỐN TƠ MÀU BẢN ĐỒ Chun ngành: Phương pháp tốn sơ cấp Mã số: 8.46.01.13 TĨM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI - 2019 MỞ ĐẦU Các sơ đồ giao thông, sơ đồ mạng lưới thông tin hay sơ đồ tổ chức quan, trường học quen thuộc với nhiều người Đó hình ảnh sinh động cụ thể khái niệm toán học trừu tượng - khái niệm đồ thị Có thể hiểu đơn giản đồ thị cấu trúc toán học rời rạc, bao gồm hai yếu tố đỉnh cạnh, mối quan hệ chúng Đồ thị mơ hình tốn học cho nhiều vấn đề lý thuyết thực tiễn đa dạng Lý thuyết đồ thị đề cập tới nhiều toán có ý nghĩa thực tiến thiết thực, nhiều phương pháp xử lý thuật toán giải độc đáo hiệu quả, giúp ích cho phát triển tư tốn học nói chung khả vận dụng sống thường ngày nói riêng Chủ đề đồ thị cịn có đề thi Olympic tốn học số nước Đồ thị phẳng toán tô màu đồ chủ đề quan trọng hấp dẫn lý thuyết đồ thị Bài tốn tơ màu cho đồ thị có nhiều tác dụng khoa học đời sống, nhiều người quan tâm nghiên cứu vận dụng Chẳng hạn tô màu đồ, xếp lịch học tập, lập kho chứa hóa chất, thiết kế mạch điện tử, bố trí trạm truyền tin, xác lập tuyến xe buýt thành phố, v.v Đề tài luận văn cao học: "Đồ thị phẳng tốn tơ màu đồ" nhằm mục đích tìm hiểu trình bày số kiến thức đồ thị, đồ thị phẳng kết lý thuyết, định lý liên quan đến tốn tơ màu (tơ đỉnh, tơ cạnh tô diện - tô màu đồ) loại đồ thị khác nhau, cách tô màu đỉnh, cạnh diện dựa kết lý thuyết có đề cập số ứng dụng thiết thực tốn tơ màu thực tế Nội dung luận văn viết ba chương Chương Đồ thị phẳng tính chất Chương trình bày số kiến thức đồ thị đồ thị phẳng Mục 1.1 nhắc lại khái niệm dùng lý thuyết đồ thị phép toán đồ thị Mục 1.2 nêu khái niệm đồ thị phẳng, tính chất đặc trưng đồ thị phẳng Trong chương dẫn nhiều ví dụ minh họa khái niệm kết trình bày 1.1 1.1.1 Khái niệm đồ thị Đồ thị vô hướng Trong thực tế ta thường gặp sơ đồ giao thơng (Hình 1.1) hay sơ đồ mạch điện (Hình 1.2) Các sơ đồ khái quát thành sơ đồ vẽ Hình 1.34 Hình 1.1: Sơ đồ khu phố Hình 1.2: Sơ đồ mạch điện Hình 1.3: Đồ thị đại diện Từ ta tới định nghĩa sau Định nghĩa 1.1 Đồ thị tập hợp hữu hạn khác rỗng điểm, gọi đỉnh, tập hợp đoạn (thẳng hay cong) nối liền số cặp điểm này, gọi cạnh đồ thị (số cạnh 0) Mỗi đỉnh đồ thị thường ký hiệu chữ (a, b, c ) chữ số (1, 2, 3, ) Cạnh nối đỉnh i đỉnh j (i = j) ký hiệu (i, j) (j, i) Một đồ thị cịn có tên gọi đồ thị vô hướng thường ký hiệu chữ in hoa (có thể kèm theo số), G, G1 , G2 , H, K, N , Nếu đồ thị G có tập đỉnh V tập cạnh E ⊆ V × V ta viết G = (V, E) Ta dùng ký hiệu n = |V | số đỉnh m = |E| số cạnh đồ thị (n > 0, m ≥ 0) Để dễ hình dung, đồ thị thường biểu diễn hình vẽ mặt phẳng Chẳng hạn, Hình 1.3 biểu diễn đồ thị có đỉnh: a, b, c, d, e cạnh: (a, b), (a, d), (a, e), (b, c), (b, d), (b, e), (c, d) (d, e) Chú ý điểm cắt hai cạnh (a, d) (b, e) hình vẽ khơng phải đỉnh đồ thị Đỉnh i gọi kề đỉnh j có cạnh đồ thị nối i với j Nếu ký hiệu cạnh e ta viết e = (i, j) nói cạnh e liên thuộc đỉnh i đỉnh j Ta nói i j hai đầu mút e Cạnh e e gọi kề e, e có chung đỉnh Định nghĩa 1.2 Bậc đỉnh v đồ thị số cạnh liên thuộc nó, ký hiệu ρ(v) Đỉnh có bậc gọi đỉnh lập, đỉnh có bậc gọi đỉnh treo Ví dụ đồ thị vẽ Hình ta có ρ(a) = ρ(e) = 3, ρ(b) = ρ(d) = 4, ρ(c) = Dễ dàng chứng minh: Trong đồ thị vô hướng, tổng số bậc đỉnh hai lần số cạnh đồ thị số đỉnh có bậc lẻ số chẵn Cùng với bậc đỉnh, ta dùng khái niệm sau: + Bậc nhỏ G số δ(G) := min{ρ(v)|v ∈ V } + Bậc lớn G số ∆(G) := max{ρ(v)|v ∈ V } + Bậc trung bình G số 2m d(G) := |V1 | (trong n = |V |, m = |E|) ρ(v) = n v∈V Rõ ràng δ(G) ≤ d(G) ≤ ∆(G) Với đồ thị vẽ Hình 1.3 δ(G) = 2, ∆(G) = d(G) = 16 = 3, 1.1.2 Các phép toán đồ thị Cho đồ thị vô hướng G = (V, E) với tập đỉnh V , tập cạnh E Xét phép tốn: • Bỏ đỉnh Với v ∈ V , ta ký hiệu G − v đồ thị nhận từ G cách bỏ đỉnh v cạnh liên thuộc v • Bỏ cạnh Với e ∈ E, ta ký hiệu G − e đồ thị nhận từ G cách bỏ cạnh e (không bỏ hai đỉnh đầu mút e) • Co cạnh Với e ∈ E, ta ký hiệu G \ e đồ thị nhận cách co cạnh e thành điểm Hình 1.4 minh họa đồ thị G, G − e G \ e Hình 1.4: Đồ thị G, cạnh e đồ thị G − e G \ e tương ứng • Đồ thị đồ thị G = (V, E) đồ thị nhận từ G cách bỏ số đỉnh số cạnh G Lưu ý bỏ đỉnh đồ thị ta đồng thời bỏ tất cạnh liên thuộc đỉnh ấy, cịn bỏ cạnh hai đỉnh đầu mút cạnh giữ ngun Nói xác, H = (V , E ) đồ thị G = (V, E) V ⊆ V E ⊆ E Ta nói G chứa H Ta nói H đồ thị cảm sinh G H đồ thị G E = {(x, y) ∈ E : x, y ∈ V } Ở H đồ thị G sinh tập đỉnh V ⊆ V Vì ta cịn viết H = G[V ] Đồ thị H = (V , E ) gọi đồ thị bao trùm G V = V , tức tập đỉnh H G trùng 1.1.3 Đồ thị đẳng cấu Hai đồ thị G1 G2 gọi đẳng cấu chúng có số đỉnh số cạnh có phép tương ứng - tập đỉnh G1 G2 cho hai đỉnh nối với cạnh đồ thị hai đỉnh tương ứng đồ thị nối với cạnh ngược lại Hình 1.5 vẽ đồ thị đẳng cấu với đồ thị vẽ Hình 1.3 Các cạnh hai đồ thị Hình 1.5 gặp đỉnh Các đồ thị đẳng cấu xem tương đương (là một) Hình 1.5: Các đồ thị đẳng cấu với đồ thị hình 1.3 1.1.4 Phần bù đơn đồ thị Định nghĩa 1.3 Một đồ thị mà hai đỉnh có khơng cạnh nối gọi đơn đồ thị Cho G đơn đồ thị với tập đỉnh V , phần bù hay đồ thị bù G G đơn đồ thị, với tập đỉnh V hai đỉnh kề G chúng không kề G Hình 1.6: Phần bù G đơn đồ thị G Định nghĩa 1.4 Đường P từ đỉnh v tới đỉnh w dãy liên tiếp cạnh: (a0 , a1 ), (a1 , a2 ), ,(ak−1 , ak ) với (ai−1 , ) ∈ E, a0 = v, ak = w k ≥ 1, đỉnh a0 , a1 , , ak khác Để đơn giản, ta viết P = {a0 , a1 , , ak } nói đường nối đỉnh v đỉnh w Đỉnh v gọi đỉnh đầu, đỉnh w gọi đỉnh cuối đường P Một đường nối đỉnh với (đỉnh đầu trùng với đỉnh cuối) gọi chu trình Độ dài đường (chu trình) số cạnh đường (chu trình) Ví dụ với đồ thị vẽ Hình 1.3, đường nối đỉnh a đỉnh c (a, e), (e, b), (b, c) hay viết gọn {a, e, b, c} Hai đường khác từ a tới c {a, e, d, c} {a, b, c} Đồ thị có chu trình sau: {a, b, c, d, e, a}; {b, d, e, b}, Hình 1.7: Đồ thị liên thơng Hình 1.8: Đồ thị không liên thông Định nghĩa 1.5 Một đồ thị gọi liên thơng có đường nối hai đỉnh đồ thị Trái lại, đồ thị gọi không liên thông Đồ thị không liên thông bị tách thành số đồ thị liên thơng, đơi khơng có đỉnh chung cạnh chung Mỗi đồ thị liên thông gọi thành phần liên thơng Ví dụ đồ thị vẽ Hình 1.7 liên thơng, cịn đồ thị vẽ Hình 1.8 khơng liên thơng (gồm thành phần liên thông) Định nghĩa 1.6 Một đồ thị chu trình gọi rừng Một rừng liên thông gọi cây, tức đồ thị liên thơng khơng có chu trình Rừng gồm nhiều thành phần liên thông khác nhau, thành phần liên thông Như vậy, rừng gồm nhiều Đỉnh có bậc gọi Đồ thị hình có đỉnh khơng phải Ví dụ phả hệ họ tộc (cây phả hệ) Một số tính chất đặc trưng cây: n đỉnh có n − cạnh, cây, có đường nối cặp đỉnh Hình 1.9: Ví dụ rừng, đồ thị hình 1.2 Đồ thị phẳng cơng thức Euler Mục nêu khái niệm đồ thị phẳng, ví dụ hai đồ thị không phẳng, định lý đặc trưng cho đồ thị phẳng nêu công thức Euler liên hệ số đỉnh, số cạnh số diện đồ thị phẳng, hệ có liên quan Định nghĩa 1.7 Một đồ thị G gọi đồ thị phẳng biểu diễn mặt phẳng (hay tương đương, mặt cầu) cho ứng với đỉnh điểm ứng với cạnh đoạn thẳng hay cong hai cạnh điểm chung khác đầu mút chúng Rừng hay (Hình 1.9) hai đồ thị vẽ Hình 1.5 đồ thị phẳng K Wagner (1936) I Fáry (1948) chứng minh (độc lập nhau) đơn đồ thị phẳng vẽ mặt phẳng cho cạnh đoạn thẳng Khi đó, miền mặt phẳng giới hạn cạnh không chứa đỉnh cạnh bên nó, gọi diện đồ thị phẳng Biên diện tập hợp cạnh giới hạn diện Hai diện khác gọi kề biên chúng có cạnh chung (hai diện có đỉnh chung không xem kề nhau) Diện giới hạn cạnh gọi tam giác Rõ ràng đồ thị phẳng liên thơng có diện vơ hạn nhất, diện khác diện hữu hạn Ví dụ, đồ địa lý khơng có đảo khơng có khun (tức cạnh nối đỉnh với nó) đồ thị phẳng: đỉnh điểm chung ba đường biên giới (mọi đỉnh có bậc ≥ 3), cạnh đoạn đường biên giới nối hai đỉnh diện nước Hình 1.10: a) b).Ví dụ đồ thị phẳng Sau hai ví dụ điển hình đồ thị khơng phẳng a) Đồ thị đỉnh cặp đỉnh kề đồ thị khơng phẳng xem hình 1.14 b) Đồ thị biểu diễn ba nhà, ba giếng đường nối nhà với giếng đồ thị không phẳng Nhận xét đồ thị đồ thị phẳng đồ thị phẳng đồ thị mà chứa dù đồ thị không phẳng phải đồ thị khơng phẳng Từ suy đồ thị mà chứa đồ thị thuộc hai loại đồ thị không phẳng vừa kể đương nhiên đồ thị không phẳng Thực ra, sau thấy, đồ thị nguyên nhân sinh đồ thị không phẳng theo nghĩa, đồ thị không phẳng phải chứa hai loại đồ thị không phẳng Để phát biểu xác hơn, ta cần tới khái niệm đồ thị đồng cấu sau Định nghĩa 1.8 Hai đồ thị gọi đồng cấu hai nhận từ đồ thị thứ ba cách thêm đỉnh bậc hai vào cạnh đồ thị Chẳng hạn, hai đồ thị vẽ Hình 1.13 đồng cấu Khái niệm đồng cấu cho phép phát biểu kết quan trọng sau đây, biết với tên gọi định lý Kuratowski, nêu điều kiện cần đủ để đồ thị phẳng ... xét đồ thị đồ thị phẳng đồ thị phẳng đồ thị mà chứa dù đồ thị không phẳng phải đồ thị khơng phẳng Từ suy đồ thị mà chứa đồ thị thuộc hai loại đồ thị không phẳng vừa kể đương nhiên đồ thị không phẳng. .. luận văn cao học: "Đồ thị phẳng tốn tơ màu đồ" nhằm mục đích tìm hiểu trình bày số kiến thức đồ thị, đồ thị phẳng kết lý thuyết, định lý liên quan đến tốn tơ màu (tơ đỉnh, tô cạnh tô diện - tô. .. đồ thị phẳng Sau hai ví dụ điển hình đồ thị khơng phẳng a) Đồ thị đỉnh cặp đỉnh kề đồ thị không phẳng xem hình 1.14 b) Đồ thị biểu diễn ba nhà, ba giếng đường nối nhà với giếng đồ thị không phẳng