ĐỊNH lý WEIERSTRASS và ỨNG DỤNG

❇❐ ●■⑩❖ ❉Ư❈ ❱⑨ ✣⑨❖ ❚❸❖ ❚❘×❮◆● ✣❸■ ❍➴❈ ◗❯❨ ◆❍❒◆ ********* HÀ DUY NGHĨA ĐỊNH LÝ CHUẨN BỊ WEIERSTRASS VÀ ỨNG DỤNG TIỂU LUẬN LÝ THUYẾT KỲ DỊ ◗✉② ◆❤ì♥✱ ❚❤→♥❣ ✺ ♥➠♠ ✷✵✶✵ LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com i ❇❐ ●■⑩❖ ❉Ö❈ ❱⑨ ✣⑨❖ ❚❸❖ ❚❘×❮◆● ✣❸■ ❍➴❈ ◗❯❨ ◆❍❒◆ ********* HÀ DUY NGHĨA ĐỊNH LÝ CHUẨN BỊ WEIERSTRASS VÀ ỨNG DỤNG CAO HỌC TOÁN KHÓA 11 Chuyên ngành: Đại số lý thuyết số TIỂU LUẬN LÝ THUYẾT KỲ DỊ Người hướng dẫn khoa học TS NGUYỄN CƠNG TRÌNH ◗✉② ◆❤ì♥✱ ❚❤→♥❣ ✺ ♥➠♠ ✷✵✶✵ LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com ii MỤC LỤC Trang phụ bìa i Mục lục ii Lời mở đầu Chương Định lý chuẩn bị Weierstrass 1.1 Đa thức Weierstrass 1.2 Định lý chuẩn bị Weierstrass Chương Ứng Dụng 2.1 Khai triển Puiseux 2.2 Phép tham số hóa đường cong Tài liệu tham khảo 11 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com LỜI MỞ ĐẦU Cấu trúc tôpô đường cong phẳng chuyên đề toán học nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu có nhiều kết hay, cụ thể thể nhiều tài liệu Plane Algebraic Curves tác giả Brieskorn, Introduction to algebraic curves tác giả Griffiths Đối với thân học viên cao học, chọn đề tài tiểu luận" Định lý chuẩn bị Weierstrass ứng dụng " nhằm tìm hiểu sâu vấn đề tham số hóa đường cong phân tích đường cong tổng quát thành đường cong bất khả quy, nhằm để kết thúc môn Lý thuyết kỳ dị Tiểu luần gồm chương với phần mở đầu kết luận Chương 1: Nói định lý chuẩn bị Weierstrass, định lý chia đa thức mối liên hệ chúng Chương 2: Là phần ứng dụng định lý chuẩn bị cho việc chứng minh đường cong tổng quát tham số hóa Mặc dù thân cố gắng học tập, nghiên cứu hướng dẫn nhiệt tình thầy giáo hướng dẫn, lực thân thời gian hạn chế nên tiểu luận khó tránh khỏi thiếu sót Tơi mong nhận góp ý q thầy bạn để tiểu luận hoàn thiện Cuối tơi xin chân thành cảm ơn TS Lê Cơng Trình người tận tình giúp đỡ, tập thể lớp cao học tốn khố 11 tạo điều kiện cho tơi hoàn thành tiểu luận Quy Nhơn, tháng năm 2010 Hà Duy nghĩa LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Chương ĐỊNH LÝ CHUẨN BỊ WEIERSTRASS Trong chương phần 1.1 Đa thức Weierstrass trình bày theo tài liệu [2],phần 1.2 Định lý chuẩn bị Weierstrass trình bày theo tài liệu[1] 1.1 Đa thức Weierstrass Gọi C{x}, (C{x, y}) tương ứng vành hàm chỉnh hình lân cận ∈ C(0; 0) ∈ C2 nghĩa C{x} = {Các chuỗi lũy thừa hội tụ có dạng f = C{x, y} = {Các chuỗi lũy thừa hội tụ có dạngf = ∞ m m=0 am x } ∞ m n m,n=0 amn x y } chuỗi lũy thừa có bán kính hội tụ khác Định nghĩa 1.1.1 Đa thức w ∈ C{x, y} gọi đa thức Weierstrass theo biến y (y−tổng quát) w = y d + a1 (x).y d−1 + + ad (x) (1.1) aj (x) ∈ C{x}, aj (0) = 0, (j = 1, , d) Nhận xét: Giả sử f ∈ C{x, y} khác đơn vị f (0, y) khơng đồng 0, ta viết: f (0, y) = by d + b1 y d−1 + b = 0, d ≥ Từ thực tế, phần tử không củaf (0, y) phần tử cô lập, nên ta giả sử miền |y| < ε f (0, y) không chứa phần tử khơng y = Do ta giả sử đường trịn |y| = ε có |f (0, y)| ≥ c > Do đó, với ρ đủ nhỏ, ρ > 0, |x| < ρ |y| = ε ta suy f (x, y) ≥ c/2 > LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Bổ đề 1.1.2 Với điều kiện với |x| < ρ f (x, y) hàm theo y có số khơng điểm miền |y| < ε Chứng minh Bổ đề suy trực tiếp từ nguyên lý argument giải tích phức Do với x cố định (|x| < ε) giả sử yν (x)(ν = 1, d) d không điểm củaf (x, y) = 0, ta xây dựng đa thức: w(x, y) = d ν=1 (y − y0 (x)) = y d + + a1 (x)y d−1 + + ad (x) đó: a1 (x) = − d µ=1 yµ (x) a2 (x) = − d 1