Một phân tích tri thức luận lịch sử phép đẳng cấu nhóm trong đại số trừu tượng

Đẳng cấu và đồng cấu là hai trong số những chủ đề trung tâm của đại số trừu tượng. Về mặt hình thức, một đẳng cấu là một song ánh, và về mặt phi hình thức, là một ánh xạ bảo toàn tập hợp và các mối quan hệ giữa các phần tử. Bài viết này trình bày một phân tích tri thức luận lịch sử làm rõ quá trình hình thành và phát triển của khái niệm đẳng cấu nhóm và xác định các đặc trưng tri thức luận của đối tượng này.

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SÀI GỊN SAIGON UNIVERSITY TẠP CHÍ KHOA HỌC SCIENTIFIC JOURNAL ĐẠI HỌC SÀI GÒN OF SAIGON UNIVERSITY Số 75 (03/2021) No 75 (03/2021) Email: tcdhsg@sgu.edu.vn ; Website: http://sj.sgu.edu.vn/ MỘT PHÂN TÍCH TRI THỨC LUẬN LỊCH SỬ PHÉP ĐẲNG CẤU NHÓM TRONG ĐẠI SỐ TRỪU TƯỢNG A historically epistemological analysis of group isomorphism in abstract algebra TS Nguyễn Ái Quốc Trường Đại học Sài Gịn TĨM TẮT Đẳng cấu đồng cấu hai số chủ đề trung tâm đại số trừu tượng Về mặt hình thức, đẳng cấu song ánh, mặt phi hình thức, ánh xạ bảo toàn tập hợp mối quan hệ phần tử Bài báo trình bày phân tích tri thức luận lịch sử làm rõ trình hình thành phát triển khái niệm đẳng cấu nhóm xác định đặc trưng tri thức luận đối tượng Từ khóa: đặc trưng tri thức luận, đẳng cấu, đồng cấu, nhóm, phân tích tri thức luận ABSTRACT Isomorphism and homomorphism are two of the central topics to abstract algebra Formally, an isomorphism is bijective morphism Informally, an isomorphism is a map that preserves sets and relations among elements This paper presents a historically epistemological analysis that clarifies the emergence and development of the concept of group isomorphism and determines the epistemological characteristics of this knowledge object Keywords: epistemological characteristic, isomorphism, homomorphism, group, epistemological analysis G có cạnh từ 𝑓(𝑢) đến 𝑓(𝑣) H Theo nhà đại số, đẳng cấu đồng cấu hai số chủ đề trung tâm đại số trừu tượng [1] Đối với nhà tốn học có kinh nghiệm, đẳng cấu khái niệm đơn, thống nhất, đối tượng Tuy nhiên, sinh viên (SV) lần tiếp cận khái niệm học phần đại số trừu tượng hiểu điều Đối với họ, đẳng cấu khái niệm phức tạp phức hợp, bao gồm kết nối với nhiều khái niệm khác, thân khái niệm họ hiểu phần Ví dụ, hiểu biết Đặt vấn đề 1.1 Sự cần thiết nghiên cứu phép đẳng cấu Phép đẳng cấu khái niệm tổng quát, xuất số lĩnh vực toán học Trong Giải tích, phép biến đổi Laplace ánh xạ đẳng cấu đưa phương trình vi phân phức tạp thành phương trình đại số đơn giản; đẳng cấu hai khơng gian Hilbert song ánh bảo tồn phép cộng phép nhân vô hướng Trong lý thuyết đồ thị, đẳng cấu hai đồ thị G H ánh xạ 𝑓 từ nút G đến nút H bảo toàn “cấu trúc cạnh” theo nghĩa có cạnh từ nút u đến nút v Email: nguyenaq2014@gmail.com 39 SCIENTIFIC JOURNAL OF SAIGON UNIVERSITY No 75 (03/2021) đẳng cấu nhóm liên quan đến hiểu biết khái niệm nhóm, hàm số phép lượng hóa Ngược lại, học đẳng cấu hội để họ củng cố hiểu biết khái niệm liên quan 1.2 Tờn tại những khó khăn sai lầm của sinh viên tiếp cận đẳng cấu nhóm Tháng 10 năm 2019, vấn khảo sát nhỏ tiến hành SV, mà chúng tơi mã hóa A, B, C, D, E, năm thứ ngành Tốn Trường Đại học Sài Gịn Trường Đại học Khoa học Tự nhiên khái niệm đẳng cấu nhóm Các SV kết thúc học phần Đại số đại cương cuối năm thứ hai với thời lượng 60 tiết, diễn 15 tuần Mục đích khảo sát tìm hiểu khó khăn sai lầm SV đẳng cấu nhóm sau học xong học phần Nội dung thực nghiệm gồm ba câu hỏi: Câu Anh/Chị cho biết đồng cấu nhóm gì? Hãy cho ví dụ đồng cấu nhóm Câu Anh/Chị cho biết đẳng cấu nhóm gì? Hãy cho ví dụ đẳng cấu nhóm Câu Cho hai nhóm Z5 5Z Có thể thiết lập đẳng cấu hai nhóm cho khơng? Tại sao? Có thể thiết lập đồng cấu hai nhóm cho không? Tại sao? Câu trả lời mong đợi: Đối với câu 1, SV nêu đồng cấu nhóm phép bảo tồn cấu trúc nhóm nhóm ban đầu nhóm thứ hai, đưa trường hợp đồng cấu nhóm Đối với câu 2, SV nêu phép đẳng cấu nhóm ánh xạ bảo tồn cấu trúc nhóm nhóm thứ nhóm thứ hai ngược lại, nghĩa hai nhóm giống mặt cấu trúc SV phải viết phép đẳng cấu đồng cấu, song ánh, ánh xạ ngược đẳng cấu Trong câu hỏi này, SV đưa trường hợp đẳng cấu nhóm Đối với câu 3, SV cần hai nhóm cho khơng số khơng thể thiết lập song ánh, khơng thể đẳng cấu Tuy nhiên, SV thiết lập phép đồng cấu hai nhóm, chẳng hạn đồng cấu tầm thường Kết thực nghiệm cho thấy: Đối với câu hỏi 1, bốn SV A, C, D, E trả lời định nghĩa, “đồng cấu nhóm ánh xạ f từ nhóm thứ G sang nhóm thứ hai H cho ảnh tích hai phần tử tùy ý G tích hai ảnh hai phần tử H” Khi hỏi nghĩa đẳng thức 𝑓(𝑎 ∗ 𝑏) = 𝑓(𝑎) 𝑓(𝑏) ba SV A, C, D nói khơng biết, SV E B cho biết đồng cấu ánh xạ bảo toàn phép tốn nhóm ban đầu nhóm thứ hai Về u cầu cho ví dụ đồng cấu, SV B đưa đồng cấu: 𝑓: (𝑍, +) → (𝑚𝑍, +): 𝑓(𝑎) = 𝑚𝑎, 𝑎 ∈ (𝑍, +), 𝑚𝑎 ∈ (𝑚𝑍, +), 𝑚 ∈ 𝑍 Đối với câu hỏi 2, năm SV trả lời rằng: “đẳng cấu nhóm đồng cấu nhóm song ánh hai tập hợp” Khi hỏi nghĩa đẳng cấu nhóm gì, bốn SV A, C, D, E trả lời hai nhóm có số phần tử mà không đề cập đến mối quan hệ cấu trúc hai nhóm đẳng cấu Chỉ SV B trả lời hai nhóm đẳng cấu hai nhóm “tương đương nhau” mặt cấu trúc, hỏi gọi “tương đương nhau” SV B nói “vì ký hiệu 𝐺 ≅ 𝐻” Đây câu trả lời gián tiếp (với việc viện đến ký hiệu), không cho thấy cách hiểu SV mệnh đề “tương đương mặt cấu trúc” Về yêu cầu cho ví dụ đẳng cấu, bốn SV A, C, D, E không đưa ánh xạ đẳng cấu 40 NGUYỄN ÁI QUỐC TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐẠI HỌC SÀI GÒN SV B sử dụng lại đồng cấu nêu câu hỏi 1, chứng minh song ánh, thành công Đối với câu hỏi 3, tất SV cho Z5 5Z khơng đẳng cấu với có số khác nhau, khơng thể thiết lập đẳng cấu hai nhóm Riêng SV B cố gắng trình bày bảng Cayley đóng cho Z5 bảng Cayley khơng đóng cho 5Z, thấy số nhóm 5Z lớn số nhóm Z5 Về phần thiết lập đồng cấu Z5 5Z, SV C, D, E không đưa đồng cấu SV A tuyên bố thiết lập đồng cấu, SV B đưa đồng cấu tầm thường 𝑓: 𝑍5 → 5𝑍: 𝑓(𝑥) = 0, ∀𝑥 ∈ 𝑍5 Kết thực nghiệm cho thấy 4/5 SV không hiểu nghĩa khái niệm đồng cấu nhóm đẳng cấu nhóm Họ ghi nhớ định nghĩa tường minh đồng cấu nhóm đẳng cấu nhóm, mà khơng nhận nghĩa bảo tồn cấu trúc nhóm ban đầu nhóm thứ hai qua phép đồng cấu, hai nhóm đẳng cấu xem một, hay nói cách khác nhóm nhóm Việc thiết lập ánh xạ đồng cấu kiểu nhiệm vụ khó khăn cho SV họ thiết lập ánh xạ đồng cấu tầm thường hai nhóm Một ghi nhận lý thú SV xem xét số hai nhóm có không trước cố gắng thiết lập đẳng cấu Như họ nhấn mạnh đặc trưng “song ánh” dường có khó khăn việc hiểu đặc trưng “bảo tồn phép tốn”, hay “bảo tồn cấu trúc” Việc không hiểu nghĩa không xây dựng ánh xạ đồng cấu cho thấy tồn khó khăn SV tiếp cận khái niệm đồng cấu nhóm đẳng cấu nhóm Khó khăn có nguồn gốc từ đâu ? Để trả lời câu hỏi này, phân tích tính đến tìm hiểu đặc trưng tri thức luận khái khái niệm bàn đến Đó nghiên cứu mà chúng tơi thực viết Đồng cấu đẳng cấu nhóm Thuật ngữ “đẳng cấu nhóm” dẫn xuất từ tiếng Hy Lạp “iso”, nghĩa “bằng nhau”, “morphosis”, nghĩa “hình thành” hay “tạo hình dáng” Định nghĩa đồng cấu nhóm: “Một phép đồng cấu hai nhóm định nghĩa sau: “Cho (G, *) (H, ) hai nhóm Một ánh xạ 𝜑: 𝐺 → 𝐻 cho 𝜑: (𝑥 ∗ 𝑦) = 𝜑(𝑥) 𝜑(𝑦) với 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐺 gọi phép đồng cấu” [2] “Khi phép toán nhóm G H khơng viết rõ ràng, điều kiện đồng cấu trở thành đơn giản 𝜑(𝑥𝑦) = 𝜑(𝑥)𝜑(𝑦)…” [2] “Một ánh xạ 𝜑: 𝐺 → 𝐻 gọi phép đẳng cấu G H gọi đẳng cấu viết 𝐺 ≅ 𝐻, nếu: (1) 𝜑 đồng cấu (nghĩa 𝜑(𝑥𝑦) = 𝜑(𝑥)𝜑(𝑦)), (2) 𝜑 song ánh” [2] Như vậy, phép đồng cấu ánh xạ bảo tồn cấu trúc nhóm nguồn nhóm thứ đích Nó khơng địi hỏi nhóm nguồn đích có số Ln tồn đồng cấu nhóm, chẳng hạn đồng cấu tầm thường, phần tử G ánh xạ cho tương ứng với phần tử đơn vị H Hai nhóm G H đẳng cấu có song ánh chúng bảo tồn phép tốn nhóm Về mặt trực giác, G H xem một, phần tử phép tốn viết khác G H Do tính chất mà G có, phụ thuộc vào cấu trúc nhóm 41 SCIENTIFIC JOURNAL OF SAIGON UNIVERSITY No 75 (03/2021) G, (chẳng hạn tính chất giao hốn nhóm), có H Lưu ý điều thức minh giải cho việc viết tất phép tốn nhóm “.”, việc thay đổi ký hiệu phép tốn khơng làm thay đổi cấu trúc nhóm Nghiên cứu tri thức luận lịch sử khái niệm đẳng cấu 3.1 Nghiên cứu tri thức luận lịch sử tri thức “Nghiên cứu (hay phân tích) tri thức luận” sử dụng theo nghĩa thuật ngữ étude épistémologique, analyse épistémologique tiếng Pháp “Étude épistémologique nghiên cứu điều kiện cho phép nảy sinh tri thức (đối với chúng tơi tri thức tốn học), quan tâm đến tiến triển tri thức hay kiến thức Ở thuật ngữ tiến triển hiểu theo nghĩa rộng nhất: liên quan đến biến đổi tình trạng kiến thức hệ thống, thể chế hay cá thể Hơn thế, ý không đến tư tưởng tiến mà cịn đến trì trệ, bước lùi” [3] Nghiên cứu tri thức luận cho phép làm rõ: - Ý nghĩa tri thức, toán, vấn đề mà tri thức cho phép giải quyết; - Những trở ngại cho hình thành tri thức; - Những điều kiện sản sinh tri thức, bước nhảy cần thiết quan niệm để thúc đẩy trình hình thành phát triển tri thức [4] Phân tích tri thức luận lịch sử tri thức phân tích q khứ để khám phá mị mẫm, lệch lạc, chướng ngại khác nhau, điều kiện cho phép xuất khái niệm khoa học Trong phân tích tri thức luận lịch sử, điều kiện cho nảy sinh phát minh quan trọng khơng thân phát minh Phân tích giúp ta hiểu đầy đủ tiến triển tri thức, từ hiểu rõ tượng dạy học tri thức bàn đến [4, p 20] 3.2 Phân tích tri thức luận lịch sử khái niệm đẳng cấu Quá trình hình thành, phát triển khái niệm đồng cấu, đẳng cấu nhóm Đại số trừu tượng có mối liên hệ mật thiết với nhận thức tính tương tự cấu trúc ngồi tốn học, nghiên cứu tinh thể học, với lịch sử hình thành lý thuyết nhóm liên quan đến Đại số cổ điển, nhóm hốn vị, giải phương trình đại số Tính tương tự Gottfried W Leibniz Lịch sử toán học tràn đầy ví dụ khám phá tương tự “cấu trúc”, chẳng hạn nghĩ đến lớp tương đương lý thuyết số học Gauss, định lý đối ngẫu hình học xạ ảnh Khái niệm “đẳng cấu” định nghĩa thức “Chuyên luận phép phương trình đại số”1 Jordan vào năm 1870, xem thành tựu đỉnh cao hai trục phát triển lý thuyết nhóm hốn vị, Galois, Cauchy, tạo nên giao hưởng chủ đề lớn đại số cổ điển Tuy nhiên, khái niệm tổng quát đẳng cấu nhận thức lần Leibniz thông qua ý tưởng tính tương tự : Khi xác định rõ “sự phù hợp” nhánh khác toán học mà Descartes nói, Leibniz lần thực tế, thống thấy khái niệm tổng quát đẳng cấu mà ông gọi “tính tương tự” khả “xác định” quan hệ phép toán đẳng cấu với nhau; ông đưa ví dụ phép cộng nhân Nhưng quan điểm táo bạo 42 NGUYỄN ÁI QUỐC TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐẠI HỌC SÀI GỊN khơng có tiếng vang người thời với ông, người ta phải chờ đợi mở rộng Đại số diễn vào kỷ 19 để thấy khởi đầu việc thực ước mơ Leibniz Nhưng với khái niệm đại cấu trúc, cuối người ta nhận cấu trúc mang khái niệm đẳng cấu, không cần thiết phải đưa định nghĩa đặc biệt đẳng cấu cho loại cấu trúc [5] Năm 1927, Hermann Weyl, nhân vật quan trọng khác toán học kỷ 20, tuyên bố “các miền đẳng cấu có thể được xem là có cùng cấu trúc” Nhân tiện sách “Sự đối xứng”2 (1952), Weyl dường gán cho Leibniz nguồn gốc liên kết cấu trúc đẳng cấu: Một phép biến đổi bảo tồn cấu trúc khơng gian nhà tốn học gọi tự đẳng cấu Leibniz nhận ý tưởng dựa khái niệm hình học đồng dạng” [6] Nhưng định nghĩa Leibniz khái niệm tính tương tự đưa Bourbaki, xác định mối quan hệ phép tốn, lại khơng trùng khớp với định nghĩa đưa Weyl Về định nghĩa tính tương tự theo nghĩa xác định mối quan hệ phép toán Leibniz, Bourbaki đề cập đến trang 301-303 sách “Logic Leiniz”3 Louis Couturat, mà Couturat phân tích hai phần Trong phần mang tên “Matheseos Universalis Pars prior”, Leibniz đề xuất biểu diễn cho “tính tương tự”, hình thức hai mối quan hệ, ký hiệu mới: “Ngoài ký hiệu tỷ lệ tỷ số, thêm ký hiệu cho mối quan hệ nói chung Theo cách đơn giản nhất, cho biết tỷ lệ lớp quan hệ (loại quan hệ) Từ đó, ngồi đẳng thức, tơi có ký hiệu tính tương tự “~” Ví dụ, có: 𝑎2 − 𝑏 = 𝑐 𝑙 − 𝑚2 = 𝑛2 , có: 𝑎 ; 𝑏 ; 𝑐 ∽ 𝑙 ; 𝑚 ; 𝑛, nghĩa nói: quan hệ a, b, c có mối quan hệ tương ứng với l, m, n” [7] Couturat bình luận phần thứ hai Leibniz lần nhận thức “tính tương tự” đồng hình thức, phép tốn khác nhau, cho phép trao đổi chúng với nhau: Khơng có trở ngại để đổi chỗ hai phép toán khác tương tự kết hợp với nhau, thấy theo cách chúng không phân biệt, mà chuyển đổi theo cách khác Do đó, ab + cd tương ứng với (a + b) (c + d) biểu diễn phép nhân “+”, phép cộng “.” [8] Hai phân tích Couturat cho thấy khơng phải Leibniz có ý tưởng dù chưa rõ ràng khái niệm đẳng cấu tổng quát, nghiên cứu ông hướng tới chủ nghĩa biểu tượng hình thức tốn học Nó tảng cho phát triển khái niệm đẳng cấu, phát triển thực nhiều thời gian Các đối tượng toán học khác thực kết nối, xem xét tính đồng hình thức mối quan hệ phép toán đối tượng Vào tháng năm 1677, Leibniz viết cho Jean Gallois, giám đốc tạp chí Journal des Savants thư, ơng giải thích định nghĩa tính tương tự mình: Sau xem xét kỹ, tơi nhận hai vật hồn tồn tương tự chúng không nhận dạng cách khác compresence4 Đề xuất quan trọng siêu hình, hình học giải tích Và dù theo 43 SCIENTIFIC JOURNAL OF SAIGON UNIVERSITY No 75 (03/2021) hiểu biết tốt tơi, khơng cơng bố [9] Từ thời điểm đó, Leibniz lặp lặp lại ông sở hữu khái niệm, “tương tự”, mà việc sử dụng khơng liên quan đến tốn học mà cịn tất khía cạnh định tính thực tế Hai vật nói “tương tự” “chúng phân biệt nhìn thấy tách biệt với nhau” Chẳng hạn, xem xét hai vòng tròn, lớn nhỏ Leibniz nói chúng “tương tự”, vì: “Chúng khơng thể phân biệt ngoại trừ ta nhìn thấy chúng lúc, với cách ta thấy rõ lớn Bạn phản đối: hơm đo này, ngày mai đo kia, tơi phân biệt chúng khơng nhìn thấy hai lúc với Nhưng tơi nói cách nhận thức rõ chúng khơng phải trí nhớ, mà compresence5: phép đo vịng trịn khơng có trí nhớ bạn” [9] Đẳng cấu Eilhard Mitscherlich Từ “đẳng cấu” sử dụng lần nhà hóa học người Đức Eilhard Mitscherlich vào khoảng năm 1819 Ông quan sát thấy chất với tính chất khác kết tinh theo cách gần giống hệt nhau, mà ông gọi “đẳng cấu”, có số chất hóa học tương tự đơi kết tinh thành dạng khác mà ông gọi “lưỡng hình” Do đó, dạng tinh thể chất thành phần hóa học khơng trùng khớp Các SV Hẵy, nhà khống vật học Beudant, nghi ngờ kết luận khoa học hình học người Đức dựa so sánh tương đồng để phát triển: “Từ đẳng cấu hiểu theo nghĩa chặt chẽ, thường ám phép so sánh” [10] Nhưng luận điểm Mitscherlich hỗ trợ đặc biệt nhà hóa học tiếng người Thụy Điển Berzelius, người xem chúng cách để củng cố lý thuyết điện hóa tổ hợp Theo lý thuyết này, chất khác sở hữu nhóm nguyên tử tương tự, với điều kiện tổ hợp hóa học kết nối ngun tử có điện tích trái dấu Năm 1836, nhà hóa học Auguste Laurent trở lại giả thuyết này, cách đề xuất phép hợp chất hóa học diễn độc lập với điện tích nguyên tử Lần này, Berzelius người phản đối, tin phép chống lại lực điện Nhưng Laurent chí tưởng tượng đại diện hình học khả thay này: lăng trụ giống nhau, dạng nguyên thủy (hạt nhân), tìm thấy loại hợp chất khác cho phép phép thay khác tinh thể học Điều đáng ý khái niệm đẳng cấu hóa học thành lập Mitscherlich không định nghĩa theo thuật ngữ logic hay tốn học xác: trộn lẫn số khía cạnh có dạng tinh thể với chất khác (phép đồng phôi); khả cho hai tinh thể tạo thành tinh thể đơn (kết tinh); thực tế có thành phần hóa học tương tự, ngoại trừ số thay nguyên tố gần gũi mặt hóa học Mãi sau này, quy tắc việc thiết lập danh tính phân bố tương đối vị trí bị chiếm giữ nguyên tử (sự đẳng cấu cấu trúc) phát Tuy nhiên, thấy rằng, từ năm 1820, trước có định nghĩa tốn học “chính thức” cấu trúc khái niệm đẳng cấu, có xu hướng suy nghĩ liên quan mật thiết đến khoa học động lực 44 NGUYỄN ÁI QUỐC TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐẠI HỌC SÀI GÒN học Đức phản ánh cách nguyên tắc định tổ chức tự bảo toàn chúng thơng qua phép biến đổi Lý thuyết nhóm liên quan đến Đại số cổ điển, nhóm hốn vị, giải phương trình đại số Năm 1770, Lagrange viết luận văn “Suy nghĩ lời giải phương trình đại số”6, vấn đề lớn đại số tập trung vào phương trình đa thức Chẳng hạn, có câu hỏi mang tính lý thuyết liên quan đến tồn chất nghiệm như: “Mọi phương trình có nghiệm?”, “Có nghiệm?”, “Chúng nghiệm thực, phức, dương, âm?”, câu hỏi mang tính thực hành liên quan với phương pháp xác phương pháp gần tìm nghiệm [11] Khoảng 1600 trước Công nguyên, người Babylon cổ đại biết cách giải phương trình bậc hai phương pháp lắp đầy hình vng Các phương pháp đại số để giải phương trình bậc ba bậc bốn đưa vào khoảng năm 1540 Một toán lớn hai kỷ nghiệm đại số phương trình bậc năm Đây nhiệm vụ Lagrange đặt cho báo năm 1770 Trong báo này, Lagrange trước tiên phân tích phương pháp khác biết, phát minh Viète, Descartes, Euler Bezout, để giải phương trình bậc ba bậc bốn Ông đặc điểm chung phương pháp giảm bậc phương trình ban đầu thành phương trình phụ, gọi phương trình giải thức7 Các phương trình phụ có bậc nhỏ phương trình ban đầu bậc Tiếp theo, Lagrange cố gắng phân tích tương tự phương trình đa thức có bậc tùy ý n Với phương trình thế, ơng liên kết với phương trình giải thức sau: Cho 𝑓(𝑥) = phương trình đa thức bậc n, với nghiệm 𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 , … , 𝑥𝑛 Chọn hàm hữu tỷ 𝑅(𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 , … , 𝑥𝑛 ) nghiệm hệ số 𝑓(𝑥) (Lagrange mô tả phương pháp cụ thể để làm việc này) Xem xét giá trị khác mà ta giả định 𝑅(𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 , … , 𝑥𝑛 ) nhận với 𝑛! hoán vị nghiệm 𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 , … , 𝑥𝑛 𝑓(𝑥) Nếu giá trị ký hiệu 𝑦1 , 𝑦2 , 𝑦3 , … , 𝑦𝑘 , phương trình giải thức cho 𝑔(𝑥) = (𝑥 − 𝑦1 ) (𝑥 − 𝑦2 ) … (𝑥 − 𝑦𝑘 ) [11, p 19] Điều quan trọng cần lưu ý hệ số 𝑔(𝑥) hàm đối xứng theo 𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 , … , 𝑥𝑛 , chúng đa thức theo hàm sơ cấp đối xứng 𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 , … , 𝑥𝑛 ; nghĩa chúng đa thức theo hệ số phương trình ban đầu 𝑓(𝑥) = Lagrange chứng tỏ k chia hết 𝑛! Đây nguồn gốc định lý Lagrange lý thuyết nhóm Chẳng hạn, 𝑓(𝑥) = phương trình bậc bốn với nghiệm 𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 , 𝑥4 , 𝐑(𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 , 𝑥4 ) xem 𝑥1 𝑥2 + 𝑥3 𝑥4 , hàm số giả định nhận ba giá trị phân biệt 24 hoán vị 𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 , 𝑥4 Vì thế, phương trình giải thức phương trình bậc bốn phương trình bậc ba Tuy nhiên, tiến hành phân tích cho phương trình bậc năm, Lagrange tìm phương trình giải thức bậc sáu [11] Mặc dù không thành công việc giải vấn đề khả giải thức phương trình bậc năm, cơng trình Lagrange cột mốc quan trọng Đây lần liên kết thực cách giải phương trình đa thức hốn vị nghiệm Trong thực tế, nghiên cứu 45 SCIENTIFIC JOURNAL OF SAIGON UNIVERSITY No 75 (03/2021) hoán vị nghiệm phương trình tảng lý thuyết tổng quát Lagrange phương trình đại số Ơng suy đốn điều hình thành nên nguyên tắc thực cách giải phương trình” Mặc dù Lagrange nói hốn vị mà khơng xem xét “tính tốn” hốn vị (ví dụ, khơng xem xét phép tốn tính đóng chúng), nói mầm mống khái niệm nhóm nhóm hốn vị diện cơng trình ông Galois người sử dụng thuật ngữ “nhóm” để biểu thị tập hợp hốn vị đóng theo phép nhân: “Nếu có phép S T nhóm, người ta chắn có thay ST” Ơng nhận tính chất quan trọng phương trình đại số phản ánh tính chất định nhóm có liên quan với phương trình, gọi “nhóm phương trình” Để mơ tả tính chất này, ơng phát minh khái niệm nhóm chuẩn tắc sử dụng để có hiệu tuyệt vời [11] Trong vấn đề phương trình giải thức làm bận tâm Lagrange, Ruffini Abel, ý tưởng Galois bỏ qua chúng, việc xây dựng phương trình giải thức địi hỏi kỹ tuyệt vời không dựa phương pháp luận rõ ràng Thay vào đó, Galois lưu ý tồn phương trình giải thức tương đương với tồn nhóm chuẩn tắc có số ngun tố “nhóm phương trình” Cái nhìn sâu sắc chuyển xem xét từ phương trình giải thức sang nhóm phương trình nhóm Nghiên cứu Galois chậm hiểu sử dụng Trên thực tế, thực vào khoảng năm 1830, đến năm 1846 Liouville xuất Ngoài thành tựu kỹ thuật mình, Galois buộc phải phát triển cách chắn sau theo hai cách Một mặt, ơng phát định lý mà ông đưa chứng dựa khái niệm tính tốn xác định rõ ràng, nên tránh khỏi việc người kế nhiệm ông thấy cần phải lấp đầy khoảng trống Mặt khác, khơng đủ chứng minh tính đắn định lý này; chất chúng, cốt lõi lý thuyết nhóm chúng, phải trích xuất [12] Người đóng góp khác cho lý thuyết hoán vị nửa đầu kỷ XIX Cauchy Trong số báo lớn vào năm 1815 1844, ông mở đầu lý thuyết nhóm hốn vị chủ đề tự chủ động Trước Cauchy, hốn vị khơng phải đối tượng nghiên cứu độc lập mà phương sách hữu ích cho việc điều tra cách giải phương trình đa thức Mặc dù Cauchy nhận thức rõ cơng việc Lagrange Ruffini (cơng trình Galois chưa cơng bố vào thời điểm đó), ơng “chắc chắn không truyền cảm hứng trực tiếp cách trình bày lý thuyết nhóm đương đại vấn đề khả giải phương trình đại số” [12] Thành tựu đỉnh cao hai trục phát triển lý thuyết nhóm hốn vị, Galois, Cauchy, tạo nên giao hưởng chủ đề lớn, cơng trình quan trọng có ảnh hưởng lớn Jordan vào năm 1870: “Chuyên luận phép phương trình đại số”8 Mặc dù tác giả nêu lời nói đầu “mục đích tác phẩm để phát triển phương pháp Galois biến thành lĩnh vực nghiên cứu túy, cách với phương tiện giải tất vấn 46 NGUYỄN ÁI QUỐC TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐẠI HỌC SÀI GỊN đề lý thuyết phương trình”, thực tế lý thuyết nhóm, thân nhánh lý thuyết khả giải phương trình, hình thành nên đối tượng nghiên cứu trung tâm Sự cố gắng tổng hợp tốn học dựa ý tưởng đặc điểm bật nghiên cứu Jordan, số nhà toán học khác thời kỳ này, chẳng hạn Klein Khái niệm nhóm (hoán vị) dường cung cấp cho Jordan ý tưởng quan trọng Cách tiếp cận ông cho phép ơng trình bày thống kết Galois, Cauchy người khác Việc ông áp dụng khái niệm nhóm vào lý thuyết phương trình, hình học đại số, hàm siêu việt học lý thuyết phần chủ đề thống tổng hợp “Trong sách mình, Jordan băng qua tất hình học đại số, lý thuyết số lý thuyết hàm để tìm kiếm nhóm hốn vị thú vị” [13] Trong thực tế, mục tiêu ông khảo sát tất toán học theo lĩnh vực khác lý thuyết nhóm hốn vị áp dụng dường áp dụng “Tác phẩm đại diện đánh giá toàn toán học đương đại từ quan điểm xuất tư lý thuyết - nhóm dạng lý thuyết - hoán vị [12] Chuyên luận thể chất hầu hết ấn phẩm Jordan nhóm thời điểm (ơng viết 30 báo nhóm giai đoạn 1860 – 1880) hướng ý đến số lượng lớn vấn đề khó khăn, đưa nhiều khái niệm Ví dụ, ơng làm rõ khái niệm đẳng cấu đồng cấu cho nhóm (phép thế), lần đưa thuật ngữ “nhóm giải được” với ý nghĩa kỹ thuật, đưa khái niệm chuỗi hợp thành chứng minh phần định lý Jordan – Hölder, cụ thể số hai chuỗi hợp thành (khái niệm nhóm thương không công nhận rõ ràng thời điểm này); ông thực nghiên cứu kỹ lưỡng tính siêu việt tính nguyên thủy cho nhóm hốn vị, thu kết mà hầu hết số chưa thay Ông đưa chứng minh An đơn giản cho n> Theo lời Jordan, “Một nhóm  gọi đẳng cấu với nhóm G khác, ta thiết lập phép chúng tương ứng cho: 1 Mỗi phép G tương ứng với phép , phép  tương ứng với hay nhiều phép G; 2 Tích hai phép tùy ý G tương ứng với tích phép tương ứng chúng Phép đẳng cấu gọi mériédrique, nhiều phép G tương ứng với phép , gọi holoédrique trường hợp ngược lại” [14] Như vậy, “đẳng cấu mériédrique tương ứng với “đồng cấu” đại, “đẳng cấu holoédrique” tương ứng với “đẳng cấu” đại “Giả sử rằng, để cố định ý tưởng, G chứa m phép 𝑔1 , 𝑔2 , … , 𝑔𝑚 tương ứng với phép  nhóm  Cho  phép khác tùy ý , 𝑔′ phép G tương ứng với nó: 𝑔1−1 𝑔′ tương ứng với 𝛾 −1 𝛾′, m phép 𝑔′, 𝑔2 𝑔1−1 𝑔′ , …, 𝑔𝑚 𝑔1−1 𝑔′ tương ứng với 𝛾𝛾 −1 𝛾 ′ = 𝛾 Mỗi phép  có m phép tương ứng G, bậc  nhỏ bậc G m lần Nhóm  chứa phép I Cho ℎ1 , ℎ2 , … , ℎ𝑚 phép tương ứng G: chúng tạo thành nhóm mà phép G hốn vị Vì cho 𝑔 47 SCIENTIFIC JOURNAL OF SAIGON UNIVERSITY No 75 (03/2021) phép này,  phép tương ứng với nó: 𝑔−1 ℎ1 𝑔 có tương ứng 𝛾 −1 𝐼𝛾 = 𝐼: thuộc vào dãy ℎ1 , ℎ2 , … , ℎ𝑚 ” [14] Ngay sau trình bày định nghĩa phép đẳng cấu hai nhóm phép “Chuyên luận phép phương trình đại số” trang 56, Jordan đưa tốn xác định nhóm đẳng cấu với nhóm G phép cho trước Trong phần lời giải tốn, ơng chứng minh tốn quy thành việc xác định nhóm bắc cầu đẳng cấu với nhóm G Phép đẳng cấu nhóm tiếp tục Jordan nghiên cứu chương II “Các phép tuyến tính”, ơng nghiên cứu nhóm đẳng cấu với nhóm tuyến tính Một phần quan trọng chuyên luận dành cho nghiên cứu “nhóm tuyến tính” số nhóm nhỏ Theo thuật ngữ đại, chúng tạo thành nhóm gọi nhóm cổ điển, cụ thể nhóm tuyến tính tổng qt, nhóm đơn mơđula9, nhóm trực giao10 nhóm ngẫu đối11 Jordan xem xét nhóm miền hữu hạn, chứng minh tính đơn giản chúng số trường hợp định Tuy nhiên, cần lưu ý ơng lấy nhóm thành nhóm hốn vị thay nhóm ma trận biến đổi tuyến tính “Chuyên luận phép phương trình đại số” Jordan bước ngoặt phát triển lý thuyết nhóm Tuy nhiên, quan điểm lý thuyết – hốn vị ơng sớm bị vượt qua quan niệm nhóm nhóm phép biến đổi “Chuyên luận đánh dấu bước đột phá q trình tiến hóa ứng dụng khái niệm nhóm lý thuyết – hốn vị Đó biểu mong muốn sâu sắc Jordan để mang lại tổng hợp khái niệm tốn học thời đại Ơng cố gắng đạt tổng hợp cách dựa vào khái niệm nhóm hốn vị, mà giai đoạn phát triển toán học cho thấy bị hạn chế mức, tạo nên vinh quang hạn chế sách ông ” [12] Mériédrique Auguste Bravais Camille Jordan Về khái niệm đẳng cấu mériédrique mà Jordan định nghĩa tác phẩm “Chuyên luận phép phương trình đại số”, [10] lưu ý Jordan đề cập đến khái niệm medriedry tương ứng luận văn ơng nhóm chuyển động12, xem xuất lần đầu lý thuyết nhóm Ngay phần mở đầu luận văn, Jordan công khai thừa nhận ông mượn khái niệm từ nghiên cứu tinh thể học Auguste Bravais (1845-1851) Trong luận văn mình, Jordan nhắm đến việc phân loại “tất nhóm chuyển động có không gian ba chiều Euclide” phát số nhóm “lớn hơn” chứa nhóm “nhỏ hơn” khác Jordan gọi nhóm lớn “chính” nhóm nhỏ “meriedric” Đối với ơng, nhóm meriedric "chỉ chứa phần định chuyển động tạo thành nhóm chính" Cần phải nói nhóm lớn số tất nhóm nhóm tất chuyển động xoắn ốc13, tức nhóm tạo thành phép quay xung quanh trục, phép tịnh tiến cho trục [15] Về phần Bravais, bản, ông tạo khác biệt hai loại cấu trúc lớn: “cấu trúc phân tử” “cấu trúc tinh thể” hai loại nhóm lớn Cấu trúc phân tử xếp đa diện “các thành phần phân tử” [16] bao quanh trọng tâm phân tử Nói 48 NGUYỄN ÁI QUỐC TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐẠI HỌC SÀI GỊN cách khác, mơ hình lặp lại định kỳ bên tinh thể Bravais lập mục tất đối xứng có “các khối đa diện phân tử” này, điểm cố định đếm 32 lớp nhóm tinh thể Ngồi cấu trúc “cụ thể” khối đa diện phân tử, Bravais tưởng tượng cấu trúc “trừu tượng” mạng tinh thể (mà ơng gọi mạng lưới hai chiều, lắp ráp ba chiều), trọng tâm khối đa diện phân tử khác phân bố Lần này, Bravais khơng tính đến hình dạng khối đa diện Ông gọi cấu trúc tinh thể "sự xếp tương đối các trọng tâm các phân tử các thể kết tinh" phát 14 cấu trúc mạng tinh thể Bravais tự hỏi làm “sự tương ứng”, “sự chủn đổi” tính chất đối xứng xảy hai cấu trúc, phân tử tinh thể: Vì với cấu trúc phân tử định có cấu trúc tinh thể tương đối tương ứng, tính đối xứng phân tử xác định cấu trúc tập hợp tinh thể Chúng tơi tạm thời tính đối xứng phân tử có xu hướng truyền đến tập hợp tinh thể mà hình thành [16] Như Bravais lưu ý, tương ứng đơi “chính xác”, “đầy đủ” đơi “khơng xác”, “khơng đầy đủ” Nếu “đầy đủ”, có “đẳng cấu holdrique”; khơng, có “đẳng cấu mériédrique” theo nghĩa mạng trừu tượng có nhiều phép đối xứng mơ hình cụ thể (khối đa diện phân tử) mà chứa Trong ấn phẩm “Chuyên luận phép phương trình đại số” (1870), Jordan chấp nhận ý tưởng Bravais đẳng cấu phần chuyển đổi tính chất định từ nhóm phép biến đổi sang nhóm khác Trong động thái cuối in dấu từ vựng tốn học, ơng đưa vào từ tinh thể học khái niệm đẳng cấu toàn hay đẳng cấu phần vào định nghĩa đẳng cấu nhóm Theo Jordan, cấu trúc tinh thể phản ánh hồn tồn phần tính chất mạng tinh thể mà có liên quan Theo tư tưởng đó, Jordan cho xét hai nhóm người ta chuyển phần hay tồn tính chất phép tốn nhóm sang tính chất phép tốn nhóm Ơng nói thêm: “khái niệm đẳng cấu thường hữu ích, tính tương tự tính chất mà nhóm đẳng cấu diện chúng Do đó, nhiều trường hợp ta thay việc xem xét trực tiếp nhóm việc xem xét nhóm đẳng cấu với nó” 3.3 Quan niệm gắn liền với khái niệm đẳng cấu Từ kết phân tích phần 3.2, cho phép xác định quan niệm ảnh hưởng đến trình hình thành khái niệm đẳng cấu nhóm sau: Quan niệm trừu tượng lý thuyết nhóm mà nhà tốn học cố gắng xây dựng bao gồm Lagrange, Gausse, Abel, Galois, Cauchy, Ruffini Quam niệm đẳng cấu tinh thể học Bravais ảnh hưởng đến tư tưởng Jordan thể định nghĩa đẳng cấu nhóm ơng 3.4 Đặc trưng tri thức luận của khái niệm đẳng cấu Các kết phân tích phần 3.2 cho phép xác định đặc trưng tri thức luận khái niệm đẳng cấu: Đặc trưng tính tương tự Leibniz Đặc trưng bảo toàn cấu trúc Đặc trưng đồng dạng hình học 49 SCIENTIFIC JOURNAL OF SAIGON UNIVERSITY No 75 (03/2021) Đặc trưng ánh xạ: toàn ánh, song ánh, ánh xạ ngược Đặc trưng số nhóm Đặc trưng trừu tượng nhóm 3.5 Chướng ngại tri thức luận Từ kết phân tích lịch sử hình thành khái niệm đẳng cấu nhóm, xác định chướng ngại tri thức luận đẳng cấu nhóm là: Chướng ngại tích hợp nhiều khái niệm toán học định nghĩa đồng cấu đẳng cấu: ánh xạ, song ánh, đơn ánh, tồn ánh, nhóm, hệ thức bảo tồn cấu trúc Chướng ngại trừu tượng hóa: đẳng cấu nhóm gắn liền với tính trừu tượng nhóm tính trừu tượng đồng dạng cấu trúc nhóm Các chướng ngại SV phải đương đầu tiếp cận khái niệm đẳng cấu nhóm học phần Đại số đại cương Giả thuyết nghiên cứu Từ kết phân tích tri thức luận với hai khó khăn xác định thực nghiệm khảo sát SV: - Khơng hiểu tính bảo toàn cấu trúc phép đồng cấu đẳng cấu - Không xây dựng ánh xạ đồng cấu đẳng cấu hai nhóm Chúng tơi xây dựng giả thuyết H khó khăn SV lần đầu tiếp cận khái niệm đẳng cấu sau: Tồn các khó khăn việc xây dựng phép đẳng cấu hai nhóm SV lần tiếp cận tri thức đẳng cấu nhóm Các khó khăn này có nguồn gốc từ hai chướng ngại tri thức luận: chướng ngại về sự tích hợp nhiều khái niệm toán học định nghĩa đẳng cấu, và chướng ngại về sự trừu tượng khái niệm nhóm như sự đồng cấu trúc Kết luận Ý tưởng đẳng cấu có khởi nguồn hình thành trước tiên nhận thức tính tương tự đối tượng tốn học ngồi tốn học Leibniz, từ nhận thức tính đồng dạng hình học mạng tinh thể tập hợp tinh thể Bravais, từ nhận thức tính đồng dạng hình học tinh thể chất hóa học Mitscherlich, từ nhận thức đồng cấu trúc nhóm lý thuyết nhóm trừu tượng Jordan Jordan tổng hợp tất ý tưởng lớn lý thuyết nhóm Lagrange, Galois, Cauchy, với ý tưởng Leibniz, Bravais tính tương tự cấu trúc tinh thể để sáng tạo khái niệm đồng cấu đẳng cấu nhóm Sự đẳng cấu nhóm cho phép nhà tốn học thay xem xét cụ thể tính chất nhóm xem xét nhóm đẳng cấu với nhóm ban đầu Chú thích: Treatise on Substitutions and Algebraic Equations Symmetry La logique de Leibniz Trong triết học, compresence diện đồng thời với hai đặc tính hai tính chất Sự diện đồng thời với hai đặc tính hai tính chất “Reflections on the solution of algebraic equations” Một phương trình giải thức phương trình đại số 𝑓(𝑥) = bậc n phương trình 𝑔(𝑦) = 0, với hệ số phụ thuộc vào hệ số 𝑓(𝑥), cho nghiệm phương trình biết, nghiệm 𝑥1 , … , 𝑥𝑛 phương trình 𝑓(𝑥) = cho trước tìm cách giải phương trình đơn giản có bậc khơng vượt q n Một biểu thức hữu tỷ 𝑦 = 𝑦(𝑥1 , … , 𝑥𝑛 ) gọi phương trình giải thức (Encyclopedia of Mathematics) 50 NGUYỄN ÁI QUỐC TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐẠI HỌC SÀI GỊN Treatise on Substitutions and Algebraic Equations Unimodular group 10 Orthogonal group 11 Symplectic group 12 Group of mouvements 13 Helicoidal motion TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Melhuish K, “Determining what to assess: a methodology for concept domain analysis as applied to group theory”, 15th Annual Conference on Research in Undergraduate Mathematics Education, 736-744, 2015 [2] Dummit D S, Foote R M, Abstract Algebra (3rd ed.), Hoboken, NJ: Wiley, 2004 [3] Dorier J L, “Recherches en histoire et en didactique des mathématiques sur l'algèbre linéaire - Perspective théorique sur leurs interactions”, Docteur en sciences de l'Homme et Société, majeure en education Mathématiques, Université Joseph-Fourier - Grenoble I, 1997 [4] Lê Thị Hồi Châu, “Sự cần thiết phân tích tri thức luận nghiên cứu hoạt động dạy học đào tạo giáo viên”, Hội thảo quốc tế về Didactic Toán lần thứ 6, 2017 [5] Bourbaki N, “Theorie des ensembles” in Elements de mathematique: Les structures fondamentales de l'analyse, Paris: Hermann, 1957 [6] Weyl H, Symmetry, Princeton: Princeton University Press, 1980 [7] Leibniz G.W, "Matheseos universalis", Pars prior, 7, 53-76, 1971 [8] Leibniz G.W, “Lingua rationalis”, Philosophische Schriften, 28-30, 1960 [9] Leibniz G.W, Gottfried W, Paul R, Sämtliche schriften und briefe, Berlin: AkademieVerlag, 1950 [10] Timmermans B, “Prehistory of the concept of mathematical structure: Isomorphism between group theory, crystallography and philosophy”, The Mathematical Intelligencer, 34(3), 41-54, 2012 [11] Kleiner I, A History of Abstract Algebra Secaucus, United States: Birkhäuser Boston Inc, 2007 [12] Wussing H, The genesis of the abstract group concept: a contribution to the history of the origin of abstract group theory, Courier Corporation, 2007 [13] Klein F, “Development of Mathematics in the 19th Century: Appendices", in Kleinian Mathematics from an Advanced Standpoint, Math Science Press, 1979, 1–361 [14] Jordan M C, Traité des substitutions et des équations algébriques, Gauthier-Villars, 1870 [15] Jordan M C, Œuvres de Camille Jordan, Gauthier-Villars, 1964 [16] Bravais A, Études cristallographiques, Bachelier, 1851 Ngày nhận bài: 10/6/2020 Biên tập xong: 15/3/2021 51 Duyệt đăng: 20/3/2021 ... trưng số nhóm Đặc trưng trừu tượng nhóm 3.5 Chướng ngại tri thức luận Từ kết phân tích lịch sử hình thành khái niệm đẳng cấu nhóm, chúng tơi xác định chướng ngại tri thức luận đẳng cấu nhóm. .. đồng cấu nhóm đẳng cấu nhóm Họ ghi nhớ định nghĩa tường minh đồng cấu nhóm đẳng cấu nhóm, mà khơng nhận nghĩa bảo tồn cấu trúc nhóm ban đầu nhóm thứ hai qua phép đồng cấu, hai nhóm đẳng cấu xem một, ... tích tri thức luận lịch sử tri thức phân tích khứ để khám phá mò mẫm, lệch lạc, chướng ngại khác nhau, điều kiện cho phép xuất khái niệm khoa học Trong phân tích tri thức luận lịch sử, điều kiện