Một phân tích tri thức luận khái niệm tập mở, tập đóng trong giải tích và tôpô học

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH TẠP CHÍ KHOA HỌC HO CHI MINH CITY UNIVERSITY OF EDUCATION JOURNAL OF SCIENCE ISSN 1859 3100 KHOA HỌC GIÁO DỤC Tập 15, Số 10 (2018) 130 144 EDUCATION SCIENCE Vol 1[.]

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH HO CHI MINH CITY UNIVERSITY OF EDUCATION TẠP CHÍ KHOA HỌC JOURNAL OF SCIENCE KHOA HỌC GIÁO DỤC EDUCATION SCIENCE ISSN: 1859-3100 Tập 15, Số 10 (2018): 130-144 Vol 15, No 10 (2018): 130-144 Email: tapchikhoahoc@hcmue.edu.vn; Website: http://tckh.hcmue.edu.vn MỘT PHÂN TÍCH TRI THỨC LUẬN KHÁI NIỆM TẬP MỞ, TẬP ĐÓNG TRONG GIẢI TÍCH VÀ TƠPƠ HỌC Nguyễn Ái Quốc*, Võ Thị Tú Quỳnh Trường Đại học Sài Gòn Ngày nhận bài: 10-4-2018; ngày nhận sửa: 22-4-2018; ngày duyệt đăng: 25-10-2018 TĨM TẮT Tập mở, tập đóng khái niệm tôpô học, đặc biệt không gian mêtric Nhiều khái niệm tôpô đại cương không gian mêtric xây dựng dựa tập mở, tập đóng Bài báo trình bày phân tích tri thức luận làm rõ q trình hình thành phát triển khái niệm tập mở, tập đóng xác định đặc trưng tri thức luận hai đối tượng Từ khóa: đặc trưng tri thức luận, khơng gian mêtric, phân tích tri thức luận, tập đóng, tập mở ABSTRACT An epistemological analysis of open sets and closed sets in analysis and topology Open, closed sets are the basic concepts of Topology, especially in the metric space Many of the concepts in the topology as well as in the metric space are based on these concepts This paper presents an epistemological analysis that clairify the emergence and development of concept of open and closed set and determines the epistemological characteristics of theses two knowledge objects Keywords: epistemological characteristic, metric space, epistemological analysis, closed set, open set Đặt vấn đề 1.1 Vai trị cơng cụ khái niệm Giải tích Tập mở, tập đóng hai khái niệm xuất hầu hết lĩnh vực Giải tích Tơpơ đại cương, Giải tích hàm, Giải tích lồi, Giải tích hàm ứng dụng, Quy hoạch phi tuyến, Giải tích phức, Giải tích thực, việc nghiên cứu tri thức luận hai khái niệm thực cần thiết việc dạy học môn Giải tích bậc đại học 1.2 Tồn quan niệm sai sinh viên khái niệm tập mở Trong hai tháng 10/2017, thực nghiệm khảo sát dạng vấn trực tiếp tiến hành 10 sinh viên năm thứ ba ngành Sư phạm Tốn Trường Đại học: Sài Gịn, Đồng Nai, Khoa học Tự nhiên Thành phố Hồ Chí Minh Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh khái niệm tập mở Các sinh viên kết thúc học phần không gian tôpô không gian mêtric năm thứ hai với thời lượng 60 tiết, diễn * Email: nguyenaq2014@gmail.com 130 TẠP CHÍ KHOA HỌC - Trường ĐHSP TPHCM Nguyễn Ái Quốc tgk 15 tuần Mục đích khảo sát nhằm tìm hiểu quan niệm sinh viên tập mở sau học xong học phần Chúng lưu ý có ba cách định nghĩa tập mở không gian mêtric đưa vào bốn trường đại học là: Định nghĩa theo hình cầu mở, định nghĩa theo phần định nghĩa theo lân cận  Định nghĩa tập mở theo hình cầu mở “Tập G X gọi tập mở  a G tồn  > cho B(a, )  G Tập F X gọi tập đóng X \ F tập mở.” (Sutherland, 2009, tr 54)  Định nghĩa tập mở theo lân cận “Một tập hợp U gọi mở với x  U, tồn số thực dương  cho O (x)  U.” (Trần Tráng, 2005, tr 44) “Một tập hợp gọi đóng phần bù tập hợp mở ” (Trần Tráng, 2005, tr 48)  Định nghĩa tập mở theo phần trong: “ Cho A tập khơng gian mêtric X Ta nói A tập mở A  A Hay nói A mở A  A Ta nói tập A đóng X\A mở.” (Nguyễn Văn Khuê, 2001, tr 18) Câu hỏi đặt là: “Bạn định nghĩa tập mở không gian mêtric” Kết cho thấy sinh viên (SV) khoa tốn có ba cách xác định tập mở khơng gian mêtric: Định nghĩa hình thức, sử dụng khái niệm biên, tập mở thể hợp cầu mở Các quan niệm sinh viên chênh lệch so với định nghĩa thức Chẳng hạn, sinh viên SV1 cho tập hợp mở với điểm tập, ta vẽ cầu mở xung quanh điểm cho cầu chứa tập hợp Sinh viên không quan tâm đến việc điểm tâm cầu, định nghĩa gần với định nghĩa hình thức tập mở theo hình cầu mở Sinh viên SV2 cho tập mở tập mà ta lấy cầu mở xung quanh điểm chứa hồn tồn tập Định nghĩa không “mạnh” định nghĩa hình thức ta khơng cần cầu cho điểm mà cần cầu cho điểm Trong đó, có sinh viên khác trả lời tập mở hợp cầu mở hai sinh viên lại cho tập mở khoảng khơng chứa biên Các sinh viên sử dụng tính chất để định nghĩa tập mở riêng hai sinh viên cuối nói đến khái niệm tập mở đường thẳng thực Tất sinh viên khơng nói đến cầu mở không gian mêtric (X, d) 131 TẠP CHÍ KHOA HỌC - Trường ĐHSP TPHCM Tập 15, Số 10 (2018): 130-144 1.3 Sự cần thiết phân tích tri thức luận Những sai lầm sinh viên nguồn gốc chúng câu hỏi mà nhà nghiên cứu cần trả lời trước tìm cách giúp sinh viên loại bỏ sai lầm Theo Brousseau (1983): Sai lầm hậu không biết, không chắn, ngẫu nhiên, cách nghĩ người theo chủ nghĩa kinh nghiệm chủ nghĩa hành vi, mà cịn hậu kiến thức có từ trước, có ích việc học trước kia, lại sai, đơn giản khơng cịn phù hợp việc lĩnh hội tri thức Những sai lầm thuộc loại thất thường hay không dự đoán Chúng tạo thành chướng ngại Trong hoạt động giáo viên hoạt động học sinh, sai lầm góp phần xây dựng nên nghĩa kiến thức thu nhận chủ thể (tr 171) Một phân tích tri thức luận lịch sử khái niệm tập mở tập đóng nhằm xác định đặc trưng chướng ngại tri thức luận cho phép giải thích thỏa đáng sai lầm sinh viên khoa toán theo quan điểm didactic Tốn Đó mục đích nghiên cứu trình bày viết Phân tích tri thức luận lịch sử tri thức nghiên cứu khứ để khám phá trình hình thành nên tri thức, vấn đề gắn liền với tri thức đó, trở ngại, bước nhảy quan niệm cho phép tri thức nảy sinh (Lê Thị Hồi Châu, 2017) Phân tích tri thức luận tri thức nhằm làm rõ: - Những điều kiện, trở ngại cho nảy sinh tri thức khoa học “tiến triển” tri thức hay kiến thức Từ đó, người ta xác định chướng ngại tri thức luận Đó chướng ngại gắn liền với lịch sử phát triển tri thức mà việc vượt qua đóng vai trị định q trình xây dựng kiến thức chủ thể Trong học tập, việc vượt qua chướng ngại tri thức luận điều khơng thể tránh khỏi, yếu tố cấu thành nên kiến thức - Nghĩa tri thức, vấn đề mà tri thức cho phép giải - Những quan niệm gắn liền với tri thức Phân tích tri thức luận khái niệm tập mở, tập đóng 2.1 Q trình hình thành phát triển khái niệm tập mở, tập đóng lịch sử 2.1.1 Quan niệm giải tích Cantor (QC) tập đóng Trong khoảng thời gian từ 1872 đến 1890, toán hội tụ gắn liền với chuỗi lượng giác đưa Georg Cantor đến việc nghiên cứu tính chất số tập vơ hạn đường thẳng thực Vì lợi ích nghiên cứu này, ông giới thiệu khái niệm điểm giới hạn tập ý tưởng tập đóng, tập dẫn xuất tập trù mật (Burton, 2011, tr 729) Các nghiên cứu quan trọng Cantor lí thuyết tập hợp trải dài qua loạt sáu báo tựa đề “Uber unendliche lineare Punktmannichfaltigkeiten”(“Về tập điểm tuyến tính vơ hạn”) xuất tạp chí Mathematische Annalen Đức giai đoạn 1879 – 1884 (Burton, 2011, tr 695) 132 TẠP CHÍ KHOA HỌC - Trường ĐHSP TPHCM Nguyễn Ái Quốc tgk Năm 1872, Cantor đưa tên “Grenzpunkt” cho khái niệm điểm giới hạn tập mở rộng định lí ơng tính biểu diễn hàm số thực chuỗi lượng giác từ trường hợp hàm số liên tục đến trường hợp không liên tục rải rác số điểm Định nghĩa ông điểm giới hạn tập hợp P đường thẳng dựa định nghĩa “lân cận”, mà định nghĩa lại dựa định nghĩa “phần trong” khoảng: Một điểm giới hạn tập điểm P hiểu điểm nằm đường thẳng theo cách lân cận điểm chứa nhiều vơ số điểm P Có thể xảy điểm giới hạn thuộc P Lân cận điểm có nghĩa khoảng chứa điểm nằm phần Từ điều này, dễ dàng chứng minh tập điểm gồm nhiều vô hạn điểm phải có điểm giới hạn (Cantor, 1872, tr 98) Trong báo 1872 ông chuỗi lượng giác, Cantor sử dụng thuật ngữ “điểm giới hạn” ông để định nghĩa “tập dẫn xuất” tập điểm P, tức tập tất điểm giới hạn P Sau ơng lặp lại phép tính tập dẫn xuất với P(n) khơng đổi cho tập dẫn xuất thứ n P Giống Weierstrass, Cantor xem định lí BolzanoWeierstrass định lí giải tích cổ điển Điều tương tự với cách mà Cantor xem xét khái niệm điểm giới hạn tập dẫn xuất Năm 1884, Cantor lần định nghĩa khái niệm tập đóng tập có chứa tất điểm giới hạn Ơng tập P đóng tập dẫn xuất tập Q tập dẫn xuất A  B hợp tập dẫn xuất A tập dẫn xuất B (Cantor, 1884, tr 226) Như vậy, Cantor định nghĩa khái niệm tập đóng dựa khái niệm điểm giới hạn (mà ngày gọi điểm tụ) tập dẫn xuất đường thẳng thực xem xét với quan điểm giải tích thực Sự đời tập đóng gắn liền với việc mở rộng định lí Cantor tính biểu diễn hàm số thực dãy hàm lượng giác kết định lí Bolzano – Weierstrass tập đóng vơ hạn bị chặn khơng gian Euclide n chiều có điểm tụ Do quan niệm giải tích Cantor (QCT) tập đóng mang hình thức khái niệm tốn học1, mang tính tiếp cận địa phương2 có chế đối tượng3 2.1.2 Dedekind với quan niệm nguyên thủy tập mở (trước 1879) Dedekind người có ý tưởng tập mở ơng gọi với tên khác “Kưrper” Ngày 19-01-1879, Dedekind có gửi cho Cantor thư, có đề cập đến thảo có tựa đề General Theorems about Spaces, bắt đầu với định nghĩa mà ông gọi “Kưrper”: Hình thức khái niệm tốn học: có tên có định nghĩa Chúng vừa đối tượng vừa cơng cụ hoạt động tốn học Tiếp cận địa phương khái niệm đối tượng gắn liền với khái niệm xét lân cận đủ bé Khái niệm có chế đối tượng đối tượng nghiên cứu 133 TẠP CHÍ KHOA HỌC - Trường ĐHSP TPHCM Tập 15, Số 10 (2018): 130-144 Một hệ [tức tập] điểm p, p',… tạo thành Körper với điểm p nó, có độ dài d cho tất điểm có khoảng cách từ chúng đến p nhỏ d thuộc P Các điểm p, p'…[được gọi là] nằm P (Dedekind, 1931, tr 353) Như vậy, Kưrper Dedekind xác tập mở khơng gian Euclide, khơng gian n chiều Ơng sử dụng khái niệm Kưrper để định nghĩa điểm nằm bên ngồi Kưrper P Từ hai định nghĩa này, ơng định nghĩa “điểm biên” (“Grenzpunkt”) P điểm khơng nằm khơng nằm ngồi P; “biên” (“Begrenzung”) P định nghĩa tập tất điểm biên P Kết cuối ơng là: biên Kưrper khơng thể Körper (Dedekind, 1931, 354) Dedekind kết thúc thảo ngắn sau đưa định nghĩa biên tập Ơng khơng tiếp tục phát triển khái niệm tập mở vào thời điểm đó, ơng định cơng bố thuyết trình Dirichlet lí thuyết đưa khảo sát chặt chẽ ngun lí Dirichlet Tuy nhiên, ơng xem người đưa định nghĩa khái niệm tập mở Như vậy, quan niệm Dedekind (QDD) tập mở quan niệm hình học, xem xét tập mở theo khoảng cách không gian Euclide n chiều mà ngày gọi định nghĩa theo cầu mở Tập mở đời với vai trò công cụ Dedekind sử dụng để xét điểm nằm bên ngồi Kưrper P Quan niệm QDD tập mở có hình thức khái niệm cận tốn học có chế công cụ tường minh.4 2.1.3 Peano Jordan với tiếp cận không thành công tập mở Cantor không sử dụng ý tưởng tổng quát tập mở, chí đường thẳng Thay vào đó, ơng nói đến điểm “bên trong” khoảng (Cantor, 1872, tr 98) “những điểm trong” tập điểm liên tục (Cantor, 1879, tr 135) Tuy nhiên, định nghĩa điểm Cantor năm 1879 gần với định nghĩa Giuseppe Peano đưa tác phẩm “Geometric Applications of the Infinitesimal Calculus” (Peano, 1887) Peano xem xét tập điểm A (trong không gian 1, 2, chiều) định nghĩa điểm p “điểm trong” có số dương r cho tất điểm có khoảng cách từ p đến chúng nhỏ r thuộc A Trong hai định nghĩa tiếp theo, Peano vượt xa Cantor làm phát biểu điểm p gọi “điểm ngoài” A p điểm phần bù A Sau cùng, p gọi điểm biên A p khơng phải điểm lẫn điểm ngồi A Peano nhận A chứa số tất điểm không gian, A thiết phải có điểm biên, thuộc không thuộc A (Peano, 1887, tr 152-160) Khái niệm có chế tường minh vận dụng chủ thể chủ thể trình bày hay giải thích 134 TẠP CHÍ KHOA HỌC - Trường ĐHSP TPHCM Nguyễn Ái Quốc tgk Như vậy, ý tưởng Peano dễ dàng dẫn đến khái niệm tập mở vào lúc ơng định nghĩa tập mở tập tất điểm nó, tiếc điều không xảy Năm 1892, báo tích phân xác định, ý tưởng Cantor Jordan sử dụng theo cách hiệu Làm việc không gian n-chiều, Jordan giới thiệu mêtric ("écart") khác với hàm khoảng cách thơng thường Định lí Pythagore đưa Mêtric Jordan khoảng cách hai điểm (a 1, a2, , an) (b 1, b 2, , b n) là: a1  b1  a2  b2   an  bn Tiếp theo, ông đưa định nghĩa điểm giới hạn khác với Cantor, hai thập kỉ sau trở thành định nghĩa chuẩn: “Một điểm p gọi điểm giới hạn tập E với  >0 có điểm q E khác p cho khoảng cách p q nhỏ  ” (Jordan, 1892) Tuy nhiên, sửa đổi tác phẩm “Cours d'analysis” năm 1893, Jordan sửa đổi định nghĩa ông điểm giới hạn tập E sau: “Điểm p gọi điểm giới hạn E p giới hạn dãy điểm thuộc E” (1893, tr 19) Jordan (1892) kế thừa định nghĩa tập dẫn xuất Cantor định nghĩa lại tập đóng theo thuật ngữ tập dẫn xuất Cantor: “Tập dẫn xuất E tập tất điểm giới hạn E Một tập E đóng tập dẫn xuất E tập E” Như vậy, định nghĩa Jordan điểm giới hạn (1892) định nghĩa điểm tụ định nghĩa tập đóng (1892) đồng với khái niệm tập đóng (tập đóng tập chứa tất điểm tụ nó) Định nghĩa Jordan điểm giới hạn (1893) định nghĩa điểm dính Sau đó, Jordan định nghĩa “điểm trong” E điểm thuộc E mà không thuộc tập dẫn xuất phần bù E (Jordan, 1892, tr 72) Với định nghĩa này, Jordan định nghĩa tập E “mở” E chứa tất điểm E, ơng khơng làm quan tâm đến việc định nghĩa điểm biên tập E (những điểm không thuộc E không thuộc phần bù nó) tập điểm biên E ln ln khác rỗng đóng Như vậy, giai đoạn này, Peano Jordan nhìn thấy phần tơpơ cơng trình họ thành phần giải tích khơng phải đóng góp cho chủ đề riêng biệt tôpô Đáng tiếc hai ông khơng tiếp cận thành cơng khái niệm tập mở quan tâm đến biên tập Tuy nhiên, Jordan tiếp cận thành cơng khái niệm tập đóng với quan niệm Mêtric (QJ) Quan niệm mang hình thức khái niệm tốn học có chế đối tượng tường minh 135 TẠP CHÍ KHOA HỌC - Trường ĐHSP TPHCM Tập 15, Số 10 (2018): 130-144 2.1.4 Borel, Baire, Lebesgue đời tập mở Định lí giải tích khơng thể tách rời với tập mở Định lí BorelLebesgue Định lí sử dụng khái niệm gọi “compactness” (tính compac): Một tập E gọi compac nếu, cho họ S tập mở chứa E, có số hữu hạn tập S chứa E Định lí sau phát biểu tập đóng bị chặn số thực compac Khái niệm tập mở cần thiết để phát biểu tính compac, cần thiết cho định lí vấn đề khái quát đầy đủ Tuy nhiên, Borel phát biểu phiên định lí luận án tiến sĩ mình, ơng không đề cập đến tập mở Khái niệm tập mở nêu lên lần in, bốn năm sau Borel chứng minh định lí ơng Khái niệm lần René Baire xuất luận án tiến sĩ thảo luận hàm thực nửa liên tục Sau định nghĩa “quả cầu đóng” S “quả cầu mở” S ' tâm bán kính khơng gian Euclidean n chiều, ơng viết: Với điểm S ' , có cầu bán kính dương nhận điểm làm tâm mà tất điểm thuộc S ' Tổng quát hơn, gọi tập hợp điểm có tính chất miền mở có n chiều (Baire, 1899, tr 6-7) Sau đó, Baire sử dụng dãy miền mở để chứng minh định lí điều kiện mà theo đó, miền mở cho trước, tất hàm nửa liên tục có chặn nhỏ Như vậy, Baire định nghĩa tập mở (miền mở) qua cầu mở không gian Euclide n chiều để chứng minh định lí hàm nửa liên tục Do đó, quan niệm Baire tập mở (QB) quan niệm hình học, có hình thức khái niệm tốn học có chế cơng cụ tường minh Tên “tập mở” Lebesgue đưa luận án tiến sĩ năm 1902 có mục đích giới thiệu độ đo Lebesgue (như mở rộng tập Borel đo được5) tích phân Lebesgue Lebesgue chịu ảnh hưởng rõ rệt tác phẩm “Cours d’analyse” (giáo trình giải tích) năm 1893 Jordan, ông chấp nhận định nghĩa điểm tập bao đóng tập (1902, tr 231) Sau đó, ơng định nghĩa tập đường thẳng “mở” khơng chứa điểm biên Tiếp theo, ông nói thêm điểm tập mở E điểm E phần bù tập mở đóng Điều cho phép ơng tập mở Borel đo được, nghĩa tập Borel Điều cần thiết Borel định nghĩa tập Borel đo lớp tập hợp thu cách bắt đầu với khoảng đóng sau đóng phép toán phần bù hợp đếm được, đặc biệt tập đóng Borel đo (Borel, 1898, tr 49) Một tập Borel phần tử Borel Sigma-đại số, hay nói cách khác, tập Borel tập xây dựng từ tập mở hay tập đóng cách lặp lặp lại hợp giao đếm 136 ... liền với tri thức Phân tích tri thức luận khái niệm tập mở, tập đóng 2.1 Quá trình hình thành phát tri? ??n khái niệm tập mở, tập đóng lịch sử 2.1.1 Quan niệm giải tích Cantor (QC) tập đóng Trong khoảng... động học sinh, sai lầm góp phần xây dựng nên nghĩa kiến thức thu nhận chủ thể (tr 171) Một phân tích tri thức luận lịch sử khái niệm tập mở tập đóng nhằm xác định đặc trưng chướng ngại tri thức luận. .. khái niệm điểm giới hạn tập dẫn xuất Năm 1884, Cantor lần định nghĩa khái niệm tập đóng tập có chứa tất điểm giới hạn Ơng tập P đóng tập dẫn xuất tập Q tập dẫn xuất A  B hợp tập dẫn xuất A tập