Giáo án hình học 12 chuyên đề 5 bài 1 khái niệm về khối đa diện

CHUYÊN ĐỀ 5: KHỐI ĐA DIỆN BÀI KHÁI NIỆM VỀ KHỐI ĐA DIỆN Mục tiêu  Kiến thức + Nhận biết khái niệm hình đa diện, khối đa diện, nhận biết khối lăng trụ, khối chóp, khối chóp cụt + Biết cách phân chia khối đa diện thành khối đa diện đơn giản + Phân biệt phép biến hình khơng gian Biết phép đối xứng qua mặt phẳng hai khối đa diện  Kĩ + Phân biệt hình vẽ có phải hình đa diện, khối đa diện hay khơng + Biết tính xác số đỉnh, cạnh, mặt hình đa diện mối quan hệ chúng + Vận dụng phân chia khối đa diện phức tạp thành khối đa diện đơn giản + Vận dụng tính chất phép biến hình khơng gian + Thành thạo đếm số mặt phẳng đối xứng, tâm đối xứng, trục đối xứng hình TOANMATH.com Trang I LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM I KHÁI NIỆM VỀ HÌNH ĐA DIỆN VÀ KHỐI ĐA DIỆN Khái niệm hình đa diện Ví dụ: Hình đa diện Hình đa diện hình tạo số hữu hạn đa giác thỏa mãn hai tính chất:  Hai đa giác phân biệt khơng có điểm chung, có đỉnh chung, có cạnh chung  Mỗi cạnh đa giác cạnh chung hai đa giác Hai đa giác ABC DE F  ABCDEF khơng có điểm chung Hai đa giác SAB SCD có đỉnh S chung Mỗi đa giác gọi mặt hình đa diện Các đỉnh, cạnh Hai đa giác ABCDEF ABBA đa diện theo thứ tự gọi đỉnh, cạnh có cạnh AB chung hình đa diện Khái niệm khối đa diện Khối đa diện phần không gian giới hạn hình đa diện, kể hình đa diện Ví dụ: Khối đa diện gọi khối lăng trụ giới hạn hình lăng trụ Khối đa diện gọi khối chóp giới hạn hình chóp Những điểm không thuộc khối đa diện gọi điểm Khối đa diện gọi khối nón ngồi khối đa diện Những điểm thuộc khối đa diện cụt giới hạn khơng thuộc hình đa diện gọi điểm hình nón cụt khối đa diện Tập hợp điểm gọi miền Tương tự ta có định nghĩa khối trong, tập hợp điểm gọi miền TOANMATH.com Trang khối đa diện chóp n-giác; khối chóp cụt n-giác; Mỗi hình đa diện chia điểm cịn lại khơng gian thành khối chóp đều; khối hộp; hai miền khơng giao miền miền ngồi Ví dụ: M điểm nằm ngồi, N hình đa diện, có miền ngồi chứa hồn tồn điểm nằm khối đa diện đường thẳng hình vẽ Phân chia lắp ghép khối đa diện Nếu khối đa diện  H1  ,  H  H  tập hợp hai khối đa diện cho  H1   H  chung điểm ta chia khối đa diện  H  thành hai khối đa diện  H1   H1  diện  H2   H  , hay lắp ghép hai khối đa với để tạo khối đa diện H  Một số kết quan trọng khối đa diện +) Kết 1: Một khối đa diện có mặt +) Kết 2: Mỗi hình đa diện có đỉnh +) Kết 3: Cho  H  đa diện mà tất mặt đa giác có p cạnh Nếu số mặt  H  lẻ p phải số chẵn +) Kết 4: Cho  H  đa diện có m mặt, mà mặt đa giác có p cạnh Khi số cạnh H  c  pm +) Kết 5: Mỗi khối đa diện có mặt tam giác tổng số mặt phải số chẵn +) Kết 6: Mỗi khối đa diện ln phân chia thành khối tứ diện +) Kết 7: Mỗi đỉnh đa diện đỉnh chung cạnh +) Kết 8: Nếu khối đa diện có đỉnh đỉnh chung cạnh số đỉnh phải số chẵn Tổng quát: Một đa diện mà đỉnh đỉnh chung số lẻ mặt tổng đỉnh số chẵn +) Kết 9: Mỗi hình đa diện có cạnh TOANMATH.com Trang +) Kết 10: Khơng tồn hình đa diện có cạnh +) Kết 11: Với số nguyên k  ln tồn hình đa diện có 2k cạnh +) Kết 12: Với số nguyên k  ln tồn hình đa diện có 2k  cạnh +) Kết 13: Không tồn hình đa diện có +) Số mặt lớn số cạnh; +) Số đỉnh lớn số cạnh +) Kết 14: Tồn khối đa diện có 2n mặt tam giác Ví dụ: khối tứ diện có mặt tam giác (một mặt tứ diện ghép vào mặt tứ diện ta khối diện H có mặt tam giác Ghép thêm vào H khối tứ diện ta khối tứ diện có mặt tam giác đều, cách vậy, ta khối đa diện có 2n mặt tam giác II HAI ĐA DIỆN BẰNG NHAU, PHÉP BIẾN HÌNH TRONG KHƠNG GIAN Phép dời hình không gian + Trong không gian, quy tắc đặt tương ứng điểm M với điểm M  xác định gọi phép biến hình không gian TOANMATH.com Nhận xét: Trang + Phép biến hình khơng gian gọi phép dời + Thực liên tiếp phép dời hình bảo tồn khoảng cách điểm tùy ý hình phép dời + Một số phép dời hình khơng gian : hình  a Phép tịnh tiến theo vectơ v : phép biến hình biến + Phép dời hình biến đa diện    H  thành đa diện  H   , điểm M thành M  cho MM   v biến đỉnh, cạnh, mặt H  b Phép đối xứng qua tâm O : Là phép biến hình biến điểm đa diện O thành nó, biến điểm M khác O thành điểm  M  cho O trung điểm MM  đỉnh, cạnh, mặt tương ứng Nếu  H   Đ O   H  O gọi tâm đối xứng đa diện thành  H  H  c Phép đối xứng qua đường thẳng  (phép đối xứng trục  ): Là phép biến hình biến điểm thuộc đường thẳng  thành nó, biến điểm M không thuộc đường thẳng  thành điểm M  cho  đường trung trực MM  Nếu  H   Đ    H   gọi trục đối xứng H  d Phép đối xứng qua mặt phẳng  P  : Là phép biến hình biến điểm thuộc  P  thành nó, biến điểm M khơng thuộc  P  thành điểm M  cho  P  mặt phẳng trung trực MM  Nếu  H   Đ P   H  P mặt phẳng đối xứng H  Hai hình Hai hình gọi có phép dời hình biến hình thành hình Phép vị tự đồng dạng khối đa diện a Phép vị tự không gian Định nghĩa Cho số k không đổi khác điểm O cố định Phép TOANMATH.com Trang biến hình khơng gian biến điểm M thành điểm   M  thỏa mãn: OM   kOM gọi phép vị tự Điểm O gọi tâm vị tự, số k gọi tỉ số vị tự Các tính chất phép vị tự Nếu phép vị tự tỉ số k biến hai điểm M , N thành điểm   M , N  M N   k MN , M N   k MN Phép vị tự biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng, bốn điểm đồng phẳng thành bốn điểm đồng phẳng b Hai hình đồng dạng Hình H  gọi đồng dạng với hình  H  có phép vị tự biến hình  H  thành hình  H1  mà hình  H1  hình  H   Một số kết quan trọng phép biến hình +) Kết 1: Phép biến hình biến điểm M khơng gian thành gọi phép đồng nhất, thường kí hiệu e Phép đồng e phép dời hình +) Kết 2: Phép dời hình biến mặt cầu thành mặt cầu có bán kính +) Kết 3: Cho hai điểm phân biệt A, B phép dời hình f biến A thành A , biến B thành B Khi f biến điểm M nằm đường thẳng AB thành +) Kết 4: Cho tam giác ABC phép dời hình f biến tam giác thành ABC nó, với f  A  A , f  B   B , f  C   C Khi đó, f biến điểm M mặt phẳng  ABC  thành nó, tức f M   M +) Kết 5: Hợp thành hai phép đối xứng qua hai mặt phẳng song song  P   Q  phép tịnh tiến Lấy điểm A, B nằm  P   Q  cho AB   P  Khi đó, thực liên tiếp hai phép đối xứng qua hai mặt phẳng song song   tịnh tiến vectơ v  AB TOANMATH.com P  Q  kết phép Trang +) Kết 6: Hợp thành hai phép đối xứng qua hai mặt phẳng  P   Q  vng góc với phép đối xứng qua đường thẳng (là phép đối xứng qua đường thẳng giao tuyến  P   Q  ) +) Kết 7: Phép vị tự biến đường thẳng thành đường thẳng song song trùng với nó, biến mặt phẳng thành mặt phẳng song song trùng với mặt phẳng +) Kết 8: Cho phép vị tự V tâm O tỉ số k  phép vị tự V  tâm O tỉ số k  Khi đó, k k   hợp thành V V  phép tịnh tiến +) Kết 9: Hai hình hộp chữ nhật kích thước chúng +) Kết 10: Hai hình lập phương đường chéo chúng có độ dài +) Kết 11: Cho hai hình tứ diện ABCD ABC D có cạnh tương ứng song song, tức : AB // AB ; AC // AC  ; AD // AD ; CB // C B ; BD // BD ; DC // DC  Khi hai tứ diện cho đồng dạng +) Kết 12: Cho hai hình tứ diện ABCD ABC D có cạnh tương ứng tỉ lệ, tức là: AB BC  C D DA AC  BD      k AB BC CD DA AC BD Khi hai tứ diện cho đồng dạng II CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Nhận biết hình đa diện – khối đa diện Bài tốn Điều kiện để hình hình đa diện – khối đa diện Phương pháp giải Hình đa diện hình tạo Ví dụ: số hữu hạn đa giác thỏa mãn hai Các hình khối đa diện : tính chất: +) Hai đa giác phân biệt khơng có điểm chung, có đỉnh chung, có cạnh chung TOANMATH.com Các hình khơng phải khối đa diện: Trang +) Mỗi cạnh đa giác cạnh chung hai đa giác Ví dụ mẫu Ví dụ 1: Cho hình sau Hình khơng phải hình đa diện A Hình (a) B Hình (b) C Hình (c) D Hình (d) Hướng dẫn giải Áp dụng tính chất hình đa diện: Mỗi cạnh cạnh chung hai mặt; Hai mặt có đỉnh chung, có cạnh chung, khơng có điểm chung Hình d vi phạm quy tắc: có cạnh cạnh mặt Chọn D Ví dụ 2: Trong hình đây, hình hình đa diện? A Hình B Hình C Hình D Hình Hướng dẫn giải Hình khơng phải hình đa diện có cạnh cạnh chung đa giác, loại A Hình khơng phải hình đa diện có cạnh cạnh chung đa giác, loại B Hình khơng phải hình đa diện có cạnh cạnh chung đa giác, loại D Hình hình đa diện thỏa mãn khái niệm hình đa diện Chọn C Bài toán Xác định số đỉnh, cạnh, mặt khối đa diện TOANMATH.com Trang Phương pháp giải Mỗi đa giác gọi mặt hình đa diện Ví dụ: Các đỉnh, cạnh đa giác theo thứ tự Hình sau có 11 đỉnh, 20 cạnh, 11 gọi đỉnh, cạnh hình đa diện mặt Ví dụ mẫu Ví dụ Số mặt hình đa diện hình vẽ ? A 11 B 10 C 12 D Hướng dẫn giải Hình đa diện có mặt  ABD  ;  BDC  ;  ADC  ;  ABFE  ;  BFGC  ;  ACGE  ;  HFE  ;  HFG  ;  EHG  Chọn D Ví dụ 2: Cho hình đa diện hình vẽ bên Hỏi có đoạn thẳng nối đỉnh hình đa diện khơng cạnh hình đa diện? A 66 B 30 C 36 D 102 Chú ý: Hình đa diện có n đỉnh có Hướng dẫn giải Ta có khối đa 20 mặt có 12 đỉnh TOANMATH.com Cn2 cạnh nối đỉnh hình đa diện Trang Số đoạn thẳng tạo thành 12 đỉnh C122 cạnh Số cạnh khối 20 mặt 30 cạnh Vậy số đoạn thẳng nối hai đỉnh hình đa diện khơng phải cạnh hình đa diện C  30  36 12 khơng cạnh hình đa diện hiệu Cn2 số cạnh khối đa diện Chọn C Ví dụ Cho hình chóp có số đỉnh 2018, số cạnh hình chóp Chú ý: + Hình chóp có n A 2019 B 1009 đỉnh có C 4036  n  1 cạnh D 4034 Hướng dẫn giải + Hình chóp có n Hình chóp có 2018 đỉnh đa giác đáy có 2017 đỉnh, nên có 2017 cạnh đỉnh có n mặt đáy 2017 cạnh bên Vậy hình chóp có 2017  2017  4034 cạnh Chọn D Bài toán Phân chia, lắp ghép khối đa diện Phương pháp giải Nếu khối đa diện  H  hợp hai khối đa diện  H1  ,  H  cho  H1   H  khơng có chung điểm ta nói chia khối đa diện H  thành hai khối đa diện  H1   H  , hay lắp  H1   H  để khối đa diện  H  ghép hai khối đa diện với Ví dụ mẫu Ví dụ Cho khối tứ diện ABCD Lấy điểm M nằm A B , điểm N nằm C D Bằng hai mặt phẳng  CDM   ABN  , ta chia khối tứ diện thành bốn khối tứ diện sau ? A MANC , BCDN , AMND, ABND B NACB, BCMN , ABND, MBND C ABCN , ABND, AMND, MBND D MBND, MBNC , AMDN , AMNC Hướng dẫn giải TOANMATH.com Trang 10 ... THUYẾT TRỌNG TÂM I KHÁI NIỆM VỀ HÌNH ĐA DIỆN VÀ KHỐI ĐA DIỆN Khái niệm hình đa diện Ví dụ: Hình đa diện Hình đa diện hình tạo số hữu hạn đa giác thỏa mãn hai tính chất:  Hai đa giác phân biệt... ABBA đa diện theo thứ tự gọi đỉnh, cạnh có cạnh AB chung hình đa diện Khái niệm khối đa diện Khối đa diện phần không gian giới hạn hình đa diện, kể hình đa diện Ví dụ: Khối đa diện gọi khối lăng... II CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Nhận biết hình đa diện – khối đa diện Bài toán Điều kiện để hình hình đa diện – khối đa diện Phương pháp giải Hình đa diện hình tạo Ví dụ: số hữu hạn đa giác thỏa