Giáo án hình học 12 chuyên đề 6 bài 1 mặt nón, hình nón và khối nón

CHUYÊN ĐỀ 6: MẶT NÓN, MẶT TRỤ, MẶT CẦU BÀI 1: MẶT NÓN Mục tiêu  Kiến thức + Nắm định nghĩa mặt nón trịn xoay, hình nón trịn xoay khối nón trịn xoay + Nắm cơng thức tính diện tích xung quanh hình nón, diện tích đáy hình nón, diện tích tồn phần hình nón, thể tích khối nón  Kĩ + Nhận biết khối tròn xoay khối nón + Tính yếu tố liên quan đến khối nón độ dài đường sinh, chiều cao, góc đỉnh, diện tích xung quanh, diện tích tồn phần, thiết diện, thể tích khối nón… + Giải toán nâng cao liên quan đến khối nón tốn cực trị, tốn thực tế… I LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM MẶT NĨN TRỊN XOAY Trong mặt phẳng  P  Cho hai đường thẳng Δ  cắt O tạo thành góc  với 0    90 Khi quay mặt phẳng  P  xung quanh Δ đường thẳng  sinh mặt tròn xoay đỉnh O gọi mặt nón trịn xoay (hay đơn giản mặt nón) Khi đó:  Đường thẳng Δ gọi trục mặt nón  Đường thẳng  gọi đường sinh mặt nón  Góc 2 gọi góc đỉnh mặt nón Nhận xét: Nếu M điểm tùy ý mặt nón N khác với điểm O đường thẳng OM đường sinh mặt nón HÌNH NĨN TRỊN XOAY Cho OIM vng I quay quanh cạnh góc vng OI đường gấp khúc OMI tạo thành hình, gọi hình nón trịn xoay (gọi tắt hình nón) Khi đó:  Đường thẳng OI gọi trục, O đỉnh, OI gọi đường cao OM gọi đường sinh hình nón  Hình trịn tâm I, bán kính r  IM đáy hình nón TOANMATH.com Trang Chú ý: Nếu cắt mặt nón N hai mặt phẳng song song  P   Q  với  P  qua O vng góc với  phần mặt nón N giới hạn hai mặt phẳng P Q  hình trịn giao tuyến  Q  và mặt nón  N  hình nón KHỐI NĨN TRỊN XOAY Phần khơng gian giới hạn hình nón trịn xoay kể hình ta gọi khối nón trịn xoay hay ngắn gọn khối nón Các khái niệm tương tự hình nón Xét khối nón có hình biểu diễn hình bên ta có nhận xét: - Nếu mp  P  chứa OI thiết diện mp  P  khối nón hình tam giác cân O Chú ý: Vẽ hình biểu diễn hình nón hay khối - Nếu mp  P  vng góc với OI (khơng chứa O) thiết nón ta thường vẽ hình bên diện mp  P  khối nón (nếu có) hình trịn Hình trịn thiết diện có diện tích lớn mp  P  qua I CÔNG THỨC CẦN NHỚ Hình nón có chiều cao h, bán kính đáy r độ dài đường sinh  có: - Diện tích xung quanh: S xq  r - Diện tích đáy (hình trịn): S ht  r - Diện tích tồn phần: Stp  r   r 1 - Thể tích khối nón: V  S ht h  r h 3 TOANMATH.com Trang SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HĨA MẶT NĨN MẶT NĨN TRỊN XOAY Trong mặt phẳng  P  Cho hai đường thẳng Δ  cắt O tạo thành góc  Khi quay mặt phẳng  P  xung quanh Δ đường thẳng  sinh mặt trịn xoay đỉnh O gọi mặt nón trịn xoay HÌNH NĨN TRỊN XOAY Cho OMI vng I quay quanh cạnh góc vng OI đường gấp khúc OMI tạo thành hình, gọi hình nón trịn xoay KHỐI NĨN TRỊN XOAY Phần khơng gian giới hạn hình nón trịn xoay kể hình ta gọi khối nón trịn xoay hay ngắn gọn khối nón CÁC CƠNG THỨC S xq  r  Diện tích xung quanh S ht  r Diện tích đáy Diện tích tồn phần Thể tích TOANMATH.com Stp  r   r 1 V  S ht h  r h 3 Trang II CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Câu hỏi lý thuyết mặt nón, hình nón, khối nón Phương pháp giải Cần nắm vững lí thuyết trọng tâm mặt nón, hình Ví dụ: Thể tích khối nón có chiều cao h bán nón, khối nón kính r A r h B r h C r h D 2r h Hướng dẫn giải 1 Vì thể tích khối nón Vn  Sht h  r h 3 ( Sht : diện tích hình trịn đáy) Chọn A Ví dụ mẫu Ví dụ 1: Cho đường thẳng l cắt khơng vng góc với Δ quay quanh Δ ta A khối nón trịn xoay B mặt trụ trịn xoay C mặt nón trịn xoay D hình nón trịn xoay Hướng dẫn giải Cho đường thẳng l cắt khơng vng góc với Δ quay quanh Δ ta Nếu khơng nắm kĩ lí thuyết mặt nón trịn xoay dễ nhầm với đáp án A Chọn C đáp án D Ví dụ 2: Gọi l, h, R độ dài đường sinh, chiều cao bán kính đáy hình nón Đẳng thức sau đúng? A l  hR B 1  2 2 l h R C l  h  R D R  h  l Hướng dẫn giải Lưu ý: Tam giác OIM vuông I nên ta sử dụng định lý Pitago suy đáp án Theo định nghĩa hình nón, ta có tam giác OIM vng I Do OM  OI  IM , suy l  h  R Chọn C Bài tập tự luyện dạng TOANMATH.com Trang Câu 1: Cho hình nón  N  có chiều cao h, độ dài đường sinh  , bán kính đáy r Kí hiệu S xq diện tích xung quanh khối nón  N  Công thức sau đúng? A S xq  rh B S xq  2r  C S xq  2r h D S xq  r  Câu 2: Cho tứ diện ABCD Khi quay tứ diện quanh trục AB có hình nón khác tạo thành? A Một B Hai C Khơng có hình nón D Ba Câu 3: Cho hình nón có diện tích xung quanh S xq bán kính r Cơng thức sau dùng để tính đường sinh  hình nón cho A   S xq r B   S xq r C   2S xq r D   S xq 2r Câu 4: Cho hình nón có bán kính đường trịn đáy R, chiều cao h, độ dài đường sinh  Khẳng định sau đúng? A   R  h B R    h C h  R   D   R  h Dạng 2: Tính diện tích xung quanh, diện tích tồn phần, độ dài đường sinh, chiều cao, bán kính đáy, thiết diện hình nón Phương pháp giải Nắm vững cơng thức diện tích xung quanh, Ví dụ: Tính diện tích xung quanh khối nón có diện tích tồn phần, diện tích đáy Biết sử dụng thiết diện qua trục tam giác vuông cân diện tích kết phần kiến thức quan hệ song song, 2? quan hệ vng góc, hệ thức lượng tam A S  2 B S  4 giác… để áp dụng vào tính toán C S  2 D S  2 Hướng dẫn giải Tam giác OAB vuông cân diện tích  OA2  2  OA  OB  AB  2  2  2 hR AB  2 Suy S xq   2.2  2 Chọn A TOANMATH.com Trang Ví dụ mẫu Ví dụ 1: Cắt hình nón mặt phẳng qua trục ta thiết diện tam giác cạnh 2a Tính diện tích tồn phần hình nón A 6a B 24a C 3a D 12a Hướng dẫn giải Ta có h  Lưu ý: Diện tích tam giác cạnh x là: S  2a  a 3,   2a, r  a x2 độ dài chiều cao là: Diện tích tồn phần hình nón h Stp  r   r  .a.2a  .a  3a x Ở tốn x  2a Chọn C Ví dụ 2: Cho hình nón có đường sinh đường kính đáy, diện tích đáy hình nón 9 Độ dài đường cao hình nón A 3 B C D Hướng dẫn giải Gọi r , , h bán kính đường trịn đáy, đường sinh, chiều cao hình nón cho r  9 r  Theo giả thiết ta có  nên      r Lại có h    r h  36   3 Chọn A Ví dụ 3: Thiết diện qua trục hình nón tam giác vng có cạnh góc vng Mặt phẳng    qua đỉnh S hình nón cắt đường trịn đáy M, N Tính diện tích tam giác SMN, biết góc    đáy hình nón 60 A B C D Hướng dẫn giải Gọi O tâm đường tròn đáy, H trung điểm MN giác cân S Ta có MN giao tuyến đường trịn đáy mặt phẳng    , lại có OH  MN , SH  MN Do góc Lưu ý: Tam giác SMN tam  SM  SN  đáy hình nón   60 SHO TOANMATH.com Trang Vì thiết diện qua trục hình nón tam giác vng có cạnh góc vng  SO  Xét SOH vng O có sin 60  SO SO  SH   SH sin 60  6 Khi MN  SN  SH          2 Vậy diện tích tam giác SMN S SMN  1 SH MN   2 3 Chọn C Ví dụ 4: Cho hình nón đỉnh S, đường cao SO, A B hai điểm thuộc đường tròn đáy cho khoảng cách từ O đến mặt phẳng  SAB  a   30 , SAB   60 Độ dài đường sinh hình nón theo a SAO A a B a C 2a D a Hướng dẫn giải Gọi I trung điểm AB, dựng OH  SI Ta có OH  a   60 nên tam giác SAB Do SAB Suy SA  SB  AB Mặt khác Lưu ý:   30  SO  SA.sin 30  SA SAO  Ta có: OH  SI (1) OA  SA.cos 30  SA  AB  OI  AB   SOI    AB  SI  AB  OH (2) Xét tam giác SOI ta có Từ (1) (2) suy ra: 1 1 1       2 2 2 OH OS OI OS OA  AI    SA      SA     SA  2   2  OH   SAB  , a    SA  OH  a 2 OH SA d  O;  SAB    OH  Có thể đặt SA  x Chọn A Ví dụ 5: Cho hình nón đỉnh S, đáy đường trịn tâm O bán kính 2a TOANMATH.com Trang độ dài đường sinh a Mặt phẳng  P  qua đỉnh S cắt hình nón   theo thiết diện tam giác có chu vi  a Khoảng cách d từ O đến mặt phẳng  P  A d  a B d  a C d  a D d  a Hướng dẫn giải Giả sử thiết diện tam giác SAB, ta có   SA  SB  AB   a  Do:   a  a  AB   a 1   2 OH OE OS  OH   AB  2a Gọi E trung điểm AB, ta có AB  SE , mặt OS OE OS  OE khác AB  SO nên AB   SOE  Kẻ OH  SE H, ( H  SE ) Ta thấy OH  AB OH   SOE   OH   SAB  Vậy khoảng cách từ S đến  P  OH (hay d  O;  P    OH ) EB  AB  a, OB  R  2a, OE  OB  EB  4a  a  a SO  SB  OB  5a  4a  a , OH  OS OE OS  OE Vậy d  2  a.a a  3a 2  a a Chọn D Ví dụ 6: Cho hình nón trịn xoay nằm hai mặt phẳng song song  P  Q  hình vẽ Kẻ đường cao SO hình nón gọi I trung điểm SO Lấy M   P  , N   Q  , MN  a qua I cắt mặt nón E F đồng thời tạo với SO góc  Biết góc đường cao đường sinh hình nón 45 Độ dài đoạn EF A EF  2a TOANMATH.com a B EF   tan 2 Trang C EF   a tan 2 D EF  2a tan 2 Hướng dẫn giải Lưu ý: S SFI  S SEI  S SFE (*) S SFI  SF SI sin 45 S SEI  SE.SI sin 45   ESM   SME   45  90    135   SEF S SFE  SF SE.sin 90   SE tan 135     SE  tan  SF  SE.tan SEF tan   Thay vào (*) ta Xét tam giác NIO có OI  NI cos   a a cos , NO  NI sin   sin  2 Xét tam giác SEF vuông S có  nên Vì SI độ dài đường phân giác góc FSE SI  SI  SE.SF SE  SF SE tan 135    SE.SF a  cos   SE  SF  tan 135      tan   a 1  cos  tan    a sin    SE    tan  1  tan   2 tan   Do EF  SE SE a sin  a     tan 2  cos SEF cos 135    1  tan    cos   sin   Chọn B Ví dụ 7: Cho hình chóp S.ABC có cạnh đáy a, góc mặt bên mặt đáy 60 Tính diện tích xung quanh S xq hình nón đỉnh S, có đáy đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC a A S xq  C S xq  a a 10 B S xq  D S xq  a Hướng dẫn giải Gọi O tâm tam giác ABC, SO   ABC  Hình nón đỉnh S, có đáy đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC có đường sinh SA, bán kính đường trịn đáy OA Gọi H trung điểm BC TOANMATH.com Trang   60  SBC  ;  ABC    SHO  Tam giác ABC O tâm tam giác nên OH  1 a a ; AH   3 OA  a AH  3 Tam giác SOH vuông O có   60 nên SHO SO  OH tan 60  a a 3 Tam giác SOA vuông O nên SA  SO  OA2  a 3a a 21   Diện tích xung quanh hình nón S xq  r   .OA.SA   a a 21 a  6 Chọn D Bài tập tự luyện dạng Câu 1: Cho hình lập phương ABCD ABC D có cạnh a Một khối nón có đỉnh tâm hình vng ABCD đáy hình trịn nội tiếp hình vng ABC D Kết tính diện tích tồn phần Stp khối nón có dạng A bc  a   b  c với b c hai số nguyên dương b  Giá trị bc B bc  C bc  15 D bc  Câu 2: Một tứ diện cạnh a có đỉnh trùng với đỉnh hình nón, ba đỉnh cịn lại nằm đường trịn đáy hình nón Khi diện tích xung quanh hình nón A a B a C a D 3a Câu 3: Cho hình nón có diện tích xung quanh 5a bán kính đáy a Độ dài đường sinh hình nón cho A a B 3a C 3a D 5a Câu 4: Cho hình nón có thiết diện qua trục tam giác vng có cạnh huyền a Diện tích xung quanh S xq hình nón A S xq  a B S xq  a 2 C S xq  a 2 D S xq  a 2 Câu 5: Cho miếng tơn hình trịn có bán kính 50 cm Biết hình nón tích lớn diện tích tồn phần hình nón diện tích miếng tơn Khi hình nón có bán kính đáy TOANMATH.com Trang 10 ... r 1 V  S ht h  r h 3 Trang II CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Câu hỏi lý thuyết mặt nón, hình nón, khối nón Phương pháp giải Cần nắm vững lí thuyết trọng tâm mặt nón, hình Ví dụ: Thể tích khối nón. .. XOAY Phần khơng gian giới hạn hình nón trịn xoay kể hình ta gọi khối nón trịn xoay hay ngắn gọn khối nón Các khái niệm tương tự hình nón Xét khối nón có hình biểu diễn hình bên ta có nhận xét: -... Nếu cắt mặt nón N hai mặt phẳng song song  P   Q  với  P  qua O vng góc với  phần mặt nón N giới hạn hai mặt phẳng P Q  hình trịn giao tuyến  Q  và mặt nón  N  hình nón KHỐI NĨN