TOÁN THỰC tế LIÊN QUAN mặt và KHỐI nón

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12 TỐN THỰC TẾ LIÊN QUAN MẶT VÀ KHỐI NĨN Câu 1: Một ly hình nón chứa đầy rượu Người ta uống phần rượu cho chiều cao phần lại nửa chiều cao ban đầu Số phần rượu uống là: A B C D Câu 2: Một bình đựng nước dạng hình nón (khơng đáy) đựng đầy nước Biết chiều cao bình gấp lần bán kính đáy Người ta thả vào khối trụ đo dược thể tích nước tràn 16 dm3 Biết mặt khối trụ nằm mặt hình nón, điểm đường trịn đáy cịn lại thuộc đường sinh hình nón (như hình vẽ) khối trụ có chiều cao đường kính đáy hình nón Diện tích xung quanh S xq bình nước là: A S xq  4 dm C S xq  B S xq  9 10 dm 3 dm D S xq  4 10 dm Câu 3: Với đĩa trịn thép tráng có bán kính R = 6m phải làm phễu cách cắt hình quạt đĩa gấp phần cịn lại thành hình trịn Cung trịn hình quạt bị cắt phải độ để hình nón tích cực đại? A » 2, 8° B » 66° C » 294° D » 12, 56° Câu 4: Cho đồng hồ cát hình bên (gồm hình nón chung đỉnh ghép lại), đường sinh hình nón tạo với đáy góc 60 hình bên Biết chiều cao đồng hồ 30cm tổng thể tích đồng hồ 1000 cm3 Hỏi cho đầy lượng cát vào phần chảy hết xuống dưới, tỉ lệ thể tích lượng cát chiếm chỗ thể tích phần phía bao nhiêu? A B 64 C 27 D 3 Câu 5: Một phễu có dạng hình nón Người ta đổ lượng nước vào phễu cho chiều cao lượng nước phễu chiều cao phễu Hỏi bịt kín miệng phễu lộn ngược phễu lên chiều cao nước xấp xỉ ? Biết chiều cao phễu 15 cm ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 1 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A A 0,188  cm  B 0, 216  cm  Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12 C 0,5  cm  D 0,3  cm  Câu 6: Người thợ gia công sở chất lượng cao X cắt miếng tơn hình trịn với bán kính 60 cm thành ba miếng hình quạt Sau người thợ quấn hàn ba miếng tơn để ba phễu hình nón Hỏi thể tích V phễu bao nhiêu? l h O r A V  16000 lít B V  16 2 lít C V  16000 2 lít D V  160 2 lít Câu 7: Có miếng tơn hình tam giác ABC cạnh dm (như hình vẽ) Gọi K trung điểm BC Người ta dùng compa có tâm A bán kính AK vạch cung tròn MN ( M , N thứ tự thuộc cạnh AB AC ) cắt miếng tôn theo cung trịn Lấy phần hình quạt người ta gị cho cạnh AM AN trùng thành phễu hình nón khơng đáy với đỉnh A Tính thể tích V phễu A N M B A V  A K 141.  dm3  64 C r B V  ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay 3  dm3  32 Trang 2 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12 3. 105. D V  dm3  dm3    32 64 Câu 8: Có cốc làm giấy, úp ngược hình vẽ Chiều cao cốc 20 cm , bán kính đáy cốc cm , bán kính miệng cốc 5cm Một kiến đứng điểm A miệng cốc dự định bò hai vòng quanh thân cốc để lên đến đáy cốc điểm B Quãng đường ngắn để kiến thực dự định gần với kết dước đây? C V  A 59,93cm B 59,98cm C 58,80 cm D 58, 67 cm Câu 9: Hai ly đựng chất lỏng giống hệt nhau, có phần chứa chất lỏng khối nón có chiều cao dm (mơ tả hình vẽ) Ban đầu ly thứ chứa đầy chất lỏng, ly thứ hai để rỗng Người ta chuyển chất lỏng từ ly thứ sang ly thứ hai cho độ cao cột chất lỏng ly thứ 1dm Tính chiều cao h cột chất lỏng ly thứ hai sau chuyển (độ cao cột chất lỏng tính từ đỉnh khối nón đến mặt chất lỏng - lượng chất lỏng coi không hao hụt chuyển Tính gần h với sai số khơng 0,01dm) A h  1, 73dm B h  1,89dm C h  1,91dm D h  1, 41dm Câu 10: Cho đồng hồ cát hình bên (gồm hình nón chung đỉnh khép lại) , đường sinh hình nón hợp với đáy góc 60 ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 3 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12 Biết chiều cao đồng hồ 30 cm tổng thể tích đồng hồ 1000 cm3 Hỏi cho đầy lượng cát vào phần chảy hết xuống dưới, tỉ lệ thể tích lượng cát chiếm chỗ thể tích phần bên bao nhiêu? A 64 B 27 C 3 D chiều cao hình nón Hỏi bịch kính miệng ly úp ngược ly xuống tỷ số chiều cao mực nước chiều cao hình nón xấp xỉ bao nhiêu? Câu 11: Một ly có dạng hình nón rót nước vào với chiều cao mực nước A 0,11 B 0, 21 C 0, 08 D 0,33 Câu 12: Một bể nước lớn khu công nghiệp có phần chứa nước khối nón đỉnh S phía (hình vẽ), đường sinh SA  27 mét Có lần lúc bể chứa đầy nước, người ta phát nước bể không đạt yêu cầu vệ sinh nên lãnh đạo khu công nghiệp cho để làm vệ sinh bể chứa Cơng nhân cho thoát nước ba lần qua lổ đỉnh S Lần thứ mực nước tới điểm M thuộc SA dừng, lần thứ hai mực nước tới điểm N thuộc SA dừng, lần thứ ba thoát Biết lượng nước lần Tính độ dài đoạn MN (Hình vẽ 4: Thiết diện qua trục hình nón nước) ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 4 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A O Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12 A M N S A 9   1 m B 9   1 m C 3   1 m D 27   1 m Câu 13: Một phễu có dạng hình nón, chiều cao phễu 20 cm Người ta đổ lượng nước vào phễu cho chiều cao cột nước phễu 10 cm (hình H1) Nếu bịt kín miệng phễu lật ngược phễu lên (hình H2) chiều cao cột nước phễu gần với giá trị sau đây? A 0,87 cm B 10 cm C 1, 07 cm D 1,35cm Câu 14: Một thơng Noel có dạnh hình nón với chiều dài đường sinh 60cm bán kính đáy r  10cm Một kiến bắt đầu xuất phát từ đỉnh nằm mặt đáy hình nón có dự định bị vịng quanh thơng sau quay trở lại vị trí xuất phát ban đầu Tính quãng đường ngắn mà kiến bao nhiêu? A 60 B 63 C 125 D 45 Câu 15: Cho cốc hình nón chứa đầy rượu hình vẽ Người X uống phần rượu cho chiều cao giảm so với chiều cao rượu cốc Người Y uống phần rượu lại cốc Khi khẳng định ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 5 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đơng Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12 A Người X uống lượng rượu 5, 75 lần lượng rượu người Y uống B Hai người X Y uống lượng rượu C Người X uống lượng rượu 2,375 lần lượng rượu người Y uống D Người X uống lượng rượu nửa lượng rượu người Y uống Câu 16: Một thùng đựng nước có hình khối lập phương cạnh 1m chứa đầy nước Đặt vào thùng khối có dạng nón cho đỉnh trùng với tâm mặt lập phương, đáy khối nón tiếp xúc với cạnh mặt đối diện Tính tỉ số thể tích lượng nước trào ngồi lượng nước cịn lại thùng 11   A B C D 12 11 12 12   Câu 17: Một ly có dạng hình nón hình vẽ Người ta đổ lượng nước vào ly cho chiều cao lượng nước ly chiều cao ly (khơng tính chân ly) Hỏi bịt kín miệng ly lộn ngược ly lên tỷ lệ chiều cao nước chiều cao ly bao nhiêu? 1 - 26 3- 2 B C D 3 Câu 18: Một mảnh giấy hình quạt hình vẽ Người ta dán mép AB AC lại với để hình nón đỉnh A Tính thể tích V khối nón thu (xem phần giấy dán khơng đáng kể) A 21 20 C D 20  3 Câu 19: Một công ty sản xuất loại cốc giấy hình nón tích 27cm3 với chiều cao h bán kính đáy r để lượng giấy tiêu thụ giá trị r là: A 21 B 36 38 38 36 4 r  r  r  B C D 2 2 2 2 Câu 20: Với đĩa phẳng hình trịn thép bán kính R , phải làm phễu cách cắt hình quạt đĩa gấp phần cịn lại thành hình nón Gọi độ dài cung trịn hình quạt cịn lại x Tìm x để thể tích khối nón tạo thành nhận giá trị lớn 2 R R 2 R 2 R A x  B x  C x  D x  3 3 Câu 21: Một sở sản xuất đồ gia dụng đặt hàng làm cốc hình nón khơng nắp nhơm tích V  9a 3 Để tiết kiệm sản suất mang lại lợi nhuận cao sở sản suất A r  ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 6 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đơng Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12 cốc hình nón có bán kính miệng cốc R cho diện tích nhơm cần sử dụng Tính R ? 3a 3a A R  B R  C R  9a D R  3a 2 Câu 22: Bạn A có bìa hình trịn (như hình vẽ), bạn muốn dùng bìa tạo thành phễu hình nón, bạn phải cắt bỏ phần quạt trịn AOB dán hai bán kính OA OB lại với Gọi x góc tâm hình quạt tròn dùng làm phễu Giá trị x để thể tích phễu lớn A  B  C 6 D 6   Câu 23: Từ kim loại dẻo hình quạt hình vẽ có kích thước bán kính R  chu vi hình quạt P  8  10 , người ta gò kim loại thành phễu theo hai cách: 1- Gò kim loại ban đầu thành mặt xung quanh phễu - Chia đôi kim loại thành hai phần gò thành mặt xung quanh hai phễu Gọi V1 thể tích phễu thứ nhất, V2 tổng thể tích hai phễu cách Tính A V1 21  V2 B V1 21  V2 C V1  V2 D V1 ? V2 V1  V2 Câu 24: Một phễu đựng kem hình nón giấy bạc tích 12 (cm3) chiều cao 4cm Muốn tăng thể tích kem phễu hình nón lên lần, chiều cao khơng thay đổi, diện tích miếng giấy bạc cần thêm A (12 13  15)  cm  C 12 13  cm2  15 B 12 13  cm  D (12 13  15)  cm  ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 7 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12 Câu 25: Nhà Nam có bàn trịn có bán kính m Nam muốn mắc bóng điện phía bàn cho mép bàn nhận nhiều ánh sáng Biết cường độ sin  sáng C bóng điện biểu thị công thức C  c (  góc tạo tia sáng tới mép l bàn mặt bàn, c - số tỷ lệ phụ thuộc vào nguồn sáng, l khoảng cách từ mép bàn tới bóng điện) Khoảng cách nam cần treo bóng điện tính từ mặt bàn A 1m B 1,2m C 1.5 m ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay D 2m Trang 8 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đơng Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12 TOÁN THỰC TẾ LIÊN QUAN MẶT VÀ KHỐI NĨN Câu 1: Một ly hình nón chứa đầy rượu Người ta uống phần rượu cho chiều cao phần lại nửa chiều cao ban đầu Số phần rượu uống là: A B C D Hướng dẫn giải Chọn D Gọi h , r chiều cao bán kính ly rượu.Thể ly rượu đầy V  h r h Sau uống phần cịn lại có chiều cao nên thể tích phần rượu lại 2 1 1h r V1      h r  V Vậy phần rượu uống V 8 2 Câu 2: Một bình đựng nước dạng hình nón (không đáy) đựng đầy nước Biết chiều cao bình gấp lần bán kính đáy Người ta thả vào khối trụ đo dược thể tích nước tràn ngồi 16 dm3 Biết mặt khối trụ nằm mặt hình nón, điểm đường trịn đáy cịn lại thuộc đường sinh hình nón (như hình vẽ) khối trụ có chiều cao đường kính đáy hình nón Diện tích xung quanh S xq bình nước là: A S xq  4 dm C S xq  B S xq  9 10 dm 3 dm D S xq  4 10 dm Hướng dẫn giải Chọn D Xét hình nón: h  SO  3r , r  OB, l  SA Xét hình trụ: h1  2r  NQ , r1  ON  QI QI SI r SQI  SBO     r1   Thể tích khối trụ là: BO SO 3 2 r 16 Vt   r12 h1    r   h   l  h  r  10  S xq   rl  4 10 dm 9 Câu 3: Với đĩa tròn thép tráng có bán kính R = 6m phải làm phễu cách cắt hình quạt đĩa gấp phần lại thành hình trịn Cung trịn hình quạt bị cắt phải độ để hình nón tích cực đại? A » 2, 8° B » 66° C » 294° D » 12, 56° Hướng dẫn giải Chọn B Ta nhận thấy đường sinh hình nón bán kính đĩa trịn Cịn chu vi đáy hình nón chu vi đĩa trừ độ dài cung tròn cắt Như ta tiến hành giải chi tiết sau: Gọi x (m ) độ dài đáy hình nón (phần cịn lại sau cắt cung hình quạt dĩa) Khi x = 2pr Þ r = x 2p ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12 Chiều cao hình nón tính theo định lí PITAGO h = R - r = R Thể tích khối nón là:V = x2 x2 pr h = p R - 3 4p 4p x2 4p Đến em đạo hàm hàm V (x ) tìm GTLN V (x ) đạt x = Suy độ dài cung tròn bị cắt là: 2pR - 4p Þ a = 6p - 4p 2p R = 4p 3600 » 660 6p Câu 4: Cho đồng hồ cát hình bên (gồm hình nón chung đỉnh ghép lại), đường sinh hình nón tạo với đáy góc 60 hình bên Biết chiều cao đồng hồ 30cm tổng thể tích đồng hồ 1000 cm3 Hỏi cho đầy lượng cát vào phần chảy hết xuống dưới, tỉ lệ thể tích lượng cát chiếm chỗ thể tích phần phía bao nhiêu? A B 64 C 27 D 3 Hướng dẫn giải Chọn A   30   15  chiều cao, bán kính hình nón phía phía  h h h 30  h  ; h  30  h; r    đồng hồ Ta có: r  tan 60 3 Gọi h, h, r , r   h  Khi đó: thể tích đồng hồ: 2  1  h   30  h  V   r h   r h     h  30  h       3        h3  27000  2700h  90h  h3       90h  2700h  27000  1000    ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay  Trang 10 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đơng Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12 Chu vi đường trịn đáy phễu chiều dài x dây cung MN Mặt khác số đo cung   60 suy độ dài dây cung MN độ dài đường MN số đo góc tâm nên sđ MN 3  tròn, nghĩa x  2 AK  2  6 2  3 x   Gọi r bán kính đường trịn đáy phễu, ta có x  2 r  r  2 2 2 3 3  3 105 Chiều cao phễu h  AK  r            2   105 105  Vậy thể tích phễu V   r h        64 Câu 8: Có cốc làm giấy, úp ngược hình vẽ Chiều cao cốc 20 cm , bán kính đáy cốc cm , bán kính miệng cốc 5cm Một kiến đứng điểm A miệng cốc dự định bò hai vòng quanh thân cốc để lên đến đáy cốc điểm B Quãng đường ngắn để kiến thực dự định gần với kết dước đây? A 59,93cm B 59,98cm C 58,80 cm D 58, 67 cm Hướng dẫn giải Chọn C Đặt b, a, h bán kính đáy cốc, miệng cốc chiều cao cốc,  góc kí hiệu hình vẽ Ta “trải” hai lần mặt xung quanh cốc lên mặt phẳng hình quạt khuyên với cung nhỏ BB  4 b cung lớn AA  4 a ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 14 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đơng Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12 Độ dài ngắn đường kiến độ dài đoạn thẳng BA Áp dụng định lí hàm số cosin ta được: l  BO  OA2  BO.OA.cos 2 1 BA  AB  a 4 a l   b 4 b l   a  b  h2   BB   OA  OB  AB   AB   AB. 2 b OB 2 b AA  OB   2  a  b   AB 2  a  b  a  b b AB a a b  1   OB  OB b b OA  OB  BA  b a  b a b a  h2 a  b  h2  h2 b a b  a  b  h2 c Thay  a  ,  b  ,  c  vào 1 ta tìm l  58, 79609cm  58,80  điểm Ghichú Để tồn Hướng dẫn giải đoạn BA phải khơng cắt cung BB  B Điều tương đương với khác B , tức BA nằm tiếp tuyến BB b 2  cos 1   Tuy nhiên, Hướng dẫn giải thí sinh khơng u cầu phải trình bày a điều kiện (và đề cho thỏa mãn yêu cầu đó) Câu 9: Hai ly đựng chất lỏng giống hệt nhau, có phần chứa chất lỏng khối nón có chiều cao dm (mơ tả hình vẽ) Ban đầu ly thứ chứa đầy chất lỏng, ly thứ hai để rỗng Người ta chuyển chất lỏng từ ly thứ sang ly thứ hai cho độ cao cột chất lỏng ly thứ 1dm Tính chiều cao h cột chất lỏng ly thứ hai sau chuyển (độ cao cột chất lỏng tính từ đỉnh khối nón đến mặt chất lỏng - lượng chất lỏng coi không hao hụt chuyển Tính gần h với sai số không 0,01dm) ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 15 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A A h  1, 73dm B h  1,89dm Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12 C h  1,91dm D h  1, 41dm Hướng dẫn giải Chọn C Có chiều cao hình nón đựng đầy nước ly thứ nhất: AH = Chiều cao phần nước ly thứ sau đổ sang ly thứ hai: AD = Chiều cao phần nước ly thứ hai sau đổ sang ly thứ hai: AF  h Theo Ta let ta có: R AD R AF h R Rh   ,   suy R  , R  R AH R AH 2 Thể tích phần nước ban đầu ly thứ : V  2 R Thể tích phần nước ly thứ hai : V1   R2 h  Thể tích phần nước lại ly thứ nhất: V2  Mà: V  V1  V2   R h3   R2  2 R   R h3  R2 h3    h   1,91 4 Câu 10: Cho đồng hồ cát hình bên (gồm hình nón chung đỉnh khép lại) , đường sinh hình nón hợp với đáy góc 60 ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 16 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12 Biết chiều cao đồng hồ 30 cm tổng thể tích đồng hồ 1000 cm3 Hỏi cho đầy lượng cát vào phần chảy hết xuống dưới, tỉ lệ thể tích lượng cát chiếm chỗ thể tích phần bên bao nhiêu? A 64 B 27 C 3 D Hướng dẫn giải Chọn D M M O O x x I I 30 – x – x O O M M Gọi x chiều cao hình nón phía trên; 30  x chiều cao đáy Điều kiện:  x  15   60 , OM  OI cot 60   30  x   Tam giác OIM vng O có IMO 3  O  60 , OM   OI cot 60   Tam giác OIM  vuông O có IM x Theo giả thiết ta có pt: ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 17 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A   OI OM Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12  OI OM 2   1000  x  90 x  600   x  10 (vì x  15 ) Khi 1000  Thể tích phần V1   x  9 8000  Thể tích phần V2    30  x   9 Vậy: tỉ lệ thể tích lượng cát chiếm chỗ thể tích phần bên V1  V2 chiều cao hình nón Hỏi bịch kính miệng ly úp ngược ly xuống tỷ số chiều cao mực nước chiều cao hình nón xấp xỉ bao nhiêu? Câu 11: Một ly có dạng hình nón rót nước vào với chiều cao mực nước A 0,11 B 0, 21 C 0, 08 D 0,33 Hướng dẫn giải Chọn A Gọi chiều cao bán kính đường trịn đáy ly h R Khi để cốc theo chiều xi lượng nước cốc hình nón có chiều cao bán kính đường 2h 2R tròn đáy 3 Do thể tích lượng nước bình 19 8V V  Phần không chứa nước chiếm 27 27 Khi úp ngược ly lại phần thể tích nước ly khơng đổi lúc phần khơng chứa nước hình nón ta gọi h ' R ' chiều cao bán kính đường trịn đáy phần hình nón khơng chứa nước ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 10 18 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ta có Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12 R' h' 19  V phần thể tích hình nón khơng chứa nước R h 27  h' 19 h h ' 19  h '  19  R '2   R       27 h  h  27 Do tỷ lệ chiều cao phần chứa nước chiều cao ly trường hợp úp ngược ly  h '  19  h Câu 12: Một bể nước lớn khu cơng nghiệp có phần chứa nước khối nón đỉnh S phía (hình vẽ), đường sinh SA  27 mét Có lần lúc bể chứa đầy nước, người ta phát nước bể không đạt yêu cầu vệ sinh nên lãnh đạo khu cơng nghiệp cho để làm vệ sinh bể chứa Cơng nhân cho nước ba lần qua lổ đỉnh S Lần thứ mực nước tới điểm M thuộc SA dừng, lần thứ hai mực nước tới điểm N thuộc SA dừng, lần thứ ba Biết lượng nước lần thoát Tính độ dài đoạn MN (Hình vẽ 4: Thiết diện qua trục hình nón nước) O A M N S A 9   1 m B 9   1 m C 3   1 m D 27   1 m Hướng dẫn giải Chọn B Gọi V , V1 , V2 thể tích khối nón có đường sinh SA, SM , SN V  2V2 Theo đề ta suy  V  3V2  OA2 SO OA SO SA V OA2 SO     Lại có: , mặt khác nên O1 M SO1 SM V1  O M SO O1 M SO1 1 ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 11 19 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12 Ta có tỉ số thể tích lập phương tỉ số cạnh không cần chứng minh 3 3V2  27  V  SA        SM  27 V1  SM  2V2  SM  3 3V2  27  V  SA  Và       SN  27 V2  SN  V2  SM   1 Vậy MN  SM  SN  27     9  3     1 Câu 13: Một phễu có dạng hình nón, chiều cao phễu 20 cm Người ta đổ lượng nước vào phễu cho chiều cao cột nước phễu 10 cm (hình H1) Nếu bịt kín miệng phễu lật ngược phễu lên (hình H2) chiều cao cột nước phễu gần với giá trị sau đây? A 0,87 cm B 10 cm C 1, 07 cm D 1,35cm Hướng dẫn giải Chọn A Trước lật phễu lên: Theo ta có SE  10cm , SH  20cm SCD ∽ SAB  ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay SE ED   SH HB Trang 12 20 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đơng Trường THPT Nho Quan A Suy Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12 Vnuoc ED SE    Vkhi  V pheu V pheu HB SH 8 Sau lật phễu lên: SMN  SAB  SF FD  SH HB Do Vkhi 3 7  FN  SF  SF   V pheu       SF  SH     HB  SH  SH  Vậy chiều cao nước sau lật phễu 3   7 7 FH  SH  HF  SH 1   20      0,8706     Câu 14: Một thơng Noel có dạnh hình nón với chiều dài đường sinh 60cm bán kính đáy r  10cm Một kiến bắt đầu xuất phát từ đỉnh nằm mặt đáy hình nón có dự định bị vịng quanh thơng sau quay trở lại vị trí xuất phát ban đầu Tính quãng đường ngắn mà kiến bao nhiêu? A 60 B 63 C 125 Hướng dẫn giải D 45 Chọn A Ta “cắt” hình nón theo cạnh AE trải hình nón hình quạt hình vẽ Ta ý đường sinh hình nón bán kính quạt nên R  60cm Gọi r bán kính đáy nón   góc cung trịn quạt Khi chu vi của cung trịn quạt là:  C  2 R   2 2 r      2 r    R  Vậy hình quạt ta phần sáu hình trịn tam giác AEE  tam giác Quãng đường ngắn mà kiến độ dài EE   60cm ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 13 21 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12 Câu 15: Cho cốc hình nón chứa đầy rượu hình vẽ Người X uống phần rượu cho chiều cao giảm so với chiều cao rượu cốc Người Y uống phần rượu lại cốc Khi khẳng định A Người X uống lượng rượu 5, 75 lần lượng rượu người Y uống B Hai người X Y uống lượng rượu C Người X uống lượng rượu 2,375 lần lượng rượu người Y uống D Người X uống lượng rượu nửa lượng rượu người Y uống Hướng dẫn giải Chọn C Gọi V   R h thể tích rượu có cốc hình nón ( với R bán kính đáy hình nón h chiều cao hình nón)  R  2h   R2h Sau người X uống lượng rượu cịn lại người Y uống VY       81 19 Khi người X uống lượng rượu VX  V  VY   R h 81 V 19  2,375 Vậy X  VY Câu 16: Một thùng đựng nước có hình khối lập phương cạnh 1m chứa đầy nước Đặt vào thùng khối có dạng nón cho đỉnh trùng với tâm mặt lập phương, đáy khối nón tiếp xúc với cạnh mặt đối diện Tính tỉ số thể tích lượng nước trào ngồi lượng nước cịn lại thùng 11   A B C D 12 11 12 12   Hướng dẫn giải Chọn D Thể tích thùng 1m3 ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 14 22 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12 Từ giả thiết ta thấy khối nón có chiều cao h cạnh hình lập phương, bán kính đáy r bán kính đường trịn nội tiếp hình vng cạnh 1m Suy ra: h  1m , r  m  m3 Thể tích lượng nước cịn Thể tích nước trào thể tích nón V1   r h  12  12   V   lại V2     12 12 V2 12   Câu 17: Một ly có dạng hình nón hình vẽ Người ta đổ lượng nước vào ly cho chiều cao lượng nước ly chiều cao ly (khơng tính chân ly) Hỏi bịt kín miệng ly lộn ngược ly lên tỷ lệ chiều cao nước chiều cao ly bao nhiêu?   A - 26 B 3- 2 Hướng dẫn giải C D Chọn A h Ta có VH 2O     r 3 h 1 R r 1 h R2      h. R   V Mà    r  Suy VH 2O      27  3 R h 3  27 26 26  h   R  * Vậy thể tích khối lại: V1  V  h1   r12  27 27 3 h 26 R 26 h r h h 26     1 Mặt khác  nên *   h 27 r1 27 h1 R h h hH O  26 h  h1  26     h h Câu 18: Một mảnh giấy hình quạt hình vẽ Người ta dán mép AB AC lại với để hình nón đỉnh A Tính thể tích V khối nón thu (xem phần giấy dán khơng đáng kể) A 21 B 20 21  Hướng dẫn giải C D 20 Chọn C Gọi R, h bán kính chiều cao hình nón Đường sinh l  Ta có : 4 21 2 R  4  R   h  l  R  21  V   R h  3 ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 15 23 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đơng Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12 Câu 19: Một công ty sản xuất loại cốc giấy hình nón tích 27cm3 với chiều cao h bán kính đáy r để lượng giấy tiêu thụ giá trị r là: A r  36 2 B r  38 2 C r  38 2 D r  36 2 Hướng dẫn giải Chọn C 81 81 Thể tích cốc: V   r h  27  r h   h     r Lượng giấy tiêu thụ diện tích xung quanh nhỏ S xq  2 rl  2 r r  h  2 r r   2 r   3 812 812   r   r4  r2 812 812 812 812 r    2 r 2 r 2 r 2 r 814 (theo BĐT Cauchy) 4 812 38 38 6  r   r  2 r 2 2 Câu 20: Với đĩa phẳng hình trịn thép bán kính R , phải làm phễu cách cắt hình quạt đĩa gấp phần cịn lại thành hình nón Gọi độ dài cung trịn hình quạt cịn lại x Tìm x để thể tích khối nón tạo thành nhận giá trị lớn 2 R R 2 R 2 R A x  B x  C x  D x  3 3 Hướng dẫn giải Chọn C S xq nhỏ  r  R r Chu vi đường tròn đĩa là: C  2 R Chu vi đường tròn đáy hình nón là: C   x x Bán kính đường trịn đáy hình nón là: r  2 Chiều cao hình nón là: h  R  r  R  x2 4 x2 x2 Thể tích khối nón là: V   r h   R  4 4 ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 16 24 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A V  2 x x x R2    6 4 4 4 x x2 R  4 Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12 x3 1  x 4 R  x  12 24 4 R  x 8 R 2 R 1 2 2 2 2  x    R  x  x x x  R  x  x     2 12 24 Câu 21: Một sở sản xuất đồ gia dụng đặt hàng làm cốc hình nón khơng nắp nhơm tích V  9a 3 Để tiết kiệm sản suất mang lại lợi nhuận cao sở sản suất cốc hình nón có bán kính miệng cốc R cho diện tích nhơm cần sử dụng Tính R ? 3a 3a A R  B R  C R  9a D R  3a 2 Hướng dẫn giải Chọn B V   27a V  9a 3   R h  h   l  h  R  R S xq   R.l   R  3a  12    3a  R  R6  3a   R  R6  3a   R6 R4  3a   2R  3a   2R  3a   3a   2 R 6 2R 2R R 9 a  3a  3a 2R Câu 22: Bạn A có bìa hình trịn (như hình vẽ), bạn muốn dùng bìa tạo thành phễu hình nón, bạn phải cắt bỏ phần quạt trịn AOB dán hai bán kính OA OB lại với Gọi x góc tâm hình quạt trịn dùng làm phễu Giá trị x để thể tích phễu lớn Dấu xảy  R   3a   R  R  6 ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 17 25 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A A  B  Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12 6 Hướng dẫn giải C D 6   Chọn C Khơng tính tổng qt ta chọn R  Khi đó, hình nón có đường sinh chu vi đáy 1.x (rad) nên có bán kính đáy x2 x 2 chiều cao h  l  r   r 4 2 x2 x2 x2 x  Thế tích phễu V   r h     3 4 4 12 4 x2 x  với x   0; 2  Xét hàm số f  x   12 4        x x x2     2x 1   Ta có: f  x    8 x 1    x  12  4 x2  x2   4   4   48   4  4   x   2 Cho f   x    3 x  8 x    x   2   x     0; 2   2  2 Tính f    , f  , f  2   nên thể tích phễu lớn x     27    Câu 23: Từ kim loại dẻo hình quạt hình vẽ có kích thước bán kính R  chu vi hình quạt P  8  10 , người ta gò kim loại thành phễu theo hai cách: 1- Gò kim loại ban đầu thành mặt xung quanh phễu - Chia đôi kim loại thành hai phần gò thành mặt xung quanh hai phễu Gọi V1 thể tích phễu thứ nhất, V2 tổng thể tích hai phễu cách Tính ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay V1 ? V2 Trang 18 26 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A A V1 21  V2 B V1 21  V2 C Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12 V1  V2 D V1  V2 Hướng dẫn giải Chọn B Do chu vi hình quạt trịn P = độ dài cung + 2R Do độ dài cung tròn l  8 Theo cách thứ nhất: 8 chu vi đường trịn đáy phễu Tức 2 r  8  r  Khi h  R  r  52  42   V1  3 42 Theo cách thứ hai: Thì tổng chu vi hai đường tròn đáy hai phễu 8  chu vi đường tròn đáy 4  4  2 r  r  Khi h  R  r  52  22  21  V2  21.22. V1 42 21 Khi   V2 21 Câu 24: Một phễu đựng kem hình nón giấy bạc tích 12 (cm3) chiều cao 4cm Muốn tăng thể tích kem phễu hình nón lên lần, chiều cao khơng thay đổi, diện tích miếng giấy bạc cần thêm A (12 13  15)  cm  C B 12 13  cm  12 13  cm2  15 D (12 13  15)  cm  Hướng dẫn giải Chọn A Gọi R1 bán kính đường trịn đáy hình nón lúc đầu; h1 chiều cao hình nón lúc đầu Gọi R2 bán kính đường trịn đáy hình nón sau tăng thể tích; h2 chiều cao hình nón sau tăng thể tích 1 Ta có: V1   R12 h1  12   R12  R1  3  V1   R12 h1   R2  V V2   R2 h2    22   R2  R1   V1 R1 h2  h1    Diện tích xung quanh hình nón lúc đầu: S xp1   R1l1   16   15  cm  ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 19 27 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12 Diện tích xung quanh hình nón sau tăng thể tích: S xp   R2l2   16  36  12 13  cm    Diện tích phần giấy bạc cần tăng thêm là: S  12 13  15   cm  Câu 25: Nhà Nam có bàn trịn có bán kính m Nam muốn mắc bóng điện phía bàn cho mép bàn nhận nhiều ánh sáng Biết cường độ sin  sáng C bóng điện biểu thị công thức C  c (  góc tạo tia sáng tới mép l bàn mặt bàn, c - số tỷ lệ phụ thuộc vào nguồn sáng, l khoảng cách từ mép bàn tới bóng điện) Khoảng cách nam cần treo bóng điện tính từ mặt bàn A 1m B 1,2m C 1.5 m D 2m Hướng dẫn giải Đ l h α N I M Gọi h độ cao bóng điện so với mặt bàn (h > 0); Đ bóng điện; I hình chiếu Đ lên mặt bàn MN đường kính mặt bàn.( hình vẽ) Ta có sin   C '  l   c l2  h (l  2) h  l  , suy cường độ sáng là: C (l )  c l3 l  l2 l l    l   C 'l    l  l    Lập bảng biến thiên ta thu kết C lớn l  , ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 20 28 ... Trang 8 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón- Trụ-Cầu - Hình Học 12 TỐN THỰC TẾ LIÊN QUAN MẶT VÀ KHỐI NÓN Câu 1: Một ly hình nón chứa đầy rượu Người ta uống phần rượu cho chiều... Một thùng đựng nước có hình khối lập phương cạnh 1m chứa đầy nước Đặt vào thùng khối có dạng nón cho đỉnh trùng với tâm mặt lập phương, đáy khối nón tiếp xúc với cạnh mặt đối diện Tính tỉ số thể... Một thùng đựng nước có hình khối lập phương cạnh 1m chứa đầy nước Đặt vào thùng khối có dạng nón cho đỉnh trùng với tâm mặt lập phương, đáy khối nón tiếp xúc với cạnh mặt đối diện Tính tỉ số thể