Giáo án giải tích 12 chuyên đề 2 bài 4 phương trình mũ và bất phương trình mũ

TOANMATH com Trang 1 CHUYÊN ĐỀ 2 BÀI 4 PHƯƠNG TRÌNH MŨ – BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ Mục tiêu  Kiến thức + Biết được cách giải một số dạng phương trình mũ + Biết được cách giải một số dạng bất phương trình m.

CHUYÊN ĐỀ BÀI PHƯƠNG TRÌNH MŨ – BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ Mục tiêu  Kiến thức + Biết cách giải số dạng phương trình mũ + Biết cách giải số dạng bất phương trình mũ  Kĩ + Giải số phương trình mũ bất phương trình mũ đơn giản phương pháp đưa số, logarit hóa, đặt ẩn phụ, tính chất hàm số + Nhận dạng loại phương trình mũ bất phương trình mũ I LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM Phương trình mũ a x = b + Nếu b  phương trình có nghiệm x  log a b + Nếu b  phương trình vơ nghiệm Đặc biệt: Phương trình a x  a y  x  y (biến đổi số) f x g x Dạng 1: Phương trình có dạng a    a   f x g x + Nếu a  a    a   nghiệm với x + Nếu  a  f  x   g  x  Dạng 2: Phương trình có dạng a f  x  b (với  a  1, b  ) a f  x   b  f  x   log a b Bất phương trình mũ f x g x Dạng 1: Bất phương trình có dạng a    a   1 + Nếu a  1  f  x   g  x  + Nếu a  (1) nghiệm x   + Nếu  a  1  f  x   g  x  Dạng 2: Bất phương trình có dạng a f  x  b (với b  ) (2) + Nếu a     f  x   log a b + Nếu  a     f  x   log a b Dạng 3: Bất phương trình có dạng a f  x   b  3 + Nếu b  (3) nghiệm x   + Nếu b  0, a   3  f  x   log a b TOANMATH.com Trang + Nếu  a   3  f  x   log a b SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HĨA b0 Phương trình có nghiệm x  log a b b0 Phương trình vơ nghiệm ax  b PHƯƠNG TRÌNH MŨ a 1 a f  x a Phương trình nghiệm với x g  x a  1, a  a f  x b a  a 1 f  x a g  x  f  x  g  x a f  x   b  f  x   log a b b0 a f  x   b  f  x   log a b a 1 a f  x  b b  0 a f  x   b  f  x   log a b  a 1 BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ Tìm điều kiện để f  x  có b0 a f  x nghĩa b  a 1 a f  x   b  f  x   log a b a 1 a f  x   b  f  x   log a b b0 TOANMATH.com Trang II CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng Phương trình mũ Bài tốn Biến đổi dạng phương trình Ví dụ mẫu Ví dụ Tổng tất nghiệm phương trình x A C B  x4  16 D Hướng dẫn giải Cách 1: Ta có x  x4   x 1 1  x  x   log  x2  x    16 16 x  Vậy tổng tất nghiệm phương trình Cách 2: Ta có: x  x4 x   4  x  x   4  x  x     x 1 Vậy tổng tất nghiệm phương trình Chọn D  25  Ví dụ Tổng nghiệm phương trình 0,     x 12 x A -8 B  27     125  C D Hướng dẫn giải  25  Ta có: 0,     x 12 x  3   5 x 3   5 24  x  27  3      125  5 3  3     5 5 Vậy tổng nghiệm x 5   3 24  x  x 2 x  24  3   5  x3  3     2 x  x  24    x   5  Chọn B Ví dụ Tổng tất nghiệm thực phương trình 3.5x  x A  B C  2 1  5.32 x  x 1 D Hướng dẫn giải Ta có: 3.5 x  x 1 2 x  x 1  5.3 TOANMATH.com  5x 2 x 1 2 x  x 1 5    3 2 x  x 1  Trang x 0  2 x  x     x   2 Vậy tổng nghiệm Chọn D  Ví dụ Gọi T tích tất nghiệm phương trình  2 A T  B T  2  x2  x 2   3 2 C T  1  x3  Tìm T D T  Hướng dẫn giải    Nhận xét:  2  2    2  3  2  x2  x    3 2  x3    3 2 3 2   3 2  x2  x    1  3 2  , nên  x3 x   x  x2  2 x  x  x  x     x  1   2 3 Do tích tất nghiệm Chọn A Bài tốn Phương trình theo hàm số mũ Phương pháp giải Chú ý: Ta đặt ẩn phụ sau đưa phương trình chứa hàm số mũ Ta thường gặp dạng sau:  m.a  m.a f  x f  x  n.a  n.b f  x f  x f  x  p0 f x f x  p  , a.b  Đặt t  a   , t  suy b    t  n  a.b  f  x f  x f  x a đặt   b f  x  m.a  Ẩn phụ khơng hồn tồn: Đặt a x  t phương trình chứa x t Ta coi t ẩn; x  p.b  Chia hai vế cho b  t  tham số, tìm mối quan hệ x t Ví dụ mẫu 2 Ví dụ Số nghiệm thực phân biệt phương trình x  5.2 x   A B C Đưa phương trình ban Hướng dẫn giải Ta có: x  5.2 x     22   5.2 x   2 TOANMATH.com D x2 đầu dạng phương trình bậc hai ẩn x Trang    x2  2x   x2   x0  5.2       x    x   x   x2 Chọn A Ví dụ Phương trình 31 x  31 x  10 có hai nghiệm x1 ; x2 Khi giá trị biểu thức P  x1  x2  x1 x2 A B -6 C -2 D Hướng dẫn giải 1 x Ta có: 1 x 3  10  3.3  x  10   x   10.3x   x Đưa phương trình ban đầu dạng phương trình bậc hai ẩn 3x  3x   x 1  x 1 Vậy P  2 3  x  1   Chọn C Ví dụ Tích nghiệm phương trình A B -1     x 1  C x   2  D Hướng dẫn giải Ta có   1 x       1           1   1  1   1   1  2     x  nên phương trình thành 1  2 1   2  x   x 1 1   x 1  x  1   1 1 Đưa phương trình ban đầu dạng phương trình  1  1  1   1  x x Nhận xét: bậc  hai ẩn x 1 Vậy tích nghiệm phương trình -1 Chọn B Ví dụ Gọi S tổng tất nghiệm phương trình 3.4 x 1  11.6 x  2.9 x  Tìm S A S   log B S   log C S   log 2 D S  Hướng dẫn giải Ta có: 3.4 x 1  11.6 x  2.9 x   12.4 x  11.6 x  2.9 x  Chia vế cho x đưa phương trình bậc hai ẩn TOANMATH.com Trang 2x x x 6x 9x 3 3  12  11 x  x      11    12  4 2 2 3   2   x     x   log  x  log 2       x    x 1  x 1    2   Vậy S   log 2 Chọn C  Ví dụ Phương trình    3   x x  3.2 x có hai nghiệm x1 ; x2 Giá trị biểu thức A  x12  x22 bao nhiêu? A B 13 C D Hướng dẫn giải Ta có 1 3 3 3  3  Nhận xét     1    2      x x 2x 3  3       x 1  3   3   3   3  Do đó:                       Chia vế cho x đưa    x        x 1   x  x  1           3      phương trình bậc hai ẩn x Vậy A  Chọn D Ví dụ Tổng tất nghiệm thực 3.4 x   x  10  x   x  S  log a a phân số tối , với b b giản Giá trị a  b A B C D Hướng dẫn giải 3.4 x   x  10  x   x    x    x  10  x   x  Đặt x  t  t   , phương trình trở thành 3t   3x  10  t   x  Ta xem phương trình bậc hai theo ẩn t  x tham số x TOANMATH.com Trang  1  2x  t   Giải phương trình theo tham số x ta 3    x   x * t   x   Giải phương trình (*), ta có: x  x   Đặt f  x   x  x  3, f '  x   x ln   0, x   nên phương trình f  x   có tối đa nghiệm Mà f 1  nên phương trình f  x   có nghiệm x  1 Tóm lại phương trình có nghiệm x1  log ; x2  nên S  log   log 3 Do a  2, b  suy a  b  Chọn D Bài toán Lấy logarit hai vế Phương pháp giải Cho  a  x, y  ta có x  y  log a x  log a y  Phương trình a  Phương trình a f  x f  x 0  a  1, b  b  f  x   log a b  b g  x   log a a f  x   log a b g  x   f  x   g  x  log a b log b a f  x   log b b g  x   f  x  log b a  g  x  Ví dụ mẫu Ví dụ Gọi S tổng tất nghiệm thực phương trình x 3 x  Tìm S A S  log B S  log C S  log D S  log Hướng dẫn giải Ta có: Lấy logarit số  2  x 3 x   log x 3 x  log  log x  log 3 x  số hai vế x   x log  x   x  x log  1     x   log log  Vậy tổng nghiệm S  log Chọn A Ví dụ Phương trình 3x.5 x 1 x  15 có nghiệm dạng x   log a b , với a, b số nguyên dương lớn nhỏ Giá trị P  a  2b bao nhiêu? TOANMATH.com Trang A P  B P  C P  13 D P  Hướng dẫn giải Ta có: 3x.5 x 1 x  15   log3 3x 1  log x 1 x x 1 x x 3.5   3x 1.5   x 1  x 1 x x 1     log  3x 1.5 x     x 1 log  x  x 1     x  1   log      x   x   log Vậy a  3, b  suy a  2b  13 Chọn C Bài toán Đặt nhân tử chung Ví dụ mẫu Ví dụ Tổng tất nghiệm thực phương trình 2.11x  253x  23x  A B C D Hướng dẫn giải Ta có: 2.11x  253x  23 x   2.11x  11x.23x  23x    11x  1  23x 11x  1     23x 11x  1   11x   (vì  3x  0, x   )  x  Chọn A Ví dụ Phương trình x x  4.2 x x  2 x   có số nghiệm nguyên dương A B C D Hướng dẫn giải Ta có: x x  4.2 x x  22 x    x  x.22 x  4.2 x   x  x  2 x     2 x      2 x   x 2 x x  22 x    1   22 x   2x   x 1    x x  x  x  x   Vậy phương trình có nghiệm ngun dương Chọn B Bài tốn Phương pháp hàm số TOANMATH.com Trang Phương pháp giải Sử dụng tính đơn điệu hàm số: Tính chất Nếu hàm số y  f  x  đồng biến (hoặc nghịch biến)  a; b  có tối đa nghiệm phương trình f  x   k  a; b  f  u   f  v   u  v, u, v   a; b  Tính chất Nếu hàm số y  f  x  liên tục đồng biến (hoặc nghịch biến); hàm số y  g  x  liên tục nghịch biến (hoặc đồng biến) D số nghiệm D phương trình f  x   g  x  không nhiều Tính chất Nếu hàm số y  f  x  đồng biến (hoặc nghịch biến) D bất phương trình f  u   f  v   u  v (hoặc u  v ) , u , v  D Ví dụ mẫu Ví dụ Phương trình 3x   x có nghiệm? A B C D Hướng dẫn giải Ta có: 3x   x  3x  x   Đặt f  x   3x  x  5, ta có f   x   3x ln   0, x   nên phương trình f  x   có tối đa nghiệm Mà f 1  nên phương trình f  x   có nghiệm x  Vậy phương trình có nghiệm Chọn C Ví dụ Phương trình x  x   x có nghiệm? A B C D Hướng dẫn giải Ta có: x  x   x  x  x  x   Đặt f  x   5x  x  x  2, ta có f   x   5x.ln  x ln  Xét f   x    x.ln  x ln   Ta có f   x   x.ln  x ln 2  0, x   nên phương trình f   x   có tối đa nghiệm Vì lim f   x   5 lim f   x    nên phương trình f   x   có x  x  nghiệm x  x0 Do đó, phương trình f  x   có tối đa hai nghiệm TOANMATH.com Trang  f 1  Mà  nên phương trình có hai nghiệm x  x   f    Chọn D Ví dụ Tổng nghiệm phương trình 23 x x  210 x  23 x3  10 x  x gần số đây? A 0,35 B 0,40 C 0,50 D 0,45 Hướng dẫn giải Ta có 223 x x  210 x  23x  10 x  x  223 x x  23 x3  x  210 x  10 x Đặt f  t   2t  t , ta có f   t   2t.ln   0, t   Mà f  23 x  x   f 10 x   x0 nên 23 x  x  10 x   x    23 Vậy tổng nghiệm phương trình 10 23 Chọn B Ví dụ Có giá trị nguyên tham số m để phương trình 3m  27 3m  27.2 x  x có nghiệm thực? A B C Vô số D Không tồn m Hướng dẫn giải Ta có 3m  27 3m  27.2 x  x  27 3m  27.2 x  23 x  3m Đặt x  u , điều kiện: u  3m  27.2 x  v  v  3m  27.u 1  2  3 (1) trở thành u  27v  3m Từ (3) (2) suy u  27v  v  27u   u  v   u  uv  v  27    u  v  3v  Do u  uv  v    u  v    27  0, u , v  , nên   3m  27u  u  m  Xét hàm số f  u   Ta có f   u   u  27u , với u  u  27u với u   3u  27  ; f   u    u  u  TOANMATH.com Trang 10 ... x  4 .2 x x  22 x    x  x .22 x  4 .2 x   x  x  2 x     2 x      2 x   x 2 x x  22 x    1   22 x   2x   x 1    x x  x  x  x   Vậy phương trình. .. 11.6 x  2. 9 x   12. 4 x  11.6 x  2. 9 x  Chia vế cho x đưa phương trình bậc hai ẩn TOANMATH.com Trang 2x x x 6x 9x 3 3  12  11 x  x      11    12  4 ? ?2? ?? ? ?2? ?? 3   ? ?2? ??  ... trình  2 A T  B T  ? ?2  x2  x ? ?2   3 2 C T  1  x3  Tìm T D T  Hướng dẫn giải    Nhận xét:  2  2    2  3  2  x2  x    3 2  x3    3 2 3 2   3 2  x2  x 