Giáo án giải tích lớp 12 chuyên đề 2 bài 3 hàm số mũ và hàm số lôgarit

CHUYÊN ĐỀ BÀI HÀM SỐ MŨ – HÀM SỐ LÔGARIT Mục tiêu  Kiến thức + Nắm vững khái niệm tính chất hàm số mũ, hàm số lơgarit + Trình bày áp dụng cơng thức tìm đạo hàm hàm số mũ, hàm số lôgarit + Nhận biết dạng đồ thị hàm số mũ, hàm số lôgarit  Kĩ + Biết cách vận dụng tính chất hàm số mũ, hàm số lôgarit vào việc so sánh hai số, hai biểu thức chứa mũ lôgarit + Biết cách vẽ đồ thị hàm số mũ, hàm số lơgarit + Tìm đạo hàm hàm số mũ, hàm số lôgarit I LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM Hàm số mũ Định nghĩa Hàm số y  a x  a  0; a  1 gọi hàm số mũ số a Tập xác định Hàm số y  a x  a  0; a  1 có tập xác định  Đạo hàm Hàm số y  a x  a  0; a  1 a  '  a x ln a a '  a u ln a.u ' x u có đạo hàm x Đặc biệt:  e x  '  e x lim a x  0, lim a x    a  1 ; x  x  lim a x  , lim a x    a  1 x  x  Sự biến thiên  Khi a  hàm số đồng biến  Khi  a  hàm số nghịch biến Đồ thị Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang trục Ox qua điểm  0;1 , 1; a  nằm phía trục hồnh TOANMATH.com Trang Hàm số lơgarit Định nghĩa Hàm số y  log a x  a  0; a  1 gọi hàm số lôgarit số a Tập xác định Tập xác định:  0;  Đạo hàm Hàm số y  log a x  a  0; a  1 có đạo hàm x dương  log a x  '  Đặc biệt:  ln x  '  x x ln a Giới hạn đặc biệt lim log a x  , lim log a x    a  1 ; x  0 x  lim log a x  , lim log a x     a  1 x  0 x  Sự biến thiên  Khi a  hàm số đồng biến  Khi  a  hàm số nghịch biến Đồ thị Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng trục Oy qua điểm 1;0  ,  a;1 nằm bên phải trục tung Nhận xét: Đồ thị hàm số y  a x y  log a x  a  0, a  1 đối xứng với qua đường thẳng y  x Ứng dụng Lãi đơn số tiền lãi tính số tiền gốc mà khơng tính số tiền lãi số tiền gốc sinh ra, tức tiền lãi kì hạn trước khơng tính vào vốn để tính lãi cho kì hạn kế tiếp, cho dù đến kì hạn người gửi khơng đến rút tiền Cơng thức tính: Khách hàng gửi vào ngân hàng A đồng với lãi đơn r (% / kì hạn) số tiền khách hàng nhận vốn lẫn lãi sau n kì hạn ( n   * ) là: S n  A  nAr  A 1  nr  Lãi kép tiền lãi kì hạn trước người gửi khơng rút tính vào vốn để tính lãi cho kì hạn sau TOANMATH.com S  n  log 1 r   n  ;  A Trang Cơng thức tính: Khách hàng gửi vào ngân hàng A đồng với lãi kép r (% / kì hạn) số tiền khách hàng nhận vốn lẫn lãi sau A n kì hạn ( n   * ) là: S n  A 1  r  n Tiền gửi hàng tháng: Mỗi tháng gửi số tiền vào thời gian cố định Cơng thức tính: Đầu tháng, khách hàng gửi vào ngân hàng số tiền A đồng với lãi kép r (% / tháng) số tiền khách hàng nhận vốn lẫn lãi sau n tháng ( n   * ) (nhận tiền cuối tháng, ngân hàng tính lãi) Sn Ta có S n  r%  n Sn  1; A Sn 1  r  n  S n r  n  log 1 r   1 ;  A 1  r      S n r  n  log1 r    1 ;  A 1  r   S n r A n 1  r  1  r   1 A n 1  r   1 1  r   r Gửi ngân hàng rút tiền gửi hàng tháng Gửi ngân hàng số tiền A đồng với lãi suất r (% / tháng) Mỗi tháng vào ngày ngân hàng tính lãi, rút số tiền X đồng r n Cơng thức tính: X   A 1  r   Sn    1  r n  Khi số tiền cịn lại sau n tháng Sn  A1  r  n 1  r  X n 1 r Vay vốn trả góp: Vay ngân hàng số tiền A đồng với lãi suất r (% / tháng) Sau tháng kể từ ngày vay, bắt đầu hoàn nợ; hai lần hoàn nợ cách tháng, hoàn nợ số tiền X đồng trả hết tiền nợ sau n tháng Công thức tính: Cách tính số tiền cịn lại sau n tháng giống hồn tồn cơng thức tính gửi ngân hàng rút tiền hàng tháng nên ta có S n  A 1  r  n 1  r  X n 1 r Để sau n tháng trả hết nợ S n  nên A 1  r   X n 1  r  r n 1 0 A 1  r  r n Suy lần hoàn nợ số tiền X  1  r  n 1 Bài toán tăng lương: Một người lãnh lương khởi điểm A (đồng/tháng) Cứ sau n tháng lương người tăng thêm TOANMATH.com Trang r (% / tháng) Hỏi sau kn tháng, người lĩnh tiền? Cơng thức tính: Lương nhận sau kn tháng S kn  An 1  r  k 1 r Bài toán tăng trưởng dân số Cơng thức tính tăng trưởng dân số: X m  X n 1  r  mn , m, n    , m  n Trong đó: r % tỉ lệ tăng dân số từ năm n đến năm m; X m dân số năm m, X n dân số năm n Từ ta có cơng thức tính tỉ lệ tăng dân số r %  m  n Xm 1 Xn Lãi kép liên tục Gửi vào ngân hàng A đồng với lãi kép r (% / năm) số tiền nhận vốn lẫn lãi sau n năm ( n   * ) là: S n  A 1  r  n Giả sử ta chia năm thành m kì hạn để tính lãi lãi suất kì hạn r % số tiền thu sau n năm là: m r  Sn  A 1    m m n Khi tăng số kì hạn năm lên vô cực, tức m   , gọi hình thức lãi kép liên tục người ta chứng minh số tiền nhận gốc lẫn lãi là: S  Ae n.r (công thức tăng trưởng mũ) TOANMATH.com Trang SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA HÀM SỐ MŨ y' với x Luôn đồng biến Tập xác định D Đạo hàm y' với x Luôn nghịch biến y '  a x ln a Hàm số Hàm số y  ax a 1 Tiệm cận ngang Ox y  ax  a 1 Đồ thị  Luôn qua điểm  0;1  a;1  Nằm phía Ox HÀM SỐ LƠGARIT y '  x  Tập xác định y '  x  D   0;   Luôn đồng biến Hàm số y  log a x a 1 Đạo hàm y'  ,x  x ln a Tiệm cận đứng Oy Luôn nghịch biến Hàm số y  log a x  a 1 Đồ thị  Luôn qua điểm 1;0   a;1  Nằm bên phải Oy TOANMATH.com Trang II CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Đạo hàm, biến thiên hàm số Bài tốn 1: Tìm đạo hàm hàm số mũ – hàm số lôgarit Phương pháp giải Sử dụng công thức đạo hàm hàm số mũ, lôgarit a '  a x x ln a;  a u  '  a u ln a.u' 1 ;  ln x  '  x ln a x  log a x  '  Ví dụ mẫu Ví dụ 1: Khẳng định sau sai? A  3x  '  3x ln C  log3 x  '  B  ln x  '  x ln x D  e2 x  '  e x Hướng dẫn giải Ta có:   '  ln nên đáp án A x  ln x  '  x nên đáp án B x nên đáp án C x ln  log x  '   e  '   x  '.e 2x 2x  2.e x nên đáp án D sai Chọn D Ví dụ 2: Tìm đạo hàm hàm số y  16 x A y '   x   16 x C y '  16 x 2 2 1 2 4 B y '  x.16 x 2 D y '  x.42 x ln16 ln ln Hướng dẫn giải Ta có: y '   x   '.16 x 2 ln16  x.16 x 2 4ln  x.42 x 4 ln Chọn D Ví dụ 3: Tìm đạo hàm hàm số f  x   ln  x  1 A f '  x   ln  x  1 C f '  x   x 1 TOANMATH.com B f '  x   ln x D f '  x   2x x 1 Trang Hướng dẫn giải Ta có: f '  x  x   1 ' x 1  2x x 1 Chọn D   Ví dụ 4: Tìm đạo hàm hàm số y  ln  x  A y '  C y '   x 1 1 x 1 B y '   x 1 D y '  1 x 1  x 1 1 x 1  1 x 1 Hướng dẫn giải u' , ta có u Áp dụng cơng thức  ln u  '     y '  ln  x  '    Mà  x  '  1   x 1 ' 1 x 1 1 nên y '  x 1 x 1 1 x 1   Chọn B Ví dụ 5: Cho hàm số f  x   ln  e  x  xe x  Giá trị f '   A B C 1 D 2 D 3ln Hướng dẫn giải Ta có f '  x  e  x  xe x  ' e x  xe x Suy f '      e  x  e  x  xe  x x  x x e  xe 1 x 2  1 Chọn D Ví dụ 6: Cho hàm số y  log  x  1 Giá trị y ' 1 A 3ln B C 2ln Hướng dẫn giải Ta có f  x   log  x  1  f '  x   x ln 2  f ' 1  x   1 ln Chọn B TOANMATH.com Trang Bài tốn 2: Xét tính đồng biến, nghịch biến hàm số mũ hàm số lôgarit Phương pháp giải Hàm số y  a x  a  0; a  1 đồng biến a  nghịch biến  a  x 1 Ví dụ: Hàm số y    nghịch biến  2 0  Hàm số y  log a x đồng biến a  nghịch Ví dụ: Hàm số y  log a  x đồng biến  0;  biến  a  2a    a  1 Ví dụ mẫu Ví dụ 1: Tìm a để hàm số y   2a   nghịch biến  x A a3 B a3 C a  D a  Hướng dẫn giải Hàm số y   2a   nghịch biến   2a    x  a  Chọn A Ví dụ 2: Hàm số sau đồng biến  ?   B y    2 A y  log x x  3 C y       x D y  log x Hướng dẫn giải Ta có hàm số y  a x đồng biến  a  Ở phương án B, a    thỏa mãn khẳng định Ta loại phương án A D hàm số y  log a x xác định  0;  x  3 Ta loại phương án C,   nên hàm số y     nghịch biến  0;    Chọn B Ví dụ 3: Cho hàm số y   x  3 e x Khẳng định sau đúng? A Hàm số đồng biến khoảng  ;1 B Hàm số nghịch biến khoảng  3;1 C Hàm số nghịch biến khoảng 1;  TOANMATH.com Trang D Hàm số đồng biến khoảng  1;3 Hướng dẫn giải Ta có: y '  x.e x   x  3 e x  e x  x  x  3 x  y'     x  3 Bảng xét dấu:  x -3 y’ +  - + Chọn B Bài tập tự luyện dạng Bài tập Câu 1: Cho hàm số y  e x sin x Khẳng định sau đúng? A y '  e x cos x B y ' y  y " Câu 2: Cho hàm số y  e ax  bx  c C y "   y ' y  D y "  2e x cos x đạt cực trị x  đồ thị hàm số cắt trục tung điểm có tung độ e Giá trị hàm số x  A y    B y    e Câu 3: Cho hàm số y  A y ' xy"   x2 C y    e e2 ln x , khẳng định sau đúng? x B y ' xy"  x2 Câu 4: Cho hàm số y  log  3x  x  , biết y ' 1  A D y    B C y ' xy"   x2 D y ' xy"  x2 a  với a, b   Giá trị a  b b ln C D Câu 5: Tìm đạo hàm hàm số y  f  x   x  x điểm x  A f ' 1   B f ' 1    ln  C f ' 1     ln  D f ' 1  Câu 6: Tìm đạo hàm hàm số y  log x A y '  x ln B y '  x ln10 C y '  x ln10 D y '  ln10 x Câu 7: Cho hàm số f  x   ln x Tìm đạo hàm hàm số g  x   log  x f '  x   A g '  x   x TOANMATH.com B g '  x   x ln C g '  x   ln x D g '  x   x ln Trang Câu 8: Cho hàm số y  ecos x Khẳng định sau đúng? A y 'cos x  y.sin x  y "  B y 'sin x  y.cos x  y "  C y 'sin x  y ".cos x  y '  D y 'cos x  y.sin x  y "  Câu 9: Hàm số y  x.e  x đạt cực trị B x0  e A x0  e Câu 10: Cho hàm số y  x.e A xy  1  x  y '  x2 C x0  D x0  Khẳng định sau đúng? B xy '  1  x  y C xy  1  x  y ' D xy '  1  x  y Câu 11: Hàm số sau đồng biến  ? 3 A y       2 3 B y       x x  3 C y       x    D y     2 3 x Câu 12: Các giá trị thực tham số a để hàm số y  log M x, M  a  nghịch biến tập xác định A  a  B a  C   a  2;  a  D a  Câu 13: Với giá trị tham số a hàm số y   a  3a  3 đồng biến? x A a  C a  1;  B a  Câu 14: Cho a, b hai số thực thỏa mãn a A  a  1,  b  B  a  1, b  2  a ;log b D a   ;1   2;    logb Mệnh đề sau đúng? C a  1,  b  D a  1, b    Câu 15: Giá trị nhỏ hàm số f  x   x   x ln x  x  đoạn  1;1 A B Câu 16: Đối với hàm số y  ln A xy '  e y 1 B xy '  e y 3e x e 2x  1   ln   D  ln   1 Khẳng định sau đúng? x 1 Câu 17: Đạo hàm hàm số y  A y '  C B y '  C xy '  e y D xy '  e y e x  e x e x  e x e2 x e 2x  1 C y '  2e x e 2x  1 D y '  4e x e 2x  1 Câu 18: Cho hàm số y  x sin x Khẳng định sau đúng? TOANMATH.com Trang 10 ... TOANMATH.com Trang II CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Đạo hàm, biến thiên hàm số Bài tốn 1: Tìm đạo hàm hàm số mũ – hàm số lôgarit Phương pháp giải Sử dụng công thức đạo hàm hàm số mũ, lôgarit a ''  a x x.. .2 Hàm số lôgarit Định nghĩa Hàm số y  log a x  a  0; a  1 gọi hàm số lôgarit số a Tập xác định Tập xác định:  0;  Đạo hàm Hàm số y  log a x  a  0; a  1 có đạo hàm x dương...  ''.e 2x 2x  2. e x nên đáp án D sai Chọn D Ví dụ 2: Tìm đạo hàm hàm số y  16 x A y ''   x   16 x C y ''  16 x 2 ? ?2 1 ? ?2 4 B y ''  x.16 x ? ?2 D y ''  x. 42 x ln16 ln ln Hướng dẫn giải Ta