Giáo án giải tích lớp 12 chuyên đề 3 bài 1 nguyên hàm và phương pháp tìm nguyên hàm

CHUYÊN ĐỀ 3: NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG BÀI 1: NGUYÊN HÀM VÀ PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM Mục tiêu  Kiến thức + Nắm định nghĩa nguyên hàm; tính chất nguyên hàm bảng nguyên hàm + Nắm vững phương pháp tính nguyên hàm  Kĩ + Hiểu rõ định nghĩa tính chất nguyên hàm để vận dụng vào việc tìm nguyên hàm + Sử dụng thành thạo bảng nguyên hàm phương pháp tìm nguyên hàm + Vận dụng nguyên hàm vào toán thực tế TOANMATH.com Trang I LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM Ví dụ: F  x   x nguyên hàm hàm Định nghĩa nguyên hàm Cho hàm số f  x  xác định K (K khoảng, đoạn hay nửa khoảng) Hàm số F  x  gọi nguyên hàm hàm số f x   số f  x   3x x  3x ' K F '  x   f  x  với x  K Nhận xét: Nếu F  x  G  x  nguyên Định lí Giả sử hàm số F  x  nguyên hàm hàm số F  x  K Khi đó:  Với số C, hàm số F  x   C hàm hàm số f  x  K thì:  F '  x   G '  x  , x  K  F  x   G  x   C , với C số nguyên hàm f  x  K  Ngược lại, với nguyên hàm f  x  K tồn số C cho G x  F x  C với x  K Do F  x   C, C   họ tất nguyên hàm f x K Ký hiệu  f  x  dx  F  x   C Tính chất Ví dụ 1: Nếu f  x  , g  x  hai hàm số liên tục K thì: a)  2 sin x  3cos x  dx   sin xdx  3 cos xdx    cos x   3sin x  C  2 cos x  3sin x  C  f '  x  dx  f  x   C b)  kf  x  dx  k  f  x  dx , với k hai số thực khác c)  mf  x   ng  x  dx  m  f  x  dx  n g  x  dx với Ví dụ 2: 1  3x  dx  ln 3x   C m,n hai số thực khác d) Với a, b    f  ax  b  dx  a F  ax  b   C , a0 ta có: F  x  nguyên hàm f  x  Sự tồn nguyên hàm Định lí: Mọi hàm số f  x  liên tục K có nguyên hàm K TOANMATH.com Trang BẢNG NGUYÊN HÀM CỦA CÁC HÀM SỐ THƯỜNG GẶP Nguyên hàm hàm số Nguyên hàm hàm số hợp cấp hợp  u = u  x    u = ax + b;a    dx  x  C  du  u  C  d  ax  b   ax  b  C x  1  x dx   C   1   1 u 1 u  C   1  1 Nguyên hàm hàm số sơ 1  x dx  ln x  C  u du  ln u  C 1  x dx   x  C 1  u2 du   u  C x x C  udu  dx  x  C   xdx   x  e dx  e x x  a dx  x u u u C du  u  C  e du  e C ax  C  a  0, a  1 ln a   ax  b   u u  a du  u  1  C   1  ax  b dx  a ln ax  b  C   ax  b   1 dx   C a ax  b ax  bdx   ax  b  ax  b  C a 1 dx  ax  b  C a ax  b  e C au  C  a  0, a  1 ln a  ax  b  dx  a  1 ax  b mx  n  a dx  dx  ax  b e C a a mx  n  C  a  0, a  1 m ln a  sin xdx   cos x  C  sin udu   cos u  C  sin  ax  b  dx   a cos  ax  b   C  cos xdx  sin x  C  cos udu  sin u  C  cos  ax  b  dx  a sin  ax  b   C  tan xdx   ln cos x  C  tan udu   ln cos u  C  tan  ax  b  dx   a ln cos  ax  b   C  cot xdx  ln sin x  C  cot udu  ln sin u  C  cot  ax  b  dx  a ln sin  ax  b   C  sin x dx   cot x  C  sin u du   cot u  C  sin  ax  b  dx   a cot  ax  b   C  cos2 x dx  tan x  C  cos2 u du  tan u  C  cos  ax  b  dx  a tan  ax  b   C x  sin x dx  ln tan  C TOANMATH.com u  sin u du  ln tan  C 1 1 1 dx  sin  ax  b   a ln tan ax  b C Trang x   cos x dx  ln tan     C u    cos u du  ln tan     C  cos  ax  b  dx   ax  b   ln tan    C a 4  HỆ THỐNG HÓA KIẾN THỨC NGUYÊN HÀM:  f  x  dx  F  x   C Định nghĩa nguyên hàm Cho hàm số f  x  xác định K (K khoảng, đoạn hay nửa khoảng) Hàm số F  x  gọi nguyên hàm hàm số f  x  K F '  x   f  x  với x  K Định lí Giả sử hàm số F  x  nguyên hàm hàm số f  x  K Khi đó:  Với số C, hàm số F  x   C nguyên hàm hàm số f  x  K  Hàm số F  x   C, C   gọi họ nguyên hàm hàm số f  x  K Kí hiệu  f  x  dx  F  x   C Tính chất Nếu hai hàm số f  x  , g  x  liên tục K k  ta ln có: a)  f '  x  dx  f  x   C b)  kf  x  dx  k  f  x  dx , với k hai số thực khác c)  mf  x   ng  x  dx  m  f  x  dx  n  g  x  dx d) Với a, b   a  ta có: với m,n hai số thực khác  f  ax  b  dx  a F  ax  b   C Sự tồn nguyên hàm Mọi hàm số f  x  liên tục K có nguyên hàm K II CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Tìm nguyên hàm định nghĩa Bài toán 1: Nguyên hàm hàm số sơ cấp hàm số mũ Phương pháp giải  Biến đổi hàm số dấu nguyên Ví dụ 1: Họ nguyên hàm hàm số f  x   e x  x là: hàm dạng tổng, hiệu biểu thức chứa x, biểu thức A e x  x  C B e x  x C chứa x dạng có TOANMATH.com Trang bảng nguyên hàm  x e  x  C D e x   C x 1 C Áp dụng công thức nguyên hàm bảng nguyên hàm để tìm nguyên hàm Hướng dẫn giải  e x   x dx   e x dx   xdx  e x  x C Chọn B Ví dụ 2: Hàm số hàm số sau không nguyên hàm hàm số y  x ? A C x x x B x x  2019 D x x  2020 Hướng dẫn giải Ta có:  xdx  x x  C , với C số Nên phương án A, B, D nguyên hàm hàm số y  x Chọn C Ví dụ 3: Họ nguyên hàm hàm số f  x   3x  3x A x  3x ln  C B x  3x C ln C x  3x  C D x  ln C 3x Hướng dẫn giải Ta có:  f  x  dx   3x  x3    3x dx   3x dx   3x dx 3x C ln Chọn B Ví dụ mẫu Ví dụ Nguyên hàm hàm số f  x   x   x là: x2 A x  3  x x C x2 B x  3  x x C x2 C x   3x x  C x D 20 x   C x 3x x Hướng dẫn giải TOANMATH.com Trang   Ta có:   x   x  dx  x   x x  C x x   Chọn A Ví dụ Nguyên hàm hàm số f  x   4x2  x  là: x A x  x  ln x  C B x  x  ln x  C C x  x  ln x  C D x  x  3ln x  C Hướng dẫn giải Ta có: 4x2  x  6  dx    x    dx  x  x  ln x  C  x x x  Chọn C Chú ý: Tính chất phân thức: abc a b c    d d d d Ví dụ Nguyên hàm hàm số f  x   A 2x  e x  C x e ln B 2x 1 là: ex 2x  e x  C x e  ln  1 C 2x 2x x  e  C D  ex  C x x e  ln  1 e  ln  1 Hướng dẫn giải x 2x  2x 2 Ta có:  x dx     dx   e  x dx  x  e x  C e e e ln      Chọn C Ví dụ Nguyên hàm hàm số f  x   x  x   A C  x  2  2021 2021  x  2 2021 2021  x  2  là: 2020 1010  x  2  2019 C B 2020 1010 C D  x  2 2020 2021  x  2  x  2  2018  x  2  2020 1009 2021 2021 1010 C C Hướng dẫn giải Ta có:  x  x  2 2019    x  2 2020 dx    x      x   dx    x   2019 2019 dx  x  2 dx  2021 2021  x  2  2020 1010 C Chọn D Ví dụ Nguyên hàm hàm số f  x   là: e 1 2x A x  ln e2 x   C B x  ln e x   C  TOANMATH.com    C ln e2 x   C   D x  ln e2 x   C Trang Hướng dẫn giải   e2 x   e2 x e2 x    e2 x  e2 x  e2 x  Ta có:   2x  e2 x  d e 1 dx     x  x  ln e2 x   C Do  x  dx   dx   x e 1 e 1  e 1   Chọn B Ví dụ Nguyên hàm hàm số f  x      1  C 1 x    x  2 x   C 6 x 2  x 2  A x 2 x2 C  là: B 1 x   x 2 C  6 D 1  x  2 x   x   C 6 Hướng dẫn giải Ta có:  dx   x 2  x 2 dx x 2  x 2 2 1     x  2 x    x  2 x    C   x  2 x    x  2 x   C 3 6  Chọn A Chú ý: Sử dụng kĩ thuật nhân liên hợp: Lưu ý:  ax  bdx  a b ab a b  ax  b  ax  b  C 3a Ví dụ Nguyên hàm hàm số f  x   x  13 là: x  5x  A ln x   3ln x   C B 3ln x   ln x   C C ln x   3ln x   C D ln x   3ln x   C Hướng dẫn giải Ta có: x  13 x  13  x  x   x   x   Ta phân tích: 5x  13  A  x    B  x  3 1 Thế x  x  vào (1) ta có B  A  Khi x  x     x  3 x  13 dx   dx   dx   dx  5x  x 3 x 2  x   x  3  ln x   3ln x   C Chọn D TOANMATH.com Trang Ví dụ Nguyên hàm hàm số f  x   1 x4 là: x5  x A ln x  ln x   C B ln x  ln  x  1  C C ln x  ln x   C D ln x  ln x   C       Hướng dẫn giải Ta có:    x4  2x4 1 x4 2x3 dx  dx  dx   x5  x  x x4 1  x  x  dx  ln x  ln x   C     Chọn C Ví dụ Nguyên hàm hàm số f  x   3x  3x  là: x  3x  A ln x   ln x   C x 1 B ln x   ln x   C x 1 C ln x   ln x   C x 1 D ln x   ln x   C x 1 Hướng dẫn giải Ta có: 3x  3x  3x  3x  dx   x  3x    x  12  x   dx Ta phân tích x  x   A  x  1  B  x  1 x    C  x   Ta dùng giá trị riêng, tính A  1, C  B  (thay x  2  A  1; x   C  x   B  ) Khi 3x  3x  1   x  1  x   dx   x  dx   x  1dx  3  x  1 2 dx  ln x   ln x   C x 1 Chọn A Lưu ý: Ta có kiến thức tổng quát dùng cho nguyên hàm hữu tỉ I   Px Q x dx , với P  x  Q  x  đa thức, cụ thể sau:  Nếu deg  P  x    deg  Q  x   ta thực phép chia P  x  cho Q  x  (ở đây, kí hiệu deg  P  x   bậc đa thức P  x  )  Khi deg  P  x    deg  Q  x   ta quan sát mẫu số Q  x  ta tiến hành phân tích thành nhân tử, sau đó, tách P  x  theo tổ hợp nhân tử Đến đây, ta sử dụng đồng thức (hoặc giá trị riêng) để đưa dạng tổng phân thức Một số trường hợp đồng thức thường gặp TOANMATH.com Trang Trường hợp 1: Trường hợp 2:  ax  b  cx  d   a c     ad  bc  ax  b cx  d    Ax  Ba  x  Ad  Bb mx  n A B     ax  b  cx  d  ax  b cx  d  ax  b  cx  d  Ta đồng thức mx  n   Ax  Ba  x  Ad  Bb 1 Cách Phương pháp đồng hệ số  Ac  Ba  m Đồng đẳng thức, ta  Suy A, B  Ad  Bb  n Cách Phương pháp giá trị riêng b d Lần lượt thay x   ; x   vào hai vế (1), tìm A, B a c Trường hợp 3: Trường hợp 4: mx  n  ax  b   A B  ax  b  ax  b 2 mx  n A   B C  cx  d ax  b  ax  b   cx  d   ax  b   mx  n  A  cx  d   B  ax  b   C  ax  b  cx  d  *  2 b d Lần lượt thay x   ; x   ; x  vào hai vế (*) để tìm A, B, C a c Trường hợp 5: Trường hợp 6: A Bx  C   với   b  ac   x  m  ax  bx  c x  m ax  bx  c    x  a   x  b 2  A B C D    x  a  x  a x  b  x  b 2 1  Ví dụ 10 Cho hàm số f  x  xác định  \   thỏa mãn f '  x   ; f    f 1  Giá 2x 1 2  trị biểu thức P  f  1  f  3 là: A ln  ln B 3ln  ln C  ln D  ln15 Hướng dẫn giải  ln  x  1  C1 x    f  x    f '  x  dx   dx  ln x   C   2x 1 ln 1  x   C x    f    C2  Vì   C1   f 1  TOANMATH.com Trang  ln  x  1  x  Suy f  x    ln 1  x   x   Do P  f  1  f  3   ln  ln   ln15 Chọn D Chú ý: Chú ý đến tính liên tục hàm số f '  x  cách xử lí dấu giá trị tuyệt đối Ở đây, ta sử dụng hai số khác ứng với x  1 x  2 Ví dụ 11 Cho hàm số f  x  xác định  \ 1;1 , thỏa mãn f '  x    1 f    2 ; f  3  f  3  ln x 1 1 f    Giá trị biểu thức P  f  2   f    f   là: 2 A ln  ln B ln  ln  ln C ln  ln  ln D ln  ln Hướng dẫn giải f  x    f '  x  dx    x 1  dx     dx  ln C  x 1 x 1  x 1 x 1    x 1  ln  x    C1 x      1 x x 1 Hay f  x   ln  C  ln  C2   x  x 1  x    x 1  ln  x    C3 x  1     f  3  f  3  ln C1  C3  ln  Theo ra, ta có:     1 C2   f   f    2   2 Do f  2   f    f    ln  C3  C2  ln  C1  ln  ln  ln Chọn C Bài toán Nguyên hàm hàm số lượng giác Phương pháp giải Yêu cầu chung: Nắm vững cơng thức lượng giác Ví biến đổi lượng giác  dụ: Tìm nguyên hàm hàm số f  x   cos3x.cos x  ta thu kết quả: Biến đổi hàm số dấu nguyên hàm TOANMATH.com Trang 10 dạng tổng, hiệu hàm số lượng giác đó, hàm số dạng có bảng nguyên hàm  A  f  x  dx  sin x sin x  C 10 B  f  x  dx  sin x  sin x  C C  f  x  dx  sin 3x.sin x  C D  f  x  dx  Áp dụng công thức nguyên hàm bảng nguyên hàm để tìm nguyên hàm sin x sin x  C 10 Hướng dẫn giải Ta viết: f  x   Khi đó:  cos 5x  cos x   f  x  dx  sin x sin x  C 10 Chọn A Ví dụ mẫu Ví dụ Nguyên hàm hàm số   cos x  3cos 5x  dx là: A 2 sin x  15sin x  C B 2 sin x  sin x  C C sin x  sin x  C D sin x  5sin x  C Hướng dẫn giải Ta có:   cos x  3cos 5x  dx  sin x  sin 5x  C Chọn C Lưu ý:  cos axdx  sin ax cos ax  C;  sin axdx   C a a Ví dụ Nguyên hàm hàm số  sin 5x sin xdx là: A cos x cos x  C 10 B 1 cos x  sin x  C 14 C 1 sin x  sin x  C D 1 sin x  sin x  C 2 Hướng dẫn giải Ta có:  sin x sin xdx  1  cos 3x  cos x  dx  cos x  sin x  C  14 Chọn B Ví dụ Nguyên hàm hàm số  cos2 xdx là: TOANMATH.com Trang 11 A x  sin x  C B cos3 x C C x  sin x  C D x  sin x  C Hướng dẫn giải Ta có:  cos xdx   1  cos x  dx  x  sin x  C Chọn D Chú ý: Dùng công thức hạ bậc: cos2 a  Ví dụ Nguyên hàm hàm số  cos a  cos a ; sin a  2  1  sin x  dx là: 1  sin x  C A x  cos x  sin x  C B C x  sin x  C D x  cos x  sin x  C Hướng dẫn giải Ta có:  1  sin x   cos x   dx    sin x  sin x dx     sin x   dx         sin x  cos x  dx  x  cos x  sin x  C Chọn A Ví dụ Nguyên hàm hàm số A   sin x  cos x  sin xdx 1 x  sin x  cos x  C 4 1 C x  sin x  cos x  C 2 là: B 1 x  sin x  cos x  C 4 D 1 x  sin x  cos x  C 4 Hướng dẫn giải Ta có:   sin x  cos x  sin xdx   sin  x  sin x cos x dx 1 1   cos x sin x       dx   x  sin x  cos x   C 2  2 2   Chọn B Ví dụ Nguyên hàm hàm số A  tan x  cot x  C  sin dx là: x cos2 x B tan x  cot x  C C tan x  cot x  C D cot x  tan x  C Hướng dẫn giải Ta có: sin x  cos2 x   dx   sin x cos2 x  sin x.cos2 x dx    cos2 x  sin2 x  dx  tan x  cot x  C Chọn B Ví dụ Nguyên hàm hàm số TOANMATH.com  cos dx là: x  cos2 x  Trang 12 A cot x C B tan 2x  C C cot 2x  C D tan x C Hướng dẫn giải Ta có:  cos 1 1 tan x dx   dx   dx   d (2 x )  C 2 2 x  cos x  (2 cos x  1) cos x cos x Chọn D Chú ý: Công thức nhân đôi: cos x  cos2 x  Ví dụ Nguyên hàm hàm số  cos3 xdx là: A cos4 x C B 3sin x  sin 3x  C C sin x  sin x  C D sin x  sin x  C Hướng dẫn giải Ta có:  cos xdx  1 1 3cos x  cos3x  dx   3sin x  sin 3x   C  sin x  sin x  C  4 3  Chọn C Chú ý: Công thức nhân ba: cos 3a  cos3 a  3cos a sin 3a  3sin a  sin a Ví dụ Nguyên hàm hàm số  tan3 xdx là: A tan x  ln cos x  C B tan x  ln sin x  C C tan x  ln cos x  C D tan x C cos2 x Hướng dẫn giải Từ tan3 x  tan x 1  tan x   tan x Suy  tan xdx   tan xd  tan x    d  cos x  cos x  tan x  ln cos x  C Chọn A Chú ý:  tan x  '   tan x  cos2 x   Ví dụ 10 Gọi F  x  nguyên hàm hàm số f  x   sin x tan x thỏa mãn F    Giá trị 3   F   là: 4 A 1   12 B 1   12 C 1   12 D 1   12 Hướng dẫn giải TOANMATH.com Trang 13 Ta có: F  x    sin x tan xdx   sin x.cos x Suy F  x    1  cos x  dx  x  sin x dx   sin xdx cos x sin x C  2 3    Theo giả thiết, ta có: F      sin C  C  3 3 Vậy F  x   x  sin x    2 3  1       Do F     sin       4 12     Chọn D Ví dụ 11 Gọi F  x  nguyên hàm hàm số f  x   cos4 x thỏa mãn F    2019 Giá trị   F   là: 8 A 3  16153 64 B 3  129224 C 3  129224 64 D 3  129224 32 Hướng dẫn giải   cos x  Ta có: cos4 x     cos x  cos2 x    1  cos8 x     cos x      cos x  cos8 x  4  Do F  x     1   cos x  cos8x  dx   3x  sin x  sin x   C  8  Mà F    2019 nên ta có C  2019 1  Vậy F  x    3x  sin x  sin x   2019 8     3  129224 Do F    64 8 Chọn C Ví dụ 12 Gọi F  x  nguyên hàm hàm số f  x   F    A cos5 x  , với x   k 2 , k   thỏa mãn  sin x   Giá trị F    là:  2 B C D Hướng dẫn giải TOANMATH.com Trang 14 Ta thấy: cos5 x  cos3 x 1  sin x    sin x cos x  cos3 x.sin x  sin x      F  x     sin x d  sin x    cos3 xd  cos x   sin x  Theo giả thiết, ta có F    Vậy F  x   sin x  sin x cos4 x  C nên C  sin x cos x  C   Do F      2 Chọn D Chú ý: Với n  * , ta có: n n  sin x cos xdx   sin xd  sin x   n n  cos x.sin xdx    cos xd  cos x    cosn 1 x C n 1 sin n 1 x C n 1 Bài toán 3: Các toán thực tế ứng dụng nguyên hàm Phương pháp giải Ý nghĩa vật lí đạo hàm: Một chất điểm chuyển động theo phương trình S  S  t  , với S  t  quãng đường mà chất điểm thời gian t, kể từ thời điểm ban đầu Gọi v  t  a  t  vận tốc tức thời gia tốc tức thời chất điểm thời điểm t, ta có: v  t   S '  t  a  t   v '  t  Từ ta có: S  t    v  t  dt v  t    a  t  dt Ví dụ 1: Một chất điểm chuyển động với phương trình S t , t thời gian tính giây (s) S quãng đường tính mét (m) Vận tốc chất điểm thời điểm t0   s  là: A (m/s) B 25 (m/s) C 2,5 (m/s.) D 10 (m/s) Hướng dẫn giải Ta có: v  t   S '  t   t nên v  t0   t0   m / s  Chọn A Ví dụ 2: Một tơ chạy với vận tốc 10 (m/s) người lái xe đạp phanh Từ thời điểm đó, tơ chuyển động chậm dần với vận tốc v  t   10  2t  m / s  , t khoảng thời gian tính giây kể từ lúc đạp phanh Tính qng đường tô di chuyển giây cuối A 50 (m) TOANMATH.com B 25 (m) Trang 15 C 55 (m) D 10 (m) Hướng dẫn giải Chọn mốc thời gian gốc tọa độ lúc ô tô bắt đầu đạp phanh Ta có: t  0; s  s  t    v  t  dt   10  2t  dt  10t  t  C, s     C   s  t   10t  t Ơ tơ dừng hẳn v  t    10  2t   t  Trong giây cuối, ô tô chuyển động với vận tốc 10 (m/s) giây đầu chuyển động chậm dần giây cuối Quãng đường ô tô di chuyển là: s  3.10  10.5  52  55m Chọn C Ví dụ mẫu Ví dụ Một vật chuyển động với gia tốc a  t   m / s , t khoảng thời gian tính từ thời t 1   điểm ban đầu Vận tốc ban đầu vật Hỏi vận tốc cảu vật giây thứ 10 bao nhiêu? A 10 m/s B 15,2 m/s C 13,2 m/s D 12 m/s Hướng dẫn giải Vận tốc vật thời điểm t tính theo công thức: v  t    a  t  dt   dt  ln t   C t 1 Vì vận tốc ban đầu (lúc t  ) vật v0  6m / s nên: v    3ln   C   C   v  t   3ln t   Vận tốc vật chuyển động giây thứ 10 là: v 10   3ln 10    13,2  m / s  Chọn C Ví dụ Một vận động viên điền kinh chạy với gia tốc a  t    t  t m / s , t khoảng 24 16   thời gian tính từ lúc xuất phát Hỏi vào thời điểm (s) sau xuất phát vận tốc vận động viên bao nhiêu? A 5,6 m/s B 6,51 m/s C 7,26 m/s D 6,8 m/s Hướng dẫn giải Vận tốc v  t  nguyên hàm gia tốc a  t  nên ta có:   v  t    a  t  dt     t  t  dt   t  t  C 16  96 48  24 TOANMATH.com Trang 16 Tại thời điểm ban đầu v0   v      t  0 vận động viên vị trí xuất phát nên vận tốc lúc là:   C   C  96 48 Vậy công thức vận tốc v  t    t  t 96 48 Vận tốc vận động viên giây thứ v  5  6,51 m / s Chọn B Chú ý: Gia tốc vật chuyển động a  t   m / s Ta tính v  t    a  t  dt , kết hợp với điều kiện t 1   vận tốc ban đầu v0  6m / s Suy công thức tính vận tốc v  t  thời điểm t tính v 10  Ví dụ Một nhà khoa học tự chế tên lửa phóng tên lửa từ mặt đất với vận tốc ban đầu 20 m/s Giả sử bỏ qua sức cản gió, tên lửa chịu tác động trọng lực Hỏi sau 2s tên lửa đạt đến tốc độ bao nhiêu? A 0,45 m/s B 0,4 m/s C 0,6 m/s D 0,8 m/s Hướng dẫn giải Xem thời điểm t0  nhà khoa học phóng tên lửa với vận tốc đầu 20 m/s Ta có s    v    20 Vì tên lửa chuyển động thẳng đứng nên gia tốc trọng trường thời điểm t s n  t   9,8 m / s Nguyên hàm gia tốc vận tốc nên ta có vận tốc tên lửa thời điểm t v  t    9,8dt  9,8t  C1 Do v    20 nên 9,8t  C1  20  C1  20  v  t   9,8t  20 Vậy vận tốc tên lửa sau 2s v    9,8.2  20  0,  m / s  Chọn B Bài tập tự luyện dạng  Câu 1: Nguyên hàm hàm số f  x   x x  A x 7   16 C B  x 7 32   16  15 C là: C x 7 16   16 C D x 7 32   16 C Câu 2: Họ nguyên hàm hàm số f  x   e6 x  x  là: A 6x e  x  3x  C B e6 x  x  x  C D  e6 x  x  3x  C C e6 x  x  3x  C Câu 3: Nguyên hàm hàm số f  x   TOANMATH.com là: 4x  Trang 17 A  x  dx  ln x   C C  x  dx  ln x   C 2 B  x  dx  ln x   C D  x  dx  ln x   C Câu 4: Họ nguyên hàm hàm số f  x   x  là: A  C  x  1 x   C  x  1 x   C B 2x 1  C D  x  1 x   C Câu 5: Họ nguyên hàm hàm số f  x   e x 1  3e 2 x  là: A e x  3e 2 x  C B e x  e 2 x  C C e x  3e  x  C Câu 6: Cho F  x  nguyên hàm hàm số f  x   A F 1  ln  2 B F 1  ln  D e x  3e  x  C ; biết F    Giá trị F 1 là: 2x 1 C F 1  ln  D F 1  ln  2 Câu 7: Hàm số f  x  có đạo hàm liên tục  f '  x   2e2 x  1, x, f    Hàm số f  x  là: A 2e x  x B 2e x  Câu 8: Cho hàm số f  x   x e x 2 C e2 x  x   f  x  dx  me  xe x , ta có D e2 x  x  x3 2  nxe2 x  pe2 x  C , với m, n, p số hữu tỉ C số thực Giá trị biểu thức m  n  p bằng: A B C 13 D Câu 9: Gọi F  x  nguyên hàm hàm số f  x   x thỏa mãn F    Giá trị biểu thức ln T  F    F 1   F  2018  F  2019  là: A T  1009 2019  ln B T  2019.2020 C T  2019  ln D T  2020  ln dx  a ln  x  1 x  1  b ln x  C , với a, b số hữu tỉ C số x thực Giá trị biểu thức P  a  b là: Câu 10: Cho biết x B 1 A C Câu 11: Họ nguyên hàm hàm số f  x   A x  ln x   C Câu 12: Cho biết x B x  C x 1 x2  2x   x  1 C D là: x x C x 1 D x  C x 1 x  11 dx  a ln x   b ln x   C , với a, b số nguyên C số  5x  thực Giá trị biểu thức P  a  ab  b2 là: TOANMATH.com Trang 18 A 12 B 13 C 14 D 15 Câu 13: Gọi  2020 x dx  F  x   C với C số Khi hàm số F  x  bằng: A 2020 x ln 2020 B 2020 x 1 x 1 C Câu 14: Nguyên hàm hàm số f  x   x  A C x.2020 x 1 ln 2020 D 2020 x ln 2020 là: x  f  x  dx  x  C x2 B  f  x  dx  x  C x2 D  f  x  dx  x4  ln x  C  f  x  dx  x4  ln x  C Câu 15: Nguyên hàm hàm số y  x là: A  x dx  ln 2.2 x  C B  x dx  x  C Câu 16: Họ nguyên hàm hàm số f  x   A ln x   C B C  x dx  2x C ln D  x dx  2x C x 1 là: 2x  ln  x  3  C C ln x   C D ln x   C ln C 6x  C D x3  x C Câu 17: Họ nguyên hàm hàm số y  x  là: A x  x  C B x  C Câu 18: Họ nguyên hàm hàm số f  x   e2 x  x là: A F  x   e2 x x  C C F  x   2e2 x  x  C B F  x   e2 x  x  C D F  x   e x  x3 C Câu 19: Nguyên hàm hàm số f  x   x  3x  hàm số hàm số sau? A F  x   3x  3x  C C F  x   x 3x   2x  C B F  x   x4  3x  x  C D F  x   x4 x2   2x  C Câu 20: Họ nguyên hàm hàm số f  x   e x   e  x  là: A F  x   3e x  C ex C F  x   3e x  e x ln e x  C B F  x   3e x  x  C D F  x   3e x  x  C Câu 21: Với C số, nguyên hàm hàm số f  x   e x  x là: A   e x  x dx  e x  TOANMATH.com x2 C B  e x   x dx  e x  x  C Trang 19 C   e x  x dx  e x  x2 C D  e x   x dx  e x  x  C Câu 22: Nguyên hàm hàm số f  x   x  3x là: A F  x   x 3x  C ln B F  x    C F  x   x2  3x  C D F  x   Câu 23: Nguyên hàm hàm số f  x    x  dx  ln x   C C  x  dx  ln x   C Câu 24: Họ nguyên hàm hàm số f  x   A ln  x    C x2  3x.ln  C 2 là: 4x  A 3x C ln 3 B  x  dx  ln x   C D  x  dx  ln x   C là: 5x  B ln x   C C ln x   C ln D ln 5x   C Câu 25: Hàm số hàm số sau không nguyên hàm hàm số y  x 2019 ? A x 2020 1 2020 B x 2020 2020 C y  2019 x 2018 D x 2020 1 2020 Câu 26: Hàm số hàm số sau nguyên hàm hàm số y  e 2 x ? A y   e 2 x B y  2e 2 x  C  C    C y  2e 2 x  C  C    D y  Câu 27: Họ nguyên hàm hàm số f  x   x  A x2  ln x  C B x2  xC e 2 x 2 là: x C  C x2 D x2  ln x  C Câu 28: Nguyên hàm hàm số y  x là: A  x dx  ln 2.2 x  C B  x dx  x  C C  x dx  Câu 29: Cho F  x  nguyên hàm hàm số f  x   A B  C  2x C ln x2  D  x dx   2x C x 1  Giá trị F ' 2  F '   là: D Câu 30: Cho F  x  nguyên hàm hàm số f  x   4e2 x  x thỏa mãn F    Hàm số F  x  là: TOANMATH.com Trang 20 ... 4 12     Chọn D Ví dụ 11 Gọi F  x  nguyên hàm hàm số f  x   cos4 x thỏa mãn F    2 019 Giá trị   F   là: 8 A 3? ??  16 1 53 64 B 3? ??  12 9 224 C 3? ??  12 9 224 64 D 3? ??  12 9 224 32 ... Gọi F  x  nguyên hàm hàm số f  x   sin x tan x thỏa mãn F    Giá trị ? ?3? ??   F   là: 4 A ? ?1   12 B ? ?1   12 C ? ?1   12 D ? ?1   12 Hướng dẫn giải TOANMATH.com Trang 13 Ta có: F... tồn nguyên hàm Mọi hàm số f  x  liên tục K có nguyên hàm K II CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Tìm ngun hàm định nghĩa Bài tốn 1: Nguyên hàm hàm số sơ cấp hàm số mũ Phương pháp giải  Biến đổi hàm