Bài 1 NGUYÊN hàm và PHƯƠNG PHÁP tìm NGUYÊN hàm

CHUYÊN ĐỀ 3: NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG BÀI 1: NGUYÊN HÀM VÀ PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM Mục tiêu  Kiến thức + Nắm định nghĩa nguyên hàm; tính chất nguyên hàm bảng nguyên hàm + Nắm vững phương pháp tính nguyên hàm  Kĩ + Hiểu rõ định nghĩa tính chất nguyên hàm để vận dụng vào việc tìm nguyên hàm + Sử dụng thành thạo bảng nguyên hàm phương pháp tìm nguyên hàm + Vận dụng nguyên hàm vào toán thực tế Trang I LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM Định nghĩa nguyên hàm Ví dụ: F  x  x nguyên hàm hàm Cho hàm số f  x xác định K (K khoảng, đoạn hay nửa khoảng) Hàm số F  x gọi nguyên hàm hàm số f  x số f  x  3x  x3   3x2 ' K F ' x  f  x với x�K Định lí Nhận xét: Nếu F  x G  x Giả sử hàm số F  x nguyên hàm hàm số nguyên hàm hàm số f  x K thì: F  x K Khi đó:  F ' x  G ' x ,x�K F x  C    Với số C, hàm số  F  x  G  x  C , với C số nguyên hàm f  x K  Ngược lại, với nguyên hàm f  x K tồn số C cho G  x  F  x  C với x�K Do F  x  C,C �� họ tất nguyên hàm f  x K Ký hiệu f  x dx  F  x  C � Tính chất f x , g x Nếu     hai hàm số liên tục K thì: a) Ví dụ 1: sin xdx  3� cos xdx  2sin x  3cos x dx  2� � f ' x dx  f  x  C �  2  cos x  3sin x  C  2cos x  3sin x  C kf  x dx  k� f  x dx , với k hai số thực khác b) � c) � mf  x  ng x � f  x dx  n� g x dx � � �dx  m� với Ví dụ 2: 1 dx  ln 3x   C � 3x  m,n hai số thực khác d) Với a, b�� f  ax  b dx  F  ax  b  C , � a a �0 ta có: F  x nguyên hàm f  x Sự tồn nguyên hàm Định lí: Mọi hàm số f  x liên tục K có nguyên hàm K BẢNG NGUYÊN HÀM CỦA CÁC HÀM SỐ THƯỜNG GẶP Trang Nguyên hàm hàm số Nguyên hàm hàm số hợp cấp hợp  u=u x  dx  x  C � du  u  C �  u=ax+b;a �0 d ax  b  ax  b C �  1  ax  b   C   �1  ax  b dx  � Nguyên hàm hàm số sơ u 1  C   �1  1 du  ln u  C � u 1 du    C � u u �udu  u u  C �u du  u  C x 1  C   �1  1 x dx  � u dx  ln x  C � x 1 dx    C � x x 2 �xdx  x �x dx  xC x C e dx  e  C � x axdx  � u audu  � au  C  a  0, a �1 lna sinudu   cosu  C � cos xdx  sin x  C � cosudu  sinu  C � tan xdx   ln cos x  C � tanudu   ln cosu  C � cot xdx  ln sin x  C � cot udu  ln sinu  C � x du   cot u  C � sin u dx  tan x  C du  tanu  C � cos u � cos dx   cot x  C x x dx  ln tan  C � sin x 2 u du  ln tan  C � sinu 1 �  ax  b 1 dx   C a ax  b 2 �ax  bdx  a 3 ax  b 1 �ax  b dx  a e � ax b u sin xdx   cos x  C � � sin  1 dx  ln ax  b  C � ax  b a e du  e  C � x ax  C  a  0, a �1 lna a dx  ax  b  C ax  b  C ax b e C a amx n  C  a  0, a �1 m ln a sin ax  b dx   cos ax  b  C � a cos ax  b dx  sin ax  b  C � a tan ax  b dx   ln cos ax  b  C � a cot  ax  b dx  ln sin ax  b  C � a 1 dx   cot ax  b  C � sin  ax  b a amx ndx  � 1 dx  tan ax  b  C � cos  ax  b a dx  ln tan � sin ax  b a ax  b C 1 �x  � �u  � dx  ln tan�  � C � du  ln tan�  � C � cos x cosu �2 � �2 � dx � cos ax  b  �ax  b  � ln tan�  � C a 4� � HỆ THỐNG HÓA KIẾN THỨC NGUYÊN HÀM: f  x dx  F  x  C � Định nghĩa nguyên hàm Trang Cho hàm số f  x xác định K (K khoảng, đoạn hay nửa khoảng) Hàm số F  x gọi nguyên hàm hàm số f  x K F ' x  f  x với x�K Định lí Giả sử hàm số F  x nguyên hàm hàm số f  x K Khi đó:  Với số C, hàm số F  x  C nguyên hàm hàm số f  x K  Hàm số F  x  C,C �� gọi họ nguyên hàm hàm số f  x K Kí hiệu f  x dx  F  x  C � Tính chất Nếu hai hàm số f  x , g x liên tục K k �0 ta ln có: a) f ' x dx  f  x  C � kf  x dx  k� f  x dx , với k hai số thực khác b) � � mf  x  ng x � f  x dx  n� g x dx với m,n hai số thực khác c) � � �dx  m� d) Với a, b�� a �0 ta có: f  ax  b dx  F  ax  b  C � a Sự tồn nguyên hàm Mọi hàm số f  x liên tục K có nguyên hàm K II CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Tìm nguyên hàm định nghĩa Bài toán 1: Nguyên hàm hàm số sơ cấp hàm số mũ Phương pháp giải  Biến đổi hàm số dấu nguyên Ví dụ 1: Họ nguyên hàm hàm số f  x  ex  x là: hàm dạng tổng, hiệu biểu thức chứa x, biểu thức chứa x dạng có bảng nguyên hàm A ex  x2  C C x B e  x C x e  x  C D ex  1 C x Trang  Áp dụng công thức nguyên hàm Hướng dẫn giải bảng nguyên hàm để tìm nguyên hàm e dx  � xdx  e  x  e  x dx  � � x x x C Chọn B Ví dụ 2: Hàm số hàm số sau không nguyên hàm hàm số y  x ? A C x x x B x x  2019 D x x  2020 Hướng dẫn giải Ta có: �xdx  x x  C , với C số Nên phương án A, B, D nguyên hàm hàm số y  x Chọn C x Ví dụ 3: Họ nguyên hàm hàm số f  x  3x  A x3  3x ln3 C B x3  3x C ln3 C x3  3x  C D x  ln3 C 3x Hướng dẫn giải f  x dx  �  3x � Ta có:  x3    3x dx  � 3x2dx  � 3x dx x C ln3 Chọn B Ví dụ mẫu Ví dụ Nguyên hàm hàm số f  x  5x   x là: x2 A x  3  x xC x2 B x  3  x xC x2 C x   3x3 x  C x D 20x   C x 3x3 x2 Hướng dẫn giải � � 5x   x � dx  x5   x3 x  C Ta có: � � x x � � Trang Chọn A Ví dụ Nguyên hàm hàm số f  x  4x2  x  là: x A 2x  x  6ln x  C B x  x  6ln x  C C 2x  x  6ln x  C D x  x  3ln x  C Hướng dẫn giải Ta có: 4x2  x  6� � dx  � 4x   � dx  2x2  x  6ln x  C � � x x x � � Chọn C a  b c a b c    d d d d 2x  Ví dụ Nguyên hàm hàm số f  x  x là: e Chú ý: Tính chất phân thức: 2x  e x  C B x e  ln2  1 2x A x  e x  C e ln2 2x 2x x  e  C  ex  C C x D x e  ln2  1 e  ln2  1 Hướng dẫn giải x 2x  2x �2 � x dx  � e dx  x  e x  C Ta có: � x dx  � � � e e  ln2  1 �e � Chọn C Ví dụ Nguyên hàm hàm số f  x  x x  2  x  2 A  2021 2021 C  x  2 2021 2021  x  2  là: B  x  2 D  x  2 2020 1010  x  2  2019 C 2020 1010 C 2020 2021  x  2  2018  x  2  2020 1009 2021 2021 1010 C C Hướng dẫn giải Ta có: x x  2 � 2019 � dx  �  x  2  2�  x  2 � � �  x  2 2020 dx  2�  x  2 2019 2019 dx  x  2 dx  2021 2021  x  2  2020 C 1010 Chọn D Ví dụ Nguyên hàm hàm số f  x  là: e 1 2x 2x A x  ln e2x   C B x  ln e   C     2x C ln e   C   2x D x  ln e   C Hướng dẫn giải Trang   e2x   e2x e2x Ta có:    e2x  e2x  e2x    2x � e2x � 1 d e 1 Do �2x dx  � 1 2x � dx  � dx  � 2x  x  ln e2x   C � e 1 e 1 � e  1�   Chọn B Ví dụ Nguyên hàm hàm số f  x     x  x  A 1� x  6� � C 1 x    x  2 x   C 6 x  � C � � là: B 1� x   x  2� � C 6� D 1  x  2 x   x   C 6 Hướng dẫn giải Ta có: �x    x  x dx  � dx x 1� 2 1  C   x  2 x    x  2 x   C  x  2 x    x  2 x  2� � � 4� 3 6 � Chọn A Chú ý: Sử dụng kĩ thuật nhân liên hợp: Lưu ý: �ax  bdx  3a  ax  b a� b  a b am b ax  b  C Ví dụ Nguyên hàm hàm số f  x  5x  13 là: x  5x  A 2ln x   3ln x   C B 3ln x   2ln x   C C 2ln x   3ln x   C D 2ln x   3ln x   C Hướng dẫn giải Ta có: 5x  13 5x  13  x  5x   x  2  x  3 Ta phân tích: 5x  13  A x  2  B x  3  1 Thế x  x  vào (1) ta có B  A  5x  13 2 x  2  3 x  3 dx  � �  x  2  x  3 Khi x  5x  2 dx  � dx  � dx x x  2ln x   3ln x   C Chọn D Ví dụ Nguyên hàm hàm số f  x  1 x4 là: x5  x Trang A ln x  ln x   C B ln x  ln x   C C ln x  ln x   C D ln x  ln x   C         Hướng dẫn giải   1 x4  2x4 1 x4 2x3 dx  � dx  �dx  �4 dx  ln x  ln x4   C Ta có: �5 x x x x 1 x x 1     Chọn C Ví dụ Nguyên hàm hàm số f  x  3x2  3x  là: x3  3x  A ln x   2ln x   C x1 B ln x   2ln x   C x1 C 2ln x   ln x   C x1 D 2ln x   ln x   C x1 Hướng dẫn giải 3x2  3x  3x2  3x  dx  dx Ta có: �3 � x  3x   x  1  x  2 Ta phân tích 3x2  3x   A x  1  B x  1  x  2  C  x  2 Ta dùng giá trị riêng, tính A  1, C  B  (thay x  2 � A  1; x  1� C  x  � B  ) Khi 3x2  3x  1 dx  � dx  2� dx  3� � x x1  x  1  x  2  x  1 2 dx  ln x   2ln x   C x1 Chọn A P  x Lưu ý: Ta có kiến thức tổng quát dùng cho nguyên hàm hữu tỉ I  � dx , với P  x Q  x Q  x đa thức, cụ thể sau:  Nếu deg P  x  �deg Q  x  ta thực phép chia P  x cho Q  x (ở đây, kí hiệu deg P  x  bậc đa thức P  x )  Khi deg P  x   deg Q  x  ta quan sát mẫu số Q  x ta tiến hành phân tích thành nhân tử, sau đó, tách P  x theo tổ hợp nhân tử Đến đây, ta sử dụng đồng thức (hoặc giá trị riêng) để đưa dạng tổng phân thức Một số trường hợp đồng thức thường gặp Trang Trường hợp 1: Trường hợp 2: 1 � a c �  � ad  bc �ax  b cx  d � �   ax  b  cx  d  Ax  Ba x  Ad  Bb mx  n A B     ax  b  cx  d ax  b cx  d  ax  b  cx  d Ta đồng thức mx  n   Ax  Ba x  Ad  Bb  1 Cách Phương pháp đồng hệ số �Ac  Ba  m Đồng đẳng thức, ta � Suy A, B �Ad  Bb  n Cách Phương pháp giá trị riêng b d Lần lượt thay x   ; x   vào hai vế (1), tìm A, B a c Trường hợp 3: mx  n  ax  b  A B  ax  b  ax  b mx  n Trường hợp 4:  ax  b A   B C  cx  d ax  b  cx  d  ax  b � mx  n  A cx  d  B  ax  b  C  ax  b  cx  d  *  2 b d Lần lượt thay x   ; x   ; x  vào hai vế (*) để tìm A, B, C a c A Bx  C Trường hợp 5: x  m ax2  bx  c  x  m ax2  bx  c với   b2  4ac     Trường hợp 6:   x  a   x  b  A B C D    x  a  x  a x  b  x  b �1� ; f  0  f  1  Giá Ví dụ 10 Cho hàm số f  x xác định �\ � �thỏa mãn f ' x  2x  �2 trị biểu thức P  f 1  A 3ln5 ln2  3 là: B 3ln2  ln5 C 3 2ln5 D 3 ln15 Hướng dẫn giải � ln 2x  1  C1 x  � � f  x  � f ' x dx  � dx  ln 2x   C  � 2x  1 � ln 1 2x  C2 x  � �f  0  � C 1 � � �2 Vì � C1  �f  1  � Trang � ln 2x  1  x  � � Suy f  x  � � ln 1 2x  1khi x  � Do P  f 1   3  3 ln3 ln5 3 ln15 Chọn D Chú ý: Chú ý đến tính liên tục hàm số f ' x cách xử lí dấu giá trị tuyệt đối Ở đây, ta sử dụng hai số khác ứng với x  1 x  2 Ví dụ 11 Cho hàm số f  x xác định �\  1;1 , thỏa mãn f ' x  � � �1 � f� � � � Giá trị biểu thức P  f 2  � � �2 � A 2ln2  ln5 B 6ln2  2ln3 ln5  0  f  4 ; f 3  x 1  3  2ln2 là: C 2ln2  2ln3 ln5 D 6ln2  2ln5 Hướng dẫn giải � x1 �1 f  x  � f ' x dx  �2 dx  �  dx  ln C � � x 1 x �x  x  1� � �x  1� ln� � C1 x  � � �x  1� � 1 x x1 C � ln  C2  1 x  Hay f  x  ln x 1  x � � �x  1� ln� � � C3 x  1 � �x  1� �f 3  � Theo ra, ta có: � � �  � �f� � � 2� Do f 2   3  2ln2 C  C3  2ln2 � � �1 �1 � C2  � �2 � ��  0  f  4  ln3 C3  C2  ln  C1  2ln2  2ln3 ln5 Chọn C Bài toán Nguyên hàm hàm số lượng giác Phương pháp giải Yêu cầu chung: Nắm vững cơng thức lượng giác Ví biến đổi lượng giác  dụ: Tìm nguyên hàm hàm số f  x  cos3x.cos2x � ta thu kết quả: Biến đổi hàm số dấu nguyên hàm dạng tổng, hiệu hàm số lượng Trang 10     2021 2020 � � x2  1 �x  � C  A � 2021 2020 � � � C   x2  2021  2021   x2   1 2021 2021  x    1 2020 C 2020   2021 2020 � � x2  1 �x  � C  D � 2021 2020 � � � 2020 C 2020 x B   x  1 dx  1.�x  1�b  C,x �1 a, b��* �x  1� 2019 � a � �  x  1 2017 Câu 8: Biết C số thực Mệnh đề sau đúng? A a  2b B b  2a C a  2018b D b  2018a Câu 9: Cho hàm số f  x có đạo hàm xác định khoảng  0;� thỏa mãn f  1  f  x  x f ' x  2x3  3x2 với x  Giá trị f  2 bằng: A B 10 C 20 D 15 �� 0; � thỏa mãn f  0  Câu 10: Cho hàm số f  x khơng âm, có đạo hàm liên tục � � 2� �� � � 0; � Giá trị f � �bằng: f  x f ' x  1 f  x cos x với x�� � 2� �2 � A B C 2 D Câu 11: Xét I  � x3  4x4  3 dx Bằng cách đặt u  4x4  , khẳng định sau đúng? A I  u du 16 � Câu 12: Nguyên hàm B I  1 u du 12 � u du 4� u5du C I  � D I  C 2sin  C x D 2sin  C x cos dx bằng: � x x A  sin  C x B sin  C x x3 Câu 13: Cho hàm số F  x có F  x  �4 dx F  0  Hàm số F  x là: x 1   A F  x  ln x   C F  x  B F  x  ln x4       B     D F  x  4ln x   Câu 14: Khi tính nguyên hàm 2u u2  du A � ln x4   4 x �x  dx , cách đặt u  u �   du  x  ta nguyên hàm nào?  u2  du C � D u �   du Câu 15: Cho hàm số f  x  sin 2x.sin x Hàm số nguyên hàm hàm f  x ? A y  4 cos x  sin5 x  C 4 B y   cos x  cos x  C Trang 40 C y  4 cos x  cos5 x  C 4 D y   cos x  sin x  C Câu 16: Cho hàm số F  x nguyên hàm hàm số f  x  giá trị lớn F  x khoảng  0;  � � A F � � 3  �6 � �2 B F � �3 Câu 17: Cho hàm số f  x � � � 2cos x  khoảng  0;  Biết sin2 x Chọn mệnh đề mệnh đề sau �5 D F � �6 � � C F � �  �3 � có đạo hàm đến cấp hai xác định � � 3 �  1;� thỏa mãn 2 � xf ' x � 1 f  x f '' x � � � 1 x � � �với x �1 Biết f 1  ' 1  Giá trị f  2 là: 2 A f  2  2ln2 2 B f  2  2ln2  C f  2  2ln2  Câu 18: Cho F  x nguyên hàm hàm số f  x  D f  2  2ln2  1 thỏa mãn F  0  10 Hàm số F  x 2e  x là:     A ln5 x  ln 2ex   10 3 B x  10 ln 2ex  3 C � 1� � x 3� 2e  � �x  ln� � ln5 ln2 3� 2� � � D ln5 ln2 x  ln 2ex   10 3 Câu 19: Biết  �x  C ln x  1       dx  ln x  x2   C Nguyên hàm hàm số f  x    D  ln x  A ln cos x  cos x   C  sin x cos2 x  là: B  ln cos x  cos x   C  cos2 x   C  cos2 x   C 20x2  30x  �3 � Câu 20: Biết khoảng � ;��, hàm số f  x  có nguyên hàm �2 � 2x    F  x  ax2  bx  c A 2x  (a, b, c số nguyên) Tổng S  a  b  c bằng: B C D sin2x dx Nếu u  cos2x đặt mệnh đề sau đúng? Câu 21: Cho nguyên hàm I  � cos x  sin4 x 1 A I  �2 du u 1 B I  � du 2u  C I  Câu 22: Cho F  x nguyên hàm hàm số f  x    1 du � u 1 D I  �2 du u 1 thỏa mãn F  0   ln2 Tập nghiệm S e 1 x x phương trình F  x  ln e   là: A S   �3 B S  3 C S � D S   3 Trang 41 Câu 23: Biết hàm số F  x nguyên hàm hàm số f  x  ln x x ln2 x  đồ thị hàm số   y  F  x qua điểm  e;2019 Khi F e bằng: A 2020 B 2018 C 2021 D 2019  x  1 5 , biết F  x nguyên hàm hàm số x 1 x Câu 24: Cho f  x  2 f  x thỏa mãn �3 � F  0  Giá trị F � �là: �4 � A 125 16 B 126 16 C 123 16 D  sin x  cos x  1  C dx   , với n �  sin x  cos x  2  sin x  cos x  2 m cos2x Câu 25: Cho 127 16 mn�� , C số thực Giá trị biểu thức A  m n là: A A  B A  C A  D A  dx Câu 26: Nguyên hàm I  �2 là: x 9 x2 A I   9 x2 C 9x B I  9 x2 C 9x C I  9 x2 C 9x2 D I   9 x2 C 9x2 x3 I  Câu 27: Nguyên hàm �1 x2 dx là: A I   x  1 x2  C B I  x  1 x2  C C I   x  1 x2  C D I  x  1 x2  C         Dạng 3: Tìm nguyên hàm phương pháp nguyên hàm phần Phương pháp giải Cơ sở phương pháp: Trang 42 Với u  u x v  v x hàm số có đạo Ví dụ 1: Kết ngun hàm  '  u'vv 'u hàm khoảng K ta có:  uv Viết dạng vi phân d uv  vdu  udv Khi lấy nguyên hàm hai vế ta được: d uv  � vdu  � udv � udv  uv � vdu  1 Từ suy � Cơng thức (1) công thức nguyên hàm xe dx là: � x x2 x e C A xex  ex  C B C xex  ex  C D xex  x  C Hướng dẫn giải u x du  dx � � � Đặt � � dv  exdx � v  ex � xe dx  � xde � Khi x phần x  x.ex  � ex.dx  xe x  ex  C Chọn A Ở ví dụ này, ta ưu tiên đặt u  x , phần lại dv, tức dv  exdx Dòng thứ tính đạo hàm, dịng thứ hai tìm ngun hàm Dấu hiệu nhận biết phải sử dụng phương pháp Ví dụ 2: Kết nguyên hàm ln x  2019 dx là: � nguyên hàm phần A  x  2019 ln x  2019  x  C u x v x dx , Bài tốn: Tìm I  � B  x  2019 ln x  2019  x  C u x v x hai hàm có tính chất khác nhau, C  x  2019 ln x  2019  C chẳng hạn: D ln x  2019  C u x hàm số đa thức, v x hàm số lượng Hướng dẫn giải giác � � u  ln x  2019 du  dx � u x hàm số đa thức, v x hàm số mũ �� x  2019 Đặt � dv  dx � � v  x  2019 � u x hàm số logarit, v x hàm số đa thức (ở từ dv  dx � v  x  C , ta chọn u x hàm số mũ, v x hàm số lượng giác C  2019 để việc tính tốn đơn giản hơn) Khi ln x  2019 dx   x  2019 ln x  2019  � dx � Vậy ln x  2019 dx   x  2019 ln x  2019  x  C � Chọn B ex.sin xdx Ví dụ 3: Tìm � x A 2e  sin x  cos x  C x B 2e  sin x  cos x  C Trang 43 C x e  sin x  cos x  C x e  sin x  cos x  C Hướng dẫn giải u  sin x du  cos xdx � � �� x Đặt � x dv  e dx � v e � D Phương pháp nguyên hàm phần � du  u' x dx � u  u x � � �� Bước 1: Đặt � v � v x dx �dv  v x dx � � Bước 2: Áp dụng công thức (1), ta được: Khi � ex.sin xdx  ex.sin x  � ex.cos xdx udv  uv  � vdu � Đến ta phải áp dụng phương pháp phần Lưu ý: Đặt u  u x (ưu tiên) theo thứ tự: lần nữa, cụ thể: “Nhất lốc, nhì đa, tam lượng, tứ mũ” Tức là, ex.cos xdx ta thực tương tự sau: Với � u  cos x du   sin xdx � � �� x + Đặt � x dv  e dx � v e � có logarit ưu tiên u đa thức,… thứ tự ưu có logarit ưu tiên đặt u logarit, khơng tiên xếp ex.cos xdx  ex.cos x  � ex.sin xdx + Khi � v x dx ta cần Vậy Còn nguyên hàm v  � chọn số thích hợp Điều làm rõ qua ví dụ minh họa cột bên phải e sin xdx  e sin x  � e cos xdx � �� e sin xdx  e sin x   e cos x  � e sin xdx x x x x x x x �� ex.sin xdx  ex. sin x  cos x  C Chọn C Ở đây, lần phần thứ hai, ta nên nhớ tuân thủ nguyên tắc lần phần thứ Tức lần thứ ưu tiên u lượng giác  u  sin x lần thứ hai ta ưu tiên u lượng giác  u  cos x Ví dụ mẫu   x ln  x2 dx là: Ví dụ Kết nguyên hàm I  � A x2  x2 ln x2    C 2 B x2  ln x2    D      2 C x  ln x   x  C     x2 C x2  x2 ln x2    C 2   Hướng dẫn giải Trang 44 2x � du  dx � � u  ln  x � � x 2 �� Đặt � x2  dv  xdx � � v �   x2  x2  x2 2 Khi I  ln x   � xdx  ln x    C 2     Chọn D Chú ý: Thơng thường với dv  xdx � v  x2 x2  mang lại hiệu ln sin x  2cos x Ví dụ Kết nguyên hàm I  � dx là: cos2 x Tuy nhiên trường hợp này, ta để ý v  A  tan x  2 ln sin x  2cos x  x  2ln cos x  C B  tan x  2 ln sin x  2cos x  x  2ln cos x  C C  tan x  2 ln sin x  2cos x  x  2ln cosx  C D  cot x  2 ln sin x  2cos x  x  2ln cos x  C Hướng dẫn giải cos x  2sin x � � u  ln sin x  2cosx du  dx � � � sin x  2cos x �� Đặt � dx sin x  2cos x dv  � � v  tan x   � cos2 x � cos x cos x  2sin x I   tan x  2 ln sin x  2cos x  � dx cos x Khi   tan x  2 ln sin x  2cos x  x  2ln cos x  C Chọn B vdu Chú ý: Ở ví dụ này, chọn v  tan x  rút gọn tử mẫu nguyên hàm � x2 sin5xdx là: Ví dụ Kết nguyên hàm I  � 2 cos5x  C A  x cos5x  xsin5x  25 125 C 2 x cos5x  xsin5x  cos5x  C 25 125 2 cos5x  C B  x cos5x  xsin5x  25 125 2 cos5x  C D  x cos5x  xsin5x  25 125 Hướng dẫn giải Phân tích: Ở ta ưu tiên u  x2 đa thức, nhiên bậc u nên ta phần hai lần thu kết Nhằm tiết kiệm thời gian, gợi ý với phương pháp “sơ đồ đường chéo” cụ thể sau: Bước 1: Chia thành cột: Trang 45 + Cột 1: Cột u lấy đạo hàm đến + Cột 2: Dùng để ghi rõ dấu phép toán đường chéo + Cột 3: Cột dv lấy nguyên hàm đến tương ứng với cột Bước 2: Nhân chéo kết cột với Dấu phép nhân có dấu (+), sau đan dấu (-), (+), (-),… cộng tích lại với 2 cos5x  C Khi I   x cos5x  xsin5x  25 125 Chọn D Chú ý: Kĩ thuật đơn giản tiết kiệm nhiều thời gian Trong kĩ thuật tìm nguyên hàm theo sơ đồ đường chéo, yêu cầu độc giả cần tính tốn xác đạo hàm nguyên hàm hai cột Nếu nhầm lẫn đáng tiếc x4e3xdx là: Ví dụ Nguyên hàm I  � �x4 4x3 12x2 24x 24 �3x I  e C A �     5� 3 � �3 B I  �x4 4x3 12x2 24x 24 �3x I  e C C �     5� 3 � �3 �x4 4x3 12x2 �3x I  D �   �e  C � �3 x5 e3x C Hướng dẫn giải Nếu làm thơng thường phần lần ta thu kết Ở đây, chúng tơi trình bày theo sơ đồ đường chéo cho kết nhanh chóng Trang 46 �x4 4x3 12x2 24x 24 �3x e C Vậy I  �     � 3 � �3 Chọn A ex sin xdx là: Ví dụ Nguyên hàm I  � x A 2e  sin x  cos x  C C x e  sin x  cos x  C x B 2e  sin x  cos x  C D x e  sin x  cos x  C Hướng dẫn giải Phân tích: Sự tồn hàm số mũ lượng giác nguyên hàm dễ gây cho người học nhầm lẫn, ta điểm dừng bị lạc vào vịng luẩn quẩn Ở đây, để tìm kết ta phải phần hai lần ví dụ Tuy nhiên, với sơ đồ đường chéo sao? Khi dừng lại? x x ex sin xdx Khi đó, ta kết luận I  e sin x  e cos x  � Hay 2I  ex sin x  ex.cos x Vậy I  x e  sin x  cos x  C Chọn C Chú ý: Chỉ dừng lại đạo hàm có dạng giống dịng Dòng cuối thu � sin xexdx   I Trang 47 lnn  ax  b v x dx , v x hàm đa thức, n��* a, b �;a Ví dụ Tìm I  � Hướng dẫn giải Phân tích: Vì ưu tiên u x  ln  ax  b nên du  n khơng được, phải chuyển lượng t  x  na.lnn1  ax  b ax  b dx tiếp tục đạo hàm cột na từ cột sang nhân với v x cột để rút gọn ax  b bớt; tiếp tục trình đạo hàm cột 0, ý sử dụng quy tắc đan dấu bình thường x.ln xdx là: Ví dụ 6.1 Kết nguyên hàm I  � x2 x2 ln2   C A B x2 x2 ln2   C x2 x2 ln2   C C D x2 x2 ln2   C Hướng dẫn giải Vậy I  � x.ln xdx  x2 x2 ln2  C Chọn A Chú ý: chuyển lượng t  x  x x2 bên cột sang nhân với v x  ta thu kết Khi bên cột x 2 cịn lại 1, đạo hàm 0; bên cột có nguyên hàm  4x  1 ln3  2x dx là: Ví dụ 6.2 Kết nguyên hàm I  � x x2       3x2  6x  C       3x2  6x  C  3x2  6x  C A 2x2  x ln3  2x  3x2  3x ln2  2x  3x2  6x ln 2x  B 2x2  x ln3  2x  3x2  3x ln2  2x  3x2  6x ln 2x       C 2x2  x ln3  2x  3x2  3x ln2  2x  3x2  6x ln 2x  Trang 48       D 2x2  x ln3  2x  3x2  3x ln2  2x  3x2  6x ln 2x  3x2  6x  C Hướng dẫn giải       Vậy I  2x2  x ln3  2x  3x2  3x ln2  2x  3x2  6x ln 2x  3x2  6x  C Chọn B Chú ý: Chuyển , nhân với 2x  x thu  6x 3 x Chuyển 2 , nhân với 3x  3x thu  6x 6 x     , nhân với 3x  6x thu  3x 6 x x 2x Ví dụ Cho F  x   x  1 e nguyên hàm hàm số f  x e Biết hàm số f  x có đạo  Chuyển  2x hàm liên tục � Nguyên hàm hàm số f ' x e là: x A   x e  C x B  2 x e  C x C  1 x e  C x D  1 x e  C Hướng dẫn giải 2x x x 2x 2x x Ta có F ' x  f  x e � e   x  1 e  f  x e � f  x e  xe Xét f ' x e � 2x dx � � u  e2x du  2e2xdx � � �� Đặt � dv  f ' x dx � v  f  x � 2x f  x exdx  xex  2 x  1 ex  C Do I  f  x e  2� Trang 49 f ' x e2xdx   2 x ex  C Vậy I  � Chọn A Bài tập tự luyện dạng Câu 1: Họ nguyên hàm hàm số f  x  xsin x là: A xcosx  sin x  C B xcos x  sin x  C C  xcos x  sin x  C D  xcos x  sin x  C Câu 2: Họ nguyên hàm hàm số f  x  4x 1 ln x là: A 2x2 ln x  3x2 C 2x2 ln x  3x2  C B 2x2 ln x  x2  D 2x2 ln x  x2  C  Câu 3: Họ nguyên hàm hàm số f  x  3x  ln x là:   x3 C B x3 ln x  x3 C  x3  x C D x3 ln x  x3  x C A x x2  ln x   C x x2  ln x  Câu 4: Tất nguyên hàm hàm số f  x  x khoảng  0;  là: sin2 x A  xcot x  ln sin x  C B xcot x  ln sin x  C C xcot x  ln sin x  C D  xcot x  ln sin x  C     x Câu 5: Cho F  x nguyên hàm hàm số f  x  e x  4x Hàm số F x  x có điểm cực trị? A B C  D  x Câu 6: Gọi F  x  ax  bx  c e , với a, b, c�� nguyên hàm hàm số f  x   x  1 ex Giá trị biểu thức S  a  2b  c là: A S  B S  2 C S  D S  x Câu 7: Cho hàm số f  x có đạo hàm � thỏa mãn f  x  f ' x  e ,x�� f  0  Tất 2x nguyên hàm f  x e là: x x A  x  2 e  e  C 2x x B  x  2 e  e  C x C  x  1 e  C Câu 8: Giả sử F  x nguyên hàm hàm số f  x  ln x  3 x2 x D  x  1 e  C thỏa mãn F  2  F  1  F  1  F  2  aln2 bln5, với a, b số hữu tỷ Giá trị 3a  6b bằng: A 4 Câu 9: Biết B ln 1 2x � dx   C ln 1 2x x2 x số thực Giá trị a  2b là: A B D 3  a.ln 1 2x  b.ln x  C với a, b số nguyên C C D Trang 50 x �� 0; �thỏa mãn f  x  tan x f ' x  Câu 10: Cho hàm số f  x liên tục có đạo hàm � cos3 x � 2� Biết A � � � � 3f� � � � a  bln3, a, b�� Giá trị biểu thức P  a  b bằng: �3 � �6 � 14 B C D  Câu 11: Họ nguyên hàm hàm số f  x  sin x  x ln x là: x2 x2 A F  x   cos x  ln x   C C F  x  cos x  x2 x2 ln x   C B F  x   cos x  ln x  C D F  x   cos x  C Câu 12: Họ nguyên hàm hàm số f  x   2x  1 ln x là:   A x2  x ln x   x2  x C  x2 D x  x ln x   x  C   2 C x  x ln x  x  x  C Câu 13: Cho F  x   2 B x  x ln x  x  x  C  x2.ln x x2 nguyên hàm hàm số f  x  x ln x (với a, b số)  a b Giá trị a2  b là: A B C D Câu 14: Biết F  x nguyên hàm hàm số f  x  2x 3 2ln x F  1  Khẳng định khẳng định sau? 2 A F  x  2x  2x ln x  2 B F  x  2x  2x ln x  2 C F  x  4x  2x ln x 2 D F  x  4x  2x ln x  Câu 15: Họ nguyên hàm hàm số f  x  x  1 3ln x là: A 2x3  x3 ln x  C B x3 ln x  C C x3 ln x  C D x3  x3 ln x  C 1 ln x  1 � Câu 16: Họ nguyên hàm hàm số f  x   1 2x � � �là: A x  x2  x  x2 ln x  C B x  3x2  x  x2 ln x  C C x  x2  x  x2 ln x  C D x  3x2  x  x2 ln x  C           2x ex  dx có kết là: Câu 17: Nguyên hàm I  � A x2  2xex  2ex  C B x2  2xex  ex  C C x2  2xex  2ex  C D x2  xex  ex  C  1 2x  cos x  1 dx có kết là: Câu 18: Nguyên hàm I  � Trang 51 A  1 2x sin x  2cos x  C B x  x   1 2x sin x  2cos x  C C x  x   1 2x sin x  2cos x  C D x  x   1 2x sin x  2cos x  C Câu 19: Công thức sau sai? lnxdx  A � C x B dx � cos x  tan x  C sin xdx   cos x  C D � exdx  ex  C C � Câu 20: Nguyên hàm hàm số f  x  x ln x là: A 23 x  3ln x  2  C f  x dx  � B 23 C � f  x dx  x  3ln x  1  C f  x dx  � 23 x  3ln x  2  C 23 D � f  x dx  x  3ln x  2  C Câu 21: Họ nguyên hàm hàm số f  x   2x  1 ln x là:   x2 B x  x ln x   x  C   D x2  x ln x   2 A x  x ln x  x  x  C  2 C x  x ln x  x  x  C   x2  x C Câu 22: Mệnh đề sau đúng? A xexdx  ex  xex  C � B xexdx  � x2 x x e e C C xexdx  xex  ex  C � D xexdx  � x2 x e C �1 � ax Câu 23: Gọi F  x nguyên hàm � hàm số f  x  x e  a �0 , cho F � � F  0  �a � Chọn mệnh đề mệnh đề sau A  a �1 B a  2 Câu 24: Cho F  x  D 1 a  C a �3 f  x x3 nguyên hàm Biết hàm số f  x có đạo hàm xác định với x x �0 Kết nguyên hàm f ' x e dx là: � x A 3x2ex  6xex  6ex  C B x2ex  6xex  6ex  C C 3x2ex  6xex  ex  C D 3x2  6xex  6ex  C Câu 25: Biết A ab   xe � dx  axe2x  be2x  C  a,b�� C số thực Giá trị tích ab là: 2x B ab  C ab  D ab x Câu 26: Cho F  x nguyên hàm hàm số f  x   5x  1 e F  0  Giá trị F  1 là: A F  1  11e B F  1  e C F  1  e D F  1  e 2x là: Câu 27: Nguyên hàm F  x hàm số f  x  xe Trang 52 1� 2x � A F  x  2e �x  � C � 2� C F  x  2x B F  x  e  x  2  C 2x � � e x  � C � � 2� 2x D F  x  2e  x  2  C Câu 28: Họ nguyên hàm F  x hàm số f  x  xcos2x là: A F  x  xsin2x  cos2x C F  x  B F  x  1 xsin2x  cos2x  C 1 xsin2x  cos2x D F  x  xsin2x  cos2x  C xsin2xdx Chọn kết Câu 29: Cho F  x  � A F  x   2xcos2x  sin2x  C C F  x   B F  x    2xcos2x  sin2x  C D F  x   2xcos2x  sin2x  C  2xcos2x  sin2x  C a 1 lnx  ln x  b nguyên hàm hàm số f  x  , a, b�� Giá x x trị biểu thức S  a  b là: Câu 30: Cho F  x  A S  2 Câu 31: Biết B S   x  3 e � 2x dx   C S  D S   2x e  2x  n  C với m, n�� Khi tổng S  m2  n2 có giá trị m bằng: A 10 B C 65 D 41 Câu 32: Cho F  x nguyên hàm hàm số f  x  e x F  0  Giá trị F  1 là: A  15 e B  10 e C 15 4 e D 10 e ĐÁP ÁN BÀI NGUYÊN HÀM VÀ PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUN HÀM Dạng Tìm ngun hàm định nghĩa 1–D 11 – B 21 – C 31 – C 41 – B 51 – C 61 – A 71 – C 81 – D 91 – B 2–D 12 – B 22 – A 32 – D 42 – B 52 – C 62 – A 72 – D 82 – A 92 – C 3–B 13 – D 23 – B 33 – B 43 – B 53 – A 63 – B 73 – B 83 – A 93 – C 4–D 14 – D 24 – D 34 – A 44 – A 54 – A 64 – B 74 – C 84 – B 94 – A 5–D 15 – C 25 – C 35 – A 45 – A 55 – A 65 – C 75 – C 85 – D 95 – C 6–D 16 – A 26 – A 36 – B 46 – A 56 – D 66 – C 76 – A 86 – A 96 – B 7–D 17 – D 27 – D 37 – A 47 – B 57 – B 67 – A 77 – D 87 – B 97 – A 8–C 18 – A 28 – C 38 – D 48 – D 58 – A 68 – C 78 – C 88 – C 98 – C 9–D 19 – C 29 – B 39 – D 49 – C 59 – A 69 – C 79 – D 89 – D 99 – B 10 – A 20 – D 30 – B 40 – D 50 – B 60 – C 70 – D 80 – A 90 – D 100 – C Dạng Tìm nguyên hàm phương pháp đổi biến Trang 53 1–C 11 – C 21 – B 2–D 12 – A 22 – B 3–B 13 – A 23 – A 4–D 14 – C 24 – B 5–B 15 – C 25 – A 6–B 16 – B 26 – A 7–D 17 – A 27 – C –A 18 – A 28 – A 9–C 19 – A 29 – B 10 – A 20 – D 30 – B 8–B 18 – A 28 – A 38 – C 9–D 19 – C 29 – B 39 – D 10 – A 20 – D 30 – B 40 – D Dạng Tìm nguyên hàm phương pháp nguyên hàm phần 1–D 11 – B 21 – A 31 – C 2–D 12 – D 22 – D 32 – C 3–C 13 – A 23 – A 33 – C 4–A 14 – D 24 – D 34 – C 5–B 15 – B 25 – D 35 – C 6–B 16 – A 26 – C 36 – B 7–D 17 – C 27 – A 37 – C Trang 54 ... tồn nguyên hàm Mọi hàm số f  x liên tục K có nguyên hàm K II CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Tìm ngun hàm định nghĩa Bài tốn 1: Nguyên hàm hàm số sơ cấp hàm số mũ Phương pháp giải  Biến đổi hàm số... Tìm nguyên hàm phương pháp đổi biến Bài toán 1: Phương pháp đổi biến dạng 1, đặt u=u x Phương pháp giải Định lí: Cho f  u du  F  u  C � hàm số có đạo hàm liên tục u  u x Ví dụ 1: Nguyên. .. 27: Nguyên hàm ? ?1? ?? x2 dx là: A I   x  1? ?? x2  C B I  x  1? ?? x2  C C I   x  1? ?? x2  C D I  x  1? ?? x2  C         Dạng 3: Tìm nguyên hàm phương pháp nguyên hàm phần Phương pháp