Đang tải... (xem toàn văn)
CHỦ ĐỀ 2 PHƯƠNG PHÁP VI PHÂN TÌM NGUYÊN HÀM I Vi phân của hàm số Vi phân của hàm số được ký hiệu là và cho bởi Ví dụ II Một số công thức vi phân quan trọng (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) Ví dụ 1 Tìm nguyên hàm A B C D Lời giải Ta có Chọn D Ví dụ 2 Tìm nguyên hàm A B C D Lời giải Ta có Áp dụng Chọn B Ví dụ 3 Tìm nguyên hàm A B C D Lời giải Ta có Chọn B Ví dụ 4 Hàm số nào sau đây không phải nguyên hàm của hàm số A B C D Lời giải Ta có Với ta được Với ta được Với ta được Đáp án sai là D C.
CHỦ ĐỀ 2: PHƯƠNG PHÁP VI PHÂN TÌM NGUYÊN HÀM I Vi phân hàm số Vi phân hàm số y = f ( x ) ký hiệu dy cho dy = df ( x ) = y′dx = f ′ ( x ) dx Ví dụ: d ( sin x + cos x ) = ( sin x + cos x ) ′ dx = ( cos x − sin x ) dx II Một số công thức vi phân quan trọng (1) dx = −1 d ( ax ± b ) = d ( b ± ax ) a a (2) xdx = 1 d ( x2 ) = d ( ax ± b ) = − d ( b ± ax ) 2a 2a 1 −1 3 (3) x dx = d ( x ) = d ( ax ± b ) = d ( b ± ax ) 3a 3a (4) sin x = − d ( cosx ) = −1 d ( a cos x ± b ) a (5) cos xdx = d ( sinx ) = d ( a sin x ± b ) a (6) dx = d ( tan x ) = d ( a tan x ± b ) cos x a (7) dx −1 = − d ( cot x ) = d ( a cot x ± b ) sin x a (8) dx =d x ( x ) = 1a d ( a x x (9) e dx = d ( e ) = −1 d b±a x a ( ) −1 d ( ae x ± b ) = d ( b ± ae x ) a a dx −1 = d ( ln x ) = d ( a ln x ± b ) = d ( b ± a ln x ) x a a (10) Ví dụ 1: Tìm ngun hàm ∫ A ) x ±b = sin x − cos x dx sin x + cos x + C sin x + cos x B C ln sin x + cos x + C Ta có = −∫ sin x − cos x −1 + C sin x + cos x D − ln sin x + cos x + C Lời giải: cos x − sin x ∫ sin x + cos xdx = − ∫ sin x + cos xdx = −∫ (sin x + cos x)′ dx sin x + cos x d ( sin x + cos x ) = − ln sin x + cos x + C Chọn D sin x + cos x Ví dụ 2: Tìm ngun hàm I = ∫ A − ln x + x + C B x +1 ( x2 + x ) dx −1 + C 2x + 4x C + C x + 2x D 23 x + + C D (x −2 + 2x ) + C Lời giải: Ta có: ∫ Áp dụng (x x +1 + 2x) du ∫u = 2 2x + d ( x + 2x ) dx = ∫ dx = ∫ ( x2 + 2x ) 2 ( x2 + 2x ) −1 −1 +C ⇒ I = + C Chọn B u 2( x + x) Ví dụ 3: Tìm ngun hàm A x +1 + C I =∫ B xdx ( 1+ x ) 2 33 x + + C C 33 x + 1) + C ( Lời giải: Ta có: I = ∫ xdx ( 1+ x ) 2 −2 d ( x + 1) = ∫ = ∫ ( x + 1) d ( x + 1) + x2 2 ( ) 1 = ( x + 1) + C = x + + C Chọn B 2 Ví dụ 4: Hàm số sau nguyên hàm hàm số f ( x ) = A ln x − cos x B ln x − cos x + 1 + sin x x − cos x C ln ( x − cos x ) Lời giải: ′ Ta có: F ( x ) = + sin x dx = ( x − cos x ) dx = d ( x − cos x ) = ln x − cos x + C ∫ x − cos x ∫ x − cos x x − cos x Với C = ln ta F ( x ) = ln x − cos x Với C = ta F ( x ) = ln x − cos x + 1 Với C = ta F ( x ) = ln ( x − cos x ) = ln x − cos x Đáp án sai D Chọn D D ln ( x − cosx ) Ví dụ 5: Giả sử F ( x ) nguyên hàm hàm số f ( x ) = cos x π Biết F ÷ = 4sin x − 2 Tìm F ( x ) A F ( x ) = 1 4sin x − + 2 C F ( x ) = − B F ( x ) = 4sin x − 3 4sin x − + 2 D F ( x ) = − 4sin x − + Lời giải: Ta có: F ( x ) = ∫ Áp dụng d ( sin x ) cos xdx d ( 4sin x − ) =∫ = ∫ 4sin x − 4sin x − 4sin x − du = u + C ⇒ F ( x) = 4sin x − + C u ∫2 1 π 4sin x − + Chọn A Do F ÷ = + C = ⇒ F ( x ) = 2 2 Ví dụ 6: Giả sử F ( x ) nguyên hàm hàm số f ( x ) = x ( + 3ln x ) 1 Biết F ÷ = e Tìm F ( x ) −1 + ln x + A F ( x ) = + ln x + B F ( x ) = C F ( x ) = + 3ln x + D F ( x ) = −1 3ln x + Lời giải: Ta có: F ( x ) = ∫ dx x ( + 3ln x ) =∫ d ( ln x ) ( + 3ln x ) = d ( 3ln x + ) −1 = +C ∫ ( + 3ln x ) ( 3ln x + ) −1 −1 + C = 1⇒ C = ⇒ F ( x) = + Chọn B Do F ÷ = ln x + e −3 Ví dụ 7: Tìm ngun hàm hàm số f ( x ) = x sin x + ( x + 1) cos x x sin x + cos x A x + ln x sin x + cos x + C B x + ln x sin x + cos x + C x sin x + cos x ) C x + ( D x + x sin x + cos x 2 + C Lời giải: Nhận xét ( x sin x + cos x ) ′ = sin x + x cos x − sinx = x cos x Ta có: ∫ x sin x + ( x + 1) cos x x cosx x cos x dx = ∫ 1 + dx ÷dx = ∫ dx + ∫ x sin x + cos x x sin x + cos x x sin x + cos x x+∫ d ( x sin x + cos x ) = x + ln x sin x + cos x + C Chọn B x sin x + cos x Ví dụ 8: Cho hàm số f ( x ) dương thỏa mãn f ′ ( x ) = ( x + 1) f ( x ) với x ∈ ¡ Biết f ( ) = 16 Gía trị f ( 1) bằng: B A C.4 D Lời giải: Ta có: f ′ ( x ) = ( x + 1) f ( x ) ⇔ Lấy nguyên hàm vế ta có: f ′( x) f ( x) f ′( x) ∫ = 2x +1 dx = ∫ ( x + 1) dx ⇔ ∫ f ( x) df ′ ( x ) f ( x) = x2 + x + C ⇔ f ( x ) = x2 + x + C Thay x = ta có: = 22 + + C ⇒ C = 2 Thay x = ta có: f ( 1) = + + ⇒ f ( 1) = Chọn C Ví dụ 9: [Đề thi THPT Quốc gia năm 2008] Cho hàm số f ( x) thỏa mãn f ( ) = − f ′ ( x ) = x f ( x ) với x ∈ ¡ Giá trị f ( 1) bằng: A − 35 36 B −2 C −19 36 D −2 15 Lời giải: Ta có: f ′ ( x ) = x f ( x ) ⇒ f ′( x) Lấy nguyên hàm vế ta có: f ( x ) = 2x d f ( x ) −1 dx = ∫ xdx ⇔ ∫ = x2 + C ⇔ = x + C f x ( ) f ( x ) f ′( x) ∫ f ( x) 2 −1 = x2 + Mặt khác f ( ) = − ⇒ = + C ⇔ C = ⇒ 2 f ( x) Thay x = ta − 1 = + = ⇒ f ( 1) = − Chọn B f ( 1) 2 Ví dụ 10: Cho hàm số f ( x ) dương thỏa mãn f ′ ( x ) = x f ( x ) với x ∈ ¡ Biết f ( ) = Giá trị f ( 1) bằng: A.1 B e C e Lời giải: D e3 Ta có: f ′ ( x ) = x f ( x ) ⇔ f ′( x) = 3x f ( x) Lấy nguyên hàm vế ta có: ∫ f ( x) f ′( x) dx = ∫ x dx ⇔ ∫ df ′ ( x ) = x3 + C f ( x) ⇔ ln f ( x ) = x + C (Do f ( x ) > 0∀x ∈ ¡ ) Suy f ( x ) = e x +C C Do f ( ) = e = ⇔ C = ⇒ f ( 1) = e Chọn B Ví dụ 11: Cho hàm số y = f ( x ) thỏa mãn f ( x ) f ′ ( x ) = 3x + x Biết f ( ) = 2 Tính giá trị f ( ) A f ( ) = 144 B f ( ) = 100 C f ( ) = 64 Lời giải: D f ( ) = 81 5 Ta có f ( x ) f ′ ( x ) = 3x + x ⇔ ∫ f ( x ) f ′ ( x ) dx = ∫ ( 3x + x ) dx ⇔ ∫ f ( x) d ( f ( x) ) = f ( x ) x6 x6 + x3 + C ⇔ = + x + C ⇔ f ( x ) = x + x + 2C 2 2 Mà f ( ) = ⇒ f ( ) = ⇒ 2C = ⇒ f ( x ) = x + x + Vậy f ( ) = ( x + x + ) x=2 = 26 + 4.23 + = 100 Chọn B BÀI TẬP TỰ LUYỆN x F ( ) = Tính F ( 1) x +1 Câu 1: Biết F ( x ) nguyên hàm hàm số f ( x ) = A ln + B ln + 2 D ln + C Câu 2: Tìm nguyên hàm hàm số f ( x ) = x + x A x + x + C B ( x + x2 ) + C C ( ) + x2 + C D x + x + C Câu 3: Tìm nguyên hàm hàm số f ( x ) = cos x sin x A − cos x + C 6 B − sin x + C C cos6 x + C D − cos x + C Câu 4: Tìm nguyên hàm F ( x ) hàm số f ( x ) = x ( x + 1) thỏa mãn F ( 1) = A F ( x ) = C F ( x ) = x ( x + 1) 5 x ( x + 1) 5 − + B F ( x ) (x = D F ( x ) (x = + 1) − 5 + 1) − Câu 5: Tìm nguyên hàm F ( x ) hàm số f ( x ) = x ( x + 1) thỏa mãn F ( ) = A F ( x ) = − 10 x + 1) + ( 20 B F ( x ) = C F ( x ) = ( x + 1) − 21 20 10 x + 1) + ( 20 D F ( x ) = ( x + 1) + 10 10 3cos x sin x Câu 6: Tìm nguyên hàm hàm số f ( x ) = e A 3cos x e cos x + C 3cos x + C B − e C 3e3cos x + C D 3e3cos x cos x + C Câu 7: Tìm nguyên hàm hàm số f ( x ) = cos x sin x + A C sin x + + C ( sin x + 1) + C B − D ( sin x + 1) + C ( sin x + 1) + C x Câu 8: Tìm nguyên hàm F ( x ) hàm số f ( x ) = ( x − 1) e −3 x , biết đồ thị hàm số F ( x ) có điểm cực tiểu nằm trục hồnh A F ( x ) = e x3 − x −e B F ( x ) = ex −3 x + 3e −1 Câu 9: Tìm nguyên hàm hàm số f ( x ) = xe x +1 C F ( x ) = ex −3 x − e2 D F ( x ) = ex −3 x −1 A x2 e + C x2 B − e + C x2 +1 C e + C D Câu 10: Hàm số f ( x ) = xe x có nguyên hàm F ( x ) thỏa F ( ) = x2 −1 e + C Tìm nghiệm phương trình 2F ( x ) = e x+2 A x = −1 x = B x = x = −2 C x = −1 x = D x = x = Câu 11: Tìm nguyên hàm hàm số f ( x ) = A ln x + C B ln x 2x ln x + C C ln x + C 4x D + C x2 x 1 Câu 12: Tìm nguyên hàm hàm số f ( x ) = + ÷ln x x ln x ln x + x + C A ln x + x + C B ln x C + x + C x2 ln x + D ÷ln x + C ln x Câu 13: Tìm nguyên hàm hàm số f ( x ) = A ln x + C B ln x x ln x + C Câu 14: Một nguyên hàm F ( x ) hàm số f ( x ) = B log F ( −1) = 2 A log F ( −1) = C ln x + C x x +1 D + C x2 thỏa F ( ) = Tính log F ( −1) C log F ( −1) = D log F ( −1) = Câu 15: Tìm hàm số f ( x ) Biết f ′ ( x ) = x + x f ( −1) = A f x = ( ( ) C f x = ( ) + x2 ) 3 x2 ( + x2 + ) B f ( x ) = − D f x = ( ) Câu 16: Tìm nguyên hàm F ( x ) hàm số f ( x ) = A F ( x ) = x − x + + 2015 C F ( x ) = x2 − x + + 2016 + x2 + ( + x2 ) x −1 x2 − 2x + − thỏa mãn F ( 1) = 2017 B F ( x ) = x − x + + 2017 D F ( x ) = 2x − x − 2x + + 2016 Câu 17: Hàm số f ( x ) = A e F ( ) = x có nguyên hàm F ( x ) thỏa F ( 1) = ln Tính e F ( ) x +2 2 B e F ( ) = Câu 18: Tìm nguyên hàm hàm số f ( x ) = A ln ln x + + C x + + C B C − x + D e F ( ) = 81 x ln x + x B ln ln x − + C Câu 19: Tìm nguyên hàm hàm số f ( x ) = A C e F ( ) = 27 C − ln ln x + + C x 3x + C D − ln ln x − + C x + + C D 3x + + C LỜI GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN d ( x + 1) x Câu 1: F ( x ) = ∫ dx = ∫ = ln ( x + 1) + C mà F ( ) = ⇒ C = x +1 x +1 Do F ( x ) = Câu 2: 1 ln ( x + 1) + ⇒ F ( 1) = ln + Chọn B 2 ∫ x + x dx = 1 2 2 +C = + x d + x = x + ( ) ( ) ∫ 2 3 (x + 1) + C Chọn C 5 Câu 3: ∫ cos x sin xdx = − ∫ cos xd ( cos x ) = − cos x + C Chọn A 2 Câu 4: F ( x ) = ∫ x ( x + 1) dx = ∫ ( x + 1) d ( x + 1) = 4 Mà F ( 1) = ⇒ C = − ⇒ F ( x ) = ( Câu 5: F ( x ) = ∫ x ( x + 1) dx = Mà F ( ) = x + 1) 5 x + 1) + C ( − Chọn B 10 10 1 1 x + 1) d ( x + 1) = ( x + 1) + C = ( x + 1) + C ( ∫ 2 10 20 10 21 ⇒ C = ⇒ F ( x ) = ( x + 1) + Chọn B 20 20 3cos x sin xdx = − Câu 6: ∫ e 3cos x e d ( 3cos x ) = − e3cos x + C Chọn B ∫ 3 Câu 7: ∫ cos x sin x + 1dx = ∫ sin x + 1d ( sin x + 1) = x Câu 8: F ( x ) = ∫ ( x − 1) e −3 x dx = ( sin x + 1) + C Chọn A x = −1 x3 −3 x e d ( x3 − 3x ) = e x −3 x + C Ta có f ( x ) = ⇔ ∫ 3 x =1 e x −3 x + − Do hàm số có cực tiểu nằm trục hoành nên F ( 1) = ⇔ C = − ⇒ F ( x ) = 3e 3e Chọn B Câu 9: ∫ xe x +1 2 dx = e x +1d ( x + 1) = e x +1 + C Chọn C 2 x Câu 10: F ( x ) = ∫ xe dx = x2 1 e d ( x ) = e x + C Mà F ( ) = ⇒ C = ⇒ F ( x ) = e x ∫ 2 2 x = −1 x+ x2 x+2 Chọn A Ta có F ( x ) = e ⇔ e = e ⇔ x = x + ⇔ x = Câu 11: ln x 1 ∫ x dx = ∫ ln xd ( ln x ) = ln x + C Chọn A x ln x 1 1 dx + ∫ xdx = ∫ ln xd ( ln x ) + ∫ xdx = ln x + x + C Chọn B Câu 12: ∫ + ÷ln xdx = ∫ x 2 x ln x Câu 13: ∫ ln x dx = ∫ ln xd ( ln x ) = ln x + C Chọn C x Câu 14: F ( x ) = ∫ d ( x + 1) dx = ∫ = x + + C mà 2 x +1 x +1 x F ( 0) = ⇒ C = ⇒ F ( x ) = x2 + 1 Ta có F ( −1) = ⇒ log F ( −1) = log 2 = Chọn B 2 Câu 15: f ( x ) = ∫ x + x dx = 1 + x2 d ( + x2 ) = ∫ Mà f ( −1) = ⇔ f ( −1) = ⇒ C = ⇒ f ( x ) = Câu 16: F ( x ) = ∫ x −1 x − 2x + dx = ∫ ( 1+ x ) d ( x − x + 5) x − 2x + (1+ x ) 3 +C + Chọn A = x − x + + C Mà F ( 1) = 2017 ⇒ C = 2015 ⇒ F ( x ) = x − x + + 2015 Chọn A d ( x2 + 2) x Câu 17: F ( x ) = ∫ dx = ∫ = ln ( x + ) + C mà F ( 1) = ln ⇒ C = ln 2 x +2 x +2 Do F ( x ) = Câu 18: Câu 19: ln ( x + ) + ln ⇒ F 1 ∫ x ln x + x dx = ∫ ln x + ∫ x 3x + dx = ( ) = ln ⇒ e ( F ) = e 2ln = Chọn B d ( ln x ) dx =∫ = ln ln x + + C Chọn A x ln x + d ( 3x + ) = x + + C Chọn A ∫ 3x + ... dụ 2: Tìm ngun hàm I = ∫ A − ln x + x + C B x +1 ( x2 + x ) dx −1 + C 2x + 4x C + C x + 2x D 23 x + + C D (x ? ?2 + 2x ) + C Lời giải: Ta có: ∫ Áp dụng (x x +1 + 2x) du ∫u = 2 2x + d ( x + 2x )... x ) = x − x + + 20 15 C F ( x ) = x2 − x + + 20 16 + x2 + ( + x2 ) x −1 x2 − 2x + − thỏa mãn F ( 1) = 20 17 B F ( x ) = x − x + + 20 17 D F ( x ) = 2x − x − 2x + + 20 16 Câu 17: Hàm số f ( x ) =... hàm số f ( x ) = A ln + B ln + 2 D ln + C Câu 2: Tìm nguyên hàm hàm số f ( x ) = x + x A x + x + C B ( x + x2 ) + C C ( ) + x2 + C D x + x + C Câu 3: Tìm nguyên hàm hàm số f ( x ) = cos x sin x