CHUYÊN đề 18 NGUYÊN hàm, PHƯƠNG PHÁP tìm NGUYÊN hàm

CHUYÊ N ĐỀ 18 NGUYÊN HÀM, PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM MỤC LỤC PHẦN A CÂU HỎI Dạng Nguyên hàm (dùng bảng nguyên hàm) Dạng 1.1 Tìm ngun hàm khơng có điều kiện Câu Câu (MĐ 103 BGD&ĐT NĂM 2017-2018) Nguyên hàm hàm số x + x +C x4 + x2 + C x5 + x3 + C A B C (Mã đề 104 - BGD - 2019) Họ tất nguyên hàm hàm số A Câu B C x2 + x + C x2 + C x2 + x + C B C 2x + C ∫ 2sin xdx = −2cos x + C ∫ 2sin xdx = sin C B x+ C D A B 3x + + C C x2 + x + C D 2x2 + 6x + C D f ( x) = 2sin x ∫ 2sin xdx = 2cos x + C ∫ 2sin xdx = sin2x + C (Mã đề 101 BGD&ĐT NĂM 2018) Nguyên hàm hàm số x + x +C D f ( x) = 2x + (MĐ 105 BGD&ĐT NĂM 2017) Tìm nguyên hàm hàm số A Câu 2x + C x3 + x + C f ( x ) = 2x + (Mã 102 - BGD - 2019) Họ tất nguyên hàm hàm số A Câu x2 + C f ( x ) = x4 + x2 f ( x ) = x3 + x x3 + x + C D x4 + x2 + C Câu (Mã 103 - BGD - 2019) Họ tất nguyên hàm hàm số A Câu x + 3x + C B x + 3x + C C x2 + C f ( x ) = 2x + A ∫ f ( x ) dx = ( x − 1) C ∫ f ( x ) dx = − B ∫ f ( x ) dx = ( x − 1) x − + C D ∫ f ( x ) dx = f ( x ) = x − 1 x − + C 2x + C D (ĐỀ MINH HỌA GBD&ĐT NĂM 2017) Tìm nguyên hàm hàm số x − + C x − + C f ( x ) = x2 + Câu (ĐỀ THAM KHẢO BGD&ĐT NĂM 2017) Tìm nguyên hàm hàm số A C ∫ x3 f ( x ) dx = + + C x ∫ x3 f ( x ) dx = − + C x B D ∫ x3 f ( x ) dx = − + C x ∫ x3 f ( x ) dx = + + C x f ( x) = Câu (MÃ ĐỀ 110 BGD&ĐT NĂM 2017) Tìm nguyên hàm hàm số dx A dx C ∫ x − = ln x − + C 5x − dx B ∫ x − = − ln x − + C x2 ∫ x − = ln 5x − + C dx D ∫ 5x − = 5ln x − + C f ( x) = cos3x Câu 10 (MÃ ĐỀ 123 BGD&DT NĂM 2017) Tìm nguyên hàm hàm số sin3x cos3xdx = +C cos3 xdx = 3sin x + C ∫ ∫ A B sin3x cos3xdx = − +C cos3 xdx = sin x + C ∫ ∫ C D Câu 11 (Mã đề 104 BGD&ĐT NĂM 2018) Nguyên hàm hàm số A x + x +C B 3x + x + C C f ( x ) = x3 + x x3 + x + C D x + x3 + C Câu 12 (ĐỀ THAM KHẢO BGD&ĐT NĂM 2018-2019) Họ nguyên hàm hàm số e +1+ C x A B ex + e + x +C x C x +C A B x2 + 5x + C C 2x2 + 5x + C Câu 14 (MĐ 104 BGD&DT NĂM 2017) Tìm nguyên hàm hàm số 7x ∫ dx = ln + C x A x +1 ∫ dx = x + + C B x C D Câu 15 Tìm nguyên hàm hàm số A ∫ dx = ∫7 x x +1 x dx = x ln + C B A D x + x +C B ∫ f ( x ) dx = −2sin x + C ∫ f ( x ) dx = − sin x + C Câu 16 (Mã đề 102 BGD&ĐT NĂM 2018) Nguyên hàm hàm số 4x +1+ C ∫ f ( x ) dx = sin x + C f ( x) = 7x 2x + C C D +C f ( x ) = cos x ∫ f ( x ) dx = 2sin x + C x e + x +C x +1 f ( x) = x + Câu 13 (Mã đề 101 - BGD - 2019) Họ tất nguyên hàm hàm số x2 + C D f ( x) = ex + x C f ( x ) = x4 + x x + x +C Câu 17 (ĐỀ THAM KHẢO BGD & ĐT 2018) Họ nguyên hàm hàm số D x4 + x + C f ( x) = x + A x3 + C B x3 + x+C C 6x + C D Câu 18 (THPT AN LÃO HẢI PHỊNG NĂM 2018-2019 LẦN 02) Tìm ngun hàm x +7 ( A ) 16 +C − B x +7 32 ( ) 16 x +7 16 ( +C C ) 16 3e + C A B 3x e +C C Câu 20 (THPT CẨM GIÀNG NĂM 2018-2019) Tính A x2 + sin x + C B x2 + cos x + C x e +C D ∫ ( x − sin x ) dx x2 + C ∫ x( x +7 x +7 32 ( +C Câu 19 (THPT BA ĐÌNH NĂM 2018-2019 LẦN 02) Họ nguyên hàm hàm số sau đây? x x3 + x + C f (x) = e3 x D 3e3 x + C ) ) 15 16 dx ? +C hàm số cos x +C D x cos x + +C 2 Câu 21 (TRƯỜNG THPT HOÀNG HOA THÁM HƯNG YÊN NĂM 2018-2019) Nguyên hàm hàm số y = e x −1 A 2e x −1 +C B e x −1 +C C x −1 e +C D x e +C Câu 22 (THPT HÙNG VƯƠNG BÌNH PHƯỚC NĂM 2018-2019 LẦN 01) Tìm họ nguyên hàm hàm f ( x) = 2x + số ln x + + C A B ln x + + C C ln x + + C ln D lg ( x + 3) + C Câu 23 (THPT HÙNG VƯƠNG BÌNH PHƯỚC NĂM 2018-2019 LẦN 01) Tìm họ nguyên hàm hàm y = x − 3x + x số A x 3x − − + C, C ∈ ¡ ln x B x3 − 3x + + C , C ∈ ¡ x C x 3x − + ln x + C , C ∈ ¡ ln D x 3x − − ln x + C , C ∈ ¡ ln Câu 24 (THPT HÙNG VƯƠNG BÌNH PHƯỚC NĂM 2018-2019 LẦN 01) Tìm họ nguyên hàm hàm f ( x ) = sin x số A - 3cos3x + C B 3cos3x + C C cos3 x + C - D Câu 25 (CHUYÊN KHTN NĂM 2018-2019 LẦN 01) Họ nguyên hàm hàm số A x + cos x + C B x + cos x + C C x − cos x + C D cos3 x + C f ( x ) = 3x + sin x x − cos x + C Câu 26 (CHUYÊN BẮC NINH NĂM 2018-2019 LẦN 03) Công thức sau sai? A C ∫ ln x dx = +C x B ∫ sin x dx = − cos x + C ∫ cos2 x dx = tan x + C D ∫e x Câu 27 (CHUYÊN BẮC NINH NĂM 2018-2019 LẦN 03) Nếu f ( x ) = x4 + A x3 + Cx f ( x ) = 12 x + x f ( x ) = 12 x + x + C B f ( x ) = x4 + C D x3 dx = e x + C ∫ f ( x ) dx = x + x2 + C hàm số f ( x) Câu 28 (THPT LƯƠNG THẾ VINH HÀ NỘI NĂM 2018-2019 LẦN 1) Trong khẳng định sau, khẳng định sai? A C ∫ cos xdx = sin x + C ∫ x dx = ln x + C D x ∫ e dx = B e x +1 +C x +1 e ∫ x dx = x e +1 +C e +1 Câu 29 (THPT LƯƠNG THẾ VINH HÀ NỘI NĂM 2018-2019 LẦN 1) Nguyên hàm hàm số ∫ dx = ln 2.2 x A x ∫ dx = x +C B x +C C x ∫ dx = 2x +C ln A F ( x ) = 2x + C B x3 +C C F ( x ) = x3 + C D f ( x ) = x2 Câu 30 (HỌC MÃI NĂM 2018-2019-LẦN 02) Họ nguyên hàm hàm số F ( x) = x ∫ dx = D y = 2x 2x +C x +1 F ( x) = x + C Câu 31 (LIÊN TRƯỜNG THPT TP VINH NGHỆ AN NĂM 2018-2019) Tìm họ nguyên hàm hàm số f ( x ) = 3x − sin x ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx = x + cos x + C A B 3x C ∫ f ( x ) dx = + cos x + C D 3x − cos x + C ∫ f ( x ) dx = + cos x + C Câu 32 (SỞ GD&ĐT BÌNH PHƯỚC NĂM 2018-2019 LẦN 01) Họ nguyên hàm hàm số f ( x) = x + s inx A x + cos x+C B x − cos x+C C x2 − cos x+C D x2 + cos x+C Câu 33 (THPT MINH KHAI HÀ TĨNH NĂM 2018-2019) Họ nguyên hàm hàm số A cos x + C B − cos x + C C − sin x + C D f ( x ) = cos x sin x + C là: Câu 34 (THPT ĐOÀN THƯỢNG - HẢI DƯƠNG - 2018 2019) Họ nguyên hàm hàm số f ( x ) = x4 + x2 4x + 2x + C A x + x +C B C x + x +C D x5 + x3 + C Câu 35 (THPT CÙ HUY CẬN NĂM 2018-2019 LẦN 01) Họ nguyên hàm hàm số f ( x ) = ex − x e + x +C x A e − x +C x B C x e − x2 + C x +1 D ex − + C Câu 36 (CHUYÊN HÙNG VƯƠNG GIA LAI NĂM 2018-2019 LẦN 01) Họ nguyên hàm hàm số y = cos x + x sin x + A x +C sin x + x + C − sin x + B C x +C D − sin x + x + C Câu 37 (CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN ĐIỆN BIÊN NĂM 2018-2019 LẦN 02) Họ nguyên hàm hàm số y = x − 3x + x A x3 3x − − ln x + C x3 3x − + ln x + C C B D x3 3x − + ln x + C x 3x − + + C x Câu 38 (CHUYEN PHAN BỘI CHÂU NGHỆ AN NĂM 2018-2019 LẦN 02) Họ nguyên hàm hàm số f ( x ) = + sin x x A ln x − cos x + C − B − cos x + C x2 ln x + cos x + C C ln x − cos x + C D F ( x) = Câu 39 (THPT YÊN PHONG BẮC NINH NĂM HỌC 2018-2019 LẦN 2) Hàm số ( −∞; +∞ ) nguyên hàm hàm số sau ? A f ( x ) = 3x B f ( x ) = x3 C f ( x ) = x2 f ( x) = D x x Câu 40 (THPT YÊN PHONG BẮC NINH NĂM HỌC 2018-2019 LẦN 2) Tìm họ nguyên hàm hàm f ( x ) = 2x số A ∫ f ( x ) dx = x +C B ∫ 2x f ( x ) dx = +C ln C ∫ f ( x ) dx = x ln + C D ∫ f ( x ) dx = x +1 +C x +1 Câu 41 (THPT - YÊN ĐỊNH THANH HÓA 2018 2019- LẦN 2) Tìm nguyên hàm hàm số x4 + f ( x) = x2 A C x3 − +C x ∫ f ( x ) dx = ∫ x3 f ( x ) dx = + + C x B D x3 + +C x ∫ f ( x ) dx = ∫ x3 f ( x ) dx = − + C x Câu 42 (SỞ GD&ĐT HÀ NỘI NĂM 2018-2019) Hàm số hàm số sau nguyên y = ex hàm hàm số ? y= A x B y = ex C y = e− x D y = ln x Câu 43 (CHUYÊN LƯƠNG THẾ VINH ĐỒNG NAI NĂM 2018-2019 LẦN 01) Tính e ≈ 2, 718 e số F ( x) = A e2 x +C F ( x) = B e3 +C C F ( x) = e x + C D F ( x) = ∫ e dx F ( x ) = 2ex + C , Câu 44 (CHUYÊN LÊ Q ĐƠN QUẢNG TRỊ NĂM 2018-2019 LẦN 01) Tìm ngun hàm hàm số 1  f ( x) =  −∞ ; ÷ 2  1− 2x A ln x − + C B ln ( − x ) + C C − ln x − + C Câu 45 (ĐỀ 04 VTED NĂM 2018-2019) Nguyên hàm hàm số 3x + x + C A B x + x +C C x3 + x2 x + x3 + C ln x − + C D ? D x + 3x + C Câu 46 (CHUYÊN HƯNG YÊN NĂM 2018-2019 LẦN 03) Nguyên hàm hàm số A 2x x2 + +C ln 2 B 2x + x2 + C C 2x + x2 + C ln f ( x ) = 2x + x 2x + D x2 +C Câu 47 (THPT CHUYÊN SƠN LA NĂM 2018-2019 LẦN 01) Họ nguyên hàm hàm số f ( x ) = + sin x A + cos x + C B − cos x + C C x + cos x + C D x − cos x + C Câu 48 (THPT ĐÔNG SƠN THANH HÓA NĂM 2018-2019 LẦN 02) Nguyên hàm hàm số x − x + x − 2019 A C x2 x − x + +C 12 B x2 x − x + − 2019 x + C 12 D x2 x − x + − 2019 x + C x2 x + x − − 2019 x + C Câu 49 (THPT LÊ QUÝ ĐÔN ĐÀ NẴNG NĂM 2018-2019) Họ nguyên hàm hàm số A x x3 − +C ln B 2x − x + C x ln − C x3 +C D t ( x) = x − x 2x − 2x + C ln Câu 50 (THPT YÊN KHÁNH - NINH BÌNH - 2018 - 2019) Họ nguyên hàm hàm số 1   −∞; ÷ 3  khoảng là: A B ln(1 − x) + C C ln(1 − x) + C D f ( x) = ln(3 x − 1) + C f (x) = 3x − ln(3 x − 1) + C Câu 51 (THPT CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG NAM ĐỊNH NĂM 2018-2019 LẦN 01) Trong khẳng định sau, khẳng định sai? ∫ dx = x A x 2x ∫ e dx = ln + C B e2 x +C C ∫ cos xdx = sin x + C D ∫ x + dx = ln x + + C ( ∀x ≠ −1) Câu 52 (THPT CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG NAM ĐỊNH NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho hàm số x4 + f ( x) = x2 Khẳng định sau đúng? A C ∫ f ( x )dx = ∫ f ( x )dx = x3 + +C 2x x3 + +C x B D ∫ f ( x)dx = ∫ f ( x)dx = x Câu 53 (SỞ GD&ĐT THANH HÓA NĂM 2018 - 2019) Cho hàm số A ∫ C x + − x + x+C B +C x ∫ f ( x ) dx = ln 2 x D f ( x) = 2x + x + 1 f ( x ) dx = x + x + x + C ∫ f ( x ) dx = 2 x3 − +C x ∫ f ( x ) dx = x + + x Tìm ∫ f ( x ) dx x + x +C + x + x+C Câu 54 (LIÊN TRƯỜNG THPT TP VINH NGHỆ AN NĂM 2018-2019) Tìm họ nguyên hàm hàm số f ( x ) = 3x − sin x ∫ f ( x ) dx = x + cos x + C A ∫ f ( x ) dx = C 3x + cos x + C B D 3x ∫ f ( x ) dx = − cos x + C ∫ f ( x ) dx = + cos x + C Câu 55 (CHUYÊN BẮC GIANG NĂM 2018-2019 LẦN 02) Hàm số số hàm số sau: F ( x ) = ex nguyên hàm hàm 10 f ( x) = Suy x.tan x + ln cos x ln cos x x = + sin x cos x sin x π  aπ + b ln = f  ÷− 3 = 5π − ln Suy P = a+b = − Vậy 3  2π ln   π π  f  ÷=  − −  + ln ÷ ÷ ÷   6    a =   b = −1 Câu 168 Chọn E khơng có đáp án f ′ ( x ) + ( 2x + 4) f ( x ) = ⇔ Xét ⇒ = x2 + 4x + C f ( x) f ( 0) = Vì Vậy − f ′( x) − f ′( x) = 2x + ⇒ ∫ dx= ∫ ( x + ) dx f ( x) f ( x) 1 1  ⇒ f ( x) = =  − ÷ x + 4x +  x +1 x +  ⇒C =3 S =  f ( ) + f ( ) + + f ( 2018 )  +  f ( 1) + f ( ) + + f ( 2017 )  S= 1 1 1  1 1 1  − + − + + − +  − + − + + −   2 3 2019 2021   4 2018 2020  S= 1 1   2020 1009  1+ − − = +   2020 2021   2021 2.2020  Câu 169 Chọn A Ta có với Hàm số ∀x ∈ ( 0; +∞ ) y = f ( x) y = f ( x) > x +1 > ; đồng biến ( 0; +∞ ) nên f ′ ( x ) ≥ 0, ∀x ∈ ( 0; +∞ ) 80  f ′ ( x )  = ( x + 1) f ( x ) ⇔ f ′ ( x ) = Do ∫ f ′( x) f ( x) Suy f ( 3) = Vì Suy dx = ∫ C= nên 1 f ( x) =  3 ( x + 1) dx ( x + 1) f ′( x) f ( x) = ( x + 1) +C ( x + 1) − ÷  f ( x) = ⇒ − = −2 3 ( x + 1) f ( x ) ⇔ , suy f ( ) = 49 Câu 170 Chọn D f ′ ( x ) =  f ( x )  x2 −1 (x + 1) >0 x ∈ ( 1; ] Từ giả thiết ta có: với f ( x ) ≥ f ( 1) = > x ∈ [ 1; 2] Do với x ∈ [ 1; 2] Xét với ta có: 2 f′ x f′ x ( x + 1) f ′ ( x ) =  f ( x )  ( x − 1) ⇔ f (( x)) = x2 − ⇒ ∫ f (( x)) dx = ∫ x2 − dx ( x + 1) ( x + 1) ⇒∫ Mà 1  d x + ÷ f ′( x) x  x d x ⇒ f ′ ( x ) dx = 1 dx = ∫ 2 ⇒ − 2 ∫ ∫ = − +C f ( x) f x ( ) 1 1   f x ( ) x+ x+ ÷ x+ ÷ x x   x 1− f ( 1) = ⇒ = + C ⇔ C = Câu 171 TH1: f ( x) = Vậy f ( x) = ⇒ f ′( x) = f ( x ) ≠ ⇒ f ′ ( x ) = − ( x + 1) f TH2: −1 ⇒ = − ( x2 + x + C ) f ( x) x +1 ⇒ f ( 2) = x trái giả thiết ( x) ⇒ f ′( x) f ′( x) = − ( x + 1) ⇒ ∫ dx = − ∫ ( x + 1) dx f ( x) f ( x) 81 f ( 2) = Ta có: 1 1 ⇒ f ( x) = = − ⇒C =0 x + x x x +1 1 1 2019 ⇒ P = − + − + − = 2 2020 2020 Câu 172 Ta có: ( f ( x) ) f ′ ( x ) = 3x + x + (*) Lấy nguyên hàm vế phương trình ta ∫ ( f ( x) ) f ′ ( x ) dx = ∫ ( x + x + ) dx ⇔ ∫ ( f ( x ) ) d ( f ( x ) ) = x + x + x + C ( f ( x) ) ⇔ 3 Theo đề = x3 + x + x + C ⇔ ( f ( x ) ) = ( x3 + x + x + C ) ( 1) f ( 0) = ( f ( 0) ) nên từ (1) ta có = ( 03 + 2.02 + 2.0 + C ) ⇔ 27 = 3C ⇔ C = ⇒ ( f ( x ) ) = ( x + x + x + ) ⇒ f ( x) = 3 ( x + x + x + ) Tiếp theo tìm giá trị lớn hàm số y = f ( x) đoạn [ −2;1] CÁCH 1: Vì x3 + x + x + = x ( x + ) + ( x + ) + > 0, ∀x ∈ [ −2;1] f ′( x) = ( 3x + x + ) 3 ( x + x + x + )  ⇒ Hàm số y = f ( x) 3x + x + = đồng biến nên 3 ( x + x + x + )    > 0, f ( x) có đạo hàm [ −2;1] ∀x ∈ [ −2;1] f ( x ) = f ( 1) = 42 [ −2;1] ⇒ max [ −2;1] max f ( x ) = f ( 1) = 42 Vậy [ −2;1] CÁCH 2: 82 2  223   f ( x ) = ( x + x + x + ) = 3  x + ÷ +  x + ÷+ 3 3   3 Vì hàm số 2  223   y =  x + ÷ , y =  x + ÷+ 3 3   đồng biến ¡ nên hàm số 2  223   y = 3  x + ÷ +  x + ÷+ 3 3   ¡ đồng biến Do đó, hàm số y = f ( x) đồng biến [ −2;1] max f ( x ) = f ( 1) = 42 Vậy [ −2;1] f ( x ) − xf ′( x) = −2 x − 3x ⇔ Câu 173 f ( x) x Suy ra, Ta có nguyên hàm hàm số ∫ ( x + 3) dx = x Do đó, + 3x + C , C ∈ ¡ f ( x) = x + x + C1 , x (1) với f (1) = Vì theo giả thiết, nên thay f (2) = 20 Câu 174 Ta có ∫ Suy 1+ f ( x) C1 ∈ ¡ x =1 ( ( x) ⇔ f ( x) f ′( x) d ( 1+ f ( x) ) 1+ f ( x) 1+ 2 , suy vào hai vế (1) ta thu dx = ∫ ( x + 1) dx ⇔ ∫ f ( 0) = 2 g ( x ) = 2x + f ( x ) f ′ ( x ) = ( x + 1) + f f ( x) f ′( x) Theo giả thiết f ( x) − x f ′( x) −2 x − x  f ( x ) ′ = ⇔  x  = x + x2 x2 ) 1+ f ( x) C1 = , từ f ( x) = x3 + 3x Vậy = ( x + 1) = ∫ ( x + 1) dx ⇔ + f ( x ) = x2 + x + C =C ⇔C =3 83 Với C =3 + f ( x ) = x2 + x + ⇒ f ( x ) = (x + x + 3) −  f ( x ) f ′ ( x ) ′ =  f ′ ( x )  + f ( x ) f ′′ ( x ) Vậy f ( 1) = 24 Câu 175 Ta có  f ( x ) f ′ ( x ) ′ = x − x + Do theo giả thiết ta 2 x f ( x ) f ′ ( x ) = x3 − + x + C f ( 0) = f ′ ( 0) = C =9 Suy Hơn suy 2  x  f ( x ) ′ =  x3 − + x + ÷ ′  f ( x )  = f ( x ) f ′ ( x ) 3  Tương nên Suy 2  x x f ( x ) = ∫  x3 − + x + ÷dx = x − + x + 18 x + C f ( 0) = 3 3  , suy x f ( x ) = x − + x + 18 x + f = 28   ( )   3 Do Câu 176 Ta có ( x + ) f ( x ) + ( x + 1) f ′ ( x ) = e x ⇔ ( x + 1) f ( x ) + f ( x ) + ( x + 1) f ′ ( x ) = e x ⇔ ( x + 1) f ( x )  + ( x + 1) f ( x ) ′ = e x ⇔ e x ( x + 1) f ( x )  + e x ( x + 1) f ( x ) ′ = e x 2x x ⇔  e x ( x + 1) f ( x ) ′ = e x ⇒ ∫  e x ( x + 1) f ( x ) ′dx = ∫ e x dx ⇔ e ( x + 1) f ( x ) = e + C f ( 0) = Mà ⇒C =0 f ( 2) = Khi e2 Vậy ex f ( x) = x +1 x x f ′( x) + f ( x) = x +1 x ( x + 1) f ′ ( x ) + f ( x ) = x + x ⇔ x + ( x + 1) Câu 177 Từ giả thiết, ta có x  x ′ ⇔ f ( x)  =  x +1  x +1 , với ∀x ∈ ¡ \ { 0; − 1} 84 Suy x x f ( x) = ∫ dx x +1 x +1 f ( 1) = −2 ln Mặt khác, ta có Với x=2 hay nên x f ( x ) = x − ln x + + C x +1 C = −1 Do x f ( x ) = x − ln x + − x +1 3 f ( ) = − ln f ( ) = − ln ⇔ 2 a + b2 = Vậy a= Suy b=− f ( x ) = f ′ ( x ) 3x + f ′( x) f ′( x) 1 = ⇒∫ dx = ∫ dx f ( x) f ( x) 3x + 3x + ⇔ Câu 178 Ta có d ( f ( x) ) ⇔∫ =∫ dx ⇔ ln f ( x ) = 3x + + C ⇔ f ( x) = e3 f ( x) 3x + Mà f ( 1) = nên e +C f ′( x) ∫ f ( x) d x = ∫ ln f ( 1) = Ta có ln f ( x ) = Nên Vậy f ( x ) = f ′ ( x ) 3x + Câu 179 Từ Suy ra: =1 ⇔C =− f ( 5) = e Suy f ( ) = e ≈ 3,794 f ′( x) = f ( x) 3x + ta có 2 3x + − ⇔ f ( x ) = e 3 Câu 180 Ta có 3 x +1 − d x ⇒ ln f ( x ) = 3x + + C 3x + 4 3.1 + + C ⇔ ln1 = + C ⇔ C = − 3 3.5 +1 − x +1 + C = e ∈ ( 3;4 ) f ′ ( x ) = ( x + 3) f ( x) ⇔ f ′( x) = 2x + f ( x) 85 ⇔∫ f ′( x) dx = ∫ ( x + ) dx ⇔ − = x2 + 3x + C f ( x) f ( x) f ( 0) = − ⇒ C = 2 Vì f ( x) = − Vậy ( x + 1) ( x + ) = 1 − x + x +1 f ( 1) + f ( ) + f ( 3) + + f ( 2017 ) + f ( 2018 ) = Do Vậy 1 1009 − =− 2020 2020 a = −1009 b = 2020 b − a = 3029 ; Do Câu 181 f ′ ( x) ∫ f ( x) f ′ ( x) 3x4 + x2 − x4 + x2 − = f ′ ( x) = f ( x) 2 f x x2 ( ) ⇔ x dx = ∫ x4 + x2 − dx x2 ⇔ ∫ d( f ( x) ) f ( x) =∫ x4 + x2 − dx x2 ⇔ −1 f ( x) = +C −1 1 = x3 + x + + C x + x+ f ( x) x ⇔ x f ( 1) = − Do −x ⇒ f ( x) = ⇒C=0 x + x2 + = ∫ d( f ( x) ) f ( x)   = ∫  x2 + − ÷dx x  ⇔  1 1  −  2  x + x+1 x − x+1 ÷   1 11 1 1 1 1 1  f ( 1) =  − ÷ f ( ) =  − ÷ f ( 3) =  − ÷ f ( 80 ) =  −  1 2 3  13   6481 6321 ÷  ; ; ;.; ff( 1) + 1 − + + + f 80 = ( ) ( ) 2 6481 − = 3240 6481  f ( x )  − f ( x ) f ′′ ( x ) +  f ′ ( x )  = ⇒ Câu 182 Theo đề bài, ta có f ( x ) f ′′ ( x ) −  f ′ ( x )   f ( x )  2 =1 86  f ′ ( x ) ′ f ′( x) x2 ⇒ = x + C ⇒ ln f ( x ) = + C.x + D  =1⇒ f ( x)  f ( x)   f ( ) = C = ⇔  D =  f ( ) = e x2 +2 x f ( x) = e ⇒ f ( 1) = e Mà Suy : Dạng Một số toán khác liên quan đến nguyên hàm ln ( x − 1) + C1 x > 1 =  f ( x) = ∫ dx x − = ln x − + C ln ( − x ) + C2 x < Câu 183 Ta có f ( ) = 2017 ⇒ ln ( − ) + C2 = 2017 ⇒ C2 = 2017 Lại có f ( ) = 2018 ln ( − 1) + C1 = 2018 ⇒ C1 = 2018 S = ln ( − 1) + 2018 − 2018 ln ( − ( −1) ) + 2017 − 2017  = ln 2 Do 1 f ( x ) = ∫ f ′ ( x ) dx = ∫ dx = ∫ d ( ln x ) = ln ln x − + C x ( ln x − 1) ln x − Câu 184 Ta có ln ln x − + C1 < x < e ⇒ f ( x) =  ln ln x − + C2 x > e 1 f  ÷ = ln ⇒ ln ln − + C1 = ln ⇔ ln + C1 = ln ⇔ C1 = ln e e  Do f e = ⇒ ln ln e − + C2 = ⇔ C2 = Đồng thời 1 f  ÷+ f e3 = ln ln − + ln + ln ln e3 − + = ( ln + 1) e e Khi đó: ( ) ( ) Câu 185 Ta có 1  ln  1 =  ln 3 1 f ( x) = ∫ dx  ln 3 x + x−2 f ( −3) = ln + C1 , ∀x ∈ ( −∞;2 ) , x −1 + C1 , ∀x ∈ ( −∞; −2 ) x+2 x −1 + C2 , ∀x ∈ ( −2;1) x+2 x −1 + C3 , ∀x ∈ ( 1; +∞ ) x+2 1 f ( ) = ln + C1 , ∀x ∈ ( −2;1) , 87 f ( 3) = ln + C3 , ∀x ∈ ( 1; +∞ ) f ( 0) = Theo giả thiết ta có ⇒ f ( −1) = ln + 3 Và Vậy , 1 ⇔ C2 = ( + ln ) 3 1 f ( −3) − f ( 3) = ⇔ C1 − C3 = ln 10 1 1 1 f ( −4 ) + f ( −1) − f ( ) = ln + C1 + ln + + ln + ln − C2 = ln + Câu 186 Ta có f   f  Khi Do  ln   = ln   1   = − dx ln = dx  ÷ ∫ f ( x ) = ∫ f ′ ( x ) dx ∫ x −  x −1 x +1   x −1 + C1 x < −1 x +1 x −1 + C2 − < x < x +1 x −1 + C3 x > x +1  ln + C1 + ln + C3 = C + C3 = ⇒ ⇒  1 1  − ÷+ f  ÷ = ln + C + ln + C = C2 = 2  2 2  ( −2 ) + f ( ) = f ( −3) + f ( ) + f ( ) = ln + C1 + C2 + ln + C3 = ln + 5 f ( x ) = ∫ f ′ ( x ) dx = ∫ Câu 187 Ta có ln ln x − + C1 ⇒ f ( x) =  ln ln x − + C2 Do 1 dx = ∫ d ( ln x ) = ln ln x − + C x ( ln x − 1) ln x − < x < e x > e 1 f  ÷ = ln ⇒ ln ln − + C1 = ln ⇔ ln + C1 = ln ⇔ C1 = ln e e  88 f ( e ) = ⇒ ln ln e − + C2 = ⇔ C2 = Đồng thời Khi đó: 1 f  ÷+ f ( e3 ) = ln ln − + ln + ln ln e3 − + = ( ln + 1) e e Câu 188 Ta có F ′( x) = f ( x) ( ) F ′ ( x ) = ( 2ax + b ) x − + ax + bx + c 2x − Tính ( 2ax + b ) ( x − 3) + ax + bx + c = 5ax + ( 3b − 6a ) x − 3b + c = 2x − 2x − 5ax + ( 3b − 6a ) x − 3b + c = 20 x − 30 x + 11 2x − 2x − Do ⇒ 5ax + ( 3b − 6a ) x − 3b + c = 20 x − 30 x + 11 5a = 20 a =   ⇒ 3b − 6a = −30 ⇒ b = −2 −3b + c = 11 c =   ⇒T = F ′ ( x ) = f ( x ) ⇔ ( ax + bx + c + 2ax + b ) e x = ( x − 1) e x∀x ∈ ¡ Câu 189 Ta có a = a =   2a + b = −2 ⇔ b = −4 c + b = c =   Đồng hệ số hai vế ta có: f ( x) = Ta có Câu 190 ( ∫ f ( x ) dx ) ′ ⇒ x e x3 + Từ ( S = a + 2b + c = − + = −2 + xe x = me x ⇔ x2ex +2 + xe2 x = 3mx e x + + ne x + 2nxe x − pe x ⇔ x2ex +2 + xe x = 3mx e x +2 + nxe x − pe x + C )′ 3 +2 + ( n − p ) e x + 2nxe x 89  m=  m =   13  ⇒  2n = ⇒ n = ⇒ m + n + p = n − p =   p =  Câu 191 Vì F ( x) nguyên hàm hàm số f ( x) nên F ′ ( x ) = f ( x ) , ∀x ∈ ¡ 3m =  m = ⇔ ⇔ ⇔ 3mx + ( 3m + n ) x − = 3x + 10 x − 4, ∀x ∈ ¡ 2 ( 3m + n ) = 10 n = 2 Vậy m.n = Câu 192 Vì F ( x) nguyên hàm f ( x) nên 3 3 1 f ( x ) = F ′ ( x ) = − cos 3x − ( x − a ) sin x  + cos x = ( x − a ) sin 3x +  − ÷cos x b c b c b Đồng hai vế  a = a =  3  ⇔ b =  =1 b c =  3 − =  c b Vậy f ( x) ab + c = 2.3 + = 15 f ( x) = Ta có Câu 193 ta ( ∫ f ( x ) dx ) ′ ⇒ x e x3 + ( + xe x = me x ⇔ x2ex +2 + xe2 x = 3mx e x + + ne x + 2nxe x − pe x ⇔ x2ex +2 + xe x = 3mx e x +2 + nxe x − pe x + C )′ 3 +2 + ( n − p ) e x + 2nxe x 90  m=  m =   13  ⇒  2n = ⇒ n = ⇒ m + n + p = n − p =   p =  Câu 194 Ta có F ′ ( x ) = ( 2ax + b ) x − + ( ax + bx + c ) 2x − 2ax + b ) ( x − 3) + ax + bx + c 5ax + ( 3b − 6a ) x + c − 3b ( = = 2x − Vì 2x − F ′ ( x ) = f ( x ) ⇔ 5ax + ( 3b − 6a ) x + c − 3b = 20 x − 30 x + 11 5a = 20 a =   ⇔ 3b − 6a = −30 ⇔ b = −2 c − 3b = 11 c =   T = a+b+c = 4−2+5 = Do Câu 195 Chọn A ∫ f ( x) = F ( x) ⇒F '( x) = f ( x) x 2 x F '( x) = ⇔ f ( x) = ⇔ 2019 ( x − ) ( x − 3x + ) = ⇔ 2019 ( x − ) F ( x) Vậy số điểm cực trị Câu 196 Ta có ( ) F ′( x) = f ( x) ( = ( 2x + 1) x ( x + 1) e )( ) ( ′ ( x + x) 2 (x )( + x − x2 + x + ( ) = ( 2x + 1) x ( x + 1) ( x + ) ( x − 1) x + x + e ) ( x − 1) ( x + ) = ) ⇒ F ′ x + x = f x + x x + x = ( 2x + 1) x + x e ( F ′ x2 + x = ( F x2 + x có nghiệm đơn nên ) 2 ( ( x + x ) − 4) 2 ) ( x + x) ( x + x) −1   = ⇔ x ∈ −2; −1; ; 0;1   có điểm cực trị 91 ( F ( x ) ) ′ = ( ( ax Câu 197 + Tính a = −2 a = −2   2a − b = −5 ⇔ b = b − c = c = −1   Suy + Tính F ( ) = −1 suy + bx + c ) e − x ) ′ = −ax F ( x ) = ( −2 x + x − 1) e − x nên f ( F ( ) ) = f ( −1) = 9e ( ) + ( 2a − b ) x + b − c  e − x = x − x + e − x Câu 198 Chọn ( + cos x ) ( sin x + cot x ) dx = ( + cos x ) sin x dx + ( + cos x ) cot x dx F ( x) = ∫ ∫ sin x ∫ sin x sin x 2 Ta có: ( + cos x ) cot x dx Gọi A=∫ ( + cos x ) sin x dx sin x B=∫ sin x Ta có: ( + cos x ) cot x dx = ( + cot x ) cot x dx = − cot x + cot x d ( cot x ) A=∫ ) ∫ ∫( sin x sin x 2  cot x cot x  = − + ÷+ C1   ( + cos x ) sin x dx = ( + cos x ) sin x dx B=∫ ∫ − cos x sin x ( ) 2 Đặt t = cos x B = −∫ , suy 1+ t2 (t 2 − 1) dt = − sin x.dx dt = − ∫ Khi đó: 1+ t2 ( t − 1) ( t + 1) 2 dt = −  1  1 1  + dt =  +  ÷+ C2 2  ∫  ( t − 1)  t −1 t +1  ( t + 1)  1 1  =  + ÷+ C2  cos x − cos x +  Do đó: 1 1   cot x cot x  F ( x) = A + B =  + − + ÷+ C ÷   cos x − cos x +   2  92 Suy ra: 1 1 π    cot x cot x  F ( x) = F  ÷⇔  + + ÷+ C = C ÷−   cos x − cos x +   2  2 ⇔ 1 + − cot x − cot x = cos x − cos x + 2cos x cos x cos x ⇔ + + =0 sin x sin x sin x Với điều kiện sin x ≠ ,  cos x = cos x = ⇔ ( *) ⇔   cos x ( − cos x ) + cos x ( − cos x ) + cos x = + cos x + =    sin x  cos x =  cos x = ⇔ ⇔  cos x = − 17  −2cos x + cos x + =  Theo giả thiết x ∈ ( 0; 4π ) x = α ; x = α + 2π x = β ; x = β + 2π x= nên π 3π π 3π ;x = ; x = + 2π ; x = + 2π 2 2 ; ; Khi tổng nghiệm lớn 9π Câu 199 Ta có: ∫ f ( x ) dx = ∫ = 2∫ cos x − cos x dx = ∫ dx − ∫ dx sin x sin x sin x d ( sin x ) − ∫ dx = − + cot x + C sin x sin x sin x 93 Do f ( x) = F ( x) cos x − sin x nguyên hàm hàm số F ( x) = − + cot x + C x ∈ ( 0; π ) sin x thức dạng với F ( x) = − Xét hàm số F '( x) = f ( x) = xác định liên tục ( 0; π ) nên hàm số F ( x) có cơng cos x − sin x cos x − 1 π = ⇔ cos x = ⇔ x = ± + k 2π ( k ∈ ¢ ) sin x F '( x) = ⇔ Xét Trên khoảng + cot x + C sin x khoảng ( 0; π ) ( 0; π ) , phương trình F '( x) = x= có nghiệm π Bảng biến thiên: π  max F ( x ) = F  ÷ = − + C ( 0;π ) 3 Theo đề ta có, F ( x) = − Do đó, − +C = ⇔ C = + cot x + sin x 94 ... 44 C 45 D Dạng Sử dụng phương pháp VI PHÂN để tìm nguyên hàm Dạng 2.1 Tìm ngun hàm khơng có điều kiện Câu 94 (THCS - THPT NGUYỄN KHUYẾN NĂM 2 018- 2019 LẦN 01) Nguyên hàm hàm số f ( x) = 3sin x... BÌNH PHƯỚC NĂM 2 018- 2019 LẦN 01) Tìm họ nguyên hàm hàm f ( x ) = sin x số A - 3cos3x + C B 3cos3x + C C cos3 x + C - D Câu 25 (CHUYÊN KHTN NĂM 2 018- 2019 LẦN 01) Họ nguyên hàm hàm số A x + cos... x ) = x − 1 x − + C 2x + C D (ĐỀ MINH HỌA GBD&ĐT NĂM 2017) Tìm nguyên hàm hàm số x − + C x − + C f ( x ) = x2 + Câu (ĐỀ THAM KHẢO BGD&ĐT NĂM 2017) Tìm nguyên hàm hàm số A C ∫ x3 f ( x ) dx = +