PHƯƠNG PHÁP ĐỒNG NHẤT TÌM NGUYÊN HÀM

PHƯƠNG PHÁP ĐỒNG NHẤT TÌM NGUYÊN HÀM PHƯƠNG PHÁP ĐỒNG NHẤT TÌM NGUYÊN HÀM Một số nguyên hàm, đặc biệt là trong nguyên hàm từng phần, do biết trước dạng tổng quát, ta có thể tìm được kết quả bằng phươn[.]

PHƯƠNG PHÁP ĐỒNG NHẤT TÌM NGUYÊN HÀM Một số nguyên hàm, đặc biệt nguyên hàm phần, biết trước dạng tổng qt, ta tìm kết phương pháp đồng hệ số Sau số ví dụ x Ví dụ Tìm họ nguyên hàm F(x) hàm số f (x) = ( x − 2x + 3) e (loại phần lần) GIẢI Vì đa thức F(x) có bậc với đa thức f(x) nên ta giả sử F(x) = ∫ f (x)dx = ( ax + bx + c ) e x + C Từ định nghĩa nguyên hàm, ta có: F′(x) = f (x) ⇔ ax + bx + c ′ e x + ax + bx + c e x ′ = x − 2x + e x ( )( ) ( ⇔ ( 2ax + b ) e + ( ax + bx + c ) e = ( x − 2x + ) e ⇔ ( ax + (2a + b)x + (b + c) ) e = ( x − 2x + ) e (∀x ∈ ¡ ) x ) ( 2 x x ) x x Đồng hệ số, ta có: a = a =   2a + b = −2 ⇔ b = −4 b + c = c =   x Vậy F(x) = ( x − 4x + ) e + C Ví dụ Tìm họ ngun hàm F(x) = ∫ ( 2x + 3x − ) sin xdx (loại phần lần) GIẢI Vì đa thức F(x) có bậc với đa thức hàm số lấy nguyên hàm nên ta có 2 thể giả sử F(x) = ( ax + bx + c ) sin x + ( a ′x + b′x + c′ ) cos x + C Từ định nghĩa nguyên hàm, ta có: F′(x) = f (x) ⇔ ( 2ax + b ) sin x + ( ax + bx + c ) cos x + ( 2a ′x + b′ ) cos x − ( a ′x + b′x + c′ ) sin x = ( 2x + 3x − ) sin x ⇔ ( −a ′x + (2a − b′)x + (b − c′) ) sin x + ( ax + (2a ′ + b)x + (c + b′) ) cos x = ( 2x + 3x − ) sin x (∀x ∈ ¡ ) Đồng hệ số, ta có:  −a ′ = a ′ = −2 2a − b′ = b =   b − c′ = −2 c′ = ⇔   a = a =   b + 2a ′ = b′ = −3   c + b′ = c = Vậy F(x) = ( 4x + 3) sin x + ( −2x − 3x + ) cos x + C NHẬN XÉT: + Ở hai ví dụ này, đa thức bậc cao hệ phương trình đồng có số ẩn nhiều + Ở Ví dụ 2, hệ phương trình đồng cồng kềnh, lời giải dài, chưa giải nhanh cách tính trực tiếp x Ví dụ Tính họ nguyên hàm F(x) = ∫ (5sin x + 3cos x)e dx (loại phần lặp) GIẢI x Giả sử F(x) = ( a sin x + b cos x ) e + C Từ định nghĩa nguyên hàm, ta có: ( a cos x − bsin x + a sin x + b cos x ) e x = ( 5sin x + 3cos x ) e x ⇔ ( (a + b) cos x + (a − b)sin x ) e x = ( 5sin x + 3cos x ) e x (∀x ∈ ¡ ) a − b = a = ⇔ ⇔ a + b = b = −   x Vậy F(x) = ( 4sin x − cos x ) e + C NHẬN XÉT: Ở ví dụ này, dùng đồng làm nhanh Sau số ví dụ dạng khác x + x −1 dx Ví dụ Tìm họ nguyên hàm F(x) = ∫ (2 x + 3x + 2)e GIẢI Từ dạng hàm số lấy nguyên hàm ta có dạng F(x) Giả sử F(x) = ( ax + b ) e x + x −1 + C Ta có: F′(x) = ( a + (ax + b)(2x + 1) ) e x + x −1 = ( 2ax + (a + 2b)x + (a + b) ) e x Đồng hệ số, ta có: 2a = a =  a + 2b = ⇔  b =  a + b =  Vậy F(x) = ( x + 1) e x + x −1 + C 2 + x −1 2 Ví dụ Tìm họ ngun hàm F(x) = ∫ ( 2sin(x − 3) + (4x + 2x) cos(x − 3) ) dx GIẢI Vì hàm số cos có đa thức hệ số bậc (cao nhất) đa thức cung có bậc nên ta giả sử F(x) = ( ax + b ) sin ( x − ) + C Khi đó: F′(x) = a sin ( x − 3) + 2x(ax + b) cos ( x − ) = a sin ( x − ) + ( 2ax + 2bx ) cos ( x − ) Đồng hệ số, ta được: a = a =  2a = ⇔  b =  2b =  Vậy F(x) = ( 2x + 1) sin ( x − ) + C Ví dụ Tìm họ ngun hàm F(x) = ( 3x − 3x + 1) e x dx ∫ GIẢI Từ dạng hàm số lấy nguyên hàm ta có dạng tổng quát F(x) Giả sử F(x) = ( ax + bx ) e x + C Ta có: 1   x ′ F (x) =  3ax + 2bx − ( ax + bx ) ÷e = ( 3ax + ( 2b − a ) x − b ) e x x   Đồng hệ số, ta có: 3a = a =  2b − a = −3 ⇔  b = −1 −b =  Vậy F(x) = ( x − x ) e x + C NHẬN XÉT: Ở ví dụ 4, 5, này, có ba vấn đề sau: Nếu giải theo phương pháp truyền thống (thêm bớt, đổi biến, phần…) khơng đơn giản lắm, đơi phải cần đến tính “khử tích phân” kết (các bạn thử tìm ∫ ( 2x − 1) e x dx phương pháp nguyên hàm phần hai lần) Phương pháp đồng hệ số giúp giải toán thoải mái Việc chọn đặt hàm số F(x) Ví dụ (và Ví dụ 2) tùy thuộc vào dạng hàm số f(x) Nếu đặt gọn làm nhanh, cịn đặt cồng kềnh làm phức tạp chút cho kết Trong hệ phương trình đồng nhất, số phương trình nhiều số ẩn Điều cho thấy, để đề dạng này, cần giải tốn thuận trước có kiểm tra trước kết BÀI TẬP THỰC HÀNH Bài 1: Dùng phương pháp đồng hệ số, tìm họ nguyên hàm hàm số f(x) trường hợp sau: 1) f (x) = ( 3x − 2x + ) e − x ; 2) f (x) = ( 4x − 8x + 16 ) e 2x +1; 3) f (x) = ( x − 3x + 4x − 1) e x ; 4) f (x) = ( 2x − 3x + ) sinx; 7) f (x) = ( 5sin x − 3cos x ) e x ; 8) f (x) = ( 3sin x + cos x ) e − x + 5) f (x) = ( x + 3x − ) cosx; 6) f (x) = ( 4x − 4x + ) sin(2 x − 3); Bài 2: Dùng phương pháp đồng hệ số, tính: x 1) F(x) = ∫ (2x − 1)e dx; − x 2) F(x) = ∫ (12 x + 2x − 1)e dx; 3) F(x) = ∫ ( 2x − 5x + 4x − 6x + 1) e x + x +1 dx; ( ) 4) F(x) = ∫ ( 2x + 1) cos ( x − 3x + 1) + ( −2x + x − 3x + ) sin ( x − 3x + 1) dx ĐÁP SỐ: Bài 1: 1) F(x) = ( −3x − 4x − ) e − x + C; 2) F(x) = ( 2x − 6x + 11) e 2x +1 + C; 3) F(x) = ( x − 6x + 16x − 17 ) e x + C; 4) F(x) = ( 4x − 3) sinx + ( −2x + 3x ) cosx + C; 5) F(x) = ( x + 3x − ) sinx + (2 x + 3)cosx + C; 6) F(x) = ( −2x + 2x − ) cos(2 x − 3) + (2 x − 1)sin(2 x − 3) + C; 7) F(x) = ( sin x − 4cos x ) e x + C; 8) F(x) = ( 2sin x − 5cos x ) e − x + +C Bài 2: x 1) F(x) = x e + C; 2) F(x) = ( 4x − x ) e x + C; − 3) F(x) = ( x − 3x + 2x − 1) e x + x +1 + C; 4) F(x) = ( x + x + 3) cos ( x − 3x + 1) + C Thị xã Cai Lậy, ngày 02 tháng 06 năm 2017 Người viết, NGUYỄN NGỌC ẤN ... (các bạn thử tìm ∫ ( 2x − 1) e x dx phương pháp nguyên hàm phần hai lần) Phương pháp đồng hệ số giúp giải tốn thoải mái Việc chọn đặt hàm số F(x) Ví dụ (và Ví dụ 2) tùy thuộc vào dạng hàm số f(x)... hệ phương trình đồng nhất, số phương trình nhiều số ẩn Điều cho thấy, để đề dạng này, cần giải toán thuận trước có kiểm tra trước kết BÀI TẬP THỰC HÀNH Bài 1: Dùng phương pháp đồng hệ số, tìm. .. − ) Đồng hệ số, ta được: a = a =  2a = ⇔  b =  2b =  Vậy F(x) = ( 2x + 1) sin ( x − ) + C Ví dụ Tìm họ nguyên hàm F(x) = ( 3x − 3x + 1) e x dx ∫ GIẢI Từ dạng hàm số lấy nguyên hàm