Chuyên đề luyện thi đại học môn toán Phương pháp vi phân tìm nguyên hàm39984

Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân LUYỆN THI ĐẠI HỌC MƠN TỐN – Thầy Hùng Tài liệu tham khảo: 02 PP VI PHÂN TÌM NGUYÊN HÀM Thầy Đặng Việt Hùng CÁC BIỂU THỨC VI PHÂN QUAN TRỌNG 1 1 xdx = d ( x ) = d ( x ± a ) = − d ( a − x ) 2 dx = −d ( cot x ) = −d ( cot x ± a ) = d ( a − cot x ) sin x 1 x dx = d ( x ) = d ( x ± a ) = − d ( a − x3 ) 3 dx =d x sin x dx = −d (cos x) = −d (cos x ± a ) = d (a − cos x) e x dx = d ( e x ) = d ( e x ± a ) = −d ( a − e x ) cos x dx = d (sin x) = d (sin x ± a ) = −d (a − sin x) dx = d ( tan x ) = d ( tan x ± a ) = −d ( a − tan x ) cos x ( x) = d( 10 dx = ( ) ( ) 1 d ( ax + b ) = − d ( b − ax ) a a ∫ ( ) ( dx = d ( ln x ) = d ( ln x ± a ) = −d ( a − ln x ) x Ví dụ Tìm nguyên hàm hàm số sau: x a) I1 = dx b) I = x(1 + x )10 dx + x2 Hướng dẫn giải:  x  1 2  xdx = d   = d x = d x ± a    a) Sử dụng công thức vi phân   du  u = d ( ln u ) ∫ ) x ± a = −d a − x ( c) I = ∫ x dx x3 + ) ) 2 du x d x d x +1 ∫ u = ∫ d (ln u ) =ln u +C I = ln x + + C dx = = ←→ Ta có I1 = + x2 2 + x2 + x2  x  1 2  xdx = d   = d x = d x ± a    b) Sử dụng công thức vi phân  n +1 u   n = u du d     n +1  ∫ ∫ ∫ ( ( ) ∫ ( Ta có I = x + x ) 10 dx = ∫ (1 + x ) d ( x 10 ) +1 ( (1 + x ) = ) 11 22   x3   x dx = d   = d x ± a 3    c) Sử dụng công thức vi phân   du 2 u = d u  ( ) + C ) ( ) 3 d ( x + 1) d ( x + 1) x3 + = ∫ = ∫ = + C Ta có I = ∫ x3 + x3 + x3 + Ví dụ Tìm ngun hàm hàm số sau: dx a) I = ∫ x − x dx b) I = ∫ 2x −1 x dx Học trực tuyến tại: www.moon.vn DeThiMau.vn c) I = ∫ − x dx Mobile: 0985.074.831 Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân LUYỆN THI ĐẠI HỌC MƠN TỐN – Thầy Hùng Hướng dẫn giải:  x  1 2  xdx = d   = d x = − d a − x    a) Sử dụng công thức vi phân   u n +1   n u du d =     n +1  ( ) ( ) (1 − x ) 1 1 Ta có I = ∫ x − x dx = ∫ (1 − x ) d ( x ) = − ∫ (1 − x ) d (1 − x ) = − 2 1  dx = a d ( ax + b ) = − a d ( b − ax ) b) Sử dụng công thức vi phân   du = d u  u + C ( ) du d ( x − 1) u = d ( u ) dx d ( x − 1) = ∫ =∫ ← → I5 = x − + C 2x −1 2x − 2x −1 1   dx = a d ( ax + b ) = − a d ( b − ax )  c) Sử dụng công thức vi phân   n +1  u n du = d  u    n +1 Ta có I = ∫ (5 − 2x) 1 (5 − 2x )2 ⇒ I = ∫ − x dx = ∫ − x d ( x ) = − ∫ ( − x ) d ( − x ) = − +C = − + C 2 3 Ví dụ Tìm ngun hàm hàm số sau: x3 ln x dx a) I = dx b) I = ∫ c) I = ∫ x dx (3 − x)5 x −5 ∫ Hướng dẫn giải:  x  1 4  x dx = d   = d x ± a = − d a − x    a) Sử dụng công thức vi phân   u − n +1   du = d    un  −n +    x4  d   5 x4 − 5 − x −  2x  4 ⇒ I7 = dx = = x −5 d x −5 = +C = 5 4 x −5 x −5 ( ∫ ∫( ∫ ) ( ) ( ( ) ) ( ) ) + C ( − x ) + C dx = − ∫ (3 − 2x ) d (3 − 2x) = − (3 − x) 12 b) Ta có I = ∫ ln x ln x dx = d ( ln x ) ta I = ∫ dx = ∫ ln x d ( ln x ) = + C x x Ví dụ Tìm ngun hàm hàm số sau: dx cos x a) I10 = ∫ b) I11 = dx c) I12 = cos x sin x dx 2010 x ( − 2x) c) Sử dụng công thức vi phân ∫ ∫ Hướng dẫn giải: a) Ta có I10 = ∫ ( − 2x ) 3 (4 − 2x) −2010 = − ∫ ( − 2x ) d (4 − 2x) = − 2 −2009 −2009 dx 2010 cos u du = d ( sin u )  b) Sử dụng công thức vi phân  dx =d x  2 x +C = 4018 ( − x ) 2009 + C ( ) Học trực tuyến tại: www.moon.vn DeThiMau.vn Mobile: 0985.074.831 Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân LUYỆN THI ĐẠI HỌC MƠN TỐN – Thầy Hùng ( ) cos x cos x dx = dx = cos x d x = 2sin x + C x x cos u du = d ( sin u ) c) Sử dụng công thức vi phân  sin x dx = −d ( cos x ) Ta có I11 = ∫ ∫ ∫ Ta có I12 = ∫ cos x sin x dx = − ( cos x ) d ( cos x ) = − ∫ ( cos x ) =− cos3 x + C Ví dụ Tìm ngun hàm hàm số sau: sin x dx cos5 x Hướng dẫn giải: sin u du = −d ( cos u ) a) Sử dụng công thức vi phân  cos x dx = d ( sin x ) a) I13 = ∫ Ta có I = b) I14 = ∫ sin x cos x dx ∫ sin x cos x dx = ∫   u du = d  u      c) I15 = ∫ sin x cos x dx → I13 = ( sinx ) d ( sin x ) ← ( sinx ) +C = 3 sin x +C ( cos x ) + C = + C sin x d (cos x) dx = − ∫ =− 5 cos x cos x −4 cos x cos x dx = d ( sin x )  c) Sử dụng công thức vi phân  n  u n +1  u du d =     n +1  −4 b) Ta có I14 = ∫  u5  u du = d       Khi ta I15 = ∫ sin x cos x dx = ∫ sin x d ( sin x ) ← → I15 = 4 sin x + C Ví dụ Tìm ngun hàm hàm số sau: a) I16 = ∫ tanx dx b) I17 = ∫ sin x cos x dx c) I18 = ∫ sin x dx + 3cos x Hướng dẫn giải: sin x dx = −d (cos x)  a) Sử dụng công thức  du  ∫ u = ln u + C d ( cos x ) sin xdx = −∫ = − ln cos x + C Ta có I16 = ∫ tan x dx = ∫ cos x cos x 1 b) Ta có I17 = sin x cos x dx = sin x cos x d ( x ) = sin x d ( sin x ) 4 ∫ ∫ ∫ 2 ( sin x ) sin x = +C = + C d ( cos x ) sin x dx d ( 3cos x + 1) c) Ta có I18 = ∫ = −∫ =− ∫ = − ln + 3cos x + C + 3cos x + 3cos x + 3cos x Ví dụ Tìm nguyên hàm hàm số sau: 2cos x dx cos x dx a) I19 = ∫ b) I 20 = ∫ c) I 21 = ∫ tan x.ln ( cos x ) dx 4sin x − ( − 5sin x ) Hướng dẫn giải: cos xdx = d (sin x)  a) Sử dụng công thức vi phân  du  1  u2 = d  − u     d ( sin x ) 2cos x dx d ( − 5sin x ) ⇒ I19 = ∫ =∫ =− ∫ = + C 2 ( − 5sin x ) ( − 5sin x ) ( − 5sin x ) ( − 5sin x ) Học trực tuyến tại: www.moon.vn DeThiMau.vn Mobile: 0985.074.831 Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân LUYỆN THI ĐẠI HỌC MƠN TỐN – Thầy Hùng cos xdx = d (sin x)  b) Sử dụng công thức vi phân  du 2 u = d u  ( ) Ta I 20 = ∫ d ( sin x ) cos x dx d ( 4sin x ) d ( 4sin x − 3) =∫ = ∫ = ∫ = 4sin x − + C 4sin x − 4sin x − 4sin x − 2 4sin x −  d ( cos x ) sin xdx =− = − ln cos x + C  tan xdx = cos x cos x c) Sử dụng công thức nguyên hàm   u du = u + C  d ( cos x ) sin x dx = − ∫ ln ( cos x ) = − ∫ ln ( cos x ) d ( ln cos x ) = Ta có I 21 = ∫ tan x.ln ( cos x ) dx = ∫ ln ( cos x ) cos x cos x ln (cos x) ln (cos x) =− + C  → I 21 = − + C 2 Ví dụ Tìm nguyên hàm hàm số sau: tan x tan x tan x + a) I 22 = dx b) I = dx c) I 24 = dx 23 cos 2 x cos x cos x Hướng dẫn giải:  dx  cos x = d ( tan x ) a) Sử dụng công thức   u du = u + C  ∫ dx tan x tan x tan x dx = tan x = tan x d tan x = + C  → I = + C Ta có I 22 = ( ) 22 2 cos x cos x  dx  cos x = d ( tan x ) b) Sử dụng công thức   = + tan x  cos x ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ( ) ∫( ) dx tan x dx = tan x = tan x + tan x d (tan x) = tan x + tan x d (tan x) cos x cos x cos x tan x tan x tan x tan x = + + C  → I 23 = + + C 6 d (ax)  dx  cos ax = a cos ax = a d ( tan(ax) ) c) Sử dụng công thức   u du = u + C  ∫ tan x + tan x dx dx tan x d (2 x) d (2 x) + = + Ta có I 24 = dx = 2 2 cos 2 x cos x cos x cos x cos 2 x 1 tan 2 x tan x tan 2 x tan x = tan x d (tan x) + d (tan x) = + + C  → I 24 = + + C 2 4 Ví dụ Tìm ngun hàm hàm số sau: cot x tan x cot x a) I 25 = ∫ dx b) I 26 = ∫ dx c) I 27 = ∫ dx π sin x cos x  cos  x +  2  Hướng dẫn giải:  dx  sin x = − d ( cot x ) a) Sử dụng công thức   u du = u + C  ∫ Ta có I 23 = ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ Học trực tuyến tại: www.moon.vn DeThiMau.vn Mobile: 0985.074.831 Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân LUYỆN THI ĐẠI HỌC MƠN TỐN – Thầy Hùng dx cot x cot x cot x dx = cot x = − cot x d cot x = − + C  → I = − + C ( ) 25 2 sin x sin x sin x dx = −d ( cos x )  b) Sử dụng công thức  du u − n +1 +C ∫ n = −n +  u Ta có I 25 = ∫ ∫ ∫ d ( cos x ) ( cos x ) + C = + C  tan x sin xdx dx = ∫ = −∫ =− → I 26 = + C 4 cos x cos x cos x −3 3cos x 3cos3 x  cos x dx = d ( sin x )  π   c) Sử dụng công thức cos  x +  = − sin x 2    du ∫ = − + C u  u cot x cos x cos x dx 1 d (sin x) Ta có I 27 = ∫ dx = ∫ dx = − ∫ = −∫ = + C  → I 27 = + C 2 π sin x ( − sin x ) sin x sin x sin x sin x  cos  x +  2  Ví dụ 10 Tìm nguyên hàm hàm số sau: −3 Ta có I 26 = ∫ a) I 28 = ∫ e tan x + dx cos x e ln x + e) I 32 = ∫ dx x Hướng dẫn giải: x 3e x c) I 30 = ∫ x.e1− x dx b) I 29 = ∫ dx d) I 31 = ∫ ecos x sin x dx ( )  dx =d x  a) Sử dụng công thức  x  eu du = eu + C ∫ Ta có I 28 = ∫ 3e x x ∫ dx = 3.2 e x dx = e xd x ∫ ( x ) = 6e x + C  → I 28 = 6e x + C  dx  cos x = d ( tan x ) = d ( tan x ± k ) b) Sử dụng công thức   eu du = eu + C ∫ tan x + e dx dx = ∫ e tan x + = e tan x + d ( tan x + ) = e tan x + + C  → I 29 = e tan x + + C Ta có I 29 = ∫ cos x cos x ∫ 1  2  x dx = d ( x ) = − d (1 − x ) c) Sử dụng công thức   eu du = eu + C ∫ 2 2 1 Ta có I 30 = ∫ x.e1− x dx = ∫ e1− x x dx = − ∫ e1− x d (1 − x ) = − e1− x + C  → I 30 = − e1− x + C 2 sin x dx = −d ( cos x ) d) Sử dụng công thức  u u  ∫ e du = e + C Ta có I 31 = ∫ ecos x sin x dx = − ∫ ecos x d ( cos x ) = −ecos x + C  → I 31 = −ecos x + C  dx  = d ( ln x ) = d ( ln x ± k ) e) Sử dụng công thức  x  eu du = eu + C ∫ ln x + e dx 1 dx = ∫ e ln x + = ∫ e ln x + d ( ln x ) = ∫ e ln x + d ( 2ln x + 3) = e ln x + + C Ta có I 32 = ∫ x x 2 Học trực tuyến tại: www.moon.vn DeThiMau.vn Mobile: 0985.074.831 Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân LUYỆN THI ĐẠI HỌC MƠN TỐN – Thầy Hùng Vậy I 32 = ∫ e2 ln x + dx = e ln x + + C x BÀI TẬP LUYỆN TẬP: x 1) I1 = dx + x2 ∫ 4) I = ∫ cos x sin xdx x dx x +5 ln x I10 = ∫ dx x sin x I13 = ∫ dx cos5 x e tan x I16 = ∫ dx cos x dx I19 = ∫ (3 − x)5 7) I = ∫ 10) 13) 16) ∫ ∫ 2) I = x(1 + x )10 dx 3) I = sin x dx x dx 4) I = ∫ 2x −1 6) I = 5) I = ∫ cos cos x dx x ∫ sin x cos xdx 3) I = ∫ − xdx 11) I11 = ∫ x.e x +1dx 12) I12 = ∫ sin x cos xdx 14) I14 = ∫ cot x dx 15) I15 = ∫ 17) I17 = ∫ e x 18) I18 = ∫ x x + dx dx x tan x dx cos x x dx 20) I 20 = ∫ x x3 + dx 21) I 21 = ∫ 22) I 22 = ∫ x − x dx 23) I 23 = ∫ cos x + 4sin x dx 24) I 24 = ∫ x x + dx 25) I 25 = ∫ ecos x sin x dx 26) I 26 = ∫ x.e x 19) ∫ 28) I 28 = x.e1− x dx Học trực tuyến tại: www.moon.vn 29) I 29 = ∫ (e +2 sinx sin x dx + 3cos x e2 ln x +1 30) I 30 = ∫ dx x 27) I 27 = ∫ dx ) + cos x cos x dx x3 + DeThiMau.vn Mobile: 0985.074.831 ... dụng công thức vi phân  dx =d x  2 x +C = 4018 ( − x ) 2009 + C ( ) Học trực tuyến tại: www.moon.vn DeThiMau.vn Mobile: 0985.074.831 Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân LUYỆN THI ĐẠI HỌC MƠN TỐN... x ) Học trực tuyến tại: www.moon.vn DeThiMau.vn Mobile: 0985.074.831 Chuyên đề Ngun hàm – Tích phân LUYỆN THI ĐẠI HỌC MƠN TOÁN – Thầy Hùng cos xdx = d (sin x)  b) Sử dụng công thức vi phân. .. 2 Học trực tuyến tại: www.moon.vn DeThiMau.vn Mobile: 0985.074.831 Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân LUYỆN THI ĐẠI HỌC MƠN TỐN – Thầy Hùng Vậy I 32 = ∫ e2 ln x + dx = e ln x + + C x BÀI TẬP LUYỆN