Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân LUYỆN THI ĐẠI HỌC MƠN TỐN – Thầy Hùng Tài liệu giảng: 11 PP TỪNG PHẦN TÍNH TÍCH PHÂN Thầy Đặng Việt Hùng b b Cơng thức tích phân phần I = ∫ udv = ( uv ) a − ∫ vdu b a a Thứ tự ưu tiên đặt u : Hàm loga, ln → Hàm đa thức→ Hàm lượng giác = Hàm mũ Ví dụ 1: Tính tích phân sau: e e ln x dx ( x + 1) b) I = ∫ a) I1 = ∫ e x sin xdx c) I = ∫ x ln xdx e 1 d) I = ∫ x ln(1 + x )dx e) I = ∫ x e x dx 0 Hướng dẫn giải: 1 e = u e dx = du a) Đặt ⇒ ⇒ I1 = ∫ e x sin xdx = − ( e x cos x ) + ∫ cos x.e x dx = − ( e x cos x ) + J 0 sin xdx = dv − cos x = v 0 1 cos xdx = dv v = sinx x x Đặt ⇒ ⇒ J = xe dx = e x − cos sin sin xe x dx = e x sin x 10 − I1 ( ) ∫ ∫ x x ' u = e du = e dx 0 1 − e(sin1 − cos1) ⇒ I1 = ( e x sin x ) − ( e x cos x ) = − e(sin1 − cos1) ⇒ I1 = 0 dx ln x = u = du e e e dx ln x ln x x dx ⇒ ⇒ I2 = ∫ = − + b) Đặt dx ∫ dv = ( + 1) + ( + 1) x x x x 1 ( x + 1) v = − e e e x +1 x ln x =− x +1 x e e e e e e e e dx dx ln x x +∫ −∫ =− + ln = −1 + = x +1 x +1 1 x ( x + 1) e e dx e e du = 2ln x e e e ln x = u x2 dx x 2 x 2 c) Đặt I x ln xdx ln x x ln x ln x ⇒ ⇒ = = − = − ∫1 ∫ ∫ x ln xdx x 1 1 xdx = dv v = x dx e e e e du = x x2 x2 u = ln x x2 Xét J = ∫ x ln xdx Đặt ⇒ ⇒ J = ln x − ∫ xdx = ln x − 1 xdx = dv v = x 1 2 e x2 x2 x2 e2 − → I = ln x − ln x + = 1 2 xdx du = ln(1 + x ) = u + x2 d) Đặt ⇒ xdx = dv v = x 2 1 1 x2 x dx x x x ⇒ I = ∫ x ln(1 + x )dx = ln(1 + x ) − ∫ = ln(1 + ) − x− dx = ∫ x x + +1 0 0 0 1 1 1 x2 x2 x2 xdx x 1 = ln(1 + x ) − + ∫ = ln(1 + x ) − + ln ( x + 1) = ln − 0 0 x +1 0 0 2 Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH Luyện giải đề để đạt điểm Toán trở lên! DeThiMau.vn www.moon.vn LUYỆN THI ĐẠI HỌC MƠN TỐN – Thầy Hùng Chun đề Ngun hàm – Tích phân 1 1 x = u du = xdx x x e) Đặt x I x e dx x e xe x dx = ( x e x ) − J ⇒ ⇒ = = − ( ) ∫ ∫ x 0 0 e dx = dv v = e 1 x = u du = dx x x x x x xe dx xe e dx xe e ⇒ ⇒ = − = − Xét J = ∫ xe dx Đặt x ( ) ( ) ∫ ∫ x 0 e dx = dv v = e 0 x Vậy I = ( x e x ) − J = ( x e x ) − ( xe x − e x ) = e − 1 1 0 Ví dụ 2: Tính tích phân sau: a) I1 = ∫ ( x − 1) ln xdx e ln x dx x2 e ln x dx x2 b) I = ∫ c) I = ∫ π Ví dụ 3: Tính tích phân sau: ln( x + 1) dx (2 x − 1) 2 a) I1 = ∫ x + cos x dx + sin x π π b) I = ∫ (2 x − 1)e x dx c) I = ∫ Ví dụ 4: Tính tích phân sau: a) I1 = ∫ x ln( x + x)dx b) I = ∫ x sin x dx cos x c) I = ∫ x cos x.sin xdx Ví dụ 5: Tính tích phân sau: xe x dx ( x + 1) a) I1 = ∫ HD: Đặt u = xe x x2ex dx ( x + 2) b) I = ∫ π c) I = ∫ d) I = ∫ x sin x + ( x + 1) cos x dx x sin x + cos x HD: Đặt u = x e x HD: Đạo hàm biểu thức mẫu số để tìm mối quan hệ với tử số x2 + e x + x2e x dx + 2e x Ví dụ 6: Tính tích phân sau: π x + tan x dx x(tan x + 1)2 cos a) I1 = ∫ π tan x + x tan x dx cos 2 x π x dx + sin x b) I = ∫ c) I = ∫ π π2 Ví dụ 7: Tính tích phân sau: e2 a) I1 = ∫ − dx ln x ln x e b) I = ∫ π x sin x + ln(sin x) dx cos x c) I = ∫ sin xdx π Ví dụ 8: Tính tích phân sau: e2 x ln x − x a) I1 = ∫ dx 2ln x e π ln(sin x + cos x) dx cos x b) I = ∫ Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH Luyện giải đề để đạt điểm Toán trở lên! DeThiMau.vn + x ln x dx x + 2ln x e c) I = ∫ www.moon.vn ...LUYỆN THI ĐẠI HỌC MƠN TỐN – Thầy Hùng Chun đề Nguyên hàm – Tích phân 1 1 x = u du = xdx x x e) Đặt x I x e dx x e xe x... xdx π Ví dụ 8: Tính tích phân sau: e2 x ln x − x a) I1 = ∫ dx 2ln x e π ln(sin x + cos x) dx cos x b) I = ∫ Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH Luyện giải đề để đạt điểm Toán trở lên! DeThiMau.vn + x... I = ∫ (2 x − 1)e x dx c) I = ∫ Ví dụ 4: Tính tích phân sau: a) I1 = ∫ x ln( x + x)dx b) I = ∫ x sin x dx cos x c) I = ∫ x cos x.sin xdx Ví dụ 5: Tính tích phân sau: xe x dx ( x + 1) a) I1 = ∫