Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân LUYỆN THI ĐẠI HỌC MƠN TỐN – Thầy Hùng Tài liệu giảng: 04 NGUYÊN HÀM CỦA HÀM HỮU TỶ P3 Thầy Đặng Việt Hùng Xét nguyên hàm hàm phân thức hữu tỉ I = ∫ P ( x) dx Q( x) Nguyên tắc giải: Khi bậc tử số P(x) lớn Q(x) ta phải chia đa thức để quy nguyên hàm có bậc tử số nhỏ mẫu số III MẪU SỐ LÀ ĐA THỨC BẬC BA Khi Q(x) = ax3 + bx2 + cx + d Ta có bốn khả xảy với Q(x) TH1: Q(x) = có nghiệm phân biệt x1; x2; x3 TH2: Q(x) = có nghiệm: nghiệm đơn, nghiệm kép Khi ta có Q( x) = ax3 + bx + cx + d = a ( x − x1 )( x − x2 ) P( x) P( x) A Bx + C = = + Q ( x) a ( x − x1 )( x − x2 ) x − x1 ( x − x2 )2 Đồng hệ số hai vế ta A, B, C Bài toán trở dạng xét đến Chú ý: Ngoài việc sử dụng đồng nhất, ta phân tích tử số theo đạo hàm mẫu để giải Ví dụ Tìm ngun hàm hàm số sau: dx x −1 x2 + x + = a) I1 = b) I = dx c) I dx x ( x + 2) x ( x − 1) ( x + 1)2 ( x − 3) Để đồng được, ta phải phân tích theo quy tắc: ∫ ∫ ∫ Hướng dẫn giải: dx a) Xét I1 = x ( x + 2) Cách 1: (Đồng hai vế) ∫ A = 0 = A + B A Bx + C 1 Ta có = + →1 ≡ Ax + ( Bx + C )( x + ) ⇔ 0 = B + C → B = − x ( x + 2) x + x 1 = 2C C = 1 − x+ dx dx = dx − dx + dx = ln x + − + C Khi đó, I1 = = + x + x x2 x 2x x ( x + 2) x x+2 Cách 2: (Sử dụng kĩ thuật phân tích nhảy tầng lầu ta được) 1 x + x − 3x( x + 2) + x + 3x + x x( x + 2) 2x + = = = − + = 3 2 4 x + 2x x ( x + 2) x + 2x x + 2x x + 2x x + 2x2 ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 3x + x 3x + x dx dx dx I dx − = − + → = = + = 2 x + 2x x x2 x x x ( x + 2) x + 2x ∫ ( ∫ ∫ ∫ ) d x + 2x 1 1 + C → I1 = ln x3 + x − ln x − + C dx − ln x − = ln x3 + x − ln x − 4 2x 4 2x 4 2x x + 2x ( x + 1) − t−2 d ( x + 1) = dt , với t = x + b) I = t ( 2t − ) ( x + 1) ( x + 1) − 5 Cách 1: (Đồng hai vế) = ∫ ∫ Học trực tuyến tại: www.moon.vn ∫ DeThiMau.vn Mobile: 0985.074.831 Chuyên đề Ngun hàm – Tích phân LUYỆN THI ĐẠI HỌC MƠN TOÁN – Thầy Hùng A = − 25 0 = A + C t−2 At + B C Ta có = + → t − ≡ ( At + B )( 2t − ) + Ct ⇔ 1 = B − A → B = 2t − 5 t ( 2t − ) t −2 = −5B C = 25 2 − 25 t + dt dt d ( 2t − ) t −2 Từ ta I = + 25 dt = − + + = dt = 2t − 25 t t 25 2t − t ( 2t − ) t 1 2t − 2x − = − ln t − + ln 2t − + C = ln − + C = ln − + C 25 5t 25 25 t 5t 25 x + 5( x + 1) Cách 2: (Sử dụng kĩ thuật phân tích nhảy tầng lầu ta được) 6t − 10t − 3t ( 2t − ) − ( 2t − ) t−2 ( 2t − ) − 2t = − =− − = 2 t ( 2t − ) 25 t ( 2t − ) t ( 2t − ) t ( 2t − ) t ( 2t − ) ∫ ∫ ∫ ( ∫ ∫ ) 1 6t − 10t = − − − − − t 2t − 25 2t − 5t t 2t I2 = − ( ) dt d ( 2t − ) 6t − 10t 12 dt dt dt d ( 2t − ) d 2t − 5t dt + − dt + + = + − + = 2 t 2t − 25 2t − 5t 25 t t 25 t 2t − 25 t2 2t − 5t ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 1 2t − ln t + ln 2t − − ln 2t − 5t − + C → I = − ln t + ln 2t − − + C = ln − + C 25 25 5t 25 25 5t 25 t 5t 2x − Thay lại t = x + ta I = ln − + C 25 x + 5( x + 1) = x2 + x + dx x ( x − 1) Cách 1: (Đồng hai vế) c) I = ∫ 2 = A + C A = −9 x + x + Ax + B C 2 = + → x + x + ≡ ( Ax + B )( x − 1) + Cx ⇔ 1 = − A + B → B = −4 Ta có 2 2x − x ( x − 1) x 4 = − B C = 20 dx dx 2x2 + x + 20 20 −9 x − dx = + −4 + dx = −9ln x + + 10ln x − + C dx = −9 2 2x −1 x 2x − x x ( x − 1) x x Cách 2: (Sử dụng kĩ thuật phân tích nhảy tầng lầu ta được) → I3 = Ta có ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ( ) 2 ( x − 1) − x − x − x − x + ( x − 1) = 2x2 + x + 4 = + + = − x ( x − 1) x ( x − 1) x − x ( x − 1) x ( x − 1) x − x ( x − 1) ( ) ( ) 6x2 − x x2 − 2x 2 24 28 − + − + − → I = − − + − dx = x 2x − x 2x − 2x − x2 x3 − x x ( x − 1) x − x 4 = − ln x − 4ln x3 − x + 14ln x − + + C = −9ln x + 10ln x − + + C x x = ∫ TH3: Q(x) = có nghiệm đơn ( ) Khi ta có Q ( x) = ax3 + bx + cx + d = ( x − x1 ) mx + nx + p , mx + nx + p = vô nghiệm Để đồng được, ta phải phân tích theo quy tắc: P( x) P ( x) A Bx + C = = + 2 Q ( x) ( x − x1 ) mx + nx + p x − x1 mx + nx + p ( ) Đồng hệ số hai vế ta A, B, C Bài toán trở dạng xét đến Chú ý: Học trực tuyến tại: www.moon.vn DeThiMau.vn Mobile: 0985.074.831 Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân LUYỆN THI ĐẠI HỌC MƠN TỐN – Thầy Hùng du u ∫ u + a = u arctan a + C - Nguyên hàm - Ngoài việc sử dụng đồng nhất, ta phân tích tử số theo đạo hàm mẫu để giải Ví dụ Tìm nguyên hàm hàm số sau: dx 2x + x2 − x + a) I1 = b) I dx c) I dx = = x x2 + x x2 + x − ( x − 1) x + ∫ ( ∫ ) ( ∫ ( ) ) Hướng dẫn giải: dx ∫ x(x a) I1 = ) +1 Cách 1: (Đồng hai vế) 0 = A + B A =1 A Bx + C = + →1 ≡ A x + + ( Bx + C ) x ⇔ 0 = C → B = −1 x x +1 x x +1 1 = A C = ( ( ) ) ( ) d x +1 −x dx −x 1 Khi đó, I1 = = + + dx = ln x − = ln x − ln x + + C dx = 2 x 2 x +1 x +1 x x +1 x x +1 ∫ ( dx ) ∫ ∫ ∫ ∫ ( ) Cách 2: (Sử dụng kĩ thuật phân tích nhảy tầng lầu ta được) ( ) x x +1 b) I = = (x ) + − x2 ( = ) x x +1 2x + ∫ ( x − 1) ( x +4 ) ( ) 1 x dx xdx − → I1 = − dx = ln x − ln x + + C x x2 + x x +1 ∫ ∫ dx Cách 1: (Đồng hai vế) A = 0 = A + B 2x + 3 A Bx + C = + → + ≡ + + + − ⇔ = − + → = − x A x Bx C x B C B ( )( ) ( x − 1) x + x − x + 3 = A − C C = 2x + 3 dx −3 x + 3 x dx dx dx = Khi ta có I = + = ln x − − + = 2 x −1 x + 5 x +4 x +4 ( x − 1) x + ( ( ) ) ∫ ∫ ∫ ( ) 3 3 x = ln x − − ln ( x + ) + arctan + C = ln x − − ln ( x 10 5 10 2 ∫ ) +4 + ∫ x arctan + C 10 2 Cách 2: (Sử dụng kĩ thuật phân tích nhảy tầng lầu ta được) ( x − 1) + 2x + 2t + 3 Ta có = = = + ; t = x −1 2 ( x − 1) x + ( x − 1) ( x − 1) + ( x − 1) + 5 t t + 2t + t + 2t + t t + 2t + ( Mà ) ( ( ) ( ( ) ( ) ) 2 3t + 4t − t + 2t + + 2t 3t + 4t = − = − + − 2 2 5 t + 2t + 5t t + 2t + t t + 2t + t t + 2t + ( ) ) Suy 3t + 4t 2 3t + 4t + = − + − + = − + − 3 2 2 t + 2t + 5t t + 2t + t + 2t + 5 t + 2t + 5t t + 2t + t + 2t + t t + 2t + ( Thay vào ta I = ) 2x + ∫ ( x − 1) ( x +4 ) dx = 3t + 4t dt dt dt + = − − 2 t + 2t + 5 t t t + 2t + ∫( 2t + ∫ ) ∫ dt ∫ ( t + 1) +4 = 1 t +1 t +1 = − ln t + 2t + + ln t − arctan + C = − ln t + 2t + + ln t − arctan + C 5 5 5 TH4: Q(x) = có nghiệm bội ba: Trường hợp dễ, thầy bỏ qua! Học trực tuyến tại: www.moon.vn DeThiMau.vn Mobile: 0985.074.831 Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân LUYỆN THI ĐẠI HỌC MƠN TỐN – Thầy Hùng BÀI TẬP LUYỆN TẬP: Phương trình bậc ba có hai nghiệm (một nghiệm đơn, nghiệm kép): x −1 dx x ( x + 1) 4x + 10) I10 = ∫ dx (2 x − 1)( x + 1) 7) I = ∫ x2 + dx ( x + 2)2 (2 x − 1) 4−x 11) I11 = ∫ dx x (3 − x) 8) I8 = ∫ 2x2 + dx x( x + x + 1) x+5 12) I12 = ∫ dx ( x + 2)2 ( x + 3) 9) I = ∫ Phương trình bậc ba có nghiệm bội ba: 13) I10 = ∫ 2−x dx ( x + 2)3 14) I14 = ∫ 3x − dx (2 x + 1)3 15) I15 = ∫ (3 x + x)dx (4 x + 3)3 16) I16 = ∫ x4 dx ( x + 2)3 17) I17 = ∫ x3 − dx ( x + 1)3 18) I18 = ∫ x2 − dx ( x − 1)3 Phương trình bậc ba có nghiệm đơn: 19) I19 = ∫ 2x + dx x( x + x + 1) 20) I 20 = ∫ 3x + dx x3 − 21) I 21 = ∫ x dx x3 + 22) I 22 = ∫ x2 + dx ( x + 3) x 23) I 23 = ∫ x+2 dx (2 x + 3)( x − 1) 24) I 24 = ∫ x2 − dx (3x + 1)(1 − x) Học trực tuyến tại: www.moon.vn DeThiMau.vn Mobile: 0985.074.831 ... số hai vế ta A, B, C Bài toán trở dạng xét đến Chú ý: Học trực tuyến tại: www.moon.vn DeThiMau.vn Mobile: 0985.074.831 Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân LUYỆN THI ĐẠI HỌC MƠN TỐN – Thầy Hùng du... Trường hợp dễ, thầy bỏ qua! Học trực tuyến tại: www.moon.vn DeThiMau.vn Mobile: 0985.074.831 Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân LUYỆN THI ĐẠI HỌC MƠN TỐN – Thầy Hùng BÀI TẬP LUYỆN TẬP: Phương trình.. .Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân LUYỆN THI ĐẠI HỌC MƠN TỐN – Thầy Hùng A = − 25 0 = A + C t−2 At + B C Ta có