Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân LUYỆN THI ĐẠI HỌC MƠN TỐN – Thầy Hùng Tài liệu giảng: 03 PP ĐỔI BIẾN SỐ TÌM NGUYÊN HÀM – P2 Thầy Đặng Việt Hùng Dạng PP lượng giác hóa Nếu hàm f(x) có chứa dx = d (a sin t ) = a cos t dt a − x đặt x = a sin t → 2 2 a − x = a − a sin t = a cos t Nếu hàm f(x) có chứa adt dx = d (a tan t ) = cos t a + x đặt x = a tan t → a + x = a + a tan t = a cos t MỘT SỐ VÍ DỤ MẪU: Ví dụ Tìm nguyên hàm hàm số sau: dx a) I1 = ; ( a = 2) − x2 ∫ c) I = ∫ x dx 1− x ; ( a = 1) b) I = ∫ − x dx ; ( a = 1) d) I = x − x dx ; ( a = 3) ∫ Hướng dẫn giải: = = (2sin ) 2cos dx d t t dt 2cos t dt dx a) Đặt x = 2sin t → → I1 = ∫ =∫ = ∫ dt = t + C 2 2cos t 4− x − x = − 4sin t = 2cos t x x → I1 = arcsin + C Từ phép đặt x = 2sin t ⇔ t = arcsin 2 2 dx = d (sin t ) = cos t dt b) Đặt x = sin t → 2 − x = − sin t = cos t Khi I = ∫ ∫ − x dx = cos t.cos t dt = ∫ + cos 2t 1 t cos 2t dt = + sin 2t + C dt = dt + 2 2 ∫ ∫ cos t = − sin t = − x Từ x = sin t ⇒ → sin 2t = 2sin t.cos t = x − x arcsin t x = arcsin x → I2 = + x − x2 + C 2 dx = d (sin t ) = cos t dt c) Đặt x = sin t → 2 − x = − sin t = cos t x dx sin t.cos t dt − cos2t 1 Khi đó, I = ∫ =∫ = ∫ sin t dt = ∫ dt = t − sin 2t + C cos t 2 − x2 cos t = − sin t = − x Từ x = sin t ⇒ → sin 2t = 2sin t.cos t = x − x t = arcsin x arcsin x → I3 = − x − x2 + C 2 dx = d (3sin t ) = 3cos t dt d) Đặt x = 3sin t → 2 − x = − 9sin t = 3cos t 81 81 − cos4t Khi đó, I = x − x dx = 9sin t.3cos t.3cos t dt = 81 sin t.cos t dt = sin 2t dt = dt 4 ∫ ∫ Học trực tuyến tại: www.moon.vn ∫ ∫ DeThiMau.vn ∫ Mobile: 0985.074.831 Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân LUYỆN THI ĐẠI HỌC MƠN TỐN – Thầy Hùng = 81 1 81 t dt − cos4t dt = − sin 4t + C 2 2 ∫ ∫ x2 cos t = − sin t = − 2x x2 Từ x = 3sin t ⇒ → sin 2t = 1− t = arcsin x 3 2x2 2x x2 2x2 x − 1 − Mặt khác, cos2t = − 2sin t = − = − → sin 4t = 2sin 2t.cos2t = 9 3 x arcsin 2 81 − x − x − x + C Từ ta I = 4 Ví dụ Tìm nguyên hàm hàm số sau: dx a) I1 = ; ( a = 1) b) I = x + x + dx x +1 ∫ ∫ c) I = ∫ x dx x2 + ; ( a = 2) Hướng dẫn giải: dt = (1 + tan t )dt (1 + tan t )dt dx = d (tan t ) = → → I1 = ∫ = ∫ dt = t + C cos t a) Đặt x = tan t + tan t 1 + x = + tan t Từ giả thiết đặt x = tan t ⇔ t = arctan x → I1 = arctan x + C b) Ta có I = ∫ x + x + dx = ∫ t = x +1 ( x + 1) + d ( x + 1) →I = ∫ t + dt 2du dt = d (2 tan u ) = cos u 2du cos u du du → → I2 = ∫ =∫ =∫ Đặt t = tan u 2 u cos cos u + t = + tan u = cos u cos u cos u d (sin u ) (1 + sin u ) + (1 − sin u ) d (sin u ) d (sin u ) 1 + sin u =∫ = ∫ d (sin u ) = ∫ + = ln + C − sin u (1 + sin u )(1 − sin u ) − sin u ∫ + sin u − sin u t t2 t2 2 → = + → u = − c u = − = sin os cos u 4 + t2 + t2 t x +1 1+ 1+ 2 1 + sin u x + x + + C + t + C = ln Từ ta I = ln + C = ln t x +1 − sin u 1− 1− 2 4+t x + 2x + 2dt dx = d (2 tan t ) = cos t = 2(1 + tan t ) dt → c) Đặt x = tan t x + = tan t + tan t.2(1 + tan t ) dt sin t sin t.cos t dt sin t d (sin t ) dt 4 → I3 = ∫ = ∫ tan t + tan t dt = ∫ = = ∫ cos4 t ∫ − sin t cos3 t + tan t ( ) Từ phép đặt t = tan u ⇔ tan u = (1 + u ) − (1 − u ) u Đặt u = sin t du = ∫ du = ∫ → I = 4∫ du 2 1− u (1 + u )(1 − u ) (1 − u ) u2 du du 2du d (1 − u ) d (1 + u ) (1 − u ) + (1 + u )du = ∫ − +∫ −∫ = −∫ +∫ −∫ du = ∫ 2 2 (1 − u ) (1 + u ) (1 − u )(1 + u ) (1 − u ) (1 + u ) (1 − u )(1 + u ) 1− u 1+ u 1 1 du du 1 − − − + − − − =− − − ln + u + ln u − + C du = − 1− u 1+ u ∫1+ u 1− u 1− u 1+ u ∫1+ u ∫1− u 1− u 1+ u Học trực tuyến tại: www.moon.vn DeThiMau.vn Mobile: 0985.074.831 Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân LUYỆN THI ĐẠI HỌC MƠN TỐN – Thầy Hùng 1 u −1 1 u −1 1 sin t − − + ln + C → I3 = − + ln +C = − + ln + C u −1 1+ u u +1 u −1 u +1 u +1 sin t − sin t + sin t + x x2 x2 2 Từ giả thiết x = tan t ⇔ tan t = → = + t = + ⇔ c t = → t = tan os sin cos 2t 4 + x2 + x2 x −1 x 1 + x ⇔ sin t = → I3 = − + ln + C x x x + x2 −1 +1 +1 + x2 + x2 + x2 = Ví dụ Tìm ngun hàm hàm số sau: dx dx dx a) I1 = b) I = c) I = x2 − x2 x2 − x2 − 2x − Hướng dẫn giải: t dt − cos − cos t dt dx = d sin t = sin 2t dx − cos t dt dx = sin t → ← → → I1 = ∫ =∫ a) Đặt x = sin t sin t.cot t x −1 x2 − = x − = cot t −1 sin t ∫ = −∫ ∫ ∫ d (cos t ) d (cos t ) sin t dt (1 − cos t ) + (1 + cos t ) 1 + cos t =∫ =∫ = ∫ d (cos t ) = ln + C 2 sin t − cos t (1 − cos t )(1 + cos t ) (1 − cos t )(1 + cos t ) − cos t Từ phép đặt x = 1 → cos t = − sin t = − ⇔ cos t = sin t x x2 − 1 x −1 x → I1 = ln + C x x −1 1− x 1+ −2cos t dt −2 cos t dt dx = dx = d sin t = sin t sin t → ← → b) Đặt x = sin t x2 − = x − = 2cot t ⇒ x x − = 8cot t − sin t sin t dx −2cos t dt 1 Khi đó, I = = = − sin t dt = cos t + C 2 8cot t 4 x x −4 sin t sin t ∫ ∫ ∫ → cos 2t = − sin t = − ⇔ cos t = sin t x dx d ( x − 1) t = x −1 = → I3 = c) I = 2 x − 2x − ( x − 1) − Từ x = ∫ ∫ ∫ x2 − x2 − → I2 = + C x 4x dt dt = 2 t −3 t2 − ∫ ( ) − cos u du dt = d − cos u du = sin u sin 2u dt = → ← → sin u Đặt t = sin u −3 t − = cot u t −3 = sin u → I3 = ∫ = 2∫ dt =∫ − cos u du = −∫ d (cos u ) d (cos u ) sin u du =∫ =∫ 2 sin u − cos u (1 − cos u )(1 + cos u ) sin u cot u t −3 (1 − cos u ) + (1 + cos u ) 1 + cos u d (cos u ) = ln + C (1 − cos u )(1 + cos u ) − cos u 2 t2 − x2 − 2x − 1+ 3 t −3 1 t x −1 ⇒ cos 2u = − ⇔ cos t = → I = ln + C = ln + C Từ t = 2 sin u t t 2 t −3 x − 2x − 1− 1− t x −1 Chú ý: Tổng hợp kết ta thu số kết quan trọng sau: 1+ Học trực tuyến tại: www.moon.vn DeThiMau.vn Mobile: 0985.074.831 Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân LUYỆN THI ĐẠI HỌC MƠN TỐN – Thầy Hùng dx x = arc tan + C +a a a dx x+a ∫ x − a = 2a ln x − a + C dx x−a ∫ a − x = 2a ln x + a + C dx ∫ x ± a = ln x + x ± a + C ∫x BÀI TẬP LUYỆN TẬP: 1) I1 = ∫ 4) I = ∫ x dx x2 + 3x − x 2) I = ∫ dx Học trực tuyến tại: www.moon.vn 5) I = ∫ − x2 dx x2 3) I = ∫ x + dx 6) I = DeThiMau.vn ∫ x dx − x2 dx x2 − Mobile: 0985.074.831 ... Chú ý: Tổng hợp kết ta thu số kết quan trọng sau: 1+ Học trực tuyến tại: www.moon.vn DeThiMau.vn Mobile: 0985.074.831 Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân LUYỆN THI ĐẠI HỌC MƠN TỐN – Thầy Hùng dx... 1− u 1− u 1+ u ∫1+ u ∫1− u 1− u 1+ u Học trực tuyến tại: www.moon.vn DeThiMau.vn Mobile: 0985.074.831 Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân LUYỆN THI ĐẠI HỌC MƠN TỐN – Thầy Hùng 1 u −1 1 u −1 1.. .Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân LUYỆN THI ĐẠI HỌC MƠN TỐN – Thầy Hùng = 81 1 81 t dt − cos4t dt = − sin 4t