Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân LUYỆN THI ĐẠI HỌC MƠN TỐN – Thầy Hùng Tài liệu giảng: 07 NGUYÊN HÀM LƯỢNG GIÁC – P6 Thầy Đặng Việt Hùng x → dx ← → + tan x dx Dạng Nguyên hàm dùng biến đổi vi phân d tan ← x 2 2 cos 2 Cách giải: Xét nguyên hàm I1 = dx ∫ A sin x + B cos x + C Để tính nguyên hàm ta xét hai trường hợp: → A sin x + B cos x + C = A sin x + B cos x ± A2 + B = A2 + B cos ( x + φ ) ± A2 + B Nếu C = ± A2 + B Ở đây, ta biết phép biến đổi lượng giác A sin x + B cos x = A2 + B cos ( x + α ) A2 + B cos ( x + β ) A +B Khi I1 = ∫ dx A2 + B cos ( x + α ) ± A2 + B = A2 + B ∫ dx = cos ( x + α ) ± −1 A + B2 ∫ ∫ dx x+α 2cos dx x+α 2sin dx 1 x 2dt = 1 + tan dx → dx = x cos 2 2 1+ t2 2t sin x = 1+ t2 1− t2 cos x = 1+ t2 dt = Nếu C ≠ ± A2 + B ta đặt t = tan x → Thay vào ta tính I1 nguyên hàm theo ẩn t Chú ý: Một số cơng thức tính nhanh: Ví dụ Tính nguyên hàm sau: dx a) I1 = ∫ sin x + cos x + dx c) I = ∫ 3sin x + cos x + a) I1 = ∫ π π sin x + cos x = sin x + = cos x − 4 4 π π sin x + cos x = sin x + = cos x − 6 3 π π sin x − cos x = sin x − = −2 cos x + 3 6 b) I = ∫ dx sin x − cos x − dx d) I = sin x − cos x − Hướng dẫn giải: ∫ dx sin x + cos x + π Ta có 12 + 12 = → sin x + cos x = sin x + cos x = cos x − 4 Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH Luyện giải đề để đạt điểm Toán trở lên! DeThiMau.vn www.moon.vn Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân LUYỆN THI ĐẠI HỌC MƠN TỐN – Thầy Hùng x π d − dx dx dx 1 = tan x − π + C I1 = ∫ = = = ∫ ∫ ∫ π π x π + cos x − 2cos 2 cos x − π 2 8 cos x − + − 4 4 2 8 2 8 x π Vậy I1 = tan − + C 2 8 Bình luận: Trong nguyên hàm trên, biểu thức sinx + cosx ta thống chuyển hàm cos để sử dụng công thức lượng giác a dx dx + cos a = cos → = a + cos a cos 2 π sin x − cos x = −2cos x + b) Ta có sin x − cos x = 3 x π d + 1 dx dx dx 6 x π I2 = ∫ =∫ =− ∫ =− ∫ = − tan + + C π π 2 x π sin x − cos x − 2 6 −2cos x + − + cos x + cos + 3 3 2 6 x dx 1 x 2dt c) Đặt t = tan ⇒ dt = = 1 + tan dx → dx = x 2 cos 2 2 1+ t2 2t 1− t2 Ta có sin x = x = ; cos 1+ t2 1+ t2 2dt 2dt 2dt d (6t + 2) 1 x + t2 Khi I = ∫ =∫ =∫ = ∫ = ln 6t + + C = ln tan + + C 2 6t 1− t2 6t + − t + + t 6t + 6t + 3 + +1 1+ t2 1+ t2 x dx 1 x 2dt d) Đặt t = tan ⇒ dt = = 1 + tan dx → dx = x 2 cos 2 2 1+ t2 2t 1− t2 ; cos Ta có sin x = x = 1+ t2 1+ t2 2dt dx 2dt dt x + t2 = = = = ln t + C = ln tan + C Khi I = 2 sin x − cos x − t 2t 1− t 2t − + t − − t − −1 2 1+ t 1+ t Ví dụ Tính nguyên hàm sau: dx dx a) I1 = ∫ b) I = ∫ 3sin x − cos x + 2sin x − cos x − dx dx c) I = ∫ d) I = ∫ + sin x sin x − cos x + ∫ ∫ ∫ ∫ Xét nguyên hàm I = ∫ ∫ A sin x + B cos x + C ∫ A′ sin x + B′ cos x + C ′ dx Với dạng nguyên hàm ta sử dụng phương pháp đồng với nguyên hàm hàm phân thức hữu tỉ xét m ( A′ cos x − B′ sin x ) + n ( A′ sin x + B′ cos x + C ′ ) + p A sin x + B cos x + C = việc phân tích: A′ sin x + B′ cos x + C ′ A′ sin x + B′ cos x + C ′ A = −mB′ + nA′ m Đồng theo hệ số sinx cosx ta B = mA′ + nB′ → n C = nC ′ + p p m ( A′ cos x − B′ sin x ) dx A sin x + B cos x + C dx dx = Từ ta I = + n dx + p = A′ sin x + B′ cos x + C ′ A′ sin x + B′ cos x + C ′ A′ sin x + B ′ cos x + C ′ ∫ ∫ ∫ Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH Luyện giải đề để đạt điểm Toán trở lên! DeThiMau.vn ∫ www.moon.vn Chuyên đề Ngun hàm – Tích phân LUYỆN THI ĐẠI HỌC MƠN TOÁN – Thầy Hùng = m ln A′ sin x + B′ cos x + C ′ + nx + p dx ∫ A′ sin x + B′ cos x + C ′ Ví dụ Tính nguyên hàm sau: sin x + 3cos x − a) I1 = ∫ dx sin x + cos x + b) I = ∫ 7sin x − 5cos x ( 3sin x + 4cos x ) dx Hướng dẫn giải: 1 = − A + B A =1 sin x + 3cos x − A(cos x − sin x) + B (sin x + cos x + 2) + C a) Ta có phân tích = → 3 = A + B ⇔ B = sin x + cos x + sin x + cos x + −1 = B + C C = −5 (cos x − sin x) + 2(sin x + cos x + 2) − (cos x − sin x)dx dx Từ I1 = ∫ + ∫ dx − 5∫ = dx = ∫ sin x + cos x + sin x + cos x + sin x + cos x + d (sin x + cos x + 2) =∫ + x − J = ln sin x + cos x + + x − J sin x + cos x + dx 1 x 2dt = 1 + tan dx → dx = dt = cos x 2 1+ t2 dx x 2t → sin x = Xét J = ∫ Đặt t = tan sin x + cos x + 2 1+ t2 1− t2 cos x = 1+ t2 2dt 2d ( t + 1) dx 2dt 2dt 1+ t2 =∫ =∫ =∫ =∫ = Khi J = ∫ 2 2 2t 1− t sin x + cos x + 2t + − t + + 2t t + 2t + + + t ( ) + +2 1+ t2 1+ t2 x x tan + tan + t +1 = arctan → I1 = ln sin x + cos x + + x − arctan + C1 + C + C = arctan 2 43 A=− A ( 3cos x − 4sin x ) + B ( 3sin x + 4cos x ) 7 = −4 A + 3B sin x − 5cos x 25 b) Ta có phân tích = → ⇔ 2 ( 3sin x + 4cos x ) ( 3sin x + 4cos x ) −5 = A + B B = 25 43 − ( 3cos x − 4sin x ) + ( 3sin x + 4cos x ) 7sin x − 5cos x 25 25 Từ ta có I = ∫ dx = ∫ dx = 2 ( 3sin x + 4cos x ) ( 3sin x + 4cos x ) ( ) =− = 43 ( 3cos x − 4sin x ) dx 43 d ( 3sin x + 4cos x ) dx dx =− ∫ + ∫ = dx + ∫ 2 ∫ 25 ( 3sin x + 4cos x ) 25 3sin x + 4cos x 25 ( 3sin x + 4cos x ) 25 3sin x + 4cos x 43 + J 25 ( 3sin x + cos x ) 25 dx 1 x 2dt = 1 + tan dx → dx = x cos 2 2 1+ t2 2t sin x = 1+ t2 1− t2 cos x = 1+ t2 dt = Xét J = ∫ dx x → Đặt t = tan 3sin x + cos x Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH Luyện giải đề để đạt điểm Toán trở lên! DeThiMau.vn www.moon.vn Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân LUYỆN THI ĐẠI HỌC MƠN TỐN – Thầy Hùng 2dt dt dt (2t − 1) − 2(t + 2) 1+ t2 = = =− dt = 2 (2t − 1)(t + 2) (2t − 1)(t + 2) 6t 4(1 − t ) 2t + 3t − − 1+ t2 1+ t2 x tan − dt 1 2t − 1 = − ln t + + = − ln t + + ln 2t − + C1 = ln + C = ln + C1 x 5 2t − 5 t+2 tan + 2 x tan − 43 Vậy I = + ln + C x 25 ( 3sin x + 4cos x ) 125 tan + 2 dx J= = 3sin x + 4cos x ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ Ví dụ Tính nguyên hàm sau: a) I1 = ∫ 8cos x − sin x + dx 3sin x + 2cos x + b) I = ∫ 5cos x − sin x + dx sin x + cos x + c) I = ∫ 4sin x − 3cos x + dx (2sin x + cos x + 2) b) I = ∫ 5sin x − dx 2sin x − cos x − Ví dụ Tính nguyên hàm sau: a) I1 = ∫ sin x − 3cos x + dx 2sin x − cos x − b) I = ∫ 4cos x − 3sin x + dx (sin x + 2cos x + 2)2 c) I = ∫ sin x dx sin x + cos x d) I = ∫ cos x dx sin x − cos x e) I = ∫ sin x − cos x + dx sin x + 2cos x + f) I = ∫ sin x + 3cos x − dx sin x + cos x + Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH Luyện giải đề để đạt điểm Toán trở lên! DeThiMau.vn www.moon.vn ... + C ′ ∫ ∫ ∫ Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH Luyện giải đề để đạt điểm Toán trở lên! DeThiMau.vn ∫ www.moon.vn Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân LUYỆN THI ĐẠI HỌC MƠN TỐN – Thầy Hùng = m ln A′ sin x... 3sin x + cos x Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH Luyện giải đề để đạt điểm Toán trở lên! DeThiMau.vn www.moon.vn Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân LUYỆN THI ĐẠI HỌC MƠN TỐN – Thầy Hùng 2dt dt dt (2t −.. .Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân LUYỆN THI ĐẠI HỌC MƠN TỐN – Thầy Hùng x π d − dx dx dx 1 = tan x − π + C