Chuyên đề luyện thi đại học môn toán Bài 4: Nguyên hàm của hàm hữu tỷ41997

Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân LUYỆN THI ĐẠI HỌC MƠN TỐN – Thầy Hùng Tài liệu giảng: 04 NGUYÊN HÀM CỦA HÀM HỮU TỶ $ P2 Thầy Đặng Việt Hùng Xét nguyên hàm hàm phân thức hữu tỉ I = ∫ P ( x) dx Q( x) Nguyên tắc giải: Khi bậc tử số P(x) lớn Q(x) ta phải chia đa thức để quy nguyên hàm có bậc tử số nhỏ mẫu số II MẪU SỐ LÀ TAM THỨC BẬC HAI (tiếp theo) Khi Q(x) = ax2 + bx + c Ta có ba khả xảy với Q(x) TH1: Q(x) = có nghiệm phân biệt x1 x2 TH2: Q(x) = có nghiệm kép →I = ∫ Khi Q(x) biểu diễn dạng Q( x) = ( ax + b )  P( x) ( ax + b )2 dx   dx = a d ( ax + b ) Nếu P(x) số ta sử dụng biến đổi sau   du = − + C  ∫ u u m bm ( ax + b ) + n − mx + n dx bm  dx  a dx = m Nếu P ( x) = mx + n  →I = ∫ +n − dx = ∫ a ∫ ∫ 2 a ax + b  a  ( ax + b ) ( ax + b ) ( ax + b ) bm n− m d ( ax + b ) a d ( ax + b ) = m ln ax + b −  na − bm  + C = 2∫ +   ax + b a ∫ ( ax + b )2 a a  a  ax + b Nếu P(x) có bậc lớn ta chia đa thức, quy tốn hai trường hợp có bậc P(x) để giải Chú ý: t −b  x = → Ngoài cách giải nêu trên, dạng nguyên hàm có cách giải tổng quát đặt t = ax + b  a dt = adx Ví dụ Tìm ngun hàm hàm số sau: 2dx dx dx a) I1 = b) I = ∫ c) I = 6x + 9x + x − 2x + 25 x − 10 x + Hướng dẫn giải: 2dx dx d ( x − 1) 2 a) I1 = =2 =2 =− + C  → I1 = − + C 2 x −1 x −1 x − 2x + ( x − 1) ( x − 1) dx dx d (3x + 1) 1 b) I = ∫ =∫ = ∫ =− + C  → I2 = − + C 2 6x + 9x + (3 x + 1) (3 x + 1) 3(3 x + 1) 3(3 x + 1) dx dx d (5 x − 1) 1 c) I = ∫ =∫ = ∫ =− + C  → I3 = − + C 2 25 x − 10 x + (5 x − 1) (5 x − 1) 5(5 x − 1) 5(5 x − 1) ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ Ví dụ Tìm ngun hàm hàm số sau: 2x −1 4x2 − a) I = dx b) = I ∫ x + 12 x + dx x2 + x + Hướng dẫn giải: 2x − 2x −1 dx = dx a) I = 4x + 4x + ( x + 1)2 ∫ ∫ c) I = ∫ 9x − 5x dx − 24 x + 16 ∫ Học trực tuyến tại: www.moon.vn DeThiMau.vn Mobile: 0985.074.831 Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân LUYỆN THI ĐẠI HỌC MƠN TỐN – Thầy Hùng Cách 1: 2 x = t − Đặt t = x +  →  → I4 =  dt = 2dx 2x −1 ∫ ( x + 1) dx = ∫ 2dt  1 t − dt  dt =  − = ln t + + C 2  t t 2 t t  ∫ 1  → I = ln x + + + C 2x + Cách 2: (8 x + ) − (8 x + ) dx − 2x −1 = I4 = dx dx = 2 4 x2 + x + 4x + 4x + 4x + 4x + ∫ ∫ ( ) ∫ ∫ dx ∫ ( x + 1) = ( ) d ( x + 1) d 4x + 4x + − 4x + 4x + ( x + 1)2 ∫ ∫ d ( x + 1) 1 d 4x + 4x + 1 1 = − = ln x + x + + + C = ln x + + + C 2 2x + 2x + 4x + 4x + ( x + 1) ∫ b) I = ∫ c) I = ∫ d ( x + 3) 4x2 − 12 x + 12  dx  dx = ∫ 1 − = x − 6∫ =x+ + C  dx = ∫ dx − 12 ∫ 2 x + 12 x + 2x +  x + 12 x +  ( x + 3) ( x + 3) ∫ 9x − 5x dx = − 24 x + 16 − 5x ∫ ( 3x − ) dx Cách 1: 5(t + 4) t+4  1− − 5x 5t + 17 dt x = Đặt t = x −  → → I6 = =− dx = dt  2 t t − x ( )  dt = 3dx 1 17  1 17  17 = −  5ln t −  + C  → I = −  5ln x − − + C  + C = − ln x − + 9 t  9 3x −  9(3x − 4) Cách 2: 17 − ( 3x − ) − dx dx − 5x 17 d ( x − ) 17 d ( 3x − ) 3 dx = − I6 = dx = − =− − 2 3x − ( x − ) 3x − ( 3x − )2 ( 3x − ) ( 3x − ) ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 17 17 = − ln 3x − + + C  → I = − ln 3x − + + C 9 3x − 9 ( 3x − ) TH3: Q(x) = vô nghiệm b  4ac − b 2  Khi đó, Q(x) biểu diễn dạng Q( x) = ax + b + c = a  x + ≡ ( mx + n ) + k  + 2a  4a    dx = a d ( ax + b ) Nếu P(x) số ta sử dụng biến đổi sau  du u  = arctan   + C ∫ 2  u + a a a Nếu P(x) = αx + β ta có phân tích sau: α bα ( 2ax + b ) + β − αx + β dx 2a dx = α ( 2ax + b ) dx dx +  β − bα  I =∫ dx = ∫ 2a  ∫ ∫ 2 2a ax + bx + c 2a  ax + bx + c ax + bx + c ax + bx + c  bα β− α d ax + bx + c bα  dx α dx  2a = = dx +  β −  ∫ ln ax + bx + c + ∫ ∫ 2 2 2a 2a   2a a ax + bx + c  b  4ac − b b  4ac − b  a x + x + +    + 2a  4a 2a  4a   b  bα    bα dx+ 2β −  β−  2ax + b α α 2a  2a   2a = ln ax + bx + c + = ln ax + bx + c +  arctan + C ∫ 2 2a a 2a b  4ac − b  4ac − b 4ac − b x+  + 2a  4a  ( ) Học trực tuyến tại: www.moon.vn DeThiMau.vn Mobile: 0985.074.831 Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân LUYỆN THI ĐẠI HỌC MƠN TỐN – Thầy Hùng Nếu P(x) có bậc lớn ta chia đa thức, quy toán hai trường hợp có bậc P(x) để giải Nhận xét: Nhìn vào biểu thức tốn tổng qt ban đầu làm cho bạn phát hoảng, đừng bận tâm đến nó, bạn cần nắm ý tưởng thực phân tích tử số có chứa đạo hàm mẫu số, tách thành hai toán nhỏ thuộc dạng đơn giản học Ví dụ Tìm nguyên hàm hàm số sau: dx dx dx a) I1 = b) I = ∫ c) I = 4x + 4x + x + 2x + x + 24 x + 20 Hướng dẫn giải: d ( x + 1) dx dx  x +1 = = = arctan  a) I1 =  + C 2 x + 2x +   ( x + 1) + ( x + 1)2 + ∫ ∫ ∫ ∫ b) I = ∫ c) I = ∫ d ( x + 1) 1 dx dx =∫ = ∫ = arctan ( x + 1) + C 2 4x + 4x + ( x + 1) + ( x + 1) + 2 dx = x + 24 x + 20 ∫ ( ) dx ∫ ( 3x + ) +4 = d ( 3x + ) ∫ ( 3x + )  3x +  = arctan   + C   +2 Ví dụ Tìm nguyên hàm hàm số sau: 3x + x4 − x 4x −1 = a) I = dx b) c) I dx I dx = ∫ 6x2 + 9x + x + x + 10 x2 + 2x + Hướng dẫn giải: 17 ( x + 1) + 3x + dx 4 dx = ( x + 1) dx + 17 a) I = dx = 2 2 x + x + 10 x + x + 10 x + x + 10 x + x + 10 ∫ = ∫ ∫ d (2x ∫ + x + 10 ) + 17 ) ∫ ∫ ∫ ( ) dx 17 dx = ln x + x + 10 + x  x + x + 10  79 x2 + + x + +   16  1  dx+  17 17  4x +  4  = ln x + x + 10 + = ln x + x + 10 + arctan   + C 2  79  79    79    x +  +      17  4x +  Vậy I = ln x + x + 10 + arctan   + C 79  79  (12 x + ) − 4x − 1 (12 x + ) dx dx b) I = ∫ dx = ∫ dx = ∫ dx − 4∫ 6x + 9x + 6x + 9x + 6x + 9x + 6x + 9x + d ( x + 1) d (6x + 9x + 4) dx = ∫ = ln ( x + x + ) − ∫ dx − 4∫ 2 6x + 9x + ( x + 1)2 + ( 3x + 1) + 3 ∫ ( ∫ ( ∫ ( ) ) ( ) 1  3x +   3x +  = ln ( x + x + ) − arctan  + C  → I = ln ( x + x + ) − arctan    + C 3 3 3     x4 − x 25 x −  x3 25 x −  c) I = dx =  x − x + + dx = − 2x2 + x + dx  x + 2x + x + 2x +  x + 2x +  25 ( x + ) − 32 25 x − 25 ( x + ) dx dx Đặt J = dx = 2 dx = dx − 32 2 x + 2x + x + 2x + x + 2x + x + 2x + ∫ ∫ ∫ ∫ Học trực tuyến tại: www.moon.vn ∫ ∫ ∫ DeThiMau.vn Mobile: 0985.074.831 Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân LUYỆN THI ĐẠI HỌC MƠN TỐN – Thầy Hùng ( ) 25 d x + x + = dx − 32 x2 + x + ∫ dx ∫ ( x + 1) +6 = ( ) 25 ln x + x + − 32 ∫ d ( x + 1) ( x + 1)2 + ( ) x +1 25 32 x3 25 32  x +1 ln x + x + − arctan  → I6 = − x + x + ln x + x + − arctan   + C 6   Tổng kết: Qua ba phần trình bày hàm phân thức có mẫu số bậc hai, nhận thấy điểm mấu chốt giải toán xử lý mẫu số P ( x) 1 A B  ax + bx + c = a ( x − x1 )( x − x2 )  → =  +  ax + bx + c a  x − x1 x − x2  ( Nếu ) P ( x) ax + bx + c ( ) du u = arctan + C α α u +α du →∫ = − + C ax + bx + c = ( mx + n )  u u →∫ ax + bx + c = ( mx + n ) + k  2 BÀI TẬP LUYỆN TẬP: 4x −1 dx x + 2x + x − 3x + 10) I10 = ∫ dx 4x − 4x + − 3x 13) I13 = ∫ dx x − 4x + 2x −1 16) I16 = ∫ dx x −x+4 3x + dx 4x + 4x + x + 3x + 11) I11 = ∫ dx x − 4x + 3x + 14) I14 = ∫ dx x + x+2 x +1 17) I17 = ∫ dx 4x + x + 7) I = ∫ 8) I8 = ∫ 3x + dx x2 + x + − 2x 12) I12 = ∫ dx x − 6x + dx 15) I15 = ∫ 2x − x + 4x + 18) I18 = ∫ dx x − x +1 9) I = ∫ III MẪU SỐ LÀ ĐA THỨC BẬC BA Khi Q(x) = ax3 + bx2 + cx + d Ta có bốn khả xảy với Q(x) TH1: Q(x) = có nghiệm phân biệt x1; x2; x3 Tương tự trường hợp mẫu số bậc hai có hai nghiệm phân biệt Ta có cách giải truyền thống phân tích đồng hệ số Ngồi ta cịn sử dụng phương pháp biến đổi tử số chứa đạo hàm mẫu (tùy thuộc vào biểu thức tử số bậc mấy) P ( x) A B C Ta có Q( x) = ax + bx + cx + d = a ( x − x1 )( x − x2 ) ( x − x3 )  → = + + Q ( x) x − x1 x − x2 x − x3 Đồng hệ số hai vế ta A, B, C Bài toán quy nguyên hàm có mẫu số bậc xét Chú ý: Để việc đồng được, ta phải tuân thủ nguyên tắc biến đổi cho bậc tử số phải nhỏ bậc mẫ u s ố Ví dụ Tìm nguyên hàm hàm số sau: dx x2 + x − 3x − x + 3x − = = a) I1 = b) I dx c) I dx x x2 − x x2 + x − ( x − 2) x2 − ∫ ( ∫ ( ) ∫ ( ) ) Hướng dẫn giải: a) I1 = Ta có dx ∫ ( x − 2) ( x dx ∫ ( x − 2)( x + 3)( x − 3) − 9) = A B C = + +  → ≡ A( x − 9) + B( x − 2)( x − 3) + C ( x − 2)( x + 3) x − x + x − x − x + x − ( )( )( ) Học trực tuyến tại: www.moon.vn DeThiMau.vn Mobile: 0985.074.831 Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân LUYỆN THI ĐẠI HỌC MƠN TỐN – Thầy Hùng  A = − 0 = A + B + C    ⇔ 0 = −5B + C ⇔ B = 30 1 = −9 A + B − 6C    C =  Nhận xét: Ngoài cách giải truyền thống trên, biến đổi cách khác sau mà khơng nhiều thời gian cho việc tính tốn, suy nghĩ: dx ( x + 3) − ( x − 3) dx dx I1 = = dx = dx − ( x − )( x − 3) ( x − )( x + 3) ( x − )( x + 3)( x − 3) ( x − )( x + 3)( x − 3) Đến đây, toán trở dạng biến đổi đơn giản xét đến! x2 + x − x2 + x − = b) I = dx dx x ( x + 1)( x − 1) x x2 − ∫ ∫ ∫ ( ∫ ∫ ) Cách 1: Ta có ∫ x2 + x − A B C = + +  → x + x − ≡ A( x − 1) + Bx( x − 1) + Cx( x + 1) x ( x + 1)( x − 1) x x + x −  A =   6 = A + B + C  2  3   ⇔ 1 = − B + C ⇔  B =  → I =  + +  dx = 2ln x + ln x + + ln x − + C 2  x x +1 x −1  −2 = − A      C = ∫ Cách 2: I = =2 ∫ ( d x3 − x x −x x2 + x − ∫ x(x ) dx + ) −1 dx = ∫ ( ) x − + ( x − 1) + x −x dx dx ∫ x( x + 1) + ∫ x( x − 1)( x + 1) = 2ln x dx = ∫ ( 3x ) − dx x −x dx + ∫ ( x − 1) dx + x −x ∫x dx = −x −x +J +K ( x + 1) − x  x 1 dx =  −  dx = ln x − ln x + = ln x( x + 1) x +1  x x +1 dx ( x + 1) − x dx dx x − ( x − 1) ( x + 1) − ( x − 1) K= = dx = − = dx − dx = x( x − 1)( x + 1) x( x − 1)( x + 1) x( x − 1) x( x − 1) ( x + 1)( x − 1) ( x + 1)( x − 1) Với J = dx ∫ x( x + 1) = ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ x − ( x − 1) ( x + 1) − ( x − 1) 1  1  x −1 x −1  −  dx − − − ln dx − dx =    dx = ln ( x + 1)( x − 1)  x −1 x +1  x +1 x( x − 1) x  x −1 x  x x −1 x −1 Từ ta I = 2ln x3 − x + ln + ln − ln + C x +1 x x +1 Nhận xét: Cách phân tích chưa thực tối ưu, em tìm lời giải khác thơng minh nhé!   2 3x − x + 3x − 3x − + x − 3x +  dx = x − x + J c) I = dx =  x x2 + x − x x2 + x −    x − 3x + x − 3x + Với J = dx dx = x ( x − 1)( x + ) x x2 + x − = ∫ Ta có ∫ ∫ ∫ ( ) ∫ ( ) ∫ ∫ ( ) ∫ x − 3x + A B C = + +  → x − x + ≡ A( x − 1)( x + 2) + Bx( x + 2) + Cx( x − 1) x ( x − 1)( x + ) x x − x +  A=− 15    A B C = + +  −2   15  ⇔ −3 = A + B − C ⇔  B =  →J =  + +  dx = − ln x + 4ln x − + ln x + + C x −1 x +  2  x   15 7 = −2 A   C =  ∫ Học trực tuyến tại: www.moon.vn DeThiMau.vn Mobile: 0985.074.831 Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân LUYỆN THI ĐẠI HỌC MƠN TỐN – Thầy Hùng Vậy I = 3x 15 − x − ln x + 4ln x − + ln x + + C 2 BÀI TẬP LUYỆN TẬP: 1) I1 = ∫ dx x( x − 1) 2) I = ∫ 2x +1 dx ( x + 1)( x − 9) 3) I = ∫ x2 + x + dx ( x + 2)( x + x + 3) 4) I = ∫ 5x + dx (1 + x)(4 − x ) 5) I = ∫ x +1 dx x( x − 4) 6) I = ∫ x2 dx ( x − 1)( x + 2) Học trực tuyến tại: www.moon.vn DeThiMau.vn Mobile: 0985.074.831 ... ∫ Học trực tuyến tại: www.moon.vn DeThiMau.vn Mobile: 0985.074.831 Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân LUYỆN THI ĐẠI HỌC MƠN TỐN – Thầy Hùng Vậy I = 3x 15 − x − ln x + 4ln x − + ln x + + C 2 BÀI... + 3) x − x + x − x − x + x − ( )( )( ) Học trực tuyến tại: www.moon.vn DeThiMau.vn Mobile: 0985.074.831 Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân LUYỆN THI ĐẠI HỌC MƠN TỐN – Thầy Hùng  A = − 0 = A... + 2x + x + 2x + x + 2x + ∫ ∫ ∫ ∫ Học trực tuyến tại: www.moon.vn ∫ ∫ ∫ DeThiMau.vn Mobile: 0985.074.831 Chuyên đề Ngun hàm – Tích phân LUYỆN THI ĐẠI HỌC MƠN TOÁN – Thầy Hùng ( ) 25 d x + x +