Đang tải... (xem toàn văn)
Toán học được sử dụng trên khắp thế giới như một công cụ thiết yếu trong nhiều lĩnh vực, bao gồm khoa học, kỹ thuật, y học, và tài chính. Toán học ứng dụng, một nhánh toán học liên quan đến việc ứng dụng kiến thức toán học vào những lĩnh vực khác, thúc đẩy và sử dụng những phát minh toán học mới, từ đó đã dẫn đến việc phát triển nên những ngành toán hoàn toàn mới, chẳng hạn như thống kê và lý thuyết trò chơi. Các nhà toán học cũng dành thời gian cho toán học thuần túy, hay toán học vị toán học. Không có biên giới rõ ràng giữa toán học thuần túy và toán học ứng dụng, và những ứng dụng thực tiễn thường được khám phá từ những gì ban đầu được xem là toán học thuần túy
Chuyên đề 1 Khảo Sát Sự Biến Thiên Và Vẽ Đồ Thị Hàm Số §1. Tính Đơn Điệu Của Hàm Số A. Kiến Thức Cần Nhớ Định lý 1.1. Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng I. • Nếu f (x) > 0, ∀x ∈ I thì y = f(x) đồng biến trên I. • Nếu f (x) < 0, ∀x ∈ I thì y = f(x) nghịch biến trên I. • Nếu f (x) = 0, ∀x ∈ I thì y = f(x) không đổi trên I. Lưu ý. • Nếu f (x) ≥ 0, ∀x ∈ I và f (x) = 0 tại hữu hạn điểm của I thì y = f(x) đồng biến trên I. • Khoảng I ở trên có thể được thay bởi một đoạn hoặc nửa khoảng với giả thiết bổ sung: “Hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn hoặc nửa khoảng đó”. B. Kỹ Năng Cơ Bản 1. Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số. • Tìm tập xác định. Tính y . Tìm các điểm tại đó y bằng 0 hoặc không xác định. • Lập bảng biến thiên. Từ bảng biến thiên rút ra kết luận. 2. Điều kiện để hàm số luôn đồng biến, nghịch biến. • Tìm tập xác định D f . • Tính y và chỉ ra y ≥ 0, ∀x ∈ D f (hoặc y ≤ 0, ∀x ∈ D f ). C. Bài Tập 1.1. Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số sau a) y = 2x 3 − 3x 2 + 1. b) y = −x 3 − 3x + 2. c) y = x 3 + 3x 2 + 3x. d) y = x 4 − 2x 2 + 3. e) y = −x 4 + 2x 3 − 2x − 1. f) y = √ x 2 − 2x − 3. g) y = 2x + 3 x + 2 . h) y = x + 2 3x −1 . i) y = x 2 − 4x + 4 1 − x . 1.2. Tìm m để hàm số y = x 3 + (m − 1) x 2 + m 2 − 4 x + 9 luôn đồng biến trên R. 1.3. Tìm m để hàm số y = −mx 3 + (3 − m) x 2 − 2x + 2 luôn nghịch biến trên R. 1.4. Tìm m để hàm số y = mx −2 m −x luôn đồng biến trên mỗi khoảng xác định. 1.5. Tìm m để hàm số y = mx −2 x + m − 3 luôn nghịch biến trên mỗi khoảng xác định. 1.6. Tìm m để hàm số y = x + 2 + m x −1 luôn đồng biến trên mỗi khoảng xác định. 1.7. Tìm m để hàm số y = mx + 4 x + m nghịch biến trên (−∞; 1). 1.8. Tìm m để hàm số y = mx −2 x + m − 3 nghịch biến trên (1; +∞). 1 1.9. Tìm a để hàm số y = x 3 + 3x 2 + ax + a nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 1. 1.10. Tìm m để hàm số y = −x 3 + 3x 2 + mx + 2 đồng biến trên đoạn có độ dài bằng 3. §2. Cực Trị Của Hàm Số A. Kiến Thức Cần Nhớ Định lý 1.2. Giả sử hàm số y = f(x) đạt cực trị tại x 0 . Khi đó, nếu y = f(x) có đạo hàm tại x 0 thì f (x 0 ) = 0. Định lý 1.3. Giả sử hàm số y = f(x) liên tục trên khoảng (a;b) chứa x 0 và có đạo hàm trên (a; x 0 ), (x 0 ; b). Khi đó • Nếu f (x) < 0, ∀x ∈ (a; x 0 ) và f (x) > 0, ∀x ∈ (x 0 ; b) thì hàm số y = f(x) đạt cực tiểu tại x 0 . • Nếu f (x) > 0, ∀x ∈ (a; x 0 ) và f (x) < 0, ∀x ∈ (x 0 ; b) thì hàm số y = f(x) đạt cực đại tại x 0 . Định lý 1.4. Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm cấp một trên (a; b) và có đạo hàm cấp hai khác 0 tại x 0 . Khi đó • Nếu f (x 0 ) = 0 f (x 0 ) < 0 thì hàm số đạt cực đại tại x 0 . • Nếu f (x 0 ) = 0 f (x 0 ) > 0 thì hàm số đạt cực tiểu tại x 0 . Lưu ý. Nếu y (x 0 ) = 0 thì hàm số có thể đạt cực trị hoặc không đạt cực trị tại x 0 . B. Kỹ Năng Cơ Bản 1. Tìm cực trị của hàm số. • Tìm tập xác định. Tính y . Tìm các điểm tại đó y bằng 0 hoặc không xác định. • Lập bảng biến thiên. Từ bảng biến thiên rút ra kết luận. 2. Điều kiện để hàm số có cực trị, có k cực trị. • Sử dụng ĐL 1.3 và ĐL 1.4. 3. Điều kiện để hàm số đạt cực trị tại x 0 . • Tính y , y . Hàm số đạt cực trị tại x 0 ⇒ y (x 0 ) = 0 ⇒ m. • Thay m và x 0 vào y để kết luận. Lưu ý. Nếu y (x 0 ) = 0 thì phải kiểm tra dấu của y để kết luận. C. Bài Tập 1.11. Tìm cực trị của các hàm số sau a) y = 2x 3 − 3x 2 + 1. b) y = −x 3 − 3x + 2. c) y = x 3 + 3x 2 + 3x. d) y = x 4 − 2x 2 + 3. e) y = −x 4 + 2x 3 − 2x − 1. f) y = √ x 2 − 2x − 3. g) y = 2x + 3 x + 2 . h) y = x + 2 3x −1 . i) y = x 2 − 4x + 4 1 − x . 1.12. Tìm m để hàm số y = x 3 − 3mx 2 + 3 (2m − 1) x − 2 a) Có cực trị. b) Đạt cực trị tại x = 0. c) Đạt cực đại tại x = 1. 1.13. Cho hàm số y = 1 3 x 3 − mx 2 + m 2 − m + 1 x + 1. Với giá trị nào của m thì hàm số a) Đạt cực đại tại x = 1. b) Có cực đại, cực tiểu. c) Không có cực trị. 1.14. Cho hàm số y = x 4 − 2 (m + 1) x 2 + 2m + 1. Với giá trị nào của m thì hàm số a) Có ba điểm cực trị. b) Đạt cực tiểu tại x = 0. c) Đạt cực trị tại x = 1. 1.15. Tìm m để hàm số y = −x 4 + 2 (2m − 1) x 2 + 3 có đúng một cực trị. 1.16. (B-02) Tìm m để hàm số y = mx 4 + m 2 − 9 x 2 + 10 có ba điểm cực trị. 1.17. Xác định giá trị của m để hàm số y = x 2 + mx + 1 x + m a) Không có cực trị. b) Đạt cực tiểu tại x = 1. c) Đạt cực đại tại x = 2. 2 Chuyên đề 1. Khảo Sát Sự Biến Thiên Và Vẽ Đồ Thị Hàm Số §3. Giá Trị Lớn Nhất Và Giá Trị Nhỏ Nhất Của Hàm Số A. Kiến Thức Cần Nhớ Định nghĩa 1.5. Cho hàm số y = f (x) xác định trên tập hợp D. Khi đó • M = max x∈D f(x) ⇔ f(x) ≤ M,∀x ∈ D ∃x 0 ∈ D : M = f(x 0 ) . • m = min x∈D f(x) ⇔ f(x) ≥ m, ∀x ∈ D ∃x 0 ∈ D : m = f(x 0 ) . Lưu ý. • Mọi hàm số liên tục trên một đoạn đều có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên đoạn đó. • Trên khoảng hoặc nửa khoảng hàm số có thể có hoặc không có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất. B. Kỹ Năng Cơ Bản 1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên miền D. • Tính y , y = 0 ⇒ x i ∈ D. • Lập bảng biến thiên. Từ bảng biến thiên rút ra kết luận. 2. Xét tính đơn điệu trên khoảng cho trước. PP1: • Tính y và chỉ ra y ≥ 0, ∀x ∈ D (hoặc y ≤ 0, ∀x ∈ D). • Từ y ≥ 0, ∀x ∈ D ⇒ m ≥ g(x), ∀x ∈ D. • Lập bảng biến thiên của g(x) trên D. Từ bảng biến thiên rút ra kết luận. PP2: • Tính y . Tìm các điểm tại đó y = 0 hoặc không xác định. • Lập bảng biến thiên. Từ bảng biến thiên rút ra kết luận. Lưu ý. • m ≥ f(x), ∀x ∈ D ⇔ m ≥ max x∈D f(x). • m ≤ f(x), ∀x ∈ D ⇔ m ≤ min x∈D f(x). C. Bài Tập 1.18. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (nếu có) của các hàm số sau: a) y = 1 + 8x −2x 2 trên [−1;3]. b) y = x 3 − 3x 2 + 1 trên [−2; 3]. c) y = 1 + 4x 3 − 3x 4 trên [−2;1]. d) y = x 3 − 3x 2 + 1 trên (1; 4). e) y = x −5 + 1 x trên (0; +∞). f) y = x − 1 x trên (0; 2]. g) y = 4 1 + x 2 . h) y = x 4 + 2x 2 − 1. i) y = x + √ 4 − x 2 . 1.19. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (nếu có) của các hàm số sau a) y = x + √ 2 cos x trên 0; π 2 . b) y = 2 sin x − 4 3 sin 3 x trên [0; π]. c) y = sin 4 x −4sin 2 x + 5. d) y = sin 4 x + cos 4 x. e) y = 5 sin x −12 cos x −5. f) y = sin 2 x + sin 2x + 2cos 2 x. 1.20. Cho parabol (P ) : y = x 2 và điểm A (−3; 0). Tìm điểm M ∈ (P) sao cho khoảng cách AM ngắn nhất và tính khoảng cách đó. 1.21. Tìm m để hàm số y = x 3 + 3x 2 − mx − 4 đồng biến trên (−∞; 0). 1.22. (BĐT-79) Tìm m để hàm số y = − 1 3 x 3 + (m − 1) x 2 + (m − 3) x − 4 đồng biến trên (0; 3). 1.23. Tìm m để hàm số y = mx 3 − 3 (m − 1) x 2 + 9 (m − 2) x + 1 đồng biến trên [2; +∞). 1.24. Tìm m để hàm số y = x 3 + 3x 2 + (m + 1) x + 4m đồng biến trên (−∞; −2) và (2; +∞). 1.25. (BĐT-50) Tìm m để hàm số y = mx 2 + 6x − 2 x + 2 nghịch biến trên [1; +∞). 1.26. Tìm m để hàm số y = x 2 − 2mx + 2m 2 − 2 x −m đồng biến trên (1; +∞). 1.27. Tìm a để hàm số y = x 2 − 2ax + 4a 2 x −2a đồng biến trên (2; +∞). 3 §4. Đường Tiệm Cận Của Đồ Thị Hàm Số A. Kiến Thức Cần Nhớ Định nghĩa 1.6. Đường thẳng y = y 0 được gọi là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = f(x) nếu lim x→+∞ f(x) = y 0 hoặc lim x→−∞ f(x) = y 0 . Định nghĩa 1.7. Đường thẳng x = x 0 được gọi là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = f(x) nếu lim x→x + 0 f(x) = +∞; lim x→x + 0 f(x) = −∞; lim x→x − 0 f(x) = +∞ hoặc lim x→x − 0 f(x) = −∞. Định nghĩa 1.8. Đường thẳng y = ax + b, (a = 0) được gọi là đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số y = f(x) nếu lim x→+∞ [f(x) − (ax + b)] = 0 hoặc lim x→−∞ [f(x) − (ax + b)] = 0. B. Kỹ Năng Cơ Bản 1. Tìm tiệm cận ngang và tiệm cận đứng. • Tìm lim x→±∞ f(x) ⇒TCN. • Tìm lim x→x ± 0 f(x) ⇒TCĐ. Lưu ý. x 0 thường là một nghiệm của mẫu. 2. Tìm tiệm cận xiên. C1: Viết lại hàm số dưới dạng y = ax + b + g(x). Chỉ ra lim x→±∞ [y − (ax + b)] = 0 ⇒TCX. C2: Tính a = lim x→±∞ f(x) x và b = lim x→∞ [f(x) − ax] ⇒TCX. C. Bài Tập 1.28. Tìm tiệm cận (nếu có) của các hàm số sau a) y = 2x −1 x −2 . b) y = x −3 −x + 2 . c) y = 3 −4x x + 1 . d) y = √ x 2 + x x −1 . e) y = √ x + 3 x + 1 . f) y = 2x −1 + 1 x . g) y = x 2 − 4x + 4 1 − x . h) y = x 2 + x − 1. i) y = x + x 2 + 2x. 1.29. Tìm m để đồ thị hàm số y = mx 2 − 2m (m − 1) x − 3m 2 + m − 2 x + 2 có tiệm cận xiên đi qua A (−1; −3). 1.30. Tìm m để hàm số y = 2x 2 + (m + 1) x − 3 x + m có giao hai tiệm cận nằm trên parabol (P ) : y = x 2 + 2x − 1. 1.31. (A-08) Tìm m để góc giữa hai tiệm cận của hàm số y = mx 2 + 3m 2 − 2 x − 2 x + 3m bằng 45 0 . 1.32. Tìm m để đồ thị hàm số y = x 2 + mx − 1 x −1 có tiệm cận xiên tạo với các trục toạ độ một tam giác có diện tích bằng 4. 1.33. Tìm m để đồ thị hàm số y = 2x 2 − (5m − 1) x + 4m 2 − m − 1 x −m có tiệm cận xiên tạo với các trục toạ độ một tam giác có diện tích bằng 4. 1.34. Cho hàm số y = 3x −1 x −2 . Chứng minh tích các khoảng cách từ điểm M nằm trên đồ thị hàm số đến hai tiệm cận không đổi. 1.35. (A-07) Cho hàm số y = −x 2 + 4x − 3 x −2 . Chứng minh tích các khoảng cách từ điểm M nằm trên đồ thị hàm số đến hai tiệm cận là một hằng số. 1.36. Tìm điểm M thuộc đồ thị hàm số y = 3x −5 x −2 để tổng khoảng cách từ M đến hai tiệm cận là nhỏ nhất. 1.37. Tìm điểm M thuộc đồ thị hàm số y = x 2 + 2x − 2 x −1 để tổng khoảng cách từ M đến hai tiệm cận là nhỏ nhất. 4 Chuyên đề 1. Khảo Sát Sự Biến Thiên Và Vẽ Đồ Thị Hàm Số §5. Khảo Sát Sự Biến Thiên Và Vẽ Đồ Thị Hàm Số A. Kiến Thức Cần Nhớ 1. Sơ đồ khảo sát tổng quát. 1. Tập xác định. 2. Sự biến thiên. • Giới hạn, tiệm cận (nếu có). • Bảng biến thiên (tính đạo hàm, lập bảng biến thiên, tính đơn điệu, cực trị). 3. Đồ thị. • Tương giao với các trục. • Tính đối xứng (nếu có). • Điểm đặc biệt (nếu cần). 2. Điểm uốn. Định nghĩa 1.9. Điểm U (x 0 ; f(x 0 )) được gọi là điểm uốn của đồ thị hàm số y = f(x) nếu tồn tại một khoảng (a; b) chứa điểm x 0 sao cho trên một trong hai khoảng (a; x 0 ) và (x 0 ; b) tiếp tuyến của đồ thị tại điểm U nằm phía trên đồ thị còn trên khoảng kia tiếp tuyến nằm phía dưới đồ thị. Mệnh đề 1.10. Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm cấp hai trên một khoảng chứa x 0 , f (x 0 ) = 0 và f (x) đổi dấu khi qua điểm x 0 thì U (x 0 ; f(x 0 )) là một điểm uốn của đồ thị hàm số y = f(x). B. Các Dạng Đồ Thị Khảo Sát • Hàm số y = ax 3 + bx 2 + cx + d (a = 0). • Hàm số y = ax 4 + bx 2 + c (a = 0). O O y y x x U U O O y y x x • Hàm số y = ax + b cx + d (c = 0, ad −bc = 0). • Hàm số y = ax 2 + bx + c dx + e (a = 0, d = 0). O O y y x x I I O O y y x x I I C. Bài Tập 1.38. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau a) y = x 3 + 3x 2 − 4. b) y = −x 3 + 3x − 2. c) y = −x 3 + 1. d) y = x 3 + 3x 2 + 3x + 1. e) y = x 3 + x − 2. f) y = −2x 3 − x − 3. g) y = −x 3 + 3x 2 − 1. h) y = 1 3 x 3 − x 2 − 3x − 5 3 . 1.39. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau a) y = x 4 − 2x 2 − 3. b) y = x 4 + 2x 2 − 1. c) y = 1 2 x 4 + x 2 − 3 2 . d) y = 3 −2x 2 − x 4 . e) y = −x 4 + 2x 2 − 2. f) y = 2x 4 − 4x 2 + 1. g) y = −2x 4 − 4x 2 + 1. h) y = x 4 − 4x 2 + 3. 1.40. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau a) y = 4 2 −x . b) y = x − 3 2 − x . c) y = x + 3 x −1 . d) y = −x + 2 2x + 1 . e) y = x −2 x + 1 . f) y = x + 2 x − 1 . g) y = 2 −x x + 1 . h) y = x + 3 x −2 . 5 1.41. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau a) y = x 2 + 2x + 2 x + 1 . b) y = x 2 − 2x − 3 x −2 . c) y = 2x 2 + 5x + 4 x + 2 . d) y = −x 2 − 2x x + 1 . e) y = x 2 − 2x x −1 . f) y = 2x 2 − x + 1 1 −x . g) y = −x + 2 + 1 x −1 . h) y = x − 1 + 1 x + 1 . 6 Chuyên đề 2 Phương Trình - Bất Phương Trình & Hệ Phương Trình Đại Số §1. Phương Trình & Bất Phương Trình Không Chứa Căn A. Phương Pháp Giải Cơ Bản 1. Đưa về phương trình tích. • Biến đổi đưa phương trình về dạng f(x).g(x) = 0. • Áp dụng công thức f(x).g(x) = 0 ⇔ f(x) = 0 g(x) = 0 . 2. Đặt ẩn phụ. • Chọn ẩn phụ t = u(x) phù hợp. • Đưa phương trình về phương trình theo ẩn t đã biết cách giải (phương trình có thể vẫn chứa x). 3. Phuơng pháp khoảng (đối với phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối). • Lập bảng xét dấu các biểu thức trong dấu giá trị tuyệt đối. • Xét phương trình trên từng khoảng. Lưu ý. Nếu phương trình chỉ chứa một dấu trị tuyệt đối |f(x)| thì xét hai trường hợp f(x) ≥ 0 và f(x) < 0. B. Bài Tập 2.1. Giải các bất phương trình sau a) x 2 − 6x + 6 > 0. b) −4x 2 + x − 2 ≥ 0. c) x 4 − 4x 3 + 3x 2 + 8x − 10 ≤ 0. d) x 4 + x 2 + 4x − 3 ≥ 0. 2.2. Giải các bất phương trình sau a) x − 2 x 2 − 9x + 8 ≥ 0. b) x 2 − 3x − 2 x −1 ≥ 2x + 2. c) x + 5 2x −1 + 2x −1 x + 5 > 2. d) 1 x 2 − 5x + 4 < 1 x 2 − 7x + 10 . 2.3. Giải các phương trình sau a) x 3 − 5x 2 + 5x − 1 = 0. b) x 3 − 3 √ 3x 2 + 7x − √ 3 = 0. c) x 4 − 4x 3 − x 2 + 16x − 12 = 0. d) (x − 3) 3 + (2x + 3) 3 = 18x 3 . e) x 2 + 1 3 + (1 − 3x) 3 = x 2 − 3x + 2 3 . f) (4 + x) 2 − (x − 1) 3 = (1 − x) x 2 − 2x + 17 . 2.4. Giải các phương trình sau a) x 2 − 4x + 3 2 − x 2 − 6x + 5 2 = 0. b) x 4 = (2x − 5) 2 . c) x 4 + 3x 2 + 3 = 2x. d) x 4 − 4x − 1 = 0. e) x 4 = 6x 2 − 12x + 8. f) x 4 = 2x 3 + 3x 2 − 4x + 1. 2.5. Giải các phương trình sau a) (x + 3) 4 + (x + 5) 4 = 2. b) (x + 1) 4 + (x + 3) 4 = 16. c) (x + 3) 4 + (x − 1) 4 = 82. d) x 4 + (x − 1) 4 = 29 8 . 2.6. Giải các phương trình sau a) (x + 1) (x + 2) (x + 3) (x + 4) = 3. b) x 2 + 1 (x + 3) (x + 5) + 16 = 0. c) (x − 1) (x −2) (x −3) (x −6) = 3x 2 . d) x 2 − 2x + 4 x 2 + 3x + 4 = 14x 2 . 7 2.7. Giải các phương trình sau a) x 4 − 4x 3 + 6x 2 − 4x + 1 = 0. b) 2x 4 + 3x 3 − 16x 2 − 3x + 2 = 0. c) 2x 4 + 3x 3 − 27x 2 + 6x + 8 = 0. d) x 4 − 5x 3 + 8x 2 − 10x + 4 = 0. 2.8. Giải các phương trình sau a) x 2 + 5x 2 − 2 x 2 + 5x − 24 = 0. b) x 2 + x + 1 x 2 + x + 2 = 12. c) x 2 − 2x − 2 2 − 2x 2 + 3x + 2 = 0. d) (4x + 3) 2 (x + 1) (2x + 1) = 810. 2.9. Giải các phương trình sau a) 1 2x 2 − x + 1 + 1 2x 2 − x + 3 = 6 2x 2 − x + 7 . b) 4x 4x 2 − 8x + 7 + 3x 4x 2 − 10x + 7 = 1. c) x 2 + 1 x + x x 2 + 1 = − 5 2 . d) x −1 x + 2 2 + x − 3 x + 2 − 2 x −3 x −1 2 = 0. e) x 2 + x x + 1 2 = 1. f) 1 x 2 + x + 1 2 + 1 x 2 + x + 2 2 = 13 36 . 2.10. Giải các phương trình sau a) |x − 1| = x 2 − 3x + 1 . b) x 2 + 4x − 5 = x 2 + 5 . c) x 2 − 5x + 4 − x = 4. d) √ x 2 + 4x + 4 = 5 − x 2 . e) x 2 − 5x + 4 = x 2 + 6x + 5. f) x 2 − 5x + 5 = −2x 2 + 10x − 11. 2.11. Giải các phương trình sau a) x 2 − x 2 + x 2 − x − 6 = 0. b) 3 2x −1 x + 1 2 − x + 1 2x −1 − 6 = 0. c) x 2 + 3x − 10 + x 2 − 4 = 0. d) x 2 + 3x − 4 + x 2011 + 2011x − 2012 = 0. 2.12. Giải các bất phương trình sau a) |x − 2| < |2x + 1|. b) 2x −3 x −3 ≤ 1. c) x 2 − 5x + 4 ≤ x 2 + 6x + 5. d) x 2 − 2x + x 2 − 4 > 0. 2.13. Giải các phương trình sau a) |9 − x| = |6 −5x| + |4x + 3|. b) x 2 − 5x + 4 + x 2 − 5x = 4. c) |7 − 2x| = |5 −3x| + |x + 2|. d) |x − 1|− 2 |x − 2| + 3 |x − 3| = 4. e) √ x 2 − 2x + 1 + √ x 2 + 4x + 4 = 5. f) x + 2 √ x −1 + x − 2 √ x − 1 = 2. §2. Phương Trình & Bất Phương Trình Chứa Căn A. Phương Pháp Giải Cơ Bản 1. Sử dụng phép biến đổi tương đương. • f(x) = g(x) ⇔ f(x) ≥ 0 f(x) = g(x) . • f(x) = g(x) ⇔ g(x) ≥ 0 f(x) = g 2 (x) . • 3 f(x) = 3 g(x) ⇔ f(x) = g(x). • 3 f(x) = g(x) ⇔ f(x) = g 3 (x). • f(x) < g(x) ⇔ f(x) ≥ 0 g(x) > 0 f(x) < g 2 (x) . • f(x) > g(x) ⇔ g(x) < 0 f(x) ≥ 0 g(x) ≥ 0 f(x) > g 2 (x) . 2. Đặt ẩn phụ • Dạng 1: Đặt t = u(x), đưa phương trình về ẩn t (phương trình có thể vẫn chứa ẩn x). • Dạng 2. Đặt u = u(x); v = v(x), đưa phương trình về hệ theo ẩn u và v. 3. Sử dụng tính đơn điệu của hàm số. • Dự đoán nghiệm (nếu có). • Sử dụng tính đơn điệu của hàm số để chỉ ra phương trình chỉ có nghiệm đã dự đoán (hoặc chỉ ra PTVN). 4. Đánh giá hai vế. • Đánh giá f(x) ≥ A; g(x) ≤ A. Khi đó f(x) = g(x) ⇔ f(x) = A g(x) = A . 8 Chuyên đề 2. Phương Trình - Bất Phương Trình & Hệ Phương Trình Đại Số B. Bài Tập 2.14. Giải các phương trình sau a) x − √ x −1 −7 = 0. b) √ 2x + 9 = √ 4 − x + √ 3x + 1. c) √ 3x −3 − √ 5 − x = √ 2x −4. d) 2x + √ 6x 2 + 1 = x + 1. e) 3 √ 2x −1 + 3 √ x − 1 = 3 √ 3x + 1. f) 3 √ x + 1 + 3 √ x + 2 + 3 √ x + 3 = 0. 2.15. Giải các bất phương trình sau a) √ x 2 − 4x − 12 > 2x + 3. b) √ x 2 − 4x − 12 ≤ x − 4. c) 3 √ 6x −9x 2 < 3x. d) √ x 3 + 1 ≥ x + 1. 2.16. Giải các bất phương trình sau a) (CĐ-09) √ x + 1 + 2 √ x − 2 ≤ √ 5x + 1. b) (A-05) √ 5x −1 − √ x −1 > √ 2x −4. c) 2x + √ 6x 2 + 1 > x + 1. d) (A-04) 2 (x 2 − 16) √ x −3 + √ x − 3 > 7 −x √ x − 3 . 2.17. Giải các phương trình sau a) (D-05) 2 x + 2 + 2 √ x + 1 − √ x + 1 = 4. b) x −1 + 2 √ x + 2 − x −1 −2 √ x + 2 = 1. c) x + x + 1 2 + x + 1 4 = 9. d) x + 2 √ x − 1 + x − 2 √ x −1 = x + 3 3 . 2.18. Giải các bất phương trình sau a) x 4 + √ x − 4 ≥ 8 − x. b) (D-02) x 2 − 3x √ 2x 2 − 3x − 2 ≥ 0. c) (x − 2) √ x 2 + 4 < x 2 − 4. d) (x + 2) √ 9 − x 2 ≤ x 2 − 2x − 8. e) √ x 2 − 3x + 2 + √ x 2 − 4x + 3 ≥ 2 √ x 2 − 5x + 4. f) √ x 2 + x − 2 + √ x 2 + 2x − 3 ≤ √ x 2 + 4x − 5. 2.19. Giải các phương trình sau a) (D-06) √ 2x −1 + x 2 − 3x + 1 = 0. b) 7 − x 2 + x √ x + 5 = √ 3 − 2x − x 2 . c) √ 2x 2 + 8x + 6 + √ x 2 − 1 = 2x + 2. d) 3 2 + √ x −2 = 2x + √ x + 6. e) x 2 + 3x + 1 = (x + 3) √ x 2 + 1. f) x 2 − 7 x 2 + x − 7 x 2 = x. 2.20. Giải các bất phương trình sau a) 1 − √ 1 − 4x 2 x < 3. b) 1 − √ 21 − 4x + x 2 x + 1 ≥ 0. c) 2x √ 2x + 1 − 1 > 2x + 2. d) x 2 1 + √ 1 + x 2 > x − 4. 2.21. Giải các phương trình sau a) (x + 5) (2 − x) = 3 √ x 2 + 3x. b) (x + 1) (2 −x) = 1 + 2x − 2x 2 . c) √ x + 1 + √ 4 − x + (x + 1) (4 −x) = 5. d) √ 3x −2 + √ x −1 = 4x − 9 + 2 √ 3x 2 − 5x + 2. 2.22. Giải các phương trình sau a) x + √ 4 − x 2 = 2 + 3x √ 4 − x 2 . b) (x − 3) (x + 1) + 4 (x −3) x+1 x−3 = −3. c) 4 x 2 + x 2 4 −x 2 + 5 2 √ 4 − x 2 x + x √ 4 − x 2 + 2 = 0. d) (B-2011) 3 √ 2 + x −6 √ 2 − x + 4 √ 4 − x 2 = 10 −3x. 2.23. Giải các phương trình sau a) x 2 + 3x + 2 ≥ 2 √ x 2 + 3x + 5. b) x 2 + √ 2x 2 + 4x + 3 ≥ 6 − 2x. c) x(x + 1) − √ x 2 + x + 4 + 2 ≥ 0. d) x 2 − 2x + 8 − 6 (4 −x) (2 + x) ≤ 0. e) x x + 1 − 2 x + 1 x > 3. f) √ x + 2 + √ x − 1 + 2 √ x 2 + x − 2 ≤ 11 − 2x. 2.24. Giải các phương trình sau a) x 2 − 1 = 2x √ x 2 − 2x. b) x 2 − 1 = 2x √ x 2 + 2x. c) (4x − 1) √ x 3 + 1 = 2x 3 + 2x + 1. d) x 2 + 4x = (x + 2) √ x 2 − 2x + 24. 2.25. Giải các phương trình sau a) 3 √ 2 −x = 1 − √ x − 1. b) (A-09) 2 3 √ 3x −2 + 3 √ 6 − 5x − 8 = 0. c) 2 x 2 + 2 = 5 √ x 3 + 1. d) 2 x 2 − 3x + 2 = 3 √ x 3 + 8. 9 2.26. Giải các phương trình sau a) x 2 + √ x + 5 = 5. b) x 3 + 2 = 3 3 √ 3x −2. c) x 3 + 1 = 2 3 √ 2x −1. d) x 3 √ 35 −x 3 x + 3 √ 35 − x 3 = 30. 2.27. Giải các phương trình, bất phương trình sau a) (B-2012) x + 1 + √ x 2 − 4x + 1 ≥ 3 √ x. b) (A-2010) x − √ x 1 − 2 (x 2 − x + 1) ≥ 1. c) 3 √ x 2 − 2 = √ 2 − x 3 . d) x + 3 (1 −x 2 ) = 2 1 − 2x 2 . 2.28. Giải các phương trình sau a) √ 4x −1 + √ 4x 2 − 1 = 1. b) √ x −1 = −x 3 − 4x + 5. c) √ 2x −1 + √ x 2 + 3 = 4 − x. d) x 5 + x 3 − √ 1 − 3x + 4 = 0. e) x 3 + 4x − (2x + 7) √ 2x + 3 = 0. f) (CĐ-2012) 4x 3 + x − (x − 1) √ 2x + 1 = 0. 2.29. Giải các phương trình sau a) √ x 2 − 2x + 5 + √ x −1 = 2. b) √ x −2 + √ 4 − x = x 2 − 6x + 11. c) 2 √ x −2 −1 2 + √ x + 6 + √ x −2 −2 = 0. d) √ 5x 3 + 3x 2 + 3x − 2 = 1 2 x 2 + 3x − 1 2 . §3. Hệ Phương Trình Đại Số A. Phương Pháp Giải Cơ Bản 1. Đưa về hệ mẫu mực. (Hệ đối xứng loại I, hệ đối xứng loại II, hệ đẳng cấp) 2. Phương pháp thế. • Loại 1: Rút một biểu thức từ một phương trình rồi thế vào phương trình kia. • Loại 2: Giải cụ thể một phương trình rồi thế vào phương trình kia. • Loại 3. Thế hằng số. 3. Đặt ẩn phụ. 4. Sử dụng tính đơn điệu của hàm số. • Nếu y = f(x) luôn đồng biến hoặc nghịch biến trên D thì f(u) = f(v) ⇔ u = v. • Nếu y = f(x) luôn đồng biến trên D còn y = g(x) luôn nghịch biến hoặc không đổi trên D thì phương trình f(x) = g(x) có nhiều nhất một nghiệm trên D. B. Bài Tập 2.30. Giải các hệ phương trình sau a) x 2 + y 2 + xy = 7 x + y + xy = 5 . b) x + y + xy = 1 x 3 + y 3 − 3(x − y) 2 + 2 = 0 . c) (DB-05) x 2 + y 2 + x + y = 4 x (x + y + 1) + y (y + 1) = 2 . d) x 2 − xy + y 2 = 3 (x −y) x 2 + xy + y 2 = 7(x − y) 2 . 2.31. Giải các hệ phương trình sau a) x 2 − 2y 2 = 2x + y y 2 − 2x 2 = 2y + x . b) x −3y = 4y x y − 3x = 4x y . c) 2x + y = 3 x 2 2y + x = 3 y 2 . d) (B-03) 3y = y 2 + 2 x 2 3x = x 2 + 2 y 2 . 2.32. Giải các hệ phương trình sau a) x 2 − xy = 2 2x 2 + 4xy −2y 2 = 14 . b) x 2 − 2xy + 3y 2 = 9 x 2 − 4xy + 5y 2 = 5 . c) x 3 + y 3 = 1 x 2 y + 2xy 2 + y 3 = 2 . d) (DB-06) (x −y) x 2 + y 2 = 13 (x + y) x 2 − y 2 = 25 . 2.33. Giải các hệ phương trình sau a) x + y = −1 x 3 − 3x = y 3 − 3y . b) (DB-06) x 2 + 1 + y (y + x) = 4y x 2 + 1 (y + x − 2) = y . c) (B-08) x 4 + 2x 3 y + x 2 y 2 = 2x + 9 x 2 + 2xy = 6x + 6 . d) (D-09) x (x + y + 1) − 3 = 0 (x + y) 2 − 5 x 2 + 1 = 0 . 10 [...]... bậc hai để có điều kiện phù hợp cho từng bài toán 2 Phương pháp chiều biến thi n hàm số • Từ bài toán biến đổi và rút m theo f (x) • Lập BBT của f (x) Từ BBT và các kiến thức bổ sung để rút ra KL 3 Phương pháp điều kiện cần và đủ • Từ tính chất bài toán rút ra điều kiện cần để xảy ra bài toán • Giải điều kiện cần được m, thay lại vào bài toán để kiểm tra 11 C Bài Tập 2.40 Tìm m để phương trình m − a)... quan trong hình vẽ để biện luận B Bài Tập 4.56 Khảo sát sự biến thi n và vẽ đồ thị hàm số y = x3 − 3x2 − 1 Biện luận theo k số nghiệm của phương trình x3 − 3x2 − k = 0 4.57 Khảo sát sự biến thi n và vẽ đồ thị hàm số y = 2x3 − 3x2 + 1 Biện luận theo m số nghiệm phương trình 4x3 − 6x2 − m = 0 4.58 Khảo sát sự biến thi n và vẽ đồ thị hàm số y = −x4 + 2x2 + 3 Biện luận theo m số nghiệm của phương trình... các giá trị nào của m, phương trình x2 x2 − 2 = m có đúng sáu nghiệm thực phân biệt 4.68 Khảo sát sự biến thi n và vẽ đồ thị hàm số y = x4 − 4x2 + 3 Tìm m để phương trình x4 − 4x3 + 3 = m có đúng tám nghiệm 21 Chuyên đề 4 Các Bài Toán Liên Quan Đến Khảo Sát Hàm Số §5 Đối Xứng - Khoảng Cách & Các Bài Toán Khác 4.69 Tìm m để hàm số y = m2 x − 2 qua điểm A (2; 6) x−1 4.70 Tìm các hệ số m, n sao cho hàm số... độ dài trục lớn bằng 8 và (E) cắt (C) tại bốn điểm tạo thành bốn đỉnh của một hình vuông 17 Chuyên đề 4 Các Bài Toán Liên Quan Đến Khảo Sát Hàm Số §1 Cực Trị Của Hàm Số A Kiến Thức Bổ Sung Cách tính tung độ cực trị: • Nếu y = f (x).g(x) + r(x) thì y0 = r(x0 ) u(x) u (x0 ) • Nếu y = thì y0 = v(x) v (x0 ) B Bài Tập 4.1 Tìm m để hàm số y = x3 − 3 (m + 1) x2 + 9x − m đạt cực trị tại x1 , x2 thỏa |x1 − x2... 1 có cực đại, cực tiểu và các điểm cực trị cách đều gốc toạ độ 4.11 Tìm m để hàm số y = x3 − 3mx − 3m + 1 có cực trị đồng thời chúng cách đều đường thẳng d : x − y = 0 4.12 (D-2011) Tìm m để hàm số y = x4 − 2 (m + 1) x2 + m có ba cực trị A, B, C sao cho OA = BC, trong đó O là gốc tọa độ và A thuộc trục tung 4.13 Tìm m để hàm số y = x4 − 2mx2 + 2m + m4 có cực đại, cực tiểu lập thành tam giác đều 4.14... A1 F1 O F2 B1 16 A2 x Chuyên đề 3 Phương Pháp Tọa Độ Trong Mặt Phẳng • Phương trình chính tắc của elip: • Trong đó: Các đỉnh: Các tiêu điểm: Trục lớn: Trục nhỏ: Tiêu cự: Tâm sai: Bán kính qua tiêu: y2 x2 + 2 =1 2 a b b2 = a2 − c2 A1 (−a; 0), A2 (a; 0), B1 (0; −b), B2 (0; b) F1 (−c; 0), F2 (c; 0) A1 A2 = 2a B1 B2 = 2b F1 F2 = 2c c e= a cx cx M F1 = a + , M F2 = a − a a B Bài Tập 3.54 Tìm tọa độ các... phân biệt A, B sao cho x x2 − 2x + 2 tại hai điểm A, B đối xứng nhau qua x−1 đường thẳng y = x + 3 4.33 Tìm m để đồ thị hàm số y = −x4 + 2mx2 − 2m + 1 cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt 19 Chuyên đề 4 Các Bài Toán Liên Quan Đến Khảo Sát Hàm Số 4.34 Tìm m để đồ thị hàm số y = x4 − (3m + 4) x2 + m2 cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số cộng 4.35 (D-09) Tìm m để đường thẳng... 6 5 d) log5 3 và log0,3 2 c) log2 10 và log5 30 f) log3 10 và log8 57 e) log3 5 và log7 4 5.8 Tính log4 1250 theo a, biết a = log2 5 5.9 Tính log54 168 theo a, b, biết a = log7 12, b = log12 24 5.10 Tính log140 63 theo a, b, c, biết a = log2 3, b = log3 5, c = log7 2 3 5.11 Tính log √25 135 theo a, b, biết a = log4 75, b = log8 45 5.12 Chứng minh rằng ab + 5 (a − b) = 1, biết a = log12 18, b = log24... − 3 (m + 1) x2 + 3m (m + 2) x + 1 đạt cực đại, cực tiểu tại các điểm có hoành độ dương 4.7 Tìm m để hàm số y = mx2 + 3mx + 2m + 1 có cực đại, cực tiểu nằm về hai phía của trục Ox x−1 4.8 (A-02) Cho hàm số y = −x3 + 3mx2 + 3 1 − m2 x + m3 − m2 Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của hàm số 4.9 Tìm m để hàm số y = x3 − 3 mx2 + 1 m3 có cực đại, cực tiểu đối xứng nhau qua đường thẳng... trình x4 − 2x2 + m − 1 = 0 1 4.59 Khảo sát sự biến thi n và vẽ đồ thị hàm số y = x4 − 4x2 + 3 Tìm m để phương trình 2 x4 − 2x2 + m = 0 có bốn nghiệm phân biệt 4.60 (DB-06) Khảo sát sự biến thi n và vẽ đồ thị hàm số y = x2 + 2x + 5 Tìm m để phương trình sau có hai x+1 nghiệm dương phân biệt x2 + 2x + 5 = m2 + 2m + 5 (x + 1) 4.61 (A-06) Khảo sát sự biến thi n và vẽ đồ thị hàm số y = 2x3 − 9x2 + 12x − 4 . Lập bảng biến thi n của g(x) trên D. Từ bảng biến thi n rút ra kết luận. PP2: • Tính y . Tìm các điểm tại đó y = 0 hoặc không xác định. • Lập bảng biến thi n. Từ bảng biến thi n rút ra kết. 1. Khảo Sát Sự Biến Thi n Và Vẽ Đồ Thị Hàm Số §5. Khảo Sát Sự Biến Thi n Và Vẽ Đồ Thị Hàm Số A. Kiến Thức Cần Nhớ 1. Sơ đồ khảo sát tổng quát. 1. Tập xác định. 2. Sự biến thi n. • Giới hạn, tiệm. trị nhỏ nhất của hàm số trên miền D. • Tính y , y = 0 ⇒ x i ∈ D. • Lập bảng biến thi n. Từ bảng biến thi n rút ra kết luận. 2. Xét tính đơn điệu trên khoảng cho trước. PP1: • Tính y và