Tuyển tập các chuyên đề luyện thi đại học môn toán đại số sơ cấp (tái bản lần thứ 5) phần 2

Trang 1

PHAN Ill PHUONG TRINH, BAT PHƯƠNG TRÌNH VA NE BAC CAO CHỦ ĐỀ I CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC BA A PHƯƠNG PHÁP GIẢI TỐN Bài tốn I Cho phương trình: ax’ + bx? +cx +d =0(a #0) qd) Giải phương trình khi biết một nghiệm Xp PHƯƠNG PHÁP CHUNG Ta thực hiện theo các bước sau:

Bước ! Đốn nghiệm xạ của (1) Bước 2 Phân tích (1) thành (x~ K;)(ax” + bịx+c¡)=0 | Sửu = g(x)=ax?+b,x+c,=0 (2) Chú ý Dự đốn nghiệm dựa vào các kết qua sau : “ Nếua+b+c +d=0thì (1) cĩ nghiệm x =1 "_ Nếua-b+c—-đd=0thì (1) cĩ nghiệm x = -1 = Néua, b,c, d nguyén va (1) cé nghiem hữu tỷ © thi p, q theo thứ tự là ước q của đ và a

«Nếu ac`= bd”(a,d #0) thì (1) cĩ nghiệm x =~

Vidul; Giải các phương trình sau:

a 2x'+x?-5x+2=0 c 3xÌ-8x”-2x+4=0 b 2x'+x+3=0 d x'+x?—x42 -242 =0 Giải

a Nhận xét rằng:

Trang 2

b Nhận xét rằng:

a—b+c—d=0do đĩ phương trình cĩ nghiệm x = —1

Biến đổi phương trình về dạng: | +1=0 (x + 1)(2x?-2x+3)=00] ox=-l x° -2x+3=0 Vậy phương trình cĩ nghiệm duy nhat x = - l c Nhận xétrảng:

a= 3 cĩ ước là +I, #3 và d = 2 cĩ ước là +1, +2

do đĩ phương trình nếu cĩ nghiệm hữu tỷ thì chỉ cĩ thể là một trong các giá trị +l,

adie ee, 8 3

Nhận thấy x = : là nghiệm của phương trình

Biến đổi phương trình về dạng: 3x=2=0 (x —2)(x2-2x -2) =0 x? -2x-2=0 œx=2vx=1+ 3 8 Vậy phương trình cĩ ba nghiém phan biét x = <, x=1~45,xe1+ 3 d Nhận xét rằng: : ac’=1(- /2)'= -242 =bd" do đĩ phương trình cĩ nghiệm x = — = = 2 Biến đổi phương trình về dang: x-42=0 x? 4(¥2 +1)x42=0 Vậy phương trình cĩ nghiệm duy nhất x = 42 Chú ý:

1 Khi đã thành thạo các phương pháp nhẩm nghiệm các bạn học sinh khơng cần nêu nhận xét trong lời giải cho mỗi phương trình

2 Nếu các phương pháp nhầm nghiệm khơng cĩ tác dụng ta cĩ thể thử vận dụng

Trang 3

Bài tốn 2 Giải phương trình: 4x`+ 3x =m (1) PHƯƠNG PHÁP CHUNG Thue hién theo ba bước sau : Bước | Bước 2 Bước 3

Chứng minh phương trình cĩ nghiệm duy nhất bằng việc lựa chọn

một trong hai cách sau:

Cách ] : Giả sử xạ là nghiệm của phương trình , khi đĩ: "- Vớix>xụ thì: In >4x) © 4x`+3x>4x) + 3x,=m 3x > 3x, => xX > X, phuong trinh v6 nghiém = VGiX < xX, thi: or <4x} ©4x` + 3x< 4x) +3x¿=m 3x <3Xụ

= xX<Xx¿ phương trình vơ nghiệm

Vậy (1) nếu cĩ nghiệm xạ thì nghiệm đĩ là duy nhất

Cách 2 : Xét hàm số y= 4x`+ 3x~m " Miền xác định D=R

" Đạo hàm: y' = 12x? + 3 >0, VxeD = hàm số luơn đồng biến

Vậy (1) nếu cĩ nghiệm xụ thì nghiệm đĩ là duy nhất

Xác định nghiệm của phương trình

Data= \m+Vm?4+1 va a= ;a- 1 tt được:

a

4œ" + 3œ =m «> x = ơ là nghiệm của phương trình

Vậy phương trình cĩ nghiệm duy nhất :

Vidu 3: Giải phương trình: Giải

4x`+3x= 1, ()

" Trước hết ta đi chứng minh (1) cĩ nghiệm duy nhất — Bạn đọc tự làm " - Xác định nghiệm

Data= Vl+V2 vaa= sie + V1-¥2 ), ta duge:

4œ` + 3œ = I © x = ơ là nghiệm của phương trình

Vậy phương trình cĩ nghiệm duy nhất x = sali +2 +ÏĐI-42}

Trang 4

Bai toan 3 Với lml > 1, giải phương trình: 4x'-3x=m q) PHƯƠNG PHÁP CHUNG Thực hiện theo ba bước sau : Bước 1 Bước 2 Bước 3 188

Chứng minh phương trình cĩ ngÌ:iệm duy nhất bằng việc lựa chọn một trong hai cách sau:

Cách 1 : Giả sử xạ là nghiệm của phương trình , khi đĩ :

=_ Nếulxj|<l thì:

Ix, Is1 + W< =lx¿(4x; - 3)l<1 4x; -3l<I

= xụ khơng thể là nghiệm của phương trình " Nếu lxyj|> 1 thi: 4x; — 3x, =m, (1) ©4x)~3x=4x; —3x,©©(x—Xo)(4X) + 4xx+ 4x? — 3) =0 X=K, S 2 2 g(x) = 4x° +4x,x+4x), -3=0 (2) Xét (2), ta cĩ:

At, = 4x2 - 4(4x2 - 3) = 12(1— x)) <0 = (2) vơ nghiệm

Vay (1) néu cé nghiém Xy (Ixol > 1) thi nghiém do 1a duy nhat Cach 2: Xétham s6 y= 4x’ - 3x " Mién xdc dinh D=R "Đạo hàm: y'=12x?-3, y'=0© l2Ẻ~3=0c%x=‡ 2 » - Bảng biến thiên: xX |- -U2 2 +00 ũ 0 y + 0 = + — 1 + „ La — —"

Vậy đường thẳng y = m với lml > 1 cắt đồ thị hàm số tại một điểm duy

nhất Do đĩ phương trình nếu cĩ nghiệm xạ thì nghiệm đĩ là duy nhất Xác định nghiệm của phương trình

Data= Vm+Vm?-1 va a= (a+ 1) ta được:

a

40) — 3a =m <> x= langhiém cia phuong trinh

Vậy phương trình cĩ nghiệm duy nhất :

x= 5 im + vm? =1 + mm” -I )

Trang 5

Ví du 4; Giải phương trình: 4x? — 3x =2 (1) Giải ® Trước hết ta đi chứng minh (1) cĩ nghiệm duy nhất — Bạn đọc tự làm " Xác dịnh nghiệm Data= 2+3 và œ= 5s v3 + {2-3 ), ta được:

4œ” + 3œ = l © x = ơ là nghiệm của phương trình

Vậy phương trình cĩ nghiệm duy nhất x = z( J2+4/3 + 2-3}

Bài tốn 4 Với lml < 1, giải phương trình:

4x`— 3x =m qd)

PHUONG PHAP CHUNG

Thuc hién theo ba budc sau :

Bước 1 Đặtm = cosọ =cos(@ + 27)

Bước 2 Nhận xét rằng:

cos@ = cos(3 >) = cos’? —3cos 2

3

=x, = cost là một nghiệm của phương trình

Tương tự ta cũng được X;; = c0§ biên là nghiệm của phương trình

+27

Bước 3 Vậy phương trình cĩ ba nghiệm x, = cos ¢ , X23 = COS

Vidu5: Giải các phương trình: 4x`~3x= 2, 2 Giải Ta cĩ: + = cos = =cos(= +2n)= gg BEEN, 2 3 3 3 Nhan xét rang : cos= = cos(3.~ ) = 4cos*= ~ 3cos= 3 9 9 9 >xX,= cos là một nghiệm của phương trình _ 1 +ỐT

Tương tự ta cũng được X; = COS là nghiệm của phương trình Vậy phương trình cĩ ba nghiệm x, = cost X= cos = › X; = COS pt :

Trang 6

Bài tốn 5 Giải phương trình: xÌ+px+q=0 (1) PHUONG PHAP CHUNG Xét ba kha nang : a Néu p= 0 thi:

(1) x'= -qe>x= Y-q langhiém duy nhat của phương trình

b Néu p> 0, bang cach dayt an phu ta chuyén (1) vé bai tốn 2, như sau: Dat:

Khi đĩ :

()©4+3t+ sr = 0 đây chính là phương trình trong bài tốn 2 c Nếup<0, bằng cách đặyt ẩn phụ ta chuyển (1) về bài tốn 3, 4, như sau :

Dat:

h=,-p/3 t=x/2h

Khi đĩ:

Trang 7

Bài tốn 6 Giải phương trình: ax` + bx” + cx+đd =0 (1) PHUONG PHAP CHUNG Xét hai khả năng: a Néua=Othi: (1) > bx? +x +d (2) Đĩ chính là phương trình bậc 2 quen thuộc b Nếua#Othì đặtt=x + -©, ta được: Ja ( =+px+q=0 (3)

đây chính là phương trình trong bài tốn 5

Trang 9

CHU DE 2

PHUONG TRINH BAC BA C6 CHUA THAM SO

A PHƯƠNG PHÁP GIẢI TỐN Bài tốn: Cho phương trình ax” + bx? + cx + d= 0 (a #0) (1) Giải phương trình khi biết một nghiệm Xụ PHƯƠNG PHÁP CHUNG Ta thực hiện theo các bước sau:

Bước 1 Đốn nghiệm xạ của (1) Bước 2 Phân tích (1) thành: (x~— x¿)(ax? + b,x+ c¡)=0 [x =Xụ {ee = ax? + byx+c, =0 @2)` Bước 3 Khi đĩ: *_ (1)cĩ 3 nghiệm phân biệt c> |^*>” ) cĩ 3 nghiệm pj IỆ ki : Ề A, =0 & g(x) #0 (1) cĩ 2 nghiệm phân biệt Đ >0.& g(x) =0" A, =0 & g(x) =0 " (1)cĩ đúng I nghiệm <> L es & Vidul; Cho phương trình: x`~ (2m + 1)x + 3(m + 4)x - m - 12=0 (1) a Giai phuong trình với m= - 12

Trang 10

b Để phương trình c 3 nghim phõn bit

ôâ (2) cĩ 2 nghiệm phân biệt khác |

A,>0 g oi m-1250_ 2_m- [m< -3

g(1)#0 —” |13-mz0 4<mz13

Vậy với me(T— ø, — 3)L/4, + œ}\{13] phương trình cĩ ba nghiệm phân biệt

Vidu2: Cho phương trình:

mx` + (3m - 4)xỶ + (3m — 7)x + m— 3 = 0 (1)

a Giải phương trình với m = 3

b Xác định m để phương trình cĩ 3 nghiệm phân biệt khơng dương Giải Biến đổi phương trình vẻ dạng: (x + 1)[mx + 2(m - 2)x +m - 3] =0 x+1=0 = : (1) g(x)=mx* + 2(m—2)x +m—3=0 (2) a Véim=3: x=¬l x+1=0 TM Seal x=0 x +2x= x =-2/3

Vậy, phương trình cĩ ba nghiệm phan biét x = — 1,x=0,x= — = ‘

b Dé phuong trinh cé 3 nghiém phan biét khong duong

© (2) cĩ 2 nghiệm phân biệt khơng dương (x, < x;< 0) khác - l az0 mz0 A,>0 4-m>0 © 4ag(0) >0 © m(m — 3) 20 3sm <4 Š sỡ -#=2 2g 2 m - g(-1)#0 1#0 Vậy với me[3, 4) phương trình cĩ ba nghiệm phân biệt khơng dương Ví dụ 3: Cho phương trình: 2(m — 2)x* — (Sm —2)x” +2x ~m - 1 =0 1)

a Giải phương trình với m= 3

Trang 11

a Voim=3:

[2x-1=0

be] , x=1,x=3+ ý

x° -6x+4=0 Z

Vay phương trình cĩ ba nghiệm phân biệt x = x =3+45,x=3- V5

b Để phương trình cĩ nghiệm duy nhất © (2) cĩ duy nhất nghiệm x = 7 5 Trường hợp 1: Nếu m~ 2 =0 ©m =2 Khi đĩ: (2© ~44+3=0©x= Ễ # 7 =sm =2 khơng thoả mãn Trường hợp 2: Nếu m — 2#0 <> m#2 Khi đĩ điều kiện A,<0 5 m+2<0 A’, =0 © 8 © tro om< -2 1 —)z0 m+2z0 a)

Vậy, với m < -2 phương :rình cĩ nghiệm duy nhất

Chú ý Nếu phương trình cĩ chứa tham số m, ta cĩ thể coi m là ẩn, cịn x là tham

số, Sau đĩ tìm lại x theo m

Trang 12

LUGC DO GIAI VA BIEN LUAN PHUONG TRINH BAC 3 TONG QUAT ax`+bx'+cx+d=0 Phương trình tổng quát: (1) fo ïắ1 Nếu a=0 r Nếu az0 ì (1) bx? + cx +d =0 Datt=x+b/3a t ()©+pt+q=0 (3) UU cÍỉỈ

Nếup<0 Nếu p=0 Néup>0 |

Dat: B)et= Yq Dat: h= J-p/3 h= jp/3 u=ự2h u=U2h : (3) © u`— 3u+m=0 @) © u`+ 3u +m=0 Ỉ 1 Đặt: Nếu Iml<l TT oo ee 34 Dalen =cosp Dat: Phương trình cĩ nghiệm t a= Đm+Vm2-1 ya t@~ ty 2 a Phương trình cĩ 3 Ì nghiệm u, = cos Phuong trình cĩ nghiệm +2 1 1

Trang 13

B BAI TAP DE NGHI Bai tap 1 Cho phương trình:

x`+2mx? +m°x+m- 1 =0

a Xác định m để phương trình cĩ đúng 1 nghiệm

b Xác định m để phương trình cĩ 2 nghiệm phân biệt c Xác đinh m để phương trình cĩ 3 nghiệm phân biệt

Bai tap 2 Cho phương trình:

xÌ~ 3x + 6m =0

a _ Giải phương trình với m= -5 5

b Xác dinh m để các phương trình sau cĩ 3 nghiệm phân biệt: Bài tập 3 Cho phương trình:

x’ = 2mx’ + (2m? = 1)x — m(m? - 1) =0

a Giai phuong trinh véi m = 1

b Xác định m để các phương trình sau cĩ 3 nghiệm phân biệt: Bài tập 4 Xác định m để phương trình

x` ~ (m + I)xỶ - (2m? - 3m + 2)x + 2m(2m - 1) =0

cĩ 2 nghiệm phân biệt

Bai tap 5 Cho phương trình :

x*— 3(m + 1)x? + 2(m? + 4m + 1)x —4m(m + 1) =0 X.4c dinh m dé phuong trinh c6 ba nghiém phan biét lớn hơn 1 Bai tap 6 Cho phương trình :

x'~ 3# +2(m - I)x+m- 3 =0

Xác định m đề phương trình cĩ ba nghiệm x¿, xạ, x; thoả mãn x, < —Ì < X;< Xạ

Trang 14

CHỦ ĐỀ 3

CÁC PHƯƠNG PHÁP

GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC BỐN A PHƯƠNG PHÁP GIẢI TỐN

Bài tốn 1 Cho phương trình:

ax’ + bx? +cx’?+dx+e=0(a#0) (1)

Giải phương trình khi biét mot nghiém Xp PHUONG PHAP CHUNG Đốn nghiệm xạ của (1) Phân tích (1) thành _ 3 2 = =Xu (X— X¿)(ax” + bị,X” + cạx + dị) =0 © gÍx) = a2 + bix2+cx+dị =0 ()ˆ Để giải (2) ta áp dụng các phương pháp đã biết đối với phương trình bậc ba Bao gồm các dạng:

i Phương pháp phân tích thành nhân tử

2 Phương pháp giải phương trình bậc 3 chuẩn tắc 3 Phương pháp giải phương trình bậc 3 tổng quát

Chú ý Dự đốn nghiệm dựa vào các kết quả sau : - Nếua+b+c+d+e =0 thì (1) cĩ nghiệm x = l ~_ Nếua-b+c—-d+e =0 thì (1) cĩ nghiệm x= - l - Nếu a,b,c, d,e nguyên và (1) cĩ nghiệm hữu ty È thì p, q theo thứ tự là q ưỚC của e và a XídụÍ: Giải các phương trình sau: a x'—4x'-x? + 16x-12=0 c 4x*—8x?- 3x? + 4x+4=0 b 4x44 4x°4+ 3x? +x-2=0 Giải a Nhận xét rằng:

a+b+c +d+e =0 do đĩ phương trình cĩ nghiệm x = l

Trang 15

b Nhận xét rằng:

œ =b+c—d+e =0 do đĩ phương trình cĩ nghiêm x = -l

Biến đĩi phương trình về dạng: ; | =-l (l) (xX + 1)(4x° + 3x-2)=00 ‘ : 4x '+3x-2=0 (2) Giải (2) bằng cách biến đổi: (2) <9 4x? + 3x =2 (3)

* Trước hết ta đi chứng minh (3) cĩ nghiệm duy nhất

Cách 1 : Giả sử xạ là nghiệm của phương trình , khi đĩ : = VGix > Xy thi: 4x? >4x3 ee Xo > 4x°+ 3x>4x) +3x,=2 > x> xy phuong trinh v6 nghiém 3x > 3x, = V6ix<x, thi: 4x? <4x3 5 8 a4 23 4x" 4+ 3x<4x) +3x)=2 => x <x, phuong tinh v6 nghiém X < 3X, Vay (3) néu c6é nghiém xX, thi nghiém dé 1a duy nhat Cách 2 : Xét hàm số y= 4xÌ + 3x — 2 "Miền xác địnhD=R =» Dao ham:

y' = 12x? + 3>0, VxeD = hàm số luơn đồng biến Vay (3) néu c6é nghiém x, thi nghiém do 1a duy nhat

s - Xác định nghiệm

Đặta= {2+5 và a= 502+ + ¥2-J5 ), taduac: 4œ + 3œ = 2 © x = œ là nghiệm của phương trình (3)

Vậy, phương trình cĩ nghiệm x = -l và x = ;{b +5 +2-45 )

c Nhận xét rằng:

a = 4 cĩ ước là +1, +2, +4 và e = 2 cĩ ước là +1, +2

do đĩ phương trình nếu cĩ nghiệm hữu tỷ thì chỉ cĩ thể là một trong các giá trị +1,

+2,+1, 2

Nhận thấy x = 2 là nghiệm của phương trình

Biến đổi phương trình về dạng:

nh" 4x*-3x-2=0 (2) =

Giải (2) bằng cách biến đồi:

(2) ©4x`- 3x =2 @)

Trang 16

Trước hết ta đi chứng minh (3) cĩ nghiệm duy nhất

Cách 1 : Giả sử xạ là nghiệm của phương trình , khi đĩ :

= Néu Ixgl < 1 thi: Du SỈ ix(4xi - 3S 1 x, -3)Is 14x? -31<1 ld = xạ khơng thể là nghiệm của phương trình = Nếu lxạl> I thì: 4x} — 3x) =2, (1) > 4x3 — 3x = 4x3 — 3x > (x — Xq).(4x? + 4xyx + 4x3 — 3) =0 es [R= %o g(x) = 4x? +4x,x4+4x7 -3=0 (2) Xét (2), ta cĩ:

Ay= 4x2 — 4x2 — 3) = 12(1— xi) <0 = (2) vơ nghiệm

Vay (1) nếu cĩ nghiệm xạ (lxạl > 1) thì nghiệm đĩ là duy nhất Cách 2 : Xét hàm số y= 4x’ — 3x s Miền xác định D=R "_ Đạo hàm: y'=12x?-3 y=00 I2xt-3=0ex=22 = Bang bién thién: x | -00 -1n 1/2 +00 y' + 0 = 0 + 1 +0 yi .—' —_S_ ch

Vậy đường thẳng y = 2 cắt đồ thị hàm số tại một điểm duy nhất Do đĩ

phương trình nếu cĩ nghiệm xạ thì nghiệm đĩ là duy nhất Xác định nghiệm Dat a= 243 và a= (2443 + 12 - V3 ), ta được: 403 - 3a = 2 <> x = œ là nghiệm của phương trình (3) Vậy phương trình cĩ 2 nghiệm phân biệt x = 2, x = sv 2+43 +12-43) Chú ý:

1 Khi đã thành thạo các phương pháp nhẩm nghiệm các bạn học sinh khơng cần

nêu nhận xét trong lời giải cho mỗi phương trình

2 Nếu các phương pháp nhầm nghiệm khơng cĩ tác dụng ta cĩ thể thử vận dụng

kiến thức về phân tích đa thức Ý tưởng thường được sử dụng là chuyển đa thức bậc bốn về dạng:

200

Trang 17

khi đố ta được tích của 2 tam thức bậc 2 do vậy việc giải phương trình bậc bốn được quy về việc giải hai phương trình bậc 2

Chúng ta cũng cần lưu ý rằng đĩ chính là ý tưởng chủ đạo để giải mọi phương trình bậc 4 Vídu2: Giải các phương trình: a x'-3x?-4x-3=0 b x°+2x*4 10x - 25=0 Gidi a Bién doi phuong trinh vé dang: (x* — 2x? + 1) - (x? + 4x + 4) = 0 (x?- 1)? -(x +27 =0 2 ?—x-3=0 + V13 S02~x= 8+ x+ D0 | ` eo xo tte x? +x+1=0 (vn) 2 1413 —

Vậy phương trình cĩ hai nghiệm phân biệt x, ; =

b Biến đổi phương trình về dạng: (X + 2x) + x?) — (x? — 10x + 25) = 0 <> (x? + x)? - (x - 5)?=0 ?+2x—5=0 oo ox=-1tV6 ©s(@+2x~ 5)(X' + 5) =0 © |, x* +5=0 (vn) Vậy phương trình cĩ hai nghiệm phân biệt x,; = — 1+ v6 Baitoan2 (Phương trình tràng phương) Giài phương trình: ax’ + bx? +c =0 (1) PHUONG PHAP CHUNG Thực hiện theo các bước: Bước 1: Đặt t = x? với t>0 Khi đĩ: (1) ©aẺ + bt+c=0 (2)

Đĩ là phương trình bac hai theo t

Bước 2: Kết luận về nghiệm của phương trình (1)

Nếu (2) cĩ nghiệm tạ>0 thì (1) cĩ nghiệm x = tty $

Trang 18

Baitoan3 (Phương trình hồi quy) Giải phương trình:

ax‘ + bx? + cx? + dx +e =0(a #0) (ly

wi £ =(2) ;ez0, a b

PHUONG PHAP CHUNG

Thực hiện theo các bước:

Bước 1 Nhận xét rằng x =0 khơng phải là nghiệm của phương trình Chia cả

hai vế của phương trình cho x”z0, ta được: ()©aœ+Ê.-L3+p@+ Ê.Ì)+e=0 @) a XÃ bx Bước 2 Đặtt=(x+ ©), suy rax’ + = =ẻ-2.Ư x a x b Khi đĩ: Ĩ) © RẺ +bt+e~ 2ã =0 @) Đĩ là phương trình bậc hai quen thuộc

Bước 3 Kết luận về nghiệm của phương trình (1)

Lư ý: Trong trường hợp đặc biệt Ê = 1, tức là đối với những phương trình cĩ dạng: a ax‘ + bx’ + cx?+ bx +e =0 ta cũng cĩ cách giải tương tự Vídu4; Giải phương trình: 2x* — 21x* + 74x? - 105x + 50 = 0 Gidi

Nhận xét rằng x = 0 khơng phải là nghiệm của phương trình Chia cả hai vế của

phương trình cho x?# 0, ta được phương trình tương đương:

20°+ 23) -21¢x + 2)+74=0

x x

Dat t=(x+ 3), suy rax?+ 23 =P-10, x x

Trang 19

Chú ý: Nhiều phương trình ở dang ban đầu khơng phải là một phương trình hồi quy hay phản hồi quy, tuy nhiên với phép đặt ẩn phụ thích hợp ta cĩ thể chuyển

chúng vẻ dạng hồi quy hoặc phản hồi quy, từ đĩ áp dụng phương pháp đã biết để giải Ta đi xem xét ví dụ sau:

Ví du §; Giải phương trình:

(x—2)°+(x—2)(5x”— 14x + 13) +1 =0 (1)

Gidi

Nhân xét rằng đây khơng phải là một phương trình hồi quy, tuy nhiên nếu đặt ẩn phụ thích hợp ta sẽ cĩ một phương trình hồi quy

That vay, dat y = x — 2

(1) = y* + y[S(y + 2)? - 14(y + 2) + 13] +1=0

o> y' + Sy’ + 6y? + 5y +1 =0 (2)

Nhan xét rang y = 0 khơng phải là nghiệm của phương trình Chia cả hai vế của phương trình cho y*z0, ta được phương trình tương đương:

(y + -Ì )+5(y+ 14620

y ¥

Đạtt=y + 4, điều kiện L>2,

y

suy ray? + ol =f =2 y

Khi đĩ phương trình trên cĩ dang:

Pests 060 | © ys La adesy'e4yei sd

t=-4 y

ofr Re

y; =-2+3 x; =3

Vậy, phương trình cĩ 2 nghiệm phân biệt là x, = - 3, x; = ⁄3 Vị du6: Giải phương trình:

(x? = x) - 2x(3x - 5) — 3 =0 qd) Gidi

Nhận xét rằng đây khơng phải là một phương trình phản hồi quy, tuy nhiên nếu

đặt ẩn phụ thích hợp ta sẽ cĩ một phương trình phản hồi quy

Thật vậy, đặt y = x — I

(Do (y+ 1? -(y + DJ -2(y + DB(y + I) -5]-3=0

©y!+2y`- 5y`-2y+1=0 (2)

Trang 20

Khi đĩ phương trình trên cĩ dng: +2t-3=0ôâ i ộ t=-3 = Vit=ltac: 14/5 ; 3445 y-+=ley-y-1=0ey,9= OXF 2 Ỳ ® Vớit= - 3ta được : — -12V13 ~~ 3 3.4 = Vậy, phương trình cĩ 4 nghiệm phan biét 18 x, = 5 oa Xa = ahead, g—.Ư -3€y?+3y-1=0e©>y¿,= y Bài tốn 4 Giải phương trình: (x+a)(x + b)(x + c)(x + đ) =m qd) v6ia+b=c+d

PHUONG PHAP CHUNG Thực hiện theo các bước:

Bước I Viết lại phương trình dưới dạng:

[x? +(a+ b)x + ab].[x? +(ce+đ)x+cdđ]=m (2)

Bước 2 Datt=x? +(a+b)x + ab, suy ra x? +(c +d)x + cd =t—ab + cả

Khi d6:

(2) <> (t— ab + cd) =m (3) Đĩ là phương trình bậc hai quen thuộc

Bước 3 Kết luận về nghiệm của phương trình (1) Vidu 7; Giải phương trình: (x+ 1)(x +2)(x + 3)(x + 4) = 3 (1) Gidi Viết lại phương trình dưới dạng: (+ 5x +4)(x?+5x+6)=3 (2) Đặt t= x” + 5x + 4, suy ra X” + 5x +6 =t+2 Khi đĩ: t=l (2)©t(t+2)=3©>+2t-3=0© [ie 3" -5+13 = © V6it=loex+5x4+4=10x74+5x4+3=00x,,=

"- Vớit= -3€>x?+5x+4= —-3€>x?+5x +7 =0 vơ nghiệm

Vậy, phương trình cĩ hai nghiệm phân biệt là x, ; = ee,

Trang 21

Chú ý : Dạng phương trình trên được mở rộng tự nhiên cho lớp phương trình:

(a,X + a)(b,X + by)(c,x + ¢,)(d,x + d,) =m

với điều kiện :

a,-b, =c,.d,

a,-b, +a,.b, =d,.c, +d,.c,

khi đĩ ta đặt t = (a,x + a,)(b,x + b,) Ví du8; Giải phương trình: (2x — 1)(x — 1)(x — 3)(2x + 3) =-9 (l) Giải Viết lại phương trình dưới dạng: (2x? — 3x + 1)(2x? - 3x - 9) =-9 (2) Dat t = 2x? — 3x + 1, suy ra 2x* - 3x -9=1- 10 Khi : (2) ât(t~ 10)0= ~9 âđ~ l0t+9=0 l5: x,=0 ® Véit=1<2x°-3x+1=142x°-3x=00 3 xX, => 2 © V6it= 9.65 2x?- 3x 4159 69 2x? 3x80 xX y= Bee Vậy, phương trình cĩ 4 nghiệm phân biệt là x,= 0, x;= Š,x;„= 2 ae

Bài lốn5 Giải phương trình:

(x+a)'+(x+b)'=c (1)

PHUONG PHAP CHUNG

Thực hiện theo các bước: Bước 1 Datt=x+ ae a-b x+a=t+—— xib=t.£—5 Khi đĩ phương trình đã cho cĩ dạng: 2 4 ae2£+12|*2] #+2(^) =c (2)

Đĩ là phương trình trùng phương mà ta đã biết cách giải

Bước 2 - Kết luận về nghiệm của phương trình (1)

Trang 22

Vidu9:; Giải phương trình: (x + 3)°+ (x + 5)*=2 (1) Giải Dat: 3+5 x+3=t-1 t=x+— =x+4,suyra 8 2 MEN Khi đĩ: (1)©(— 1)! +(t+ l)°=2 ©2É + 12 +2=2€©©S+6 =0 œr=0 ©x+4=0©x=-4 Vậy, phương trình cĩ nghiệm x = -4 Bài tốn 6 Giải phương trình: ax’ + bx?+cx?+dx+e=0(a#0) (1)

Bước 1 Biến đổi phương trình về dạng: A(x? + b,x +c)? + B(x? + b,x + c¡) + C=0 (2) Bước 2, Datt=x?+bx+c, Khi đĩ phương trình đã cho cĩ dạng: (2) © AẺ + Bt+C=0 (3) Đĩ là phương trình bậc 2 theo t Bước 3 Kết luận về nghiệm của phương trình (1) Ví dụ 10; Giải phương trình: x* — 8x? + 7x? + 36x — 36 = 0 Œ) ` Giải Viết lại phương trình dưới dạng: (1) ©Œ?~ 4x}? — 9(x? - 4x) + 36 =0 (2) Dat t= x? — 4x, điều kiện t > -4 Khi đĩ: x=l = ?—4x= =~? (2)©-9t+36=0© ` 2 es * ~4416 ‘ t=-3 x? —4x=-3 x=3 x=6 Vậy, phương trình cĩ bốn nghiệm phân biệt Chú ý:

1 Ta thấy ngay rằng bài tốn trên cĩ thể được giải bằng phương pháp đốn

nghiệm rồi phân tích thành nhân tử, tuy nhiên phương pháp đặt ẩn phụ luơn được ưu tiên, bởi trong nhiều trường hợp ta đốn được nghiệm xạ rồi nhưng

phương trình g(x) = 0 khơng dự đốn được nghiệm, khi đĩ ta phải giải một phương trình bậc 3 ở dạng tổng quát và hiển nhiên đây là cơng việc khĩ khăn

Trang 23

2 Cích dạt ẩn phụ cho phương trình bậc 4 rất phong phú đa dạng tuỳ thuộc vào đặc thù của mỗi bài tốn, phương pháp được trình bày trong bài tốn trên chỉ

minh hoa mot kiểu dat an phụ, sau day ta đi xem xét thêm một vài ví dụ

Ví du ]Ị: Giải phương trình:

2(x?—x+ DÊ+xÌ+1=(x+ DẺ qd)

Giải

Nhận xét rằng x = —l khơng phải là nghiệm của phương trình Chia cả hai vế của phương trình cho (x + 1)'#0, ta được phương trình tương đương: (4) 4 Seely @) x+1 x+1 Datt= x -x+l xl Khi đĩ > t=-l 2) 2? +t-1=00 ‘ t=1/2 2 Vớit=~l,la được: ®——Ã “” =~I @x=x+ 1 ==x— 1 XẺ=~2 vơ nghiệm x+ zo =I

» véie=4 ta awoe; 241 ob & 2 x+I 2 axe a0 /"™ x=1/2 , Vay phuong trinh cé 2 nghiém phan bigt x= 1,x= > Vị du ]2: Giải phương trình: 2 3 x + ———> =8 ret (x-1)? ) Giải Điều kiện x # 1

Trang 24

= Véit=4 2 ee, ï =4©x*-4x+4=0<>xị =2 K= ® Voit=-2 2 x "bu -2©x)+2x-2=0€©x;;= — I+V3 %=

Vậy, phương trình cĩ ba nghiệm phan biét x, = 2, x,,;= — 1+V3

Chú ý : Bài tốn trên cĩ dạng tổng quát : 24 ax -=b

(x +a)

chúng ta sẽ chỉ ra phương pháp giải cho bài tốn trên trong chủ dé 4

x

B BAI TAP DE NGHI

Trang 25

CHỦ ĐỀ 4

PHUGNG TRINH BAC BO C6 CHUA THAM SỐ

A PHƯƠNG PHÁP GIẢI TỐN Bài tốn Cho phương trình: ax’ + bx} + cx? +d x +e =0(a40) (1) Giải phương trình khi biết một nghiệm xạ PHƯƠNG PHÁP CHUNG

Ta thực hiện theo các bước sau:

Bước 1 Doan nghiém x, cua (1) Bước 2 Phan tich (1) thanh

(x = Xp)(ax* + b,x? + ¢,x +d) =O

X=Xo

mm (2)

Bước 3 Khi đĩ:

"(1)cĩ 4 nghiệm phân biệt

(2) cĩ 3 nghiệm phân biệt với một nghiệm là xạ (2) cĩ 2 nghiệm phân biệt khác xạ

* (1) cĩ 2 nghiệm phân biệt

(2) cĩ 2 nghiệm phân biệt với một nghiệm là xạ

(2) cĩ duy nhất nghiệm khác xạ " (1)cĩ đúng l nghiệm

Chú ý: Để thực hiện các bài tốn theo phương pháp này các em học sinh cần nắm chắc các phương pháp giải đã biết đối với phương trình bậc 3

Ví du]: Cho phương trình:

xỶ+ (2m - 1)x + (m? - 2m)x? - (m— m + 1)x—m +1 =0 (1) a Giải phương trình với m = -]

Trang 26

Dé tiếp tục phan tích (2), ta viết lại (2) dưới dạng: xmẺ + (2x + I)m +xÌ~ 1 =0 Coi m là ẩn, cịn x là tham số, ta được phương trình bậc 2 theo m Giải ra ta được; m=l-x m=_-Š †Xx+! x Do đĩ (2) được chuyển về dạng: (x+m-~ I)[x' + (m + l)x + I]=0 Khi đĩ: x-l=0 ()|x+m-1=0 : dd e(x)=x* +(m+1)x+1=0 (3) d Vớim= -1: x-1=0 dl) = |x-2=0 oft x7 41=0

Vậy phương trình cĩ hai nghiệm phan biét x = 1, x =2 e Dé phuong trinh cé 4 nghiém phan biét

<= (3) c6 2 nghiém phan biét khac 1 va 1 -mval—m#¥1 A,>0 mỶ +2m-3>0 ã g(1) #0 sẻ m+3#0 & l<m#> gd-m)#0 |3-2mz0 ¬' l-mzl m+0 Vậy với me(—œ, -3)\/(1, +ø)N{ ; } phương trình cĩ 4 nghiệm phân biệt Bài tốn 2 (Phương trình tràng phương) Giải và biện luận phương trình: ax'+ bx?+c=0 qd)

Bước 1 Đặtt= x? vớit>0, khi đĩ:

(1) ©aU +bt+c=0 (2)

Đĩ là phương trình bậc hai theo t

Bước 2 Khi đĩ:

= Nếu (2) cĩ nghiệm t„>0 thì (1) cĩ nghiệm x.= +.ƒt,

" (1) cĩ nghiệm duy nhất © (2) cĩ nghiệm tạ<0=t; “ = (1) cĩ hai nghiệm phân biệt ©> (2) cĩ nghiệm t, < 0 < t; = (1) cĩ ba nghiệm phân biệt © (2) cĩ nghiệm 0 = t; < t;

" (1) cĩ bốn nghiệm phân biệt © (2) cĩ nghiệm 0 = t, < t

Trang 27

Vidu 2: Tim m dé phuong trinh:

mx* — 2(m — 1)x?+m-1=0 (1)

a _ Cĩ nghiệm duy nhất b Cĩ hai nghiệm phân biệt c Cĩ ba nghiệm phân biệt

d C6 b6n nghiệm phân biệt Giải Đặt L= xŸ với t> 0, phương trình cĩ dạng: f(t) = mt - 2(m - I)t+m~ 1 =0 (2) Trường hợp I : Nếu m=0 (2)©2t-1=0© t =.^ x=—©x=# 1 si 2 Phương trình cĩ hai nghiệm phân biệt Trường hợp 2: Nếu m # 0 a _ Phương trình (1) cĩ nghiệm duy nhất © (2) cĩ nghiệm t, < 0 = t; 2m - 1) co os) m ©m=l P=0 <6 m-1 m

Vậy với m = 1 phương trình cĩ nghiệm duy nhất

b Phương trình (1) cĩ hai nghiệm phân biệt © (2) cĩ nghiệm t, < 0 < t; &› af(0) <0 © m(m - 1)<0<>0<m <1

Vậy với 0 <m < l phương trình cĩ 2 nghiệm phân biệt

c Phuong trinh (1) cĩ ba nghiệm phân biệt © (2) cĩ nghiệm 0 = t, < t, A'>0 l-m>0 m-l â&P=0ô<> =0_ vnghim m S>0 2(m =Ð) s0 m

Vay khéng tồn tại m để phương trình cĩ 3 nghiệm phân biệt

Trang 28

Chú ý: Một bài tốn rất quen thuộc đối với phương trình trùng phương là : "Tim diéu kiện của tham số để phương trình cĩ 4 nghiệm phản biệt lap thành cấp số cộng " Chúng ta đưa ra phương pháp chung để giải đạng tốn này: Bài tốn 3 Tìm điều kiện của tham số để phương trình: ax’ + bx? +c =0 (1) cĩ bốn nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng PHƯƠNG PHÁP CHUNG Thực hiện theo các bước sau:

Buéc 1 Đặtt= x),t>0, khi do:

(1) © a +bt+c=0 @)

Bước 2 Phương trình (1) cĩ bốn nghiệm phân biệt

A>0

©¿-b/a>0 (3)

c/a>0

và khi đĩ bốn nghiém cia (1) 1a: - Jt, , - yt, , yt, , 4h: -

Bước 3 Bốn nghiệm trên lập thành cấp số cộng khi và chỉ khi:

4t; ++/tạ =-2V vis + yt, Wy oie Siete 4 - Ja +e =2ye, Theo dinh li Viét ta cĩ: ;=-b t +t, la @ tit, =c/a Thay (4) vao (I) duge : tị +9, maby a t, =-b/10a =L-ÄkÏ =£ (5)

t,t, )=c/a tỉ =c/9a 10aj 9a

Bước 4 Kết hợp (5) và (3) nhận được điều kiện của tham số Vidu 3; Cho phương trình: x*-2(m + 1)x? + 2m + 1 =0 qd) Xác định m để phương trình cĩ 4 nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng Giải Dat t = x’, t> 0 Khi đĩ: ()© -2(m+I)t+2m +1 =0 (2)

Phương trình (1) cĩ bốn nghiệm phân biệt

Trang 29

và khi đĩ bến nghiệm của (1) là ~aftiy = ty s ft, ‘ ts :

Bon nghiém trén ae thành cấp số cơng Es hy + yt, = =2, — r— = 3 yt, =3yt, @h=9, (3) lain eis 24h Theo định lí Viết ta cĩ: t, +t, =2(m+1 uate = 2 ; (D) tạ =2m+l Thay (3) vào (I) được : re m=4 t, +9t, =2(m +1 |5t, =m+l i {ue 1 = tm Les <> 9m? - 32m - 16=0¢ 4 [t,.(9t,)=2m+1 ¡ =2m + se: Vậy, với m = 4 hoặc m = 4 thoả mãn điều kiện đầu bài Bài tốn 4 (Phương trình hơi quy) Giải và biện luận phương trình ax’ + bx' + cx? + bx+a=0(a#0) (1) PHƯƠNG PHÁP CHUNG Thực hiện theo các bước:

Bước 1 Nhận xét rằng x =0 khơng phải là nghiệm của phương trình Chia cả

hai vế của phương trình cho x?# 0, ta được: (I)}e>a02+ -Ì_)+ bœ + -L}+e =0, Q) x7 x Bude 2 Datt=x+ +, diéukien 22 suyrax?+ + = 0-2 Khi do: x X (2) <> at? + bt tc - 2a =0 (3) Đĩ là phương trình bậc hai quen thuộc Bước 3 Khi đĩ:

Trang 30

= (1) c6 b6n nghiém phan biét > (2) cĩ nghiệm 2<t, <t, ty<t, <-2 t,<-2<2<t, Chú ý: Phương pháp được mở rộng tự nhiên cho trường hợp: ề -(2) „ e#0 a b và bđ >0 Với lưu ý rằng t= x + 3.1 điêu kiện t>2 ễ, bx b Ví du4; Cho phương trình x' + mx + 2mx? + mx + Í =0 ()

a Giải phương trình với m = ->

b Tim m dé phuong trình cĩ nghiệm Giải

phương trình cho x”# 0, ta được: x° +mX + 2m +m.~ + -_ =0Â>(x?+ +) +m(xt â) + 2m =0 x Xx x x Đặt t= x+ 1, diéu kien > 2 Suyrax?+ x + =P-2, x Khi đĩ phương trình cĩ dạng: f(t) = + mt + 2m - 2 =0 (2) a Với m =~2.,la được: z_ 1 1 Qyeo f= Sta => 3 ©x+—=2€x=l x

Vay, với m = ~5 phương trình cĩ nghiệm x = 1

b Phương trình (1) cĩ nghiệm > phương trình (2) cĩ nghiệm Itl>2

Xét bài tốn ngược: "Tìm điều kiện để phương trình đã cho vơ nghiệm"

Trang 31

1 <m<4+22 2

ay ree ros ` = 7

Viv voi m < — 5 hoặc m > 4+ 22 phương trình đã cho cĩ nghiệm

(Pkương trình phản hồi quy) Giải và biện luận phương trình

ax* + bx’ + cx? - bx +a=0(a #0) (1)

PHUONG PHAP CHUNG

“Thực hiện theo các bước:

Bướ 1 Nhận xétrằng x =0 khơng phải là nghiệm của phương trình Chia cả

hai vẽ của phương trình cho x z0 ta được: (1) ©@aGÈ +) +b(@~ ˆ)+c=0., (2) x x Bước 2 Datt=x- + Suy ra X” + i = +2 x x Khi do: (2) <> at? + bt+0+2a=0 (3) Đĩ là phương trình bậc hai quen thuộc

Lưu ý: Với lớp phương trình trên khơng hề cĩ điều kiện cho ẩn phụ t, tức là với mỗi

nghiệm :¿ của (3) ta luơn cĩ hai nghiệm phân biệt x,, x; cho (1)

Ví duŠ: Giải và biện luận phương trình:

(m - 2)x! - 2mx — (m - 5)x? + 2mx +m — 2 =0 qd) Giải

Trang 32

Nếu A =0 ©m=-2 Phương trình (1) cĩ nghiệm kép u=1@œx- 1= 2 x 2 $32x1—~x-2<0 xe LiVH, 4 Néu A’ >0<>m>-2 Phương trình (1) cĩ hai nghiệm phân biệt: t _m-2#‡4-m 12 m 1 ty tt? +4 x-—=t, xˆ-t,x-1=0 2 X„„=-1 1,2 1 2 : cel! ° 7 = X 2 x -t;x-1l=0 Xa4= tạ+ti+4 2 Kết luận: s _ Với m =2, phương trình cĩ 2 nghiệm x = 2/8 +

" Vớim= - 2, phương trình cĩ 2 nghiệm x = eae

Với m< ~ 2, phương trình vơ nghiệm

" Với m> - 2, phương trình cĩ 4 nghiệm phân biệt: t, +t? +4 X= —— Xana = 2 Bài tốn 5 Giải và biện luận phương trình (x+a)(x + b)(x + c)(x + đ)=m với a+b=c+d (1) 216

PHUONG PHAP CHUNG

Thực hiện theo các bước:

Trang 33

= (1) c6 hai nghiém phan biệt (2) cĩ nghiêm đ«t,=t;

it <a<t,

= (1) c6 ba nghiém phan biét <> (2) cé nghiém a =t, <t * (1) cĩ bốn nghiém phan biét <> (2) c6 nghiém a <t, <t Vidu6: Cho phương trình:

(x — l)(x + I)(x + 3)(x + 5) =m (1)

a Giải phương trình với m= 9

b Tim m dé phuong trình vơ nghiệm

c Timm để phương trình cĩ đúng một nghiệm

d Tìm m để phương trình cĩ hai nghiệm phân biệt e Tìm m để phương trình cĩ ba nghiệm phân biệt f Tim m để phương trình cĩ bốn nghiệm phân biệt Giải ‘ Viết lại phương trình dưới dạng: (x? + 4x — 5)(x? +4x + 3) =m ĐặtL= x” + 4x — 5, điều kiện t > -9 Suy ra x + 4x + 3 =L+ 8 Khi đĩ phương trình trên cĩ dạng: tít + 8) =m &> f(t) =P + 8t—m =0 (2) a Voim=9 t=1 Qeot es -9=00| t=-9 : ® Véit=lox+4x-Ssloxt4x-4=00x,.= -24 VB "- Vớit= -9€>x°+4x-5= -0€>x'+4x+4=0{€Ầxy= —2

Vậy, phương trình cĩ ba nghiệm là x¡; =2 + V8 và xạ= —2

b Phương trình (1) vơ nghiệm khi và chỉ khi: A<0 16+m<0 (2) vo nghiem A>0 16+m20 = © eS om<-l6 (2)cohainghiem nho hon-9 af(-9) >0 9-m>0 8/2<-9 -4<-9 Vậy, với m < -16 phương trình đã cho vơ nghiệm

Trang 34

d Phương trình (1) cĩ hai nghiệm phân biệt khi A=0 16 =0 love nghiem keplon hon-9 lu -—>-99| |-4>-9 =.- (2)cohainghiem t, <-9<t, 2a m>9 ạ(c0u⁄0 Le-m<0

Vậy, với m =—16 hoặc m > 9 phương trình cĩ hai nghiệm phân biệt e Phương trình (1) cĩ 3 nghiệm phân biệt © (2) cĩ nghiệm — 9 = t¡ < t;

A'>0 16+m>0

Vậy, với m = 9 phương trình cĩ ba nghiệm phân biệt

f Phương trình (1) cĩ 4 nghiệm phân biệt (2) cĩ nghiệm - 9 < 1¡ <t;

A'>0 16+m>0

Vậy, với — l6< m < 9 phương trình cĩ bốn nghiệm phân biệt

Bài tốn 6 Giải và biện luận phương trình: (x+a)°+(x+b)'=c () PHƯƠNG PHÁP CHUNG Thực hiện theo các bước: 3 a+b Bước 1 DUIS ae c.— a-b X+a=t+ = âu: x+b=t-S—— 2 Khi đĩ: 2 4 4 —| a=bÌ“ +% tt a-b) =€ 2 @)©2#+ 12 ; ) +2{ =) =e @) Buéc 2, Datu=t’, diéu kién u > 0 Khi đĩ: (2) 2u?+ 2(^:>Ÿ ut (a8) =c @) Bước 3 Chuyển điều kiện của bài tốn thành điều kiện cho u

Vidu7:; Cho phương trình:

(x+1)'+(x+3)'=2m a Giải phương trình với m = 1

b._ Tìm m để phương trình cĩ 2 nghiệm phân biệt thuộc (—3, —1)

(1)

Trang 35

Gidi ĐMtt=x+ ETỔ =x z 2,suyza a 2 x+3=t+l Khi đe: (De (t- I'+(t+ lJ'=2m & 2È + 12Ẻ +2 =2m =+6+l—m=0 (2) Đậtu =t,u>0 Khi đe : (2) <> f(u) =u? + 6u+ 1-m=0 (@) a Với m= 1, phương trình (3) cĩ dạng: g”+6u=0 c2 |6 u=-6 (1) ôâ Viu=0<â>=0<â>x+2=0x=-2 Vy, vi m = I phương trình cĩ nghiệm x= — 2 b Ta cĩ: <x<-lo@-l<x+2<lo-l<t<lolii<loer<lou<i Vậy, rhương trình (1) cĩ hai nghiệm phân biệt thuộc khoảng ( - 3, — 1)

Vậy, với 1 <m < 8 thoả mãn điều kiện đầu bài Bài tốn7 Giải phương trình ax*+ bx? +cx?+dx+e=0(a40) (1) PHƯƠNG PHÁP CHUNG

Thực kiện theo các bước:

Bước I Biến đồi phương trình về dạng: AGỞ +bịx+cj)? + B(X) + bạx + c¡) + C=0 (2) 2 Bước 2 Đặtt=x?+ bạx + c¡, điều kiện t >— —= (chính là =—) a Khi đĩ: (2) Av + Bt+C=0 (3) Bước 3 Khi đĩ: bị -4c, (1) cĩ nghiệm < (2) cĩ nghiệm thoả mãn t > — t, Sast, eS Ề ast, St, =a

* (1) c6 nghiém duy nhat > (2) cé nghiém t, St, = a

* (1) cĩ hai nghiệm phân biệt

t, =t

< (2) c6 nghiém thoa man h SH,

t,<a<t,

Trang 36

Vidu 8: Cho phương trình:

(m~ 1)(x?— 2x + 3)*— 2m(x? - 2x) - 5m + 5 = 0 (D

a Giải phương trình với m= - 1

b Tìm m để phương trình cĩ 4 nghiệm phân biệt Giải Viết lại phương trình dưới dạng: (1) ©(m- 1)(x?~ 2x + 3)”~ 2m( ~ 2x + 3) +m + 5 =0 (2) Dat t = x? — 2x + 3, điều kiện t > 2 Khi đĩ: (2) © f() =(m - 1)Ẻ - 2mt +m + 5 =0 (3) a Vớim= - I, phương trình (3) cĩ đạng; t=2 t=~1 (` eâ- Vit=2ôâ>x'-2x+3=2x'-2x+l=0<x=l

Vy, vi m = — | phương trình cĩ nghiệm x = 1

b (1) cĩ bốn nghiệm phân biệt © (3) cĩ 2 nghiệm thoả mãn 2 < t, < tạ 284 244=069 m-1#0 mzl A'>0 5-4m>0 5 > ‡(m- If(2)>0 © (m-I(m+1)>0 ©l<m< 2 Š s2 m >2 2 m-1

Vậy, với l<m< = thoả mãn điều kiện đầu bài

Chú ý: Như đã trình bày trong chủ đề 3 cách đặt ẩn phụ cho phương trình bậc 4 rất

phong phú đa dạng tuỳ thuộc vào đặc thù của mỗi bài tốn, phương pháp được trình bày trong bài tốn trên chỉ minh hoạ một kiểu đặt ẩn phụ, sau đây ta đi xem xét thêm một vài ví dụ Ví dụ9; Giải và biện luận phương trình: + 2% _ = 82%, via 40 (x — a)" () Giải Điều kiện x z a ) Viết lại phương trình dưới dạng: 2 2 2 \ 2

Í‹: mỊ _ 2ax -a8>(25] _ 2ax? _ ga? (2)

x-a x-a x-a x-a

Dat t= ——, khi do: x-a

t=4a

G) SẺ ~2et— Bế =0 | :

t=-2a

Trang 37

"® Vớit=4a x? - = 4a o> x? -4ax + 4a? =0 > x, = 2a thoa main (*), xa =» Véit= -2a xì =~2a <> x? + 2ax — 2a =0 ©x;¿ =-a + V3a` thoả mãn (*) 3 Ÿ ăn Â sa x=a

Vậy, phương trình cĩ ba nghiệm phân biét x, = 2a, x,,= at 3a”

Nhận xét: G dạng ban đầu ta khơng thấy sự xuất hiện ẩn phụ, tuy nhiên để làm xuất hiện ẩn phụ ta viết lại phương trình dưới dạng: ax (x) + (=) = 8a’ Ta đưa ra nhận xét cho 2 số hạng trong vế trái của phương trình trên đĩng vai trị A? + BỶ của hằng đẳng thức (A+B} Khi đĩ ta cĩ được 2 hướng biến đổi: AT+BÌ=(A-B)`+2AB (hl) R +B =(A+B)'-2AB (h2)

» Nếu lựa chọn hướng thứ nhất:

: ax \° ax \`, 2ax? x°~2axÌ” „ 2ax

(xy + =|x- + = +

x-a x-a x-a x-a xa

Ta thấy rằng khơng cĩ sự xuất hiện của ẩn phụ

» Nếu lựa chọn hướng thứ hai: 4 ax \ ax)’ 2ax? x?) 2ax? (x) + =|x+ = = — : X-a X-a xX-a x-a xa 2 2 Ở đây ẩn phụ đã xuất hiện, đĩ là -— x-a

Như vậy việc lựa chọn hướng biến đổi đại số đúng cho mỗi phương trình bậc bốn nĩi riêng và các phương trình, bất phương trình nĩi chung là rất quan trọng

B BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ

Bài tập 1 Cho phương trình:

x'+ 2mx? +m + 3= 0

Tìm m đề phương trình cĩ bốn nghiệm phân biệt x, < x;< X;< l <2 < X¿ Bài tập 2 Giải và biện luận các phương trình:

a x'-(m+2)x'+m=0 b mvf+2x?—2=0 :

c 2x'+mx?+2=0

Trang 38

Bai tap 3 (Để 122): Giả sử đồ thị hàm số y = x* + ax? + b cất Ox tại 4 điểm phân

biệt với hồnh độ lập thành cấp số cộng Chứng minh rằng khi đĩ 9a? — 100b = 0

Bài tập 4 Chứng minh rằng nếu x,, x;, x;, x¿ là các nghiệm của phương trình: ax +bx?+c =0, thì 4 X,+X;+X;+X, =0 Cc X.3;X;X¿ =— a Bai tap 5 Cho phương trình: X(x -2)(x + 2)(x + 4) =

a Giải phương trình với m = 9

b Tìm m để phương trình vơ nghiệm

c Tìm m để phương trình cĩ đúng một nghiệm d Tim m dé phuong trình cĩ hai nghiệm phân biệt e Tìm m để phương trình cĩ ba nghiệm phân biệt

f Tìm m để phương trình cĩ bốn nghiệm phân biệt Bài tập 6 Cho phương trình: x‘ — 4mx? + (m + 1)x— 4mx + 1 =0 a Giải phương trình với m = - l b Tìm m để phương trình cĩ nghiệm Bài tạp7 Cho phương trình: (x+2)*+(x+6)*=m?- 2 a Giải phương trình với m =2

b Tìm m để phương trình cĩ hai nghiệm phân biệt thuộc khoảng (~2, —1)

Bài tập 8 Giải và biện luận phương trình

2, 82x?

x+

(x +a)?

Trang 39

CHU ĐỀ 5 ĐỊNH LÝ VIẾTE VÀ CÁC ỨNG ĐỤNG A TĨM TẮT LÝ THUYẾT 1 HỆ THỨC VIẾTE CHO PHƯƠNG TRÌNH BẬC 3 Giải sử phương trình: ax’ + bx? +cx+đ=0 (a #0) cĩ 3 nghiệm xị, Xạ, X: khi đĩ: Xi +X; +Xx;=-b/a 4X,X; +X¿X; +X;X; =c/a lia ti ==d/ 2 Hf THUC VIETE CHO PHUONG TRINH BAC 4 Giải sử phương trình: ax’ + bx’ + cx? + dx +e =0 (a #0) cĩ 4 nghiệm xạ X;, X, X; khi đĩ: X,+X,4+X,+x,=—-b/a

XX +X,)Xy +X,Xq +%,Xy + X,Xy +X,X,=c/a

X,XpX +X,X2Xy +X,/X\Xy+X,X4X, =—-d/a X,X)X4X, =e/a B PHUONG PHAP GIAI TOAN Bài tốn 1 Giải phương trình khi biết tính chất của các nghiệm PHƯƠNG PHÁP CHUNG

'Ta thực hiện theo các bước:

Bước 1 Dựa vào định lý Viéte ta xác định được một nghiệm xạ của phương trình

Bước 2 - Lựa chọn một trong hai hướng:

Hướng I: Nếu phượng trình khơng chứa tham số:

Biến đổi phương trình về dạng:

(X — Xp)g(x) = 0 = các nghiệm Hướng 2: Nếu phương trình chứa tham số:

Trang 40

Viét lai phuong trinh vé dang: (1) < (2x — 1)(6x? + 5x - 6) = 2x-1=0 1 2 © ` ©x=_„VX=—_vx= 6x" +5x-6=0 2 3 Vậy phương trình cĩ ba nghiệm phân biệt x = Vídu2; Xác định m để phương trình xÌ~(m+ l)x`- x+2m =0 () cĩ ba nghiệm phân biệt, biết rằng trong số các nghiệm số cĩ hai nghiệm đối nhau Giải Giả sử phương trình cĩ 3 nghiệm x¡, X;, X; và x, + xạ =0, khi đĩ: Xị:#+X;+X;=m + Ì ©x; =m+ ] Với x; =m + i thay vào (1) ta được: (m+1)`~(m+ 1} - (m + 1)+2m =0 ©m= l Với m = I thay vào (1) ta được: ele Nl w > x, =1 (1 ©x)-2x~x+2=0€(x- I)\(xè-x-2)=0ôââ |x;=2 x, == Ta c6 x, +X; = 0 thoả mãn diều kiện

Định dạng
Số trang	332
Dung lượng	15,58 MB