BÀI tập THEO CHUYÊN đề LUYỆN THI đại học môn TOÁN

Chuyên đề Khảo Sát Sự Biến Thiên Và Vẽ Đồ Thị Hàm Số §1 Tính Đơn Điệu Của Hàm Số A Kiến Thức Cần Nhớ Định lý 1.1 Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm khoảng I • Nếu f (x) > 0, ∀x ∈ I y = f (x) đồng biến I • Nếu f (x) < 0, ∀x ∈ I y = f (x) nghịch biến I • Nếu f (x) = 0, ∀x ∈ I y = f (x) không đổi I Lưu ý • Nếu f (x) ≥ 0, ∀x ∈ I f (x) = hữu hạn điểm I y = f (x) đồng biến I • Khoảng I thay đoạn nửa khoảng với giả thiết bổ sung: “Hàm số y = f (x) liên tục đoạn nửa khoảng đó” B Kỹ Năng Cơ Bản Tìm khoảng đơn điệu hàm số • Tìm tập xác định Tính y Tìm điểm y không xác định • Lập bảng biến thiên Từ bảng biến thiên rút kết luận Điều kiện để hàm số đồng biến, nghịch biến • Tìm tập xác định Df • Tính y y ≥ 0, ∀x ∈ Df (hoặc y ≤ 0, ∀x ∈ Df ) C Bài Tập 1.1 Tìm khoảng đơn điệu hàm số sau a) y = 2x3 − 3x2 + b) y = −x3 − 3x + d) y = x − 2x + e) y = −x4 + 2x3 − 2x − 2x + x+2 g) y = h) y = x+2 3x − c) y = √ x3 + 3x2 + 3x f) y = x2 − 2x − x2 − 4x + i) y = 1−x 1.2 Tìm m để hàm số y = x3 + (m − 1) x2 + m2 − x + đồng biến R 1.3 Tìm m để hàm số y = −mx3 + (3 − m) x2 − 2x + nghịch biến R 1.4 Tìm m để hàm số y = mx − đồng biến khoảng xác định m−x mx − nghịch biến khoảng xác định x+m−3 m 1.6 Tìm m để hàm số y = x + + đồng biến khoảng xác định x−1 1.5 Tìm m để hàm số y = 1.7 Tìm m để hàm số y = mx + nghịch biến (−∞; 1) x+m 1.8 Tìm m để hàm số y = mx − nghịch biến (1; +∞) x+m−3 Thuvientailieu.net.vn 1.9 Tìm a để hàm số y = x3 + 3x2 + ax + a nghịch biến đoạn có độ dài 1.10 Tìm m để hàm số y = −x3 + 3x2 + mx + đồng biến đoạn có độ dài §2 Cực Trị Của Hàm Số A Kiến Thức Cần Nhớ Định lý 1.2 Giả sử hàm số y = f (x) đạt cực trị x0 Khi đó, y = f (x) có đạo hàm x0 f (x0 ) = Định lý 1.3 Giả sử hàm số y = f (x) liên tục khoảng (a; b) chứa x0 có đạo hàm (a; x0 ), (x0 ; b) Khi • Nếu f (x) < 0, ∀x ∈ (a; x0 ) f (x) > 0, ∀x ∈ (x0 ; b) hàm số y = f (x) đạt cực tiểu x0 • Nếu f (x) > 0, ∀x ∈ (a; x0 ) f (x) < 0, ∀x ∈ (x0 ; b) hàm số y = f (x) đạt cực đại x0 Định lý 1.4 Giả sử hàm số y = f (x) có đạo hàm cấp (a; b) có đạo hàm cấp hai khác x0 Khi f (x0 ) = • Nếu hàm số đạt cực đại x0 f (x0 ) < f (x0 ) = • Nếu hàm số đạt cực tiểu x0 f (x0 ) > Lưu ý Nếu y (x0 ) = hàm số đạt cực trị không đạt cực trị x0 B Kỹ Năng Cơ Bản Tìm cực trị hàm số • Tìm tập xác định Tính y Tìm điểm y không xác định • Lập bảng biến thiên Từ bảng biến thiên rút kết luận Điều kiện để hàm số có cực trị, có k cực trị • Sử dụng ĐL 1.3 ĐL 1.4 Điều kiện để hàm số đạt cực trị x0 • Tính y , y Hàm số đạt cực trị x0 ⇒ y (x0 ) = ⇒ m • Thay m x0 vào y để kết luận Lưu ý Nếu y (x0 ) = phải kiểm tra dấu y để kết luận C Bài Tập 1.11 Tìm cực trị hàm số sau a) y = 2x3 − 3x2 + d) y = x4 − 2x2 + 2x + g) y = x+2 b) y = −x3 − 3x + e) y = −x4 + 2x3 − 2x − x+2 h) y = 3x − 1.12 Tìm m để hàm số y = x3 − 3mx2 + (2m − 1) x − b) Đạt cực trị x = a) Có cực trị c) y = √ x3 + 3x2 + 3x f) y = x2 − 2x − x2 − 4x + i) y = 1−x c) Đạt cực đại x = 1 x − mx2 + m2 − m + x + Với giá trị m hàm số a) Đạt cực đại x = b) Có cực đại, cực tiểu c) Không có cực trị 1.13 Cho hàm số y = 1.14 Cho hàm số y = x4 − (m + 1) x2 + 2m + Với giá trị m hàm số c) Đạt cực trị x = a) Có ba điểm cực trị b) Đạt cực tiểu x = 1.15 Tìm m để hàm số y = −x4 + (2m − 1) x2 + có cực trị 1.16 (B-02) Tìm m để hàm số y = mx4 + m2 − x2 + 10 có ba điểm cực trị x2 + mx + x+m b) Đạt cực tiểu x = 1.17 Xác định giá trị m để hàm số y = a) Không có cực trị Thuvientailieu.net.vn c) Đạt cực đại x = Chuyên đề Khảo Sát Sự Biến Thiên Và Vẽ Đồ Thị Hàm Số §3 Giá Trị Lớn Nhất Và Giá Trị Nhỏ Nhất Của Hàm Số A Kiến Thức Cần Nhớ Định nghĩa 1.5 Cho hàm số y = f (x) xác định tập hợp D Khi f (x) ≤ M, ∀x ∈ D • M = max f (x) ⇔ • m = f (x) ⇔ ∃x0 ∈ D : M = f (x0 ) x∈D x∈D f (x) ≥ m, ∀x ∈ D ∃x0 ∈ D : m = f (x0 ) Lưu ý • Mọi hàm số liên tục đoạn có giá trị lớn giá trị nhỏ đoạn • Trên khoảng nửa khoảng hàm số có giá trị lớn giá trị nhỏ B Kỹ Năng Cơ Bản Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số miền D • Tính y , y = ⇒ xi ∈ D • Lập bảng biến thiên Từ bảng biến thiên rút kết luận Xét tính đơn điệu khoảng cho trước PP1: • Tính y y ≥ 0, ∀x ∈ D (hoặc y ≤ 0, ∀x ∈ D) • Từ y ≥ 0, ∀x ∈ D ⇒ m ≥ g(x), ∀x ∈ D • Lập bảng biến thiên g(x) D Từ bảng biến thiên rút kết luận PP2: • Tính y Tìm điểm y = không xác định • Lập bảng biến thiên Từ bảng biến thiên rút kết luận Lưu ý • m ≥ f (x), ∀x ∈ D ⇔ m ≥ max f (x) • m ≤ f (x), ∀x ∈ D ⇔ m ≤ f (x) x∈D x∈D C Bài Tập 1.18 Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ (nếu có) hàm số sau: a) y = + 8x − 2x2 [−1; 3] b) y = x3 − 3x2 + [−2; 3] c) y = + 4x3 − 3x4 [−2; 1] e) y = x − + x (0; +∞) f) y = x − x1 (0; 2] d) y = x − 3x + (1; 4) √ g) y = h) y = x4 + 2x2 − i) y = x + − x2 + x2 1.19 Tìm giá √ trị lớn giá trị nhỏ (nếu có) hàm số sau b) y = sin x − 34 sin3 x [0; π] a) y = x + cos x 0; π2 4 e) y = sin x − 12 cos x − d) y = sin x + cos x c) y = sin4 x − 4sin2 x + f) y = sin2 x + sin 2x + 2cos2 x 1.20 Cho parabol (P ) : y = x2 điểm A (−3; 0) Tìm điểm M ∈ (P ) cho khoảng cách AM ngắn tính khoảng cách 1.21 Tìm m để hàm số y = x3 + 3x2 − mx − đồng biến (−∞; 0) 1.22 (BĐT-79) Tìm m để hàm số y = − 31 x3 + (m − 1) x2 + (m − 3) x − đồng biến (0; 3) 1.23 Tìm m để hàm số y = mx3 − (m − 1) x2 + (m − 2) x + đồng biến [2; +∞) 1.24 Tìm m để hàm số y = x3 + 3x2 + (m + 1) x + 4m đồng biến (−∞; −2) (2; +∞) 1.25 (BĐT-50) Tìm m để hàm số y = 1.26 Tìm m để hàm số y = 1.27 Tìm a để hàm số y = mx2 + 6x − nghịch biến [1; +∞) x+2 x2 − 2mx + 2m2 − đồng biến (1; +∞) x−m x2 − 2ax + 4a2 đồng biến (2; +∞) x − 2a Thuvientailieu.net.vn §4 Đường Tiệm Cận Của Đồ Thị Hàm Số A Kiến Thức Cần Nhớ Định nghĩa 1.6 Đường thẳng y = y0 gọi đường tiệm cận ngang đồ thị hàm số y = f (x) lim f (x) = y0 lim f (x) = y0 x→+∞ x→−∞ Định nghĩa 1.7 Đường thẳng x = x0 gọi đường tiệm cận đứng đồ thị hàm số y = f (x) lim f (x) = +∞; lim f (x) = −∞; lim f (x) = +∞ lim f (x) = −∞ x→x+ x→x− x→x+ x→x− Định nghĩa 1.8 Đường thẳng y = ax + b, (a = 0) gọi đường tiệm cận xiên đồ thị hàm số y = f (x) lim [f (x) − (ax + b)] = lim [f (x) − (ax + b)] = x→+∞ x→−∞ B Kỹ Năng Cơ Bản Tìm tiệm cận ngang tiệm cận đứng • Tìm lim f (x) ⇒TCN x→±∞ • Tìm lim± f (x) ⇒TCĐ x→x0 Lưu ý x0 thường nghiệm mẫu Tìm tiệm cận xiên C1: Viết lại hàm số dạng y = ax + b + g(x) Chỉ lim [y − (ax + b)] = ⇒TCX x→±∞ f (x) b = lim [f (x) − ax] ⇒TCX C2: Tính a = lim x→∞ x→±∞ x C Bài Tập 1.28 Tìm tiệm cận (nếu có) hàm số sau 2x − x−3 b) y = a) y = x−2 −x + √ √ x+3 x2 + x e) y = d) y = x+1 x−1 x − 4x + g) y = h) y = x2 + x − 1−x 1.29 Tìm m để đồ thị hàm số y = 1.30 Tìm m để hàm số y = c) y = − 4x x+1 f) y = 2x − + i) y = x + x x2 + 2x mx2 − 2m (m − 1) x − 3m2 + m − có tiệm cận xiên qua A (−1; −3) x+2 2x2 + (m + 1) x − có giao hai tiệm cận nằm parabol (P ) : y = x2 + 2x − x+m 1.31 (A-08) Tìm m để góc hai tiệm cận hàm số y = 1.32 Tìm m để đồ thị hàm số y = mx2 + 3m2 − x − 450 x + 3m x2 + mx − có tiệm cận xiên tạo với trục toạ độ tam giác có diện tích x−1 1.33 Tìm m để đồ thị hàm số y = 2x2 − (5m − 1) x + 4m2 − m − có tiệm cận xiên tạo với trục toạ độ x−m tam giác có diện tích 1.34 Cho hàm số y = 3x − Chứng minh tích khoảng cách từ điểm M nằm đồ thị hàm số đến hai tiệm x−2 cận không đổi −x2 + 4x − Chứng minh tích khoảng cách từ điểm M nằm đồ thị hàm số x−2 đến hai tiệm cận số 1.35 (A-07) Cho hàm số y = 1.36 Tìm điểm M thuộc đồ thị hàm số y = 3x − để tổng khoảng cách từ M đến hai tiệm cận nhỏ x−2 1.37 Tìm điểm M thuộc đồ thị hàm số y = x2 + 2x − để tổng khoảng cách từ M đến hai tiệm cận nhỏ x−1 Thuvientailieu.net.vn Chuyên đề Khảo Sát Sự Biến Thiên Và Vẽ Đồ Thị Hàm Số §5 Khảo Sát Sự Biến Thiên Và Vẽ Đồ Thị Hàm Số A Kiến Thức Cần Nhớ Sơ đồ khảo sát tổng quát Tập xác định Sự biến thiên • Giới hạn, tiệm cận (nếu có) • Bảng biến thiên (tính đạo hàm, lập bảng biến thiên, tính đơn điệu, cực trị) Đồ thị • Tương giao với trục • Tính đối xứng (nếu có) • Điểm đặc biệt (nếu cần) Điểm uốn Định nghĩa 1.9 Điểm U (x0 ; f (x0 )) gọi điểm uốn đồ thị hàm số y = f (x) tồn khoảng (a; b) chứa điểm x0 cho hai khoảng (a; x0 ) (x0 ; b) tiếp tuyến đồ thị điểm U nằm phía đồ thị khoảng tiếp tuyến nằm phía đồ thị Mệnh đề 1.10 Nếu hàm số y = f (x) có đạo hàm cấp hai khoảng chứa x0 , f (x0 ) = f (x) đổi dấu qua điểm x0 U (x0 ; f (x0 )) điểm uốn đồ thị hàm số y = f (x) B Các Dạng Đồ Thị Khảo Sát • Hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d y (a = 0) y U U x O • Hàm số y = ax4 + bx2 + c y (a = 0) y ax + b • Hàm số y = cx + d y x O (c = 0, ad − bc = 0) y I x O • Hàm số y = ax2 + bx + c dx + e (a = 0, d = 0) y y I I O x O x O x O I x O x C Bài Tập 1.38 Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số sau a) y = x3 + 3x2 − b) y = −x3 + 3x − c) y = −x3 + 3 e) y = x + x − f) y = −2x − x − g) y = −x3 + 3x2 − d) y = x3 + 3x2 + 3x + h) y = 13 x3 − x2 − 3x − 53 1.39 Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số sau c) y = 21 x4 + x2 − 32 a) y = x4 − 2x2 − b) y = x4 + 2x2 − 4 e) y = −x + 2x − f) y = 2x − 4x + g) y = −2x4 − 4x2 + d) y = − 2x2 − x4 h) y = x4 − 4x2 + 1.40 Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số sau x−3 a) y = b) y = c) y = 2−x 2−x x−2 x+2 e) y = f) y = g) y = x+1 x−1 −x + 2x + x+3 h) y = x−2 Thuvientailieu.net.vn x+3 x−1 2−x x+1 d) y = 1.41 Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số sau x2 − 2x − 2x2 + 5x + x2 + 2x + b) y = c) y = a) y = x+1 x−2 x+2 2 x − 2x 2x − x + g) y = −x + + e) y = f) y = x−1 x−1 1−x Thuvientailieu.net.vn −x2 − 2x x+1 h) y = x − + x+1 d) y = Chuyên đề Phương Trình - Bất Phương Trình & Hệ Phương Trình Đại Số §1 Phương Trình & Bất Phương Trình Không Chứa Căn A Phương Pháp Giải Cơ Bản Đưa phương trình tích • Biến đổi đưa phương trình dạng f (x).g(x) = f (x) = • Áp dụng công thức f (x).g(x) = ⇔ g(x) = Đặt ẩn phụ • Chọn ẩn phụ t = u(x) phù hợp • Đưa phương trình phương trình theo ẩn t biết cách giải (phương trình chứa x) Phuơng pháp khoảng (đối với phương trình chứa ẩn dấu giá trị tuyệt đối) • Lập bảng xét dấu biểu thức dấu giá trị tuyệt đối • Xét phương trình khoảng Lưu ý Nếu phương trình chứa dấu trị tuyệt đối |f (x)| xét hai trường hợp f (x) ≥ f (x) < B Bài Tập 2.1 Giải bất phương trình sau a) x2 − 6x + > c) x4 − 4x3 + 3x2 + 8x − 10 ≤ b) −4x2 + x − ≥ d) x4 + x2 + 4x − ≥ 2.2 Giải bất phương trình sau x−2 ≥ a) x − 9x + x+5 2x − c) + > 2x − x+5 x2 − 3x − ≥ 2x + x−1 1 d) < x − 5x + x − 7x + 10 2.3 Giải phương trình sau a) x3 − 5x2 + 5x − = c) x4 − 4x3 − x2 + 16x − 12 = 3 e) x2 + + (1 − 3x) = x2 − 3x + √ √ b) x3 − 3x2 + 7x − = 3 d) (x − 3) + (2x + 3) = 18x3 f) (4 + x) − (x − 1) = (1 − x) x2 − 2x + 17 2.4 Giải phương trình sau a) x2 − 4x + − x2 − 6x + c) x4 + 3x2 + = 2x e) x4 = 6x2 − 12x + b) x4 = (2x − 5) d) x4 − 4x − = f) x4 = 2x3 + 3x2 − 4x + b) 2 = 2.5 Giải phương trình sau 4 a) (x + 3) + (x + 5) = 4 c) (x + 3) + (x − 1) = 82 b) (x + 1) + (x + 3) = 16 d) x4 + (x − 1) = 29 2.6 Giải phương trình sau a) (x + 1) (x + 2) (x + 3) (x + 4) = c) (x − 1) (x − 2) (x − 3) (x − 6) = 3x2 b) x2 + (x + 3) (x + 5) + 16 = d) x2 − 2x + x2 + 3x + = 14x2 Thuvientailieu.net.vn 2.7 Giải phương trình sau a) x4 − 4x3 + 6x2 − 4x + = c) 2x4 + 3x3 − 27x2 + 6x + = b) 2x4 + 3x3 − 16x2 − 3x + = d) x4 − 5x3 + 8x2 − 10x + = 2.8 Giải phương trình sau a) x2 + 5x − x2 + 5x − 24 = b) x2 + x + c) x2 − 2x − 2 − 2x2 + 3x + = 2.9 Giải phương trình sau 1 a) + = 2x2 − x + 2x2 − x + 2x − x + x2 + x c) + =− x x +1 2 x = e) x2 + x+1 2.10 a) c) e) Giải phương trình sau |x − 1| = x2 − 3x + x2 − 5x + − x = x2 − 5x + = x2 + 6x + x2 + x + = 12 d) (4x + 3) (x + 1) (2x + 1) = 810 4x 3x + = 4x2 − 8x + 4x2 − 10x + 2 x−1 x−3 x−3 d) + −2 = x+2 x+2 x−1 2 1 13 f) + = 2 x +x+1 x +x+2 36 b) b) x2 + 4x − = x2 + √ d) x2 + 4x + = − x2 f) x2 − 5x + = −2x2 + 10x − 11 2.11 Giải phương trình sau a) x2 − x 2 + x2 − x − = c) x2 + 3x − 10 + x2 − = x+1 2x − − − = x+1 2x − d) x2 + 3x − + x2011 + 2011x − 2012 = b) 2.12 Giải bất phương trình sau a) |x − 2| < |2x + 1| c) x2 − 5x + ≤ x2 + 6x + 2.13 Giải phương trình sau a) |9 − x| = |6 − 5x| + |4x + 3| c) |7 − 2x| = |5 − 3x| + |x + 2| √ √ e) x2 − 2x + + x2 + 4x + = 2x − ≤ x−3 d) x2 − 2x + x2 − > b) b) x2 − 5x + + x2 − 5x = d) |x − 1| − |x − 2| + |x − 3| = √ √ f) x + x − + x − x − = §2 Phương Trình & Bất Phương Trình Chứa Căn A Phương Pháp Giải Cơ Bản Sử dụng phép biến đổi tương đương f (x) ≥ • f (x) = g(x) ⇔ f (x) = g(x) • • g(x) ⇔ f (x) = g(x)   f (x) ≥ g(x) > f (x) < g(x) ⇔  f (x) < g (x) f (x) = • • f (x) = g(x) ⇔ • g(x) ≥ f (x) = g (x) f (x) = g(x) ⇔ f (x) = g (x)  g(x) <  f (x) ≥  f (x) > g(x) ⇔  g(x) ≥ f (x) > g (x) Đặt ẩn phụ • Dạng 1: Đặt t = u(x), đưa phương trình ẩn t (phương trình chứa ẩn x) • Dạng Đặt u = u(x); v = v(x), đưa phương trình hệ theo ẩn u v Sử dụng tính đơn điệu hàm số • Dự đoán nghiệm (nếu có) • Sử dụng tính đơn điệu hàm số để phương trình có nghiệm dự đoán (hoặc PTVN) Đánh giá hai vế f (x) = A • Đánh giá f (x) ≥ A; g(x) ≤ A Khi f (x) = g(x) ⇔ g(x) = A Thuvientailieu.net.vn Chuyên đề Phương Trình - Bất Phương Trình & Hệ Phương Trình Đại Số B Bài Tập 2.14 Giải phương trình sau √ a) x − x − − = √ √ √ c) 3x − − − x = 2x − √ √ √ e) 2x − + x − = 3x + √ √ √ b) 2x + = − x + 3x + √ + = x + d) √ 2x + 6x √ √ 3 f) x + + x + + x + = 2.15 √ Giải bất phương trình sau a) √x2 − 4x − 12 > 2x + c) 6x − 9x2 < 3x √ b) √x2 − 4x − 12 ≤ x − d) x3 + ≥ x + 2.16 Giải bất phương trình sau √ √ √ a) (CĐ-09) x + + x − ≤ 5x + √ c) 2x + 6x2 + > x + b) (A-05) d) (A-04) 2.17 Giải phương trình sau √ √ a) (D-05) x + + x + − x + = b) c) x + x+ + x+ d) = 2.18 Giải bất phương trình sau √ a) x4 + x − ≥ − x √ c) √ (x − 2) x2 + < √ x − √ 2 e) x − 3x + + x − 4x + ≥ x2 − 5x + √ √ 5x − − x − > 2x − (x2 − 16) √ 7−x √ + x−3> √ x−3 x−3 √ √ x − + x + − x − − x + = √ √ x+3 x+2 x−1+ x−2 x−1= √ b) (D-02) x2 − 3x 2x2 − 3x − ≥ √ ≤ x2 − 2x − d) √ (x + 2) − x√ √ f) x + x − + x2 + 2x − ≤ x2 + 4x − 2.19 Giải phương trình sau √ a) (D-06) 2x − + x2 − 3x + = √ √ c) 2x2 + 8x + + x2 − = 2x + √ e) x2 + 3x + = (x + 3) x2 + √ √ b) − x√2 + x x + = √3 − 2x − x2 d) + x − = 2x + x + 7 f) x2 − + x − = x x x 2.20 Giải√các bất phương trình sau − − 4x2 a) < x 2x c) √ > 2x + 2x + − √ 21 − 4x + x2 ≥ x+1 x2 d) √ > x − 1+ 1+x b) 2.21 Giải phương trình √ sau a) (x + 5) (2 − x) = x2 + 3x √ √ c) x + + − x + (x + 1) (4 − x) = 2.22 Giải phương trình sau √ √ a) x + − x2 = + 3x − x2 √ x2 − x2 x c) + + +√ x − x2 x − x2 √ 1− b) (x + 1) (2 − x) = + 2x − 2x2 √ √ √ d) 3x − + x − = 4x − + 3x2 − 5x + b) (x − 3) (x + 1) + (x − 3) x+1 x−3 = −3 √ √ √ + = d) (B-2011) + x − − x + 4 − x2 = 10 − 3x 2.23 Giải phương√trình sau a) x2 + 3x + ≥ x2 + 3x + √ c) x (x + 1) − x2 + x + + ≥ x x+1 e) −2 > x+1 x √ b) x2 + 2x2 + 4x + ≥ − 2x d) x2 − 2x + − (4 − x) (2 + x) ≤ √ √ √ f) x + + x − + x2 + x − ≤ 11 − 2x 2.24 Giải phương trình sau √ a) x2 − =√2x x2 − 2x c) (4x − 1) x3 + = 2x3 + 2x + √ b) x2 − = 2x x2 +√2x d) x2 + 4x = (x + 2) x2 − 2x + 24 2.25 Giải phương trình sau √ √ a) − x = − √ x − c) x2 + = x3 + √ √ b) (A-09) 3x − + √ − 5x − = d) x2 − 3x + = x3 + Thuvientailieu.net.vn 2.26 Giải √ phương trình sau = a) x2 + x +√ c) x3 + = 2x − √ b) x3√+ = 3 3x −√2 d) x 35 − x3 x + 35 − x3 = 30 2.27 Giải phương trình, bất phương trình sau √ √ a) (B-2012) x + + x2 − 4x + ≥ x √ √ c) x2 − = − x3 b) (A-2010) 2.28 Giải phương trình sau √ √ a) √ 4x − + √ 4x2 − = c) 2x − + x2 + 3√= − x e) x3 + 4x − (2x + 7) 2x + = √ b) x − = −x √ − 4x + 5 d) x + x − − 3x + = √ f) (CĐ-2012) 4x3 + x − (x − 1) 2x + = 2.29 √ Giải phương trình sau √ a) x2 − 2x + + x − = √ √ √ c) x − − + x + + x − − = √ √ b) x − + − x = x2 − 6x + 11 √ d) 5x3 + 3x2 + 3x − = 12 x2 + 3x − 21 d) x + x− √ x ≥ 1 − (x2 − x + 1) (1 − x2 ) = − 2x2 §3 Hệ Phương Trình Đại Số A Phương Pháp Giải Cơ Bản Đưa hệ mẫu mực (Hệ đối xứng loại I, hệ đối xứng loại II, hệ đẳng cấp) Phương pháp • Loại 1: Rút biểu thức từ phương trình vào phương trình • Loại 2: Giải cụ thể phương trình vào phương trình • Loại Thế số Đặt ẩn phụ Sử dụng tính đơn điệu hàm số • Nếu y = f (x) đồng biến nghịch biến D f (u) = f (v) ⇔ u = v • Nếu y = f (x) đồng biến D y = g(x) nghịch biến không đổi D phương trình f (x) = g(x) có nhiều nghiệm D B Bài Tập 2.30 Giải hệ phương trình sau x2 + y + xy = a) x + y + xy = x2 + y + x + y = c) (DB-05) x (x + y + 1) + y (y + 1) = b) d) x + y + xy = x3 + y − 3(x − y) + = x2 − xy + y = (x − y) x2 + xy + y = 7(x − y) 2.31 Giải hệ phương trình sau a) x − 2y = 2x + y y − 2x2 = 2y + x    2x + y = x c)   2y + x = y 2.32 Giải hệ phương trình sau x2 − xy = a) 2x2 + 4xy − 2y = 14 x3 + y = c) x2 y + 2xy + y = 2.33 Giải hệ phương trình sau x + y = −1 a) x3 − 3x = y − 3y x4 + 2x3 y + x2 y = 2x + c) (B-08) x2 + 2xy = 6x +  4y   x − 3y = x b) 4x   y − 3x = y  y2 +   3y = x2 d) (B-03) x +2   3x = y2 x2 − 2xy + 3y = x2 − 4xy + 5y = (x − y) x2 + y = 13 d) (DB-06) (x + y) x2 − y = 25 b) b) (DB-06) d) (D-09) 10 Thuvientailieu.net.vn x2 + + y (y + x) = 4y x2 + (y + x − 2) = y x (x + y + 1) − = (x + y) − x52 + = 10.8 Cho hình chóp S.ABCD có ABCD hình bình hành Gọi M, N trung điểm AB, CD a) Chứng minh M N song song với mặt phẳng (SBC) (SAD) b) Gọi P trung điểm SA Chứng minh SB, SC song song với mặt phẳng (M N P ) c) Gọi G1 , G2 trọng tâm tam giác ABC SBC Chứng minh G1 G2 song song với (SAB) 10.9 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình bình hành tâm O Gọi M, N trung điểm SA, CD a) Chứng minh hai mặt phẳng OM N (SBC) song song với b) Gọi I trung điểm SC; J nằm (ABCD) cách AB, CD Chứng minh đường thẳng IJ song song với (SAB) §2 Quan Hệ Vuông Góc A Kỹ Năng Cơ Bản Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng Chỉ đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cắt nằm mặt phẳng Chứng minh hai đường thẳng vuông góc C1: Chỉ mặt phẳng chứa đường vuông với đường C2: Chỉ hình chiếu đường mặt phẳng chứa đường vuông góc với đường Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc Chỉ đường thẳng chứa mặt vuông với mặt Tìm góc hai đường thẳng Tìm b song song b cắt a Góc a b góc a b Tìm góc đường thẳng mặt phẳng Xác định hình chiếu đường thẳng lên mặt phẳng Góc đường thẳng hình chiếu góc cần tìm Tìm góc hai mặt phẳng Tìm a, b nằm hai mặt phẳng vuông góc với giao tuyến cắt giao tuyến điểm Tính khoảng cách hai đường thẳng chéo C1: Tìm đoạn vuông góc chung C2: Xác định (α) chứa b song song với a Khoảng cách a b khoảng cách từ M ∈ a đến (α) B Bài Tập 10.10 Cho hình chóp S.ABCD có ABCD hình vuông tâm O cạnh a, SA vuông góc với (ABCD), SA = 2a a) Chứng minh mặt hình chóp tam giác vuông b) Gọi H hình chiếu A lên SB Chứng minh AH⊥SC (SAC)⊥(SBD) c) Gọi K hình chiếu O lên SC Chứng minh OK⊥BD Từ tính khoảng cách BD SC √ 10.11 Cho hình chóp tam giác S.ABC có SA = a AB = a, O tâm đáy a) Chứng minh SA vuông góc với BC b) Tính góc SA (ABC) c) Tính góc (SBC) (ABC) d) Tính khoảng cách BC SA 10.12 Cho hình chóp tam giác S.ABC có ABC tam giác vuông B; SA = AB = BC = a SA vuông góc với (ABC) Gọi I trung điểm AB; H, K hình chiếu A, I lên SB a) Chứng minh BC vuông góc với (SAB) AH vuông góc với SC Tính góc AC (SBC) b) Chứng minh tam giác IKC vuông Từ tính diện tích tam giác IKC theo a 10.13 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thoi tâm O, cạnh a, BAD = 600 , SO = a SO vuông góc với (ABCD) Tính khoảng cách từ O đến (SBC) khoảng cách hai đường thẳng AD SB 10.14 Cho hình chóp S.ABCD có ABCD hình thoi cạnh a có góc BAD = 600 Gọi O giao AC BD Đường thẳng SO vuông góc với (ABCD) SO = 3a Gọi E trung điểm BC, F trung điểm BE Chứng minh (SOF ) ⊥ (SBC) Tính khoảng cách từ O A đến (SBC) 10.15 Cho hình chóp S.ABCD có ABCD hình thoi cạnh a, SA = SB = SC = a, SD = x Chứng minh AC vuông góc với (SBD) tam giác SBD vuông Tìm x để SD hợp với (ABCD) góc 300 10.16 (A-02) Cho hình chóp tam giác S.ABC cạnh đáy a Gọi M, N trung điểm cạnh SB SC Tính theo a diện tích tam giác AM N , biết (AM N )⊥(SBC) 10.17 (D-07) Cho hình chóp S.ABCD có √ ABCD hình thang, ABC = BAD = 900 , BA = BC = a, AD = 2a Cạnh bên SA vuông góc với đáy SA = a Gọi H hình chiếu vuông góc A lên SB Chứng minh tam giác SCD vuông tính khoảng cách từ H đến (SCD) 55 Thuvientailieu.net.vn Chuyên đề 10 Hình Học Không Gian 10.18 (B-07) Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy hình vuông cạnh a Gọi E điểm đối xứng D qua trung điểm SA, M trung điểm AE, N trung điểm BC Chứng minh M N ⊥BD tính khoảng cách hai đường thẳng M N AC 10.19 Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC = a; ASB = 900 , BSC = 600 , CSA = 1200 Gọi I trung điểm cạnh AC Chứng minh SI vuông góc với (ABC) tính khoảng cách từ S đến (ABC) 10.20 (B-02) Cho hình lập phương ABCD.A B C D có cạnh a Tính theo a khoảng cách A B B D Gọi M, N, P trung điểm BB , CD, A D Tính góc hai đường thẳng M P C N 10.21 Cho lập phương ABCD.A B C D có cạnh a Gọi K trung điểm DD Tính góc khoảng cách CK A D Tính độ dài đoạn vuông góc chung A C B C §3 Thể Tích Khối Đa Diện A Kiến Thức Cần Nhớ Công thức tính thể tích số khối đa diện • Khối chóp: V = 31 Bh • Khối lăng trụ: V = Bh • Khối hộp chữ nhật: V = abc • Khối lập phương: V = a3 Hệ thức lượng tam giác vuông • Định lý Pitago: a2 = b2 + c2 1 bc • Đường cao: = + ; h = h b c a b b • Góc: sin B = cos C = ; tan B = cot C = a c • Diện tích: S = 21 bc = 12 ah A c B b h H M a C • Tính chất trung tuyến: ∆ABC vuông A ⇔ AM = 21 BC Tỷ số thể tích Cho hình chóp S.ABC có A , B , C nằm SA, SB, SC Ta có: VS.A B C SA SB SC = VS.ABC SA SB SC B Phương Pháp Tính Thể Tích • PP1: Sử dụng công thức • PP2: Sử dụng tỷ số thể tích • PP3: Sử dụng phương pháp tọa độ C Bài Tập 10.22 (TN-08) Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh đáy a, cạnh bên 2a Gọi I trung điểm cạnh BC Chứng minh SA vuông góc với BC Tính thể tích khối chóp S.ABI theo a 10.23 Cho chóp tam giác S.ABC cạnh đáy a Tính thể tích khối chóp biết góc cạnh bên đáy 600 10.24 Cho chóp tứ giác S.ABCD đáy a Tính thể tích khối chóp biết góc mặt bên đáy 600 √ 10.25 (CĐ-09) Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có AB = a, SA = a Gọi M, N P trung điểm cạnh SA, SB CD Chứng minh đường thẳng M N vuông góc với đường thẳng SP Tính theo a thể tích khối tứ diện AM N P 10.26 (B-04) Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy a, góc cạnh bên mặt đáy ϕ, < ϕ < 900 Tính tan góc (SAB) (ABCD) theo ϕ Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a ϕ 10.27 (B-2012) Cho hình chóp tam giác S.ABC với SA = 2a, AB = a Gọi H hình chiếu vuông góc A cạnh SC Chứng minh SC vuông góc với mặt phẳng (ABH) Tính thể tích khối chóp S.ABH theo a 10.28 (TN-07) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với đáy SA = AC Tính thể tích khối chóp S.ABCD √ 10.29 Cho hình chóp S.ABC có đáy tam vuông B; AB = a, AC = a 3; SA vuông góc với (ABC); cạnh bên SB lập với (ABC) góc 600 Tính thể tích khối chóp S.ABC 56 Thuvientailieu.net.vn 10.30 Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác cạnh a; SA vuông góc với (ABC) Biết góc (SBC) (ABC) 450 Tính thể tích khối chóp S.ABC 10.31 (TN-09) Cho hình chóp S.ABC có mặt bên SBC tam giác cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với đáy Biết BAC = 1200 , tính thể tích khối chóp S.ABC theo a 10.32 (TN-2011) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang vuông A D với AD = CD = a, AB = 3a Cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy cạnh bên SC tạo với đáy góc 450 Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a 10.33 Cho hình√ chóp S.ABC Đáy ABC tam giác vuông B, cạnh SA vuông góc với đáy, ACB = 600 , BC = a, SA = a Gọi M trung điểm cạnh SB Chứng minh (SAB) vuông góc với (SBC) tính thể tích khối tứ diện M ABC 10.34 (CĐ-2011) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông cân B, AB = a; SA vuông góc với mặt phẳng (ABC), góc hai mặt phẳng (SBC) (ABC) 300 Gọi M trung điểm cạnh SC Tính thể tích khối chóp S.ABM theo a 10.35 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vuông cạnh a Đường cao SA = a Trên hai cạnh AB, AD lấy hai điểm M, N cho AM = DN = x, (0 < x < a) Tính thể tích khối chóp S.AM CN theo a x Tìm x để M N nhỏ √ 10.36 (B-06) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật với AB = a, AD = a 2, SA = a SA vuông góc với (ABCD) Gọi M, N trung điểm AD SC; I giao điểm BM AC Chứng minh (SAC) vuông góc với mặt phẳng (SM B) Tính thể tích khối tứ diện AN IB 10.37 (D-06) Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy tam giác cạnh a; SA = 2a SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) Gọi M, N hình chiếu vuông góc A SB SC Tính thể tích khối chóp A.BCN M 10.38 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật với AB = a, AD = 2a, cạnh√ SA vuông góc với đáy, cạnh SB tạo với mặt phẳng đáy góc 600 Trên cạnh SA lấy điểm M cho AM = a 3 Mặt phẳng (BCM ) cắt cạnh SD N Tính thể tích khối chóp S.BCN M 10.39 Cho hình chóp S.ABCD có đáy A.BCD hình thoi cạnh a, BAD = 600 , SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD), SA = a Gọi C trung điểm SC Mặt phẳng (P ) qua AC song song với BD, cắt cạnh SB, SD hình chóp B , D Tính thể tích khối chóp S.AB C D 10.40 (A-2011) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông cân B, AB = BC = 2a; hai mặt phẳng (SAB) (SAC) vuông góc với mặt phẳng (ABC) Gọi M trung điểm AB; mặt phẳng qua SM song song với BC, cắt AC N Biết góc hai mặt phẳng (SBC) (ABC) 600 Tính thể tích khối chóp S.BCN M khoảng cách hai đường thẳng AB SN theo a 10.41 (CĐ-2010) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a, mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng đáy, SA = SB, góc đường thẳng SC mặt phẳng đáy 450 Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD 10.42 Cho hình chóp S.ABCD có đáy√ABCD hình chữ nhật, AB = 2a Tam giác SAB nằm mặt phẳng vuông góc với đáy Biết SD = a 13, tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD khoảng cách hai đường thẳng SC BD 10.43 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vuông cạnh a, mặt bên SAD tam giác nằm mặt phẳng vuông góc với đáy Gọi M, N, P trung điểm cạnh SB, BC, CD Chứng minh AM vuông góc với BP tính thể tích tứ diện CM N P 10.44 (D-2011) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông B, BA = 3a, BC = 4a; mặt phẳng √ (SBC) vuông góc với mặt phẳng (ABC) Biết SB = 2a SBC = 300 Tính thể tích khối chóp S.ABC khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SAC) theo a √ 10.45 (B-08) Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vuông cạnh 2a, SA = a, SB = a mặt phẳng (SAB) vuông góc với đáy Gọi M, N trung điểm cạnh AB, BC Tính theo a thể tích khối chóp S.BM DN tính góc hai đường thẳng SM DN 10.46 (A-2012) Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác cạnh a Hình chiếu vuông góc S mặt phẳng (ABC) điểm H thuộc cạnh AB choHA = 2HB Góc đường thẳng SC mặt phẳng (ABC) 600 Tính thể tích khối chóp S.ABC tính khoảng cách hai đường thẳng SA BC theo a 10.47 Cho hình chóp S.ABC có hai tam giác ABC SBC cạnh a; góc SA ABC 600 Tính thể tích khối chóp S.ABC 57 Thuvientailieu.net.vn Chuyên đề 10 Hình Học Không Gian √ 10.48 Cho tứ diện ABCD có AB = BC = CA = AD = DB = a 2, CD = 2a Chứng minh AB vuông góc với CD Xác định đường vuông góc chung AB CD Tính thể tích tứ diện ABCD 10.49 (D-2010) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a, cạnh bên SA = a; hình chiếu vuông góc đỉnh S (ABCD) điểm H thuộc đoạn AC, AH = AC Gọi CM đường cao tam giác SAC Chứng minh M trung điểm SA tính thể tích khối tứ diện SM BC theo a 10.50 (A-2010) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a Gọi M, N trung điểm √ cạnh AB AD; H giao điểm CN với DM Biết SH vuông góc với mặt phẳng (ABCD) SH = a Tính thể tích khối chóp S.CDN M tính khoảng cách hai đường thẳng DM SC 10.51 (A-09) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang vuông A D; AB = AD = 2a, CD = a; góc hai mặt phẳng (SBC) (ABCD) 600 Gọi I trung điểm cạnh AD Biết mặt phẳng (SBI) (SCI) vuông góc với mặt phẳng (ABCD), tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a 10.52 Tính thể tích hình chóp S.ABC, biết SA = SB = SC = a, ASB = 600 , BSC = 900 , CSA = 1200 10.53 Tính thể tích khối hộp chữ nhật ABCD.A B C D có đáy hình vuông cạnh a AA = AC √ 10.54 Cho lăng trụ đứng ABC.A B C có đáy ABC tam giác vuông A, AB = a, BC = a 3, AC = 2a Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A B C 10.55 Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A B C D có AB = a, AD = 2a, AA = a Tính khoảng cách hai đường thẳng AD B C Gọi M điểm thuộc cạnh AD cho AM = 3M D, tính khoảng cách từ M đến (AB C) tính thể tích tứ diện AB D C √ 10.56 Cho hình hộp đứng ABCD.A B C D có cạnh AB = AD = a, AA = a góc BAD = 600 Gọi M N trung điểm cạnh A D A B Chứng minh AC vuông góc với BDM N tính thể tích khối chóp A.BDM N 10.57 (D-2012) Cho hình hộp đứng ABCD.A B C D có đáy hình vuông, tam giác A AC vuông cân, A C = a Tính thể tích khối tứ diện ABB C khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (BCD ) theo a 10.58 (D-09) Cho hình lăng trụ đứng ABC.A B C có đáy ABC tam giác vuông B, AB = a, AA = 2a, A C = 3a Gọi M trung điểm đoạn thẳng A C , I giao điểm AM A C Tính theo a thể tích khối tứ diện IABC khoảng cách từ A đến (IBC) √ 10.59 (D-08) Cho lăng trụ đứng ABC.A B C có đáy ABC tam giác vuông, AB = AC = a, cạnh bên AA = a Gọi M trung điểm cạnh BC Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC.A B C khoảng cách hai đường thẳng AM B C 10.60 Cho lăng trụ tam giác ABC.A B C có đáy tam giác cạnh a Góc A A với (ABC) 600 Tính thể tích khối lăng trụ, biết hình chiếu A (ABC) trùng với tâm tam giác ABC √ 10.61 Cho lăng trụ tam giác ABC.A B C có ABC tam giác vuông A, AB = a, AC = a 2, hình chiếu A (ABC) trùng trung điểm BC Tính thể tích khối lăng trụ, biết CC = 2a 10.62 Cho hình hộp ABCD.A B C D có mặt bên AA D D hình thoi cạnh 2a, nằm mặt phẳng vuông góc với (ABCD) cách BC khoảng a Biết cạnh bên AA hợp với (ABCD) góc 600 Tính thể tích khối hộp ABCD.A B C D 10.63 Cho lăng trụ tam giác ABC.A B C có đáy ABC tam giác cạnh a điểm A cách điểm A, B, C Cạnh bên AA tạo với mặt phẳng đáy góc 600 Tính thể tích khối lăng trụ 10.64 (A-08) √ Cho lăng trụ ABC.A B C có độ dài cạnh bên 2a, đáy ABC tam giác vuông A, AB = a, AC = a hình chiếu vuông góc đỉnh A mặt phẳng (ABC) trung điểm cạnh BC Tính theo a thể tích khối chóp A ABC Tính cosin góc hai đường thẳng AA B C 10.65 Cho lăng trụ tam giác ABC.A B C có đáy tam giác Mặt phẳng (A BC) tạo với đáy góc 300 tam giác A BC có diện tích Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A B C 10.66 (B-09) Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A B C có BB = a, góc đường thẳng BB mặt phẳng (ABC) 600 ; tam giác ABC vuông C góc BAC = 600 Hình chiếu vuông góc điểm B lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm tam giác ABC Tính thể tích tứ diện A ABC theo a √ 10.67 (B-2011) Cho lăng trụ ABCD.A B C D có đáy ABCD hình chữ nhật, AB = a, AD = a Hình chiếu vuông góc điểm A (ABCD) trùng với giao điểm AC BD Góc hai mặt phẳng (ADD A ) (ABCD) 600 Tính thể tích khối lăng trụ cho khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (A BD) theo a 58 Thuvientailieu.net.vn §4 Mặt Nón - Mặt Trụ - Mặt Cầu A Kiến Thức Cần Nhớ Diện tích • Khối nón: • Khối trụ: • Khối cầu: Vị trí tương • d > R: Mặt • d = R: Mặt • d < R: Mặt thể tích Sxq = πrl; Stp = Sxq + Sđ ; V = 31 Bh = 13 πr2 h Sxq = 2πrl; Stp = Sxq + 2Sđ ; V = Bh = πr2 h S = 4πR2 ; V = 34 πR3 đối mặt phẳng mặt cầu phẳng không cắt mặt cầu phẳng tiếp xúc với mặt cầu điểm phẳng cắt mặt cầu theo giao tuyến đường tròn có bán kính B Bài Tập 10.68 Cho hình chóp S.ABCD có cạnh đáy a, SAB = 600 Tính thể tích khối chóp S.ABCD Tính diện tích xung quanh thể tích khối nón đỉnh S, đáy đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABCD 10.69 Cho hình lập phương ABCD.A B C D cạnh a Tính diện tích xung quanh thể tích khối nón có đỉnh O tâm hình vuông ABCD đáy nội tiếp hình vuông A B C D √ 10.70 Cắt hình nón đỉnh S mặt phẳng qua trục tam giác vuông cân cạnh huyền a Tính diện tích xung quanh, diện tích đáy thể tích khối nón Cho dây cung BC đường tròn đáy cho (SBC) tạo với đáy góc 600 Tính diện tích tam giác SBC 10.71 Cho hình nón đỉnh S, đường cao SO Gọi A, B hai điểm thuộc đường tròn đáy cho khoảng cách từ O đến AB a SAO = 300 , SAB = 600 Tính diện tích xung quanh thể tích hình nón 10.72 Cắt hình trụ tròn xoay mặt phẳng (α) thiết diện ABCD hình vuông cạnh a Biết (α) tạo với đáy góc 450 , tính diện tích xung quanh thể tích khối trụ 10.73 Cho hình trụ có bán kính đáy 2a khoảng cách hai đáy a Cắt khối trụ mặt phẳng song song với trục cách trục khoảng a Tính diện tích thiết diện tạo thành 10.74 (A-06) Cho hình trụ có đáy hai hình tròn tâm O O , bán kính đáy chiều cao a Trên đường tròn đáy tâm O lấy điểm A, đường tròn tâm O lấy điểm B cho AB = 2a Tính thể tích tứ diện OO AB √ 10.75 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông B, AB = a, BC = a 2, SB = 2a Biết SA vuông góc với đáy Xác định tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABC 10.76 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang vuông√tại A B Hai mặt phẳng (SAB) (SAD) vuông góc với mặt đáy Biết AB = 2a, SA = BC = a, CD = 2a Tính thể tích khối chóp S.ABCD Xác định tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SACD √ 10.77 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có AB = a, SA = a Tính thể tích khối chóp S.ABCD Tìm tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp Tính diện tích thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp √ 10.78 (CĐ-2012) Cho khối chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông cân A, AB = a 2, SA = SB = SC Góc đường thẳng SA mặt phẳng (ABC) 600 Tính thể tích khối chóp S.ABC bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC theo a √ √ 10.79 √Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành, AB = a 2, BC = a độ dài cạnh bên a Gọi giao điểm AC BD H Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp tứ diện SHAB 10.80 Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác cân, AB = AC = a, (SBC) ⊥ (ABC) SA = SB = a Chứng minh SBC tam giác vuông Biết SC = x, xác định tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp 10.81 (D-03) Cho (P ) (Q) vuông góc với cắt theo giao tuyến ∆ Trên ∆ lấy A, B với AB = a Trong (P ) lấy điểm C, (Q) lấy điểm D cho AC, BD vuông góc với ∆ AC = BD Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD tính khoảng cách từ A đến (BCD) theo a 10.82 Cho lăng trụ đứng tam giác ABC.A B C biết AA = AB = a; AC = 2a BAC = 600 Gọi M giao điểm A C AC Tính thể tích tứ diện M BB C tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ 10.83 (B-2010) Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A B C có AB = a, góc hai mặt phẳng (A BC) (ABC) 600 Gọi G trọng tâm tam giác A BC Tính thể tích khối lăng trụ cho tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện GABC theo a 59 Thuvientailieu.net.vn Chuyên đề 11 Tổ Hợp - Xác Suất §1 Hoán Vị - Chỉnh Hợp - Tổ Hợp A Kiến Thức Cần Nhớ Quy tắc đếm • Quy tắc cộng: Giả sử công việc thực theo hai phương án A B Phương án A thực theo n cách, phương án B thực theo m cách Khi công việc thực theo n + m cách • Quy tắc nhân: Giả sử công việc bao gồm hai công đoạn A B Công đoạn A thực theo n cách, công đoạn B thực theo m cách Khi công việc thực theo n.m cách Hoán vị - Chỉnh hợp - Tổ hợp • Hoán vị: Cho tập hợp A có n (n ≥ 1) phần tử Khi xếp n phần tử theo thứ tự, ta hoán vị phần tử A Số hoán vị tập hợp có n phần tử Pn = n! = n (n − 1) (n − 2) 2.1 (Quy uớc 0! = 1) • Chỉnh hợp: Cho tập hợp A gồm n phần tử số nguyên k với ≤ k ≤ n Khi lấy k phần tử A xếp chúng theo thứ tự, ta chỉnh hợp chập k n phần tử A Số chỉnh hợp chập k (1 ≤ k ≤ n) tập hợp có n phần tử Akn = n (n − 1) (n − 2) (n − k + 1) (Quy uớc A0n = 1) • Tổ hợp: Cho tập hợp A gồm n phần tử số nguyên k với ≤ k ≤ n Mỗi tập A có k phần tử gọi tổ hợp chập k n phần tử A Số tổ hợp chập k (1 ≤ k ≤ n) tập hợp có n phần tử n (n − 1) (n − 2) (n − k + 1) Ak (Quy ước Cn0 = 1) Cnk = n = n! k! k • Một số công thức tổ hợp: Cnk = Cnn−k (0 ≤ k ≤ n), Cn+1 = Cnk + Cnk−1 (1 ≤ k ≤ n) Lưu ý Hoán vị chỉnh hợp có phân biệt thứ thự tổ hợp không biệt thứ tự B Bài Tập 11.1 (B-05) Một đội niên tình nguyện có 15 người, gồm 12 nam nữ Hỏi có cách phân công đội giúp đỡ ba tỉnh miền núi cho tỉnh có nam nữ 11.2 (D-06) Đội niên xung kích trường phổ thông có 12 học sinh, gồm học sinh lớp A, học sinh lớp B học sinh lớp C Cần chọn bốn học sinh làm nhiệm vụ cho bốn học sinh thuộc không hai lớp Hỏi có cách chọn 11.3 (B-04) Trong môn học, thầy giáo có 30 câu hỏi khác gồm câu hỏi khó, 10 câu hỏi trung bình 15 câu hỏi dễ Từ 30 câu hỏi lập đề kiểm tra, đề gồm câu hỏi khác nhau, cho đề phải có loại câu hỏi (khó, trung bình dễ) số câu hỏi dễ không 11.4 Một hộp đựng bi đỏ, bi trắng bi vàng Người ta chọn viên bi từ hộp Hỏi có cách chọn để số bi lấy không đủ ba màu 11.5 Chứng minh hệ thức sau n+1 n a) An+2 n+k + An+k = k An+k k−2 b) k (k − 1) Cnk = n (n − 1) Cn−2 c) Pk A2n+1 A2n+3 A2n+5 = nk!A5n+5 d) (B-08) n+1 n+2 k Cn+1 + k+1 Cn+1 11.6 Giải phương trình, bất phương trình hệ phương trình a) Px A2x + 72 = A2x + 2Px b) 21 A22x − A2x ≤ x6 Cx3 + 10 60 Thuvientailieu.net.vn = Cnk 2Ayx + 5Cxy = 90 5Ayx − 2Cxy = 80 e) A3n + 2Cnn−2 ≤ 9n d) Cx2 + Cx4 + + Cx2n ≥ 22003 − c) f) Cx1 + 6Cx2 + 6Cx3 = 9x2 − 14x 11.7 (D-05) Tính giá trị M = A4n+1 + 3A3n 2 2 biết Cn+1 + 2Cn+2 + 2Cn+3 + Cn+4 = 149 (n + 1)! 11.8 (B-06) Cho tập A gồm 2n phần tử (n ≥ 4) Biết số tập phần tử 20 lần số tập gồm phần tử Tìm k ∈ {1, 2, , n} cho số tập gồm k phần tử A lớn 11.9 (B-02) Cho đa giác A1 A2 A2n nội tiếp đường tròn (O) Biết số tam giác có đỉnh 2n đỉnh nhiều gấp 20 lần số hình chữ nhật có đỉnh 2n đỉnh Tìm n §2 Xác Suất A Kiến Thức Cần Nhớ Không gian mẫu • Tập tất kết xảy phép thử gọi không gian mẫu phép thử Ký hiệu Ω Biến cố • Một biến cố A liên quan tới phép thử T mô tả tập ΩA không gian mẫu Biến cố A xảy kết T thuộc ΩA Mỗi phần tử ΩA gọi kết thuận lợi cho A • Biến cố sơ cấp: Là biến cố có phần tử • Biến cố chắn: Là không gian mẫu Ω Biến cố không thể: Là biến cố rỗng ∅ • Biến cố sơ cấp đồng khả năng: Là biến cố có khả xuất kết • Biến cố đối: Là biến cố A không xảy Ký hiệu A (ΩA = Ω\ΩA ) • Biến cố xung khắc: Là hai biến cố A B mà A xảy B không xảy ngược lại (ΩA ∩ ΩA = ∅) • Biến cố độc lập: Là hai biến cố A B mà việc xảy biến cố không ảnh hưởng tới biến cố Xác suất biến cố • Tính chất: ≤ P (A) ≤ 1, P (∅) = 0, P (Ω) = 1, P A = − P (A) • Quy tắc cộng xác suất: Nếu A, B xung khắc P (A ∪ B) = P (A) + P (B) • Quy tắc nhân xác suất: Nếu A, B độc lập P (A ∩ B) = P (AB) = P (A) P (B) Biến ngẫu nhiên rời rạc Là giá trị độc lập X = {x1 , x2 , , xn } nhận kết số, hữu hạn không dự đoán trước • Xác suất xk : P (X = xk ) = pk , (k = n) Khi p1 + p2 + + pn = • Bảng phân bố xác suất: X P x1 p1 x2 p2 xn pn n • Kỳ vọng: E (X) = xi p i i=1 n • Phương sai: V (X) = i=1 • Độ lệch chuẩn: σ (X) = x2i pi − E (X) V (X) B Bài Tập 11.10 (B-2012) Trong lớp học gồm có 15 học sinh nam 10 học sinh nữ Giáo viên gọi ngẫu nhiên học sinh lên bảng giải tập Tính xác suất để học sinh gọi có nam nữ 11.11 Một hộp đựng viên bi đỏ, viên bi trắng viên bi vàng Người ta chọn viên bi từ hộp Tính xác suất để số bi lấy không đủ ba màu 11.12 Một tổ có nam nữ Chia tổ thành nhóm nhóm gồm người Tính xác suất để chia ngẫu nhiên nhóm có nữ 11.13 Một tổ có 13 học sinh, có nữ Cần chia tổ thành ba nhóm, nhóm thứ có học sinh, nhóm thứ hai có học sinh, nhóm thứ ba có học sinh Tính xác suất để nhóm có học sinh nữ 11.14 Có hai hộp đựng bi Hộp có bi xanh bi đỏ, hộp hai có bi xanh bi đỏ Lấy ngẫu nhiên hộp bi Tìm xác suất để bi đỏ 61 Thuvientailieu.net.vn Chuyên đề 11 Tổ Hợp - Xác Suất 11.15 Có hai hộp chứa viên bi khác màu Hộp thứ chứa ba bi xanh, hai bi vàng bi đỏ Hộp thứ hai chứa hai bi xanh, bi vàng ba bi đỏ Lấy ngẫu nhiên từ hộp viên bi Tính xác suất để lấy hai bi xanh 11.16 Một người gọi điện thoại, quên hai chữ số cuối nhớ hai chữ số phân biệt Tính xác suất để người gọi lần số cần gọi 11.17 Người ta sử dụng sách Toán, sách Lý, sách Hoá (các sách loại giống nhau), để làm giải thưởng cho học sinh, học sinh hai sách khác loại Trong số học sinh có hai bạn Ngọc Thảo Tìm xác suất để hai bạn Ngọc Thảo có giải thưởng giống 11.18 Một nhóm học tập gồm nam nữ, có bạn nam A bạn nữ B Chọn ngẫu nhiên bạn để lập đội tuyển thi học sinh giỏi Tính xác suất để đội tuyển có nam nữ, phải có bạn nam A, bạn nữ B hai 11.19 Có hai túi Túi thứ chứa thẻ đánh số 1, 2, túi thứ hai chứa thẻ đánh số 4, 5, 6, Rút ngẫu nhiên từ túi thẻ cộng hai số ghi hai thẻ với Gọi X số thu Lập bảng phân bố xác suất X tính E(X) §3 Nhị Thức Newton A Kiến Thức Cần Nhớ n n • Công thức: (a + b) = Cnk an−k bk = Cn0 an + Cn1 an−1 b + Cn2 an−2 b2 + + Cnn bn k=0 • Số hạng tổng quát thứ k + 1: Tk+1 = Cnk an−k bk • Một số khai triển thường dùng: n • (1 + x) = Cn0 + Cn1 x + Cn2 x2 + Cn3 x3 + + Cnn xn n n • (1 − x) = Cn0 − Cn1 x + Cn2 x2 − Cn3 x3 + + (−1) Cnn xn n n−1 n n−1 n−2 + + Cn x + Cnn • (x + 1) = Cn x + Cn x + Cn x B Bài Tập √ x+ 11.20 (D-04) Tìm số hạng không chứa x khai triển thành đa thức biểu thức √ x , x > 10 11.21 (D-07) Tìm hệ số x5 khai triển thành đa thức biểu thức x(1 − 2x) + x2 (1 + 3x) 11.22 (A-04) Tìm hệ số x8 khai triển thành đa thức biểu thức + x2 (1 − x) 11.23 Tìm hệ số x4 khai triển đa thức P (x) = + 2x + 3x2 11.24 Đặt − x + x2 − x3 10 = a0 + a1 x + a2 x2 + + a12 x12 Tính hệ số a7 11.25 (D-02) Tìm số nguyên dương n thoả mãn hệ thức Cn0 + 2.Cn1 + 22 Cn2 + + 2n Cnn 2n−1 + C2n + + C2n = 2048 11.26 (D-08) Tìm số nguyên dương n thoả mãn hệ thức C2n 11.27 Tìm số tự nhiên n cho 1.Cn1 + 2.Cn2 + + nCnn = n.22009 11.28 (A-2012) Cho n số nguyên dương thỏa mãn 5Cnn−1 = Cn3 Tìm số hạng chứa x5 khai triển nhị thức n nx2 Newton − , x = 14 x n n 11.29 (B-07) Tìm hệ số x10 khai triển (2 + x) , biết 3n Cn0 − 3n−1 Cn1 + 3n−2 Cn2 + + (−1) Cnn = 2048 n √ n+1 n 11.30 (A-03) Tìm hệ số số hạng chứa x8 khai triển x13 + x5 , biết Cn+4 − Cn+3 = (n + 3) 11.31 (A-06) Tìm hệ số x26 khai triển x4 + x7 n n , biết C2n+1 + C2n+1 + + C2n+1 = 220 − 11.32 (D-03) Với n số nguyên dương, gọi a3n−3 hệ số x3n−3 khai triển thành đa thức n n x2 + (x + 2) Tìm n để a3n−3 = 26n 11.33 (A-02) Cho khai triển biểu thức khai triển Cn3 = 5Cn1 x−1 x + 2− n = Cn0 x−1 n + Cn1 số hạng thứ tư 20n Tìm n x 62 Thuvientailieu.net.vn x−1 n−1 x x 2− + + Cnn 2− n Biết n 2n+1 11.34 (A-05) Tìm số nguyên dương n thỏa C2n+1 − 2.2C2n+1 + 3.22 C2n+1 + + (−1) 22n C2n+1 = 2005 + 41 C2n + + 11.35 (A-07) Chứng minh 21 C2n 2n−1 2n C2n 11.36 (B-03) Cho n số nguyên dương Tính tổng Cn0 + = 22n −1 2n+1 22 − 1 23 − 2n+1 − n Cn + Cn + + Cn n+1 11.37 Chứng minh 2.1.Cn2 + 3.2.Cn3 + 4.3.Cn4 + + n (n − 1) Cnn = n (n − 1) 2n−2 11.38 Tính tổng 2008 a) S = C2009 + C2009 + C2009 + + C2009 c) S = 2Cn + 5Cn + 8Cn + + (3n + 2) Cnn 2008 b) S = C2009 + 32 C2009 + 33 C2009 + + 32008 C2009 2 2 2010 d) C2010 + C2010 + C2010 + + C2010 2011 11.39 Tính tổng S = 12 C2011 22010 + 22 C2011 22009 + + 20112 C2011 √ 50 11.40 Trong khai triển nhị thức (a + b) , tìm số hạng có giá trị tuyệt đối lớn nhất, cho biết |a| = |b| n 11.41 (A-08) Cho khai triển (1 + 2x) = a0 + a1 x + + an xn , (n ∈ N∗ ) hệ số a0 , a1 , a2 , , an thoả mãn hệ thức a0 + a21 + a42 + + a2nn = 4096 Tìm số lớn số a0 , a1 , a2 , , an 63 Thuvientailieu.net.vn Chuyên đề 12 Bất Đẳng Thức & Giá Trị Lớn Nhất Giá Trị Nhỏ Nhất §1 Bất Đẳng Thức A Kiến Thức Cần Nhớ Tính chất bất đẳng thức • a > b b > c ⇒ a > c • a > b ⇒ a + c > b + c • Nếu c > a > b ⇒ ac > bc • Nếu c < a > b ⇒ ac < bc Bất đẳng thức Cauchy a+b √ • Đối với hai số: ≥ ab, ∀a, b ≥ Dấu xảy a = b 2 √ √ a+b a+b Dạng khác: a + b ≥ ab; a2 + b2 ≥ 2ab; ab ≤ ; ab ≤ 2 √ a+b+c • Đối với ba số: ≥ abc, ∀a, b, c ≥ Dấu xảy a = b = c √ √ a+b+c a+b+c 3 ; abc ≤ Dạng khác: a + b + c ≥ abc; a3 + b3 + c3 ≥ 3abc; abc ≤ 3 B Phương Pháp Cơ Bản • PP1: Sử dụng phép biến đổi tương đương • PP2: Sử dụng bất đẳng thức Cauchy • PP3: Phương pháp hàm số Lưu ý Kỹ thuật chọn điểm rơi: Dự đoán dấu xảy suy ngược kết C Bài Tập 12.1 Cho a, b, c ∈ R Chứng minh bất đẳng thức 2a2 + b2 + c2 ≥ 2a (b + c) 12.2 Cho a, b, c ∈ R Chứng minh bất đẳng thức a2 b2 + b2 c2 + c2 a2 ≥ abc (a + b + c) 12.3 Cho a, b > Chứng minh bất đẳng thức a3 + b3 ≥ a2 b + ab2 12.4 Cho a, b ≥ Chứng minh bất đẳng thức a+b a b ≤ + 1+a+b 1+a 1+b 12.5 Cho a, b, c > Chứng minh bất đẳng thức a b c + + > a+b b+c c+a 12.6 Cho a, b, c, d > Chứng minh bất đẳng thức < 12.7 Cho a, b, c > Chứng minh bất đẳng thức a b c d + + + < b+c+d c+d+a d+a+b a+b+c a+b b+c c+a + + ≥ c a b 64 Thuvientailieu.net.vn 12.8 Cho a, b, c > Chứng minh bất đẳng thức 1 + + ≥ a b c a+b+c 12.9 Cho a, b, c, d > Chứng minh bất đẳng thức 1 1 16 + + + ≥ a b c d a+b+c+d 12.10 Cho a, b, c, d > Chứng minh bất đẳng thức 12.11 Cho a, b, c > Chứng minh bất đẳng thức a+b+c+d ≥ abcd a b c + + ≥ b+c c+a a+b ab bc ca a+b+c + + ≤ a+b b+c c+a √ √ √ y z 1 x + + ≤ + + 12.13 Cho x, y, z > Chứng minh bất đẳng thức 2 x +y y +z z +x x y z 12.12 Cho a, b, c > Chứng minh bất đẳng thức 12.14 Cho a, b, c > a + b + c = Chứng minh bất đẳng thức (a + b) (b + c) (c + a) abc ≤ 729 1 + + ≥ a3 (b + c) b3 (c + a) c3 (a + b) 12.15 Cho a, b, c > abc = Chứng minh bất đẳng thức b c a +√ +√ ≥ 12.16 Cho a, b, c > abc = Chứng minh bất đẳng thức √ 3 8c + 8a + 8b3 + 12 12.17 (B-05) Chứng minh bất đẳng thức x + x 15 x 20 + ≥ 3x + 4x + 5x 12.18 Cho x, y, z > thỏa mãn x + y + z = Chứng minh bất đẳng thức 12.19 Cho x, y, z thỏa mãn 3−x + 3−y + 3−z = Chứng minh 12.20 Cho a, b, c > Chứng minh bất đẳng thức 12.23 Cho a, b, c > Chứng minh bất đẳng thức 9x 9y 9z 3x + y + z + + ≥ 3x + 3y+z 3y + 3z+x 3z + 3x+y b3 c3 a3 + + ≥ a + b2 + c2 a+b b+c c+a 12.21 Cho x, y > Chứng minh bất đẳng thức (1 + x) + 12.22 Cho a, b, c > Chứng minh bất đẳng thức √ √ √ + 4x + + 4y + + 4z ≥ y x 1+ √ y ≥ 256 a b + + b+c c+a a + b+c a+b + c b+c + a b c + + c+a a+b c+a ≥2 b c + a+b c > a+b a + b+c b a+c √ b c 3 a + + ≥ 12.24 Cho a, b, c > thỏa mãn a + b + c = Chứng minh bất đẳng thức b + c2 c + a2 a + b2 2 2 e−x x4 12.25 Chứng minh bất đẳng thức ≤1−x+ , ∀x ∈ [0; 1] 1+x (1 + x) 12.26 (CĐ-09) Cho a, b thỏa mãn < a < b < Chứng minh bất đẳng thức a2 ln b − b2 ln a > ln a − ln b 12.27 (D-07) Cho a ≥ b > Chứng minh bất đẳng thức 2a + 2a 12.28 (A-03) Cho x, y, z > thỏa mãn x + y + z ≤ Chứng minh b ≤ 2b + x2 + 2b + x2 a y2 + + y2 z2 + √ ≥ 82 z 1 1 1 + + = Chứng minh + + ≤ x y z 2x + y + z 2y + z + x 2z + x + y √ √ + x3 + y + y3 + z3 + z + x3 12.30 (D-05) Cho x, y, z > thỏa mãn xyz = Chứng minh + + ≥ 3 xy yz zx 12.29 (A-05) Cho x, y, z > thỏa mãn 12.31 Cho a, b, c > Chứng minh bất đẳng thức a b c + + ≥ 2a + (b + c) 2b + (c + a) 2c + (a + b) 65 Thuvientailieu.net.vn Chuyên đề 12 Bất Đẳng Thức & Giá Trị Lớn Nhất - Giá Trị Nhỏ Nhất 12.32 Cho a, b, c > Chứng minh bất đẳng thức 1 27 + + ≥ a (a + b) b (b + c) c (c + a) 2(a + b + c) 12.33 (A-09) Cho x, y, z > x (x + y + z) = 3yz Chứng minh bất đẳng thức 3 (x + y) + (x + z) + (x + y) (x + z) (y + z) ≤ 5(y + z) 12.34 Cho x, y, z > Chứng minh bất đẳng thức x z + √ y xyz 1+ x y 1+ y x + √ z xyz + a + b+c+d 12.35 Cho a, b, c, d > Chứng minh bất đẳng thức 12.36 Cho x, y, z > Chứng minh bất đẳng thức 2 z y + √ x xyz + b + c+d+a y z c + d+a+b ≥ 12 d > a+b+c z x+y+z ≥2 1+ √ xyz x 1+ §2 Giá Trị Lớn Nhất - Giá Trị Nhỏ Nhất A Phương Pháp Cơ Bản PP1: Sử dụng bất đẳng thức • Nếu A(x) = f (x).g(x) mà f (x) + g(x) = const A(x) đạt giá trị lớn f (x) = g(x) • Nếu A(x) = f (x) + g(x) mà f (x).g(x) = const A(x) đạt giá trị nhỏ f (x) = g(x) PP2: Sử dụng phương pháp hàm số B Bài Tập √ ab a+b √ 12.37 Cho a, b > Tìm giá trị nhỏ biểu thức S = + a + b ab a3 b3 c3 + + 2 (1 − a) (1 − b) (1 − c) 12.38 Cho a, b, c > thỏa mãn a + b + c = Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = 12.39 Cho a, b, c > a2 + b2 + c2 = Tìm giá trị nhỏ biểu thức T = a + b + c + 12.40 Cho a, b, c > thỏa mãn a + b + c ≤ 32 Tìm giá trị nhỏ S = a2 + x + yz 12.41 (B-07) Cho x, y, z > Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = x + b2 +y 12.42 (D-08) Cho x, y > Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức P = abc b2 + + c2 y + zx +z c2 + z + xy (x − y) (1 − xy) 2 (1 + x) (1 + y) 12.43 (B-08) Cho x, y thoả mãn x2 + y = Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ P = x2 + 6xy + 2xy + 2y 12.44 (A-06) Cho x, y = thỏa mãn (x + y) xy = x2 + y − xy Tìm giá trị nhỏ biểu thức A = 12.45 (B-06) Cho hai số x, y thay đổi Tìm giá trị nhỏ A = (x − 1) + y + x2 (y + z) y (z + x) z (x + y) √ + √ √ + √ P = √ √ y y + 2z z z z + 2x x x x + 2y y 12.48 (D-03) Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số y = 12.49 (D-2010) Tìm giá trị nhỏ hàm số y = 66 − x2 √x+1 x2 +1 −x2 + 4x + 21 + Thuvientailieu.net.vn √ 1 + x3 y (x + 1) + y + |y + 2| 12.46 (A-07) Cho x, y, z > thỏa mãn xyz = Tìm giá trị nhỏ biểu thức 12.47 (B-03) Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số y = x + a2 đoạn [−1; 2] −x2 + 3x + 10 12.50 (B-2010) Cho a, b, c > thỏa mãn a + b + c = Tìm giá trị nhỏ biểu thức M = a2 b2 + b2 c2 + c2 a2 + (ab + bc + ca) + a2 + b2 + c2 12.51 (CĐ-2010) Cho x, y > thay đổi thoả mãn 3x + y ≤ Tìm giá trị nhỏ biểu thức A = 1 +√ x xy 12.52 (D-09) Cho x, y ≥ thỏa mãn x + y = Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức S = 4x2 + 3y 4y + 3x + 25xy 12.53 (B-09) Cho x, y thỏa (x + y) +4xy ≥ Tìm giá trị nhỏ A = x4 + y + x2 + y −2 x2 + y +1 12.54 (CĐ-08) Cho x, y thoả mãn x2 + y = Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ P = x3 + y − 3xy 12.55 Cho x, y, z > thỏa mãn x + y + z = Tìm giá trị nhỏ P = 12.56 Cho x, y, z > thoả mãn x2 (y + z) y (z + x) z (x + y) + + yz zx xy 1 + + ≥ Tìm giá trị lớn biểu thức A = (x − 1) (y − 1) (z − 1) x y z 12.57 Cho x, y, z số thực thoả mãn điều kiện x + y + z > 0, x + > 0, y + > 0, z + > Tìm giá trị x y z lớn biểu thức P = + + x+1 y+1 z+1 12.58 (B-2011) Cho a, b số thực dương thỏa mãn a2 + b2 + ab = (a + b) (ab + 2) Tìm giá trị nhỏ a3 b3 a2 b2 biểu thức P = + − + b3 a3 b2 a2 12.59 (A-2011) Cho x, y, z ∈ [1; 4] x ≥ y, x ≥ z Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = y z x + + 2x + 3y y + z z + x 12.60 (D-2012) Cho số thực x, y thỏa mãn (x − 4) + (y − 4) + 2xy ≤ 32 Tìm giá trị nhỏ biểu thức A = x3 + y + (xy − 1) (x + y − 2) 12.61 (B-2012) Cho số thực x, y, z thỏa mãn điều kiện x + y + z = x2 + y + z = Tìm giá trị lớn biểu thức P = x5 + y + z 12.62 (A-2012) Cho số thực x, y, z thỏa mãn điều kiện x + y + z = Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = 3|x−y| + 3|y−z| + 3|z−x| − 6x2 + 6y + 6z 67 Thuvientailieu.net.vn PHỤ LỤC PHỤ LỤC 1 Các quy tắc tính đạo hàm (u ± v) = u ± v (uv) = u v + uv (ku) = ku uv = u v−uv v2 v v = − v2 yx = yu ux Bảng đạo hàm hàm số thường gặp Đạo hàm hàm số y = f (x) c = x = Đạo hàm hàm số y = f [u(x)] (c = const) (xα ) = αxα−1 x1 = − x12 (x = 0) √ ( x) = 2√ (x > 0) x (sin x) (cos x) (tan x) (cot x) 10 11 12 13 (uα ) = αuα−1 u = − uu2 (u = 0) u √ ( u) = 2u√u (u > 0) = cos x = − sin x = cos12 x (cos x = 0) = − sin12 x (sin x = 0) (sin u) (cos u) (tan u) (cot u) (ex ) = ex (ax ) = ax ln a (0 < a = 1) (ln x) = x1 (x > 0) (loga x) = x ln (0 < a = 1, x > 0) a = u cos u = −u sin u = cosu2 u (cos u = 0) = − sinu2 u (sin u = 0) (eu ) = eu (au ) = u au ln a (0 < a = 1) (ln u) = uu (u > 0) (loga u) = u uln a (0 < a = 1, u > 0) Bảng nguyên hàm mở rộng 10 x a2 +x2 dx = a arctan a + C 1 a+x a2 −x2 dx = 2a ln a−x + C √ √ dx = ln x + x2 + a2 + C x2 +a2 x √ dx = arcsin |a| +C a2 −x2 1 x √ dx = a arccos |a| +C x x2 −a2 √ +a2 a+ x 1 √ dx = − a ln +C x x x2 +a2 √ √ √ x a a2 + x2 dx = a2 + x2 + ln x + x2 + √ √ a2 − x2 dx = x2 a2 − x2 + a2 arcsin xa + C ax eax sin bxdx = a2e+b2 (a sin bx − b cos bx) + C ax eax cos bxdx = a2e+b2 (a cos bx + b sin bx) + C a2 + C Lưu ý Bảng dùng để tra cứu không sử dụng chương trình phổ thông 68 Thuvientailieu.net.vn PHỤ LỤC Bảng giá trị lượng giác cung đặc biệt α 00 sin α cos α tan α cot α || π π 30 √2 √2 3 √ 45 π 60 √ √2 2 π √ 2 √ 90 √ 3 π 1800 0 || 0 || Đẳng thức lượng giác sin2 α + cos2 α = 1 + tan2 α = cos2 α + cot2 α = sin2 α tan α cot α = sin α tan α = cos α cos α cot α = sin α Công thức lượng giác Công thức cộng cos (a − b) = cos a cos b + sin a sin b cos (a + b) = cos a cos b − sin a sin b sin (a − b) = sin a cos b − cos a sin b sin (a + b) = sin a cos b + cos a sin b tan a − tan b tan (a − b) = + tan a tan b tan a + tan b tan (a + b) = − tan a tan b Công thức nhân đôi sin 2a = sin a cos a cos 2a = cos2 a − sin2 a 8a cos 2a = 2cos2 a − 8b cos 2a = − 2sin2 a tan a tan 2a = − tan2 a Công thức hạ bậc + cos 2a 8c cos2 a = − cos 2a 8d sin2 a = − cos 2a 8e tan2 a = + cos 2a Công thức biến đổi tích thành tổng 10 cos a cos b = 21 [cos (a − b) + cos (a + b)] 11 sin a sin b = 12 [cos (a − b) − cos (a + b)] 12 sin a cos b = 12 [sin (a − b) + sin (a + b)] Công thức biến đổi tổng thành tích u+v u−v 13 cos u + cos v = cos cos 2 u+v u−v 14 cos u − cos v = −2 sin sin 2 u+v u−v 15 sin u + sin v = sin cos 2 u+v u−v 16 sin u − sin v = cos sin 2 Công thức nhân ba 17 sin 3a = sin a − 4sin3 a 18 cos 3a = 4cos3 a − cos a Công thức khác √ sin x + √ 20 sin x − cos x = sin x − 19 sin x + cos x = π π 21 sin4 x + cos4 x = − 21 sin2 2x 22 sin6 x + cos6 x = − 43 sin2 2x 69 Thuvientailieu.net.vn