Chuyên đề luyện thi đại học môn toán Phương pháp đổi biến số tìm nguyên hàm (tiếp)41999

Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân LUYỆN THI ĐẠI HỌC MƠN TỐN – Thầy Hùng Tài liệu giảng: 03 PP ĐỔI BIẾN SỐ TÌM NGUYÊN HÀM – P1 Thầy Đặng Việt Hùng Dạng Đổi biến số cho hàm vô tỉ Phương pháp giải: Nếu hàm f(x) có chứa n g ( x) đặt t = n g ( x) ⇔ t n = g ( x)  → n.t n −1 = g '( x)dx Khi đó, I = ∫ f ( x)dx = ∫ h(t )dt , việc tính nguyên hàm ∫ h(t )dt đơn giản so với việc tính ∫ f ( x)dx MỘT SỐ VÍ DỤ MẪU: Ví dụ Tìm nguyên hàm hàm số sau: xdx a) I1 = b) I = x3 x + dx 4x + Hướng dẫn giải: ∫ ∫ 2tdt = 4dx  a) Đặt t = x + ⇔ t = x +  → → I1 = t −  x =  3   1t  (4 x + 1) =  −t+C =  − x +  + C  8 8    ∫ ∫ c) I = x dx 1− x t − tdt xdx = (t − 1)dt = t 4x + ∫ ∫ b) Đặt t = x + ⇔ t = x +  → x = t − ⇔ xdx = 2tdt  → x3 dx = x xdx = (t − 2).tdt ( ) ( ) x2 + 2 x2 + t5 t3 Khi I = x + x dx = t t − tdt = t − 2t dt = − + C = − +C 5 dx = −2tdt − t tdt x dx 2 c) Đặt t = − x ⇔ t = − x ⇔ x = − t  → → I3 = = −2  t 1− x  x = − t  (1 − x)5 (1 − x)3   t 2t  = −2 − t dt = −2 t − 2t + dt = −2  − + t  + C = −2  − + 1− x  + C   5    ∫ ∫ ( ) ∫( ) ( ∫( ) Khi I = ∫ ∫( ) ∫ ( ) ) ∫ ( ) x + x dx = t t − tdt = ∫ ∫ (t − 2t ) (x t5 t3 dt = − + C = ) − Ví dụ Tìm ngun hàm hàm số sau: ln x dx ln x dx a) I = b) I = x + ln x x − ln x ∫ ∫ +2 c) I = ∫ (x +2 ) + C ln x + 2ln x dx x Hướng dẫn giải: ( ) ln x = t − t − 2tdt ln x dx  →  dx  → I4 = = a) Đặt t = + ln x ⇔ t = + ln x  t + ln x x  = 2tdt x  (1 + ln x)3   t3  (1 + ln x)3 = ∫ ( t − 1) dt =  − t  + C =  − + ln x  + C  → I4 = − + ln x + C   3 3    ∫ ln x = − t  →  dx  → I5 = b) Đặt t = − ln x ⇔ t = − ln x   = 3t dt  x 3 Học trực tuyến tại: www.moon.vn ∫ DeThiMau.vn ∫ dx (2 − t ) 3t dt = t − ln x x ln x ∫ Mobile: 0985.074.831 Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân LUYỆN THI ĐẠI HỌC MƠN TỐN – Thầy Hùng  (2 − ln x)8 (2 − ln x)5   t 4t  = 3∫ ( t − 4t + 4t ) dt =  − + 2t  + C =  − + (2 − ln x)2  + C   8     t2 − x ln =  → c) Đặt t = + 2ln x ⇔ t = + 2ln x  dx  = 2tdt  x Từ ta có I = ∫  t2 −  ln x + 2ln x dx dx = ln x + 2ln x =   t.tdt = x x 2   ∫  t5 t3  t5 =  − t3  + C = − + C = 2 10  ∫ ( + ln x )5 10 ( + 2ln x )3 − Ví dụ Tìm ngun hàm hàm số sau: dx e x dx a) I = b) I8 = ex −1 ex + ∫ ∫ ( ) ∫x ) − 3t dt ( + 2ln x )5 + C  → I6 = c) I = ∫ (t 10 ( + 2ln x )3 − dx d) I10 = x +4 + C ∫x dx x4 + Hướng dẫn giải: e x = t − e x = t −  x x → x ← → a) Đặt t = e − ⇔ t = e −  2tdt e dx = 2tdt dx = t −1  dx 2tdt 2dt 2dt (t + 1) − (t − 1) dt dt = = = = − Khi I = dt = x (t − 1)(t + 1) (t − 1)(t + 1) t −1 t +1 t.(t − 1) t −1 e −1 ∫ ∫ ∫ = ln t − − ln t + + C = ln ∫ t −1 + C = ln t +1 ex −1 −1 ex − + ∫ = ∫ (t ) − 2tdt t3 =2 ∫ ex −1 − + C  → I = ln e x = t − b) Đặt t = e + ⇔ t = e +  → x  → I8 = e dx = 2tdt x ∫ x ∫ ex −1 + e x dx (e x ) +1 = ∫ ∫ + C e x e x dx (e x ) +1 = ∫ (t ) − 2tdt t  x t2 −1 dt     1 dt = dt − = t + + C = e + +   + C      t2 t2    t ex +   ∫ ∫  x2 = t − 2  x = t −  → ← →  dx xdx c) Đặt t = x + ⇔ t = x +  tdt 2 xdx = 2tdt  = = x t −4 x dx dx tdt dt (t + 2) − (t − 2)  dt dt  Khi đó, I = = = = = dt =  −  4 t −2 t t −4 t +2 t − 4 (t + 2)(t − 2) x x2 + x2 + x ∫ = 2 ∫ ∫ 1 t−2 ln t − − ln t + ) + C = ln + C = ln ( 4 t+2 ∫ ∫ x2 + − x2 + + ∫ + C  → I9 = ln x2 + − x2 + + ∫ + C  x4 = t −   x = t −1 d) Đặt t = x + ⇔ t = x +  → ← →  dx x3 dx tdt  x dx = 2tdt  = = x 2(t − 1) x dx dx 1 tdt dt (t + 1) − (t − 1) Khi đó, I10 = = dt = = = t 2(t − 1) t − (t + 1)(t − 1) x x4 + x4 + x ∫ ∫ ∫ ∫ dt  1  dt t −1 =  − + C = ln  = ( ln t − − ln t + ) + C = ln  t −1 t +1 4 t +1 ∫ ∫ ∫ x4 + − x4 + + + C Ví dụ Tìm nguyên hàm hàm số sau: Học trực tuyến tại: www.moon.vn DeThiMau.vn Mobile: 0985.074.831 Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân LUYỆN THI ĐẠI HỌC MƠN TỐN – Thầy Hùng a) I11 = ∫1+ c) I13 = ∫ dx − 5x b) I12 = x dx d) I14 = + x2 x dx ∫1− + x2 + 4ln x ln x dx x ∫ Hướng dẫn giải: 2tdt t dt 1+ t −1   dx Khi đó, I11 = =− =− dt = − 1 −  dt = − ( t − ln t + ) + C t t t + + + + − 5x    → I11 = − − x − ln − x + + C a) Đặt t = − x ⇔ t = − x ⇔ 2tdt = −5dx  → dx = − ∫ ∫ ∫ ( ∫ ) b) Đặt t = + x ⇔ t = + x ⇔ 2tdt = xdx  → xdx = tdt x dx t dt d (1 − t ) − (1 − t )   Khi đó, I12 = = = dt =  − 1 dt = − − dt = − ln − t − t + C t t t 1 1− t − − −   1− + x ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫  → I12 = − ln − + x − + x + C x2 = t3 −  x t = −   c) Đặt t = + x ⇔ t = + x  → ← → → x3 dx = t − t dt 3t dt   xdx = 3t dt = xdx  ( 33 ( + x ( t − ) t dt  t5 2  → I13 = ∫ = ∫ = ∫ ( t − 4t ) dt =  − 2t  + C = t 2 10 + x2  dx ln x dx tdt d) Đặt t = + ln x ⇔ t = + 4ln x ← → 2tdt = 4.2ln x  → = x x x dx  → I14 = ∫ ln x dx tdt t3 + 4ln x = t = t dt = + C = x 4 12 ∫ ∫ (1 + ln x ) ) ) − 33 ( + x2 ) + C 12 + C BÀI TẬP TỰ LUYỆN: − 3x dx x +1 1) I1 = ∫ x +1 dx x xdx 5) I = ∫ + 2x −1 3) I = ∫ 7) I = ∫ x x + dx 9) I = ∫ x dx 11) I11 = ∫ 13) I13 = ∫ 1+ x dx x3 x + e x dx 1+ e −1 x Học trực tuyến tại: www.moon.vn xdx 2x + 2) I = ∫ 4) I = ∫1+ dx + 3x 6) I = ∫ x − x dx 8) I = ∫ x − x dx 10) I10 = ∫ dx x x3 + 1 + 3ln x ln x 12) I12 = dx x ∫ 14) I14 = ∫ DeThiMau.vn ( dx x 1+ x ) Mobile: 0985.074.831 ... ∫ ∫ x4 + − x4 + + + C Ví dụ Tìm ngun hàm hàm số sau: Học trực tuyến tại: www.moon.vn DeThiMau.vn Mobile: 0985.074.831 Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân LUYỆN THI ĐẠI HỌC MƠN TỐN – Thầy Hùng a).. .Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân LUYỆN THI ĐẠI HỌC MƠN TỐN – Thầy Hùng  (2 − ln x)8 (2 − ln x)5   t 4t  = 3∫ ( t −... ∫  t5 t3  t5 =  − t3  + C = − + C = 2 10  ∫ ( + ln x )5 10 ( + 2ln x )3 − Ví dụ Tìm nguyên hàm hàm số sau: dx e x dx a) I = b) I8 = ex −1 ex + ∫ ∫ ( ) ∫x ) − 3t dt ( + 2ln x )5 + C  →