Chuyên đề luyện thi đại học môn toán Nguyên hàm của các hàm vô tỉ54570

Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân LUYỆN THI ĐẠI HỌC MƠN TỐN – Thầy Hùng Tài liệu giảng: 09 NGUYÊN HÀM CỦA CÁC HÀM VÔ TỈ Thầy Đặng Việt Hùng 1) Các công thức nguyên hàm vô tỉ thường gặp I1 = ∫ I2 = ∫ xdx = x ± a + C x ±a dx x ±a = ln x + x ± a + C  → du ∫ = ln u + u ± a + C u ±a x a I3 = x ± a dx = x ± a ± ln x + x ± a + C 2 dx x du u I4 = = arcsin + C  → = arcsin + C 2 2 a a a −x a −u Chứng minh: xdx d ( x ± a) d ( x ± a) I1 = = = = x ± a + C 2 2 x ±a x ±a x ±a 2 ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ I2 = ∫ dx x ±a Khi đó, I = I3 = ∫ ∫ ∫ Đặt t = x ± a ⇒ dt = dx = x ±a ∫ xdx x ±a = xdx dx dt dx + dt d ( x + t )  → = = = t t x x+t x+t dx d (x + t) = = ln x + x ± a + C t x+t ∫ x ± a dx  u = x ± a ⇒ du = Đặt  dv = dx ⇒ v = x  = x x2 ± a − ∫ xdx → I = x x2 ± a − x ± a  x ± adx ± a dx ∫ ∫ x dx x2 ± a = x x2 ± a − ∫ = x x ± a − I ± a ln x + x ± a ⇒ I = x ±a dx = a cos tdt dx Đặt x = a sin t ⇒  I4 = 2 2 a2 − x2  a − x = a − a sin t = a cos t dx a cos t dt x  → I4 = = dt = t + C = arcsin + c 2 a cos t a a −x Một số ví dụ minh họa: dx d ( x + 2) I1 = = = ln x + + x + x + 10 + C 2 x + x + 10 ( x + 2) + ( x ± a) ∓ a x2 ± a dx = x a x ± a ± ln x + x ± a + C 2 ∫ ∫ ∫ ∫ I2 = I3 = ∫ ∫ ∫ ∫ dx 2− x− x dx = ∫ dx  1 −x+   2 = 2 x2 + 5x + ∫ = ∫ 1  dx+  2  1 3    −x+  2    dx = x2 + x + 2 ∫ = arcsin 5  dx+  4   31  x+  +  16  = 2x + + C 5 ln x + + x + x + + C 2 2) Một số dạng nguyên hàm vơ tỉ thường gặp Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH Luyện giải đề để đạt điểm Toán trở lên! DeThiMau.vn www.moon.vn Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân LUYỆN THI ĐẠI HỌC MƠN TỐN – Thầy Hùng Dạng 1: Nguyên hàm I = ∫ mx + n ax + bx + c dx Cách giải: Phân tích tử số chứa đạo hàm mẫu ta m bm 2ax + b ) + n − ( mx + n 2a dx = m I= dx = 2a 2 2a ax + bx + c ax + bx + c ∫ ∫ ∫ ( 2ax + b ) dx bm   +n −  2a  ax + bx + c  ∫ dx = ax + bx + c m d (ax + bx + c)  bm  dx m +n − = ax + bx + c + J  a ax + bx + c  2a  ax + bx + c a dx Trong đó, J = thuộc số dạng nguyên hàm đề cập ax + bx + c Ví dụ điển hình: Tính ngun hàm sau 2x + x −1 a) I1 = dx dx b) I = x2 − x + x2 − x + Hướng dẫn giải: (2 x − 2) + (2 x − 2) dx dx d ( x − x + 4) dx a) I1 = +5 =2 +5 = dx = 2 2 2 x − 2x + x − 2x + x − 2x + x − 2x + x − 2x + d ( x − 1) = x2 − x + + = x − x + + 5ln x − + x − x + + C ( x − 1) + 3 (4 x − 1) − (4 x − 1)dx x −1 dx 4 dx = dx = b) I = − = 2 2 2x − x + 2x − x + 2x − x + 2x − x + ∫ = ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ = = ∫ d (2 x − x + 1) − 2 2x − x + 2 ∫ ∫ ∫ dx 2x2 − x + − = x x2 − + 2 ∫ 7) ∫ 1  dx−  4  = 1  x−  + 16   x 2x2 − x + − ln x − + x − + + C 2 BÀI TẬP LUYỆN TẬP: dx 1) x − 2x + 4) ∫ ∫ ∫ x − 3x + x − x +1 x2 + x − x2 + x − 2) ∫ dx 5) ∫ dx 8) Dạng 2: Nguyên hàm I = ∫ ( mx + n ) ∫ 2x −1 x2 − x + 2x + x + x −1 dx 3) ∫ dx 6) ∫ ( x − 3) dx − 2x − x2 9) ∫ x2 − x + x2 − 2x dx 3x − x − 3x + 2 (2x dx ) − x + dx x2 − dx ax + bx + c Cách giải: dt n Đặt mx + n = ⇒ mdx = − ; x = − t mt m t du  = ln u + u ± a + C  u ±a → Thay vào ta I = g (t )dt   du u = arcsin + C  2 a  a −u Ví dụ điển hình: Tính ngun hàm sau ∫ ∫ ∫ Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH Luyện giải đề để đạt điểm Toán trở lên! DeThiMau.vn www.moon.vn Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân LUYỆN THI ĐẠI HỌC MƠN TỐN – Thầy Hùng a) I1 = dx ∫ ( x + 1) b) I = x2 + x + dx ∫ ( x + 3) x2 + 3x − Hướng dẫn giải:  dt dt x = −1  t t t2 a) Đặt x + = ⇒   → I1 = − =− = 2 t  dx = − dt 1  1 1        − 1 +  − 1 +  − 1 +  − 1 + t2  t t  t t t t       ∫ − ∫ 1   = − ln t + t + = − ln +  + + C  + x +1 x +1  x +1 1+ t dt ∫ 1  dt x= −   2t 2t b) Đặt x + = ⇒   → I2 = − =− 2 t  dx = − dt  1  1 − + − −      2t t  2t   2t  ∫ =− dt ∫ −t − t 9 =− ∫ dt 13   − t +  81   =− BÀI TẬP LUYỆN TẬP: dx 1) ( x − 1) x − x + ∫ 4) ∫ ( x + 1) dx x2 − 2x + dx Dạng 3: Nguyên hàm I =  2 d t +   9 ∫  13      − t +     9 ∫ 5) ∫ ( x + 2) Ax + B ∫ ( mx + n ) 2x −1 2) ax + bx + c x2 − x + ∫ dx ax + bx + c I = dx x2 − x − =− 9t − −t 4 dt ∫ − 9t − 4t = dx 3) ∫ ( x − 1) 6) ∫x dx x + 3x + dx x4 + x2 − dx dx dx ∫ Các nguyên hàm I1 = dt  9t +  = − arcsin   + C  13  dx Cách giải: Ta phân tích tử số chứa (mx + n) sau: A An ( mx + n ) + B − Ax + B m dx = A I= dx = m m ( mx + n ) ax + bx + c ( mx + n ) ax + bx + c ∫ ∫ ∫ ( mx + n ) Ví dụ điển hình: Tính ngun hàm sau ( x − ) dx a) I1 = (2 − x ) x2 − ∫ ∫ An   +B−  m  ax + bx + c  dx dx ax + bx + c b) I = ∫ ( mx + n ) dx ax + bx + c xét đến phần ( x + 1) dx ∫ ( x + 1) x2 − Hướng dẫn giải: a) Ta có Xét J = ( 3x − ) dx = − ( − x ) dx = dx − 3∫ I1 = ∫ ∫ ∫ ( − x ) x2 − ( − x ) x2 − ( − x ) x2 − dx ∫ (2 − x) dx x −1 = J − 3ln x + x − 1  x =2−  t Đặt − x = ⇒  t x2 −  dx = dt  t2 Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH Luyện giải đề để đạt điểm Toán trở lên! DeThiMau.vn www.moon.vn Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân LUYỆN THI ĐẠI HỌC MƠN TỐN – Thầy Hùng ⇒J= dt t2 ∫1 = 1   −  −1 t  t Khi ta I1 = b) Ta có I = dt ∫ 3t − 4t + dt 3∫ = = t2 − t + 3 3∫ dt =  2 t −  −  3 ln t − + t2 − t + + C 3 2 ln t − + t − t + − 3ln x + x − + C 3 3 ( x + 1) dx = ( x + 1) − dx = ∫ ( x + 1) x2 − ∫ ( x + 1) x2 − ∫ dx x −4 + dx ∫ ( x + 1)  x = −1 dx  t Xét K = Đặt x + = ⇒  t ( x + 1) x −  dx = − dt  t2 dt dx dt t2 ⇒K = =− =− =− − 2t − 3t ( x + 1) x − 1  − −   t t   1 d t +  1  3t +   3 arcsin  =− =− +C 2 3   2  1   − t +   3  3 x −4 = 2ln x + x − + K ∫ ∫ ∫ ∫ dt ∫ − t − t2 3 =− 3∫ dt  1 − t +   3 = ∫  3t +  arcsin   + C   Khi đó, I = 2ln x + x − − BÀI TẬP LUYỆN TẬP: ( x + 3) dx 1) ( x + 1) x + x + ∫ 2) 4) ( x − 3) dx ∫ ( x − 1) x2 + 5) Dạng 4: Nguyên hàm I = ∫ ( x − 1) dx ∫ ( x − 1) 3) x − 3x + ( x + ) dx ∫ (1 − x ) x2 + ( x + ) dx ∫ ( x + 1) x2 − x + dx ( x + a )( x + b) Cách giải: Cách 1: Đặt t = x + a + x + b ⇒ dt = Khi đó, I = dx 2dt = = 2ln t + C = 2ln t ( x + a)( x + b) ∫ ∫ Cách 2: Ta có I = = ∫ dx = ( x + a )( x + b) a+b  dx+    ∫ dx dx x+a + x+b dx 2dt + = → = dx  t x + a x + b ( x + a )( x + b) ( x + a)( x + b) ∫ = ln x + ( ) x + a + x + b + C dx x + ( a + b ) x + ab = ∫ dx a+b ( a + b)  + + − x ab     a+b + ( x + a )( x + b) + C a+b (a + b)2  x ab + + −     Bình luận: Thoạt nhìn, ta tưởng hai cách giải cho hai đáp án khác nhau, Thật vậy, 2ln ( ) x + a + x + b = ln ( x+a + x+b ) ( a+b   = ln x + a + b + ( x + a)( x + b) = ln  x + + ( x + a )( x + b)  + ln 2   Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH Luyện giải đề để đạt điểm Toán trở lên! ( ) = ln x + a + x + b + ( x + a)( x + b) = ) DeThiMau.vn www.moon.vn Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân LUYỆN THI ĐẠI HỌC MƠN TỐN – Thầy Hùng a+b a+b   ′     ′ Và rõ ràng, ln  x + + ( x + a )( x + b)  + ln  = ln  x + + ( x + a )( x + b)   2        Như vậy, thực chất hai cách giải cho phép tốn, có chăng, khác biệt việc tính đạo hàm cuối để kiểm tra!!! Dạng 5: Nguyên hàm I = ∫ dx x+a ± x+b Cách giải: Các nguyên hàm dạng giải đơn giản phép trục thức dx x+a ∓ x+b dx = x + a dx ∓ x + b dx Thật vậy, I = = a −b a −b x+a + x+b Ví dụ điển hình: Tính ngun hàm sau dx dx dx a) I1 = b) I = c) I = 2x + − 2x + x+2 + x−3 x − 4x + Hướng dẫn giải: dx a) I1 = x − 4x + dx dx d ( x − 2) Cách 1: I1 = = = = ln x − + x − x + + C 2 x − 4x + ( x − 2) − ( x − 2) − ∫ (∫ ∫ ∫ ) ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ Cách 2: I1 = ∫ ∫ ∫ dx ( x − 1)( x − 3) 1 1   x −1 + x −  dx 2dt Đặt t = x − + x − ⇒ dt =  + =  dx ⇔  dx =  t  x −1  ( x − 1)( x − 3)  x −3  ( x − 1)( x − 3) dx dt =2 = 2ln t + C = 2ln x − + x − + C Khi đó, I1 = t ( x − 1)( x − 3) ∫ ∫ dx = x+ + x−3 x+2 − x−3 ∫ ( x + 2) − ( x − 3) dx = ∫ ( b) I = ∫ c) I = ∫ ( x + 1) − ( x + 5) dx = − ∫ ( 2x + + 2x + BÀI TẬP LUYỆN TẬP: dx 1) x +1 + x ∫ 4) ∫ x dx 2+ x + 2− x 7) ∫ x+9 − x dx ) x + − x − dx = ) x + + x + dx = − 2) ∫ ( ) ( x + 2)3 − ( x − 3)3 + C ) (2 x + 1)3 + (2 x + 5)3 + C 3) x dx x+2 + 2− x ∫ dx ∫ x2 − x + ∫ −1 8) ( dx x +1 + x −1 5) 15 6) dx x+4+ x+2 x3 ∫ x+ x2 + dx dx ( x + 3)( x + 5) 9) ∫ 3) ∫1+ 6) ∫ x( x + 1) dx 9) ∫ LUYỆN TẬP TỔNG HỢP VỀ NGUYÊN HÀM CỦA HÀM VÔ TỈ 1) ∫1+ 4) ∫ 7) ∫ dx x +1 dx x+4x dx x + x + 24 x 2) ∫x 5) ∫ 8) ∫ x +1 dx x−2 x dx x−3x dx (2 x + 1)2 − x + Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH Luyện giải đề để đạt điểm Toán trở lên! DeThiMau.vn dx x +1 x dx x2 + x + www.moon.vn ... hàm sau ∫ ∫ ∫ Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH Luyện giải đề để đạt điểm Toán trở lên! DeThiMau.vn www.moon.vn Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân LUYỆN THI ĐẠI HỌC MƠN TỐN – Thầy Hùng a) I1 = dx ∫ ( x... dx = dt  t2 Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH Luyện giải đề để đạt điểm Toán trở lên! DeThiMau.vn www.moon.vn Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân LUYỆN THI ĐẠI HỌC MƠN TỐN – Thầy Hùng ⇒J= dt t2 ∫1 = 1... trọn vẹn khóa LTĐH Luyện giải đề để đạt điểm Toán trở lên! ( ) = ln x + a + x + b + ( x + a)( x + b) = ) DeThiMau.vn www.moon.vn Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân LUYỆN THI ĐẠI HỌC MƠN TỐN – Thầy