Tìm nghiệm của phương trình hàm vi - tích phân bằng phương pháp đồng nhất

Tìm nghiệm của phương trình hàm vi - tích phân bằng phương pháp đồng nhất được nghiên cứu với mục đích cung cấp một số dạng toán về phương trình vi phân - tích phân cũng như giúp các em học sinh đạt kết quả cao trong các kỳ thi như THPT Quốc gia, thi học sinh giỏi, Olympic, tác giả đã đề cập đến cách sử dụng phương pháp đồng dạng để tìm hàm số trong bài toán về phương trình hàm vi phân - tích phân.

Vol8.No2_June 2022 TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐẠI HỌC TÂN TRÀO ISSN: 2354 - 1431 http://tckh.daihoctantrao.edu.vn/ FINDING ROOTS OF DIFFERENTIAL - INTEGRAL EQUATIONS BY THE IDENTITY METHOD Le Thieu Trang Tan Trao University, Viet Nam Email adress: lttrang0466@tuyenquang.edu.vn DOI: https://doi.org/10.51453/2354-1431/2022/744 Article info Received: 25/03/2022 Revised: 03/05/2022 Accepted: 01/6/2022 Keywords: Antiderivative, integral, differential – integral equation, identity, student Abstract: To provide some math forms of differential - integral equations, as well as help students achieve remarkable results in exams such as National High School, Excellent Student Contests, and Olympiads, the author has mentioned how to use the homogenization method to find functions in the problem of differential - integral function equations This helps form an effective way for students to encounter these math problems These math exercises have been collected and synthesized from several documents and contests in recent years; the author has supplemented and formed general methods supporting students in different themes in studying and researching Therefore, the students can design similar exercises by themselves 29 Vol8.No2_June 2022 TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐẠI HỌC TÂN TRÀO ISSN: 2354 - 1431 http://tckh.daihoctantrao.edu.vn/ TÌM NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH HÀM VI - TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỒNG NHẤT Lê Thiếu Tráng Trường Đại học Tân Trào, Việt Nam Địa email: lttrang0466@tuyenquang.edu.vn DOI: https://doi.org/10.51453/2354-1431/2022/744 Thông tin viết Ngày nhận bài: 25/03/2022 Ngày sửa bài: 03/05/2022 Ngày duyệt đăng: 01/06/2022 Từ khóa: Nguyên hàm, tích phân, phương trình vi - tích phân, đồng nhất, học sinh - sinh viên Tóm tắt Với mục đích cung cấp số dạng tốn phương trình vi phân - tích phân giúp em học sinh đạt kết cao kỳ thi THPT Quốc gia, thi học sinh giỏi, Olympic, tác giả đề cập đến cách sử dụng phương pháp đồng dạng để tìm hàm số tốn phương trình hàm vi phân - tích phân Từ giúp hình thành phương pháp giải hiệu cho học sinh gặp dạng toán Các tập tốn chúng tơi sưu tầm tổng hợp từ số tài liệu số thi năm gần đây, tác giả bổ sung hình thành phương pháp chung hỗ trợ cho em học sinh chuyên đề khác trình học tập tìm hiểu Vì vậy, em hồn tồn tự thiết kế tập tương tự I ĐẶT VẤN ĐỀ Vi phân tích phân chủ đề hay khó chương trình giải tích Trung học phổ thông Đại học, đặc biệt phần vận dụng vận dụng cao kì thi Trung học phổ thông Quốc gia, học sinh giỏi Olympic học sinh - sinh viên Về phương trình hàm liên quan đến vi phân, tích phân có giáo trình giảng dạy ngành tốn trường Đại học bậc Trung học phổ thơng, có đầy đủ lý thuyết, tập thực hành bao gồm: Vi phân, tích phân, phương trình vi – tích phân Tuy nhiên, năm gần đây, kì thi học sinh sinh viên đa số phần em làm chưa tốt, viết này, tác giả tập trung khai thác dạng tốn tìm hàm số phương trình hàm vitích phân, giúp cho học sinh sinh viên nhận dạng giải tốt dạng tốn kì thi giúp người học chủ động xây dựng hệ thống tập học tập nghiên cứu Các dạng toán 30 phức tạp tác giả giới thiệu chuyên đề II NỘI DUNG NGHIÊN CỨU * Kiến thức chuẩn bị 2.1 Nguyên hàm [3] 2.1.1 Định nghĩa Cho hàm số f x xác định khoảng K K khoảng, đoạn, nửa khoảng Hàm số F x nguyên hàm hàm số f x gọi K F ' x  f x , x  K 2.1.2 Định lí Nếu F x nguyên hàm hàm số f x K với số C , hàm số G x  F x  C nguyên hàm hàm số f x K Le Thieu Trang/Vol8 No.2_June 2022| p.29-41 Đảo lại, F x nguyên hàm hàm b số f x K nguyên hàm f x nguyên hàm f x kí hiệu: Nếu b biết f a 2.1.3 Các phương pháp tính ngun hàm Ngồi phương pháp dùng bảng nguyên hàm bản, ta có phương pháp sau: Định lí Hàm số u  u x có đạo hàm liên tục liên tục cho f u x  K hàm số f u K Khi F nguyên hàm a a Định lí Nếu hàm số u  u x có đạo hàm liên tục K, hàm số y  f u liên tục hàm hợp f u x  xác định K, u b b x  u ' x dx  a a, b  K , ta có: f u du  u a + Phương pháp tính tích phân phần: b Phương pháp tính nguyên hàm phần: Nếu u  u x v  v x có đạo hàm liên tục Định lí Nếu u  u x , v  v x hàm số có đạo hàm liên tục a; b thì: b b b  u x v ' x dx  u x v x  a   u ' x v x dx a; b thì: a  u x v ' x dx  u x v x   v x u ' x dx a b Hay viết gọn lại là:  udv  uv a b a b   vdu a Hay viết gọn lại là:  udv  uv   vdu 2.3 Một số bất đẳng thức tích phân [5] 2.2 Tích phân [4] 2.3.1 2.2.1 Định nghĩa Cho hàm số f x liên tục hàm số f x đoạn hay tích phân xác định đoạn a; b b  x dx  F x a a 1) f x dx  ;  a hàm liên tục Nếu f x  0, x  a, b thì: x dx  , dấu Hệ Cho hàm liên tục f : a, b  2n x  dx  , dấu xảy f x  0, với ta F b F a Hệ Cho a f x dx b f x  0, x  a;b   f Khi lí a b a a f hàm số f x Kí hiệu: b a; b , hiệu số F b  F a gọi tích phân từ a đến b Định f : a, b  đoạn a; b Giả sử F x nguyên hàm f b + Phương pháp đổi biến số:  f u b x dx   f u du   f t dt  2.2.2 Các phương pháp tính tích phân Ngồi phương pháp dùng bảng ngun hàm bản, ta cịn có phương pháp sau [5]: a Phương pháp đổi biến số: b x dx  f x  , với a  b a b f 4) Ta có: xác định f, tức là: b 3) Nếu Hệ  a K có dạng F x  C , với C số tùy ý Họ a  2) f x dx   f x dx có : x  a; b Hệ Cho hai hàm liên tục f : a, b  g : a, b  Nếu f x  g x , x  a, b b  a b f x dx   g x dx a 31 Le Thieu Trang/Vol8 No.2_June 2022| p.29-41 2.3.2 Bất đẳng thức trung bình cộng trung bình nhân AM-GM (Inequality Arithmetic and Geometric Means) Cho n số thực không âm a1, a2 , , an , ta có: Phân tích Ta thấy biểu thức dấu tích phân có chứa f ' x , để sử dụng giả thiết ta cần làm xuất f ' x Như phải xuất phát từ giả thiết a1  a2   an n  a1a2 an Dấu xảy n a1  a2   an f , g : a; b  f b có tiếp tục đánh giá để tìm hàm f x  Giải Trong tích phân: I  x f x dx 2 a b du  f ' x dx f x u  Đặt    f x I  11 x f ' x dx 0 1 1 f   x3 f x dx    x f ' x dx  1 30 3  x f ' x dx  1 Theo giả thiết ta có:   f ' x 32 f x dx  [2] x dx  0 Vậy   f ' x  x3  dx   f ' x  7 x3 , x  0;1 Thay f  a2   f ' x  ax dx    a  0a 7 0   Ví dụ Tìm hàm f x 1  f x   x4  C f' Ta cần tìm a cho:  f '2 x  ax3   để tìm f x 0;1 , biết f  , x  ax3  dx   f ' x dx  2a  x f ' x dx  a  x 6dx a2   2a  biểu thức, phép toán liên quan đến f x ' x dx  số giá trị hàm điểm Tìm f x có đạo hàm liên tục  f ' x  ax3    f '2 x  2ax3 f ' x  a x  f Xét đồng nhất: Giả thiết tốn có hai đẳng thức tích phân, Phương pháp Tùy theo giả thiết ta đồng nhị thức biểu thức thích hợp Chẳng hạn với hai giả thiết gợi ý đồng  Như vậy: đồng , x3 f x nhị thức chẳng hạn Ta được: III MỘT SỐ DẠNG TỐN TÌM NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH HÀM VI - TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỒNG NHẤT Trong nhiều chủ đề phương trình hàm vi-tích phân, có dạng tốn thường gặp là: Biết số giả thiết giá trị hàm điểm biết số đẳng thức vi, tích phân Ta cần xác định hàm số yếu tố liên quan đến hàm Trong báo này, khn khổ có hạn nên tác giả làm rõ số dạng toán từ nhận dạng, phân tích dẫn đến phương pháp chung để tìm hàm phương pháp đồng đa thức, đồng thời bạn đọc chủ động xây dựng hệ thống tập tương tự Cịn nhiều dạng tốn liên quan khác, tác giả đề cập viết x3 v    x dx  dv  dấu f x  kg x , k  3.1 Dạng toán Tìm hàm sử dụng phương f x dx    x dx. g x dx    f x g x dx  , a a  b Ta có: a; b pháp phần để có f ' x Sau từ giả thiết 2.3.3 Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz: Cho hàm khả tích x ta C Vậy 7 f x   x4  4 Ví dụ Tìm hàm số f x liên tục 1;4 , Le Thieu Trang/Vol8 No.2_June 2022| p.29-41 thỏa mãn: f x Ví dụ Tìm hàm số f  1, f  3ln  ,  xf ' x dx  9ln  f' x dx  x 1 10 0;1 27 [2]  10 Biết rằng: f 0, f' Phân tích Về loại tốn giống với ví dụ 1, nhiên có độ phức tạp biểu thức đồng cần nhìn nhận sâu sắc để tìm mối liên hệ biểu thức Giải Giả thiết: có đạo hàm liên tục  f x x 1 x dx   2ln dx  2ln  [2] Phân tích Dạng tốn tương tự ví dụ trên, tích phân phần xuất giá trị f x 1 dx chưa biết Ta cần khử f trình tìm f x Ta có: f' f x  x dx  f x  f  f  3ln Giải Trong tích phân I  f x x 1 dx , du  f ' x dx    1  dx  dv v    x 1 x 1   f x u xf ' x  f' x  dx    f ' x  x  x 1 1 Hay  xf ' x   dx  3ln  10  đặt  x dx  3ln  Dẫn đến x 1 10 Nhận được: xét đồng nhất: I  a x  xf ' x   0 x 1   xf '2 x  2a xf ' x a2 x  x 1 x 1 4 1  xf ' x dx  2a  0  f f' x f' x  f  dx dx   x 1 x 1 Như xf ' x x dx  a  dx  x 1 x 1 f du  f ' x dx     1 dx  dv k v   x 1 x 1   Khi đó: chưa biết Để tìm f x u x 1  x 1 f , ta đưa vào tham số sau: Đặt:   a    a  3  x f ' x  x Thay   f' x  f x x 1  f x   dx    k f x x    x 1 1      k  f ' x dx x   0 Vậy f x  3ln x    3ln Nhận xét Trong hai ví dụ ta thấy, để tìm hàm f x ta cần xử lí giả thiết, sau tìm biểu thức đồng thích hợp Đây tư tưởng cho hàng loạt dạng toán Tuy nhiên, có cần bổ sung tham số tích phân phần, tìm biểu thức đồng thích hợp Các tập tự luyện phần sau, người học tự đưa hệ thống tập tương tự         k  f  1 k f     k  f ' x dx x          1 k f      k  f ' x dx Chọn k x 1  0 cho  k   k  Ta được:  f x x 1 dx  2ln  x  f ' x dx   2ln 2 x  33 Le Thieu Trang/Vol8 No.2_June 2022| p.29-41 f x u  du  f ' x dx , đó: Đặt    Từ gợi ý biểu thức dấu tích phân, ta dùng đồng nhất:  2dx  dv I  2x  k f x xf ' x  ax  x    f ' x  a x  1   f ' x  2a x    x    1 Ta   k  f 1   x  k f ' x dx 1  có: (giả  ax  2 1   dx  a  1    dx  a  1  x    0  x 1 x 1 1 1 f '2 x   f x  x  16 x  8, x  1;1 thiết); 1 1 1 1   f '2 x dx  2  f x dx   x  16 x  dx 2 Từ giả thiết: xf ' x 3  2a  dx  2a   2ln  (đã tính trên); x    1 I   f x dx    x  f ' x dx   x   Chọn k  ta f ' x dx   2ln 2   23  dx  a   2ln  2   f'  1 1 1    f ' x  2x +2  dx  Do đó: 1 x   3  23  0  f ' x  a x  1 dx   2ln  2a   2ln   a   2ln   1 x  dx   8x  16 x  dx  1 Do f ' x  x   f x  x  x  C Thay Để 1 x dx   x  f ' x dx   x  16 x  dx 1   x  k f ' x dx 1 1 xf ' x  ax  dx     dx x 1 x 1  0 1 2 1 xf ' x  ax   x     f ' x a dx  f ' x  a    dx   0  x  1 x   x    0    f '2 x dx  2a   v  x  k x   3  23  0  f ' x  a x  1 dx    2ln  2a   2ln   a   2ln    a  1 f   C  3 Vậy f x  x  x  Nhận xét Qua hai ví dụ trên, ta thấy rõ phương pháp xử lí dạng tốn đồng nhị thức, x x   f' x   f x  dx   1   dx  x  ln x   C x 1 x 1 cần đưa vào tham số tích phân phần  x 1 giá trị hàm số chưa biết Người học dựa vào dạng tốn phương pháp tự xây Thay f   C  ln   dựng hệ thống tập trình học f x  x  ln x   ln 1 tập nghiên cứu Vậy: Ví dụ Tìm hàm số y  f x liên tục 1;1 , thỏa mãn: 3.2 Dạng tốn Tìm hàm f '2 x   f x  x  16 x  8, x  1;1 Bài toán xét tương tự dạng trên, số lượng đẳng thức nhiều hơn, chẳng hạn có giả [2] thiết: Phân tích Với giả thiết cho, ta thấy cần tìm biểu thức để đồng Tuy nhiên cịn thiếu Do ta cần tham số để b b a a  f x dx  M ,  xf x dx  N , b f x dx  P Tìm f x biểu thức, a Giải Xét I  f x dx  1 34 đồng tam thức f  khử f x phép toán liên quan đến f x Phương pháp Từ số lượng giả thiết gợi ý liên kết với tam thức (hoặc nữa) tùy theo số lượng Le Thieu Trang/Vol8 No.2_June 2022| p.29-41 giả thiết, chẳng hạn ba giả thiết gợi ý liên kết tam thức  f x  ax  b    1 I   e2 x  f '2 x  f x  dx   e x f x dx  Ví dụ Tìm hàm số f x liên tục 0;1 , u '  e x f x  e x f ' x  e x f ' x  u ' u , thỏa mãn:  f x dx   xf x dx  f x dx  với Phân tích Từ giả thiết ta thấy biểu thức tích phân cận biểu thức dấu tích phân chứa f x , xf x , f x I    u ' u  nên để đồng 1  uu ' dx   f x  ax  b    f '2 x  2axf x  2bf x  a x  2abx  b2 x  u2 15  ; 2  1 0 0 thay vào được: x dx  2a  xf x dx  2b  f x dx   a x  2bx  b dx  a2   a  b   ab  b   udx  xu   xu ' dx    xu ' dx ,  u  4u  dx   u '2  2uu ' 4u  dx   Ta có: Giải Xét đồng nhất: 2 nhất, gợi ý xuất phát từ tổng ba số bình phương Như vậy: [1] f Đặt u x  e x f x , đó: I   u '2  xu ' dx  Dùng đồng Ta cần tìm  u ' x  a cho: dx  tìm a  Do   f x  ax  b dx  , Theo cách đặt suy e f x  e f ' x  2x  x x '  e x f x   x  2 hay  a  b  a  ab  b   a  3b  a  3b  6b  12  Từ 2 tìm b  2; a  6 Vậy từ   f Ví dụ Tìm hàm số f x có đạo hàm liên tục 0;1 Biết rằng: x2  2x   x  e x x e Nhận xét Qua hai ví dụ ta thấy, hướng xử lí tốn có phần phức tạp hơn, đòi hỏi phải phát mối quan hệ từ giả thiết dẫn đến xác định biểu thức đồng 3.3 Dạng tốn Tìm f x biết bất đẳng thức tích phân ef  f  1 2x 2 x   e f ' x  f x dx     e f x dx  [1]  Phân tích Từ giả thiết ta thấy có đẳng thức tích phân Ta cần xem xét kĩ để làm gọn biểu thức đưa dạng biết Giải Xét Thay Vậy f x  x  x  2 dx   f x  x  2, x  0;1  e x f x   2x  dx  x  x  C f x Trong báo tác giả đề cập dạng tìm hàm cách dùng số bất đẳng thức Nội dung đầy đủ bất đẳng thức tích phân trình bày chun đề khác Dạng 3.1 Sử dụng tính chất: b f 2n x dx  , a dấu f x  0, x  a; b 35 Le Thieu Trang/Vol8 No.2_June 2022| p.29-41 Ví dụ Tìm hàm số y  f x nhận giá trị dương có đạo hàm liên tục 0,1 , thỏa mãn: Phân tích Từ giả thiết ta thấy tồn số m cho có đẳng thức xảy Để tìm m , ta dùng phương pháp đồng Lời giải sau: x 3 f x  2 dx   f ' x f x dx [1] Phân tích Ta thấy bất đẳng thức cho f' x  f  ef  e    dx  [1] f x  0 1 f' Giải f' Ta biến đổi thiết sau: x 3 f x  2 dx   f ' x f x dx f' x   m  dx  x 0   f   f' x  f' x     m  dx    2m f x  f x      f ' x f x  dx  2 x  f ' x dx  0 f' x    f' x   dx   m2  dx   2m  f x  f x 0 0  Ta có:  3f ' x f x  0 f ' x f x    f ' x f x dx  2 dx  f x  x  C  3 Ta có: f  C ; f   C Thay vào giả  m  m2 thiết f  f  ta được: Do f' x  2  dx   2m  m   m    m  x    f C  f x  2x  Vậy f' x  0  f x  dx    f' x  f' x    1 dx     f x  ke x f x f x 0  Vì f  ef  e nên k   f x  e x Nhận xét Việc đưa vào tham số để bất đẳng thức xảy dấu thường dùng bất đẳng thức đơn giản Đối với phức tạp hơn, ta xử lí bất đẳng thức (xét dạng sau), đưa đẳng thức Ví dụ Tìm hàm số liên tục f x 0;1 Biết rằng: f  f  36 giả   f ' x 3 f x  2  f ' x f x dx  1 , ta đưa đẳng thức để đánh giá dấu Giải Xét: f x có chứa biểu thức bậc hai 21 1 21 1 Dạng 3.2 Dùng bất đẳng thức trung bình cộng trung bình nhân AM-GM (Inequality Arithmetic and Geometric Means) Ví dụ Tìm hàm số 0;1 f x có đạo hàm liên tục Biết rằng: f  ef  dx   f '2 x dx  f x [1] Phân tích Bất đẳng thức cho có dạng nghịch đảo, điều gợi ý cho ta dùng bất đẳng thức AM-GM, mục đích tìm bất đẳng thức ngược chiều với giả thiết Giải Theo bất đẳng thức AM-GM ta có: có đạo hàm dương  1   dx  f ' x dx   f '2 x  dx  2   f x f x   Le Thieu Trang/Vol8 No.2_June 2022| p.29-41  2 f' x dx  ln f x f x  ln f  ln e  f Do giả thiết: f dx  f '2 x dx   f ' x   f x f ' x 1 x 0 f x 1 0 f2 x  x  C  f x  x  2C   f x f ' x dx   xdx  Vì C nên f  ef  f x  2x  e2  e 1 Nhận xét Trong thực tế, việc tìm bất đẳng thức ngược chiều với giả thiết phổ biến Để làm điều đó, cần có đánh giá thích hợp nhờ bất đẳng thức Những toán tương tự phần tập tự luyện Trong ví dụ trên, lấy ví dụ minh họa, tập tương tự cho phần tự luyện tập Riêng phần bất đẳng thức tích phân, tác giả sâu đầy đủ chuyên đề khác Trong báo này, tác giải dừng lại việc tìm hàm số bất đẳng thức Sau tập tự luyện Người đọc cần nhận dạng sử dụng phương pháp thích hợp ví dụ mẫu Sau bạn thử xây dựng dạng toán số xem cịn mắc bước nào, bạn cần số phép thử đặc biệt toán đẹp Dạng 3.3 Sử dụng Bất đẳng thức CauchySchawarz Ví dụ 10 Tìm hàm 0;1 f  0, f x có đạo hàm liên tục Bài tập tự luyện [1], [2], [4] Biết rằng: f' x dx  1 0 x f x dx  [1] Giải Tích phân phần x f x dx  ta được: 0;1 f  1, f' có đạo hàm liên tục , thỏa mãn: x f x dx  Phân tích Bài tốn phần dùng phương pháp đồng Tuy nhiên, đánh giá sử dụng bất đẳng hợp lí có lời giải hay ngắn gọn f x Bài Tìm hàm số 11 78 x d  f x   13  Hướng dẫn: Đồng Kết f x  x  7 Bài Tìm hàm số f x có đạo hàm liên tục 0;1 , thỏa mãn: f  1,  xf x dx  f' Mặt khác, dùng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có: x dx  15 49 45 Hướng dẫn Đồng  f ' x  ax     Từ phải có đẳng thức xảy ra, tức f ' x  kx3 Thay vào tìm k  7 Vậy f ' x  7 x , x  0;1  f x   x  C Kết quả: f x  Bài Tìm hàm số f x 7  f x   x4  4 có đạo hàm liên tục 0;1 , thỏa mãn: Thay f   C  x  9 f  1, f x dx  f' x dx  37 Le Thieu Trang/Vol8 No.2_June 2022| p.29-41 Hướng dẫn Đồng Hướng dẫn Đồng  f ' x  ax   Kết  f ' x  a x3      quả: f x  x3 Bài Tìm hàm số f x có đạo hàm liên tục 0;1 , thỏa mãn: Hướng dẫn Đồng  f ' x  axe   x x cos xdx  x có đạo hàm liên tục Hướng dẫn Đồng  f ' x  a   Kết f x  x  Bài 10 Tìm hàm số f x f f' f x   xe  e , thỏa mãn: f  f  0, x Kết quả: f x Bài Tìm hàm số có đạo hàm liên tục 1; , đồng biến 1;2 thỏa mãn: 0;1 quả: 35 f x   x4  x  4 Bài Tìm hàm số f x f  , Kết 2 x dx  liên tục 1;4 , thỏa mãn: f  1, f  8 Tìm f x x3  f x  x3  x  3x, x  1;4 f '2 x Hướng dẫn Từ giả thiết ta có: Hướng dẫn Đồng  f x  a sin x   Kết quả: f x  sin x f '2 x  f x 9  x x x Bài Tìm hàm số f x có đạo hàm liên tục , thỏa mãn:   f    0, 2 f' x dx   cos xf x dx  Dùng tích phân phần tính 2 Hướng dẫn Đồng  f ' x  a sin x   Kết quả: f x  cos x Bài Tìm hàm số f x f' có đạo hàm liên tục    dx    k f x x   x f x 4       k  f ' x dx x  1 Thay vào ta được: x dx   k f ' x dx  k   1 1  x   f ' x dx  21  2ln Hướng dẫn Đồng  f ' x  a x      7 x 1  4 Bài Tìm hàm số f x liên tục 1;1 , thỏa mãn: 16 f 1  ,  x f x dx  1 38 dx  k  k   2    f ' x dx x 2 1 f x  x3 du  f ' x dx  , ta được:   dx k   dv v   x   x 2 f x u x  f x dx    f x  Đặt  1;2 , thỏa mãn: f  0, f' 1 x dx  112 Chọn k     1  f ' x   x   dx  , Le Thieu Trang/Vol8 No.2_June 2022| p.29-41 hay f ' x    f x  x  3x x Bài 11 Tìm hàm số f x liên tục f x u  du  f ' x dx ,      dx  dv v  x  k 0;1 , f Xét 1 0 đồng nhất:  f ' x  a x     a  Kết quả: f x  x  2  x dx   xf x dx   x f x dx  Tìm f x Hướng dẫn Đồng f 1, f x  15 x -15 x  Bài 12 Tìm hàm biết: f  ,  Hướng liên tục f x f x dx  12 dẫn  Trong f x dx  , 12 đặt  f x u  du  f ' x dx ,   dx  dv v  x  k   chọn liên tục f x f' x dx  2 , Xét 1, đồng  f ' x  a x     a  1 đặt nhất: Kết quả: f x  x  x 1 f ' x  , liên tục 0,1 thỏa mãn: f  1 0 3   f x  f ' x  dx  3 f ' x f x dx x dx   Trong  f x dx  , đặt f x u  du  f ' x dx  , chọn k  2   dx  dv v  x  k   đồng  f ' x  a x     a   f x  Trong Bài 16 Tìm hàm số f x  , có đạo hàm Bài 13 Tìm hàm Xét dẫn k  Kết quả: f x  x  x dẫn x dx  Hướng , biết 12 Đồng  f ' x  a 2x     a  1   x dx  f Hướng f ' x dx  f , f x u  du  f ' x dx , chọn k        dx  dv v  x  k f f '2 x dx  liên tục biết: f  , f x Bài 15 Tìm hàm  f x  ax  b x   Kết   k  2 thỏa mãn: chọn Kết Hướng dẫn Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho ba số dương ta có:  3f ' x f x    f x  f '3 x  dx  3 f ' x f x dx Kết hợp giả thiết ta có: x x Bài 14 Tìm hàm f x liên tục f  0,  Hướng 2 f ' x dx   dẫn Trong  , biết: f x dx  f x dx  , Bài 17 Tìm hàm số f x  , có đạo hàm f ' x  , liên tục 0,1 thỏa mãn: đặt f  1, f  e2  xf ' x dx  Tìm f x f x 39 Le Thieu Trang/Vol8 No.2_June 2022| p.29-41 Hướng dẫn Cần xf ' x dx  Ta có: f x  f  1, f  16 2 Hướng dẫn Ta có: f ' x  f ' x , gợi ý xf x x f x f' x f' x Ta x  ax  b f x f x dùng bất đẳng thức AM-GM: f2' x xf x có: f' x f x  mx  m xf ' x f x f 2' x  mx  2m 24  f x 2m  4m f x f' x f x , m  0, x  1; 2  24  f x Bài 20 Tìm hàm 2m  12 m , dấu Tìm f x  x f' x  xf ' x  mx dx  m  0  f x 0 f x dx   Hay:  2m Khi đó: , m  0, x  0;1 Vậy ta cần tìm m > để: 1; thỏa mãn có đạo hàm liên tục x f x dx  31 Dấu xảy m = Từ  xf ' x f' x  x f x f x Xét đồng nhất: f2' x dx  24 xf x suy ra: Dấu xảy f' x f' x  4x   dx   xdx f x f x Tìm Hướng dẫn: Áp dụng hai lần bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta có: 2     x f x dx  1  f x dx   f x dx  314     x dx  1   3875 Bài 18 Tìm hàm f x Dấu có đạo hàm liên tục f x  kx  k  x dx  31  k   f x  5x 0,1 biết: f  1, f   f x f ' x  dx    Hướng dẫn Với m > 0,  f x f ' x   m  m f x f ' x , hay cần tìm m cho:    f Bài 21 Tìm hàm xét: f ' x  , liên tục 0,1 , thỏa mãn: f  1, f  e2 x f ' x   m dx  m.  f x f ' x  dx  Dấu xảy Khi đó: Bài 19 Tìm hàm f x  , có đạo hàm liên tục 1;2 thỏa mãn: 40  xf ' x dx  f x Hướng dẫn Theo bất đẳng thức Cauchy-Shwarz: 2  xf ' x  1  f' x f' x 12    dx     x dx    xdx. dx 0 f x  0  f x f x     f  ln 1 f Dấu Dấu xảy f x f ' x  1 Thử lại tìm f x  có đạo hàm  xf ' x f x f' x  kx f x dx   k  Tìm Thay vào Le Thieu Trang/Vol8 No.2_June 2022| p.29-41 Bài 22 Tìm hàm f x có đạo hàm liên tục 0,1 thỏa mãn:   f x f ' x  dx  Hướng dẫn Theo bất đẳng thức CauchySchwarz Ta có: f x f ' x dx  f x REFERENCES  1  12    f x f ' x dx    12 dx.  f x f ' x  dx  1.1  0  Dấu f f x f ' x  k , thay vào x f ' x dx  k   Trong trình sưu tầm tổng hợp tài liệu, khả thời gian có hạn nên số kết chuyên đề dừng lại kết luận ban đầu, số vấn đề chuyên đề chưa phát triển sâu cách làm chưa tối ưu Vì mong quan tâm đóng góp ý kiến thầy giáo, bạn đồng nghiệp để chuyên đề có chất lượng tốt IV KẾT LUẬN Qua theo dõi đề thi THPT Quốc gia, kì thi Olympic cho học sinh, sinh viên, tác giả nhận thấy dạng tốn phương trình vi - tích phân cho từ đến phức tạp, tích hợp từ tốn bản, tổng hợp dạng cụ thể dần hình thành chuyên đề đầy đủ cho người học nâng cao kiến thức, tự tổng quát tạo hệ thống tập học tập nghiêm cứu [1] Olympiad exam problems and preparation materials for pupils and students of the Vietnam Mathematical Association (http://vms.org.vn) [2] Fanpage: Mathematical journals and materials - Conquering the Math Olympiad [3] Liem,N.X (1997), Calculus Volume 1, Education Publishing House, Hanoi [4] Tri,N.D (editor)-Ta Van Dinh-Nguyen Ho Quynh (2008), Advanced Mathematics volume 2, Education Publishing House, Hanoi [5] Long,T.D., Sang,N.D., Tien,N.V.T., Toan, H.Q (2008), Calculus exercise, volume 1, Hanoi National University Publishing House 41 ... đồng  Như vậy: đồng , x3 f x nhị thức chẳng hạn Ta được: III MỘT SỐ DẠNG TỐN TÌM NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH HÀM VI - TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỒNG NHẤT Trong nhiều chủ đề phương trình hàm vi- tích. .. TÂN TRÀO ISSN: 2354 - 1431 http://tckh.daihoctantrao.edu.vn/ TÌM NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH HÀM VI - TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỒNG NHẤT Lê Thiếu Tráng Trường Đại học Tân Trào, Vi? ??t Nam Địa email:... giỏi, Olympic, tác giả đề cập đến cách sử dụng phương pháp đồng dạng để tìm hàm số tốn phương trình hàm vi phân - tích phân Từ giúp hình thành phương pháp giải hiệu cho học sinh gặp dạng tốn Các