TÌM NGHIỆM CỦA ĐA THỨC BIẾN A Phương pháp giải Kiểm tra số cho trước có nghiệm đa thức biến khơng Bước l: Tính giá trị đa thức giá trị biến cho trước Bước 2: Nếu giá trị đa thức giá trị biến nghiệm đa thức ngược lại Ví dụ: Kiểm tra x=2 có phải nghiệm đa thức sau hay không: P x 3x 6; Q x x Giải: Ta có P Q 2 3.2 nên x nên x nghiệm P x nghiệm Q x Tìm nghiệm đa thức biến Phương pháp : Bước 1: Cho đa thức Bước 2: Giải tốn tìm x Bước 3: Giá trị x vừa tìm nghiệm đa thức Chú ý : - Nếu A x B x A x B x - Nếu đa thức P x ax c có a bx b c ta tách bx nhóm hạng tử chung đưa dạng tích Kết đa thức có nghiệm x , nghiệm lại x - Nếu đa thức P x c ax c có a bx b nhóm hạng tử chung đưa dạng tích Kết đa thức có nghiệm x - Nếu đa thức P x ax bx ta tách bx 7x Giải: +) Cho 3x 12 cx ax c/ a c khơng có hai tính chất trên, ta tính tích a.c 3x 2x suy x 6; cx c/a 1, nghiệm cịn lại x phân tích hai số có tổng b Ví dụ: Tìm nghiệm đa thức sau: 3x 12; x ax 5; x 7x 12 +) Cho x 7x Vì a b c nên x 1; x +) Cho 3x Vì a b c 3x 2x tách 2x 3x 5x 3x x x l nên x 5 x 3x 7x 12 Ta có : a.c 1.12 7x x2 12 3x 5x ta được: 0 12 (hai số có tổng -7) 4x 12 x x x x x Suy x 3x l;x +) Cho x x2 3;x Tìm a để đa thức P(x) có nghiệm x0: để tìm a Tính P x Ví dụ: Tìm a để x nghiệm đa thức Q x x2 3x.a a Giải: Để x=1 nghiệm Q(x) Q(1)=0 suy 12 - 3.1.a+a+2=0 => -3a+a+3=0 hay a Chứng minh đa thức vô nghiệm Phương pháp: Ta biến đổi đa thức biểu thức ln dương, ln âm vơ lí Cần ý: f x với x; ax bx Ví dụ: Chứng minh đa sau vô nghiệm: c a x b 2a b2 4ac 4a A x x 2; B x x 2 x2 1026; C x 40 4x Giải: Vì x Vì x với x nên x 2 Ta có: x l với x nên x 4x 40 x 2 với x Suy A x vô nghiệm với x Suy B x vô nghiệm 2016 với x nên C x vô nghiệm 36 B Bài tập Bài 1: Cho đa thức f x x4 2x 2x 6x Trong số sau: 1; -1; 2; -2 số nghiệm đa thức f x HD: f f x 8; f nghiệm, 17; f nên x 1, x khơng phải nghiệm 2, x đa thức Bài 2: Tìm nghiệm đa thức sau x2 a A x 5x 6; 6x C x E x 2x b F x 3x 3x x3 R x x2 d A x C x x H x 4x 5x x2 29x 2x x x 3; x3 x2 D x 4x 4x G x x 16 x 1; 3; 27 K x c P x 11x B x 30 81 24 2x 4x Q x 3x L x x B x 2x D x x 8x x2 x x2 2 Chú ý : - Nếu A x B x A x B x Bài 3: Tìm nghiệm đa thức a) 4x e) x b) f) x 5x 2x c) x g) x x2 d) x h) 3x 4x i) x k) x 9 HD: a, b, l) x 3x c, 1; -1 i,Vơ nghiệm Bài 4: Tìm x biết: 2x 3x 4x d, 3;-3 m) x e, 0;1 f 0;2 8x g, h, 0; 1 Bài 5: Cho đa thức : P x 3x 2x 3x HD: x x4 a Tính P(1), P(-1) b Chứng tỏ đa thức khơng có nghiệm HD: b, P x x 2 ax Bài 6: Cho f x a Chứng tỏ rằng: f b f f HD: b f 2 c với a, b, c số hữu tỉ bx f Biết 13a Biết 5a b 2c f f 1 nên b 2c Bài 7: chứng tỏ đa thức sau vô nghiệm A x x2 D x 3x 2x HD: A x x2 5; B x 12x 4x 20; C x x4 x2 2016 ; 2017 x 4; B x x 2 16;D x 3x 2 2005 Bài 8: Chứng minh đa thức có nghiệm biết: a x P x b x P x c x.f x HD: a, Thay x nghiệm x x2 P x x P x f x có nghiệm suy 6 P 7.P hay P nên x Tương tự: x suy nghiệm b, x 5; x c, x 0; x 7.P 0.P hay P Bài 9: Tìm a b để nghiệm đa thức f x x2 Bài 10: Tìm a,b,c biết f x HD: f a c x x 3a b 16 4a b ax bx 4a 2b c 01 4a 2b c a c a b nghiệm đa 12 c có nghiệm 2; -2 a c Bài 11: Chứng tỏ đa thức sau có nghiệm chung f x 2x l vaø g x x3 x 3x 2 HD: Xét 2x x 1/ , thay x 1/ vào g(x) ta được: g suy f(x) g(x) có nghiệm chung x Bài 12: Cho P x a x3 2a 22 2a 25 1/ Tìm a biết P(x) có nghiệm x 1/ x2 nên P HD: Vì P(x) có nghiệm x 3 33 Lấy (1)-(2) theo vế ta 4b b 4a c kết hợp với a c ta a / 5; c 12 / a có nghiệm x b ax HD: Thay x=3; x=4 vào g(x) suy ra: f nên x 3; x thức g x hay: Bài 13: Chứng minh P(x) có nghiệm a P x khơng có giá trị a để P(x) x a Q x (1) HD: Vì P(x) có nghiệm a nên P(a)=0; Mặt khác, thay x=a vào (1) : P a P x x a Q x a a Q a hay 0=0 đúng, ... Cho x 7x Vì a b c nên x 1; x +) Cho 3x Vì a b c 3x 2x tách 2x 3x 5x 3x x x l nên x 5 x 3x 7x 12 Ta có : a.c 1. 12 7x x2 12 3x 5x ta được: 0 12 (hai số có tổng -7) 4x 12 x x x x x Suy x 3x l;x... 9 HD: a, b, l) x 3x c, 1; -1 i,Vơ nghiệm Bài 4: Tìm x biết: 2x 3x 4x d, 3;-3 m) x e, 0 ;1 f 0;2 8x g, h, 0; 1 Bài 5: Cho đa thức : P x 3x 2x 3x HD: x x4 a Tính P (1) , P( -1) b Chứng tỏ đa thức nghiệm... số hữu tỉ bx f Biết 13 a Biết 5a b 2c f f 1 nên b 2c Bài 7: chứng tỏ đa thức sau vô nghiệm A x x2 D x 3x 2x HD: A x x2 5; B x 12 x 4x 20; C x x4 x2 2 016 ; 2 017 x 4; B x x 2 16 ;D x 3x 2 2005 Bài