Microsoft Word ChuyendeDaiso doc ThS Đoàn Vương Nguyên Chuyên đề Đại số http //toancapba com Trang 1 CHUYÊN ĐỀ SỬ DỤNG HÀM SỐ TÌM ĐIỀU KIỆN NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ I PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN Bài to[.]
ThS Đoàn Vương Nguyên CHUYÊN ĐỀ - Chuyên đề Đại số http://toancapba.com SỬ DỤNG HÀM SỐ TÌM ĐIỀU KIỆN NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỈ I PHƯƠNG PHÁP GIẢI TỐN Bài tốn: Tìm điều kiện tham số m để phương trình f(x, m) = (1) có nghiệm thực x ∈ X Trong f(x, m) biểu thức chứa biến x m tham số, X tập hợp » Các bước giải tổng quát: i) Bước 1: Biến đổi (1) thành g(x) = m (2) (cịn gọi lập m) ii) Bước 2: Tìm GTNN (min g(x)) GTLN (max g(x)) g(x) X iii) Bước 3: g(x) ≤ m ≤ max g(x) Chú ý: i) Nếu tốn khơng hạn chế khoảng nghiệm ta xem X = Dg(x) (miền xác định g(x)) ii) Nếu hàm g(x) khơng đạt max ta phải dùng giới hạn, ta thay bước 2) bảng biến thiên (BBT) g(x) iii) Đối với câu hỏi tìm điều kiện m để phương trình có từ nghiệm phân biệt trở lên ta phải dùng BBT 4i) Đôi ta phải đặt ẩn phụ t = t(x) nhớ tìm điều kiện t (miền giá trị t) II CÁC DẠNG BÀI TOÁN THƯỜNG GẶP Bài Tìm điều kiện m để phương trình x2 + 2x − m = 2x − (1) 1) có nghiệm thực, 2) có nghiệm thực, 3) có nghiệm thực phân biệt HƯỚNG DẪN GIẢI x ≥ x ≥ (1) ⇔ ⇔ 2 x2 + 2x − m = (2x − 1)2 m = −3x + 6x − Đặt y = −3x + 6x − , với x ≥ ta có: Bảng biến thiên 1 x −∞ +∞ y −∞ Dựa vào bảng biến thiên, ta có: 5 2) m < ∨ m = , 3) ≤ m < 1) m ≤ , 4 Trang ThS Đoàn Vương Nguyên - Chuyên đề Đại số http://toancapba.com 1 + x + = m (2) có nghiệm thực HƯỚNG DẪN GIẢI Bài Tìm điều kiện m để phương trình x + Đặt t = x+ x+ 1 ≥ ⇔ x = t2 − , (2) trở thành: 4 t − + 2 1 1 t + t + = m ⇔ t2 + t + = m ⇔ t + = m 4 2 2 1 Do t ≥ ⇒ t + ≥ nên (2) có nghiệm m ≥ 2 Bài Tìm điều kiện m để phương trình m 16 − x − − = (3) có nghiệm thực 16 − x2 HƯỚNG DẪN GIẢI m Đặt t = 16 − x2 ⇒ t ∈ (0; 4] , (3) trở thành t − − = ⇔ t2 − 4t = m t Lập BBT hàm số y = t2 – 4t, ta có −4 ≤ m ≤ Chú ý: Nếu giải 2, ta loại m = Do nên lập BBT để tránh sai sót x −1 x+2 −m + = (4) có nghiệm thực x+2 x −1 HƯỚNG DẪN GIẢI Bài Tìm điều kiện m để phương trình x −1 m ⇒ t ∈ (0; +∞) \ {1} , (4) trở thành t − + = ⇔ t2 + 2t = m t x+2 Lập BBT hàm số y = t + 2t, ta có < m ≠ Đặt t = Bài Tìm điều kiện m để phương trình x + − m x − + x2 − = (5) có nghiệm thực HƯỚNG DẪN GIẢI Điều kiện: x ≥ + x = 1: (5) vô nghiệm + x > 1: (5) ⇔ x +1 x −1 − m4 +2 = x −1 x +1 x +1 m = 1+ ⇒ t ∈ (1; +∞) , (5) trở thành t − + = ⇔ t2 + 2t = m x −1 x −1 t Lập BBT hàm số y = t2 + 2t, ta có m > Đặt t = Bài Tìm điều kiện m để phương trình x2 − 2x − = x + m (6) 1) có nghiệm thực, 2) có nghiệm phân biệt HƯỚNG DẪN GIẢI Ta có (6) ⇔ x − 2x − − x = m Đặt y = x − 2x − − x, x ≤ −1 ∨ x ≥ ⇒ y' = x −1 x − 2x − −1 = Bảng biến thiên Trang x − − x − 2x − x − 2x − ThS Đoàn Vương Nguyên x −∞ y’ – y +∞ –1 Dựa vào bảng biến thiên: 1) −3 ≤ m < −1 ∨ m ≥ , - Chuyên đề Đại số http://toancapba.com +∞ + −1 –3 2) khơng có m Bài Biện luận theo m số nghiệm thực phương trình x + + − x = m (7) HƯỚNG DẪN GIẢI Xét hàm số f(x) = + x + − x, x ∈ [−1; 1] ⇒ f / (x) = 1− x − 1+ x − x2 Bảng biến thiên x −∞ –1 f’(x) f(x) + 0 − Dựa vào bảng biến thiên, ta có: +∞ – + m < ∨ m > : (7) vô nghiệm + m = 2: (7) có nghiệm + ≤ m < : (7) có nghiệm phân biệt Bài Tìm điều kiện m để phương trình x + − x = −x + 9x + m (8) có nghiệm thực HƯỚNG DẪN GIẢI x + − x ≥ ≤ x ≤ ⇔ (8) ⇔ + 9x − x2 = 9x − x + m −(9x − x2 ) + 9x − x + = m x + (9 − x) Đặt t = 9x − x ⇒ ≤ t ≤ = , ∀x ∈ [0; 9] , ta có (8) trở thành: 2 −t + 2t + = m Lập BBT hàm số y = −t2 + 2t + [0 ; 9/2] ta có − ≤ m ≤ 10 Bài Tìm điều kiện m để phương trình x + x − + x + HƯỚNG DẪN GIẢI Đặt t = x − ≥ ⇒ x = t + Ta có (9) trở thành: x − = m (9) có nghiệm thực t2 + 4t + + t2 + + t = m ⇔ t2 + 2t + = m Lập BBT hàm số y = t2 + 2t + 6, t ≥ ta có m ≥ Bài 10 Tìm điều kiện m để phương trình x +6 x−9 + x−6 x−9 = x+m (10) có nghiệm thực HƯỚNG DẪN GIẢI Đặt t = x − ≥ ⇔ x = t + Ta có (10) trở thành: t2 + + m ⇔ 6( t + + t − t2 + 6t + + t2 − 6t + = Trang ) = t2 + + m ThS Đoàn Vương Nguyên - Chuyên đề Đại số http://toancapba.com −t2 + 12t − = m, t ≥ (*) ⇔ −t + 27 = m, ≤ t < (**) + Lập BBT hàm số y = −t2 + 12t − 9, t ≥ ta suy (*) có nghiệm thực ⇔ m ≤ 27 + Do 18 < −t2 + 27 ≤ 27, ∀t ∈ [0; 3) nên (**) có nghiệm thực ⇔ 18 < m ≤ 27 Vậy với m ≤ 27 (10) có nghiệm thực Bài 11 Tìm m để phương trình Đặt t = x −1 + x − + − x − (x − 1)(3 − x) = m (11) có nghiệm thực HƯỚNG DẪN GIẢI − x ≥ ⇒ t = + x − − x ≥ ⇒ t ≥ Mặt khác t2 = + x − − x ≤ + [(x − 1) + (3 − x)] = ⇒ ≤ t ≤ Ta có (11) trở thành: t2 − t− = m ⇔ − t2 + t + = m 2 Lập BBT hàm số y = − t2 + t + 1, t ∈ 2; ta có ≤ m ≤ Chú ý: Nên lập BBT t = Bài 12 Tìm m để phương trình Đáp số: ≤ m ≤ x −1 + 1+x + − x để tìm miền giá trị t − x + (1 + x)(8 − x) = m có nghiệm thực 9+6 x + 4x + m + x + 4x + m = (13) có nghiệm thực HƯỚNG DẪN GIẢI x + 4x + m ≥ Ta có: Bài 13 Tìm m để phương trình Đặt t = (13) ⇔ t2 + t − = ⇔ t = ⇔ x + 4x + m = ⇔ −x − 4x + 16 = m Lập BBT hàm số y = −x − 4x + 16 » ta có m ≤ 19 Bài 14 Tìm điều kiện m để phương trình − x + − x = m (14) 1) có nghiệm thực nhất, 2) có nghiệm thực HƯỚNG DẪN GIẢI 1) Nhận thấy x0 nghiệm (14) – x0 nghiệm (14) Suy x = −x ⇔ x = nghiệm (14) Thế x0 = vào (14) ta m = Thử lại ta thấy (14) có nghiệm Vậy m = 2) Đặt t = − x2 ⇒ ≤ t ≤ Ta có (14) trở thành t3 + 2t2 = m Lập BBT hàm số y = t3 + 2t2 [0 ; 1] ta suy ≤ m ≤ Bài 15 Chứng tỏ phương trình 3x2 − 2x − = 2x − + mx (15) ln có nghiệm thực với giá trị m HƯỚNG DẪN GIẢI x > x > 2x − > ⇔ 2 ⇔ (15) ⇔ 3x2 − − − 3x 2x 3x − 2x − = mx = mx =m 2x − 2x − 2x − Trang ThS Đoàn Vương Nguyên - Chuyên đề Đại số http://toancapba.com 3x − 3x − Xét hàm số f(x) = , x > ⇒ f / (x) = 2x − (2x − 1) 2x − Mặt khác lim 3x − x →+∞ 2x − = +∞ , lim+ x→ 3x − 2x − = −∞ Suy hàm số f(x) có tập giá trị » Vậy (15) ln có nghiệm thực với m x +1 = m (16) có nghiệm thực x−3 Bài 16 Tìm m để phương trình (x − 3)(x + 1) + 4(x − 3) HƯỚNG DẪN GIẢI x +1 ≥ ⇔ x ≤ −1 ∨ x > x−3 + Với x ≤ −1 : (16) ⇔ (x − 3)(x + 1) − (x − 3)(x + 1) = m Điều kiện (x − 3)(x + 1) ≥ 0, ∀x ≤ −1 , (16) trở thành t2 − 4t = m ⇒ m ≥ −4 Đặt t = + Với x > : (16) ⇔ (x − 3)(x + 1) + (x − 3)(x + 1) = m ⇒ m ≥ Vậy m ≥ −4 − x + + x = m (17) có nghiệm thực HƯỚNG DẪN GIẢI 1 1 Xét hàm số f(x) = − x + + x ⇒ f / (x) = − 3 (1 + x)2 (1 − x)2 ⇒ f / (x) = ⇔ (1 + x)2 = (1 + x)2 ⇔ x = ⇒ f(0) = − x + + x (1 − x)2 − − x + (1 − x)2 lim f(x) = lim x →∞ x →∞ (1 − x)2 − − x + (1 − x)2 Bài 17 Tìm m để phương trình ( ) 2 x − − − + x x Suy tập giá trị f(x) (0; 2] Vậy < m ≤ = lim x →∞ 1 2 + x = Bài 18 (trích đề thi ĐH khối B – 2004) Tìm điều kiện m để phương trình: m Đặt t = ( ) + x − − x + = − x + + x − − x (18) có nghiệm thực HƯỚNG DẪN GIẢI 1+ x − 1− x , −1 ≤ x ≤ 2 ⇒ t' = x ( + x2 + − x2 )=0⇔x=0 + x2 − x2 t(±1) = 2, t(0) = ⇒ t ∈ 0; , ∀x ∈ −1; −t + t + (18) trở thành m(t + 2) = − t2 + t ⇔ m = t+2 −t2 + t + −t2 − 4t Xét hàm số y = ⇒ y' = ≤ 0, ∀t ∈ 0; t+2 (t + 2)2 Bảng biến thiên Trang ThS Đoàn Vương Nguyên - Chuyên đề Đại số http://toancapba.com x −∞ y’ y +∞ 0 – −1 Dựa vào bảng biến thiên, (18) có nghiệm thực ⇔ − ≤ m ≤ Bài 19 Biện luận theo m số nghiệm thực phương trình m x + = x + m (19) HƯỚNG DẪN GIẢI x (19) ⇔ m x + − = x ⇔ m = x2 + − > 0, ∀x ∈ » x + −1 x Xét hàm số y = x2 + − x2 x2 + − − − x2 + x2 + = ⇒ y' = = ⇔ x = ± 2 x2 + − x + x2 + − ( ) ( ( Giới hạn lim y = lim x →∞ x →∞ ( ) x x + − x x ) ) ⇒ lim y = ±1 x →±∞ Bảng biến thiên x −∞ y’ y –1 − – 2 + +∞ – − Dựa vào bảng biến thiên, ta có + m < − ∨ m > : (19) vô nghiệm + −1 ≤ m ≤ ∨ m = ± : (19) có nghiệm + − < m < −1 ∨ < m < : (19) có nghiệm phân biệt Bài tốn 20 Tìm m để phương trình 2x − x − = mx + m (20) có nghiệm thực x ≠ −1 HƯỚNG DẪN GIẢI Điều kiện 2x − x − ≥ ⇔ x < −1 ∨ x ≥ (x ≠ −1) 2 2x − x − Ta có (20) ⇔ = m x +1 Lập BBT hàm số y = 2x2 − x − ta suy m < − ∨ ≤ m < x +1 Bài 21 Tìm m để phương trình sau có nghiệm thực nhất: x + − x + 2m x(1 − x) − x(1 − x) = m (21) HƯỚNG DẪN GIẢI Trang ThS Đoàn Vương Nguyên - Chuyên đề Đại số http://toancapba.com Nhận thấy x0 nghiệm (21) – x0 nghiệm (21) Từ đó, để (21) có nghiệm x = − x ⇔ x = ⇒ m = m ⇔ m = ∨ m = ±1 t2 − Đặt t = x + − x ≥ 0, ≤ x ≤ ⇒ x(1 − x) = (21) trở thành 2(t2 − 1) = mt2 + t − m − m 1 ⇔ x = (nhận) 2 2 + m = 1: (21) ⇔ 2(t − 1) = t + t − ⇔ 2(t − 1) = (t − 1)(t + 2) t = t ≥ ⇔ ⇔ t > 2(t − 1)(t + 1) = (t − 1)2 (t + 2)2 t3 + 3t2 − 2t − = x = t = t = x(1 − x) = x = (loại) ⇔ t > ⇔ ⇔ ⇔ x(1 − x) = t = (t + 3)(t2 − 2) = x = + m = −1 : (21) ⇔ 2(t − 1) = (t + 1)(2 − t) ≤ t ≤ ⇔ ⇔ t = ⇔ x = (nhận) t − 3t − 2t + = Vậy m = ∨ m = −1 + m = 0: (21) ⇔ 2(t2 − 1) = t ⇔ t2 = ⇔ Bài 22 Tìm m để phương trình Điều kiện x + x2 − x + ≥ ⇔ Xét hàm số f(x) = x + Giới hạn x+ x − x + = m (22) có nghiệm thực HƯỚNG DẪN GIẢI x − x + ≥ −x ⇔ ∀x ∈ » x − x + ⇒ f / (x) = ( lim f(x) = lim x + x →+∞ x →+∞ lim f(x) = lim x →−∞ x(1 − x) = x →−∞ x2 − x + + 2x − x2 − x + > 0, ∀x ∈ » ) x2 − x + = +∞ x −1 x − x −x +1 x −1 = lim x →−∞ x− x 1− 1 + x x x(1 − ) x = lim = lim = x →−∞ x →−∞ 1 1 x + x 1− + x + − + x x x x x −1 ⇒ f(x) > , ∀x ∈ » ⇒ x+ x2 − x + > Vậy (22) có nghiệm thực ⇔ m > Trang , ∀x ∈ » 2 ... (14) 1) có nghiệm thực nhất, 2) có nghiệm thực HƯỚNG DẪN GIẢI 1) Nhận thấy x0 nghiệm (14) – x0 nghiệm (14) Suy x = −x ⇔ x = nghiệm (14) Thế x0 = vào (14) ta m = Thử lại ta thấy (14) có nghiệm Vậy... 12t − 9, t ≥ ta suy (*) có nghiệm thực ⇔ m ≤ 27 + Do 18 < −t2 + 27 ≤ 27, ∀t ∈ [0; 3) nên (**) có nghiệm thực ⇔ 18 < m ≤ 27 Vậy với m ≤ 27 (10) có nghiệm thực Bài 11 Tìm m để phương trình Đặt... BBT t = Bài 12 Tìm m để phương trình Đáp số: ≤ m ≤ x −1 + 1+x + − x để tìm miền giá trị t − x + (1 + x)(8 − x) = m có nghiệm thực 9+6 x + 4x + m + x + 4x + m = (13) có nghiệm thực HƯỚNG DẪN