Bài 1 ĐỊNH NGHĨA và ý NGHĨA của đạo hàm

CHƯƠNG 5: ĐẠO HÀM BÀI ĐỊNH NGHĨA VÀ Ý NGHĨA CỦA ĐẠO HÀM Mục tiêu  Kiến thức + Hiểu khái niệm đạo hàm, đạo hàm bên trái, đạo hàm bên phải, đạo hàm khoảng, đoạn + Nắm quan hệ tồn đạo hàm tính liên tục hàm số + Biết cách tìm hệ số góc tiếp tuyến viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm + Trình bày ứng dụng đạo hàm vào giải toán vật lý  Kĩ + Tính đạo hàm hàm số điểm, khoảng cách dùng định nghĩa + Biết cách tìm hệ số góc tiếp tuyến viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm + Vận dụng đạo hàm vào giải tốn vật lí Trang I LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM Định nghĩa đạo hàm điểm Cho hàm số y  f  x  xác định khoảng  a; b  x0 � a; b  Nếu tồn giới hạn (hữu hạn) xlim �x f  x   f  x0  giới hạn x  x0 gọi đạo hàm hàm số y  f  x  x0 kí hiệu f�  x0  có nghĩa f�  x0   lim x � x0 f  x   f  x0  y  lim x �0 x x  x0 Trong x  x  x0 gọi số gia đối số x x0 y  f  x   f  x0   f  x0  x   f  x0  gọi số gia tương ứng hàm số Đạo hàm bên trái, bên phải f�  x0   lim f  x   f  x0  ; x  x0 f�  x0   lim f  x   f  x0  x  x0 x � x0 x � x0 Hệ quả: Hàm f  x  có đạo hàm x0 tồn f �  x0  f �  x0  , đồng thời f � x0   f � x0  Đạo hàm khoảng, đoạn - Hàm số y  f  x  có đạo hàm  a; b  có đạo hàm điểm thuộc  a; b  - Hàm số y  f  x  có đạo hàm  a; b  f  x  + Có đạo hàm x � a; b  ; + Có đạo hàm trái f �  b  ; + Có đạo hàm phải f �  a  Quan hệ tồn đạo hàm tính liên tục hàm số Nếu hàm số y  f  x  có đạo hàm x0 liên tục x0 Ý nghĩa hình học đạo hàm Chú ý: + Nếu y  f  x  gián đoạn x0 khơng có đạo hàm x0 Trang Đạo hàm hàm số y  f  x  điểm x0 hệ số góc tiếp tuyến M 0T đồ thị hàm số điểm M  x0 ; f  x0   Phương trình tiếp tuyến + Nếu y  f  x  liên tục x0 khơng có đạo hàm x0 Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y  f  x  điểm M  x0 ; f  x0   y  y0  f �  x0   x  x0  y0  f  x0  Ý nghĩa vật lí đạo hàm  t0  ; + Vận tốc tức thời : v  t0   s� + Gia tốc: a  t0   v�  t0    s �  t0   �;  t0  + Cường độ dòng điện tức thời: I  t0   Q� SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA Đạo hàm điểm ĐẠO Đạo hàm trái HÀM Đạo hàm bên Đạo hàm khoảng Hàm số có đạo hàm có đạo hàm điểm thuộc Đạo hàm phải Đạo hàm đoạn Hàm số có đạo hàm Trang Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm Ý nghĩa hình học hệ số góc tiếp tuyến Ý NGHĨA Vận tốc tức thời CỦA ĐẠO HÀM Ý nghĩa vật lí Gia tốc tức thời Cường độ tức thời II CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng Dùng định nghĩa tính đạo hàm Bài tốn Dùng định nghĩa tính đạo hàm hàm số điểm Phương pháp giải Ví dụ Dùng định nghĩa tính đạo hàm hàm số y  x  x0  Bước 1: Giả sử x số gia đối số x Hướng dẫn giải điểm x0 Tính y  f  x0  x   f  x0  Giả sử x số gia đối số x0  Ta có: y Bước 2: Lập tỉ số x y Bước 3: Tìm lim x �0 x y  f   x   f      x     2.22  3  x  x   Tỉ số y 2x  x     x  x x Trang y  lim  2x    x �0 x  x �0 lim    Vậy f � y tồn hữu hạn x0 hàm x �0 x + Nếu lim y ; x �0 x số có đạo hàm f �  x0   lim + Nếu lim x �0 y không tồn hữu hạn x x0 hàm số khơng có đạo hàm Ví dụ mẫu Ví dụ Dùng định nghĩa tính đạo hàm hàm số y  2x 1 x0  x 1 Hướng dẫn giải Giả sử x số gia đối số x0  Ta có: y  f   x   f  3     x   5  x 3x     ;  x  4  x 4   x  y 3x   x x.4   x    x  Do lim x �0 y 3x 3  lim  lim  x x�0 x.4   x  x�0   x  16 Vậy f �  3  16 Ví dụ Dùng định nghĩa tính đạo hàm hàm số y  x  x0  Hướng dẫn giải Giả sử x số gia đối số x0  Ta có: y  f   x   f  1    x     y  x x  2x  2x    x ; 2x   ; 2x   y  lim  x �0 x  x �0 2x   lim  1  Vậy f � Trang  Ví dụ Dùng định nghĩa tính đạo hàm hàm số y  sin x x0   Hướng dẫn giải Giả sử x số gia đối số x0  � � Ta có: y  f �  x � �3 �   � � � � � x � x f � � sin �  x � sin  2cos �  sin ; � �3 � �3 � �3 � x sin y � x �  cos �  � x �3 � x x sin y � x �  lim cos �  Do lim � x �0 x x � �3 � x x  nên lim y  lim cos �  x � cos   � � x �0 x  x �0 x �3 � sin Vì lim x �0 � � Vậy f � � � �3 � 2 � x  1 , x �0  � Ví dụ Chứng minh hàm số f  x   � khơng có đạo hàm x  có đạo x , x  � hàm x  Hướng dẫn giải Ta có  lim f  x x �0 lim  x 1 x �0 1; lim f  x  x �0 lim  x  x �0 lim f  x  x �0 lim f  x  x �0 Suy hàm số gián đoạn x  nên khơng có đạo hàm f   x   f    x   12  lim  lim  lim   x   x �0 x �0 x �0 x x    Vậy hàm số y  f  x  có đạo hàm x  f � 2x2  x  Ví dụ Chứng minh hàm số f  x   liên tục x  1 khơng có đạo hàm x 1 điểm Hướng dẫn giải Vì f  x  hàm số sơ cấp xác định x  1 nên liên tục Trang  �  lim Ta có: f �  1 � � � x � 1  f  x   f  1 2x  lim   1; x � 1 x  x 1  � f�  lim  1 � � � x � 1  f  x   f  1  lim   x � 1 x 1   � � �f � f x  1 �  1 � Do f � � � � �nên   khơng có đạo hàm x  1 Ví dụ Cho đồ thị hàm số y  f  x  xác định khoảng  a; b  hình vẽ Dựa vào hình vẽ cho biết điểm x1 , x2 , x3 , x4 a, Hàm số có liên tục khơng? b, Hàm số có đạo hàm khơng? Tính đạo hàm có Hướng dẫn giải a, Hàm số gián đoạn điểm x1 , x3 đồ thị bị đứt điểm Hàm số liên tục x2 , x4 đồ thị đường liền nét qua điểm b, Tại điểm x1 , x3 hàm số khơng có đạo hàm hàm số gián đoạn điểm x1 , x3 Hàm số khơng có đạo hàm x2 đồ thị bị gãy (khơng có tiếp tuyến đó)  x4   x4 đồ thị hàm số có Hàm số có đạo hàm x4 f � tiếp tuyến tiếp tuyến song song với trục hoành (hệ số góc tiếp tuyến 0) Bài tốn Dùng định nghĩa tìm đạo hàm khoảng Phương pháp giải Bước 1: Giả sử x số gia đối số x Ví dụ Dùng định nghĩa tính đạo hàm hàm x0 số y  x khoảng  �; � ? Tính y  f  x0  x   f  x0  Hướng dẫn giải Bước 2: Lập tỉ số y x y x �0 x Bước 3: Tìm lim Giả sử x số gia đối số x Ta có: y  f  x  x   f  x    x  x   x 2 Trang  Hàm số y  f  x  có đạo hàm  a; b  có đạo hàm điểm  a; b   Hàm số y  f  x   a; b  2x.x   x  2x.x   x  Tỉ số y   x  x x x y  lim  x  x   x có đạo hàm x �0 x x�0 lim có đạo hàm điểm  x   x Vậy f � thuộc  a; b  đồng thời tồn đạo hàm trái f �  b  đạo hàm phải f � a   Ví dụ mẫu Ví dụ Dùng định nghĩa tính đạo hàm hàm số y  x x 1 khoảng  �;1  1; � ? Hướng dẫn giải Giả sử x số gia đối số x Ta có y  f  x  x   f  x   x  x x x   x  x  x   x  x  1  x  1 y x 1   x x  x  x  1  x  1  x  x  1  x  1 lim x �0 y 1 1  lim   x � x  x  x  1  x  1  x  1  x  Vậy f � 1  x  1 Ví dụ Tính đạo hàm hàm số y  cos x khoảng  �; � ? Hướng dẫn giải Giả sử x số gia đối số x � x � x sin Ta có: y  f  x  x   f  x   cos  x  x   cos x  2sin �x  � � � � x � x � x � x 2sin �x  sin sin �x  sin � � y � 2 � � �   x x x Trang � x � x sin �x  sin � y � � lim  lim    sin x x �0 x x � x  x    sin x Vậy f � Bài tốn Tìm điều kiện tham số để hàm số có đạo hàm Phương pháp giải Sử dụng tính chất �x  x �1 � m để hàm số f  x   �x  Hàm f  x  có đạo hàm x0 Ví dụ Tìm � 2m x  � tồn f�  x0  f�  x0  đồng thời có đạo hàm x  Hướng dẫn giải f�  x0   f � x0  Ta có lim f  x   lim x �1 x �1 x2 1  2; f  1  2m x 1 Để hàm số có đạo hàm x  f  x  phải liên tục x 1, suy lim f  x   f  1 � 2m  � m  x �1 Thay m  vào hàm số f  x  thỏa mãn có đạo hàm x 1 Ví dụ mẫu �x  3x x �2 f x    Ví dụ Tìm a, b để hàm số có đạo hàm x  � ax  b x  � Hướng dẫn giải Ta có lim f  x   lim  x  x   2; lim f  x   lim  ax  b   2a  b x �2  x �2 x �2 x �2 Để hàm số có đạo hàm x  hàm số liên tục x  Do 2a  b  2 � b  2a  Ta lại có: lim f  x   f  2 x2  3x   lim  lim  x  1  1; x �2 x �2 x2 x2 lim f  x   f  2 ax  b   2  ax  b   lim  lim x �2 x �2 x2 x2 x2 x �2 x �2 Do b  2a  nên lim x �2 ax  b  ax  2a   ax  2a  lim  lim a x � x � x2 x2 x2 Để hàm số có đạo hàm x  Trang lim x �2 a 1 a 1 f  x   f  2 f  x   f  2 � �  lim �� �� x �2 b  2a  b  4 x2 x2 � � cos x, x �0 � Ví dụ Chứng minh hàm số f  x   � � sin x, x  đạo hàm x  Hướng dẫn giải Ta có:   lim f x  x �0 lim cos  x 1; lim f  x  x �0 x �0 lim  sin x  x �0  lim f  x  x �0 lim f  x  x �0 Suy hàm số gián đoạn x  nên khơng có đạo hàm �x x  � Ví dụ Tìm a, b để hàm số f  x   �3 có đạo hàm x  �ax  b x �1 � Hướng dẫn giải Điều kiện cần �x � 1 f  x   lim  ax  b   a  b f  ; lim f x  lim     Ta có � � lim x �1 x �1 x �1 x �1 �3 � Để hàm số f  x  có đạo hàm x  f  x  liên tục x  Do lim f  x   lim f  x   f  1 � a  b  x �1 x �1 Điều kiện đủ: x3  f  x   f  1  3  lim x  x   f�  lim    xlim �1 x �1 x  x �1 x 1 f�  1   lim x �1 f  x   f  1 f  x   f  1 ax  b   a  b  ax  a  lim  lim  lim  a x �1 x �1 x �1 x 1 x 1 x 1 x 1 Để hàm số f  x  có đạo hàm x  f �  1   f � 1  � a  � b   23 Vậy a  1; b   thỏa mãn yêu cầu toán Bài tập tự luyện dạng Câu 1: Số gia hàm số f  x   x điểm x0  ứng với x  A B Câu 2: Biểu thức y A y  0, y  x C D y hàm số y  x  tính theo x x x B y   x   x.x, y  x  x x Trang 10 A B C D Không tồn Câu 13: Đạo hàm hàm số y  c ( c số) khoảng  �; �  A y �  c B y �  C y � Câu 14: Đạo hàm hàm số y  f  x    A y � x  x D y � khoảng  �;0   0; � x  B y �  x C y �  D y � x2 Câu 15: Đạo hàm hàm số y  f  x   x khoảng  0; �  A y � x  B y � x  D y � C y �  x �x  , x �2 � Câu 16: Giá trị m để hàm số f  x   �x  có đạo hàm x  � m x  � A m  B m  C m  D m  �x  ax  b x �2 y  , biết hàm số có đạo hàm điểm x  Câu 17: Cho hàm số �3 �x  x  x  10 x  Giá trị ab A B C D -8 �x  x  x �1 � Câu 18: Nếu hàm số f  x   � x  có đạo hàm �thì giá trị a  b � ax  ax  b x  1 � A -1 B C D -4 Dạng 2: Tìm hệ số góc tiếp tuyến viết phương trình tiếp tuyến điểm Phương pháp giải Cho hàm số y  f  x  có đồ thị  C  điểm Ví dụ Viết phương trình tiếp tuyến đường M  x0 ; y0  � C   Hệ số góc tiếp tuyến x0 k  f�  x0   Phương trình tiếp tuyến  C  điểm M  x0 ; y0  có dạng: y  y0  f �  x0   x  x0  cong y  x  điểm  1; 1 Hướng dẫn giải      1  x     1  y lim  lim x �0 x x �0 x  3   lim  x   6x   x �0 � k  y�  1  Phương trình tiếp tuyến y    x  1 � y  x  Trang 12 Viết phương trình tiếp tuyến biết hệ số góc k tiếp tuyến + Gọi M  x0 ; y0  tiếp điểm, ta có f�  x0   k  1 + Giải phương trình  1 tìm x0 , từ y0  f  x0  + Phương trình tiếp tuyến phải tìm có dạng y  k  x  x0   y0 Ví dụ mẫu Ví dụ Tìm hệ số góc tiếp tuyến parabol y  x x  Hướng dẫn giải Ta có   x  lim   1 x x �0  lim   x   x �0  1  Vậy hệ số góc k  y� Ví dụ Cho hàm số y  x Tìm hệ số góc tiếp tuyến giao điểm đồ thị với đường thẳng y  3x  Hướng dẫn giải Phương trình hồnh độ giao điểm đồ thị hàm số y  x đường thẳng y  x  �x  x3  3x   � � �x  2 Tại x  ta có lim  x �0  x    1  lim  x   3x    x � x 3    1  Hệ số góc k1  y� Tại x  2 ta có lim  x �0 2  x    2   lim  x   6x  12  12 x � x 3    2   12 Hệ số góc k2  y � Ví dụ Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y   x3 điểm có tung độ 27 Hướng dẫn giải Ta có: y  27 � x  3 Trang 13   3  x   27 y lim  lim  lim   x   9x  27  27 x �0 x x �0 x �0 x   � k  y�  3  27 Phương trình tiếp tuyến y  27  27  x  3 � y  27 x  54 Ví dụ Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y  x , biết hệ số góc tiếp tuyến x 1  Hướng dẫn giải Gọi M  x0 ; y0  tọa độ tiếp điểm Ta có: y 1 1  lim  x �0 x x �0  x  x  1  x  1  x0  1 0 f�  x0   lim x0  � 1 f�   � x   �  x0   k   �    � x0  2 9  x0  1 � + Với x0  ta có y0  , phương trình tiếp tuyến y + Với x0  2 ta có y0  16  x  4  � y   x  9 , phương trình tiếp tuyến y � 2� �2; �là � 3�  x  2  � y   x  9 Ví dụ Chứng minh để đường thẳng  G : y  f  x � 4� �4; �là � 3�  d  : y  ax  b tiếp tuyến đồ thị hàm số �  x0  �a  f � điểm  x0 ; f  x0   điều kiện cần đủ � �ax0  b  f  x0  Hướng dẫn giải Đường thẳng y  ax  b tiếp tuyến đồ thị  G  : y  f  x  điểm  x0 ; f  x0   đồng thời xảy  G  qua điểm  x0 ; f  x0   tức ax0  b  f  x0    d   x0  Hệ số góc  d  đạo hàm f x0 , tức a  f � Từ suy điều cần chứng minh Bài tập tự luyện dạng Trang 14 Câu 1: Cho đồ thị hàm số f  x  khoảng  a; b  Biết điểm M ; M ; M , đồ thị hàm  x1  , f �  x2  , f �  x3  số có tiếp tuyến thể hình vẽ Dựa vào hình vẽ xét dấu f �  x1   0, f �  x2   0, f �  x3   A f �  x1   0, f �  x2   0, f �  x3   B f �  x1   0, f �  x2   0, f �  x3   C f �  x1   0, f �  x2   0, f �  x3   D f � Câu 2: Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y  điểm có hồnh độ -1 x A x  y   B y  x  C y  x  D y   x  Câu 3: Tiếp tuyến đồ thị hàm số y   x  3x  điểm có hồnh độ song song với đường thẳng y  ax  b Giá trị a  b A B C Câu 4: Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y  D -1 1 biết hệ số góc tiếp tuyến  x A x  y   x  y   B x  y   x  y   1 C y   x  y   x  4 D y   x Câu 5: Hệ số góc tiếp tuyến parabol y  x x  A B Câu 6: Hệ số góc tiếp tuyến parabol C D  y  x giao điểm parabol với đường thẳng y  x  A B C D Câu 7: Phương trình tiếp tuyến đường cong y  x điểm  1; 1 A y  3 x  B y  1 C y  x  D y  x  Câu 8: Phương trình tiếp tuyến đường cong y  x điểm có tung độ A y  12 x  16 B y  C y  12 x  24 D y  12 x  16 Trang 15 Câu 9: Phương trình tiếp tuyến đường cong y  điểm có hồnh độ -1 x A x  y   B y  x  C y  x  D y   x  Dạng Ứng dụng đạo hàm vật lý Phương pháp giải Vận tốc trung bình: vtb  s  t  t   s  t  t Ví dụ Một vật rơi tự có phương trình chuyển động s  gt , g  9,8m /s t tính giây a, Tính vận tốc trung bình chuyển động khoảng thời gian từ t đến t  t trường hợp t  0,1 t  b, Tính vận tốc tức thời chuyển động thời điểm t  5s Hướng dẫn giải a, 1 2 s  t  t   s  t  g  t  t   gt vtb   t t  gt  g  t Với t  0,1 t  vtb  9,8.3  9,8.0,1 �28,89  m/s   t0  Vận tốc tức thời: v  t0   s� b, 1 g   t   g 52 s lim  lim t �0 t t �0 t � �  lim � g  g t � 49; t �0 � � v    s�  5  49  m/s  Cường độ tức thời thời điểm t0 Ví dụ Cho biết điện lượng dây dẫn dòng điện với điện lượng Q  Q  t  I  t0   Q�  t0  theo thời gian biểu thị hàm số Q  6t  ( t tính giây, Q tính Coulomb) Tính cường độ dòng điện Trang 16 dây dẫn thời điểm t  10 Hướng dẫn giải  t   nên cường độ dịng điện dây Vì Q�  10   dẫn thời điểm t  10 I  10   Q� Ví dụ Một chất điểm có phương trình chuyển động s  f  t   t  t  ( t tính giây, s tính mét) Tính vận tốc tức thời chuyển động thời điểm t  Hướng dẫn giải Ta có: lim t �t0 t  t    t0  t0   f  t   f  t0   lim  lim  t  t0  1  2t0  t �t0 t �t0 t  t0 t  t0  t0   2t0  Vậy f � Vận tốc tức thời chuyển động thời điểm t  vtt  f �    2.2    m/s  Ví dụ Cho chuyển động xác định phương trình S  t  3t  9t  , t tính giây S tính mét Tính gia tốc thời điểm vận tốc triệt tiêu Hướng dẫn giải Ta có v  t0  t  3t  9t    t03  3t0  9t0   f  t   f  t0   lim  lim  3t0  6t0  9; t �t0 t �t0 t  t0 t  t0 a  t0   lim t �t0 v  t   v  t0   3t  6t     3t0  6t0    6t   lim t �t0 t  t0 t  t0  6t0  Do a  v� Khi vận tốc triệt tiêu ta có v  t   � 3t  6t   � t  Khi gia tốc a  3  6.3   12m /s Ví dụ Cho biết điện lượng dây dẫn theo thời gian biểu thị hàm số Q  3t  8t  ( t tính giây, Q tính Coulomb) Tính thời điểm cường độ dịng điện dây dẫn I  50 A Hướng dẫn giải Ta có: 3t  8t    3t0  8t0   f  t   f  t0  lim  lim  lim  3t  3t0    6t0  t �t0 t �t0 t �t0 t  t0 t  t0 Trang 17  t   6t  Do ta có phương trình Vậy Q� I  Q�  t   6.t   50  A  � t   s  Bài tập tự luyện dạng Câu 1: Một chuyển động có phương trình s  t   t  2t  (trong s tính mét, t tính giây).Vận tốc tức thời chuyển động t  1,5 (giây) A 6m/s B 1m/s C 8m/s D 2m/s � � 3t  �trong t tính giây, s Câu 2: Xét chuyển động có phương trình s  t   6sin � � 4� tính mét Vận tốc tức thời thời điểm t chuyển động � � 3t  � A v  t   18cos � � 4� � � 3t  � B v  t   18cos � � 4� � � 3t  � C v  t   cos � � 4� � � 3t  � D v  t   6 cos � � 4� Câu 3: Một chất điểm chuyển động có quãng đường cho phương trình s  t   t  t  t  10t , t  với t tính giây (s) s tính mét (m) Hỏi thời điểm gia tốc vật đạt giá trị nhỏ vận tốc vật bao nhiêu? A 1m/s B 3m/s C 16m/s D 13m/s Câu 4: Một chất điểm chuyển động có phương trình s  t   t  t  6t , t tính s giây, tính mét Gia tốc chất điểm thời điểm vận tốc 24m/s A 20 m /s B 12 m /s C 39 m /s D 21 m /s Câu 5: Cho chuyển động thẳng xác định phương trình S  t  3t  9t , t tính giây S tính mét Tính vận tốc thời điểm gia tốc bị triệt tiêu A 11m/s B 0m/s C 12m/s D 6m/s Câu 6: Một chất điểm chuyển động theo quy luật s  t   t  6t với t thời gian tính từ lúc bắt đầu chuyển động , s  t  quãng đường khoảng thời gian t Thời điểm t đạt giá trị lớn A t  B t  C t  D t  Câu 7: Một vật gaio động điều hịa có phương trình qng đường phụ thuộc thời gian s  A sin  t    , A ,  ,  số, t thời gian Khi biểu thức vận tốc vật A v  A cos  t    B v   A cos  t    C v  A cos  t    D v   A cos  t    Câu 8: Cho biết điện lượng dây dẫn theo thời gian biểu thị hàm số Q  3t  6t  ( t tính giây, Q tính Coulomb) Cường độ dòng điện dây dẫn thời điểm t  A 16 A B 18 A C A D A Trang 18 Câu 9: Tomahawk tên lửa hành trình có khả mang đầu đạn hạt nhân, phóng từ hệ thống phóng mặt đất Giả sử Tomahawk (khơng gắn với động cơ) bắn lên cao theo phương trình s  t   196t  4,9t t thời gian ( t  , đơn vị giây) s  t  khoảng cách tên lửa so với mặt đất tính kilomet Khoảng cách tên lửa so với mặt đất thời điểm vận tốc bằng bao nhiêu? A 1069 B 1960 C 1690 D 1906 Câu 10: Một chất điểm chuyển động có phương trình S  2t  6t  3t  với t tính giây (s) S tính mét (m) Hỏi gia tốc chuyển động thời điểm t  (s) bao nhiêu? A 228 m /s B 64 m /s C 88 m /s D 76 m /s ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI BẢI TẬP TỰ LUYỆN DẠNG 1- C 11- B 2- B 12- D 3- D 13- A 4- D 14- D 5- B 15- B 6- A 16- B 7- C 17- D 8- D 18- B 9- C 10- A HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Câu 3 Ta có y  f    f  1    Câu 2 Ta có y  f  x  x   f  x    x  x     x  1  xx   x  ; 2 y  x  x x Câu Ta có y   1  x      1  1  2x � y y  Suy lim  lim   x � x x x�0  1  Vậy y � Câu Xét hàm số y  f  x   x  x Gọi x số gia đối số x0 2 � x0  x0 �   x   x0 x  x �x0  x    x0  x  � Ta có y  f  x0  x   f  x0   � � � � y  lim  x  x0  1 x �0 x  x �0 Suy lim  x0   lim  x  x0  1 Vậy f � x �0 Câu 2 Ta có y  f   x   f  1    x     x     1  3x  x ; suy lim x �0 y  lim   x   x x�0 Trang 19 Câu Ta có y  1 x y 1 y 1   �  Suy lim  lim  x �0 x  x �0    x  2  x   x  x   x  Vậy y �  2   Câu Ta có y  f   x   f     2x  ; suy y  x   x x y  2x  32 lim  lim  lim  Do x �0 x x�0 x  2x  x �0  2x  3   Vậy y �  5  Câu Ta có: lim x �0 f  x   f  0 x x f  x   f  0 x x x x xx  lim  lim  2, lim  lim  lim  x �0 x �0 x �0 x �0 x �0 x0 x x x0 x x Vậy hàm số không tồn đạo hàm x0  Câu Ta có: f �    lim x �0 f  x   f  0 x2  1 1  lim  lim  2 x �0 x �0 x0 x x 1 1 Câu 10 Ta có lim f  x   lim x �0 x �0 sin x �sin x �  lim � sin x � 0; lim f  x   lim  x  x   nên hàm số liên x �0 � x x �0 x � x �0 tục x  Ta lại có: lim x �0 f  x   f  0 f  x   f  0 sin x x  x2  lim  lim  lim  x �0 x �0 x �0  x x2 x x    Vậy f � Câu 11 Hàm số y  f  x   x2  x  có tập xác định D  �\  1 x 1 x2  x 1 Ta có lim f  x   lim  1  f  1 nên hàm số liên tục x  1 x �1 x �1 x 1 2x 1 x �1 � x2  x  �  �2 x  x  Ta có y  f  x   nên x 1 x  1, x �1 � � x 1 Trang 20 lim  x � 1 f  x   f  1 x    1  lim   x � 1 x   1 x 1 x2  x    1 f  x   f  1 2x x  lim   lim   lim   x � 1 x � 1 x � 1 x  x   1 x 1 Vậy không tồn xlim � 1 f  x   f  1 Do hàm số khơng có đạo hàm x  1 x   1 Câu 12 f  x   lim  x  3  Ta có xlim �1 x �1 lim f  x   lim x �1 x �1 x3  x  x   lim  x  3x    x �1 x 1 f  x  �lim f  x  � hàm số không liên tục x  nên hàm số khơng có đạo Suy xlim �1 x �1 hàm x0  Câu 13 Ta có lim x �0 f  x  x   f  x  cc  lim  lim  � f �  x    x � x x x�0 Câu 14 1  1 Ta có lim f  x  x   f  x   lim x  x x  lim  x     Vậy f � x x �0 x �0 x �0  x  x  x x x x Câu 15 Ta có lim x �0 f  x  x   f  x  x  x  x 1  lim  lim  � f� x   x �0 x �0 x x x  x  x x x Câu 16 Ta dễ dàng chứng minh lim x �2 x2   x2 f  x   f    � m  Để hàm số liên tục x  lim x �2 x2  4 f  x  f  2 Mặt khác x  lim  lim  x �2 x �2 x2 x2 Vậy với m  hàm số dã cho có đạo hàm x  Câu 17 Để hàm số có đạo hàm x  thi hàm số phải liên tục x   x3  x  x  10   xlim  x  ax  b  � 2   2a  b � 2a  b  6 Do xlim �2 �2  Trang 21 Hàm số có đạo hàm điểm x  nên lim x �2 f  x   f  2 f  x   f  2  lim �  a  � a  4 x �2 x2 x2 Suy a  Vậy ab  8 Câu 18 Với x �1 hàm số có đạo hàm nên để hàm số có đạo hàm với x �� hàm số phải có đạo hàm x  1 Ta có: lim x � 1 x4  x2   0; lim  ax  ax  b   b Để hàm số liên tục x  1 x �1 x 1 lim f  x   lim f  x   f  1  � b  x �1 x �1 Với b  0; a ��, ta có: x4  x2  0 f  x   f  1 f  x   f  1 ax  ax  x  lim  lim  4; lim  lim   a x �1 x �1 x �1 x �1 x   1 x 1 x   1 x 1 Hàm số có đạo hàm điểm x  khi: lim x � 1 f  x   f  0 f  x   f  1  lim  � a  4 x �1 x   1 x   1 Vậy a  4, b  � a  b  4 ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI BẢI TẬP TỰ LUYỆN DẠNG 1- C 2- A 3- A 4- B 5- B 6- C 7- D 8- D 9- A HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Câu 1: Đồ thị hàm số có tiếp tuyến điểm M ; M ; M nên hàm số f  x  có đạo hàm điểm x1 , x2 , x3 Dựa vào đồ thị ta thấy: +) Tiếp tuyến điểm M đường thẳng song song với trục hồnh nên hệ số góc  x1   tiếp tuyến Suy f � +) Tiếp tuyến điểm M đường thẳng từ trái sang phải nên hệ số góc tiếp  x2   tuyến số dương Suy f � +) Tiếp tuyến điểm M đường thẳng xuống từ trái sang phải nên hệ số góc  x3   tiếp tuyến số âm Suy f � Trang 22 Câu y  lim  1 � k  y �  1  1 x �0 x x �0 1  x Ta có x  1 � y  1 Khi lim Phương trình tiếp tuyến: y   x  Câu Ta có y0  y    4 Hệ số góc tiếp tuyến y�    lim x �2 f  x   f  2  x3  3x    lim  lim   x  x  1  9 x � x �2 x2 x2 Phương trình tiếp tuyến điểm có hoành độ y  9 x  14 Vậy a  9; b  14 � a  b  Câu Gọi M  x0 ; y  tọa độ tiếp điểm lim x �0 y 1  lim  2;  x � x x0  x0  x  x0 f�  x0   k �  1   � x0  � x  �2 x0 Với x0  � y0  , phương trình tiếp tuyến � 1� 2; �là y   x  � x  y   � � 2� Với x0  2 � y0   , phương trình tiếp tuyến 1� � �2;  �là 2� � y   x 1 � x  y   Câu 2 �1 � �1 �  x � � � � Ta có � �2 �  lim  x  lim �   x �0 x �0 x �1 � Hệ số góc k  y� � � �2 � Câu �x  Phương trình hồnh độ giao điểm: x  x   � � �x  Tại   x  x  1: lim x �0   1 x  lim   x   x �0  1  Hệ số góc k1  y� Trang 23 Tại   x  x  : lim   2 x x �0  lim   x   x �0  2  Hệ số góc k2  y � Câu lim x �0   y  lim  3x   x   � k  y�  1   x � x Phương trình tiếp tuyến: y    x  1 � y  x  Câu y 8� x  lim x �0   y  lim 12  6x   x   12  x � x � k  y�    12 Phương trình tiếp tuyến: y   12  x   � y  12 x  16 Câu Ta có x  1 � y  1 lim x �0 y  lim  1 � k  y�  1  1  x � x 1  x Phương trình tiếp tuyến: y   x  ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI BẢI TẬP TỰ LUYỆN DẠNG 1- B 2- A 3- D 4- D 5- C 6- D 7- C 8- B 9- B 10- A HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Câu  t   2t  Vận tốc tức thời chuyển động thời điểm Bằng định nghĩa tính s� t  1,5 (giây) v  1,5   s�  1,5   2.1,5   1 m/s  Câu � 3t  �  t   18cos � Bằng định nghĩa tính s� � � 4� � 3t  �  t   18cos � Vận tốc tức thời thời điểm t chuyển động v  t   s� � � 4� Câu Vận tốc chuyển động đạo hàm quãng đường: Bằng định nghĩa tính v  t   t  3t  5t  10 Trang 24 Gia tốc chuyển động đạo hàm cấp hai quãng đường: Bằng định nghĩa tính a  t   3t  6t  Ta có a  t   3t  6t    t  1  �2 với t Dấu “=” xảy t  Khi đó, vận tốc chuyển động v  1  13  m /s  Câu Vận tốc chuyển động đạo hàm cấp quãng đường:  t   3t  9t   24 � t   s  Bằng định nghĩa tính v  t   s� Gia tốc chuyển động đạo hàm cấp hai quãng đường: �  t   6t  � a    21 m / s  Bằng định nghĩa tính a  t   s� Câu Vận tốc chuyển động đạo hàm cấp quãng đường: Bằng định nghĩa tính v  S�  3t  6t  Gia tốc chuyển động đạo hàm cấp hai quãng đường: �  S�  6t  Bằng định nghĩa tính a  v� �  � t  Gia tốc triệt tiêu S �  1  12 m/s Khi vận tốc chuyển động S � Câu Vận tốc chuyển động đạo hàm cấp quãng đường: Bằng định nghĩa tính v  t   s�  t   3t  12t  3  t    12 �12 Dấu xảy t  Vậy v  t  max � t  Câu Vận tốc chuyển động đạo hàm cấp quãng đường: Bằng định nghĩa tính v  s�   A sin  t     � A  t    � cos  t     A cos  t    Câu  t   6t  Bằng định nghĩa tính Q�    6.2   18  A Cường độ dòng điện dây dẫn thời điểm t  I  Q� Câu Vận tốc chuyển động đạo hàm cấp quãng đường:  t   196  9,8t � v  t   � t  20  s  Bằng định nghĩa tính v  t   s� s  20   196.20  4,9.202  1960 Câu 10 Trang 25 Vận tốc chuyển động đạo hàm cấp quãng đường: Bằng định nghĩa tính v  t    S  t   � 8t  12t  Gia tốc chuyển động đạo hàm cấp quãng đường: �  t   24t  12 � a  3  24.32  12  228  m/s  Bằng định nghĩa tính a  t   S � Vậy gia tốc chuyển động thời điểm t   s  228m/s Trang 26 ... HÓA Đạo hàm điểm ĐẠO Đạo hàm trái HÀM Đạo hàm bên Đạo hàm khoảng Hàm số có đạo hàm có đạo hàm điểm thuộc Đạo hàm phải Đạo hàm đoạn Hàm số có đạo hàm Trang Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số... xlim ? ?1? ?? x ? ?1? ?? x  x ? ?1? ?? x ? ?1 f�  1? ??   lim x ? ?1 f  x   f  1? ?? f  x   f  1? ?? ax  b   a  b  ax  a  lim  lim  lim  a x ? ?1 x ? ?1 x ? ?1 x ? ?1 x ? ?1 x ? ?1 x ? ?1 Để hàm số f  x  có đạo. .. 1? ??  x  1? ?? y x ? ?1   x x  x  x  1? ??  x  1? ??  x  x  1? ??  x  1? ?? lim x �0 y ? ?1 ? ?1  lim   x � x  x  x  1? ??  x  1? ??  x  1? ??  x  Vậy f � ? ?1  x  1? ?? Ví dụ Tính đạo hàm