Bài 3 VI PHÂN – đạo hàm cấp CAO

CHƯƠNG ĐẠO HÀM BÀI VI PHÂN – ĐẠO HÀM CẤP CAO Mục tiêu  Kiến thức + Trình bày định nghĩa vi phân + Trình bày phương pháp tính gần nhờ vi phân + Trình bày phương pháp tính đạo hàm cấp 2, cấp 3,…, cấp n  Kĩ + Tính vi phân hàm số f  x  x0 cho trước + Tìm vi phân hàm số f  x  + Biết cách tính gần số dựa vào vi phân + Biết tính đạo hàm cấp 2, cấp 3,…., cấp n + Biết chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức, giải phương trình, bất phương trình liên quan đến đạo hàm cấp 2,3 Trang I LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM Vi phân Cho hàm số y  f  x  xác định  a; b  có đạo hàm x � a; b  Nếu chọn hàm số y  x ta có dy  dx  1.x  x Gọi x số gia x  x  x vi phân hàm số y  f  x  x ứng với số Do ta thường kí hiệu Ta gọi tích f �  x  dx x  dx dy  f � gia x Kí hiệu df  x  dy , tức dy  df  x   f �  x  x Ứng dụng vi phân vào phép tính gần Cơng thức tính gần nhờ vi phân f  x0  x  �f  x0   f �  x0  x Đạo hàm cấp cao + Đạo hàm cấp hai: Cho hàm số f có đạo hàm f � Nếu f �cũng có đạo hàm đạo hàm gọi đạo hàm cấp hai f � kí hiệu f � , tức f � �  f�  � + Đạo hàm cấp n : Cho hàm số f có đạo hàm cấp n  ( với n  �, n ) f  n 1 Nếu f  n 1 có đạo hàm đạo hàm gọi đạo hàm cấp n f kí hiệu  f  n  , tức  � f  n  f  n 1 + Ý nghĩa học đạo hàm cấp hai Đạo hàm cấp hai � s�  t  gia tốc tức thời chuyển động s  s  t  thời điểm t II CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Tính vi phân Bài tốn Tìm vi phân hàm số Phương pháp giải Trang Ví dụ Cho hàm số y  x3  3x  2x  a)Tính vi phân hàm số điểm x0  ,ứng với số gia x  0, 02 b) Tìm vi phân hàm số a) Tính vi phân hàm số f  x  x0 cho trước: - Tính đạo hàm hàm số x0 Hướng dẫn giải  f�  x   3x  x  a) Ta có y � Do vi phân hàm số điểm x0  ,ứng với - Vi phân hàm số x0 ứng với số gia x df  x0   f �  x0  x số gia x  0, 02 df  1  f �  1 x   3.12  6.1   0, 02  0,14 b) Tìm vi phân hàm số f  x   x  x   3x  x   dx b) dy  f � - Tính đạo hàm hàm số  x  x - Vi phân hàm số dy  df  x   f � Ví dụ mẫu Ví dụ Cho hàm số y  x3  x  Tính vi phân hàm số điểm x0  , ứng với số gia x  0, 02 Hướng dẫn giải  f�  x   3x  x Do vi phân hàm số điểm x0  ,ứng với số gia x  0, 02 Ta có y � df  1  f �  1 x   3.12  4.1 0, 02  0, 02 Ví dụ Tìm vi phân hàm số y  x x 1 Hướng dẫn giải � x2   x2  x2   x2  � x � � � y    � dy  y dx  dx Ta có �2 � 2 2 �x  �  x  1 x  x      Bài tốn Tính gần giá trị hàm số Phương pháp giải Để tính gần giá trị hàm số f  x  Ví dụ Tính gần giá trị 49, 25 (lấy chữ số thập phân kết quả) điểm x   x0  x  cho trước, ta áp dụng Hướng dẫn giải  x0  x Ta có 49, 25  49  0, 25 công thức f  x0  x  �f  x0   f �  x  Xét hàm số f  x   x � f � x Trang Chọn x0  49 x  0, 25 , ta có f  x0  x  �f  x0   f �  x0  x � 49  0, 25 � 49  0, 25   0, 01786 49  7, 01786 Vậy 49  0, 25 �7, 01786 Ví dụ mẫu Ví dụ Tính gần 0,9995 Hướng dẫn giải a) Ta có 1  0,9995  0, 0005 Xét hàm số f  x   1 � f�  x   x x  x0  x Chọn x0  x  0, 0005 , ta có f  x0  x  �f  x0   f � � 1  0,0005   0, 0005 1, 0005 Ví dụ Tính gần sin 46� Hướng dẫn giải   �   sin � Ta có sin 46� sin  45� 1� �  � �4 180 �  x   cos x Xét hàm số f  x   sin x � f � Chọn x0     x0  x x  , ta có f  x0  x  �f  x0   f � 180  �    2 � � sin �    ��sin  cos 4 180 360 �4 180 � Bài tập tự luyện dạng Câu 1: Vi phân hàm số f  x   3x  x điểm x  , ứng với x  0,1 A -0,07 B 10 C 1,1 D -0,4 Câu 2: Vi phân hàm số y  x  x biểu thức sau đây? A dy  x  5x C dy   dx 2x  x  5x dx B dy  D dy  2x  x2  5x dx 2x  x2  5x dx Câu 3: Vi phân hàm số y  x sin x  cos x Trang A dy   2sin x  x cos x  dx B dy  x cos xdx C dy  x cos x D dy   sin x  cos x  dx � 3 � Câu 4: Dùng cơng thức vi phân làm trịn đến số thập phân thứ tư tan �  �được kết �3 80 � A 1,2608 B 1,2611 C 1,3391 D 1,3392 Câu 5: Khẳng định sau đúng? A d  sin x    cot x d  cos x  B d  sin x    tan x d  cos x  C d  sin x   cot x d  cos x  D d  sin x   tan x d  cos x  Câu 6: Cho hàm số y  f  x    x  1 Biểu thức sau vi phân hàm số f  x  ? A dy   x  1 dx B dy   x  1 dx C dy   x  1 D dy   x  1 dx Câu 7: Vi phân hàm số y  x  x  12 x  A dy   x  18 x  12  dx B dy   3x  18 x  12  dx C dy    3x  18 x  12  dx D dy   3 x  18 x  12  dx Câu 8: Vi phân hàm số y   x A dy  C dy  1  x2 2x  x2 x B dy  dx D dy  dx  x2  x2  x2 dx dx Câu 9: Vi phân hàm số y  x  A dy  dx 3x  B dy  C dy  dx 3x  D dy  Câu 10: Vi phân hàm số y  A dy   C dy    x  1 dx 3x  2x  2x 1 dx B dy  dx D dy    x  1 dx 3x   x  1 dx  x  1 dx Câu 11: Hàm số y  x sin x  cos x có vi phân A dy   x cos x  sin x  dx B dy   x cos x  dx C dy   cos x  sin x  dx D dy   x sin x  dx Trang Câu 12: Xét hàm số y  f  x    cos 2 x Khẳng định sau đúng? A df  x   C df  x    sin x  cos 2 x cos x  cos x C dy  D df  x   dx Câu 13: Vi phân hàm số y  A dy  B df  x   dx  x x cos x Câu 14: Cho hàm số y  dx  cos 2 x  sin x  cos 2 x dx tan x x x dx x x cos x x  sin x  sin x B dy   dx D dy   sin x  x x cos x dx  x  sin x x x cos x  dx Vi phân hàm số 3x3 A dy  dx B dy  dx x4 C dy   dx x4 D dy  x dx Dạng 2: Đạo hàm cấp cao Bài toán Tính đạo hàm đến cấp n hàm số Phương pháp giải + Áp dụng trực tiếp công thức để tính đạo hàm cấp Ví dụ Tìm đạo hàm cấp hàm số y  cos x � �   y�  Tính y�  x0  hai y � Hướng dẫn giải + Cấp 3,4… ta tính tương tự Ta có y  cos x    cos x  � y�  sin x � � � � y�  2cos x � y�  4sin x Ví dụ mẫu Ví dụ Tìm đạo hàm cấp hàm số y  3x  x2 Hướng dẫn giải Ta có y �   x  2 2 � 7 �  x  2 � � � 14 � � y�   x  2  x  2 � � � � 14 �  42 x  �x   �   42  4 � � � 168 � � � y�  � y   x  2  x  2  x  2  x  2 Ví dụ Tìm đạo hàm cấp hàm số y  sin 2 x Hướng dẫn giải Trang Ta có y  sin x    cos x  � � � � y�  2sin x � y�  8cos x � y�  32sin x � y  4  128cos x � y  5  512sin x Bài tốn Tính đạo hàm cấp cao hàm số Phương pháp giải Ví dụ Tìm đạo hàm cấp hàm số y  sin x  n ��*  Hướng dẫn giải � �  cos x  sin �x  � ; � � � , y� , y� Bước 1: Tính y � Dựa vào đạo hàm Ta có: y � 2� � vừa tính, dự đốn cơng thức tính y  n  � � � y�   sin x  sin �x  �; 2� � � �  n , n ��*  1 Dự đoán: y  sin �x  n � 2� � Bước 2: Chứng minh cơng thức vừa dự đốn Chứng minh  1 quy nạp: phương pháp quy nạp  n  :  1 Hiển nhiên  Giả sử  1 với n  k �1 nghĩa � � y k  sin �x  k � 2� � Ta phải chứng minh  1 với n  k  nghĩa ta phải chứng minh � � y  k 1  sin �x   k  1 �  2 2� � Thật vậy, xét   ta có VT  y k 1 � � � � � � � k ' � � � y � � sin �x  k �  cos �x  k � � 2� 2� � � � � � �  sin �x   k  1 � VP 2� � Suy   đúng,nghĩa  1 với n  k  Theo nguyên lí quy nạp ta có cơng thức � � y n  sin �x  n � , n ��* 2� � Trang � � � , y� , y� Chú ý: Cần phân tích kĩ kết đạo hàm y � , tìm quy luật để dự đốn cơng thức y  n  xác Ví dụ mẫu Ví dụ Tìm đạo hàm cấp n hàm số y  3x  x2 Hướng dẫn giải  Ta có: y � 7  x  2 � , y�  7.2  x  2 Bằng quy nạp ta chứng minh y  n � � , y�  7.2.3  x  2  1 7.n !  n 1    x  2 n  Với n  ta thấy    Giả sử   với n  k , tức y  k  1 7.k !  k 1  x  2 k � k k 1 �1 k 7.k � 1 7.k !  k  1  1  k  1 ! Ta có: y  k 1  �  k 1 �     k 2 k 2 � x   �  x  2  x  2 � � Do   với số tự nhiên n Vậy theo nguyên lí quy nạp ta có cơng thức đạo hàm cấp cao hàm số  1 7.n ! 3x   n y y  n 1 x2  x  2 n Bài toán Chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức, giải phương trình, bất phương trình Phương pháp giải Áp dụng quy tắc tính đạo hàm để Ví dụ Cho hàm số y  x sin x chứng minh bất đẳng thức, giải Chứng minh x y� �   y�  sin x   xy  phương trình, bất phương trình Hướng dẫn giải Ta có y�   x sin x  �� y '  x� sin x  x  sin x  � � y�  sin x  x cos x � y�   sin x  x cos x  '   sin x  �   x cos x  �  cos x  x '.cos x  x  cos x  � cos x  x sin x �   y�  sin x   xy  Ta có x y� Trang � x  2cos x  x sin x    sin x  x cos x  sin x   x sin x  � x cos x  x sin x  x cos x  x sin x  �00 (điều phải chứng minh) Ví dụ mẫu � 1  Ví dụ Cho hàm số y  x  x Chứng minh y y� Hướng dẫn giải  Ta có: y � � y�     x  � x  x     2x  x2     �� y '  2x  x2  x  x2 x  x2    2x  x2     x  x  x2  x  x2  �   2x  x2 x  x2     x  2  1    1 � y y�   �  2x  x  Ta có  2x  x  2x  x2 1 x � x  x2   x  2x  x2 1 x 2x  x2 3   � 1   (điều phải chứng minh) Ví dụ Cho hàm số y  sin x  cos3 x �  y  Chứng minh y �  sin x.cos x Hướng dẫn giải Ta có: y    sin x  cos x   sin x  cos x  sin x cos x   sin x cos x  sin x cos x    sin x cos x   sin x cos x  sin x  cos x � � y�  cos x  sin x � y�   sin x  cos x Trang �  y  �  sin x  cos x  sin x  cos x  �  (điều phải chứng minh) Ta có y � Ví dụ Cho hàm số y  2x  � 0 Giải phương trình y � x  4x  Hướng dẫn giải Ta có y   x  2 2x   x  4x   x  2 1 � 2 �2  x  2 �  x      x    x   2  x    � y� �   � 2 2 � x    � � � x    1� � � �x    1�  � � � � � �  x     � � � � y� � � �� �  x    1� �� �� 2 2 4  x   � � 2  x    � � x  2  x    1�  x    1� � � � � � �  � �x    1� � 2 �  x  2 �   x  2 1   x  2  2�  x    1� � � � �  �  x    1� � � 2 �  x  2 � x    3� �x    1�  �� �  � �x    1� � 2 �  x  2 � x    3� �x    1�  �� � � 0� Ta có y � � � x     � � Điều kiện:  x    �0 �  � x   � x  2 Khi y� Bài tập tự luyện dạng Câu 1: Đạo hàm cấp hai hàm số f  x   x  x  điểm x  A B 10 C D 16 Trang 10 Câu 2: Đạo hàm cấp hai hàm số y  �  A y � 10  x  2 �  B y � 3x  x2  x  2 �  C y �  x  2 �  D y � 10  x  2 � � � Câu 3: Cho f  x   sin x Giá trị f � � �bằng � 2� A -9 B C D -3 Câu 4: Đạo hàm cấp hai hàm số y  cos x �  2 cos x A y � �  2sin x B y � �  cos x C y � �  2sin x D y � Câu 5: Đạo hàm cấp hai hàm số y  f  x   x sin x  �  x    x sin x A f � �  x   cos x  x sin x B f � �  x   sin x  x cos x C f � �  x    cos x D f � Câu 6: Cho hàm số y  f  x   sin x Khẳng định sau sai? � �  sin �x  � A y � � 2� �  sin  x    B y � � 3 � � �  sin �x  C y � � � �  4 D y  sin  2  x  Câu 7: Đạo hàm cấp hai hàm số y  sin x cos x  49sin x  9sin x A y �  C y � 49 sin x  sin x 2  49sin x  9sin 3x B y �  D y � 49 sin x  sin 3x 2 Câu 8: Cho hàm số y  sin x Khẳng định sau đúng? �  A y  y� � 0 B y  y � Câu 9: Cho hàm số y  �  2 A y � �  C y �  1 x 2 1 x tan x C y  y� D y   y �   2 x  x Đạo hàm cấp hai f 1 x �  B y � �  D y � 1 x 1 x �  có nghiệm Câu 10: Cho hàm số y  x  3x  x  Phương trình y � A x  B x  C x  D x  4 Câu 11: Cho f  x   x  cos x Tìm f  x  A f  x   24 x  16 cos x B f  x   16 cos x C f  x   24 x  8sin x D f  x   24  16cos x Trang 11 Câu 12: Cho hàm số y  x  khẳng định đúng?  I  y y� x ; �  y�  II  y y� A Chỉ  I  B Chỉ  II  C Cả hai D Cả hai sai Câu 13: Cho hàm số y   x  x Khẳng định đúng? �  1 A  y �   y y� � 1 B  y �   y y� �   y� C y y �  1 � 1 D  y �   y y� 2 2 � �  1 Câu 14: Cho hàm số f  x   x  Giá trị f � A B -3 C D �   Câu 15: Cho hàm số f  x   cos x Tính P  f � B P  A P  C P  4 D P  1 � � �� x  � Nghiệm x �� 0; �của phương trình f  4  x   8 Câu 16: Xét hàm số y  cos � � 2� � � A x   B x  0, x  Câu 17: Cho hàm số y   C x  0, x   D x  0, x   Khẳng định đúng? x � y3   A y � � y   y� C y �  0 � y   y� D y �  � y3  B y � � Câu 18: Cho hàm số y  sin 2 x Giá trị biểu thức y  3  y �  16 y�  16 y  A -8 B D 16sin 4x C Câu 19: Đạo hàm cấp n hàm số y  cos x � n �  n x  n � A y   1 cos � 2� � � �  n n x  � B y  cos � 2� � � �  n n 1 x  n � C y  cos � 2� � � �  n n x  n � D y  cos � 2� � Câu 20: Đạo hàm cấp n hàm số y  x  A y n C y n  1  n 1  1  3.5  3n  1  x  1 n 1 n 1 3.5  2n  1  x  1 n 1 Câu 21: Đạo hàm cấp n hàm số y   n A y   1 n !  1 n !  n 1 n 1  x  2  x  1 n n B y n D y n  1  n 1  1  n 1 3.5  2n  1  x  1 n 1 3.5  2n    x  1 n 1 2x 1 x  3x  2  n B y   1 n !  1 n !  n 1 n 1  x  2  x  1 n n Trang 12 C y  n  1 n !  1 n !  : n 1 n 1  x  2  x  1 n n Câu 22: Đạo hàm cấp n hàm số y  A y  n C y  n D y n n x x  5x  n B y  1 3.n !   1 2.n !  n 1 n 1  x  3  x  2 n  1 n !  1 n !   n 1 n 1  x  2  x  1  1 3.n !   1 2.n!  n 1 n 1  x  3  x  2 n  n  n n D y  n  1 3.n !   1 2.n!  n n  x  3  x  2 n n  1 3.n !   1 2.n!  n 1 n 1  x  3  x  2 n n Câu 23: Đạo hàm cấp 2021 hàm số f  x   cos  x  a  �  2021  x    cos � A f �x  a  � 2� � �  2021  x    sin � B f �x  a  � 2� � �  2021  x   cos � C f �x  a  � 2� � �  2021  x   sin � D f �x  a  � 2� � Câu 24: Đạo hàm cấp n hàm số y  sin x � �  n n 1 x  n � A y  sin � 2� � � �  n n 1 x  n � B y  sin � 2� � � �  n n x  � C y  sin � 2� � � �  n n x  n � D y  sin � 2� � �  10  � Câu 25: Cho hàm số y  sin x.cos x  sin x Giá trị y � �gần với số đây? �3 � A 454492 B 2454493 C 454491 D 454490 x Câu 26: Cho hàm số y  sin Đạo hàm y  n  A � �x sin �  n � n 2� �2 � �x B sin �  n � 2� �2 � �x n C sin �  n � 2� �2 D �x � sin �  n � n �2 � Câu 27: Cho hàm số f  x    3x  x  1 Tính đạo hàm cấp hàm số điểm x   6 A f    60480  6 B f    34560  6 C f    60480  6 D f    34560 THAM KHẢO ĐỀ KIỂM TRA 15 PHÚT SỐ VÀ SỐ 10 THAM KHẢO ĐỀ KIỂM TRA HỌC KÌ SỐ VÀ SỐ VÀ SỐ Trang 13 ĐÁP ÁN BÀI ĐẠO HÀM CẤP CAO – VI PHÂN Dạng Tính vi phân 1-C 11 - B 2-D 12 - B 3-B 13 - C 4-A 14 - C 5-A -A 7-A 8-B 9-D 10 - A HƯỚNG DẪN CHI TIẾT Câu  x   6x  � f �    11 � df    f �   x  11.0,1  1,1 Ta có: f � Câu dx  Ta có dy  y� 2x  x2  5x dx Câu dy   x sin x  cos x  � dx   1.sin x  x.cos x  sin x  dx  x cos xdx Câu  x    tan x Xét hàm số f  x   tan x � f � Chọn x0   3  x0  x x   , ta có f  x0  x  �f  x0   f � 80  �  �� 3 � � 3 � � tan �   tan � �  ��1, 2608 ��tan  � � �� 80 � �3 80 � Câu d  sin x   sin x  � dx cos x     cot x Ta có d  cos x   cos x  � sin x dx Câu � Ta có dy  � dx   x  1 dx  x  1 � � � Câu Ta có dy   x3  x  12 x   � dx   3x  18 x  12  dx Câu Ta có dy    x2  �  � x  x dx   dx 2 1 x 1 x  � 3x  dx   Câu Ta có dy   dx 3x  Trang 14 Câu 10 � 8 �2 x  � dx Ta có dy  � �dx  �2 x  �  x  1 Câu 11 Ta có dy   x sin x  cos x  � dx   sin x  x cos x  sin x  dx   x cos x  dx Câu 12 Ta có   cos y�  x  � 2.2.cos x.sin x  sin x  sin x   � df  x   dx  cos 2 x  cos 2 x  cos 2 x  cos 2 x Câu 13 1 x  tan x � � � x dx Ta có dy  tan x dx  x cos x � � x � � x � � �1 sin x �1 �  �2 cos x cos x x � �x dx � � x  sin x cos x dx x x cos x    x  sin x x cos x  dx Câu 14 � 3x2 �1 � Ta có dy  � �dx    dx x  x �3x � Dạng Đạo hàm cấp cao 1-C 11 – D 21 - D 2-D 12 - D 22 – D –A 13 – A 23 - C 4-A 14 – A 24 – D 5–B 15 – C 25 - D 6-D 16 – A 26 – A 7-D 17 – D 27 – A 8–B 18 - B 9-B 19 – D 10 – C 20 - D HƯỚNG DẪN CHI TIẾT Câu  x   3x  x Ta có f � � �  x   x  Suy f �  1  Suy ra: f � Câu  Ta có y   x  � y�  x  2 � � y�  10  x  2 Câu Trang 15 �  x   3sin 3x , suy f �  x   9sin x Ta có f � � � � 3 �  Do f � � � 9sin � � 2� � � � 9 � Câu � y�  cos x   sin x    sin x � y�  2 cos x Câu Ta có y �  f�  x    x sin x  3 � sin x  x cos x Vậy y � � �  f�  x    sin x  x cos x  � cos x  x sin x Câu Ta có � � � �  � � � 3 � � � � y�  cos x  sin �x  �� y �  sin �x   � sin  x    � y�  sin �x    � sin �x  � 2� � 2� � 2� � � � � 3  � � y  4  sin �x   � sin  x  2   sin x � 2�  4 Ta có sin  2  x    sin x �y Câu Ta có: y  sin x cos x   Do y �  sin x  sin 3x  1 �   49sin x  9sin x   cos x  3cos 3x  � y� 2 Câu �  2cos x � y�  4sin x Ta có: y� �  4sin x  4sin x Xét đáp án A, y  y� �  4sin x  4sin x  Xét đáp án B, y  y � tan x  cos x Xét đáp án C, y � sin x  2sin x �y cos x Xét đáp án D, y   y�   sin 2 x  cos 2 x �4 Câu y  f  x  2 x  x 1 � �  2x 1  � y�  f� � y�  f�   x   1 x 1 x  1 x  1 x Câu 10 Trang 16 Tập xác định: D  � � �  x  x  � y�  x  � y�  � x 1 Ta có y � Câu 11 � � �  x   x3  2sin x , suy f �  x   12 x  4cos x � f �  x   24 x  8sin x Ta có: f � Do đó: f  4  x    f � � �  x   � 24  16 cos x Câu 12  Ta có: y � x x 1 � � y�   x  Xét y y � �   x  1 Xét y y � x x2  x  1 x   x , khẳng định (I) sai   x  1 x  1 x2  �y� , khẳng định (II) sai Câu 13 Ta có � � y   x  x � y   x  x � y y�   x �  y�  2 �  y �  1   y y�   y y� 2 Câu 14 Ta có: f  x   2x 1 � f �  x   x  1 � 2x 1   �  2x 1 1 � � f�    x  2x 1 2x 1  x  1 x  1  x  1  � � � f�  x   x  1  x  1 3  �  x  1  x  1  x  1 3   x  1 � �  1  Vậy f � Câu 15 �  x   2sin x � f �  x   4 cos x Ta có: f � �     4 Do đó: f � Câu 16 � 2x  �  x   2sin � Ta có: f � � 3� � � � � f� 2x  �  x   4 cos � � 3� � Trang 17 � � � � f� 2x  �  x   8sin � � 3� � � � � f  4  x   16 cos �2 x  � 3� � Xét phương trình �  2 � �  2x    k 2 � � x   k � � � 3  4 f  x   8 � cos � x  �  � � �� �    3� � � 2x     k 2 � � x    k � � � � �  �� 0; �nên có giá trị x  thỏa mãn Mà x �� � 2� Câu 17  Ta có y � � � y�  x x � Xét đáp án A, y � y3   � �1 �   �   (vơ lí) � � x �x � x � Xét đáp án B, y � y   y�  0� 2 � �  2�  � �  (vơ lí) x x x �x � � Xét đáp án C, y � y3  � �1 �  �  (vơ lí) � � x �x � x � Xét đáp án D, y � y   y�  � 2 2 � �  2�  ��  (đúng) x x x �x � x Câu 18 Ta có: y  sin x � y   cos x � � y�  2sin x � y�  8cos x � y  3  32sin x  3 �  16 y�  16 y   32 sin x  8cos x  32sin x    cos x    Khi y  y� Câu 19 � � � �� � � � �  cos � 2x  � ;y�  22 cos � 2x  � ; y�  23 cos � 2x  � Ta có y� 2� 2� 2� � � � � �  n n x  n � Bằng quy nạp ta chứng minh y  cos � 2� � Câu 20 �  , y�  Ta có y � 2x 1  x  1 � � , y�   x  1 Trang 18 Bằng quy nạp ta chứng minh y  n  1  n 1 3.5  2n    x  1 n 1 Câu 21 Ta có: y   x  x 1 Bằng quy nạp ta chứng minh y  n  1 n !  1 n !   n 1 n 1  x  2  x  1 n n Câu 22 Ta có: x   x     x  3 ; x  x    x    x  3 Suy y   x3 x2     n � �  1 n !  1 n ! � �  1 n !   , Mà � � �  n 1 n 1 � n 1 �x  �  x  2  x   �x  �  x  3 n n nên ta có y  n n n n  1 3.n !   1 2.n!  n 1 n 1  x  3  x  2 n n Câu 23 � ;  x    sin  x  a   cos � Ta có f � �x  a  � 2� � � 2 � � f�  x    sin � �x  a  � cos �x  a  2� � � � ; � � … 2021 � � � � f  2021  x   cos �x  a  � cos �x  a  � � 2� � � Câu 24 � � � �� � � � �  2sin � 2x  � ,y�  2 sin � 2x  � , y�  23 sin � 2x  � ; Ta có: y� 2� 2� 2� � � � � �  n n Bằng phương pháp quy nạp ta chứng minh y  sin �2 x  n � 2� � Câu 25 Ta có y  sin 3x.cos x  sin x  1  sin x  sin x   sin x   sin x  sin x  2 Mặt khác theo quy nạp ta chứng minh  sin ax   10  Do y  x     n   1 n 1 �n � a n sin �  ax � �2 �  1 9  1 410.sin  5  x    1 210.sin  5  x    410.sin x  210 sin x  2 Trang 19 � �  y  10 � � 454490,13 �3 � Câu 26  n Chứng minh quy nạp y  �x n � sin �  �  1 n �2 � x �x  �  cos  sin �  � Với n  ta có y � 2 �2 �  k Giả sử  1 với n  k , k ��* tức ta có y  �x k sin �  k �2  k 1  Chứng minh  1 với n  k  tức cần chứng minh y � � � �x  k  1  � sin �  � k 1 2 �2 � Thật vậy,ta có � � � �1 �x k � �x k  k � � y  sin   cos � � � � k � k  � � � �2 � �2 � �x  k  1  � � k 1 sin �  � �2 � � � Câu 27 18 Giả sử f  x   a0  a1 x  a2 x   a18 x  6  6 12 Khi f  x   6!.a6  b7 x  b8 x   b18 x � f    720a6 2 k Ta có  x  x  1     x  3x    �C9  x  3x  9 k k 0 k k 0 i0  �C9k �Cki  x  k i  3x  i k  ��C9k Cki 2k i  3 x k i i k 0 i  0 �i �k �9 � �  k ; i  �  6;0  ,  5;1 ,  4;  ,  3;3  Số hạng chứa x ứng với k , i thỏa mãn � k i  �  � a6   � C96C60 26  3  C95C51 24  3  C94C42 22  3  C93C33 20  3 � 84 � � � f  6    720  64   60480 Trang 20 ... x  x �3x � Dạng Đạo hàm cấp cao 1-C 11 – D 21 - D 2-D 12 - D 22 – D –A 13 – A 23 - C 4-A 14 – A 24 – D 5–B 15 – C 25 - D 6-D 16 – A 26 – A 7-D 17 – D 27 – A 8–B 18 - B 9-B 19 – D 10 – C 20 -... dụng vi phân vào phép tính gần Cơng thức tính gần nhờ vi phân f  x0  x  �f  x0   f �  x0  x Đạo hàm cấp cao + Đạo hàm cấp hai: Cho hàm số f có đạo hàm f � Nếu f �cũng có đạo hàm đạo hàm. .. hàm gọi đạo hàm cấp hai f � kí hiệu f � , tức f � �  f�  � + Đạo hàm cấp n : Cho hàm số f có đạo hàm cấp n  ( với n  �, n ) f  n 1 Nếu f  n 1 có đạo hàm đạo hàm gọi đạo hàm cấp n f