Bài 3 cấp số NHÂN toán 11

CHUYÊN ĐỀ BÀI CẤP SỐ NHÂN Mục tiêu  Kiến thức + Nắm vững khái niệm cấp số nhân + Nắm tính chất số hạng liên tiếp cấp số nhân + Nắm công thức tổng qt, cơng thức tính tổng n số hạng đầu cấp số nhân  Kĩ + Nhận biết cấp số nhân dựa vào định nghĩa + Tìm yếu tố cịn lại biết yếu tố: số hạng đầu, số hạng thứ k, tổng n số hạng đầu tiên, công bội, số số hạng cấp số nhân + Áp dụng tính chất cấp số nhân vào toán giải phương trình, chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức + ứng dụng vào toán thực tế Trang I LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM Định nghĩa Cấp số nhân dãy sơ (hữu hạn vơ hạn), kể từ số hạng thứ hai, số hạng tích số hạng đứng trước với số không đổi q Số q gọi công bội cấp số nhân Nếu  un  cấp số nhân với cơng bội q, ta có công thức truy hồi un 1  un q với n ��* Đặc biệt:  Khi q  , cấp số nhân có dạng u1 , 0, 0, , 0,  Khi q  , cấp số nhân có dạng u1 , u1 , u1 , , u1 ,  Khi u1  với q, cấp số nhân có dạng 0, 0, 0, , 0, Số hạng tổng quát Định lí Nếu cấp số nhân có số hạng đầu u1 cơng bội q số hạng tổng qt un xác định công thức un  u1.q n 1 với n �2 Tính chất Định lí Trong cấp số nhân, bình phương số hạng (trừ số hạng đầu cuối) tích hai số hạng đứng kề với nó, nghĩa uk2  uk 1.uk 1 với k �2 Tổng n số hạng cấp số nhân Định lí Cho cấp số nhân  un  với công bội q �1 Đặt S n  u1  u2   un Khi S n  u1   q n  1 q Chú ý: Nếu q  cấp số nhân u1 , u1 , u1 , , u1 , S n  nu1 SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA Trang Số hạng thứ k Số hạ ng CẤP tổ NHÂN SỐ ng qu át Tổng n số hạng khi II CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Chứng minh dãy  un  cấp số nhân Phương pháp giải Chứng minh un 1  un q, n �1 q số khơng đổi * Nếu un �0, n �� ta lập tỉ số un 1 k un * k số  un  cấp số nhân có công bội q  k * k phụ thuộc vào n  un  khơng cấp số nhân Để chứng minh dãy  un  cấp số nhân, ta cần ba số hạng liên tiếp không tạo thành cấp số nhân, chẳng hạn u3 u2 � u2 u1 Để chứng minh a, b, c theo thứ tự lập thành cấp số nhân, ta chứng minh ac  b b  ac Ví dụ mẫu Ví dụ Xét dãy số sau, dãy số cấp số nhân? Tìm cơng bội cấp số nhân a) un   4  n 1 b) un   7  53n 1 n Hướng dẫn giải Trang u  4   4  16   a) Ta có n 1  số không đổi nên  un  cấp số nhân với công bội q = 16 n 1 un  4  n 3 3 n 1 1 un 1  7    7.53  875 không đổi nên  un  cấp số nhân với cơng bội b) Ta có n n 1 un  7  n 1 q  875 Ví dụ Xét dãy số sau, dãy số cấp số nhân? Tìm cơng bội cấp số nhân � u1  � a) � u  n  � un � �u1  b) � un 1  un2 � Hướng dẫn giải u u u Ta có n 1  n  n 1 � un 1  un 1 , n �2 un un un 1  1  2 �u1  u3  u5   u2 n 1 Do có � u2  u4  u6   u2 n  � Theo đề ta có u1  � u2  3 u1 (3) Từ (1), (2), (3) suy u1  u2  u3  u4  u5   u2 n  u2 n 1 Do  un  cấp số nhân với công bội q = 2 b) Ta có u2  u1  4, u3  u2  16, u4  u3  256 suy u2 u 256     16 u1 u3 16 u2 u1 u4 u3 Do  un  khơng cấp số nhân Ví dụ Cho  un  cấp số nhân có cơng bội q �0; u1 �0 Chứng minh dãy số   với  un u2 n cấp số nhân Hướng dẫn giải un u2 n u1.q n 1.u1.q n 1    q nên   cấp số nhân với công bội q Ta có 1 un 1.u2 n 1 u1.q n  u1.q n 3 � u1  , n �1 Chứng minh dãy số   xác Ví dụ Cho dãy số  un  xác định � un 1  4un  � định  un  3, n �1 cấp số nhân Hãy xác định số hạng đầu công bội cấp số nhân Trang Hướng dẫn giải Ta có  un  (1) � 1  un 1  (2) Theo đề un 1  4un  � un 1    un  3 (3) Thay (1) (2) vào (3) ta 1  4vn , n �1 � 1  (không đổi) Suy   cấp số nhân với công bội q = số hạng đầu v1  u1   Bài tập tự luyện dạng Câu 1: Trong dãy số sau, dãy số cấp số nhân? � u1  � A � � un 1  un2 � B un 1  nun u1  � C � un 1  5un � D un 1  un1  Câu 2: Trong dãy số sau, dãy số cấp số nhân? A un  1 3n B un  n2 C un  n  D un  n  Câu 3: Trong dãy số sau, dãy số cấp số nhân? u1  � A � un 1  un3 � B un 1  un u1  � C � un 1  6un � D un 1  2un  2n C un  D un  n  Câu 4: Dãy số sau cấp số nhân? A un  n  B un  n  Câu 5: Trong dãy số sau, dãy cấp số nhân? A un   3n B un  n2 C un  2n  D un  n  Câu 6: Dãy số dãy số sau vừa cấp số cộng, vừa cấp số nhân? A 1; 1; 1; 1; 1; B 1;0;0;0;0; C 3; 2;1;0; 1; D 1;1;1;1;1; Câu 7: Cho cấp số nhân có u1  công bội q  Trong nhận xét sau, nhận xét đúng? A un  với n B un  với n lẻ un  với n chẵn C un  với n D un  với n chẵn un  với n lẻ Câu 8: Hỏi A un  1 1 , , , bốn số hạng đầu dãy số sau đây? 32 2n B un  2n  C un  2n D un  n2 Câu 9: Dãy số không cấp số nhân? 1 A 1;  ;  ;  25 125 C 2; 2; 4 2;8 1 B  ;  ;  ;1 1 D 1; ; ; 27 Trang Câu 10: Trong dãy số sau, dãy cấp số nhân? A un   n u1  � � B � u  un n  � � C un  2n  D un  n 1 n 1 Câu 11: Trong dãy số sau, dãy cấp số nhân? � u1  � A � � un 1  un2 � � u1  � B � � un 1   2.un � � u  1; u2  � D �1 un 1  un 1.un � C un  n  Câu 12: Trong dãy số sau, dãy cấp số nhân? 1 A un  n B un   n2 C un   2n D un  n   Câu 13: Cho dãy số  un  cấp số nhân với un �0, n �� Dãy số sau cấp số nhân? A u1 ; u3 ; u5 ; B 3u1 ;3u2 ;3u3 ; C 1 ; ; ; u1 u2 u3 D u1  1; u2  1; u3  1; Câu 14: Cho dãy số  un  xác định u1  2; un  2un 1  3n  Công thức số hạng tổng quát dãy số cho biểu thức có dạng a.2n  bn  c , với a, b, c số nguyên với n �2; n �� Khi tổng a + b + c có giá trị A – B C – D Câu 15: Cho dãy số  un  có số hạng đầu 5, 10, 15, 20, 25,… Số hạng tổng quát dãy A un  5(n  1) B un  5n C un   n D un  5n  ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI BẢI TẬP TỰ LUYỆN DẠNG 1-C 11-B 2-B 12-B 3-C 13-D 4-C 14-C 5-B 15-B 6-D 7-B 8-C 9-B 10-B Câu 1: � u1  u � n 1  5 �  un  cấp số nhân có số hạng đầu u1  công bội q  5 Ta có � un 1  5un un � Câu 2: Xét un  Ta có n2 � un 1  3n 1 un 1 1  n 1 : n   ,  ��* un 3 Vậy  un  cấp số nhân có cơng bội q  Câu 3: Trang Xét un 1  nên  un  cấp số nhân có cơng bội q  un Câu 4: Vì un 32 n  n   32  nên un  32 n cấp số nhân có công bội q  un 1 Câu 5: Vì un 1   nên un  n  cấp số nhân có công bội q  un 1 5 n 3 n2 Câu 6: Dãy số 1; 1; 1; 1; 1;… vừa cấp số cộng công sai 0, số hạng đầu vừa cấp số nhân số hạng đầu 1, công bội Câu 7: Vì u1  0; q  � u2  u1.q  0; u3  u1.q  n 1  0; u2 n 1  u1 q n  Hay u2 n  u1.q Câu 8: 1 Xét cấp số nhân  un  với u1  , q  2 n 1 �1 � Ta có un  u1.q n 1  � �  n �2 � Câu 9: 1 1 � 1� Dãy  ;  ;  ;1 có �  �� nên khơng cấp số nhân 4 � 2� Câu 10: � u1  un 1 1 �  cấp số nhân với u1  2, q  Dãy số � � un un 1  un � � Câu 11: � u � u1  có n 1   nên cấp số nhân với công bội q   Dãy số � un � un 1   2.un � Câu 12: Ta có un   n 2 � un � �� � �  :  �� � un 1 � 3n  �� 3n 3 � Trang Suy un   n 2 cấp số nhân với công bội q  Câu 13: Dãy u1 ; u3 ; u5 ; cấp số nhân công bội q Dãy 3u1 ;3u2 ;3u3 ; cấp số nhân công bội 3q Dãy 1 1 ; ; ; cấp số nhân công bội u1 u2 u3 q Dãy u1  1; u2  1; u3  1; cấp số nhân Câu 14: un 1   n  1  � Ta có un  2un 1  3n  � un  3n   � � �với n �2; n �� Đặt  un  3n  , ta có  2vn 1 với n �2; n �� Như   cấp số nhân với công bội q = v1  10 n 1 n Do  10.2  5.2 n n Suy un  3n   5.2 hay un  5.2  3n  với n �2; n �� Vậy a  5, b  3, c  5 nên a  b  c    3   5  3 Câu 15: Ta có u1  5; u2  10  5.2; u3  15  5.3; � un  5.n Dạng 2: Xác định số hạng đầu, số hạng thứ k, công bội, tổng n số hạng cấp số nhân Phương pháp giải Dựa vào giả thuyết, ta lập hệ phương trình chứa cơng bội q số hạng đầu u1 Giải hệ phương trình tìm q u1 Nếu cấp số nhân  un  có số hạng đầu u1 cơng bội q số hạng tổng quát un xác định n 1 công thức un  u1.q  n �2  Tổng n số hạng � S n  nu1 � n � u1   q  Sn  � 1 q � q  q �1 Ví dụ mẫu Ví dụ Tìm số hạng đầu cơng bội cấp số nhân, biết �u1  u5  51 a) � u2  u6  102 � �u2  b) � �S3  43 Hướng dẫn giải Trang �u1   q   51  * �u1  u1.q  51 �u1  u5  51 � �� �� a) Ta có � u2  u6  102 u1q  u1q  102 u1q   q   102  ** � � � � Chia vế (**) cho (*) ta u1q   q  u1   q  Sử dụng công thức uk  u1.q k 1 Đưa hệ phương trình 102  51 51 51 � q  � u1   3  q 17 hệ phương trình hai ẩn q u1 Vậy u1  q = � u1q  u1q  � �u2   * � � � �  q3 �� b) � u1   q  q   43  ** u1  43 � �S3  43 � � 1 q u1q  chia vế (*) cho (**) ta u1   q  q  43 � 43q    q  q  q6 � � � 6q  37 q   � � q �  Với q  � u1   Với q  Sử dụng công thức uk  u1.q k 1 Và S n  u1  qn , q �1 1 q Đưa hệ phương trình hệ phương trình hai ẩn q u1 � u1  36 � �q  �q  Vậy � � u1  � � u1  36 � Ví dụ Cho cấp số nhân  un  có cơng bội ngun số hạng thỏa Sử dụng công thức uk  u1.q k 1 � u2  u4  10 mãn � u1  u3  u5  21 � Đưa hệ phương trình a) Tìm số hạng đầu cơng bội cấp số nhân hệ phương trình b) Tổng số hạng đầu tiện 1365? hai ẩn q u1 c) Số 4096 số hạng thứ cấp số nhân? a) Ta có � u1  q  q   51 � u1.q  u1.q  10  q  q 21 � � �  � � 4 q  q 10 u  u q  u q   21 u  q  q   21 �1 1  � �1  �2 � � � � 10q  21q  10q  21q  10  � 10 � q  � 21� q  � 10  � q � � q� Trang Đặt q  1  t � t   q  Ta có phương trình q q � 5 t � 2 10  t    21t  10  � 10t  21t  10  � � �t  �  �q  2 5 Với t   � q    � 2q  5q   � � � q q � Mà q nguyên nên q  2  Với t  2 � q   � 5q  2q   (vô nghiệm) q Ta có q  2 � u1  10  1 q  q3 Vậy q  2; u1  1 b) Ta có S n  1365 � u1  qn  1365 1 q   2   1365 � n  4096 � n  12  1 1 n Vậy tổng 12 số hạng 1365 c) Ta có uk  4096 � u1 q k 1  4096 �  1  2  k 1  4096 � 2k 1  4096 � 2k 1  212 � k   12 � k  13 Vậy số 4096 số hạng thứ 13 cấp số nhân Ví dụ Tính tổng sau a) S n  1 1     n 2 2 2 � 1� � 1� �n � b) S n  �  � �  �  �  n� � 3� � 9� � � Hướng dẫn giải a) Ta có dãy số 1 1 ; ; ; ; n cấp số nhân với n số hạng, số hạng đầu u1  công bội 2 2 2 q  2 Trang 10 Với q  3 � B  3 A  (loại) �C �D �  3600 � � Với q = ta có � A B A  3� A  9� A  27 � A  3600 � � A  90 Ví dụ Cho a, b, c số nguyên dương thỏa mãn thành cấp số nhân b số nguyên Các số a, b, c theo thứ tự lập a abc  b  Tìm a Hướng dẫn giải Vì a, b, c theo thứ tự lập thành cấp số nhân nên b  a.q; c  a.q Vì b số nguyên mà a, b số nguyên dương nên q số nguyên dương a Ta có abc  b  � a  aq  aq  3aq  � a  q  1  Vì a, q nguyên dương nên ta có bảng sau a  q  1 q Kết luận 6 1 Loại 1 Loại 1 Loại Thỏa mãn Vậy a = Ví dụ Tìm m để phương trình x   3m  1 x   5m   x   (1) có nghiệm lập thành cấp số nhân Hướng dẫn giải Giả sử x1 ; x2 ; x3 ba nghiệm phương trình (1)  x  x1   x  x2   x  x3   x3   x1  x2  x3  x   x1 x2  x2 x3  x3 x1  x  x1 x2 x3  Suy x1 x2 x3  Lại có ba nghiệm x1 ; x2 ; x3 lập thành cấp số nhân nên x22  x1 x3 � x23  x1 x2 x3  � x2  2 Mà x2 nghiệm phương trình (1) nên 23   3m  1 22   5m     � m  Thử lại với m = phương trình (1) trở thành Trang 23 �x  x  x  14 x   � � x  (thỏa mãn) � � x4 � Vậy m = giá trị cần tìm Ví dụ Cho số dương có tổng 65 lập thành cấp số nhân tăng Nếu bớt đơn vị số hạng thứ 19 đơn vị số hạng thứ ba ta cấp số cộng Tìm số Hướng dẫn giải Gọi u1 , u2 , u3 theo thứ tự lập thành cấp số nhân Theo đề u1  1, u2 , u3  19 theo thứ tự lập thành cấp số cộng � u1  u2  u3  65 �u  u  u  65 � �1 Ta có � u1   u3  19  2u2 u1  2u2  u3  20 � � �u1   q  q   65  1 �u1  u1.q  u1.q  65 � �� �� u1  2u1.q  u1q  20 u1   2q  q   20   � � � Chia vế với vế (1) cho (2), ta � 41 q  q   13   2q  q   q  q2 65 13    2q  q 20 q3 � � � q  30 q   � � q � Vì u1 , u2 , u3 theo thứ tự lập thành cấp số nhân tăng dần nên q  � u1  Vậy số cần tìm 5; 15; 45 Ví dụ Cho tam giác ABC vng A có ba cạnh CA, AB, BC theo thứ tự lập thành cấp số nhân có cơng bội q Tìm q Hướng dẫn giải Vì tam giác ABC vuông A nên BC  AB  AC Theo giả thiết ta có ba cạnh CA, AB, BC theo thứ tự lập thành cấp số nhân có cơng bội q nên BC  q AC AB  q AC Do BC  AB  AC � q AC  q AC  AC � q  q   �2  q  � � q2   �� (do q �0) � q  �  �2  q  � � Vì q  nên q   Trang 24 Ví dụ Cho hình vng C1 có cạnh 1, C2 hình vng có đỉnh trung điểm cạnh hình vng C1 Tương tự, gọi C3 hình vng có đỉnh trung điểm cạnh hình vuông C2 Tiếp tục ta dãy hình vng C1 , C2 , C3 , , Cn , Tính tổng diện tích 10 hình vng dãy Hướng dẫn giải Diện tích hình vng C1 Độ dài đường chéo hình vng C1 Hình vng C2 có cạnh đường chéo hình vng C1 2 �2� � Diện tích hình vng C2 � � �2 � � � Hình vng C3 có cạnh đường chéo hình vng C2 �2� � Diện tích hình vng C3 � � �2 � � � Hình vng Cn có cạnh đường chéo hình vng Cn 1 2 n1 �2� � Diện tích hình vng Cn � � �2 � � � Do đó, dãy diện tích hình vng C1 , C2 , C3 , , Cn , lập thành cấp số nhân với số hạng đầu �2� q10  1023 u1  1, q  � �2 � � � S10  u1 q   512 � � Ví dụ Để tiết kiệm lượng, cơng ty điện lực đề xuất bán điện sinh hoạt cho người dân theo hình thức lũy tiến (bậc thang) sau: Mỗi bậc gồm 10 số; bậc từ số thứ đến số thứ 10, bậc từ số 11 Trang 25 đến số 20, bậc từ số thứ 21 đến số thứ 30,…Bậc có giá 1500 đồng/1 số, giá số bậc thứ n  tăng so với giá số bậc thứ n 2,5% Gia đình ơng An sử dụng hết 345 số tháng 1, hỏi tháng ơng An phải đóng tiền? Hướng dẫn giải Gọi u1 số tiền phải trả cho 10 số điện Suy u1  10.1500  15000 (đồng) u2 số tiền phải trả cho số điện từ 11 đến 20 Suy u2  u1   0, 025  u34 số tiền phải trả cho số điện từ 331 đến 340 Suy u34  u1   0, 025  33 Số tiền phải trả cho 340 số điện    0, 025     0, 025  S1  u1 � S1  15000  789193, 28    0, 025     0, 025  34 34 Số tiền ông An phải trả cho số điện từ 341 đến 345 S  5.1500   0, 025  34  17364,92 Vậy tháng gia đình ơng An phải trả số tiền là: S  S1  S �806558 (đồng) Ví dụ 10 Từ độ cao 55,8m tháp nghiêng Pisa nước Italia, người ta thả bóng cao su chạm xuống đất Giả lần chạm đất bóng lại nảy lên độ cao độ cao mà bóng đạt trước 10 Tính tổng độ dài hành trình bóng thả từ lúc ban đầu nằm yên mặt đất Hướng dẫn giải * Gọi hn độ dài đường bóng lần rơi xuống thứ n  n ��  * Gọi ln độ dài đường bóng lần nảy lên thứ n  n ��  Theo ta có h1  55,8, l1  công bội q  55,8  5,58 dãy số  hn  , ln cấp số nhân lùi vô hạn với 10 10 Suy tổng độ dài đường bóng S h1 1 10  l1 1 10  10  h1  l1   68, 2(m) Trang 26 Bài tập tự luyện dạng Câu 1: Ba số x,3x  3,5 x  theo thứ tự ba số hạng liên tiếp cấp số nhân Biết x �1 , số hạng cấp số nhân A  250 B 250 C 250 D 250 C �6 D �36 Câu 2: Cho cấp số nhân 4; x; 9 giá trị x B 6,5 A �5 Câu 3: Cho cấp số nhân có bốn số hạng 2; x; 18; y Hãy chọn kết A x  6; y  54 B x  6; y  54 C x  6; y  54 D x  10; y  26 Câu 4: Giá trị x để số x  1; x; x  theo thứ tự lập thành cấp số nhân A x  � B x  � C x  � D x  �1 Câu 5: Ba số x, y, z theo thứ tự lập thành cấp số nhân với công bội q khác đồng thời số x; 2y; 3z theo thứ tự lập thành cấp số cộng với công sai khác Giá trị q A q  B q  C q   D q  3 Câu 6: Nếu ba số x  a; x  b; x  c theo thứ tự lập thành cấp số nhân giá trị x tính theo a, b, c A x  a  bc 2a  b  c Câu 7: Cho cấp số nhân A � B x  c  ab a  b  2c C x  b  ac a  2b  c D x  a  b2  c2 abc 1 1 , x, Giá trị x 125 B � 25 C � D �5 Câu 8: Với giá trị x số x  2; x  1;3  x lập thành cấp số nhân? A �1 B C 3 D Khơng có giá trị Câu 9: Bốn số a, b, c, d theo thứ tự lập thành cấp số cộng bốn số a  1, b  1, c  3, d  theo thứ tự lập thành cấp số nhân Tổng a + d A B C 10 D 12 Câu 10: Có cấp số nhân gồm bốn phần tử mà tổng chúng 45 số hạng thứ tư bốn lần số hạng thứ 2? A B C D Câu 11: Trong cấp số nhân có số hạng dương, hiệu số hạng thứ năm thứ tư 576, hiệu số hạng thứ hai số hạng đầu Tổng số hạng cấp số nhân A 768 B 1024 C 1023 D 1061 Câu 12: Ba số  x;3; y theo thứ tự lập thành cấp số cộng, ba số 1, x, y theo thứ tự lập thành cấp số nhân Biết x  , tích x y A B – 27 C – D Trang 27 � x yz a4 � Câu 13: Cho số x0 , y0 , z0 nghiệm hệ phương trình �2 x  y  z  2a  Các giá trị dương � x  y  z   2a � a để x0 , y0 , z0 lập thành cấp số nhân A a  B a  C a  D a  Câu 14: Tất giá trị thực tham số m để phương trình x  3mx   m  1 x   có ba nghiệm phân biệt lập thành cấp số nhân A m   1 B m   1 C m  1 D m  1 Câu 15: Ba số a, b, c theo thứ tự số hạng thứ nhất, số hạng thứ hai số hạng thứ ba cấp số nhân, đồng thời số hạng thứ nhất, số hạng thứ hai số hạng thứ tư cấp số cộng có công sai 10 Giá trị a A a  Câu 16: Cho ba số B a  10 C a  10 D a   10 sin   ,cos  , tan  theo thứ tự lập thành cấp số nhân, với  � �0 Khi giá trị cos 2 A B C  D  Câu 17: Cho hình vng  C1  có cạnh a Người ta chia cạnh hình vng thành bốn phần nối điểm chia cách thích hợp để có hình vng  C2  hình vẽ Từ hình vng  C2  lại tiếp tục làm ta nhận dãy hình vuông C1 , C2 , C3 , , Cn Gọi Si diện tích hình vng Ci  i � 1, 2,3,   Đặt T  S1  S  S3   S n  Biết T  32 Giá trị a A a  B a  C a  D a  2 Câu 18: Người ta thiết kế tháp gồm 11 tầng Diện tích bề mặt tầng nửa diện tích mặt tầng bên diện tích mặt tầng nửa diện tích đế tháp Biết diện tích đáy tháp 12288m , diện tích mặt A 8m B 6m C 12m D 10m Câu 19: Một khu rừng có trữ lượng gỗ 6.10  m  Biết tốc độ sinh trưởng rừng 4,5% năm Hỏi sau 10 năm, khu rừng có m3 gỗ (làm trịn đến hàng đơn vị)? A 931782m3 B 931781m3 C 891657m3 D 891658m3 Trang 28 Câu 20: Bạn An thả bóng cao su từ độ cao 10m theo phương thẳng đứng Mỗi chạm đất lại nảy lên theo phương thẳng đứng với độ cao độ cao trước Tổng quãng đường bóng đến bóng dừng A 40 m B 70 m C 50 m D 80 m Câu 21: Cho ba số thực dương a, b, c ba số hạng liên tiếp cấp số nhân đồng thời thỏa mãn điều kiện 1 a 2b c  Giá trị biểu thức P    3 a b c a b c A P  C P  B P  2 D P  Câu 22: Cho tam giác ABC cân đỉnh A, biết độ dài cạng đáy BC, đường cao AH cạnh bên AB theo thứ tự lập thành cấp số nhân với công bội a Giá trị q A 2 2 B 2 2 C 1 D 1 Câu 23: Cho bốn số a, b, c, d theo thứ tự tạo thành cấp số nhân với công bội khác Biết tổng ba số 148 , đồng thời theo thứ tự chúng số hạng thứ nhất, thứ tư thứ tám cấp số cộng Giá trị biểu thức T  a  b  c  d hạng đầu A T  101 27 B T  100 27 C T   100 27 D T   101 27 Câu 24: Tam giác mà ba đỉnh ba trung điểm ba cạnh tam giác ABC gọi tam giác trung bình tam giác ABC Ta xây dựng dãy tam giác A1 B1C1 , A2 B2C2 , A3 B3C3 , cho A1 B1C1 tam giác cạnh với số nguyên dương n �2 , tam giác An BnCn tam giác trung bình tam giác An 1 Bn1Cn1 Với số nguyên dương n, kí hiệu Sn tương ứng diện tích hình trịn ngoại tiếp tam giác An BnCn Giá trị tổng S  S1  S   S n A S  15 C S  B S  4 9 D S  5 Câu 25: Cho hình vng ABCD có cạnh a có diện tích S1 Nối trung điểm A1 , B1 , C1 , D1 theo thứ tự cạnh AB, BC, CD, DA ta hình vng thứ hai có diện tích S2 Tiếp tục làm thế, ta hình vng thứ ba A2 , B2 , C2 , D2 có diện tích S3 , tiếp tục làm thế, ta tính hình vng có diện tích có diện tích S , S5 , , S100 (tham khảo hình vẽ bên) Giá trị tổng có diện tích S  S1  S  S3   S100 A S  a  2100  1 2100 B S  a  2100  1 299 Trang 29 a2 C S  100 D S  a  299  1 298 Câu 26: Tổng cấp số nhân lùi vơ hạn  un  có u1  u1 , u3 , u4 theo thứ tự ba số hạng liên tiếp cấp số cộng 1 A B 1 C 1 D Câu 27: Với giá trị tham số m phương trình x  mx  x   có ba nghiệm thực lập thành cấp số nhân? A m  B m  3 C m  D m  4 Câu 28: Các giá trị m để phương trình x  x   m  1 x   m  1  có ba nghiệm lập thành cấp số nhân A m  1, m  3, m  4 B m  1, m  13, m  4 C m  1, m  3, m  D Khơng có giá trị m ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI BẢI TẬP TỰ LUYỆN DẠNG 1-B 11-C 21-D 2-C 12-C 22-C 3-C 13-C 23-C 4-C 14-B 24-B 5-A 15-C 25-B 6-C 16-D 26-B 7-B 17-A 27-B 8-D 18-B 28-D 9-B 19-A 10-C 20-B Câu 1: Ba số x;3 x  3;5 x  theo thứ tự ba số hạng liên tiếp cấp số nhân nên x  1 � 2 x  x     3x   � x  x   � � � x  (do x �1) �x  Với x = 9, suy q  3.9  30   2.9 18 250 Số hạng cấp số nhân  5.9    3 Câu 2: Ta có x   4   9   36 � x  �6 Câu 3: � �x Ta có � � ��x  �   2   18   36 � x  �6 � �y  54 � � � xy   18   324 �x  6 � � � �y  54 Câu 4: Trang 30 2 Ta có x  x  � x  � x  � Câu 5: Vì x, y, z theo thứ tự lập thành cấp số nhân với công bội q khác nên y  x.q; z  x.q (1) Các số x, 2y, 3z theo thứ tự lập thành cấp số nhân nên x  z  y (2) �q  Thay (1) vào (2) x  xq  xq � x  3q  4q  1  � 3q  4q   � � � q � Vì q �1 nên q  2 Câu 6: Để ba số x  a; x  b; x  c theo thứ tự lập thành cấp số nhân  x  b b  ac   x  a   x  c  � x  2bx  b  x   a  c  x  ac �  2b  a  c  x  ac  b � x  a  2b  c 2 2 Câu 7: 1 1 1 ; x; � x� cấp số nhân x  125 125 25 Câu 8: số x  2; x  1;3  x cấp số nhân  x  1   x     x  � x  x    x  x  � x  3x   (vơ nghiệm) Vậy khơng có giá trị x thỏa mãn đề Câu 9: Gọi m cơng sai cấp số cộng Khi b  a  m; c  a  2m, d  a  3m � � a  1  c  3   b  1 Do a  1, b  1, c  3, d  theo thứ tự lập thành cấp số nhân nên �  b  1  d     c  3 � � a 1 �2a   m � � ��m  Thay b  a  m; c  a  2m, d  a  3m vào hệ rút gọn ta � � 4a  m �� m  2 �� Thử lại ta thấy có trường hợp a  1, m  thỏa mãn Vậy a  d  2a  3m  Câu 10: Trang 31 � q4 1 u  45 �q  0; u1  45 � q 1 �S  45 � �� �� Ta có � � q  2; u1  u  u q  � �4 � � q  2; u1  95 u1.q  4u1.q � �2 � � q  � � Câu 11: u5  u4  576 � u1.q  u1.q  576 q  q 576 � � �  � q  64 � q  � u1  � � u  u  q  u q  u  � � 1 Vậy tổng số hạng đầu S5  u1 q5   1023 q 1 Câu 12: Ba số  x,3, y theo thứ tự lập thành cấp số cộng nên  x  y  (1) Ba số 1, x, y theo thứ tự lập thành cấp số nhân nên x  y (2) �x  2 � x y  8 Từ (1), (2) x  suy � �y  Câu 13: Giải hệ phương trình ta x0  a3 5a  ; y0  2; z0  6 Để x0 , y0 , z0 theo thứ tự lập thành cấp số nhân x0 z0  y0 �a  a  5a  �  � 5a  24a  117  � � 39 � 6 a � Do a  nên a  Câu 14: Giả sử phương trình cho có ba nghiệm phân biệt x1 , x2 , x3 Khi x1 x2 x3  Mà x1 x3  x2 nên x2  3 Do ta có  m   2.3m � m   Thử lại với m   Vậy m   1 thấy thỏa mãn 1 1 Câu 15: Theo đề ta có a  u1 ; b  u2  u1  10; c  u4  u1  30 Theo tính chất cấp số nhân, ta có b  a.c �  u1  10   u1  u1  30  � u1  10 � a  10 Câu 16: Trang 32 Theo giả thiết ta có  sin    cos  � cos   cos    � cos   sin  tan    cos   �       6.cos  2 Từ cos 2   cos      2 Câu 17: Cạnh hình vng  C2  2 � �1 � a 10 a2  � � a � � a �  �4 � �4 � 5 Do diện tích S  a  S1 8 Cạnh hình vng  C3  2 � 10 � �3 � �1 � a2 10  a2 � a3  � a2 � � a2 �  �4 � � �4 � �4 � � � �5 � Do diện tích S3  � �a  S2 �8 � Lý luận tương tự ta có S1 ; S ; S3 ; ; S n tạo thành dãy cấp số nhân lùi vơ hạn có u1  S1 công bội q  Vậy T  S1 8a 32   � a  � a  (do a  0) 1 q 3 Câu 18: Ta nhận thấy diện tích mặt tầng lập thành cấp số nhân với công bội q  Số hạng đầu u1  12288 Khi mặt tầng 11 ứng với u12 11 �1 � Do u12  u1.q  1288 � �  �2 � 11 Câu 19: Đặt u0  6.10 r  4,5%  0, 045 Gọi un trữ lượng gỗ khu rừng sau năm thứ n Khi ta có un 1  un   r  , n �� Suy  un  cấp số nhân với số hạng đầu u0 công bội q   r Do số hạng tổng quát cấp số nhân  un  un  u0   r  10 Sau 10 năm, khu rừng có u10  u0 q  6.10   0,045  n 10  931781, 653  m3  �931782  m3  gỗ Câu 20: Trang 33 Các quãng đường bóng xuống tạo thành cấp số nhân lùi vơ hạn có u1  10 q  Tổng quãng đường bóng xuống S u1 10   40 1 q 1 Tổng quãng đường bóng (cả lên xuống) đến bóng dừng S  10  80  10  70(m) Câu 21: Ta có a 2b2 c a  b3  c a b c  �   2 2 2 3 2 a b c abc bc ca ab Mặt khác a, b, c ba số hạng liên tiếp cấp số nhân nên ac  b Do a b c a b c 1 1  2  2  2       �P bc ca ab ac b a c a b c Câu 22: Đặt BC  a; AB  AC  b; AH  h Theo giả thiết ta có a, h, b lập thành cấp số nhân, suy h  ab Mặt khác, tam giác ABC cân đỉnh A nên h  ma2  Do b2  b2 a  b  b2 a   ab � a  4ab  4b  � a  2  b  Lại có b  q a nên q   b 22 1    a 2 2 Câu 23: � � ac  b � Ta có � bd  c � 148 �a  b  c  �  1  2  3 Cấp số cộng có u1  a, u4  b, u8  c Gọi x công sai cấp số cộng Vì cấp số nhân có công bội khác nên x �0 b  a  3x � Ta có � c  a  7x � (4) Từ (1) (4) suy a  a  x    a  3x  � ax  x  Do x �0 nên a  x Từ (3) (4), suy 3a  10 x  148 Trang 34 � � 16 � �b  �a  � � � 64 Do � � �c  �x  � � � 256 d � � � 27 � Vậy T  a  b  c  d  100 27 Câu 24: Vì dãy tam giác A1 B1C1 , A2 B2C2 , A3 B3C3 , tam giác nên bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác cạnh nhân 3 Với n = tam giác A1 B1C1 có cạnh nên đường tròn ngoại tiếp tam giác A1 B1C1 có bán kính � 3� R1  � S1   � � � � � � Với n = tam giác A2 B2C2 có cạnh nên đường trịn ngoại tiếp tam giác A2 B2C2 có bán 2 � 3� � S2   � kính R2  � � � �2 � Với n = tam giác A3 B3C3 có cạnh nên đường tròn ngoại tiếp tam giác A3 B3C3 có bán � 3� � S3   � kính R3  � � � �4 � n1 �1 � Như tam giác An BnCn có cạnh � � nên đường trịn ngoại tiếp tam giác An BnCn có bán �2 � n 1 n 1 � �1 � 3� �1 � kính Rn  � � � Sn   � � � � �2 � � � �2 � � � Khi ta dãy S1 ; S2 ; S3 ; ; S n cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu u1  S1  3 công bội q  Trang 35 Do tổng S  S1  S   S n  u1  4 1 q Câu 25: Ta có S1  a ; S  a ; S3  a , Do S1 , S , S3 , , S100 cấp số nhân với số hạng đầu u1  S1  a công bội q  Suy S  S1  S  S3   S100 2 100  q n a   1  S1  1 q 299 Câu 26:  un  cấp số nhân lùi vơ hạn có cơng bội q, suy q  u3  u1.q  q ; u4  u1.q  q Mà u1 , u3 , u4 theo thứ tự ba số hạng liên tiếp cấp số cộng nên u1  u4  2.u3 3 2 Từ ta có  q  2.q � q  2.q   �  q  1  q  q  1  � q  q   � 1 q � � q  1 �� (vì q  ) � 1 q � � Vậy S u1  1 q 1   1 1 1 Câu 27: �x1  x2  x3  m Ta chứng minh x1 ; x2 ; x3 nghiệm phương trình x  mx  x   � � x1 x2 x3  Thật x  mx  x    x  x1   x  x2   x  x3  �x  x  x  m � x  mx  x   x   x1  x2  x3  x   x1 x2  x2 x3  x3 x1  x  x1x2 x3 � �1 � x1 x2 x3  Điều kiện cần: Phương trình x  mx  x   có ba nghiệm thực x1  x2  x3 lập thành cấp số 3 nhân � x1.x3  x2 � x1.x2 x3  x2 �  x2 � x2  Vậy phương trình x  mx  x   phải có nghiệm Thay x  vào phương trình ta có m  3 x  4 � � x  (thỏa yêu cầu toán) Điều kiện đủ: Thử lại với m  3 ta có x  3x  x   � � � x  1 � Câu 28: Giả sử phương trình có ba nghiệm phân biệt lập thành cấp số nhân Trang 36 � x1 x3  x22 m 1 � � x2   Khi � x1  x2  x3  2 �x x  x x  x x  m  1 2 3 � Thay vào phương trình ta m  1, m  3, m  4 Thay giá trị m vào phương trình ta thấy khơng có giá trị m thỏa mãn yêu cầu toán Trang 37 ... 3n  �� 3n ? ?3 � Trang Suy un   n 2 cấp số nhân với công bội q  Câu 13: Dãy u1 ; u3 ; u5 ; cấp số nhân công bội q Dãy 3u1 ;3u2 ;3u3 ; cấp số nhân công bội 3q Dãy 1 1 ; ; ; cấp số nhân công... nhân với u1  3, q   Số 222 số hạng thứ cấp số nhân? Trang 14 A Số hạng thứ 11 B Số hạng thứ C Số hạng thứ 12 D Không thuộc cấp số nhân �u4  u2  54 Câu 33 : Cho cấp số nhân có � Số hạng u1... u1  9 q  2 Câu 35 : Cho cấp số nhân có u1  3; q  2 Số 192 số hạng thứ cấp số nhân? A Số hạng thứ B Số hạng thứ C Số hạng thứ D Số hạng thứ �u1  u3  Câu 36 : Cho cấp số nhân  un  có cơng