Bài 3 hàm số mũ – hàm số LÔGARIT

CHUYÊN ĐỀ BÀI HÀM SỐ MŨ – HÀM SỐ LÔGARIT Mục tiêu  Kiến thức + Nắm vững khái niệm tính chất hàm số mũ, hàm số lơgarit + Trình bày áp dụng cơng thức tìm đạo hàm hàm số mũ, hàm số lôgarit + Nhận biết dạng đồ thị hàm số mũ, hàm số lôgarit  Kĩ + Biết cách vận dụng tính chất hàm số mũ, hàm số lôgarit vào việc so sánh hai số, hai biểu thức chứa mũ lôgarit + Biết cách vẽ đồ thị hàm số mũ, hàm số lơgarit + Tìm đạo hàm hàm số mũ, hàm số lôgarit I LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM Hàm số mũ Định nghĩa x Hàm số y = a ( a > 0; a ≠ 1) gọi hàm số mũ số a Tập xác định x Hàm số y = a ( a > 0; a ≠ 1) có tập xác định ¡ Đạo hàm Hàm số y = a ( a > 0; a ≠ 1) có đạo hàm x x (a )'=a x ln a (a )'=a u ln a.u ' x u x x Đặc biệt: ( e ) ' = e lim a x = 0, lim a x = +∞ ( a > 1) ; x →−∞ x →+∞ lim a x = +∞, lim a x = ( < a < 1) x →−∞ x →+∞ Sự biến thiên • Khi a > hàm số ln đồng biến • Khi < a < hàm số nghịch biến Đồ thị Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang trục Ox qua điểm ( 0;1) , ( 1; a ) nằm phía trục hồnh Trang Hàm số lôgarit Định nghĩa Hàm số y = log a x ( a > 0; a ≠ 1) gọi hàm số lôgarit số a Tập xác định Tập xác định: ( 0;+∞ ) Đạo hàm Hàm số y = log a x ( a > 0; a ≠ 1) có đạo hàm x dương ( log a x ) ' = x ln a Đặc biệt: ( ln x ) ' = x Giới hạn đặc biệt lim log a x = −∞, lim log a x = +∞ ( a > 1) ; x → 0+ x →+∞ lim log a x = +∞, lim log a x = −∞ ( < a < 1) x →+∞ x → 0+ Sự biến thiên • Khi a > hàm số ln đồng biến • Khi < a < hàm số nghịch biến Đồ thị Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng trục Oy qua điểm ( 1;0 ) , ( a;1) nằm bên phải trục tung Nhận xét: Đồ thị hàm số y = a x y = log a x ( a > 0, a > 1) đối xứng với qua đường thẳng y = x Ứng dụng Lãi đơn số tiền lãi tính số tiền gốc mà khơng tính số tiền lãi số tiền gốc sinh ra, tức tiền lãi kì hạn trước khơng tính vào vốn để tính lãi cho kì hạn kế tiếp, cho dù đến kì hạn người gửi khơng đến rút tiền Cơng thức tính: Khách hàng gửi vào ngân hàng A đồng với lãi đơn r (% / kì hạn) số tiền khách hàng nhận vốn lẫn lãi sau n kì hạn ( n ∈ ¥ * ) là: S n = A + nAr = A ( + nr ) Lãi kép tiền lãi kì hạn trước người gửi khơng rút Trang tính vào vốn để tính lãi cho kì hạn sau Cơng thức tính: Khách hàng gửi vào ngân hàng A đồng với lãi S  n = log ( 1+ r )  n ÷;  A kép r (% / kì hạn) số tiền khách hàng nhận vốn lẫn lãi sau r% = n kì hạn ( n ∈ ¥ * ) là: S n = A ( + r ) A= n Tiền gửi hàng tháng: Mỗi tháng gửi số tiền vào thời gian cố định Cơng thức tính: Đầu tháng, khách hàng gửi vào ngân hàng số tiền A đồng với lãi kép r (% / tháng) số tiền khách hàng nhận vốn lẫn lãi sau n tháng ( n ∈ ¥ * ) (nhận tiền cuối tháng, ngân hàng tính lãi) Sn Ta có S n = A n ( + r ) − 1 ( + r ) r n Sn − 1; A Sn (1+ r) n  S n r  n = log ( 1+ r )  + 1÷;  A( + r ) ÷    S n r  n = log ( 1+ r )  + 1÷;  A( + r ) ÷   S n r A= n ( + r ) ( + r ) − 1 Gửi ngân hàng rút tiền gửi hàng tháng Gửi ngân hàng số tiền A đồng với lãi suất r (% / tháng) Mỗi tháng vào ngày ngân hàng tính lãi, rút số tiền X đồng r n Cơng thức tính: X =  A ( + r ) − Sn  n (1+ r) −1 Khi số tiền cịn lại sau n tháng Sn = A ( + r ) n − X (1+ r) n −1 r Vay vốn trả góp: Vay ngân hàng số tiền A đồng với lãi suất r (% / tháng) Sau tháng kể từ ngày vay, bắt đầu hoàn nợ; hai lần hoàn nợ cách tháng, hoàn nợ số tiền X đồng trả hết tiền nợ sau n tháng Công thức tính: Cách tính số tiền cịn lại sau n tháng giống hồn tồn cơng thức tính gửi ngân hàng rút tiền hàng tháng nên ta có Sn = A ( + r ) n (1+ r) −X n −1 r Để sau n tháng trả hết nợ S n = nên A( + r ) n (1+ r) −X r n −1 =0 A ( + r ) r n Suy lần hoàn nợ số tiền X = (1+ r) n −1 Trang Bài toán tăng lương: Một người lãnh lương khởi điểm A (đồng/tháng) Cứ sau n tháng lương người tăng thêm r (% / tháng) Hỏi sau kn tháng, người lĩnh tiền? Cơng thức tính: Lương nhận sau kn tháng S kn (1+ r) = An k −1 r Bài toán tăng trưởng dân số Cơng thức tính tăng trưởng dân số: Xm = Xn (1+ r) m−n , m, n ∈ ¢ + , m ≥ n Trong đó: r % tỉ lệ tăng dân số từ năm n đến năm m; X m dân số năm m, X n dân số năm n Từ ta có cơng thức tính tỉ lệ tăng dân số r % = m − n Xm −1 Xn Lãi kép liên tục Gửi vào ngân hàng A đồng với lãi kép r (% / năm) số tiền nhận vốn lẫn lãi sau n năm ( n ∈ ¥ * ) là: S n = A ( + r ) n Giả sử ta chia năm thành m kì hạn để tính lãi lãi suất kì hạn r % số tiền thu sau n năm là: m m n r  S n = A 1 + ÷  m Khi tăng số kì hạn năm lên vơ cực, tức m → +∞ , gọi hình thức lãi kép liên tục người ta chứng minh số tiền nhận gốc lẫn lãi là: S = Ae n.r (công thức tăng trưởng mũ) Trang SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA HÀM SỐ MŨ với x Luôn đồng biến Tập xác định Đạo hàm với x Luôn nghịch biến Hàm số Hàm số Tiệm cận ngang Ox Đồ thị Luôn qua điểm Nằm phía Ox y ' > ∀x > Ln đồng biến HÀM SỐ LƠGARIT Tập xác định Đạo hàm y ' < ∀x > Luôn nghịch biến Hàm số Hàm số Tiệm cận đứng Oy Đồ thị Luôn qua điểm Nằm bên phải Oy Trang II CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Đạo hàm, biến thiên hàm số Bài tốn 1: Tìm đạo hàm hàm số mũ – hàm số lôgarit Phương pháp giải Sử dụng công thức đạo hàm hàm số mũ, lôgarit (a )'=a x x ln a; ( a u ) ' = a u ln a.u' 1 ; ( ln x ) ' = x ln a x ( log a x ) ' = Ví dụ mẫu Ví dụ 1: Khẳng định sau sai? x x A ( ) ' = ln C ( log x ) ' = B ( ln x ) ' = x ln x 2x 2x D ( e ) ' = e Hướng dẫn giải Ta có: ( ) ' = ln nên đáp án A x ( ln x ) ' = x nên đáp án B x nên đáp án C x ln ( log3 x ) ' = ( e ) ' = ( x ) '.e 2x 2x = 2.e x nên đáp án D sai Chọn D Ví dụ 2: Tìm đạo hàm hàm số y = 16 x x A y ' = ( x + ) 16 C y ' = 16 x 2 +2 +1 +2 +4 B y ' = x.16 x +2 D y ' = x.42 x ln16 ln ln Hướng dẫn giải x Ta có: y ' = ( x + ) '.16 +2 ln16 = x.16 x +2 4ln = x.4 x +4 ln Chọn D Ví dụ 3: Tìm đạo hàm hàm số f ( x ) = ln ( x + 1) A f ' ( x ) = ln ( x + 1) C f ' ( x ) = x +1 B f ' ( x ) = ln x D f ' ( x ) = 2x x +1 Trang Hướng dẫn giải Ta có: f ' ( x ) (x = + 1) ' x +1 = 2x x +1 Chọn D ( ) Ví dụ 4: Tìm đạo hàm hàm số y = ln + x + A y ' = C y ' = ( x +1 1− x +1 B y ' = ) x +1 1+ x +1 D y ' = ( x +1 1+ x +1 ) 1+ x +1 Hướng dẫn giải Áp dụng công thức ( ln u ) ' = ( ( )) y ' = ln + x + ' = ( ) Mà + x + ' = u' , ta có u (1+ ) x +1 ' 1+ x +1 1 nên y ' = x +1 1+ x +1 x +1 ( ) Chọn B −x −x Ví dụ 5: Cho hàm số f ( x ) = ln ( e + xe ) Giá trị f ' ( ) A B C −1 D −2 D 3ln Hướng dẫn giải Ta có f ' ( x ) = (e −x + xe − x ) ' e − x + xe− x Suy f ' ( ) = − = −e − x + e− x − xe− x x =− −x −x e + xe 1+ x 2 =− 1+ Chọn D x Ví dụ 6: Cho hàm số y = log ( + 1) Giá trị y ' ( 1) A 3ln B C 2ln Hướng dẫn giải x Ta có f ( x ) = log ( + 1) ⇒ f ' ( x ) = x ln 2 ⇒ f ' ( 1) = x ( + 1) ln Chọn B Trang Bài toán 2: Xét tính đồng biến, nghịch biến hàm số mũ hàm số lôgarit Phương pháp giải x Hàm số y = a ( a > 0; a ≠ 1) đồng biến a > nghịch biến < a < x 1 Ví dụ: Hàm số y =  ÷ nghịch biến ¡ 2 < Hàm số y = log a x đồng biến a > nghịch Ví dụ: Hàm số y = log a + x đồng biến 0< biến < a < ( 0;+∞ ) 2a + > ⇔ a > −1 Ví dụ mẫu Ví dụ 1: Tìm a để hàm số y = ( 2a − ) nghịch biến ¡ x A thỏa mãn khẳng định Ta loại phương án A D hàm số y = log a x xác định ( 0;+∞ ) x  3 ( 0;+∞ ) Ta loại phương án C, < < nên hàm số y =  ÷ ÷ nghịch biến   Chọn B x Ví dụ 3: Cho hàm số y = ( x − 3) e Khẳng định sau đúng? A Hàm số đồng biến khoảng ( −∞;1) B Hàm số nghịch biến khoảng ( −3;1) C Hàm số nghịch biến khoảng ( 1;+∞ ) Trang D Hàm số đồng biến khoảng ( −1;3) Hướng dẫn giải x x x Ta có: y ' = x.e + ( x − 3) e = e ( x + x − ) x = y' = ⇔   x = −3 Bảng xét dấu: −∞ x y + -3 - +∞ + ’ Chọn B Bài tập tự luyện dạng Bài tập Câu 1: Cho hàm số y = e x sin x Khẳng định sau đúng? B y '− y = y " A y ' = e x cos x Câu 2: Cho hàm số y = e ax + bx + c C y " = ( y '− y ) D y " = −2e x cos x đạt cực trị x = đồ thị hàm số cắt trục tung điểm có tung độ e Giá trị hàm số x = A y ( ) = B y ( ) = e Câu 3: Cho hàm số y = A y '+ xy" = − x2 C y ( ) = e e2 ln x , khẳng định sau đúng? x B y '+ xy" = x2 x Câu 4: Cho hàm số y = log ( + x ) , biết y ' ( 1) = A D y ( ) = B C y '+ xy" = − x2 D y '+ xy" = x2 a + với a, b ∈ ¢ Giá trị a + b b ln C D π x Câu 5: Tìm đạo hàm hàm số y = f ( x ) = x π điểm x = A f ' ( 1) = π B f ' ( 1) = π + ln π C f ' ( 1) = π + π ln π D f ' ( 1) = Câu 6: Tìm đạo hàm hàm số y = log x A y ' = x ln B y ' = x ln10 C y ' = x ln10 D y ' = ln10 x Câu 7: Cho hàm số f ( x ) = ln x Tìm đạo hàm hàm số g ( x ) = log ( x f ' ( x ) ) Trang A g ' ( x ) = x B g ' ( x ) = x ln ln x C g ' ( x ) = x ln D g ' ( x ) = Câu 8: Cho hàm số y = ecos x Khẳng định sau đúng? A y 'cos x + y.sin x + y " = B y 'sin x + y.cos x + y " = C y 'sin x − y ".cos x + y ' = D y 'cos x − y.sin x − y " = Câu 9: Hàm số y = x.e − x đạt cực trị A x0 = e C x0 = B x0 = e D x0 = x2 Câu 10: Cho hàm số y = x.e − Khẳng định sau đúng? A xy = ( + x ) y ' B xy ' = ( + x ) y C xy = ( − x ) y ' D xy ' = ( − x ) y Câu 11: Hàm số sau đồng biến ¡ ? x 3 A y =  ÷ π  x x  2+ 3 B y =  ÷ ÷   x  3 C y =  ÷ ÷   π   D y =  ÷  2+ 3 Câu 12: Các giá trị thực tham số a để hàm số y = log M x, M = a − nghịch biến tập xác định A < a < B a = C − < a < −2; < a < D a = Câu 13: Với giá trị tham số a hàm số y = ( a − 3a + 3) đồng biến? x A a = C a ∈ ( 1;2 ) B a = Câu 14: Cho a, b hai số thực thỏa mãn a A < a < 1, < b < B < a < 1, b > 2 > a ;log b D a ∈ ( −∞;1) ∪ ( 2; +∞ ) < log b Mệnh đề sau đúng? C a > 1, < b < D a > 1, b > ) ( 2 Câu 15: Giá trị nhỏ hàm số f ( x ) = x + − x ln x + x + đoạn [ −1;1] A B Câu 16: Đối với hàm số y = ln A xy '+ = −e y −1 C ( − ln + ) D − ln ( ) −1 Khẳng định sau đúng? x +1 B xy '− = −e y Câu 17: Đạo hàm hàm số y = C xy '+ = e y D xy '− = e y e x − e− x e x + e− x Trang 10 Câu 18: Cho f ( x ) = A 9x Nếu a + b = f ( a ) + f ( b ) 9x + B C D 9x Câu 19: Cho hàm số f ( x ) = , x ∈ ¡ Nếu a + b = f ( a ) + f ( b − ) có giá trị + 9x A B C D Câu 20: Hàm số y = log ( x − x ) có điểm cực trị? A B C D Câu 21: Cho ba số thực dương a,b,c khác Đồ thị hàm số y = log a x , y = log b x , y = log c x cho hình vẽ sau: Mệnh đề đúng? A b < c < a B a < b < c C c < a < b D a < c < b Câu 22: Đường cong hình bên đồ thị hàm số bốn hàm số liệt kê bốn phương án A, B, C, D đây? A y = ( ) x C y = + x 1 B y =  ÷ 2 x 1 D y =  ÷ 3 Câu 23: Đường cong hình bên đồ thị hàm số x bốn hàm số liệt kê bốn phương án A, B, C, D đây? x A y = −2 x 1 B y =  ÷ 2 x C y = x 1 D y = −  ÷ 2 Trang 25 Câu 24: Đường cong hình bên đồ thị hàm số bốn hàm số liệt kê bốn phương án A, B, C, D đây? A y = log x B y = log ( x + 1) C y = log x + D y = log ( x + 1) Câu 25: Cho hàm số y = ( 2) x có đồ thị Hình Đồ thị Hình hàm số đây? Hình Hình A y = ( 2) x B y = − ( 2) x C y = ( 2) x D y = − ( 2) x Câu 26: Cho hàm số y = x có đồ thị ( C ) Hàm số sau có đồ thị đối xứng với ( C ) qua đường thẳng y = x ? B y = log x A y = 5− x C y = − log x D y = −5− x Câu 27: Cho hàm số y = có đồ thị ( C ) Hàm số sau có đồ thị đối xứng với ( C ) qua đường x thẳng y = x ? A y = log x B y = log x x C y = log  ÷ 2 D y = log x Câu 28: Cho hàm số y = − log x có đồ thị ( C ) Hàm số sau có đồ thị đối xứng với ( C ) qua đường thẳng y = x ? B y = 2− x A y = x C y = 2− x x D y = 2 Câu 29: Đối xứng qua trục hoành đồ thị hàm số y = log x đồ thị đồ thị có phương trình sau đây? A y = log x x B y = x C y = log x 1 D y =  ÷ 2 Trang 26 Dạng 4: Bài tập lãi suất Ví dụ mẫu Ví dụ 1: Một người gửi tiết kiệm số tiền 80 000 000 đồng với lãi suất Ghi nhớ: 6,9% năm Biết tiền lãi hàng năm cộng vào tiền gốc, hỏi Khách hàng gửi vào ngân sau năm người rút tiền gốc lẫn tiền lãi gần với số hàng A đồng với lãi kép r (% / sau đây? kì hạn) số tiền khách hàng A 105370000 đồng B 111680000 đồng nhận vốn lẫn lãi sau C 107667000 đồng D 116570000 đồng n kì hạn ( n ∈ ¥ *) là: Hướng dẫn giải Sn = A ( + r ) Gọi A số tiền gửi ban đầu, r lãi suất hàng năm n Số tiền gốc lãi sau năm thứ S1 = A + A.r = A ( + r ) Số tiền gốc lãi sau năm thứ hai S = S1 + S1.r = A ( + r ) … Số tiền gốc lãi người rút sau năm S5 = A.( + r ) = 80000000 ( + 6,9% ) ≈ 111680799 (đồng) 5 Chọn B Ví dụ 2: Một người gửi ngân hàng 100 triệu với lãi suất 0,5% Từ công thức lãi kép tháng Biết không rút tiền khỏi ngân hàng sau tháng, số tiền lãi cộng vào vốn ban đầu để tính lãi cho tháng Sau tháng, người có nhiều 125 triệu? A 45 tháng B 46 tháng C 47 tháng S n = A ( + r ) , ta suy n S  n = log ( 1+ r )  n ÷  A D 44 tháng Hướng dẫn giải Sau n tháng, tổng số tiền gốc lãi là: 100 ( + 0,5% ) n Theo đề bài: 100 ( + 0,5% ) > 125 ⇔ n > log ( 1+ 0,5%) n 125 ≈ 44,74 100 Vậy sau 45 tháng, người có nhiều 125 triệu Chọn A Ví dụ 3: Bác Toản gửi số tiền 58 triệu đồng vào ngân hàng theo Từ cơng thức lãi kép hình thức lãi kép ổn định tháng lĩnh 61758000 S n = A ( + r ) , ta có n đồng Hỏi lãi suất ngân hàng hàng tháng bao nhiêu? Biết lãi suất r= không thay đổi thời gian gửi A 0.8% B 0,6% C 0,7% n Sn −1 A D 0,5% Hướng dẫn giải Trang 27 Gọi r lãi suất tiền gửi ngân hàng theo tháng A, S n số tiền gửi ban đầu số tiền sau n = tháng Áp dụng công thức lãi kép ta có S n = A ( + r ) ⇔ 61758000 = 58000000 ( + r ) n ⇔r= 9 61758000 − ≈ 7.10−3 = 0, 7% 58000000 Vậy lãi suất ngân hàng hàng tháng 0,7% Chọn C Ví dụ 4: Để đủ tiền mua nhà, anh An vay ngân hàng 500 triệu theo Bài tốn vay vốn trả góp: phương thức trả góp với lãi suất 0,85% tháng Nếu sau tháng, Vay ngân hàng số tiền A kể từ thời điểm vay, anh An trả nợ cho ngân hàng số tiền cố định 10 đồng với lãi suất r (% / triệu đồng bao gồm tiền lãi vay tiền gốc Biết phương thức trả lãi tháng) Sau tháng kể gốc không thay đổi suốt trình anh An trả nợ Hỏi sau bao từ ngày vay, bắt đầu hoàn nợ; hai lần hoàn nợ cách nhiêu tháng anh trả hết nợ ngân hàng? A 65 B 66 C 67 D 68 tháng, hoàn nợ số tiền X đồng trả hết Hướng dẫn giải Đặt A = 500 triệu số tiền vay, X = 10 triệu số tiền trả tháng r = 0,85% lãi suất ngân hàng, n số tháng anh An phải trả hết nợ tiền nợ sau n tháng Cách tính số tiền cịn lại sau n tháng là: Sn = A ( + r ) Theo đề bài: Cuối tháng thứ anh An nợ số tiền n (1+ r) −X n −1 r Để sau n tháng trả hết A + Nr − X = A ( + r ) − X nợ Cuối tháng thứ hai anh An nợ số tiền  A ( + r ) − X  +  A ( + r ) − X  r − X = A ( + r ) − X ( + r ) + 1 A( + r ) n (1+ r) −X n −1 r Cuối tháng thứ ba anh An nợ số tiền Suy  A ( + r ) − X  ( + r ) + 1  ( + r ) − X = A ( + r ) − X  ( + r ) + ( + r ) + 1       X  n = log ( 1+ r )  ÷  X − Ar  =0 … Cuối tháng thứ n anh An nợ số tiền A ( + r ) − X ( + r )  n n −1 + (1+ r) n −2 + + ( + r ) + 1  Để sau n tháng, anh An trả hết nợ A ( + r ) − X ( + r )  n n −1 + (1+ r) ⇔ A ( + r ) = X ( + r )  n n −1 n −2 + (1+ r) + + ( + r ) + 1 =  n−2 + + ( + r ) + 1  Trang 28 ⇔ A( + r ) n (1+ r) =X n −1 r X  X  ⇔ n = log ( 1+ r )  ÷ X − Ar  X − Ar  ⇔ (1+ r) = n 10   Áp dụng ta có: n = log ( 1+ 0,0085)  ÷ ⇔ n ≈ 65,38  10 − 500.0,0085  Vậy anh An phải trả vòng 66 tháng Chọn B Ví dụ 5: Bác An có 400 triệu đồng mang gửi tiết kiệm hai kì hạn khác theo hình thức lãi kép Bác gửi 200 triệu đồng theo kì hạn quý với lãi suất 2,1% q; 200 triệu cịn lại bác gửi theo kì hạn tháng với lãi suất 0,73% tháng Sau gửi năm, bác rút tất số tiền loại kì hạn theo quý gửi theo tháng Hỏi sau năm kể từ gửi tiền lần đầu, bác An thu tất tiền lãi? (kết làm trịn đến hàng phần nghìn) A 75,304 triệu đồng B 75,303 triệu đồng C 470,656 triệu đồng D 475,304 triệu đồng Hướng dẫn giải Công thức tính lãi kép S n = A ( + r ) n Tổng số tiền bác An thu sau năm theo kì hạn quý là: S1 = 200 ( + 2,1% ) triệu đồng Tổng số tiền bác An thu sau năm theo kì hạn tháng là: S = 200 ( + 0,73% ) 12 triệu đồng Tổng số tiền bác An thu sau năm S1 + S2 triệu đồng Tổng số tiền bác An thu sau năm S = ( S1 + S2 ) ( + 0,73% ) 12 = 475,304 triệu đồng Vậy tiền lãi bác An thu sau năm L = S − 400 = 75,304 triệu đồng Chọn A Ví dụ 6: Một người vay ngân hàng số tiền 350 triệu đồng, tháng trả góp triệu đồng lãi suất cho số tiền chưa trả 0,79% tháng Kì trả cuối tháng thứ Hỏi số tiền phải trả kì cuối để người hết nợ ngân hàng? (làm trịn đến hàng nghìn) A 2921000 đồng B 7084000 đồng Trang 29 C 2944000 đồng D 7140000 đồng Hướng dẫn giải Kì trả cuối tháng thứ nên toán vay vốn trả góp cuối kì Gọi A số tiền vay ngân hàng, B số tiền trả chu kì, d = r % lãi suất cho số tiền chưa trả chu kì, n số kì trả nợ Số tiền cịn nợ ngân hàng (tính lãi) chu kì sau: + Đầu kì thứ A + Cuối kì thứ A ( + d ) − B + Cuối kì thứ hai  A ( + d ) − B  ( + d ) − B = A ( + d ) − B ( + d ) + 1 + Cuối kì thứ ba  A ( + d ) − B  ( + d ) + 1  ( + d ) − B = A ( + d ) − B  ( + d ) + ( + d ) + 1      … + Theo giả thiết quy nạp, cuối kì thứ n A ( + d ) − B ( + d )  n n −1 + + ( + d ) + 1 = A ( + d )  n (1+ d ) −B n −1 d Vậy số tiền cịn nợ (tính lãi) sau n chu kì A( + d ) n (1+ d ) −B n d −1 Người trả hết nợ ngân hàng A ( + d ) n − B ( ⇔ 350.1,0079n − 1+ d ) −1 n d =0 1,0079n − = ⇔ n ≈ 53,9 0,0079 Tức phải 54 tháng người trả hết nợ Cuối tháng thứ 53, số tiền cịn nợ (tính lãi) S53 = 350.1,007953 − 1,007953 − (triệu đồng) 0,0079 Kì trả nợ cuối tháng thứ 54, phải trả số tiền S53 lãi số tiền S53 + 0,0079.S53 = S53 1,0079 ≈ 7,139832 (triệu đồng) Trang 30 Chọn D Ví dụ 7: Ơng A vay dài hạn ngân hàng 300 triệu, với lãi suất 12% năm Ơng muốn hồn nợ cho ngân hàng theo cách: Sau năm kể từ ngày vay, ơng bắt đầu hồn nợ, hai lần hoàn nợ liên tiếp cách năm, số tiền hoàn lần trả hết nợ sau năm kể từ ngày vay Hỏi theo cách đó, số tiền m mà ơng A phải trả cho ngân hàng lần hoàn nợ bao nhiêu? Biết lãi suất ngân hàng khơng thay đổi thời gian ơng A hồn nợ A m = 36 ( 1,12 ) ( 1,12 ) 4 (triệu đồng) −1 36 ( 1,12 ) − B m = 36 ( 1,12 ) 300 ( 1,12 ) C m = ( 1,12 ) (triệu đồng) D m = ( 1,12 ) −1 (triệu đồng) ( triệu đồng) Hướng dẫn giải Số tiền nợ sau năm thứ nhất: T1 = 300 ( + 12% ) − m = 300 p − m , với p = + 12% = 1,12 Số tiền nợ sau năm thứ hai: T2 = ( 300 p − m ) p − m = 300 p − mp − m Số tiền nợ sau năm thứ ba: T3 = ( 300 p − mp − m ) p − m = 300 p − mp − mp − m Trả hết nợ sau năm thứ tư: ( 300 p − mp − mp − m ) p − m = ⇔ 300 p − mp − mp − mp − m = ⇔ 300 p − m ( p + p + p + 1) = ⇔ 300 p (p − m − 1) p −1 = ⇔ 300 ( 1,12 ) 300 ( 1,12 ) ( 0,12 ) ⇔m= Vậy m = ( 1,12 ) 36 ( 1,12 ) ( 1,12 ) −1 ⇔m= ( 1,12 ) − 1  = m  0,12 36 ( 1,12 ) ( 1,12 ) 4 −1 −1 Chọn A Ví dụ 8: Một người đầu tháng gửi vào ngân hàng T triệu đồng với Bài toán tiền gửi ngân hàng: lãi suất kép 0,6% tháng Biết cuối tháng thứ 15 số tiền gốc lẫn Đầu tháng, khách hàng lãi thu 10 triệu đồng Hỏi số tiền T gần với số gửi vào ngân hàng số tiền A Trang 31 số sau đây? đồng với lãi kép r (% / tháng) A 535000 đồng B 635000 đồng số tiền khách hàng nhận C 613000 đồng D 643000 đồng vốn lẫn lãi sau n ( n ∈ ¥ *) Hướng dẫn giải tháng Sau tháng gửi số tiền gốc lãi thu T ( + r ) cuối tháng, ngân hàng Sau tháng thứ hai số tiền gốc lãi thu tính lãi) Sn = T (1+ r) + T (1+ r) (nhận tiền A n ( + r ) − 1 ( + r ) r … Sau tháng thứ 15, số tiền gốc lãi thu T (1+ r) + T (1+ r) n n −1 + + T ( + r ) Để số tiền gốc lẫn lãi thu 10 triệu đồng T ( + r ) + T ( + r ) + + T ( + r ) = 10000000 15 ⇔ T (1+ r) 14 (1+ r) 15 −1 r = 10000000 ⇒ T ≈ 635.000 (đồng) Chọn B Ví dụ 9: Một huyện A có 100 000 dân Với mức tăng dân số bình qn Cơng thức tính tăng trưởng 1,8% năm sau năm dân số vượt 150 000 dân dân số: A 22 B 23 C 27 D 28 Hướng dẫn giải Giả sử sau n năm dân số vượt 150 000 dân Xm = Xn (1+ r) ( m, n ∈ ¢ + m−n , m ≥ n) Trong đó: r % tỉ lệ tăng dân Áp dụng công thức: X ' = X ( + r ) n 150000  X ' = 22,72796911 Suy n = log1+ r  ÷ = log1+1,8% 100000  X  Chọn B số từ năm n đến năm m; X m dân số năm m, X n dân số năm n Ví dụ 10: Tỉ lệ tăng dân số hàng năm Việt Nam trì mức 1,05% Theo số liệu Tổng cục Thống kê, dân số Việt Nam năm 2014 90728900 người Với tốc độ tăng dân số vào năm 2030, dân số Việt Nam là: A 106118331 người B 198049810 người C 107232574 người D 108358516 người Hướng dẫn giải Áp dụng công thức: X 2030 = X 2014 ( + r ) n Trang 32 Trong đó: X 2014 = 90728900; r = 1, 05; n = 16 Ta dân số đến hết năm 2030 là: X 2030 = 107232574 Chọn C Ví dụ 11: Trong vật lý, phân rã chất phóng xạ biểu diễn T công thức: m ( t ) = m0  ÷ , m0 khối lượng ban đầu 2 chất phóng xạ (tại thời điểm t = ); T chu kì bán rã (tức khoảng thời gian để nửa khối lượng chất phóng xạ bị biến thành chất khác) Chu kì bán rã Cabon 14 C khoảng 5730 năm Cho trước mẫu Cabon có khối lượng 100g Hỏi sau khoảng thời gian t khối lượng cịn gam? 5730 A m ( t ) = 100  ÷ 2 − B m ( t ) = 100.e − t ln 5730 − 100 t 5730 100 t 5730 C m ( t ) = 100  ÷ 2 D m ( t ) = 100.e Hướng dẫn giải T Theo công thức: m ( t ) = m0  ÷ ta có: 2 t 5730 m ( t ) = 100 Chọn A Ví dụ 12: Cường độ ánh sáng qua mơi trường khác khơng khí (chẳng hạn sương mù, nước,…) giảm dần tùy thuộc độ dày mơi trường số µ gọi khả hấp thu môi trường, tùy thuộc mơi −µ x trường khả hấp thu tính theo công thức I = I 0e với x độ dày mơi trường tính đơn vị mét Biết nước biển có µ = 1,4 Hãy tính cường độ ánh sáng giảm từ độ sâu 2m xuống đến 20m? A e 25,2 B e 22,5 C e32,5 D e52,5 Hướng dẫn giải Cường độ ánh sáng thay đổi từ độ sâu x1 đến độ sâu x2 là: Trang 33 I1 I 0e − µ x1 = = e µ ( x2 − x1 ) − µ x2 I I 0e Thay x1 = 2; x2 = 20, µ = 1,4 ta có I1 = e 25,2 I2 Chọn A Bài tập tự luyện dạng Câu 1: Một người gửi vào ngân hàng 50 triệu đồng thời hạn 15 tháng, lãi suất 0,6% tháng (lãi kép) Khi hết kỳ hạn số tiền người nhận A 55,664000 triệu B 54,694000 triệu C 55,022000 triệu D 54,368000 triệu Câu 2: Một người gửi ngân hàng 50 triệu đồng theo hình thức lãi kép kỳ hạn năm với lãi suất 7% năm Hỏi sau năm người có tiền gốc lãi? A 70,13 triệu đồng B 65,54 triệu đồng C 61,25 triệu đồng D 65,53 triệu đồng Câu 3: Một học sinh A 15 tuổi hưởng tài sản thừa kế 200 000 000 đồng Số tiền bảo quản ngân hàng B với kì hạn tốn năm học sinh A nhận số tiền 18 tuổi Biết 18 tuổi, số tiền mà học sinh A nhận 231525000 đồng Vậy lãi suất kì hạn năm ngân hàng B bao nhiêu? A 8% B 7% C 6% D 5% Câu 4: Một ô tô mua năm 2016 với giá 800 triệu đồng Cứ sau năm, giá ô tô bị giảm 5% Hỏi đến năm 2020, giá tiền tơ cịn khoảng bao nhiêu? A 651605000 đồng B 685900000 đồng C 619024000 đồng D 760000000 đồng Câu 5: Ông An gửi vào ngân hàng 60 triệu đồng theo hình thức lãi kép Lãi suất ngân hàng 8% năm Sau năm ông An tiếp tục gửi thêm 60 triệu đồng Hỏi sau 10 năm kể từ lần gửi ông An đến rút toàn tiền gốc tiền lãi bao nhiêu? (Biết lãi suất không thay đổi qua năm ông gửi tiền) A.231,815 (triệu đồng) B 197,201 (triệu đồng) C 217,695 (triệu đồng) D 190,271 (triệu đồng) Câu 6: Một người vay ngân hàng 90000000 đồng theo hình thức trả góp năm Mỗi tháng người phải trả số tiền Giả sử lãi suất tồn q trình trả nợ khơng đổi 0,8% tháng Tổng số tiền người phải trả tồn q trình trả nợ A 103320000 đồng B 101320000 đồng C 105320000 đồng D 103940000 đồng Câu 7: Anh Minh gửi vào ngân hàng 50 triệu đồng với lãi suất 0,6% tháng Sau tháng, anh Minh đến ngân hàng rút tháng triệu đồng để chi tiêu hết tiền thơi Sau số trịn tháng anh Minh rút hết tiền gốc lẫn lãi Biết suốt thời gian đó, ngồi số tiền rút tháng, anh Minh không rút thêm đồng kể gốc lẫn lãi lãi suất không đổi Vậy tháng cuối anh Minh rút số tiền (làm tròn đến đồng)? Trang 34 A 1840270 đồng B 3000000 đồng C 1840269 đồng D 1840268 đồng Câu 8: Bác Tuấn gửi tiết kiệm 75 triệu đồng vào ngân hàng theo kì hạn quý với lãi suất 1,77% quý Nếu Bác Tuấn không rút lãi tất định kì sau năm Bác Tuấn nhận số tiền vốn lẫn lãi bao nhiêu? Biết hết kì hạn lãi cộng vào vốn để tính lãi kì A 90930000 đồng B 92690000 đồng C 92576000 đồng D 80486000 đồng Câu 9: Một sinh viên muốn có 12 triệu đồng để mua laptop nên tháng gửi vào ngân hàng 250000 đồng với lãi suất 0,72% tháng Hỏi sau tháng đủ tiền mua laptop? A 41 B 36 C 42 D 37 Câu 10: Cô Ngọc vay ngân hàng số tiền với lãi suất 1% tháng Cơ muốn hồn nợ cho ngân hàng theo cách: Sau tháng kể từ ngày cho vay, bắt đầu hồn nợ, hai lần hoàn nợ liên tiếp cách tháng, số tiền hoàn nợ tháng triệu đồng cô trả hết nợ sau năm kể từ ngày vay (số tiền hoàn nợ tháng cuối triệu đồng) Biết tháng ngân hàng tính lãi số dư nợ thực tế tháng Hỏi số tiền mà cô Ngọc vay ngân hàng số số đây? A 224 triệu đồng B 222 triệu đồng C 221 triệu đồng D 225 triệu đồng Câu 11: Để đủ tiền mua nhà, anh An vay ngân hàng 500 triệu đồng theo phương thức trả góp với lãi suất 0,85% tháng Nếu sau tháng, kể từ thời điểm vay, anh An trả nợ cho ngân hàng số tiền cố định 10 triệu đồng bao gồm tiền lãi vay tiền gốc Biết phương thức trả lãi gốc không thay đổi suốt trình anh An trả nợ Hỏi sau tháng anh trả hết nợ ngân hàng? A 68 B 66 C 65 D 67 Câu 12: Một người vay ngân hàng 200 triệu đồng với lãi suất 0,6% tháng theo thỏa thuận: Sau tháng kể từ ngày vay ơng bắt đầu trả nợ đặn tháng người trả cho ngân hàng triệu đồng hết nợ (biết rằng, tháng cuối trả triệu đồng) Hỏi sau tháng người trả hết nợ ngân hàng? A 24 B 23 C 22 D 25 Câu 13: Ông Tuấn đầu tư 500 triệu đồng để mua xe ô tô chở khách Sau mua, thu nhập bình quân tháng 10 triệu đồng (sau trừ khoản chi phí khác) Tuy nhiên năm giá trị xe lại giảm 10% so với năm trước Tổng số tiền lãi sau năm kinh doanh ông Tuấn bao nhiêu? A 480 triệu đồng B 308,05 triệu đồng C 328,05 triệu đồng D Lỗ 171,95 triệu đồng Câu 14: Anh Hòa gửi ngân hàng 3350000 đồng, theo phương thức lãi đơn với lãi suất 0,4% nửa năm Hỏi anh rút vốn lẫn lãi 4020000 đồng? A năm B 30 tháng C năm D 24 tháng Câu 15: Một khách hàng gửi tiết kiệm 64 triệu đồng, với lãi suất 0,85% tháng Hỏi người phải tháng để số tiền gốc lẫn lãi không 72 triệu đồng? Trang 35 A 13 B 14 C 15 D 18 Câu 16: Anh Ngọc muốn vay ngân hàng 200 triệu đồng theo phương thức trả góp (trả tiền vào cuối tháng) với lãi suất 0,75% tháng Hỏi hàng tháng, anh Ngọc phải trả số tiền (làm trịn đến nghìn đồng) để sau năm trả hết nợ ngân hàng? A 9236000 đồng B 9137000 đồng C 9970000 đồng D 9971000 đồng Câu 17: Một người nhận hợp đồng dài hạn làm việc cho công ty với mức lương khởi điểm tháng ba năm triệu đồng/tháng Tính từ ngày đầu làm việc, sau ba năm liên tiếp tăng lương 10% so với mức lương tháng người hưởng Nếu tính theo hợp đồng tháng năm thứ 16 người nhận mức lương bao nhiêu? A 6.1,14 (triệu đồng) B 6.1,16 (triệu đồng) C 6.1,15 (triệu đồng) D 6.1,116 (triệu đồng) Câu 18: Một người đầu tháng gửi vào ngân hàng khoản tiền T theo hình thức lãi kép với lãi suất 0,6% tháng Đến cuối tháng thứ 15 người có số tiền 10 triệu đồng Hỏi số tiền T gần với số tiền số sau? A 535000 đồng B 635000 đồng C 643000 đồng D 613000 đồng Câu 19: Một người nhận hợp đồng dài hạn làm việc công ty với lương năm đầu 72 triệu đồng, sau năm tăng lương 10% Nếu tính theo hợp đồng sau 21 năm, người nhận tổng số tiền công ty A 216 ( 1,1 − 1) (triệu đồng) B 7200 ( 1,1 − 1) (triệu đồng) C 720 ( 1,1 − 1) (triệu đồng) D 2160 ( 1,1 − 1) (triệu đồng) Câu 20: Một người vay ngân hàng 200 triệu đồng với lãi suất 0,6% tháng theo hình thức lãi kép với thỏa thuận: sau tháng kể từ ngày vay ơng bắt đầu trả nợ đặn tháng người trả cho ngân hàng triệu đồng hết nợ (biết rằng, tháng cuối trả triệu đồng) Hỏi sau tháng người trả hết nợ ngân hàng? A 25 B 24 C 22 D 23 Câu 21: Một người gửi tiền tiết kiệm vào ngân hàng với lãi suất 6,1% năm Biết không rút tiền khỏi ngân hàng sau năm số tiền lãi nhập vào gốc tính lãi cho năm Hỏi sau năm người thu số tiền lãi số tiền gửi ban đầu, giả định thời gian lãi suất không thay đổi người khơng rút tiền ra? A 12 năm B 11 năm C 10 năm D 13 năm Câu 22: Một khách hàng gửi ngân hàng 20 triệu đồng, kì hạn tháng, với lãi suất 0,65% tháng theo phương thức lãi kép Hỏi sau vị khách có số tiền lãi nhiều số tiền gốc ban đầu gửi ngân hàng? Giả sử người khơng rút lãi tất định kì A năm 11 tháng B 19 tháng C 18 tháng D năm Trang 36 Câu 23: Một người vay ngân hàng số tiền 400 triệu đồng, tháng trả góp 10 triệu đồng lãi suất cho số tiền chưa trả 1% tháng Kì trả cuối tháng thứ Biết lãi suất khơng đổi suốt q trình gửi, hỏi số tiền cịn phải trả kì cuối để người hết nợ ngân hàng? (làm tròn đến hàng nghìn) A 2921000 đồng B 3387000 đồng C 2944000 đồng D 7084000 đồng Câu 24: Mỗi tháng bà A gửi vào ngân hàng khoản tiền không đổi với lãi suất cố định 0,4% tháng Ba năm rưỡi kể từ ngày gửi khoản tiền đầu tiên, bà A rút toàn số tiền để mua xe Số tiền nhận lấy đến hàng nghìn 91635000 đồng Hỏi khoản tiền gửi tháng bà A bao nhiêu? A 2000000 đồng B 1800000 đồng C 1500000 đồng D 2500000 đồng Câu 25: Dân số giới cuối năm 2010, ước tính tỉ người Hỏi với mức tăng trưởng dân số 1,5% năm cuối năm 2020 dân số giới bao nhiêu? A 8,12 tỉ người B 8,05 tỉ người C tỉ người D 8,10 tỉ người Câu 26: Một khu rừng có trữ lượng gỗ 4.105 mét khối Biết tốc độ sinh trưởng rừng 4% năm Hỏi sau 10 năm khu rừng có số mét khối gỗ gần với số nào? A 5,9.105 B 5,92.105 C 5,93.105 D 5,94.105 Câu 27: Để đo độ phóng xạ chất phóng xạ β − người ta dùng máy đếm xung Khi chất phóng xạ hạt β − , hạt đập vào máy làm máy xuất xung điện đếm tăng thêm đơn vị Ban đầu máy đếm 960 xung phút sau cịn 120 xung phút (trong điều kiện) Hỏi chu kì bán rã chất giờ? A B C 0,5 D 1,5 Câu 28: Áp suất khơng khí P (đo milimet thủy ngân, kí hiệu mmHg) suy giảm mũ so với độ cao x xi (đo mét), tức P giảm theo công thức: P = P0e , P0 = 760mmHg áp suất mực nước biển ( x = ) , i hệ số suy giảm Biết rằng, độ cao 1000m áp suất khơng khí 672,72 mmHg Hỏi áp suất khơng khí độ cao 12km bao nhiêu? (các kết giữ lại sau dấu thập phân chữ số) A 178,8176855 B 176,8176855 C 177,8176855 D 175,8176855 Câu 29: Người ta thả số bèo vào hồ nước, sau 10 số lượng bèo sinh sơi kín mặt hồ Biết sau số lượng tăng gấp 10 lần số lượng bèo trước tốc độ tăng không đổi Hỏi sau khoảng thời gian số lượng bèo phủ kín tối thiểu phần tư hồ? A 10 − log (giờ) B 10log (giờ) C + 10log (giờ) D 10 − 10log (giờ) Trang 37 Câu 30: Chu kì bán rã nguyên tố phóng xạ ponoli 210 138 ngày (nghĩa sau 138 ngày khối lượng ngun tố cịn nửa) Thời gian phân rã phóng xạ ponoli 210 để từ 20 gam cịn lại 2, 22.10−15 gam gần với đáp án nhất? A Khoảng 18 năm B Khoảng 21 năm C Khoảng 19 năm D Khoảng 20 năm Trang 38 BÀI HÀM SỐ MŨ – HÀM SỐ LÔGARIT Dạng 1: Đạo hàm, biến thiên hàm số 1-C 11 - B 21 - D 31 - D 2-B 12 - C 22 - B 32 - C 3-A 13 - D 23 - B 33 - A 4-B 14 - B 24 - B 34 - A 5-B 15 - C 25 - A 35 - D 6-C 16 - C 26 - D 36 - D 7-B 17 - A 27 - D 37 - B 8-B 18 - A 28 - D 38 - C 9-C 19 - D 29 - C 39 - C 10 - D 20 - D 30 - C Dạng 2: Tập xác định hàm số chứa mũ – lôgarit 1-C 11 - A 2-C 12 - C 3-C 13 - B 4-B 14 - D 5-C 15 - A 6-D 16 - A 7-C 17 - A 8-D 9-D 10 - D 4-A 14 - C 24 - D 5-A 15 - D 25 - C 6-B 16 - D 26 - B 7-C 17 - B 27 - A 8-C 18 - A 28 - C 9-D 19 - C 29 - A 10 - B 20 - C 4-A 14 - B 24 - A 5-C 15 - B 25 - A 6-D 16 - B 26 - B 7-A 17 - C 27 - A 8-C 18 - B 28 - D 9-C 19 - D 29 - A 10 - D 20 - B 30 - D Dạng 3: Đồ thị hàm số 1-A 11 - A 21 - A 2-C 12 - D 22 - D 3-D 13 - A 23 - A Dạng 4: Lãi suất ngân hàng 1-B 11 - B 21 - A 2-B 12 - A 22 - D 3-D 13 - B 23 - B Trang 39 ... Trang 38 BÀI HÀM SỐ MŨ – HÀM SỐ LÔGARIT Dạng 1: Đạo hàm, biến thiên hàm số 1-C 11 - B 21 - D 31 - D 2-B 12 - C 22 - B 32 - C 3- A 13 - D 23 - B 33 - A 4-B 14 - B 24 - B 34 - A 5-B 15 - C 25 - A 35 ... xác định hàm số chứa mũ – lôgarit Bài tốn Tìm tập xác định hàm số chứa mũ – lôgarit Phương pháp giải x Hàm số y = a ( a > 0; a ≠ 1) có tập xác định ¡ Ví dụ: Tìm tập xác định D hàm số y = log... BÀI TẬP Dạng 1: Đạo hàm, biến thiên hàm số Bài tốn 1: Tìm đạo hàm hàm số mũ – hàm số lôgarit Phương pháp giải Sử dụng công thức đạo hàm hàm số mũ, lôgarit (a )'=a x x ln a; ( a u ) ' = a u ln