Bài 3 GIÁ TRỊ lớn NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT của hàm số

BÀI GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ Mục tiêu  Kiến thức + Biết hiểu định nghĩa giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số + Biết phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ khoảng, đoạn + Nhận biết mối liên hệ hàm số y  f  x  , y  f  u  x   , biết bảng biến thiên  x hàm số y  f  x  , đồ thị hàm số y  f  x  đồ thị hàm số y  f �  Kĩ + Biết lập, đọc bảng biến thiên hàm số để từ tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ + Tính đạo hàm hàm số hợp, nhận biết mối liên hệ hàm số y  f  x  , y  f  u  x   , biết bảng biến thiên hàm số y  f  x  , đồ thị hàm số y  f  x  đồ thị hàm số y  f �  x + Biết chuyển tốn tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức nhiều khảo sát hàm biến số + Tìm GTLN, GTNN hàm số y  f  x  , y  f  u  x   , y  f  u  x   �h  x  … biết bảng  x  biến thiên đồ thị hàm số y  f  x   y  f � Trang I LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM Cho hàm số y  f  x  xác định tập D +) Số M gọi giá trị lớn (GTLN) hàm số y  f  x  tập D f  x  �M với x �D tồn x0 �D cho f  x0   M f  x Kí hiệu: M  max D +) Số m gọi giá trị nhỏ (GTNN) hàm số y  f  x  tập D f  x  �m với x �D tồn x0 �D cho f  x0   m f  x Kí hiệu: m  D SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA Số M gọi giá trị lớn (GTLN) hàm số y  f  x  tập D f  x  �M với x �D tồn x0 �D cho f  x0   M f  x Kí hiệu: M  max D Cho hàm số y  f  x  xác định tập D Số m gọi giá trị nhỏ (GTNN) hàm số y  f  x  tập D f  x  �m với x �D tồn x0 �D cho f  x0   m f  x Kí hiệu: m  D Trang II CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Tìm GTLN – GTNN hàm số y = f(x) khoảng Phương pháp giải Ta thực bước sau Ví dụ: Giá trị nhỏ hàm số y  x3  x  khoảng (0; 2) A B C D -1 Hướng dẫn giải Hàm số liên tục khoảng (0; 2)  3x2  Ta có y � Bước Tìm tập xác định (nếu đề chưa cho khoảng) x  1 � y�  � 3x  � � x 1 �  f�  x  ; tìm điểm mà đạo Bước Tính y � Vì ta xét hàm số khoảng (0; 2) nên ta loại hàm không không xác định giá trị x  1 Xét bảng biến thiên hàm số khoảng (0; 2) Bước Lập bảng biến thiên Từ bảng biến thiên suy giá trị nhỏ hàm y  1 đạt x  số  0;  Bước Kết luận Chọn D Lưu ý: Có thể dùng máy tính cầm tay để giải Bước Để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số y  f  x  miền (a; b) ta sử dụng máy tính Casio với lệnh MODE (MODE lập bảng giá trị) Bước Quan sát bảng giá trị máy tính hiển thị, giá trị lớn xuất max, giá trị nhỏ xuất - Ta thiết lập miền giá trị biến x Start a End b Step ba (có thể làm trịn để Step đẹp) 19 Trang Chú ý: Khi đề liên có yếu tố lượng giác sinx, cosx, tanx… ta chuyển máy tính chế độ Radian Ví dụ mẫu Ví dụ Cho hàm số f  x    x  x  x  x  Khẳng định sau đúng? A max f  x   17 30 B max f  x   C max f  x   67 30 D Hàm số không tồn giá trị lớn � � � 47 30 Hướng dẫn giải Tập xác định D  �  x   2 x5  x  x     x  1  x  1 Ta có f �  x   �   x  1  x  1  � x  Khi f � Bảng biến thiên Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy max f  x   � 47 x  30 Chọn B Ví dụ Gọi a giá trị lớn hàm số f  x   Khi giá trị biểu thức P  A 22 B  8x khoảng  �; 1 x2   8a a2  13 C  58 65 D  74 101 Hướng dẫn giải Hàm số liên tục khoảng  �; 1  x  Ta có f � x  12 x  x  1 Trang x  � �; 1 � � � Khi f  x   � x  12 x   � � x   � �; 1 � Bảng biến thiên Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy max f  x   � P   �; 1  8a 58  a 1 65 Chọn C Ví dụ Cho hàm số y  f  x   x2  x  Trong khẳng định sau, khẳng định đúng? x2  x  1 f  x  A � B f  x   f  x  C � D Hàm số khơng có giá trị nhỏ � Hướng dẫn giải Tập xác định D  � Ta có  x  x  1  x  x  1 2x 2x  y  f  x   � y�   2 x  x 1  x2  x  1  x  x  1  � x   � x  �1 Do y � Bảng biến thiên Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy f  x   � x  Bài tập tự luyện dạng Trang Câu 1: Giá trị nhỏ hàm số y  y 8 A  2;  x2 (2; 6) x2 y4 B  2;  Câu 2: Giá trị nhỏ hàm số y  y3 A min 1; � y 3 C  2;  y9 D  2;  x2  x  khoảng  1;  � x 1 y 1 B min 1; � y2 C min 1; � Câu 3: Mệnh đề sau với hàm số y  x 1 x2  y0 D min 1; � tập xác định nó? A Hàm số khơng có giá trị lớn khơng có giá trị nhỏ B Hàm số khơng có giá trị lớn có giá trị nhỏ C Hàm số có giá trị lớn có giá trị nhỏ D Hàm số có giá trị lớn khơng có giá trị nhỏ Câu 4: Giá trị nhỏ hàm số y  x  A không tồn   1 x  khoảng  0;  � C 1  B -3 D ĐÁP ÁN 1-A 2-A 3-D 4-B Trang Dạng 2: Tìm GTLN GTNN hàm số đoạn Phương pháp giải  x Bước Tính f �  xi   f �  xi  khơng xác định Bước Tìm điểm xi � a; b  mà f � Bước Tính f  a  , f  xi  , f  b  Bước Tìm số lớn M số nhỏ m số f  x  m  f  x  Khi M  max  a ; b  a ; b Chú ý: � max f  x   f  b  � +) Hàm số y  f  x  đồng biến đoạn [a; b] � f  x   f  a  � � �max f  x   f  a  +) Hàm số y  f  x  nghịch biến đoạn [a; b] � �min f  x   f  b  Bài toán Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số y = f(x) liên tục đoạn [a; b] Ví dụ mẫu Ví dụ Cho hàm số y   x  x  Gọi M, m giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số [0; 3] Giá trị M  m Trang A B 10 C D Hướng dẫn giải Hàm số xác định liên tục [0; 3] � x  � 0; 3  � 3x  x  � � Ta có y � x  � 0; 3 � Khi y    2, y    6, y  3  Vậy M  6; m  � M  m  Chọn A Ví dụ Giá trị lớn hàm số y   x  x  [-1; 2] A 29 B C D 13 D 89 Hướng dẫn giải Hàm số xác định liên tục [-1; 2] � x  � 1; 2 � �  4 x  x  x  x   � y � 0� � x � 1; 2 Ta có y � � � � x � 1; 2 � � � � 13 13 y Vì y    1; y � �2 � � ; y    3; y  1  nên max  1; 2 � � Chọn D Ví dụ Cho hàm số y  A 16 x2 Giá trị x 1 B 45 2 � � y � max y � � � � � 2;   � � � 2; 3 � C 25 Hướng dẫn giải  Ta có y � 3  x  1  0, x �1 , hàm số nghịch biến khoảng  �; 1 ;  1;  � � Hàm số nghịch biến [2; 3] Do y  y  3  ; max y  y     2; 3  2; 3 2 �  �5 �  89 � � Vậy � y max y � 2; 3 � � 2; 3 � � � � � � � �2 � Chọn D Trang Ví dụ Giá trị lớn hàm số f  x   A 15 B x2  8x đoạn [1; 3] x 1 7 C 3 D 4 Hướng dẫn giải x2  8x Hàm số f  x   liên tục [1; 3] x 1 f�  x   x  8  x  1  x  x x  x   2 x     x  1 � x  � 1; 3 f�  x   � x2  2x   � � x  4 � 1; 3 � 7 15 ; y  3  ; y    4 Ta thấy y  1  7 Vậy max f  x    1; 3 Chọn B Ví dụ Gọi M, m giá trị lớn nhỏ hàm số y  x   x Giá trị biểu thức P  M  m A   1 B   1 C 1 D 1 Hướng dẫn giải Tập xác định D   2; 2  1 Ta có y � x  x2   x2  x  x2 , x � 2;  �x �0 y�  �  x2  x � � �x  �2 � 2;  y  2    2; y   0; y    2; y  2   2 Vậy M  2, m  2 � P  2     1 Chọn A Ví dụ Giá trị nhỏ hàm số y  x3  x  m đoạn [0; 5] m A B 10 C D Hướng dẫn giải Hàm số xác định liên tục D   0; 5 Trang x  �D �  � 6x2  6x  � � Ta có y � x  �D � f    m; f  1  m  1; f    175  m f  x   f  1  m  Dễ thấy f    f    f  1 , m �� nên  0; 5 f  x  � m 1  � m  Theo đề  0; 5 Chọn A Ví dụ Gọi A, B giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn hàm số y  giá trị thực tham số m để A  B  x  m2  m đoạn [2; 3] Tất x 1 13 A m  1; m  2 B m  2 C m  �2 D m  1; m  Hướng dẫn giải Hàm số cho liên tục đoạn [2; 3]  Ta có y �   m2  m  1  x  1  0, m � A  y  3  m2  m  ; B  y  2  m2  m  2 Do A  B  13 m2  m  13 �  m2  m   2 m 1 � � 3m  m   � � m  2 � Chọn A Ví dụ Biết hàm số y  x  3mx   2m  1 x  (với m tham số) đoạn [-2; 0] đạt giá trị lớn Các giá trị tham số m A m  B m  C m  D m  1 Hướng dẫn giải  3x  6mx   2m  1  � x  2mx  2m  1� Ta có y � � � x  1 � y� 0� � x   2m � y  nên giá trị lớn không đạt x  2; x  Do Vì y  2   1; y    theo max  2; 0 giá trị lớn đạt y  1 y   2m  Ta có y  1  3m  3, y   2m     2m   m  2  Trang 10 g ( x)  g (1) A  3;3 g ( x )  g (1) B max  3;3 g ( x )  g (3) C max  3;3 D Không tồn giá trị nhỏ g ( x)  3;3 Câu 13: Cho hàm số y  f ( x) có đồ thị y  f ' ( x) hình vẽ 3 Xét hàm số g ( x)  f ( x)  x  x  x  2018 Mệnh đề đúng? g ( x)  g (1) B g ( x)  g (1) A  3;1  3;1 g ( x )  g (3) C  3;1 D g ( x)   3;1 g (3)  g (1) Câu 14: Cho hàm số y  f ( x) ,hàm số f ' ( x) có đồ thị hình vẽ Giá trị nhỏ hàm số g ( x )  A 11 f (1)  19 B 11 f (2 x  1)  (2 x  1)  x khoảng 19 14 f (4)  19 C f (0)  � 5� 0; � � 2� � D 70 f (2)  19 Câu 15: Cho hàm số y  f ( x) Biết hàm số y  f ' ( x) có đồ thị hình vẽ Trên đoạn  4;3 ,hàm số g ( x)  f ( x )  (1  x ) đạt giá trị nhỏ điểm A x0  3 B x0  4 C x0  1 D x0  1-D 2-A 3-A 4-A 5-A 6-C 7-C 8-B 9-B 10-C Trang 50 11-A 12-B 13-A 14-D 15-C Dạng Ứng dụng giá trị lớn nhỏ toán thực tế Ví dụ mẫu Ví dụ Một chất điểm chuyển động theo quy luật s  3t  t Thời điểm t (giây) mà vận tốc v  m / s  chất điểm chuyển động đạt giá trị lớn A t = 2s B t = 5s C t = 1s D t =3s Hướng dẫn giải Ta có v  t   s�  t   6t  3t � v  t   3  t  1  �3, t �� Giá trị lớn v  t   t  Chọn C Ví dụ Một vật chuyển động theo quy luật s   t  6t với t (giây) khoảng thời gian tính từ vật bắt đầu chuyển động s (mét) quãng đường vật di chuyển khoảng thời gian Hỏi khoảng thời gian giây, kể từ bắt đầu chuyển động, vận tốc lớn vật đạt bao nhiêu? A 180 (m/s) B 36 (m/s) C 144 (m/s) D 24 (m/s) Hướng dẫn giải  t   t  12t Ta có v  t   s� v�  t   2t  12  � t  Vì v    36; v    0; v    35 nên vận tốc lớn đạt 36 (m/s) Chọn B Ví dụ Một loại thuốc dùng cho bệnh nhân nồng độ thuốc máu bệnh nhân giám sát bác sĩ Biết nồng độ thuốc máu bệnh nhân sau tiêm vào thể t cho công thức c  t   t  mg / L  Sau tiêm thuốc nồng độ thuốc t 1 máu bệnh nhân cao nhất? A B C D Hướng dẫn giải Xét hàm số c  t   c�  t  1 t2 t  1 t  t  0 t 1 �t    0; 0� � t  1 ϥ  0; �   Bảng biến thiên Trang 51 Với t = (giờ) nồng độ thuốc máu bệnh nhân cao Chọn B Ví dụ Người ta xây bể chứa nước với dạng khối hộp chữ nhật khơng nắp tích 500 m Đáy bể hình chữ nhật có chiều dài gấp đôi chiều rộng Giá thuê nhân công để xây bể 600.000 đồng / m Hãy xác định kích thước bể cho chi phí th nhân cơng thấp Chi phí A 75 triệu đồng B 85 triệu đồng C 90 triệu đồng D 95 triệu đồng Hướng dẫn giải Gọi x  m  chiều rộng đáy bể, chiều dài đáy bể 2x  m  h  m  chiều cao bể Bể tích x h  500 250 �h 3x Diện tích cần xây S   xh  xh   x  x Xét hàm f  x   250 500  2x2   x2 3x x 500 500  x2 ,  x  0 ; f �  x    4x � f �  x  � x  x x Bảng biến thiên f  x   f    150 Do min 0; � Chi phí th nhân cơng thấp diện tích xây dựng nhỏ S  150 Vậy giá thuê nhân công thấp 150.600000 = 90.000.000 đồng Chọn C Trang 52 Ví dụ Bác Hồng có thép mỏng hình trịn, tâm O, bán kính dm Bác định cắt hình quạt trịn tâm O, quấn hàn ghép hai mép hình quạt tròn lại để tạo thành đồ vật dạng mặt nón trịn xoay (tham khảo hình vẽ) Dung tích lớn đồ vật mà bác Hồng tạo bao nhiêu? (bỏ qua phần mối hàn độ dày thép) A 128 3 dm 27 B 128 3 dm 81 C 16 3 dm 27 D 64 3 dm 27 Hướng dẫn giải Khi hàn hai mép hình quạt trịn, độ dài đường sinh hình nón bán kính hình quạt trịn, tức OA  4dm 2 Thể tích hình nón V   r h    16  h  h với  h  3 Ta có V �  h     16  3h2  � V �  h  � h  3 Dựa vào bảng biến thiên, suy thể tích lớn hình nón 128 3 dm Chọn A 27 Ví dụ Người ta làm thùng phi dạng hình trụ, kín hai đáy, với thể tích theo yêu cầu 2 m3 Hỏi bán kính đáy R chiều cao h thùng phi để làm tiết kiệm vật liệu A R  m; h  8m B R  1m; h  2m C R  2m; h  m D R  4m; h  m Hướng dẫn giải Trang 53 Từ giả thiết ta có V   R h  2 � h  R2 Diện tích tồn phần thùng phi 2� � Stp  2 Rh  2 R  2 �R  � R� � Xét hàm số f  R   R  với R � 0; � R 2  R  1 Ta có f � R  R     R2 R2 f�  R  � R  Bảng biến thiên Suy diện tích toàn phần đạt giá trị nhỏ R  � h  Vậy để tiết kiệm vật liệu làm thùng phi R  1m; h  2m Chọn B Ví dụ Một đường dây điện nối từ nhà máy điện A đến hịn đảo C hình vẽ Khoảng cách từ C đến B km Bờ biển chạy thẳng từ A đến B với khoảng cách 4km Tổng chi phí lắp đặt cho 1km dây điện biển 40 triệu đồng, đất liền 20 triệu đồng Tính tổng chi phí nhỏ để hồn thành cơng việc (làm trịn đến hai chữ số sau dấu phẩy) A 120 triệu đồng B 164,92 triệu đồng C 114,64 triệu đồng D 106,25 triệu đồng Hướng dẫn giải Gọi M điểm đoạn thẳng AB để lắp đặt đường dây điện biển nối với điểm C Đặt AM  x � BM   x � CM     x   17  x  x , x � 0; 4 Khi tổng chi phí lắp đặt y  x.20  40 x  x  17 (đơn vị: triệu đồng) Trang 54 y�  20  40 x4 x  x  17  20 x  x  17   x   x  x  17 y�  � x  x  17    x  � x  12  3 � 12  � Ta có y � � � � 80  20 �114, 64; y    40 17 �164,92; y    120 � � Do chi phí nhỏ để hồn thành công việc 114,64 triệu đồng Chọn C Bài tập tự luyện dạng Câu 1: Một vật chuyển động theo quy luật s   t  9t với t (giây) khoảng thời gian tính từ lúc bắt đầu chuyển động s (mét) quãng đường vật khoảng thời gian Hỏi khoảng thời gian 10 giây, kể từ lúc bắt đầu chuyển động, vận tốc lớn vật đạt bao nhiêu? A 216 (m/s) B 30 (m/s) C 400 (m/s) D 54 (m/s) Câu 2: Một đoàn tàu chuyển động thẳng khởi hành từ nhà ga Quãng đường s (mét) đoàn tàu hàm số thời gian t (giây), hàm số s  t  6t Thời điểm t (giây) mà vận tốc v(m/s) chuyển động đạt giá trị lớn A t = 2s B t = 6s C t = 8s D t = 4s Câu 3: Một chất điểm chuyển động có phương trình chuyển động s  t  6t  17t , với t (s) khoảng thời gian tính từ lúc vật bắt đầu chuyển động s (m) quãng đường vật khoảng thời gian Trong khoảng thời gian giây đầu tiên, vận tốc v (m/s) chất điểm đạt giá trị lớn A 29 m/s B 26 m/s C 17 m/s D 36 m/s Câu 4: Độ giảm huyết áp bệnh nhân cho công thức G  x   0, 035 x  15  x  , x liều lượng thuốc tiêm cho bệnh nhân ( x tính miligam) Liều lượng thuốc cần tiêm (đơn vị miligam) cho bệnh nhân để huyết áp giảm nhiều A x = B x = 10 C x = 15 D x = Câu 5: Để thiết kế bể cá khơng có nắp đậy hình hộp chữ nhật có chiều cao 60cm, thể tích 96.000cm3 , người thợ dùng loại kính để sử dụng làm mặt bên có giá thành 70.000 đồng / m loại kính để làm mặt đáy có giá thành 100.000 đồng / m Chi phí thấp để làm bể cá A 28.300 đồng B 38.200 đồng C 83.200 đồng D 83.200 đồng Câu 6: Một hộp có dạng hình hộp chữ nhật tích 48  m  chiều dài gấp đôi chiều rộng Chất liệu làm đáy bốn mặt bên hộp có giá thành gấp ba lần giá thành chất liệu làm nắp hộp Gọi h chiều cao hộp để giá thành làm hộp thấp biết h  m với m, n số nguyên n dương nguyên tố Tổng m + n A 12 B 13 C 11 D 10 Câu 7: Một người thợ xây, muốn xây bồn chứa thóc hình trụ trịn với thể tích 150m3 (như hình vẽ) Đáy làm bê tông, thành làm tôn nắp bể làm nhôm Biết giá thành vật liệu Trang 55 sau: bê tơng 100 nghìn đồng m , tơn 90 nghìn m nhơm 120 nghìn đồng m Chi phí thấp để làm bồn chứa thóc (làm trịn đến hàng nghìn) A 15038000 đồng B 15037000 đồng C 15039000 đồng D 15040000 đồng Câu 8: Một công ty dự kiến chi tỉ đồng để sản xuất thùng đựng sơn hình trụ có dung tích lít Biết chi phí để làm mặt xung quanh thùng 100.000 đồng / m , chi phí để làm mặt đáy 120.000 đồng / m Số thùng sơn tối đa mà công ty sản xuất (giả sử chi phí cho mối nối không đáng kể) A 58135 thùng B 18209 thùng C 12525 thùng D 57582 thùng Câu 9: Một cốc hình trụ có bán kính đáy 2cm, chiều cao 20cm Trong cốc có nước, khoảng cách đáy cốc mặt nước 12cm (hình vẽ) Một quạ muốn uống nước cốc mặt nước phải cách miệng cốc khơng q 6cm Con quạ thơng minh mổ viên đá hình cầu có bán kính 0,6cm thả vào cốc để mực nước dâng lên Để uống nước quạ cần thả vào cốc viên đá? A 30 B 27 C 28 D 29 Câu 10: Một người cần từ khách sạn A bên bờ biển đến đảo C Biết khoảng cách từ đảo C đến bờ biển 10km, khoảng cách từ khách sạn A đến điểm B bờ gần đảo C 40km Người đường thủy đường đường thủy (như hình vẽ bên) Biết kinh phí đường thủy USD/km, đường USD/km Hỏi người phải đường khoảng để kinh phí nhỏ nhất? Trang 56 A 15 km B 10km C 65 km D 40km Câu 11 Một hải đăng đặt vị trí A cách bờ biển khoảng AB = (km) Trên bờ biển có kho vị trí C cách B khoảng 7(km) Người canh hải đăng chèo đị từ A đến vị trí M bờ biển với vận tốc (km/h) từ M đến C với vận tốc (km/h) Vị trí điểm M cách B khoảng gần với giá trị sau để người đến kho nhanh nhất? A 1, 0km B 7, 0km C 4,5km D 2,1km Câu 12 Thầy Toản có gỗ dài 3,2 m Thầy Toản dự định dùng gỗ để thiết kế hình tam giác giống làm kệ trang trí phịng đọc sách, tam giác có cạnh có độ dài 24 cm (coi mẩu cắt bỏ không đáng kể) Tổng diện tích tam giác có giá trị lớn A 40 119cm B 16 119cm2 C 480cm D 960cm Câu 13 Một kĩ sư công ty xăng dầu thuê thiết kế mẫu bồn chứa xăng với thể tích V cho trước, hình dạng hình vẽ bên, kích thước r, h thay đổi cho nguyên vật liệu làm bồn xăng Người kĩ sư phải thiết kế kích thước h để đảm bảo yêu cầu mà công ty xăng dầu đưa ra? A h  B h  C h  V D h  1-D 11-C 2-A 12-D 3-A 13-A V  V 4-B 5-C 6-C 7-A 8-A 9-C 10-C Dạng Ứng dụng giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ việc giải phương trình Trang 57 Bài tốn Tìm m để F  x; m   có nghiệm tập D Phương pháp giải Thực theo bước sau Ví dụ: Có giá trị nguyên tham số m đoạn  100;100 để phương trình x   x  m có nghiệm thực? A 100 Bước Cơ lập tham số m đưa dạng C 102 Hướng dẫn giải f  x  g  m Điều kiện x �1 B.101 D 103 � t �0 Đặt t  x  � � �x  t  Ta phương trình Bước Khảo sát biến thiên hàm số f  x  D 2t  t   m � m  t  2t  Xét hàm số f  t   t  2t  1, t �0 f�  t   2t   � t  Bảng biến thiên Bước Dựa vào bảng biến thiên để xác định giá trị tham số A  m  cho đường thẳng y  g  m  cắt đồ thị hàm số y  f  x  Từ bảng biến thiên suy phương trình cho có nghiệm m �2 � 100 �m �2 Bước Kết luận Vậy có 103 giá trị nguyên m thỏa mãn Chú ý: Chọn D +)Nếu hàm số y  f  x  liên tục có giá trị lớn giá trị nhỏ D phương trình f  x   g  m  có nghiệm f  x  �g  m  �max f  x  D D +)Nếu toán yêu cầu tìm tham số để phương Trang 58 trình có k nghiệm phân biệt, ta cần dựa vào bảng biến thiên để xác định điều kiện cho đường thẳng y  g  m  nằm ngang cắt đồ thị hàm số y  f  x  k điểm phân biệt Ví dụ mẫu Ví dụ Cho phương trình m   x  x    x  x  ( m tham số) Biết tập hợp 0;1  2 � giá trị tham số m để phương trình có nghiệm thuộc đoạn � � �là đoạn  a; b  Giá trị biểu thức T  a  2b B T  A T  D T  C T  Hướng dẫn giải Đặt t  x  x  0;1  2 � Xét hàm số t  x   x  x  đoạn � � � t�  x  x 1 x2  2x  � t�  � x 1   Vì t    2; t  1  1; t  2  nên t � 1;3 Yêu cầu toán tương đương với phương trình m  t  1  t  có nghiệm thuộc đoạn t2  có nghiệm thuộc đoạn  1;3 (1)  1;3 � m  t 1 Xét hàm số f  t   f�  t  t  2t   t  1 t2  đoạn  1;3 t 1  0, t � 1;3 hàm số đồng biến đoạn  1;3 f  t  �m �max f  t  Để phương trình (1) cho có nghiệm  1;3  1;3 ۣ  � � f  1��  m f  3 m 7 Vậy a   ; b  � T  Chọn A �x  y  Ví dụ Giá trị nhỏ tham số m để hệ phương trình � 4 �x  y  m  x, y �� có nghiệm m0 Mệnh đề đúng? Trang 59 A m0 � 20; 15  �3 � C m0 �� ;0 � �2 � B m0 � 12; 8  �1 � D m0 �� ; � �2 � Hướng dẫn giải � x  y   1 Ta có �4 �x  y  m   Từ (1) suy y   x thay vào (2) ta (2) � x    x   m (3) Xét hàm số f  x   x    x  có tập xác định D  � f�  x   x3    x  � f �  x   � x3    x  � x   x � x  3 Bảng biến thiên Hệ cho có nghiệm thực phương trình (3) có nghiệm thực �1 � Dựa vào bảng biến thiên ta m �2 � m0  �� ; � Chọn D �2 � Bài tốn Tìm m để bất phương trình F  x; m   0; F  x; m  �0; F  x, m   0; F  x; m  �0 có nghiệm tập D Phương pháp giải Thực theo bước sau Ví dụ: Các giá trị tham số m để bất phương trình x   �;1 Bước Cô lập tham số m đưa dạng g  m  f  x  g  m  �f  x  g  m  �f  x  g  m   f  x   m �0 có nghiệm khoảng x 1 A m  B m �3 C m �1 D m �3 Hướng dẫn giải Bất phương trình cho tương đương với x �m x 1 Trang 60 Bước Khảo sát biến thiên hàm số Xét hàm số y  x  khoảng  �;1 x 1  x  1  y�  1  2  x  1  x  1 f  x  D �x  � �;1 � y� 0�� x  1 � �;1 � Bảng biến thiên Từ bảng biến thiên, để bất phương trình Bước Dựa vào bảng biến thiên xác định x giá trị tham số m  m �0 có nghiệm khoảng  �;1 x 1 m �3 Chọn B Bước Kết luận Chú ý: Nếu hàm số y  f  x  liên tục có giá trị lớn nhất; giá trị nhỏ D +) Bất phương trình g  m  �f  x  có nghiệm D ۣ g  m  max f  x  D +) Bất phương trình g  m  �f  x  nghiệm x D � g  m f  x  D +) Bất phương trình g  m  �f  x  có nghiệm D ۳ g  m  f  x  D +) Bất phương trình g  m  �f  x  nghiệm x D �۳ g  m max f  x  D Ví dụ mẫu Trang 61 Ví dụ Gọi S tập hợp giá trị nguyên tham số m � 0; 2019 để bất phương trình x2  m   1 x  �0 nghiệm với x � 1;1 Số phần tử tập S A B 2020 C 2019 D Hướng dẫn giải Đặt t   x , với x � 1;1 � t � 0;1 Bất phương trình cho trở thành t  t �۳  m m t t (1) Yêu cầu toán tương đương với bất phương trình (1) nghiệm với t � 0;1  t   3t  2t Xét hàm số f  t   t  t  � f � � t  � 0;1 � f�  t  � � t  � 0;1 � �2 � 23 f  t 1 Vì f    f  1  1; f � � nên max  0;1 �3 � 27 Do bất phương trình (1) nghiệm với t � 0;1 m �1 Mặt khác m số nguyên thuộc  0; 2019 nên m � 1; 2;3; ; 2019 Vậy có 2019 giá trị m thỏa mãn tốn Chọn C Ví dụ Cho hàm số y  f  x  liên tục  1;3 có đồ thị hình vẽ Bất phương trình f  x   x    x �m có nghiệm thuộc  1;3 A m �7 B m �7 C m �2  D m �2  Hướng dẫn giải Xét hàm số P  x    x đoạn  1;3 � 1  x  Ta có P   x  x 1  x 16 P Dấu xảy x  P  x  Suy max  1;3 (1) Trang 62 f  x   x  Mặt khác dựa vào đồ thị f  x  ta có max  1;3  (2)  f  x   x    x  x  Từ (1) (2) suy max  1;3 f  x   x    x �m có nghiệm thuộc Vậy bất phương trình  m �- max f x   1;3 x x   1;3 m Chọn A Bài tập tự luyện dạng Câu 1: Gọi S tập tất giá trị nguyên âm tham số m để phương trình x   x  m có nghiệm Tập S có số phần tử A 10 B C D Câu 2: Có tất giá trị nguyên tham số m để phương trình x  m   x  có hai nghiệm thực phân biệt ? A B Câu 3: Cho phương trình C D x  2mx   x  (m tham số) Gọi p, q giá trị m nguyên nhỏ giá trị lớn thuộc  10;10 để phương trình có nghiệm Khi giá trị T  p  2q A 10 B 19 C 20 D Câu 4: Biết tập hợp tất giá trị tham số m để phương trình x   x   x  x  m có nghiệm thực S   a; b  Tổng a  b A a  b  31 B a  b  49 C a  b  10 Câu 5: Có tất số tự nhiên m để bất phương trình A B D a  b  x    x �m có nghiệm? C Câu 6: Tất giá trị tham số m để bất phương trình x  D   x   x �x  m  nghiệm với x � 2;8 A m �16 B m �15 C m �8 D 2 �m �16 Câu 7: Có số nguyên m � 2018; 2018  để bất phương trình x  x  2m  �2 x x  nghiệm với x � 0;1 A 2017 B 2018 C 2019 D 2020 Câu 8: Tổng giá trị nguyên m � 20; 20  để bất phương trình x2   x   x  2 A 195  m    x  x  có nghiệm B 175 C 165 D 162 � x  x  �0  x, y �� có Câu 9: Có giá trị tham số m � 0; 2018  để hệ phương trình � �x  x  m �0 nghiệm Trang 63 A B C 2014 D 2015 � �x  y  m   1 Câu 10: Cho hệ phương trình � Có giá trị nguyên tham số m � 0; 2019 � xy  y    để hệ phương trình có nghiệm? A 2018 1-C B 2019 2-B 3-B C 2017 4-A 5-D 6-B D 2016 7-A 8-D 9-A 10-A Trang 64 ... có giá trị nhỏ khơng có giá trị lớn [-5; 3) B Hàm số y  f  x  khơng có giá trị nhỏ có giá trị lớn [-5; 3) C Hàm số y  f  x  có giá trị nhỏ có giá trị lớn [-5; 3) D Hàm số y  f  x  có giá. .. thiên sau x �2 x � ? ?3? ?? Mệnh đề đúng? A Hàm số khơng có giá trị nhỏ khoảng  ? ?3;  B Giá trị nhỏ hàm số -5 C Giá trị lớn hàm số D Giá trị lớn hàm số khoảng  ? ?3;  Câu 3: Cho hàm số y  f  x  có... A Giá trị lớn hàm số B Giá trị lớn hàm số C Giá trị nhỏ hàm số -1 D Hàm số giá trị lớn Câu 4: Cho hàm số y  f  x  liên tục  5 ;3? ?? có bảng biến thiên sau Trang 25 Mệnh đề sau đúng? A Hàm số