Đang tải... (xem toàn văn)
CHỦ ĐỀ 6 NGUYÊN HÀM CỦA HÀM LƯỢNG GIÁC A LÝ THUYẾT 1 Một số công thức lượng giác cần nhớ Hằng đẳng thức lượng giác Công thức cộng Công thức nhân đôi Công thức hạ bậc Công thức nhân ba Công thức biến đổi tích thành tổng 2 Một số nguyên hàm lượng giác cơ bản 3 Các dạng nguyên hàm lượng giác thường gặp Dạng 1 Nguyên hàm TH1 Nếu Đặt TH2 Nếu Đặt TH3 Nếu m,n đều chẵn ta dùng công thức hạ bậc Chú ý Đối với nguyên hàm chỉ chứa sinx và cosx dạng Đặt Đặt Dạng 2 Nguyên hàm TH1 Nếu Khi đó ta đặt TH2 Nếu ta.
CHỦ ĐỀ 6: NGUYÊN HÀM CỦA HÀM LƯỢNG GIÁC A LÝ THUYẾT Một số công thức lượng giác cần nhớ 2 Hằng đẳng thức lượng giác: sin x + cos x = 1; 1 = + cot x; = + tan x 2 sin x cos x sin ( a ± b ) = sin a.cos b ± sin b cosb - Công thức cộng: cos ( a ± b ) = cos a.cos b msin a.cos b tan ( a ± b ) = tan a ± tan b mtan a.tan b sin 2a = 2sin a cos a - Công thức nhân đôi: 2 2 cos 2a = cos a − sin a = cos a − = − 2sin a - Công thức hạ bậc: sin a = − cos 2a + cos 2a ;cos a = 2 sin 3a = 3sin a − 4sin a - Công thức nhân ba: cos 3a = cos a − 3cos a - Công thức biến đổi tích thành tổng: cos a.cos b = sin a sin b = cos ( a + b ) + cos ( a − b ) 2 1 cos ( a − b ) − cos ( a + b ) ;sin a.cos b = sin ( a + b ) + sin ( a − b ) 2 Một số nguyên hàm lượng giác I1 = ∫ sin xdx = − cos x + C I = ∫ sin ( ax ) dx = − cos ( ax ) + C a I3 = ∫ cos xdx = sin x + C I = ∫ cos ( ax ) dx = sin ( ax ) + C a − cos 2x x sin 2x I5 = ∫ sin xdx = ∫ dx = − +C 2 + cos 2x x sin 2x I6 = ∫ cos xdx = ∫ dx = + +C 2 dx I7 = ∫ = tan x + C cos x dx I8 = ∫ = tan ( ax ) + C cos ( ax ) a I9 = ∫ dx = − cot x + C sin ( ax ) I10 = ∫ dx = − cot ( ax ) + C sin ( ax ) a sin xdx = − ln cos x + C cos x cos xdx I12 = ∫ cot xdx = ∫ = ln sin x + C sin x I13 = ∫ tan xdx = ∫ − 1÷dx = tan x − x + C cos x I14 = ∫ cot xdx = ∫ − 1÷dx = cot x − x + C sin x I11 = ∫ tan xdx = ∫ Các dạng nguyên hàm lượng giác thường gặp m n Dạng 1: Nguyên hàm I = ∫ sin x.cos xdx 2k n - TH1: Nếu m = 2k + ⇒ I = ∫ sin x.cos x.sin xdx = − ∫ ( − cos x ) cos n xd ( cos x ) → Đặt t = cos x k - TH2: Nếu n = 2k + → Đặt t = s inx - TH3: Nếu m,n chẵn ta dùng công thức hạ bậc Chú ý: Đối với nguyên hàm chứa sinx cosx dạng I = ∫ f ( sin x ) cos xdx = ∫ f ( sin x ) d ( sin x ) → Đặt t = s inx I = ∫ f ( cos x ) sin xdx = − ∫ f ( cos x ) d ( cos x ) → Đặt t = cos x Dạng 2: Nguyên hàm I = ∫ dx sin x.cos n x m sin xdx - TH1: Nếu m = 2k + ⇒ I = ∫ sin 2k + x.cos n x = − ∫ d ( cos x ) ( − cos x ) k +1 cos n x Khi ta đặt: t = cos x - TH2: Nếu n = 2k + → ta đặt t = s inx - TH3: Nếu m,n chẵn ta biến đổi sin x + cos x = sin m x.cos n x sin m x.cos n x Dạng 3: Nguyên hàm lượng giác hàm tanx cotx Các nguyên hàm chứa tanx hay cotx ta thường dùng đẳng thức 1 = + cot x; = + tan x sin x cos x Nguyên hàm mà mẫu số đẳng cấp bậc hai với sinx cosx; A sin x + Bsin x cos + C cos x ta chia tử số mẫu số cho cos x Chú ý: Khi I = ∫ f ( tan x) cos2 x dx = ∫ f ( tan x) d ( tan x) → đặt t=tanx Dạng 4: Nguyên hàm sử dụng công thức biến đổi tích thành tổng ∫ cos ax.cos bxdx = ∫ cos ( a + b ) x + cos ( a − b ) x dx ∫ sin ax.sin bxdx = − ∫ cos ( a + b ) x − cos ( a − b ) x dx ∫ sin ax.cos bxdx = ∫ sin ( a + b ) x + sin ( a − b ) x dx ∫ cos ax.sin bxdx = ∫ sin ( a + b ) x − sin ( a − b ) x dx Dạng 5: Nguyên hàm I = ∫ I=∫ Ta có: ∫ dx a sin x + b cos x + c dx x x x x x x 2a sin cos + b cos − sin ÷+ c sin + cos ÷ 2 2 2 dx dx =∫ x x x x x x x m sin + n sin cos + p cos cos m tan + n tan + p ÷ 2 2 2 2 t = tan x → I = ∫ dt mt + nt + p B VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ 1: Tính nguyên hàm sau: a) I = ∫ sin x.cos xdx b) I = ∫ sin x.cos xdx 2 c) I = ∫ sin x.cos xdx d) I = ∫ sin xdx Lời giải 2 2 a) I = ∫ sin x.cos xdx = − ∫ sin x.cos xd ( cos x ) = − ∫ ( − cos x ) cos xd ( cos x ) t = cos x → I = ∫ ( t − 1) t dt = ∫ ( t − t ) dt = t5 t3 cos5 x cos3 x − +C = − +C 5 3 5 b) I = ∫ sin x.cos xdx = − ∫ sin x.cos xd ( cos x ) = − ∫ ( − cos x ) cos xd ( cos x ) t = cos x → I = ∫ ( t − 1) t 5dt = ∫ ( t − t ) dt = t8 t cos8 x cos x − +C = − +C 8 2 c) I = ∫ sin x.cos xdx = ∫ ( sinx cosx ) dx = = ( sin 2x ) dx ∫ x sin 4x +C ( − cos 4x ) dx = − ∫ 8 32 − cos 2x d) I = ∫ sin xdx = ∫ ( sin x ) dx = ∫ ÷ dx 2 1 + cos 4x − cos 2x + cos 2x ) dx = ∫ 1 − cos 2x + ( ÷dx ∫ 4 3x sin 2x sin 4x = ∫ ( − cos 2x + cos 4x ) dx = − + +C 8 32 = Ví dụ 2: Tính nguyên hàm sau: a) I = ∫ b) I = ∫ cos3 x dx + sin x ( + cos x ) dx sinx c) I = ∫ dx sin x.cos x d) I = ∫ dx sin x.cos x Lời giải − sin x ) d ( sin x ) cos xd ( sin x ) ( cos x sin x a) I = ∫ dx = ∫ =∫ = ∫ ( − sin x ) d ( sin x ) = sin x − +C + sin x + sin x + sin x b) I=∫ 2dx ∫ sin x + ∫ sin x cos x − = ln sin x +C cos x + d ( sin x ) 2d ( cos x ) cos xdx 2sin xdx =∫ +∫ = −∫ + ln sin x sin x sin x sin x − cos x d ( cos x ) dx sin xdx dt t = cos x =∫ = −∫ →I = ∫ 2 2 2 sin x.cos x sin x.cos x t ( t − 1) ( − cos x ) cos x I=∫ c) ( + cos x ) dx = 1 t −1 1 cos x − 1 = ∫ − ÷dt = ln + + C = ln + +C t +1 t cos x + cos x t −1 t d) I = ∫ dx sin x + cos x dx dx = dx = ∫ +∫ 4 2 ∫ sin x.cos x sin x cos x sin x.cos x sin x sin x + cos x sin x + cos x dx + ∫ sin x dx sin x cos x = ∫ + ÷dx + ∫ + cot x ÷dx cos x sin x sin x sin x =∫ cot x = tan x − cot x − ∫ cot xd ( cot x ) = tan x − cot x − +C Ví dụ 3: Tính nguyên hàm sau: a) I = ∫ tan xdx b) I = ∫ tan x dx cos 2x c) I = ∫ sin 2x cos 3xdx d) I = ∫ sin x cos 3xdx Lời giải 2 − ÷dx a) I = ∫ tan xdx = ∫ tan x tan xdx = ∫ tan x cos x =∫ tan x tan x 2 dx − tan xdx = tan xd tan x − − dx = − tan x + x + C ( ) ∫ ÷ ∫ ∫ cos x cos x tan x tan x tan xdx t dt b) t = tan x cos x dx I=∫ dx = ∫ = → I = ∫ 1− t2 cos 2x cos x − sin x ∫ − tan x =∫ t −1+1 t3 t −1 dt = − t + + dt = − − t − ln +C ÷ 2 ∫ 1− t t −1 t +1 ⇒I=− tan t tan t − − tan t − ln +C tan t + c) I = ∫ sin 2x cos 3xdx = d) I = ∫ cos 5x cosx + +C ( sin 5x − sin x ) dx = − ∫ 10 − cos 2x cos 3xdx = ∫ ( cos 3x − cos 2x cos 3x ) dx 2 = sin 3x sin 3x sin 3x sin 5x sinx − ∫ cos 2x cos 3xdx = − ∫ ( cos 5x + cos x ) dx = − − +C 6 20 Ví dụ 4: Xét mệnh đề sau: dx cos x − ∫ sin x = ln cos x + + C (1) (2) ∫ sin x cos xdx = (3) sin x +C sin x tan x dx = +C ∫ cos4 x (4) ∫ cos3 xdx = − sin x + sin x +C Số mệnh đề là: A B Ta có: dx ∫ sinx = ∫ C Lời giải D d ( cos x ) sin xdx cosx − =∫ = ln +C 2 sin x cos x − cos x + sin x ∫ sin x cos xdx = ∫ sin xd ( sin x ) = + C sin x tan x 2 dx = tan x dx = tan xd tan x = +C ( ) ∫ cos x ∫ ∫ cos x sin x 2 cos xdx = cos xd sin x = − sin x d sin x = sinx − +C ( ) ∫( ) ( ) ∫ ∫ 6 Vậy có mệnh đề Chọn B π Ví dụ 5: Cho hàm số f(x) thỏa mãn f ' ( x ) = x + sin x sin 2x Biết f(0) = Giá trị f ÷ là: 2 π π + A f ÷ = 2 Ta có: f ( x ) = ∫ f ' ( x ) dx = π π + B f ÷ = 2 π π + C f ÷ = 2 Lời giải π π + D f ÷ = 2 x2 x2 x 2sin x + ∫ 2sin x cos xdx = + ∫ sin xd ( sin x ) = + +C 2 π π + Chọn B Lại có: f ( ) = C = ⇒ f ÷ = 2 Ví dụ 6: Cho hàm số f(x) thỏa mãn f ' ( x ) = π A f ÷ = 3 π B f ÷ = 16 3 sin x Biết cos5 x π f ÷ = Tính giá trị 4 π C f ÷ = 3 Lời giải sin x dx tan x Ta có: f ( x ) = ∫ f ' ( x ) dx = ∫ = tan xd ( tan x ) = +C cos3 x cos x ∫ π f ÷ 3 π D f ÷ = 3 π π Lại có: f ÷ = ⇒ + C = ⇒ C = ⇒ f ÷ = + = Chọn C 4 4 3 4 Ví dụ 7: Tìm nguyên hàm I = ∫ A I = ln ( + sin x ) + C I = ln ( + sin x ) + sin 2xdx ( + s inx ) +C + sin x B I = ln ( + sin x ) + +C + sin x +C + sin x D I = −2 ln ( + sin x ) − +C + sin x Lời giải Ta có: I=∫ sin 2xdx =∫ 2sin x cos xdx =∫ 2sin xd ( sin x ) ( + sin x ) ( + sin x ) ( + sin x ) ( + sin x ) − 4 =∫ d sin x = − ( ) ∫ + sin x ( + sin x ) d ( sin x ) ( + sin x ) = ln ( + sin x ) + 2 +C + sin x (do + sinx > 0) Chọn A Ví dụ 8: Biết I = ∫ A a + b = − sinxcos xdx = a cos x + b cos 2x − ln ( + cos x ) + C(a; b ∈ ¡ ) Giá trị a + b + cos x B a + b = C a + b = D a + b = − Lời giải Ta có: I = − ∫ cos xd ( cos x ) t =cos x t dt → − ∫ = ∫ −t + − ÷dt + cos x 1+ t t +1 t2 cos x + t − ln + t + C = − + cos x − ln ( + cos x ) + C 2 1 = − cos 2x + cos x − ln ( + cos x ) + C + 4 =− Do đó: a = 1, b = −1 ⇒ a + b = Chọn C 4 Ví dụ 9: Biết F(x) nguyên hàm hàm số f ( x ) = A F ( x ) = ( 2sin x + 3cos x ) F ( ) = Khi đó: −1 −1 1 + B F ( x ) = + + D F ( x ) = + C F ( x ) = tan x + tan x + tan x + tan x + Lời giải Ta có f ( x ) = ∫ dx ( 2sin x + 3cos x ) =∫ dx cos x ( tan x + ) =∫ d ( tan x ) ( tan x + ) =− +C ( tan x + 3) Do F ( 0) = −1 −1 + Chọn A ⇒ + C = ⇒ C = ⇒ F( x ) = tan x + 6 6 Ví dụ 10: Tính nguyên hàm A I = tan x + + C Ta có: I=∫ ∫ cos x tanx + cos x dx B I = cos x + + C C I = tan x + + C Lời giải tan xdx tan xdx tdt t = tan x =∫ →∫ 2 cos x tan x + 2 + t2 cos x + cos x d ( t + 2) = ∫ = t + + C = tan x + + C Chọn A 2 t +2 D I = cos x + + C BÀI TẬP TỰ LUYỆN Câu 1: Tìm nguyên hàm hàm số f ( x ) = sin x.cos x A 1 sin x − sin x + C B sin x − sin x + C C sin x − sin x + C 5 D sin x + sin x + C sin x Câu 2: Tìm nguyên hàm F(x) hàm số f ( x ) = cos x.e sin x A F ( x ) = e cos x B F ( x ) = e − sin x C F ( x ) = e − cos x D F ( x ) = e π Câu 3: Tìm nguyên hàm F(x) hàm số f ( x ) = sin 2x.cos 2x thỏa F ÷ = 2 A F ( x ) = sin 2x + sin 2x 10 B F ( x ) = sin 2x − sin 2x 10 C F ( x ) = sin 2x + sin 2x + 10 15 1 D F ( x ) = sin 2x − sin 2x + 10 15 Câu 4: Phát biểu sau phát biểu đúng? sin x A ∫ cos x sin xdx = +C cos x B ∫ cos x sin xdx = +C cos6 x C ∫ cos x sin xdx = − +C sin x D ∫ cos x sin xdx = − +C 5 5 Câu 5: Tìm nguyên hàm hàm số f ( x ) = A − +C 19sin19 x B cos x sin 20 x +C 19sin19 x C − +C 19 cos19 x D +C 19 cos19 x π Câu 6: Hàm số f ( x ) = sin x có nguyên hàm F(x) thỏa F ÷ = Tính F ( π ) 2 A F ( π ) = − 15 16 B F ( π ) = 15 C F ( π ) = 15 16 D F ( π ) = − 15 π −7 Câu 7: Tìm nguyên hàm F(x) hàm số f ( x ) = cos x thỏa F ÷ = 15 A F ( x ) = sin x − sin x + sin x − 5 B F ( x ) = cos x − cos x + cos x − 5 C F ( x ) = sin x − sin x + sin x + 5 D F ( x ) = cos x + cos x + cos x Câu 8: Tìm nguyên hàm hàm số f ( x ) = cos5 x − sin x A cos x − sin x cos x − +C B sin x − sin 3x cos 4x − +C C sin x − sin x cos x − +C D sin x − sin x cos x − +C Câu 9: Hàm số f ( x ) = π π 4sin x có nguyên hàm F(x) thỏa F ÷ = Tính F ÷ 3 2 + cos x π A F ÷ = 2 π B F ÷ = 2 π C F ÷ = 2 π D F ÷ = 2 Câu 10: Hàm số F ( x ) = ln sinx − 3cosx nguyên hàm hàm số hàm số liệt kê bốn phương án A, B,C,D đây? A f ( x ) = f ( x) = cos x + 3sin x B f ( x ) = cos x + 3sin x sin x − 3cos x C f ( x ) = − cos x − 3sin x sin x − 3cos x D sin x − 3cos x cos x + 3sin x Câu 11: Tìm nguyên hàm F(x) hàm số f ( x ) = s inx − cos x π thỏa F ÷ = ln sin x + cos x 4 A F ( x ) = + ln sin x + cos x B F ( x ) = − ln sin x + cos x C F ( x ) = − ln sin x − cos x D F ( x ) = ln sin x + cos x − π Câu 12: Tìm nguyên hàm F(x) hàm số f ( x ) = tan x ( tan x + 1) thỏa F ÷ = 4 4 A F ( x ) = tan x + Câu 13: Hàm số f ( x ) = A e 2π F ÷ = B F ( x ) = tan x +1 4 C F ( x ) = tan x − D F ( x ) = − tan x 2π π có nguyên hàm F(x) thỏa F ÷ = Tính e F ÷ sin x 3 B e 2π F ÷ =2 C e 2π F ÷ D e =3 2π F ÷ = π π Câu 14: Hàm số f ( x ) = cot x có nguyên hàm F(x) thỏa F ÷ = Tính e F − ÷ 4 A e π F − ÷ 4 = π B e F − ÷ = C e π F − ÷ 4 = 2 π D e F − ÷ = π π Câu 15: Hàm số f ( x ) = tan x có nguyên hàm F(x) thỏa F − ÷ = ln Tính e F ÷ 4 π A e F ÷ = ln π B e F ÷ = Câu 16: Biết F(x) nguyên hàm f ( x ) = A − ln + Câu 17: Cho I = ∫ B − ln + π C e F ÷ = π D e F ÷ = 2 sin x π ; F ÷ = Tính F(0) + 3cos x C − ln − cos x sin x dx; J = ∫ dx Tìm T =4J – 2I sin x + cos x sin x + cos x D − ln − A T = x − 3ln sin x + cos x + C B T = x + 3ln sin x + cos x + C C T = 3x − ln sin x + cos x + C D T = 2x − ln sin x + cos x + C Câu 18: Tìm nguyên hàm hàm số f ( x ) = cos x sinx A − cos3 x + C B − cos x + C C cos3 x + C D cos3 x + C C cos3 x − cos x + C D − Câu 19: Tìm nguyên hàm hàm số f ( x ) = sin x A 3sin x.cos x + C B cos3 x − cos x + C cos3 x − cos x + C 3 Câu 20: Tìm nguyên hàm hàm số f ( x ) = cos x A sin x + sin x +C B sin x − sin x +C C − sin x − sin x +C D 3sin x cos x + C Câu 21: Tìm nguyên hàm hàm số f ( x ) = sin x cos x A − sin x + C B sin x + C C sin x + C D − sin x + C e tan x Câu 22: Tìm nguyên hàm hàm số f ( x ) = cos x A e tan x + C B e − tan x + C Câu 23: Tìm nguyên hàm hàm số f ( x ) = A tan x + C C tan x.e tan x + C x cos x B tan x + C C Câu 24: Tìm nguyên hàm F(x) hàm số f ( x ) = A ln + sin x sin x B ln + Câu 25: Tìm nguyên hàm hàm số f ( x ) = tan x + C D tan x + C sin 2x thỏa F ( ) = sin x + C ln + sin x D ln cos x sin x cos x A ln sin x − ln − sin x + C C D −e tan x + C 1 ln sin x − ln − sin x + C 2 B ln sin x + ln − sin x + C 2 D − ln sin x − ln − sin x + C 2sin x Câu 26: Tìm nguyên hàm hàm số f ( x ) = ( tan x + e ) cos x A − cos x + e 2sin x + C 2sin x +C B − cos x − e 2sin x +C C cos x + e 2sin x +C D − cos x + e LỜI GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN Câu 1: ∫ sin x cos3 xdx = ∫ sin x cos x cos xdx 1 = ∫ sin x ( − sin x ) d ( sin x ) = ∫ ( sin x − sin x ) d ( sin x ) = sin x − sin x + C Chọn A sin x sin x sin x Câu 2: F ( x ) = ∫ cos xe dx = ∫ e d ( sin x ) = e + C Chọn A 2 Câu 3: F ( x ) = ∫ sin 2x cos 2xdx = ∫ sin 2x cos 2x cos 2xdx = = sin 2x ( − sin 2x ) d ( sin 2x ) ∫ 1 sin 2x − sin 2x ) d ( sin 2x ) = sin 2x − sin 2x + C ( ∫ 10 1 1 π Mà F ÷ = ⇒ C = ⇒ F ( x ) = sin 2x − sin 2x + Chọn D 15 10 15 2 5 Câu 4: ∫ cos x sin xdx = − ∫ cos xd ( cos x ) = − cos x + C Chọn C Câu 5: d ( sin x ) cos x dx = ∫ sin 20 x ∫ sin 20 x = − 19sin19 x + C Chọn A Câu 6: F ( x ) = ∫ sin xdx = ∫ sin x sin xdx = − ∫ ( − cos x ) d ( cos x ) 2 = − ∫ ( cos x − cos x + 1) d ( cos x ) = − cos5 x + cos3 x − cos x + C 15 π Mà F ÷ = ⇒ C = ⇒ F ( x ) = − cos x + cos x − cos x ⇒ F ( π ) = Chọn C 16 2 Câu 7: F ( x ) = ∫ cos5 xdx = ∫ cos x cos xdx = ∫ ( − sin x ) d ( sin x ) 2 = ∫ ( sin x − 2sin x + 1) d ( sin x ) = sin x − sin x + sin x + C π Mà F ÷ = − ⇒ C = −1 ⇒ F ( x ) = sin x − sin x + sin x − Chọn A 15 2 Câu 8: − sin x ) d ( sin x ) ( cos5 x cos x cos xdx = ∫ ( + sin x ) ( − sin x ) d ( sin x ) ∫ − sin x dx = ∫ − sin x = ∫ − sin x 1 = ∫ ( − sin x − sin x + sin x + 1) d ( sin x ) = − sin x − sin x + sin x + sin x + C 2 sin x − 1) ( sin x − 2sin x + 1 = sin x − sin x − + C = sin x − sin x − +C 4 1 = sin x − sin x − cos x + C Chọn C Câu 9: ( − cos x ) d ( cos x ) 4sin x sin x sin xdx dx = ∫ = −4 ∫ + cos x + cos x + cos x 1 = ∫ ( cos x − 1) d ( cos x ) = cos x − cos x ÷+ C = cos x − cos x + C 2 F( x) = ∫ π π Mà F ÷ = ⇒ C = ⇒ F ( x ) = cos x − cos x ⇒ F ÷ = 3 2 Chọn D Câu 10: f ( x ) = F ' ( x ) = Câu 11: F ( x ) = ∫ cos x + 3sin x Chọn A sin x − 3cos x d ( sin x + cos x ) sin x − cos x dx = − ∫ = − ln sin x + cos x + C sin x + cos x sin x + cos x π Mà F ÷ = ln ⇒ C = ⇒ F ( x ) = − ln sin x + cos x Chọn B 4 3 Câu 12: F ( x ) = ∫ tan x ( tan x + 1) dx = ∫ tan x Câu 13: F ( x ) = ∫ dx = ∫ tan xd ( tan x ) = tan x + C Chọn B cos x d ( cos x ) cos x − dx sin xdx =∫ =∫ = ln +C sin x sin x cos x − cos x + 2π ÷ F 1 cos x − 1 π Mà F ÷ = ⇒ C = ln ⇒ F ( x ) = ln + ln ⇒ e 2 cosx + 3 Câu 14: F ( x ) = ∫ cot xdx = ∫ d ( sin x ) cos xdx =∫ = ln sin x + C sin x sin x −π ÷ F π Mà F ÷ = ⇒ C = ln ⇒ F ( x ) = ln sin x = ln ⇒ e 4 Câu 15: F ( x ) = ∫ tan xdx = ∫ = Chọn C = Chọn A d ( cos x ) sin xdx = −∫ = − ln cos x + C cos x cos x π F ÷ π Mà F − ÷ = ln ⇒ C = ⇒ F ( x ) = − ln cos x ⇒ e = Chọn B 4 Câu 16: F ( x ) = ∫ sinx d ( + 3cos x ) −1 dx = − ∫ = ln + 3cos x + C + 3cos x + 3cos x π Mà F ÷ = ⇒ C = ⇒ F ( x ) = − ln + 3cos x + ⇒ F ( ) = − ln + Chọn B 3 2 sin x + cos x I + J = ∫ sin x + cos x dx = ∫ dx = x + C Câu 17: Ta có: I − J = cosx − sinx dx = d ( sin x + cos x ) = ln sin x + cos x + C ∫ sin x + cos x ∫ sin x + cos x x + ln sin x + cos x +C I = ⇒ ⇒ T = 4J − 2I = x − 3ln sin x + cos x + C Chọn A J = x − ln sin x + cos x + C 2 Câu 18: Ta có: ∫ cos x sin xdx = − ∫ cos xd ( cos x ) = − cos x + C Chọn B 3 2 Câu 19: ∫ sin xdx = ∫ sin x sin xdx = − ∫ ( − cos x ) d ( cos x ) = cos x − cos x + C Chọn C 3 2 Câu 20: ∫ cos xdx = ∫ cos x cos xdx = ∫ ( − sin x ) d ( sin x ) = − sin x + sin x + C Chọn B 4 Câu 21: ∫ sin x cos xdx = ∫ sin xd ( sin x ) = sin x + C Chọn C Câu 22: Ta có Câu 23: ∫ e tan x tan x tan x ∫ cos2 x dx = ∫ e d ( tan x ) = e + C Chọn A d x dx = 2∫ = tan x + C Chọn B x cos x cos x Câu 24: Ta có: d ( sin x + 3) 2sin xd ( sin x ) sin 2x 2sin x cos xdx F( x) = ∫ dx = ∫ =∫ =∫ = ln sin x + + C 2 sin x + sin x + sin x + sin x + Mà F ( ) = ⇒ C = − ln ⇒ F ( x ) = ln sin x + − ln = ln + sin x Chọn B Câu 25: d ( sin x ) dx cos xdx = = ∫ sin x cos x ∫ sin x cos x ∫ sin x ( − sin x ) 1 = ∫ − ÷d ( sin x ) = ln sin x − ln − sin x + C 2 sin x − sin x Chọn A Câu 26: ∫ ( tan x + e 2sin x = ∫ sin xdx + Chọn D ) cos xdx = ∫ sin xdx + ∫ e 2sin x cos xdx 2sin x e d ( 2sin x ) = − cos x + e 2sin x + C ∫ 2 ... nguyên hàm hàm số f ( x ) = cos x A e tan x + C B e − tan x + C Câu 23: Tìm nguyên hàm hàm số f ( x ) = A tan x + C C tan x.e tan x + C x cos x B tan x + C C Câu 24: Tìm nguyên hàm F(x) hàm số. .. Câu 6: Hàm số f ( x ) = sin x có ngun hàm F(x) thỏa F ÷ = Tính F ( π ) 2 A F ( π ) = − 15 16 B F ( π ) = 15 C F ( π ) = 15 16 D F ( π ) = − 15 π −7 Câu 7: Tìm nguyên hàm F(x) hàm số f... sin m x.cos n x Dạng 3: Nguyên hàm lượng giác hàm tanx cotx Các nguyên hàm chứa tanx hay cotx ta thường dùng đẳng thức 1 = + cot x; = + tan x sin x cos x Nguyên hàm mà mẫu số đẳng cấp bậc hai với