CHỦ ĐỀ 2 – CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ I LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM 1) Khái niệm cực đại và cực tiểu ( Định nghĩa Cho hàm số xác định và liên tục trên khoảng (có thể là ; là ) và điểm a) Nếu tồn tại số sao cho với mọi và thì ta nói hàm số đạt cực đại tại b) Nếu tồn tại số sao cho với mọi và thì ta nói hàm số đạt cực tiểu tại Chú ý Nếu hàm số đạt cực đại (cực tiểu) tại điểm thì được gọi là điểm cực đại (điểm cực tiểu) của hàm số; được gọi là giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) của hàm số, ký hiệu là , còn điểm đư.
CHỦ ĐỀ – CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ I LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM 1) Khái niệm cực đại cực tiểu Định nghĩa: Cho hàm số y = f ( x ) xác định liên tục khoảng ( a; b ) (có thể a −∞ ; b +∞ ) điểm x0 ∈ ( a; b ) a) Nếu tồn số h > cho f ( x ) < f ( x0 ) với x ∈ ( x0 − h; x0 + h ) x ≠ x0 ta nói hàm số f ( x ) đạt cực đại x0 b) Nếu tồn số h > cho f ( x ) > f ( x0 ) với x ∈ ( x0 − h; x0 + h ) x ≠ x0 ta nói hàm số f ( x ) đạt cực tiểu x0 Chú ý: - Nếu hàm số f ( x ) đạt cực đại (cực tiểu) điểm x0 x0 gọi điểm cực đại (điểm cực tiểu) hàm số; f ( x0 ) gọi giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) hàm số, ký hiệu f CD ( f CT ) , điểm M ( x0 ; f ( x0 ) ) gọi điểm cực đại (điểm cực tiểu) đồ thị hàm số - Các điểm cực đại cực tiểu gọi chung điểm cực trị - Dễ dàng chứng minh rằng, hàm số y = f ( x ) có đạo hàm khoảng ( a; b ) đạt cực đại cực tiểu x0 f ' ( x0 ) = Định lý 1: Giả sử hàm số y = f ( x ) liên tục khoảng K = ( x0 − h; x0 + h ) có đạo hàm K K \ { x0 } , với h > - Nếu f ' ( x0 ) > khoảng ( x0 − h; x0 ) f ' ( x0 ) < khoảng ( x0 ; x0 + h ) x0 điểm cực đại hàm số f ( x ) x f '( x ) x0 − h x0 + h x0 − + CĐ f ( x) - Nếu f ' ( x0 ) < khoảng ( x0 − h; x0 ) f ' ( x0 ) > khoảng ( x0 ; x0 + h ) x0 điểm cực tiểu hàm số f ( x ) x f '( x ) f ( x) x0 − h x0 + h x0 + − CT Nhận xét: Xét hàm số y = f ( x ) liên tục xác định ( a; b ) x0 ∈ ( a; b ) - Nếu f ' ( x ) đổi dấu qua điểm x0 x0 điểm cực trị hàm số - Nếu f ' ( x ) đổi dấu từ dương sang âm qua điểm x0 x0 điểm cực đại hàm số - Nếu f ' ( x ) đổi dấu từ âm sang dương qua điểm x0 x0 điểm cực tiểu hàm số Chú ý: Hàm số y = x = x có đạo hàm y ' = 2x x2 khơng có đạo hàm điểm x = nhiên y ' đổi dấu từ âm sang dương qua điểm x = nên hàm số đạt cực tiểu điểm x = Định lý 2: Giả sử hàm số y = f ( x ) có đạo hàm cấp hai khoảng ( x0 − h; x0 + h ) với h > Khi đó: f ' ( x0 ) = ⇒ x0 điểm cực tiểu - Nếu f '' ( x0 ) > f ' ( x0 ) = ⇒ x0 điểm cực đại - Nếu f '' ( x0 ) < Chú ý: Nếu f ' ( x0 ) = f '' ( x0 ) = chưa thể khẳng định x0 điểm cực đại hay điểm cực tiểu hay cực trị hàm số f ' ( ) = Ví dụ: Hàm số y = x có nhiên hàm số không đạt cực trị điểm x = f '' ( ) = f ' ( ) = Hàm số y = x có nhiên hàm số đạt cực tiểu điểm x = f '' ( ) = Do ta ý định lý theo chiều (khơng có chiều ngược lại) II CÁC DẠNG TỐN TRỌNG TÂM VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI DẠNG TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ KHƠNG CĨ THAM SỐ Phương pháp giải: Quy tắc 1: Áp dụng định lý - Bước 1: Tìm miền xác định D hàm số cho - Bước 2: Tính f ' ( x ) Tìm điểm mà f ' ( x ) = f ' ( x ) không xác định - Bước 3: Dựa vào bảng xét dấu f ' ( x ) bảng biến thiên đê kết luận Quy tắc 2: Áp dụng định lý - Bước 1: Tìm miền xác định D hàm số cho - Bước 2: Tính f ' ( x ) Giải phương trình f ' ( x ) = ký hiệu xi ( i = 1, 2, n ) nghiệm - Bước 3: Tính f '' ( x ) từ tính f '' ( xi ) - Bước 4: Dựa vào dấu f '' ( xi ) suy tính chất cực trị điểm xi Ví dụ 1: Tìm điểm cực trị hàm số: y = x − x + Lời giải x = TXĐ: ¡ Ta có: f ' ( x ) = x − 16 x = ⇔ x = ±2 Bảng xét dấu y ' x y' −∞ − −2 0 + − + +∞ Ta thấy y ' đổi dấu qua điểm x = 0, x = ±2 ⇒ x = 0, x = ±2 điểm cực trị hàm số y ' đổi dấu từ âm sang dương qua điểm x = ±2 ⇒ x = ±2 điểm cực tiểu, y ' đổi dấu từ dương sang âm qua điểm x = ⇒ x = điểm cực đại hàm số Ví dụ 2: Tìm điểm cực trị hàm số: a) f ( x ) = x4 − x + b) g ( x ) = sin x Lời giải x = , f '' ( x ) = x − a) TXĐ: ¡ Ta có: f ' ( x ) = x − x = ⇔ x = ± Khi f '' ( ±2 ) = > ⇒ x = ±2 điểm cực tiểu, f '' ( ) = −4 < ⇒ x = điểm cực đại hàm số b) TXĐ: ¡ Ta có: g ' ( x ) = cos x = ⇔ cos x = ⇔ x = f f '' ( x ) = −4sin x ⇒ f π π '' + k ÷ = −4khi k = 2l 2 4 π π '' + k ÷=4 k = 2l + 2 4 Vậy hàm số đạt cực đại điểm x= π π π + kπ ⇔ x = + k ( k ∈ ¢ ) x= π π + k ( k ∈¢) đạt cực tiểu điểm 3π + kπ ( k ∈ ¢ ) Ví dụ 3: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục xác định ¡ Chọn khẳng định khẳng định sau? A Nếu f ' ( x0 ) = hàm số đạt cực trị điểm x = x0 B Nếu f ' ( x0 ) = f '' ( x0 ) = hàm số khơng đạt cực trị điểm x = x0 C Nếu f ' ( x0 ) = f '' ( x0 ) < hàm số đạt cực đại điểm x = x0 D Nếu f ' ( x ) khơng xác định điểm x0 hàm số không đạt cực trị điểm x = x0 Lời giải Nếu f ( x ) = x f ' ( ) = hàm số không đạt cực trị điểm x = nên A sai Nếu f ( x ) = x f ' ( ) = f '' ( ) = hàm số đạt cực trị điểm x = B sai Nếu y = x = x , hàm số khơng có đạo hàm điểm x = có cực trị điểm x = D sai Chọn C Ví dụ 4: Cho hàm số y = f ( x ) xác định liên tục [ −2;3] có bảng xét dấu hình vẽ bên Mệnh đề sau hàm số cho? x f '( x) −2 − + A Đạt cực tiểu x = −2 + B Đạt cực đại x = C Đạt cực tiểu x = D Đạt cực đại x = Lời giải Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy f ( x ) đổi dấu từ dương sang âm qua điểm x = nên hàm số cho đạt cực đại x = Chọn D Ví dụ 5: Cho hàm số y = x − x + Mệnh đề sau đúng? A Hàm số có giá trị cực đại −2 C Hàm số đạt cực tiểu x = B Hàm số đạt cực đại x = − 3 D Hàm số có giá trị cực tiểu − 10 Lời giải TXĐ: D = ¡ Ta có: y ' = − x > = ⇔ x2 + = x ⇔ ⇔x= x2 + x + = 4x 2x Bảng xét dấu cho y ' x −∞ y' Suy hàm số đạt cực đại điểm x = + 3 +∞ − 2 3 có giá trị cực đại y ÷ ÷ = −2 Chọn A 3 3 Ví dụ 6: Cho hàm số y = x − x + x + Giả sử hàm số đạt cực đại điểm x = a đạt cực tiểu điểm x = b giá trị biểu thức 2a − 5b là: A C −1 Lời giải B 12 D −8 x =1 TXĐ: D = ¡ Ta có: y ' = x − x + = ⇔ x = Bảng xét dấu y ' x y' −∞ + − + +∞ Do y ' đổi dấu từ dương sang âm qua điểm x = ⇒ x = điểm cực đại hàm số y ' đổi dấu từ âm sang dương qua điểm x = ⇒ x = điểm cực tiểu hàm số Hoặc ta có: y '' = x − ⇒ y '' ( 1) = −1 < 0, y '' ( ) = > ⇒ xCD = 1, xCT = xCD = = a ⇒ 2a − 5b = −8 Chọn D Vậy xCT = = b Ví dụ 7: [Đề thi minh họa Bộ GD&ĐT 2017] Tìm giá trị cực đại yCD hàm số y = x − x + A yCD = B yCD = C yCD = Lời giải D yCD = −1 x = −1 Ta có: y ' = 3x − = ⇔ x = Mặt khác y '' = x ⇒ y '' ( −1) < ⇒ xCD = −1 ⇒ yCD = y ( −1) = Vậy giá trị cực đại hàm số yCD = Chọn A Chú ý: Hàm số bậc ba y = ax + bx + cx + d ( a ≠ ) có hai điểm cực trị y ' = 3ax + 2bx + c = có hai nghiệm phân biệt Khi yCD > yCT và: Nếu a > xCD < xCT Nếu a < xCD > xCT Ví dụ 8: Giá trị cực đại hàm số y = x + sin x ( 0; π ) A π + B 2π + C 2π − D Lời giải Ta có: y ' = ( x + sin x ) ' = + cos x ⇒ y ' = ⇔ + cos x = ⇔ cos x = − π + π x= π x = ± + kπ ( k ∈ ¢ ) , với x ∈ ( 0; π ) ⇒ x = 2π y '' π = −2 < (CD) ÷ Mặt khác y '' = −4sin x ⇒ y '' 2π = > (CT ) ÷ ⇒ Giá trị cực đại hàm số y '' π = ÷ 3 π + Chọn D Ví dụ 9: Cho hàm số y = x − x − x + Giả sử hàm số đạt cực đại x = a cực tiểu x = b giá trị biểu thức 2a + b A 11 B 19 C 10 D −8 Lời giải x =1 −1 ; y '' = x − ⇒ y '' ( 1) = > 0, y '' ÷ = −4 < Ta có: y ' = 3x − x − = ⇒ − x = 11 xCD = − = a ⇒ 2a + b = Chọn A Từ suy ra: xCT = = b Ví dụ 10: Điểm cực tiểu đồ thị hàm số y = x − x + x + là: 58 A ; ÷ 27 1 B ;1÷ 3 C ( 2;1) D ( 1; ) Lời giải x = 1 ; y '' = x − ⇒ y '' ( 1) = > 0, y '' ÷ = −2 < Ta có: y ' = 3x − x + = ⇒ x= 3 Từ suy xCT = ⇒ yCT = Chọn D Ví dụ 11: Cho hàm số y = − x + x + x − Hàm số: A Đạt cực tiểu điểm x = C Đạt cực đại điểm x = −1 B Đạt cực tiểu điểm x = D Đạt cực đại điểm x = Lời giải x = −1 x = −1 Dễ dàng ⇒ CT Chọn D Ta có: y ' = 3x + x + = ⇔ x = x=3 CD Ví dụ 12: Giả sử hàm số y = x − x − x + đạt cực đại, cực tiểu điểm A ( x1 ; y1 ) B ( x2 ; y2 ) giá trị biểu thức T = A −1 B x1 + y2 là: x2 + y1 D −3 C Lời giải x = ⇒ y = −26 Do hàm số bậc ba có yCD > yCT nên điểm cực đại Ta có: y ' = 3x − x − = ⇔ x = −1 ⇒ y = đồ thị hàm số A ( −1;6 ) , điểm cực tiểu B ( 3; −26 ) ⇒ T = −1 − 26 = −3 Chọn D 3+ Chú ý: Với hàm số bậc giá trị cực đại ln lớn giá trị cực tiểu Ví dụ 13: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục xác định ¡ , biết f ' ( x ) = ( x − 1) ( x − ) A ( x − 3) ( x − 1) Fàm số B Do hàm số có f ' ( x ) = ( x − 1) ( x − ) y = f ( x ) có điểm cực trị C Lời giải ( x − 3) D đổi dấu qua điểm x = 2, x = nên hàm số cho có 2 điểm cực trị Chọn B Ví dụ 14: [Đề thi minh họa THPTQG năm 2019] Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm f ' ( x ) = x ( x − 1) ( x + ) , ∀x ∈ ¡ Số điểm cực trị hàm số cho là: A B C Lời giải D Do f ' ( x ) đổi dấu qua điểm x = 0, x = 1, x = −2 nên hàm số đạt cực trị x = 0, x = 1, x = −2 Chọn A 2 Ví dụ 15: Cho hàm số f ( x ) liên tục ¡ có đạo hàm f ' ( x ) = ( x − 1) ( x − x ) , số điểm cực tiểu hàm số f ( x ) là: A B C Lời giải D Ta có f ' ( x ) = ( x + 1) x ( x − 1) ( x − 3) ⇒ bảng xét dấu f ' ( x ) : x y' −∞ + −1 − 0 + − + +∞ Do y ' đổi dấu từ âm sang dương qua điểm x = 0, x = nên hàm số cho có điểm cực tiểu Chọn B Ví dụ 16: [Đề thi thử nghiệm THPTQG 2017]: Cho hàm số y = x2 + Mệnh đề đúng? x +1 A Cực tiểu hàm số −3 B Cực tiểu hàm số C Cực tiểu hàm số −6 D Cực tiểu hàm số Lời giải x2 + x − x2 + f ' x = ( ) Xét hàm số y = với x ≠ −1 , ta có ( x + 1) x +1 Bảng xét dấu f ' ( x ) −∞ x y' −3 + − +∞ + Suy x = điểm cực tiểu hàm số Vậy cực tiểu hàm số yCT = f ( 1) = Chọn D Ví dụ 17: Cho hàm số y = x2 + Khẳng định sau đúng? x −1 A Hàm số đạt cực tiểu x = −1 B Hàm số đạt cực đại x = D Hàm số có hai cực trị yCD < yCT Lời giải C Giá trị cực tiểu −2 Hàm số có tập xác định D = ¡ \ { 1} y ' = Mặt khác y '' = x2 − 2x − ( x − 1) x = −1 ⇒ y ' = ⇔ x2 − x − = ⇔ x = y '' ( −1) = −1 < yCD = y ( −1) = −2 ⇒ ⇒ ⇒ yCD < yCT Chọn D y '' ( 3) = > yCT = y ( 3) = ( x − 1) Ví dụ 18: Cho hàm số y = x3 − 3x + Gọi A B điểm cực trị đồ thị hàm số cho Độ dài AB A AB = B AB = 2 C AB = 20 Lời giải D AB = x = ⇒ y =1 Ta có: y ' = 3x − x = ⇔ x = ⇒ y = −3 Do A ( 0;1) ; B ( 2; −3) ⇒ AB = 20 = Chọn D Ví dụ 19: Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên sau: x y' y −∞ - +∞ 0 + - +∞ −∞ Giá trị cực đại hàm số cho A B C D Lời giải Giá trị cực đại hàm số cho Chọn D Ví dụ 20: [Đề thi THPTQG 2017]: Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên hình vẽ Mệnh đề sai? A Hàm số có ba điểm cực trị B Hàm số có giá trị cực đại C Hàm số có giá trị cực đại D Hàm số có hai điểm cực tiểu x y' y −∞ − −1 +∞ 0 + − +∞ + +∞ Lời giải Dựa vào bảng biến thiên ta thấy rằng: Hàm số cho có ba điểm cực trị x = −1, x = hai điểm cực tiểu Hàm số cho có giá trị cực tiểu 0, có giá trị cực đại Chọn C DẠNG CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ BẬC 3 Xét hàm số y = ax + bx + cx + d ( a ≠ ) Ta có: y ' = 3ax + 2bx + c Khi đó: Hàm số có hai điểm cực trị (có cực đại cực tiểu) y ' = có hai nghiệm phân biệt ⇔ ∆ ' y ' > Hàm số khơng có cực trị y ' = vơ nghiệm có nghiệm kép ⇔ ∆ ' y ' ≤ Chú ý: - Trong trường hợp hệ số a chứa tham số ta cần xét a = - Đối với hàm số bậc ta ln có yCD > yCT và: +) Nếu a > xCD < xCT +) Nếu a < xCD > xCT Khi y ' = 3ax + 2bx + c = có hai nghiệm phân biệt ta gọi A ( x1 ; y1 ) B ( x2 ; y2 ) tọa độ hai điểm cực −2b x + x = 3a trị theo định lý Viet ta có: c x x = 3a Thực phép chia đa thức y cho y ' ta y = y '.g ( x ) + h ( x ) Khi y1 = y ' ( x1 ) g ( x1 ) + h ( x1 ) = h ( x1 ) y2 = y ' ( x2 ) g ( x2 ) + h ( x2 ) = h ( x2 ) y1 = h ( x1 ) Do y2 = h ( x2 ) Vậy phương trình đường thẳng qua điểm cực đại cực tiểu đồ thị hàm số có dạng y = h ( x ) Loại 1: Tìm điều kiện để hàm số bậc ba có cực trị khơng có cực trị Phương pháp giải: Hàm số có hai điểm cực trị (có cực đại cực tiểu) y ' = có hai nghiệm phân biệt ⇔ ∆ ' y ' > Hàm số khơng có cực trị y ' = vô nghiệm có nghiệm kép ⇔ ∆ ' y ' ≤ Ví dụ 1: Số giá trị nguyên tham số m để hàm số y = x − 3mx + 12 x + khơng có cực trị A B C Lời giải D 2 Ta có: y ' = 3x − 6mx + 12 = ⇔ x − 2mx + = ( *) Để hàm số khơng có cực trị ∆ '( *) = m − ≤ ⇔ −2 ≤ m ≤ Kết hợp m ∈ ¢ ⇒ có giá trị m Chọn B Ví dụ 2: Số giá trị nguyên tham số m ∈ [ −10;10] để hàm số y = x + mx − ( − 2m ) x + m + có cực Vậy hàm số y = f ( − x ) có nhiều + = điểm cực trị Chọn C → đơn giản: f ′ ( x ) = x ( x − 1) Câu 179: Xét f ′ ( x ) = ( x + 1) ( x − x ) = x ( x − 1) ( x + 1) ( Ta có y ′ = f ( x ) ) ′ = x f ′ ( x ) f ( x ) f ( 1− x) x f ′ ( x ) = ; y′ = ⇔ f ( x2 ) = (1) (2) x3 = → có nghiệm đơn phân biệt nghiệm bội lẻ • Giải ( 1) , ta có x f ′ ( x ) = ⇔ x = → f ( x ) = có nhiều nghiệm phân • Giải ( ) , ta có f ′ ( x ) = có nghiệm đơn phân biệt → f ( x ) = có nhiều nghiệm có giá trị cực trị biệt x1 ; x2 Vậy hàm số y = f ( − x ) có nhiều + + = giá trị cực trị Chọn D → x = { −2;0; 2} , ta bảng biến thiên Câu 180: Xét f ′ ( x ) = −∞ x f ′( x) −2 + − 0 + − +∞ f ( x) −∞ ( Ta có y ′ = f ( − x ) − )′ = − −∞ f ′ ( − x ) f ( − x ) − 3 f ( − x) − f ′ ( − x ) = (1) ; y′ = ⇔ f ( − x ) = (2) → f ′ ( − x ) = ⇔ x = { 4; 2;0} • Giải ( 1) , ta có f ′ ( x ) = ⇔ x = { −2;0; 2} → f ( − x ) = vơ nghiệm • Giải ( ) , ta có f ( x ) = vô nghiệm Vậy hàm số y = f ( − x ) − có + = điểm cực trị Chọn B ′ Câu 181: y ′ = ( f ( x) ) = f ′( x) f ( x) f ( x) f ′( x) = ; y′ = ⇔ f ( x ) = (1) (2) x = −1 • Giải ( 1) , ta có f ′ ( x ) = ⇔ (hai nghiệm đơn phân biệt) x = • Giải ( ) , ta có f ( x ) = có nghiệm đơn Vậy hàm số y = f ( x ) có + = điểm cực trị Chọn C ′ Câu 182: y ′ = ( f ( x) − ) = f ′ ( x ) f ( x ) − f ( x) − f ′( x) = ; y′ = ⇔ f ( x ) = x = • Giải ( 1) , ta có f ′ ( x ) = ⇔ (hai nghiệm đơn phân biệt) x = (1) (2) • Giải ( ) , ta có f ( x ) = có ba nghiệm đơn phân biệt Vậy hàm số y = f ( x − 1) − + có + = điểm cực trị Chọn B ′ Câu 183: y ′ = ( f ( x) − 2019 ) = f ′ ( x ) f ( x ) − 2019 f ( x ) − 2019 f ′( x) = (1) ; y′ = ⇔ f ( x ) = 2019 (2) x = • Giải ( 1) , ta có f ′ ( x ) = ⇔ (ba nghiệm đơn phân biệt) x = ±1 x = x1 • Giải ( ) , ta có f ( x ) = 2019 ⇔ (hai nghiệm đơn phân biệt ≠ { 0; ±1} ) x = x2 Vậy hàm số y = f ( x ) − 2019 + 2020 có + = điểm cực trị Chọn D ′ Câu 184: y ′ = ( f ( x) − ) = f ′ ( x ) f ( x ) − 1 f ( x ) −1 f ′( x) = ; y′ = ⇔ f ( x ) = (1) (2) x = • Giải ( 1) , ta có f ′ ( x ) = ⇔ (hai nghiệm đơn phân biệt) x = → f ( x ) = có nghiệm đơn • Giải ( ) , ta có f ( x ) = ⇔ x ( x − x0 ) = Vậy hàm số y = f ( x ) − + có + = điểm cực trị Chọn C ′ Câu 185: y ′ = ( f ( x − 1) ) = f ′ ( x − 1) f ( x − 1) f ( x − 1) f ′ ( x − 1) = ; y′ = ⇔ f ( x − 1) = (1) (2) x = −5 x − = −5 x = −4 → f ′ ( x − 1) = ⇔ ⇔ • Giải ( 1) , ta có f ′ ( x ) = ⇔ x = −1 x − = −1 x = x = x1 x = + x1 → f ( x − 1) = ⇔ • Giải ( ) , ta có f ( x ) = ⇔ x = x2 x = + x2 Vậy hàm số y = f ( x − 1) + 2019 có + = điểm cực trị Chọn A ′ Câu 186: y ′ = ( f ( x − 1) − ) = f ′ ( x − 1) f ( x − 1) − 1 f ( x − 1) − f ′ ( x − 1) = ; y′ = ⇔ f ( x − 1) = (1) (2) x =1 x −1 = x = → f ′ ( x − 1) = ⇔ ⇔ • Giải ( 1) , ta có f ′ ( x ) = ⇔ x = x −1 = x = • Giải ( ) , ta có f ( x ) = ⇔ ( x − 1) ( x − x0 ) = → f ( x − 1) = ⇔ ( x − ) ( x − − x0 ) = Do đó, phương trình f ( x − 1) = có nghiệm đơn x = + x0 Vậy hàm số y = f ( x − 1) − + có + = điểm cực trị Chọn C ′ Câu 187: y ′ = ( f ( x − 2019) + 2020 ) = f ′ ( x − 2019 ) f ( x − 2019 ) + 2020 f ′ ( x − 2019 ) = Phương trình y ′ = ⇔ f ( x − 2019 ) = −2020 f ( x − 2019 ) + 2020 ; (1) (2) x =1 x = 2020 → f ′ ( x − 2019 ) = ⇔ • Giải ( 1) , ta có f ′ ( x ) = ⇔ x = x = 2022 • Giải ( ) , ta có f ( x ) = −2020 có nghiệm đơn Do đó, phương trình f ( x − 2019 ) = −2020 có nghiệm đơn x = x0 Vậy hàm số y = f ( x − 1) − + có + = điểm cực trị Chọn C → Hàm số cho có điểm cực trị Câu 188: Vẽ đồ thị hàm số y = f ( x ) từ đồ thị y = f ( x ) Chọn B Câu 189: Số điểm cực trị hàm số y = f ( x − 1) + Số nghiệm đơn bội lẻ phương trình f ( x − 1) + = Vậy hàm số cho có + = điểm cực trị Chọn C Câu 190: Số điểm cực trị hàm số y = f ( x − 1) Số nghiệm đơn bội lẻ phương trình f ( x − 1) = Do đó, hàm số cho có điểm cực đại nghiệm phương trình f ( x − 1) = Vậy tổng giá trị cực đại hàm số Chọn A Câu 191: Số điểm cực trị hàm số y = f ( x + 1) + Số nghiệm đơn bội lẻ phương trình f ( x + 1) + = Vậy hàm số cho có + = điểm cực trị Chọn D Câu 192: Số điểm cực trị hàm số y = f ( x − 2019 ) − Số nghiệm đơn bội lẻ phương trình f ( x − 2019 ) − = Vậy hàm số cho có + = điểm cực trị Chọn C x3 = 2 Câu 193: Xét hàm số y = f ( x ) + 4, có y ′ = xf ′ ( x ) ; y ′ = ⇔ x − = x2 + = Suy hàm số y = f ( x ) + có điểm cực trị Dựa vào hình vẽ, ta thấy f ( x ) = −4 nghiệm đơn bội lẻ Do f ( x ) = −4 khơng có nghiệm đơn bội lẻ Vậy hàm số cho có điểm cực trị Chọn A Câu 194: Số điểm cực trị hàm số y = f ( x + 1) + Số nghiệm đơn bội lẻ phương trình f ( x + 1) + = Vậy hàm số cho có + = điểm cực trị Chọn B x3 = 2 ′ ′ ′ y = f x + − 1, y = xf x + ; y = ⇔ Câu 195: Xét hàm số ( ) có ( ) x +1 = 2 Suy hàm số y = f ( x ) + có điểm cực trị Lại có f ( x ) − = có nghiệm x0 > 2 Do f ( x + 1) = có nghiệm x + = x0 > ⇔ x = ± x0 − (2 nghiệm đơn) Vậy hàm số cho có + = điểm cực trị Chọn B Câu 196: Đặt f ( x ) = 3x − x − 12 x ; g ( x ) = f ( x ) + m Ta có g ′ ( x ) = f ′ ( x ) = 12 x − 12 x − 24 x; g ′ ( x ) = ⇔ x = { −1;0; 2} Suy hàm số g ( x ) có điểm cực trị u cầu tốn ⇔ g ( x ) = có nghiệm phân biệt (nghiệm đơn bội lẻ) ⇔ −m = f ( x ) có nghiệm phân biệt (nghiệm đơn bội lẻ) (*) Xét hàm số f ( x ) = x − x − 12 x , có f ′ ( x ) = ⇔ x = { −1;0; 2} Lập bảng biến thiên y = f ( x ) ⇒ ( *) ⇔ −5 < −m < ⇔ < m < → m = { 1; 2;3; 4} Chọn D Kết hợp với m ∈ ¢ Câu 197: Đặt f ( x ) = − x + x + 2; g ( x ) = f ( x ) + m Ta có g ′ ( x ) = f ′ ( x ) = −3x + x; g ′ ( x ) = ⇔ x = { 0; 2} Suy hàm số g ( x ) có điểm cực trị Yêu cầu toán ⇔ g ( x ) = có nghiệm phân biệt (nghiệm đơn bội lẻ) ⇔ −m = f ( x ) có nghiệm phân biệt (nghiệm đơn bội lẻ) Xét hàm số f ( x ) = − x + x + 2, có f ′ ( x ) = ⇔ x = { 0; 2} Lập bảng biến thiên y = f ( x ) ⇒ ( *) ⇔ < −m < ⇔ −6 < m < −2 → m = { −5; −4; −3} Chọn A Kết hợp với m ∈ ¢ (*) Câu 198: Đặt f ( x ) = x + x − x ; g ( x ) = f ( x ) + m 1 Ta có g ′ ( x ) = f ′ ( x ) = x + x − x; g ′ ( x ) = ⇔ x = −1;0; 4 Suy hàm số g ( x ) có điểm cực trị Yêu cầu tốn ⇔ g ( x ) = có nghiệm phân biệt (nghiệm đơn bội lẻ) ⇔ −m = f ( x ) có nghiệm phân biệt (nghiệm đơn bội lẻ) (*) 1 Xét hàm số f ( x ) = x + x − x , có f ′ ( x ) = ⇔ x = −1;0; 4 −m ≥ m ≤ ⇔ Lập bảng biến thiên y = f ( x ) ⇒ ( *) ⇔ 1 − < −m ≤ − ≤m< 256 256 → m = { 0;1; 2;3; 4;5} Chọn C Kết hợp với m ∈ ¢ −5 ≤ m ≤ Câu 199: Xét hàm số g ( x ) = mx − 3mx + ( 3m − ) x + − m Hàm số y = g ( x ) có điểm cực trị g ( x ) có điểm cực trị phương trình g ( x ) = có nghiệm phân biệt ⇔ g ( x ) = có nghiệm phân biệt x =1 Ta có: g ( x ) = m ( x − 3x + 3x − 1) − ( x − 1) = ( x − 1) m ( x − 1) − = ⇔ m ( x − 1) = m ≠ ⇔ m > Phương trình g ( x ) = có nghiệm phân biệt ⇔ m > m ∈ ¢ ⇒ có giá trị tham số m Chọn D Kết hợp m ∈ [ −9;9] Câu 200: Xét hàm số g ( x ) = x − 3mx + mx Hàm số y = g ( x ) có điểm cực trị g ( x ) có điểm cực trị phương trình g ( x ) = có nghiệm phân biệt ⇔ g ( x ) = có nghiệm phân biệt x = Ta có: g ( x ) = x ( x − 3mx + m ) = ⇔ f ( x ) = x − 3mx + m = Phương trình g ( x ) = có nghiệm phân biệt ⇔ f ( x ) = có nghiệm phân biệt khác ∆ m> = 9m − 8m > 0⇔ ⇔ g ( ) = m ≠ m < m ∈ ¢ ⇒ có 100 giá trị tham số m Chọn A Kết hợp m ∈ [ 0;100] Câu 201: Xét hàm số g ( x ) = x − 3x + m Hàm số y = g ( x ) có điểm cực trị g ( x ) có điểm cực trị phương trình g ( x ) = có nghiệm phân biệt ⇔ g ( x ) = có nghiệm phân biệt Ta có: g ( x ) = ⇔ −m = x − 3x = h ( x ) x = ⇒ h ( 1) = −2 Mặt khác h′ ( x ) = x − = ⇔ x = −1 ⇒ h ( −1) = Dựa vào BBT suy phương trình g ( x ) = có nghiệm phân biệt −2 < −m < ⇔ −2 < m < Kết hợp m ∈ ¢ ⇒ có giá trị tham số m Chọn A Câu 202: Xét hàm số g ( x ) = x − x + ( m + ) x − m − Hàm số y = g ( x ) có điểm cực trị g ( x ) có điểm cực trị phương trình g ( x ) = có nghiệm phân biệt ⇔ g ( x ) = có nghiệm phân biệt 3 Ta có: g ( x ) = m ( x − 1) + x − x + x − = m ( x − 1) + ( x − 1) − x ( x − 1) x = = ( x − 1) ( x + x + − x + m ) = ( x − 1) ( x − x + m + 1) = ⇔ h ( x ) = x − 5x + m + = Phương trình g ( x ) có nghiệm phân biệt h ( x ) = có nghiệm phân biệt khác 21 ∆ = 25 − 4m − > m< ⇔ ⇔ h ( 1) = m − ≠ m ≠ + Kết hợp m ∈ ¢ ⇒ m = { 1; 2; 4;5} ⇒ có giá trị tham số m Chọn A Câu 203: Xét hàm số g ( x ) = x − 3x − m + Hàm số y = g ( x ) có điểm cực trị g ( x ) có điểm cực trị phương trình g ( x ) = có nghiệm phân biệt ⇔ g ( x ) = có nghiệm phân biệt Ta có: g ( x ) = ⇔ m − = x − 3x = h ( x ) x = ⇒ h ( 0) = Mặt khác h′ ( x ) = x − x = ⇔ x = ⇒ h ( −1) = −4 Dựa vào BBT suy phương trình g ( x ) = có nghiệm phân biệt −4 < m − < ⇔ −2 < m < Kết hợp m ∈ ¢ ⇒ có giá trị tham số m Chọn D x = Câu 204: Xét hàm số g ( x ) = x − x + m ⇒ g ′ ( x ) = x − x = ⇔ x ±1 Do để hàm số y = x − x + m có điểm cực trị ⇔ g ( x ) = vơ nghiệm có nghiệm kép Đồ thị hàm số y = g ( x ) = x − x + m có a > nên toán thỏa mãn ⇔ yCT ≥ ⇔ g ( ±1) = m − ≥ ⇔ m ≥ m ∈ ¢ ⇒ có 10 giá trị tham số m Chọn C Kết hợp m ∈ [ −10;10] Câu 205: Số điểm cực trị hàm số y = f ( x ) − m + 2019 số điểm cực trị hàm số y = f ( x) − m Xét hàm số g ( x ) = f ( x ) − m Do f ( x ) có điểm cực trị nên g ( x ) có hai điểm cực trị Để hàm số y = g ( x ) có điểm cực trị phương trình g ( x ) = ⇔ f ( x ) = m phải có nghiệm phân biệt Dựa vào BBT suy m ∈ ( −2; ) Kết hợp m ∈ ¢ ⇒ có giá trị tham số m Chọn D Câu 206: Số điểm cực trị hàm số y = f ( x ) − m + + 2019 số điểm cực trị hàm số y = f ( x ) − m2 + Xét hàm số g ( x ) = f ( x ) − m + Do f ( x ) có điểm cực trị nên g ( x ) có ba điểm cực trị Để hàm số y = g ( x ) có điểm cực trị phương trình g ( x ) = ⇔ f ( x ) = m − phải có nghiệm bội lẻ Dựa vào BBT suy m − ≤ ⇔ m ≤ ⇔ −2 ≤ m ≤ Kết hợp m ∈ ¢ ⇒ có giá trị tham số m Chọn B Câu 207: Xét hàm số g ( x ) = f ( x ) − m ⇒ g ( x ) có hai điểm cực trị Để hàm số y = g ( x ) có điểm cực trị phương trình g ( x ) = ⇔ f ( x ) = m phải có nghiệm bội lẻ m ≥ Dựa vào BBT suy m ≤ −2 Do giá trị m nhận m = −2 Chọn C Câu 208: Xét hàm số g ( x ) = f ( x ) + m ⇒ g ( x ) có hai điểm cực trị Để hàm số y = g ( x ) có điểm cực trị phương trình g ( x ) = ⇔ f ( x ) = −m phải có nghiệm phân biệt Dựa vào đồ thị suy −m ∈ ( 0; ) ⇔ m ∈ ( −4;0 ) Kết hợp m ∈ ¢ ⇒ có giá trị tham số m Chọn B Câu 209: Số điểm cực trị hàm số y = f ( x + 2019 ) − m số điểm cực trị hàm số y = f ( x) − m Xét hàm số g ( x ) = f ( x ) − m ⇒ g ( x ) có hai điểm cực trị Để hàm số y = g ( x ) có điểm cực trị phương trình g ( x ) = ⇔ f ( x ) = m phải có nghiệm bội lẻ Dựa vào đồ thị suy −2 < m < Kết hợp m ∈ ¢ ⇒ có giá trị tham số m Chọn B x = Câu 210: Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy f ′ ( x ) = ⇔ x = 2 Đặt g ( x ) = f ( x + ) + m + x = x = ⇔ x + = ⇔ x = Ta có: g ′ ( x ) = x f ′ ( x + ) = ⇔ ′ f ( x + ) = x2 + = 2 Do hàm số y = g ( x ) có điểm cực trị Do hàm số y = f ( x + ) + m + có điểm cực trị 2 2 phương trình f ( x + ) + m + = ⇔ f ( x + ) = −m − vơ nghiệm có nghiệm kép Bảng biến thiên hàm số y = f ( x + ) sau: x −∞ y' 0 − +¥ +∞ + +¥ y - 2 Dựa vào bảng biến thiên suy phương trình f ( x + ) = − m − vơ nghiệm có nghiệm kép −m − ≤ −2 ⇔ m ≥ Vậy có vơ số giá trị ngun m Chọn C Câu 211: Số điểm cực trị hàm số y = f ( x − 2019 ) − m + số điểm cực trị hàm số y = f ( x) − m Xét hàm số g ( x ) = f ( x ) − m Do f ( x ) có điểm cực trị nên g ( x ) có điểm cực trị Để hàm số y = g ( x ) có điểm cực trị phương trình g ( x ) = ⇔ f ( x ) = m phải có nghiệm bội lẻ Dựa vào đồ thị suy −2 < m < Kết hợp m ∈ ¢ ⇒ có giá trị tham số m Chọn B Câu 212: Đặt g ( x ) = f ( x ) + f ( x ) + m f ′( x) = ( *) Ta có: g ′ ( x ) = f ( x ) f ′ ( x ) + f ′ ( x ) = f ′ ( x ) f ( x ) + 1 = ⇔ f ( x ) + = Do hàm số f ( x ) có điểm cực trị x = 1, x = nên f ′ ( x ) = có nghiệm x = 1, x = Lại có f ( x ) = − có nghiệm âm nên (*) có nghiệm phân biệt t = f ( x) 2 Ta có: f ( x ) + f ( x ) + m = → t + t + m ( 1) (trong t = f ( x ) ∈ ¡ ln có nghiệm bội lẻ) Để hàm số y = g ( x ) có điểm cực trị phương trình (1) vơ nghiệm có nghiệm kép ⇔ ∆ = − 4m ≤ ⇔ m ≥ m ∈ ¢ ⇒ Có 19 giá trị tham số m Chọn A Kết hợp m ∈ ( −10; 20 ) x = −1 Câu 213: Dựa vào đồ thị hàm số ta có f ′ ( x ) = ⇔ x =1 x = 2 Đặt g ( x ) = f ( x − 1) − m ⇒ g ′ ( x ) = x f ′ ( x − 1) = ⇔ f ′ ( x − 1) = x = x = ⇔ x − = −1 ⇔ ⇒ g ( x ) có điểm cực trị Do hàm số y = f ( x − 1) − m có điểm cực x = ± x2 − = trị phương trình f ( x − 1) − m = có nghiệm phân biệt Ta có BBT hàm số y = f ( x − 1) : x −∞ y' − − + +¥ − +∞ + +¥ y 0 Dựa vào BBT suy phương trình g ( x ) = ⇔ f ( x − 1) = có nghiệm phân biệt < m < Kết hợp m ∈ ¢ ⇒ có giá trị m Chọn D Câu 214: Số điểm cực trị hàm số y = f ( x ) − m + + số điểm cực trị hàm số y = f ( x) − m +1 Xét hàm số g ( x ) = f ( x ) − m + Do f ( x ) có điểm cực trị nên g ( x ) có điểm cực trị Để hàm số y = g ( x ) có điểm cực trị phương trình g ( x ) = ⇔ f ( x ) = m − phải có nghiệm bội lẻ Dựa vào đồ thị suy −3 < m − < ⇔ −2 < m < Vậy giá trị tham số m m = Chọn B Câu 215: Hàm số f ( x ) = x − x + có điểm cực trị dương x = Suy hàm số y = f ( x ) có 2.1 + = điểm cực trị Chọn D Câu 216: Hàm số f ( x ) = x + x + khơng có điểm cực trị dương Suy hàm số y = f ( x ) có 2.0 + = điểm cực trị Chọn B Câu 217: Hàm số f ( x ) = x − x + x + có điểm cực trị dương x = { 2;3} Suy hàm số y = f ( x ) có 2.2 + = điểm cực trị Chọn C Câu 218: Hàm số f ( x ) = x − x + có điểm cực trị dương x = Suy hàm số y = f ( x ) có 2.1 + = điểm cực trị Chọn A 2 Câu 219: Hàm số f ( x ) = x − x có điểm cực trị x = 0; 3 x +1 = x = −1 ⇔ Suy hàm số y = f ( x + 1) có điểm cực trị thỏa mãn x +1 = x = − 3 Do hàm số y = f ( x + 1) khơng có điểm cực trị dương Vậy hàm số g ( x ) = f ( x + ) có 2.0 + = điểm cực trị Chọn A Câu 220: Hàm số f ( x ) = x − x + x + khơng có cực trị Suy hàm số y = f ( x − ) khơng có cực trị Vậy hàm số g ( x ) = f ( x − ) có 2.0 + = điểm cực trị Chọn C { Câu 221: Hàm số y = f ( x ) có điểm cực trị x = − 2;0;1; } x − 2019 = − x − 2019 = Suy hàm số y = f ( x − 2019 ) có điểm cực trị thỏa mãn (đều dương) x − 2019 = x − 2019 = Vậy hàm số g ( x ) = f ( x − 2019 ) + có 2.4 + = điểm cực trị Chọn D ′ Câu 222: g ′ ( x ) = ( x + ) f ′ ( x + ) = x f ′( x + 2) x x = x = x + = −1 x = ′ g x = ⇔ ⇔ ⇔ Phương trình ( ) x +2=3 f ′ ( x + ) = x = ±1 ( x + ) = Vậy hàm số g ( x ) = f ( x + ) + có điểm cực trị Chọn A ′ Câu 223: g ′ ( x ) = ( x + − ) f ′ ( x + − ) = 4x + f ′ ( x + − 5) 2x + x = −1 2x + − = x +1 = ⇔ 2x + − = Phương trình g ′ ( x ) = ⇔ (11 nghiệm) f ′ ( x + − ) = x + − = −1 − ( x + − ) = Vậy hàm số g ( x ) = f ( x + − ) + 2019 có 11 điểm cực trị Chọn C Câu 224: Hàm số y = f ( x ) có hai điểm cực trị x = { 0; 2} Ta có g ′ ( x ) = 2020 ( 2020 x + 2019 ) f ′ ( 2020 x + 2019 − ) 2020 x + 2019 2020 x + 2019 = 2020 x + 2019 = ⇔ 2020 x + 2019 − = (5 nghiệm) Phương trình g ′ ( x ) = ⇔ f ′ ( 2020 x + 2019 − ) = 2020 x + 2019 − = Vậy hàm số g ( x ) = f ( 2020 x + 2019 − ) − có điểm cực trị Chọn D Câu 225: Hàm số y = f ( x ) có điểm cực trị dương Suy hàm số y = f ( x ) có 2.1 + = điểm cực trị Chọn A x = Câu 226: Dựa vào hình vẽ, ta thấy f ′ ( x ) = ⇔ x =1 x= 2 x − = ⇔ (đều dương) Suy hàm số y = f ( x − 1) có điểm cực trị thỏa mãn 2 x − = x = Vậy hàm số y = f ( x − ) − có 2.2 + = điểm cực trị Chọn D x = Câu 227: Dựa vào hình vẽ, ta thấy f ′ ( x ) = ⇔ x = ±1 ′ Ta có y ′ = ( x − − 1) f ′ ( x − − 1) = x −1 f ′ ( x − − 1) x −1 x = x =1 x −1 = ⇔ x − − = ⇔ x = −1 Phương trình y ′ = ⇔ ′ f ( x − − 1) = x − − = −1 x = Vậy hàm số cho có điểm cực trị Chọn B ′ Câu 228: Ta có y ′ = ( − x + 3) f ′ ( − 3x + 3) = − ( − 3x ) f ′ ( − 3x + 3) − 3x − 3x = 2 − 3x = ⇔ − x + = −2 ⇔ x = Phương trình y ′ = ⇔ f ′ ( − x + 3) = − 3x + = Vậy hàm số cho có điểm cực trị Chọn A ′ Câu 229: Ta có y ′ = ( x − − ) f ′ ( x − − ) = x −1 f ′ ( x −1 − 2) x −1 x −1 = x =1 x −1 = ⇔ x − − = ⇔ x = 3; x = −1 Phương trình y ′ = ⇔ f ′ ( x − − ) = x −1 − = x = 5; x = −3 Vậy hàm số cho có điểm cực trị Chọn D x = ± Câu 230: Dựa vào hình vẽ, ta thấy f ′ ( x ) = ⇔ x = ±2 ′ Ta có y ′ = ( − x + 3) f ′ ( − 3x + 3) = − ( − 3x ) f ′ ( − 3x + 3) − 3x − 3x = 2 − 3x = ⇔ − 3x + = ± ⇔ x = Phương trình y ′ = ⇔ f ′ ( − x + 3) = − x + = ±2 Vậy hàm số cho có điểm cực trị Chọn A x = ± Câu 231: Dựa vào hình vẽ, ta thấy f ′ ( x ) = ⇔ x = ±2 ′ Ta có y ′ = ( x − + 1) f ′ ( x − + 1) = x −1 f ′ ( x − + 1) x −1 x −1 = x −1 = x −1 +1 = ⇔ Phương trình y ′ = ⇔ (5 nghiệm) x −1 +1 = f ′ ( x − + 1) = x − + = Vậy hàm số cho có điểm cực trị Chọn D Câu 232: Dựa vào hình vẽ, ta thấy y = f ( x ) có điểm cực trị x = −1; x = 2; x = ′ Ta có y ′ = ( x + − ) f ′ ( x + − ) = 4x + f ′ ( 2x +1 − 2) 2x +1 4 x + = 4 x + = x + − = −1 ⇔ Phương trình y ′ = ⇔ (7 nghiệm) 2x +1 − = f ′ ( x + − ) = x + − = Vậy hàm số cho có điểm cực trị Chọn B Câu 233: Dựa vào hình vẽ, ta thấy y = f ( x ) có điểm cực trị x = 2; x = ′ Ta có y ′ = ( x + − ) f ′ ( x + − ) = 4x + f ′ ( 2x +1 − 4) 2x +1 4 x + = 4x + = ⇔ x + − = (5 nghiệm) Phương trình y ′ = ⇔ f ′ ( x + − ) = 2x +1 − = Vậy hàm số cho có điểm cực trị Chọn C Câu 234: Dựa vào hình vẽ, ta thấy hàm số y = f ( x ) có điểm cực trị dương Suy hàm số y = f ( x ) có 2.1 + = điểm cực trị Chọn C Câu 235: Dựa vào hình vẽ, ta thấy hàm số y = f ( x ) có điểm cực trị x = −1; x = x − = −1 x = ⇔ Suy hàm số y = f ( x − 1) có điểm cực trị thỏa mãn (1 nghiệm dương) x −1 = x = Vậy hàm số cho có 2.1 + = điểm cực trị Chọn C Câu 236: Dựa vào hình vẽ, ta thấy hàm số y = f ( x ) có điểm cực trị x = −1; x = ′ Ta có g ′ ( x ) = ( x − − ) f ′ ( x − − ) = x −1 f ′ ( x −1 − 2) x −1 x −1 = x =1 Phương trình g ′ ( x ) = ⇔ x − − = −1 ⇔ x = 0; x = x −1 − = x = −2; x = Dựa vào bảng xét dấu, ta x = điểm cực đại hàm số Chọn A x = −1 ⇒ f ′ ( x ) = ( x + 1) ( x − 1) Câu 237: Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy f ′ ( x ) = ⇔ x =1 x = x Khi g ′ ( x ) = x ′ f ′ ( x + m ) = ( x + m + 1) ( x + m − 1) = ⇒ x = −m − x x = −m + −m − > ⇔ m < −1 Hàm số y = g ( x ) có điểm cực trị −m + > m ∈ ¢ ⇒ có 18 giá trị tham số m Chọn B Kết hợp m < −1 Câu 238: Dựa vào đồ thị hàm số ta giả sử f ′ ( x ) = ( x + ) x ( x − 1) ′ Khi g ′ ( x ) = x − f ′ ( x − − m − ) = 3x − f ′ ( 3x − − m − 5) 3x − 3 x − = Số điểm cực trị hàm số g ( x ) số nghiệm hệ phương trình x − − m − = 3x − − m − = m + > ⇒ m > −5 Khi hàm số có điểm cực trị m + > − Kết hợp m ∈ ¢ ⇒ m = { −4; −3; −2; −1} Vậy có giá trị m Chọn C Câu 239: Dựa vào hình vẽ, ta có f ′ ( x ) = x ( x − 1) ( x − 3) ; ∀x ∈ ¡ Ta có g ′ ( x ) = 4x − f ′ ( x − + m2 − 5) ; 2x −1 4x − = 4 x − = 2 4 x − = 2x −1 + m − = 2x −1 = − m ⇔ ⇔ Lại có g ′ ( x ) = ⇔ 2 x − + m2 − = x − = − m2 f ′ ( x − + m − ) = x − + m2 − = x − = − m2 ( Yêu cầu toán ⇔ ( 1) , ( ) , ( 3) có nghiệm phân biệt ⇔ − m > ⇔ m ∈ − 5; Kết hợp m ∈ ¢ → có giá trị nguyên m cần tìm Chọn A Câu 240: Dựa vào hình vẽ, ta có f ′ ( x ) = − x ( x + ) ( x − 1) ; ∀x ∈ ¡ Ta có g ′ ( x ) = 4 x + = 4x + f ′ ( x + + 2m − 2020 ) ; g ′ ( x ) = ⇔ 2x +1 f ′ ( x + + 2m − 2020 ) = 4 x + = 4 x + = x + + 2m − 2020 = −2 x + = 2018 − 2m ⇔ ⇔ x + + 2m − 2020 = x − = 2020 − 2m x + + 2m − 2020 = x − = 2021 − 2m (1) (2) (3) Yêu cầu toán ⇔ ( 1) , ( ) , ( 3) có nghiệm phân biệt ⇔ 2018 − 2m > ⇔ m < 1009 Kết hợp m ∈ ¢ + → có 1008 giá trị nguyên m cần tìm Chọn B ( 1) (2) (3) ) ... ab ≥ 2a −b < ⇔ ab < 2a a > Hàm số có cực trị cực trị cực tiểu ⇔ b ≥ a > Hàm số có cực trị cực trị cực đại ⇔ b ≤ a > Hàm số có hai cực tiểu cực đại ⇔ b < a > Hàm số có... hàm số cho có điểm cực tiểu Chọn B Ví dụ 16: [Đề thi thử nghiệm THPTQG 20 17]: Cho hàm số y = x2 + Mệnh đề đúng? x +1 A Cực tiểu hàm số −3 B Cực tiểu hàm số C Cực tiểu hàm số −6 D Cực tiểu hàm. .. Ví dụ 17: Cho hàm số y = x2 + Khẳng định sau đúng? x −1 A Hàm số đạt cực tiểu x = −1 B Hàm số đạt cực đại x = D Hàm số có hai cực trị yCD < yCT Lời giải C Giá trị cực tiểu ? ?2 Hàm số có tập xác