Thông tin tài liệu
CHUYÊN ĐỀ 2: MŨ VÀ LÔGARIT BÀI 1: LŨY THỪA – HÀM SỐ LŨY THỪA Mục tiêu Kiến thức + Biết khái niệm tính chất lũy thừa với số mũ nguyên, lũy thừa với số mũ hửu tỉ không nguyên lũy thừa với số mũ thực + Biết khái niệm tính chất bậc n + Biết khái niệm tính chất hàm số lũy thừa + Biết cơng thức tính đạo hàm hàm số lũy thừa + Biết dạng đồ thị hàm số lũy thừa Kĩ + Biết dùng tính chất lũy thừa để rút gọn biểu thức, so sánh biểu thức có chứa lũy thừa + Biết khảo sát hàm số lũy thừa + Tính đạo hàm hàm số lũy thừa Trang I LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM LŨY THỪA Lũy thừa với số mũ nguyên Cho n số nguyên dương n a a 123 • Với a tùy ý: a a n thừ a số • Với a �0: a0 1; a n (a: số, n: số mũ) an Chú ý: 00, 0 n khơng có nghĩa Lũy thừa với số mũ ngun có tính chất tương tự lũy thừa với số mũ nguyên dương n Phương trình x b * • Với n lẻ: Phương trình (*) ln có nghiệm • Với n chẵn + Nếu b : Phương trình (*) có hai nghiệm trái dấu + Nếu b : Phương trình (*) có nghiệm x + Nếu b : Phương trình (*) vơ nghiệm Căn bậc n Khái niệm Cho b �R , n �N * n �2 Số a gọi bậc n b a n b • Với n lẻ b �R , phương trình x n b có bậc n b, ký hiệu n b • Với n chẵn: b : Khơng có bậc n b Trang b : Có bậc n b : Có hai trái dấu, ký hiệu giá trị dương n b , giá trị âm n b Tính chất Với a, b�0 , m, n�N * ; p�Z ta có: • n ab n a.n b; •n a na , b 0; b nb • n ap a n p , a 0 ; • n m a n.m a; � a n lẻ � n n • a � n �a n chaü Lũy thừa với số mũ hửu tỉ Cho số thực a dương số hửu tỉ r m , n Ví dụ: 1 a a2 ; n a an m�Z,n�N* Lũy thừa a với số mũ r xác định m sau: ar a n n am Lũy thừa với số mũ vô tỉ Cho a 0, số vơ tỉ Ta thừa nhận ln có r dãy số tương ứng arn dãy số hữu tỉ rn mà nlim � � n có giới hạn khơng phụ thuộc vào việc chọn dãy số rn arn lũy thừa a với số mũ Khi ta kí hiệu a nlim � � Lũy thừa với số mũ thực Tính chất Với a, b số thực dương; , số thực tùy ý, ta có: • a a a ; • a a ; a Trang • a a ; • a.b a b ; �a � a •� � ; �b � b So sánh hai lũy thừa • So sánh số Ví dụ: - Nếu số a � a a 2,5 1,2 � - Nếu số a 1thì � a a 0,5 1,1� 0,3 2,5 0,5 1,2 0,3 1,1 • So sánh số mũ - Nếu số mũ a b � a b Ví dụ: - Nếu số mũ a b � a b �3 � �2 � �� � � � �4 � �3 � HÀM SỐ LŨY THỪA Khái niệm hàm số lũy thừa 0,8 0,8 0,8 Hàm số y x , với �R gọi hàm số lũy thừa 0,8 �2 � �3 � �� � � � �4 � �3 � Chú ý: Tập xác định hàm số y x tùy thuộc vào giá trị Ví dụ: Tập xác định hàm số y x5 D R;; Cụ thể: y x5 D R;\ 0 ; • nguyên dương: D R ; • nguyên âm 0: D R|\ 0 ; y x7 , y x D 0; � • không nguyên: D 0; � Đạo hàm hàm số lũy thừa Ví dụ: Đạo hàm hàm số Hàm số lũy thừa y x , �R có đạo hàm với x và: y x5 y� 5.x6 ; y sin2 x y� 2sin x. sin x � 2sin x.cos x • x � x 1; • u � u 1.u�với u biểu thức chứa x Khảo sát hàm số lũy thừa y x y x , Lưu ý: Khi khảo sát hàm số lũy thừa y x , với số mũ cụ thể, ta phải xét hàm số a Tập khảo sát: 0;� a Tập khảo sát: 0;� toàn tập xác định b Sự biến thiên: b Sự biến thiên: Chẳng hạn: Khảo sát hàm số y x3 • y� x 1 0, x>0 • y� x 1 0, x>0 tập xác định �, khảo sát Hàm số đồng biến Hàm số nghịch biến hàm số y x2 tập xác định Trang • Giới hạn đặc biệt: lim x 0, lim x � x�0 x�� • Tiệm cận: Khơng có • Giới hạn đặc biệt: D �\ 0 lim x �, lim x x�0 x�� • Tiệm cận: Trục Ox tiệm cận ngang c Bảng biến thiên: Trục Oy tiệm cận đứng c Bảng biến thiên: d Đồ thị: Nhận xét: Đồ thị hàm số lũy thừa qua điểm I 1;1 Trang SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HĨA LŨY THỪA Định nghĩa Tính chất an a a a 123 n thừ a số a0 1; a n an m n ar a n am rn : lim rn n�� � a lim a n r a��, n��* a �0, �n�� m �� n m��, n��* a 0, a 0, làsốvôtỉ n�� a 0, �� n lẻ Căn bậc n b n chẵn Có b b b Không tồn n 0 n b n b Trang HÀM SỐ LŨY THỪA II CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Lũy thừa Bài toán Viết lũy thừa với dạng số mũ hữu tỷ Bài toán 1.1 Thu gọn biểu thức chứa thức Phương pháp giải Tính chất bậc n • n n � a.n b Khi n leû ab � ; n a n b Khi n chaü � n � �n a �n Khi n leû b �0 a �b � ; b �n a n b �0 �n Khi n chẵ b � � • n • n • n m • n ap a n p , a 0 ; a n.m a; � a n leû � an � n �a n chẵ Trang Cơng thức lũy thừa với số mũ thực • am n amn ; • am.an am n; • am am n; n a • am.bm a.b ; m m am �a � • m � � b �b � Ví dụ mẫu Ví dụ 1: Cho x số thực dương Biểu thức x2 x viết dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ A x12 12 B x6 C x D x5 Hướng dẫn giải Điều kiện x số thực dương làm cho biểu thức �7 � Ta có: x2 x x x x �x3 � x12 � � � � dạng thũy thừa với số mũ hửu tỉ xác định Chọn A Ví dụ 2: Cho hai số thực dương a b Biểu thức a b a viết b a b dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ 31 30 a� A � �� �b � 30 30 a� B � �� �b � 31 a� C � �� �b � a� D � � � �b � Hướng dẫn giải Ta có: 1 1 a b a a �a � �a � a �a � � �� � �� b a b b �b � �b � b �b � 1 6 a �a � �a � �a � � � � � � � b �b � �b � �b � Chọn D Bài toán 1.2 Thu gọn biểu thức chứa lũy thừa Phương pháp giải Các đẳng thức đáng nhớ: Trang • a �b a2 �2ab b2; • a �b a3 �3a2b 3ab2 �b3; 2 • a b a b a b ; • a b a b a ab b 3 2 • a b a b a ab b ; 3 2 Ví dụ mẫu 1 � 12 �� y y� Ví dụ 1: Cho P �x y2 �� � Biểu thức rút gọn P � �� x x� � �� � A x B 2x C x D x Hướng dẫn giải Ta có: P 1 �x xy y � x y � � � � x � � x y x x y x Chọn A � a0,5 a0,5 �a0,5 0,5 (với a �1) ta Ví dụ 2: Rút gọn biểu thức � � 0,5 �a 2a a � a A a B a C 1 a D a Hướng dẫn giải � a0,5 a0,5 �a0,5 0,5 Ta có: � � 0,5 �a 2a a � a � 0,5 � 0,5 a 2 a0,5 a 1 � � 0,5 0,5 0,5 � 0,5 � a a 1 a a 1 � � � � �a0,5 a0,5 � � 0,5 0,5 � 0,5 �a a �a a a0,5 a a0,5 2 0,5 a1 a1 a Chọn D Trang � � � � � � x x x Ví dụ 3: Rút gọn biểu thức � �(với x 0, x �1) ta 4 � � � � � x 1 � x 1 � � x� x� � � 4 � x 1 � � x 1 � � � � � � � B x2 A x2 C x3 D x3 Hướng dẫn giải � � � � � � x x x Ta có: � � �4 x3 � �4 x3 �� � � � x� x �� � �4 x � �4 x � � � � � �� � � x x x � � � � x x 1 x x2 x 1 x � � � � � x x x � �4 x 1 x � � � �x x � � � � 1 x � � � � � � x3 � � � Chọn C Bài tốn Tính giá trị biểu thức Phương pháp giải Công thức đặc biệt f x ax ax a Thật vậy, ta có: f x f 1 x f 1 x a ax a a ax � f 1 x a a a.ax a ax a Nên: f x f 1 x Ví dụ mẫu Ví dụ 1: Cho f x 2018x 2018x 2018 Tính giá trị biểu thức sau ta �1 � �2 � �2018 � S ff� � � � f � � �2019 � �2019 � �2019 � A S 2018 B S 2019 C S 1009 D S 2018 Trang 10 Hướng dẫn giải Ta có: f 1 x 2018 � f x f 1 x 2018x 2018 �1 � �2 � � Suy S ff� � � �2019 � �2019 � �2018� � � ff� � � � �2019 � �2019 � �2018 � f� � �2019 � � � �2017 � �1009 � �1010 � ff� � � � ff� � � � 1009 �2019 � �2019 � �2019 � �2019 � Chọn C Ví dụ 2: Cho 9x 9 x 23 Tính giá trị biểu thức P A 2 B C 5 3x 3 x ta 1 3x 3 x D Hướng dẫn giải x x Ta có: 23 � x Từ đó, vào P x � 3x 3 x 25 � �x x 5 loaïi � � 5 1 1 5 3x 3 x x x Chọn D Bài tập tự luyện dạng Câu 1: Khẳng định sau đúng? A a n xác định với a��\ 0 ;n�� B a n n am; a�� C a0 1;a�� D Câu 2: Rút gọn biểu thức A a2 b2 a b 3 B 2a m n m am a n ; a��;m,n�� (với a 0, b a �b ) kết C a b a b D 2a a b Câu 3: Cho số thực dương a Rút gọn P a3 a4 a5 a ta 25 37 A a13 53 B a13 43 C a36 D a60 Câu 4: Viết biểu thức P a.3 a2 a a 0 dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ ta A P a3 B P a6 11 C P a D P a2 Trang 11 m Câu 5: Viết biểu thức A 15 �a � b3 a , a, b 0 dạng lũy thừa � � ta m a b �b � B 15 C D 2 15 Câu 6: Rút gọn biếu thức Q b3 : b với b ta A Q b2 C Q b B Q b9 a3 a viết dạng a Giá trị Câu 7: Giả sử a số thực dương, khác A 11 D Q b3 B C D Câu 8: Rút gọn biểu thức P x3 x với x ta A P x2 B P x C P x8 Câu 9: Cho a, b số thực dương Viết biểu thức 1 A a4b2 12 a3b3 dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ ta B a4b9 D P x9 1 C a4b4 D a4b4 Câu 10: Cho a số dương, viết a3 a dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ ta A a6 B a3 C a6 D a2 Câu 11: Cho a Đẳng thức sau đúng? A a a a B a3 a2 a Câu 12: Cho biểu thức P A P a2 5 4 a Câu 13: Cho hàm số f a a 8 D 7 a5 a5 D P a với a 0,a �1 Giá trị M f 2017 a a2 a a 2018 1 B M 20171009 C M 20171009 7 3 2017 B 7 a6 C P a2 Câu 14: Giá trị biểu thức P 7 A , với a Mệnh đề đúng? B P a a3 A M 20172018 C a2 31 31 a a6 2016 2017 9 2016 D M 20171009 C 7 Câu 15: Giá trị biểu thức P D 7 2016 Trang 12 A B C Câu 16: Cho 14 Giá trị biểu thức P x x A P B P C P Câu 18: Cho hàm số f x A -1 A 99 B Câu 20: Cho hàm số f x �1 � �2 � S ff� � � � �2015� �2015� A 2014 D P D P 9x ; x�� a, b thỏa a b Giá trị f a f b 9x B Câu 19: Cho hàm số f x 5x 5 x 5x 5 x C P B P 121 2017 10 2x 2 x 3 2x 2 x Câu 17: Cho 25x 25 x Giá trị biểu thức P A P 12 D 4x Tổng P 4x C � � �2 � ff� � � � 100 � � 100 � � 301 C 101 D �98 � �99 � ff� � � �bằng 100 � � 100 � � D 149 4x Giá trị biểu thức sau 4x �3 � �2013� ff� � � � �2015� �2015� B 2015 �2014 � f� � �2015� C 1008 D 1007 Dạng 2: Hàm số lũy thừa Bài tốn Tìm tập xác định hàm số lũy thừa Phương pháp giải Ta tìm điều kiện xác định hàm số � y � �f x �, dựa vào số mũ sau: 3 A � • Nếu số ngun dương khơng có điều C 1;5 kiện xác định f x Ví dụ: Tập xác định hàm số y x2 6x B �\ 1;5 D �;1 � 5; � Hướng dẫn giải • Nếu số nguyên âm điều Số mũ 3 số nguyên âm Do đó, điều kiện xác kiện xác định f x �0 �x �1 định hàm số là: x 6x �0 � � • Nếu số khơng ngun điều kiện xác �x �5 định f x Vậy tập xác định hàm số cho �\ 1;5 Chọn B Trang 13 Ví dụ mẫu Ví dụ 1: Tập xác định hảm số y x2 5x A �\ 2;3 B �;2 � 3; � C 2;3 D 3; � Hướng dẫn giải Số mũ số nguyên Do đó, điều kiện xác định hàm số là: x2 5x � x� 2;3 Vậy tập xác định hàm số cho 2;3 Chọn C Ví dụ 2: Tập xác định hảm số y xsin 2018 B 0; � A � C �\ 0 0; � D � � Hướng dẫn giải Ta có y xsin 2018 x0 nên tập xác định �\ 0 Chọn C Ví dụ 3: Tập xác định hảm số y 1 x B 0; � A � 2019 C �\ 0 0; � D � � Hướng dẫn giải Vì số mũ 2019 số nguyên âm nên điều kiện xác định hàm số 1 x �0, ngồi hàm số cịn chứa thức bậc hai nên x �0 � 1 x �0 luô n đú ng x �0 � Hàm số xác định �۳� �x �0 x 0; � Vậy D � � Chọn D Ví dụ 4: Có giá trị nguyên m� 2018;2018 để hàm số y x2 2x m có tập xác định �? A 4036 B 2018 C 2017 D Vô số Hướng dẫn giải Vì số mũ khơng phải số nguyên nên hàm số xác định với x�� � x2 2x m 1 0,x�� Trang 14 � � 0 � �� a 0 luô n đú ng a 1 0 � � 1 m 1 � m � �m� 2018;2018 � m� 1,2,3, ,2017 Mà � �m�� Vậy có 2017 giá trị nguyên tham số m thỏa mãn yêu cầu Chọn C Bài tốn Tính đạo hàm hàm số lũy thừa Phương pháp giải Cơng thức tính đạo hàm Ví dụ: • x � x 1 x 0, �� ; � � 2x 5 �2x 5 � � • u � u 1.u� với u biểu thức chứa x Ví dụ mẫu Ví dụ 1: Tìm đạo hàm hàm số y 1 x2 A y� C y� 1 x2 x 1 x2 5 B y� x 1 x2 D y� x 1 x2 5 Hướng dẫn giải Ta có: y� 1 x2 1 � 1 x 1 x2 2x x 1 x2 Chọn D Ví dụ 2: Tìm đạo hàm hàm số y 2 3cos2x A y� 24 3cos2x sin2x B y� 12 3cos2x sin2x C y� 24 2 3cos2x sin2x D y� 12 3cos2x sin2x 3 3 Hướng dẫn giải Ta có: y� 4 2 3cos2x 2 3cos2x � 4 3cos2x 6sin2x 24 3cos2x sin2x Trang 15 Chọn A Ví dụ 3: Đạo hàm hàm số y xsin x A y� xsin x sin x x cos x C y� 3 x2 sin2 x B y� xsin x sin x xcosx D y� xsin x cos x Hướng dẫn giải Ta có: y� 1 2 � xsin x xsin x x sin x sin x xcosx Chọn B Ví dụ 4: Đạo hàm hàm số y 1 x A C y� 1 3x x 1 x y� 1 x x 1 x 2 B y� 1 x D y� 1 x x Hướng dẫn giải 1 Ta có: y� 1 x 1 x � 1 x 1 x x x 1 3x x 1 x Chọn A Bài toán Khảo sát biến thiên nhận dạng đồ thị hàm số lũy thừa Phương pháp giải Đồ thị hàm số lũy thừa y a 0; � : Lưu ý: Khi khảo sát hàm số lũy thùa với số mũ cụ thể, ta phải xét hàm số tồn tập xác định Chẳng hạn: Khảo sát hàm số y x3 tập xác định �, khảo sát hàm số y x2 tập xác định D �\ 0 Nhận xét: Đồ thị hàm số lũy thừa qua điểm I 1;1 Trang 16 Ví dụ mẫu Ví dụ 1: Cho hàm số y f x có đồ thị hình vẽ Hỏi f x hàm số bốn hàm số đây? B f x x A f x x3 D f x x C f x x Hướng dẫn giải Hàm số có tập xác định D 0; � , loại đáp án B, D Hàm số đồng biến D, loại C Chọn A Ví dụ 2: Cho hàm số y f x x có đồ thị C Mệnh đề sau đúng? A Hàm số tăng 0; � B Đồ thị C khơng có tiệm cận C Tập xác định hàm số � D Hàm số khơng có cực trị Hướng dẫn giải Hàm số có tập xác định D 0; � Ta có: y� 2x 21 0,x�D Hàm số nghịch biến D � Hàm số cực trị Chọn D Bài tập tự luyện dạng 2 Câu 1: Tập xác định D hàm số y x2 3x A D �\ 1;4 4; � B D �; 1� ��� � C D � D D �; 1 � 4; � Câu 2: Trong hàm số sau đây, hàm số có tập xác định D �? A y x � 1� B y � � � x � C y x2 Câu 3: Tập xác định D hàm số y x2 3x 4 D y x Trang 17 A 0;3 B D �\ 0;3 Câu 4: Tập xác định hàm số y x2 4x 2019 2020 C D � D D �;0 � 3; � C 0;4 D �\ 0;4 C D �\ 3 D D � 4; � B �;0 � 4; � A �;0� ��� � Câu 5: Tập xác định D hàm số y 3 x A D �;3 B D �;3� � sin x 3� Câu 6: Tập xác định D hàm số y � � � �x � A D �\ 2;3 3, � B D �, 2 �� � C D �\ 3 D D �; 2 � 3; � Câu 7: Tập xác định D hàm số y xe x2 A D 1;1 B D �\ 1;1 C D 1; � D D � Câu 8: Có giá trị nguyên tham số m� 50;50 để hàm số y x2 2x m có tập xác định �? A 99 B 49 C 50 D 100 Câu 9: Biết tham số m� a; b , với a b hàm số y x2 2x m2 5m 3 2 có tập xác định Giá trị tổng a b A 5 B D 3 C 2019 Câu 10: Tất giá trị thực m để hàm số y x2 4x m 2020 xác định � A m B m C m�4 D m�4 2020 Câu 11: Tất giá trị thực m để hàm số y x2 2x m A m B m 1 xác định � D m 1 C m Câu 12: Tất giá trị thực tham số m cho hàm số y x2 mx A 2 �m�2 B m 2�m C 1 m sin có tập xác định � D 2 m �x2 2mx m � Câu 13: Tất giá trị thực m để hàm số y � � xác định � x2 � � A 1 m B 1�m C 2 m D 1 m�2 Câu 14: Phương trình tiếp tuyến C : y x2 điểm M0 có hồnh độ x0 Trang 18 A y x B y x 2 C y x D y x 2 Câu 15: Trên đồ thị hàm số y x2 1 lấy điểm M0 có hoành độ x 2 Tiếp tuyến C điểm M0 có hệ số góc A B 2 C 2 D Câu 16: Cho hàm số lũy thừa y x , y x , y x có đồ thị hình vẽ Khẳng định sau đúng? A B C D Câu 17: Cho , số thực Đồ thị hàm số y x , y x khoảng 0;� cho hình vẽ bên Khẳng định sau đúng? A 1 B 1 C 1 D 1 Câu 18: Bảng biến thiên hàm số nào? A y x3 B y log3 x C y x2 D y 3x Trang 19 Câu 19: Cho hàm số y x4 Mệnh đề sau sai? A Hàm số có trục đối xứng B Đồ thị hàm số qua điểm 1;1 C Đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận D Đồ thị hàm số có tâm đối xứng Câu 20: Trong phương trình sau đây, phương trình có nghiệm? A x6 1 B 1 C x5 x 1 x D x4 1 ĐÁP ÁN Dạng Lũy thừa 1-A 11-B 2-D 12-B 3-D 13-D 4-C 14-C 5-D 15-C 6-D 16-C 7-C 17-B 8-B 18-C 9-C 19-A 10-A 20-D 4-B 14-B 5-C 15-A 6-A 16-B 7-C 17-A 8-B 18-C 9-B 19-D 10-A 20-A Dạng Hàm số lũy thừa 1-D 11-D 2-C 12-D 3-B 13-A Trang 20 ... x6 1? ?? B 1 C x5 x 1? ?? x D x4 1? ?? ĐÁP ÁN Dạng Lũy thừa 1- A 11 -B 2-D 12 -B 3-D 13 -D 4-C 14 -C 5-D 15 -C 6-D 16 -C 7-C 17 -B 8-B 18 -C 9-C 19 -A 10 -A 20-D 4-B 14 -B 5-C 15 -A 6-A 16 -B 7-C 17 -A... � � � �2 015 � �2 015 � B 2 015 �2 014 � f� � �2 015 � C 10 08 D 10 07 Dạng 2: Hàm số lũy thừa Bài tốn Tìm tập xác định hàm số lũy thừa Phương pháp giải Ta tìm điều kiện xác định hàm số � y � �f... sát hàm số y x2 tập xác định D � 0 Nhận xét: Đồ thị hàm số lũy thừa qua điểm I 1; 1 Trang 16 Ví dụ mẫu Ví dụ 1: Cho hàm số y f x có đồ thị hình vẽ Hỏi f x hàm số bốn hàm số
Ngày đăng: 24/10/2020, 16:31
Xem thêm:
