Bài 1 lũy THỪA – hàm số lũy THỪA

CHUYÊN ĐỀ 2: MŨ VÀ LÔGARIT BÀI 1: LŨY THỪA – HÀM SỐ LŨY THỪA Mục tiêu  Kiến thức + Biết khái niệm tính chất lũy thừa với số mũ nguyên, lũy thừa với số mũ hửu tỉ không nguyên lũy thừa với số mũ thực + Biết khái niệm tính chất bậc n + Biết khái niệm tính chất hàm số lũy thừa + Biết cơng thức tính đạo hàm hàm số lũy thừa + Biết dạng đồ thị hàm số lũy thừa  Kĩ + Biết dùng tính chất lũy thừa để rút gọn biểu thức, so sánh biểu thức có chứa lũy thừa + Biết khảo sát hàm số lũy thừa + Tính đạo hàm hàm số lũy thừa Trang I LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM LŨY THỪA Lũy thừa với số mũ nguyên Cho n số nguyên dương n a a 123 • Với a tùy ý: a  a n thừ a số • Với a �0: a0  1; a n  (a: số, n: số mũ) an Chú ý: 00, 0 n khơng có nghĩa Lũy thừa với số mũ ngun có tính chất tương tự lũy thừa với số mũ nguyên dương n Phương trình x  b * • Với n lẻ: Phương trình (*) ln có nghiệm • Với n chẵn + Nếu b  : Phương trình (*) có hai nghiệm trái dấu + Nếu b  : Phương trình (*) có nghiệm x  + Nếu b  : Phương trình (*) vơ nghiệm Căn bậc n Khái niệm Cho b �R , n �N *  n �2  Số a gọi bậc n b a n  b • Với n lẻ b �R , phương trình x n  b có bậc n b, ký hiệu n b • Với n chẵn: b  : Khơng có bậc n b Trang b  : Có bậc n b  : Có hai trái dấu, ký hiệu giá trị dương n b , giá trị âm  n b Tính chất Với a, b�0 , m, n�N * ; p�Z ta có: • n ab  n a.n b; •n a na  , b  0; b nb • n ap   a n p , a  0 ; • n m a  n.m a; � a n lẻ � n n • a � n �a n chaü Lũy thừa với số mũ hửu tỉ Cho số thực a dương số hửu tỉ r  m , n Ví dụ: 1 a  a2 ; n a  an m�Z,n�N* Lũy thừa a với số mũ r xác định m sau: ar  a n  n am Lũy thừa với số mũ vô tỉ Cho a  0,  số vơ tỉ Ta thừa nhận ln có   r dãy số tương ứng arn dãy số hữu tỉ  rn  mà   nlim � � n có giới hạn khơng phụ thuộc vào việc chọn dãy số  rn   arn lũy thừa a với số mũ  Khi ta kí hiệu a  nlim � � Lũy thừa với số mũ thực Tính chất Với a, b số thực dương;  ,  số thực tùy ý, ta có: • a a  a   ; • a  a   ; a Trang   • a   a  ; •  a.b  a b ;   �a � a •� �  ; �b � b So sánh hai lũy thừa • So sánh số Ví dụ: - Nếu số a     � a  a 2,5  1,2 �    - Nếu số  a  1thì    � a  a 0,5  1,1�  0,3   2,5    0,5 1,2   0,3 1,1 • So sánh số mũ - Nếu số mũ   a  b  � a  b Ví dụ: - Nếu số mũ   a  b  � a  b �3 � �2 �  �� �  � � �4 � �3 � HÀM SỐ LŨY THỪA Khái niệm hàm số lũy thừa 0,8 0,8 0,8 Hàm số y  x , với  �R gọi hàm số lũy thừa 0,8 �2 � �3 �  �� � � � �4 � �3 � Chú ý: Tập xác định hàm số y  x tùy thuộc vào giá trị Ví dụ: Tập xác định hàm số  y  x5 D  R;; Cụ thể: y  x5 D  R;\  0 ; •  nguyên dương: D  R ; •  nguyên âm 0: D  R|\  0 ; y  x7 , y  x D   0; � •  không nguyên: D   0; � Đạo hàm hàm số lũy thừa Ví dụ: Đạo hàm hàm số Hàm số lũy thừa y  x ,  �R có đạo hàm với x  và:  y  x5 y�  5.x6 ;   y  sin2 x   y�  2sin x. sin x � 2sin x.cos x • x �  x 1; • u �  u 1.u�với u biểu thức chứa x Khảo sát hàm số lũy thừa y  x y  x ,   Lưu ý: Khi khảo sát hàm số lũy thừa y  x ,  với số mũ cụ thể, ta phải xét hàm số a Tập khảo sát:  0;� a Tập khảo sát:  0;� toàn tập xác định b Sự biến thiên: b Sự biến thiên: Chẳng hạn: Khảo sát hàm số y  x3 • y�   x 1  0,  x>0 • y�   x 1  0,  x>0 tập xác định �, khảo sát Hàm số đồng biến Hàm số nghịch biến hàm số y  x2 tập xác định Trang • Giới hạn đặc biệt: lim x  0, lim x  � x�0 x�� • Tiệm cận: Khơng có • Giới hạn đặc biệt: D  �\  0 lim x  �, lim x  x�0 x�� • Tiệm cận: Trục Ox tiệm cận ngang c Bảng biến thiên: Trục Oy tiệm cận đứng c Bảng biến thiên: d Đồ thị: Nhận xét: Đồ thị hàm số lũy thừa qua điểm I  1;1 Trang SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HĨA LŨY THỪA Định nghĩa Tính chất an  a a a 123 n thừ a số a0  1; a n  an m n ar  a  n am   rn  : lim rn   n�� � a  lim a n r a��,  n��* a �0,  �n�� m �� n m��, n��* a  0,  a  0, làsốvôtỉ n�� a  0, �� n lẻ Căn bậc n b n chẵn Có b b b Không tồn n 0 n b n b Trang HÀM SỐ LŨY THỪA II CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Lũy thừa Bài toán Viết lũy thừa với dạng số mũ hữu tỷ Bài toán 1.1 Thu gọn biểu thức chứa thức Phương pháp giải Tính chất bậc n • n n � a.n b Khi n leû ab  � ; n a n b Khi n chaü � n � �n a �n Khi n leû b �0 a �b � ; b �n a n  b �0 �n Khi n chẵ b � � • n • n • n m • n ap   a n p , a  0 ; a  n.m a; � a n leû � an  � n �a n chẵ Trang Cơng thức lũy thừa với số mũ thực   • am n  amn ; • am.an  am n; • am  am n; n a • am.bm   a.b ; m m am �a � • m  � � b �b � Ví dụ mẫu Ví dụ 1: Cho x số thực dương Biểu thức x2 x viết dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ A x12 12 B x6 C x D x5 Hướng dẫn giải Điều kiện x số thực dương làm cho biểu thức �7 � Ta có: x2 x  x x  x  �x3 �  x12 � � � � dạng thũy thừa với số mũ hửu tỉ xác định Chọn A Ví dụ 2: Cho hai số thực dương a b Biểu thức a b a viết b a b dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ 31 30 a� A � �� �b � 30 30 a� B � �� �b � 31 a� C � �� �b � a� D � � � �b � Hướng dẫn giải Ta có: 1 1 a b a a �a � �a � a �a �  � �� �  �� b a b b �b � �b � b �b �  1 6 a �a � �a � �a � � �  � �  � � b �b � �b � �b � Chọn D Bài toán 1.2 Thu gọn biểu thức chứa lũy thừa Phương pháp giải Các đẳng thức đáng nhớ: Trang •  a �b  a2 �2ab  b2; •  a �b  a3 �3a2b  3ab2 �b3; 2 • a  b   a  b  a  b ;   • a  b   a  b  a  ab  b  3 2 • a  b   a  b a  ab  b ; 3 2 Ví dụ mẫu 1 � 12 �� y y� Ví dụ 1: Cho P  �x  y2 ��   � Biểu thức rút gọn P � �� x x� � �� � A x B 2x C x D x Hướng dẫn giải Ta có: P   1 �x  xy  y � x y � � � � x � �   x y   x x y  x Chọn A � a0,5  a0,5  �a0,5   0,5 (với  a �1) ta Ví dụ 2: Rút gọn biểu thức � � 0,5 �a  2a  a  � a A a B a C 1 a D a Hướng dẫn giải � a0,5  a0,5  �a0,5   0,5 Ta có: � � 0,5 �a  2a  a  � a � 0,5 � 0,5 a 2 a0,5  a 1 � �   0,5 0,5 0,5 � 0,5 � a a 1 a  a 1 � � � �      �a0,5  a0,5  �  � 0,5  0,5 � 0,5 �a  a  �a  a  a0,5   a  a0,5  2 0,5  a1 a1 a Chọn D Trang � � � � � � x x x Ví dụ 3: Rút gọn biểu thức � �(với x  0, x �1) ta 4 � � � � � x 1 � x 1 � �  x�  x� � � 4 � x 1 � � x 1 � � � � � � � B  x2 A x2 C  x3 D x3 Hướng dẫn giải � � � � � � x x x Ta có: � � �4 x3  � �4 x3  �� � � �  x�  x �� � �4 x  � �4 x  � � � � � �� � � x x x � � � � x  x  1 x x2  x  1 x � � � �   � x x x � �4 x  1 x � �       � �x x  � � � � 1 x � � � � � �  x3 � � � Chọn C Bài tốn Tính giá trị biểu thức Phương pháp giải Công thức đặc biệt f  x  ax ax  a Thật vậy, ta có: f  x  f  1 x  f  1 x  a ax a  a ax � f  1 x   a a  a.ax a ax  a Nên: f  x  f  1 x  Ví dụ mẫu Ví dụ 1: Cho f  x  2018x 2018x  2018 Tính giá trị biểu thức sau ta �1 � �2 � �2018 � S  ff� � � �  f � � �2019 � �2019 � �2019 � A S  2018 B S  2019 C S  1009 D S  2018 Trang 10 Hướng dẫn giải Ta có: f  1 x  2018 � f  x  f  1 x  2018x  2018 �1 � �2 �  � Suy S  ff� � �  �2019 � �2019 � �2018� � � ff� � � � �2019 � �2019 � �2018 � f� � �2019 � � � �2017 � �1009 � �1010 �  ff� � � �  ff� � � � 1009 �2019 � �2019 � �2019 � �2019 � Chọn C Ví dụ 2: Cho 9x  9 x  23 Tính giá trị biểu thức P  A 2 B C 5 3x  3 x ta 1 3x  3 x D  Hướng dẫn giải  x x Ta có:   23 �  x Từ đó, vào P  x  � 3x  3 x   25 � �x  x   5  loaïi  � �    5   1    1 5 3x  3 x x x Chọn D Bài tập tự luyện dạng Câu 1: Khẳng định sau đúng? A a n xác định với a��\  0 ;n�� B a n  n am; a�� C a0  1;a�� D Câu 2: Rút gọn biểu thức A a2  b2 a b 3  B 2a m n m am  a n ; a��;m,n��  (với a  0, b  a �b ) kết C a b a b D 2a a b Câu 3: Cho số thực dương a Rút gọn P  a3 a4 a5 a ta 25 37 A a13 53 B a13 43 C a36 D a60 Câu 4: Viết biểu thức P  a.3 a2 a  a  0 dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ ta A P  a3 B P  a6 11 C P  a D P  a2 Trang 11 m Câu 5: Viết biểu thức A 15 �a � b3 a , a, b  0 dạng lũy thừa � � ta m a b �b � B 15 C D 2 15 Câu 6: Rút gọn biếu thức Q  b3 : b với b  ta A Q  b2 C Q  b B Q  b9  a3 a viết dạng a Giá trị  Câu 7: Giả sử a số thực dương, khác A   11 D Q  b3 B   C   D   Câu 8: Rút gọn biểu thức P  x3 x với x  ta A P  x2 B P  x C P  x8 Câu 9: Cho a, b số thực dương Viết biểu thức 1 A a4b2 12 a3b3 dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ ta B a4b9 D P  x9 1 C a4b4 D a4b4 Câu 10: Cho a số dương, viết a3 a dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ ta A a6 B a3 C a6 D a2 Câu 11: Cho a  Đẳng thức sau đúng? A a a  a B a3 a2 a  Câu 12: Cho biểu thức P   A P  a2 5 4 a  Câu 13: Cho hàm số f  a  a  8 D 7 a5  a5 D P  a  với a  0,a �1 Giá trị M  f  2017 a  a2  a a  2018 1 B M  20171009  C M  20171009    7 3 2017 B 7   a6 C P  a2 Câu 14: Giá trị biểu thức P  7 A , với a  Mệnh đề đúng? B P  a a3 A M  20172018  C a2 31 31 a    a6 2016   2017  9 2016 D M  20171009  C 7 Câu 15: Giá trị biểu thức P      D 7 2016 Trang 12 A B  C  Câu 16: Cho   14 Giá trị biểu thức P  x x A P  B P  C P  Câu 18: Cho hàm số f  x  A -1 A 99 B Câu 20: Cho hàm số f  x  �1 � �2 � S  ff� � � � �2015� �2015� A 2014 D P  D P  9x ; x�� a, b thỏa a  b  Giá trị f  a  f  b 9x  B Câu 19: Cho hàm số f  x   5x  5 x  5x  5 x C P  B P  121  2017 10 2x  2 x 3 2x  2 x Câu 17: Cho 25x  25 x  Giá trị biểu thức P  A P  12  D  4x Tổng P  4x  C � � �2 � ff� � � �  100 � � 100 � � 301 C 101 D �98 � �99 � ff� � � �bằng 100 � � 100 � � D 149 4x Giá trị biểu thức sau 4x  �3 � �2013� ff� �  � � �2015� �2015� B 2015 �2014 � f� � �2015� C 1008 D 1007 Dạng 2: Hàm số lũy thừa Bài tốn Tìm tập xác định hàm số lũy thừa Phương pháp giải Ta tìm điều kiện xác định hàm số  � y � �f  x �, dựa vào số mũ sau:   3 A � • Nếu  số ngun dương khơng có điều C  1;5 kiện xác định f  x  Ví dụ: Tập xác định hàm số y  x2  6x  B �\  1;5 D  �;1 � 5; � Hướng dẫn giải • Nếu  số nguyên âm điều Số mũ 3 số nguyên âm Do đó, điều kiện xác kiện xác định f  x �0 �x �1 định hàm số là: x  6x  �0 � � • Nếu  số khơng ngun điều kiện xác �x �5 định f  x  Vậy tập xác định hàm số cho �\  1;5 Chọn B Trang 13 Ví dụ mẫu   Ví dụ 1: Tập xác định hảm số y   x2  5x   A �\  2;3 B  �;2 � 3; � C  2;3 D  3; � Hướng dẫn giải Số mũ  số nguyên Do đó, điều kiện xác định hàm số là:  x2  5x   � x� 2;3 Vậy tập xác định hàm số cho  2;3 Chọn C Ví dụ 2: Tập xác định hảm số y  xsin 2018  B  0; � A � C �\  0 0; � D � � Hướng dẫn giải Ta có y  xsin 2018   x0 nên tập xác định �\  0 Chọn C  Ví dụ 3: Tập xác định hảm số y  1 x B  0; � A �  2019 C �\  0 0; � D � � Hướng dẫn giải Vì số mũ 2019 số nguyên âm nên điều kiện xác định hàm số 1 x �0, ngồi hàm số cịn chứa thức bậc hai nên x �0 � 1 x �0  luô n đú ng x �0 � Hàm số xác định �۳� �x �0 x 0; � Vậy D  � � Chọn D Ví dụ 4: Có giá trị nguyên m� 2018;2018 để hàm số y  x2  2x  m   có tập xác định �? A 4036 B 2018 C 2017 D Vô số Hướng dẫn giải Vì số mũ khơng phải số nguyên nên hàm số xác định với x�� � x2  2x  m 1 0,x�� Trang 14 � � 0 � �� a  0 luô n đú ng a  1 0 � � 1  m 1  � m � �m� 2018;2018 � m� 1,2,3, ,2017 Mà � �m�� Vậy có 2017 giá trị nguyên tham số m thỏa mãn yêu cầu Chọn C Bài tốn Tính đạo hàm hàm số lũy thừa Phương pháp giải Cơng thức tính đạo hàm Ví dụ:   • x �  x 1  x  0, �� ; � �  2x  5 �2x  5 � �    • u �  u 1.u� với u biểu thức chứa x Ví dụ mẫu  Ví dụ 1: Tìm đạo hàm hàm số y  1 x2 A y�  C y�        1 x2 x 1 x2 5    B y�   x 1 x2 D y�   x 1 x2     5 Hướng dẫn giải  Ta có: y�   1 x2   1    � 1 x   1 x2     2x  x 1 x2   Chọn D Ví dụ 2: Tìm đạo hàm hàm số y   2 3cos2x A y�  24  3cos2x sin2x B y�  12  3cos2x sin2x C y�  24 2 3cos2x sin2x D y�  12  3cos2x sin2x 3 3 Hướng dẫn giải Ta có: y�  4 2 3cos2x  2 3cos2x �  4  3cos2x  6sin2x  24  3cos2x sin2x Trang 15 Chọn A Ví dụ 3: Đạo hàm hàm số y   xsin x A y�    xsin x sin x  x cos x  C y� 3 x2 sin2 x B y�    xsin x  sin x  xcosx D y�   xsin x cos x  Hướng dẫn giải Ta có: y�  1  2 �  xsin x  xsin x   x  sin x  sin x  xcosx Chọn B  Ví dụ 4: Đạo hàm hàm số y  1 x A C y�  1  3x  x  1 x y�  1  x  x  1 x 2  B y�    1 x  D y�   1 x     x Hướng dẫn giải  1      Ta có: y�   1 x   1 x    � 1 x   1 x x    x 1  3x x  1 x Chọn A Bài toán Khảo sát biến thiên nhận dạng đồ thị hàm số lũy thừa Phương pháp giải Đồ thị hàm số lũy thừa y  a  0; � : Lưu ý: Khi khảo sát hàm số lũy thùa với số mũ cụ thể, ta phải xét hàm số tồn tập xác định Chẳng hạn: Khảo sát hàm số y  x3 tập xác định �, khảo sát hàm số y  x2 tập xác định D  �\  0 Nhận xét: Đồ thị hàm số lũy thừa qua điểm I  1;1 Trang 16 Ví dụ mẫu Ví dụ 1: Cho hàm số y  f  x có đồ thị hình vẽ Hỏi f  x hàm số bốn hàm số đây? B f  x  x A f  x  x3 D f  x  x C f  x  x  Hướng dẫn giải Hàm số có tập xác định D   0; � , loại đáp án B, D Hàm số đồng biến D, loại C Chọn A  Ví dụ 2: Cho hàm số y  f  x  x có đồ thị  C  Mệnh đề sau đúng? A Hàm số tăng  0; � B Đồ thị  C  khơng có tiệm cận C Tập xác định hàm số � D Hàm số khơng có cực trị Hướng dẫn giải Hàm số có tập xác định D   0; � Ta có: y�   2x 21  0,x�D Hàm số nghịch biến D � Hàm số cực trị Chọn D Bài tập tự luyện dạng   2 Câu 1: Tập xác định D hàm số y  x2  3x  A D  �\  1;4 4; � B D   �; 1� ��� � C D  � D D   �; 1 � 4; � Câu 2: Trong hàm số sau đây, hàm số có tập xác định D  �?    A y   x   � 1� B y  �  � � x �  C y   x2  Câu 3: Tập xác định D hàm số y  x2  3x 4   D y    x  Trang 17 A  0;3 B D  �\  0;3   Câu 4: Tập xác định hàm số y  x2  4x 2019 2020 C D  � D D   �;0 � 3; � C  0;4 D �\  0;4 C D  �\  3 D D  � 4; � B  �;0 � 4; � A  �;0� ��� � Câu 5: Tập xác định D hàm số y   3 x A D   �;3 B D   �;3� �   sin x 3� Câu 6: Tập xác định D hàm số y  � � � �x  � A D  �\  2;3 3, � B D   �, 2 �� � C D  �\  3 D D   �; 2 � 3; �    Câu 7: Tập xác định D hàm số y  xe  x2  A D   1;1 B D  �\  1;1 C D   1; � D D  � Câu 8: Có giá trị nguyên tham số m� 50;50 để hàm số y  x2  2x  m có tập   xác định �? A 99 B 49 C 50 D 100 Câu 9: Biết tham số m� a; b , với a  b hàm số y  x2  2x  m2  5m   3 2 có tập xác định Giá trị tổng a  b A 5 B D 3 C   2019 Câu 10: Tất giá trị thực m để hàm số y  x2  4x  m 2020 xác định � A m B m C m�4  D m�4  2020 Câu 11: Tất giá trị thực m để hàm số y  x2  2x  m A m B m 1 xác định � D m 1 C m   Câu 12: Tất giá trị thực tham số m cho hàm số y  x2  mx  A 2 �m�2 B m 2�m C 1 m  sin có tập xác định � D 2  m  �x2  2mx  m � Câu 13: Tất giá trị thực m để hàm số y  � � xác định � x2  � � A 1 m B 1�m C 2  m D 1 m�2  Câu 14: Phương trình tiếp tuyến  C  : y  x2 điểm M0 có hồnh độ x0  Trang 18 A y   x  B y    x   2 C y   x    D y     x   2 Câu 15: Trên đồ thị hàm số y  x2 1 lấy điểm M0 có hoành độ x  2 Tiếp tuyến  C  điểm  M0 có hệ số góc A   B 2 C 2  D Câu 16: Cho hàm số lũy thừa y  x , y  x , y  x có đồ thị hình vẽ Khẳng định sau đúng? A      B      C      D      Câu 17: Cho  ,  số thực Đồ thị hàm số y  x , y  x khoảng  0;� cho hình vẽ bên Khẳng định sau đúng? A    1  B    1  C    1  D    1  Câu 18: Bảng biến thiên hàm số nào? A y  x3 B y  log3 x C y  x2 D y  3x Trang 19 Câu 19: Cho hàm số y  x4 Mệnh đề sau sai? A Hàm số có trục đối xứng B Đồ thị hàm số qua điểm  1;1 C Đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận D Đồ thị hàm số có tâm đối xứng Câu 20: Trong phương trình sau đây, phương trình có nghiệm? A x6  1 B 1 C x5   x  1  x   D x4  1 ĐÁP ÁN Dạng Lũy thừa 1-A 11-B 2-D 12-B 3-D 13-D 4-C 14-C 5-D 15-C 6-D 16-C 7-C 17-B 8-B 18-C 9-C 19-A 10-A 20-D 4-B 14-B 5-C 15-A 6-A 16-B 7-C 17-A 8-B 18-C 9-B 19-D 10-A 20-A Dạng Hàm số lũy thừa 1-D 11-D 2-C 12-D 3-B 13-A Trang 20 ... x6  1? ?? B 1 C x5   x  1? ??  x   D x4  1? ?? ĐÁP ÁN Dạng Lũy thừa 1- A 11 -B 2-D 12 -B 3-D 13 -D 4-C 14 -C 5-D 15 -C 6-D 16 -C 7-C 17 -B 8-B 18 -C 9-C 19 -A 10 -A 20-D 4-B 14 -B 5-C 15 -A 6-A 16 -B 7-C 17 -A... �  � � �2 015 � �2 015 � B 2 015 �2 014 � f� � �2 015 � C 10 08 D 10 07 Dạng 2: Hàm số lũy thừa Bài tốn Tìm tập xác định hàm số lũy thừa Phương pháp giải Ta tìm điều kiện xác định hàm số  � y � �f... sát hàm số y  x2 tập xác định D  �  0 Nhận xét: Đồ thị hàm số lũy thừa qua điểm I  1; 1 Trang 16 Ví dụ mẫu Ví dụ 1: Cho hàm số y  f  x có đồ thị hình vẽ Hỏi f  x hàm số bốn hàm số