Phương pháp nâng lũy thừa trong bài toán phương trình hàm số logarit Nguyễn Đình Hoàn

T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com I BÀI T P VÍ D Ví d 1: Gi i ph ng trình log5  3x  1  log0,2    2x2   x  log  2x Phân tích: Khi đ i m t v i nh ng tốn có ch a hàm s logarit, c n ph i nghĩ t i vi c kh logarit b ng công th c bi n đ i logarit m c đích đ đ a t t c logarit toán v c s s tốn khơng khó đ có th đ a ph ng trình v logarit c nh sau log5  3x  1  log   2x2   x  log   2x  b d ng: log a b  loga c  loga  bc  log a b  log a c  log a   đ a tốn c Ởau s 3x  v d ng c b n h n: Đ gi i ph   2x   x   2x  f  x  h  x   ng trình ta đ a v d ng: f  x  g  x   h  x    2  f  x  g  x   h  x  Bài gi i: 3 x      x2   x  Đi u ki n xác đ nh:   x 3  x  3  x   ởa có ph ng trình log5  3x  1  log0,2  log  3x  1  log 51  log5  3x  1  log      x2   x  log    2x2   x  log 1 52   2x   2x2   x  log   2x    3x  3x   log   log   2x     2x    2  2x   x   2x   x   2x T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com  3x     2x   2x2  2x2  x     2x   2x2  2x2  10x     ng hai v :   2x   x2  2 x2  10x  Bình ph    Đ t u ki n:   x  2 x2  10 x    *  ) Ph ng trình t ng đ  ng v i: 12x4  64x3  134x2  104x  22       x  1 12 x3  52 x2  82 x  22    x  1 3x  1 x2  16 x  22   x   TM     3x    L   x    x  16 x  22   VN  K t lu n: V y ph ng trình có m t nghi m nh t: x  Bình lu n: Bài tốn khơng q khó khăn đ kh hàm s logarit đ có th đ a v ph ng trình vơ t b n d ng: f  x  g  x   h  x  Tuy nhiên c n ph i nh cách chia đa th c ho c s d ng s đ Horner đ có th gi m b c c a ph đ c bi t u ki n bình ph ng trình sau bình ph ng c n ý ng hai v Chúng ta cịn có th s d ng kĩ thu t chia đa th c b ng máy tính CAỞIO đ tốn tr nên ng n g n h n mà tác gi s đ c p đ n ch đ sau c a cu n sách Ngoài b n c n ý t i nh ng u sau:   V i m i ph ng trình t b c th p đ n b c cao, t ng h s b ng ph ng trình ln ln có nghi m x  V i m i ph ng trình t b c th p đ n b c cao, t ng h s b c ch n b ng t ng h s b c l ph ng trình ln ln có nghi m x  1 T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com ng trình  log x  log Ví d 2: Gi i ph     x    log 3x  10 x  24 Bài gi i: x    241  2x    x Đi u ki n xác đ nh:  3x  10 x  24  10 x  24   ởa có ph ng trình  log x  log  log 2  log x  log  log  2x   log   x    log  22  3x  10 x  24 3x  10x  24   2x   2x     2x           x    log 3x  10 x  24 2x    log  3x  10 x  24     log  2x   log      2x     2x     2x   3x  10x  24 3x  10x  24  2x    3x  10x  24 (Do: x    x  )  2x    3x  10x  24 Bình ph ng hai v ta đ c:  2x    3x  10x  24  3x  10x  24  10x  24  x  3x  10x  24 Ti p t c bình ph ng hai v ta đ  c: x2  10 x  24  x 10 x  24  3x  10 x  24  x2  2x  24   2x   10x  24 Ti p t c t c bình ph   x2  2x  24    2x  4 10x  24  ng hai v ta có ph    x4  44 x3  116 x2  128 x  192    x   x3  40 x2  44 x  48  x    x  40x  44x  48  0(*)  ng trình T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com Gi i ph ng trình ởa có u ki n sau:   241 x  3x  10x  24   x  2.(1)  9x  10x  24  L i có: 10x  24  x  3x  10x  24   10x  24  x  2  x  12.(2) T (1) (2)  x   2;12  V y: Ta ch ng minh x3  40x2  44x  48  vô nghi m b ng cách l p b ng bi n thiên Xét hàm s : f  x   x3  40x2  44x  48 v i x   2;12  ta có: f '  x   3x2  80x  44  0, x   2;12  L p b ng bi n thiên: x 12 f '  x  288 f  x 4608 T b ng bi n thiên ta th y f  x  nh h n v i m i x   2;12  V y ph ng trình vơ nghi m kho ng  2;12  K t lu n: V y ph ng trình cho có m t nghi m nh t : x  Bình lu n: Bài tốn có hai v n đ khó khăn chính:   Th nh t vi c phân tích x    2x    x   Đây k thu t liên h p ng c gi i toán ph ng trình vơ t Th hai g p ph i m t ph ng trình b c có nghi m r t x u (nghi m l khó bi u di n d i d ng căn) Tuy nhiên không th ghi k t qu nghi m x p x vào làm h n n a nghi m khơng th a mãn u ki n, v y ta c n khai thác tri t đ u ki n đ ng th i ti n hành kh o sát ch ng minh ph ng trình b c ba vô nghi m kho ng ch T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com     c ph ng trình ng trình log9 x  log 1  x  log  x2  x      Ví d 3: Gi i ph Phân tích: Bài tốn khơng q khó khăn đ kh logarit thu đ     x  x  x2  x   Đ n ta bình ph ng hai v đ th c hi n vi c kh th c đ a v ph d ng c b n Bài gi i: Cách Nâng lũy th a khơng hồn tồn:  x   Đi u ki n xác đ nh: 1  x    x    x  x 1 1           ng trình log9 x  log 1  x  log  x2  x      ởa có ph  log x  log 31 1  x   log   x     x        log x   log  x  log  x2  x           log x  log  x  log  x2  x           log  x  x   log  x2  x             x  x  x2  x    x   x  1  x2  x  Bình ph ng hai v ta đ c:   x  1   x  1 x  2x2  2x   x2  x    x  1 x  ng trình vơ t T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com   x2  2x    x  1 x  x   x   x    x 1 x   3 x   x  1 x    x x      K t lu n: V y ph ng trình cho có m t nghi m nh t: x  3 Cách 2: Nâng lũy th a hoàn toàn:  x   Đi u ki n xác đ nh: 1  x    x    x  x 1 1           ng trình log9 x  log 1  x  log  x2  x      ởa có ph  log x  log 31 1  x   log   x     x        log x   log  x  log  x2  x           log x  log  x  log  x2  x           log  x  x   log  x2  x             x  x  x2  x    x   x  1  x2  x  Bình ph ng hai v ta đ c:   x  1   x  1 x  2x2  2x   x2  x    x  1 x   x2  x   1  x  x Do v khơng âm bình ph   ng v ta đ  c ph   x2  x   1  x  x  x4  6x3  11x2  6x    x2  3x   2 ng trình T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com  3  L x  3  x  3 TM  x   K t lu n: V y ph ng trình cho có m t nghi m nh t: x  3 Cách 3: Nâng lũy th a hoàn toàn k t h p v i n ph :  x   Đi u ki n xác đ nh: 1  x    x    x  x 1 1           ng trình log9 x  log 1  x  log  x2  x      ởa có ph  log x  log 31 1  x   log   x     x        log x   log  x  log  x2  x           log x  log  x  log  x2  x           log  x  x   log  x2  x             x  x  x2  x    x   x  1  x2  x  Bình ph ng hai v ta đ c:   x  1   x  1 x  2x2  2x   x2  x    x  1 x   x2  x   1  x  x Do v không âm bình ph    x2  x   1  x  x  x4  6x3  11x2  6x   2 ng v ta đ c ph ng trình T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com Tr ng h p 1: x  khơng th a mãn ph ng trình Tr ng h p 1: x  , chia c v c a ph ng trình cho x2 ta đ c ph ng trình    1 x2  6x  11      x2     x    11  x x x x    Đ t: t  x  1  t  x2    t   x2  thay vào ph x x x t   6t  11   t  6t     t  3   t   x  ng trình ta có 3 x  3  L x  3  x2   3x  x2  3x     x  3 TM  x   K t lu n: V y ph ng trình cho có m t nghi m nh t: x  3 Bình lu n: Bài tốn m t nh ng toán c n v nghi m kép vô t , tác gi s sâu v v n đ ph n sau cu n sách đ b n đ c có nh ng cách gi i hay t i u cho toán Cách gi i cách gi i nh ng cách gi i khôn khéo b n đ c có th nhìn bình ph ng c a bi u th c s h ng Trong cách gi i s 3, ta ý r ng v i ph ng trình ax4  bx3  cx2  dx  e  e d   , ta có th gi i toán theo h a  b  ng chia c hai v cho x2 (Chú ý c n xét x  0, x  ) Ví d 4: Gi i b t ph ng trình  12  x  x2  24 x   x  24  x   log   log   log    x  24  x       12  x  x  24 x  Phân tích: Bài tốn có hình th c c ng k nh hàm s logarit nh ng khơng q khó khăn đ kh hàm s logarit đ đ a v b t ph ng trình sau T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com x  24  x x  24  x Khi g p nh ng b t ph 27  12  x  x2  24x     12  x  x2  24x     ng trình hay ph ng trình c ng k nh nh ta c n ph i có s quan sát ch khơng nên bi n đ i ch a có s quan sát Nh n th y r ng: 12  x  x2  24x  N u quan sát đ   x  24  x 12  x  x2  24x  c u toán coi nh đ  x  24  x c gi i quy t m t cách g n nh Bài gi i: Đi u ki n xác đ nh: x  Ta có b t ph  12  x  x2  24 x   x  24  x   ng trình log   log   log    x  24  x    x x x 12 24         12  x  x2  24x   x  24  x     log   log 27  log  log  x  24  x       12  x  x  24x   12  x  x2  24 x   x  24  x   27    log   log    log    x  24  x      x x x 12 24         27   12  x  x2  24 x    x  24  x    log   log      x  24  x           12 24 x x x       x  24  x x  24  x x  24  x  27  12  x  x2  24x  27  24  2x  x x  24       12  x  x2  24x   24  x  x x  24    27   x  24  x    x x  24  x x  24   x  24  x  27 x  24  x       x  24  x    24 x x   Do v khơng âm, nhân chéo v , ta có:    x  24  x   x  24  x  x  24  25x  24  24x  x   x  24  x  T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com K t h p u ki n xác đ nh, suy  x  K t lu n: V y t p nghi m c a b t ph ng trình S  0;1 Bình lu n: V i m i tốn q c ng k nh v m t hình th c đa s có th s rút g n đ t o thành t h ng đ ng th c Chúng ta c n ph i có s quan sát kĩ l b c ho c s ng tr cm i c bi n đ i tốn s tr lên đ n gi n h n Ví d 5: Gi i ph  log 2 x  ng trình 2x    2log   log   3x2  x   x x   x  log 2017.log 2017 2 Bài gi i: Đi u ki n xác đ nh: x  , 3x  x   x x   x  Ta có: log a b.log b c  log a c  log  Bình ph 2017.log 2017  log 2017.log 2017  log 2   Ta bi n đ i ph  x  2x  ng trình tr thành: log x  2x     log  3x  x   x x   x  3x2  x   x x   x  x2  x   3x2  6x ng hai v ta đ c:   x4  2x3  4x     x  1 x3  3x2  3x    *  Ta ch ng t r ng ph ng trình x3  3x2  3x   vô nghi m Th t v y, ta có hai cách x l nh sau Cách 1: S d ng ph ng pháp l p b ng bi n thiên c a hàm s : 1  Xét hàm s : f  x   x3  3x2  3x  v i x   ;   ta có: 2  1  f '  x   3x2 +6 x   0, x   ;   2   T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com Ta có b ng bi n thiên nh sau x  f '  x   f  x 11 Ta th y ph 1  ng trình x3  3x2  3x   vô nghi m v i x   ;   2  Nh v y  *   x  (Th a mãn u ki n xác đ nh) Cách 2: S d ng h ng đ ng th c b c 3: Ta có: x3  3x2  3x    x3  3x2  3x     x  1   x    x   (Không th a mãn u ki n xác đ nh) Nh v y  *   x  (Th a mãn u ki n xác đ nh) K t lu n: Ph ng trình có nghi m nh t x  Bình lu n: Đ i v i ph ng trình b c có ch a nghi m l , ta có r t nhi u cách x lí toán ti p c n cách x nh ng t ng t lí c b n đ b n đ c có th áp d ng đ i m t v i Ởau tác gi mu n g i g m đ n đ c gi m t s t p áp d ng đ b n đ c có c h i rèn luy n thêm hi u kĩ l ng h n v v n đ T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com II BÀI T P ÁP D NG: Bài toán 1: Gi i ph ng trình sau t p s th c: log Bài toán 2: Gi i ph       x    log x  x   log x2 ng trình sau t p s th c:       log8 x3  log4  x  1   log  x    log x2  x  Bài tốn 3: Gi i ph ng trình sau t p s th c:     log0,25 x2  x   log x   2x2  4x Bài toán 4: Gi i ph  ng trình sau t p s th c:     log9 2x2  x   log 2x  x  Bài toán 5: Gi i b t ph ng trình sau t p s th c: log4 1  x   log0,25 1  x   log Bài toán 6: Gi i b t ph    3x  x2  x  ng trình sau t p s th c:     log 2x2  3x  log  x    log 2 x3  x2  14 x  12 Bài toán 7: Gi i ph ng trình sau t p s th c:    log  x  1  log 27 x2  x   log x   x  Bài toán 8: Gi i ph        ng trình sau t p s th c:  log2 x2  16x  19   log  x    log Bài tốn 10: Gi i ph  ng trình sau t p s th c: ln x  x   ln 2x2  2x   ln x2  x  Bài toán 9: Gi i ph  ng trình sau t p s th c:  2x2  16x  18  x2   T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com  log Bài toán 11: Gi i ph    x2   x2   log x  x2   ng trình sau t p s th c:     log  x  1  log  x  1  log 0,25 x3  x2  x   log x2  x  Bài toán 12: Gi i ph ng trình sau t p s th c:   log    log  2x   2x   IV H   x   x2  x   x   x  log  x   x2  12 x       NG D N GI I: Bài 1: Gi i ph ng trình log        ng đ ng v i: x    log x  x   log x2 Đi u ki n xác đ nh: x  x   Ta có ph log   x    log  x  x    log   ng trình t  x    x 1 1 x x8  x Vì x  x     x 1 1 x x8  x  Do v khơng âm bình ph ng v   x 1 1 ta đ c ph  x 1 1  x  x  1  x 1 ng trình x  1 x   x  x   x   x   x  x  Do v không âm bình ph ng v l n ta đ c ph ng trình 3x   x   x  x   x   3x    16  x     3x   T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com  x    x     x    L   x   9 x2  64 x  64       x  TM  K t lu n: V y ph ng trình cho có nghi m nh t: x    Bài 2: Gi i ph ng trình log8 x3  log4  x  1  3  log  x  2  log  x  x  1 2 Đi u ki n xác đ nh: x  ởa có ph ng trình log  log2  x   log2    x   log  x 23 22   x   log  x    log  x2  2x   log  x    log2    x2  x  22 x   x 1    log2 x x2  2x   log  x   x2  x   x x2  2x    x   x2  x  Do v khơng âm bình ph    ng v ta đ  c ph ng trình x2 x2  2x    x   x2  x   5x3  5x2  8x   x     x   5x  5x      x  5x  5x    VN    K t lu n: V y ph Bài 3: Gi i ph ng trình cho có     ng trình  log0,25 x2  x   log x   2x2  4x Đ t u ki n xác đ nh: Ph nghi m nh t: x  ng trình cho t x2  x   x ng đ ng v i:  log 22 x    x   log x   2x2  4x  T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com     log x   x2  x  log 2 x   x2  x x2  x  Bình ph    x   2x2  4x   x2  x   log 2  log   x  x     x2  x   x   x2  x   c: x2  x   x2  4x   2x2  4x   x   2x2  4x ng hai v ta đ  x  4x    x   2x  4x   x     x   2 t Ta có x   x  ng v i:  (Vô nghi m)   2   x    x  x 7 x  20x   ng đ  K t lu n: V y ph Bài 4: Gi i ph ng trình cho có ng trình  nghi m nh t: x   32  2x  log3  log3  log3  Bình ph      log9 2x2  x   log 2x  x  Đi u ki n xác đ nh: 2x  x   ởa có ph log 3  log  x  TM  2x  4x    x   2x2  4x  *      x   log x  x    ng trình tr thành:  2x2  x   log3 2x  x      2x2  x   log3 2x  x   2x2  x   2x  x  ng hai v ta đ c: 6x2  3x   x2  x   x x    x2  x x   x    x  x  K t lu n: V y ph ng trình cho có    x  x1  x  nghi m nh t: x  1 1 T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com Bài 5: Gi i b t ph  ng trình: log4 1  x   log0,25 1  x   log   3x  x2  x 1  x   1  x  1   Đi u ki n xác đ nh:   3x  x2  x    x  2  x  x   x   B t ph ng trình t ng đ ng v i: log  log2  x  log2  x  log  log2    x  x  log   22 1  x  log2 1  x  log2  2  3x  x2  x  3x  x2  x   3x  x  x    x  x   3x  x2  x  x   x   3x  x Bình ph ng hai v không âm ta đ   c: x   x2  x  x2   3x  4x2    x  x   x  x  x   x2  x  x2  x  x    x       x2  x   x x2  x   x   *   1   Do x  0;   x  x   x    B t ph ng trình  *  t ng đ  ng v i: x2  x   x    x2  x   x  x2  x   x  9x2  10x    5  34 x   5  34 1   ; K t h p v i u ki n xác đ nh  x       5  34  x    T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com K t lu n: V y t p nghi m c a b t ph Bài 6: Gi i b t ph  5  34 1   ng trình S   ;    ng trình      log 2x2  3x  log  x    log 2 x3  x2  14 x  12 2 x  x    x  Đi u ki n xác đ nh: x    2x  x  14x  12  B t ph ng trình t ng đ  ng v i:  log  log 2 x2  3x  log  22  x    log  x3  x2  14x  12     log 2  log 2 x2  3x  log x   log 2 x3  x2  14 x  12   log  x2  x    x2  x    x    log 2 x3  x2  14 x  12     2x   2x3  x2  14x  12  x  x   x    x   x2  x       x   x2  x   x x     x   x  x  Do: x   2x   , suy b t ph  M t khác: x  2x   ng trình t ng đ   0  ng v i: x  2x   0  x  Do ta có: x  x    x  2x   x   TM   x  1  x  2x  ( Do v không âm)  x  2x     x    L  K t lu n: V y b t ph ng trình có nghi m nh t: x   T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com Bài 7: Gi i ph     ng trình log  x  1  log 27 x2  x   log x   x  x    x  2x    x  Đi u ki n xác đ nh:      x x  x    Ph ng trình cho t  log  x  1  log  x 1   ng đ  x  1   ng v i: log  x  1  log 33  x  1  log 32 x   x    log  x 1 x   x    log    x  1     log    x8 1  x8 1 Đ t u  x   u3  x   x  u3  ởhay vào ph ng trình ta có u  u3   u   u   u   u3     2 u  u  2u    u  1  u  u  u     u    u   x  TM  u u u          u  u    VN     K t lu n: V y ph Bài 8: Gi i ph ng trình cho có nghi m nh t: x        ng trình ln x  x   ln 2x2  2x   ln x2  x  x  x     13 2 x  x   Đi u ki n xác đ nh:  x 2 x  x   x       x8 1 T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com ởa có ph    ng trình tr thành: ln x  x   ln 2x2  2x   ln x2  x    ln  x  x     x x3    2x2  2x    ln x2  x        x2  x   x2  x   x  x  x  x   Tr   13 x  ng h p 1: V i x  x    x  x    x  x  x  Tr ng h p 2: V i x2  x   x  x  Do v khơng âm, bình ph ng hai v ta đ c: x2  x   x2  x   x x   x2  x x   x     x x3    x x3  0 x  K t lu n: V y ph Bài 9: Gi i ph  13 ng trình cho có nghi m nh t: x   13 ng trình   log2 x2  16x  19   log  x    log   2x2  16x  18  x2  x2  16 x  19   x    Đi u ki n xác đ nh :  2x2  16x  18  x2    x  8  5; 1  1;        16 18 x x  x2     Ta bi n đ i ph  ng trình tr thành:  log2 x2  16x  19  log2  log  x    log    log x2  16x  19  log 2  x      2x2  16x  18  x2   2x2  16x  18  x2     T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com  x2  16x  19   x    x  16x  19   2x2  16x  18  x2    x   x2  16x  19   2x2  16x  18  x2  Tr ng h p 1: V i: x2  16x  19   x  8  Tr ng h p 2: V i : Bình ph 2x2  16x  18  x2    x    2x2  16x  18   x    x2  ng hai v ta đ   c: 2x2  16x  18   x    x2    x   x2        x   x   3x    x   x   x    x  x   x    x2    1  x2       x   x2     x   x2     x  Gi i (1): x2      x  1  x  2  4 x     x  32  57   Gi i (2): x   x2     x x         x  32  57    K t h p v i u ki n xác đ nh ta thu đ K t lu n: V y ph Bài 10: Gi i ph ng trình cho có ng trình  log   c nghi m: x  x  1 nghi m: x  x  1    x2   x2   log x  x2  T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com  x2   x2     x  x2    14 Đi u ki n xác đ nh: 2 x2   x  2 x    x2    Ph ng trình cho t log3  log 31   log 3  log ng đ ng v i:   2x2   2x2   log x  x2      2x2   2x2   log x  x2       3  log   log x  x2    x  x2     2 2 2x   2x   2x   2x   3    x2   x2  x  x2     x2   x2   x  x2   x  x2   x2   x2   x2   x2   x  x2    x2   x2     x  x2    3x   2 x  x   3x   x x   x  x   x x  Do v khơng âm bình ph  x2  x2  ng ti p hai v ta đ c:   x 2x    3x  12   xx  22 2 K t h p u ki n xác đ nh ta đ K t lu n: V y ph c: x  ng trình cho có nghi m nh t: x  T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com Bài 11: Gi i ph ng trình      log  x  1  log  x  1  log 0,25 x3  x2  x   log x2  x  x    2 x   Đi u ki n xác đ nh:  x 2 2 x  x  x   x  x    Ph ng trình t ng đ log 2  log  x  1  log ng v i: 22  2x  1  log2 2  2x   x2  x   log 22 x x2   log2  log2  x  1  log2 2x   log 2x3  x2  6x   log x2  x   log2 2  x  1 2x    log    x3  x2  x  x2  x     x  1 2x   2x3  x2  6x  x2  x    x  1 2x   2x  x2  x2  x  Vì x  ph ng trình t ng đ Do v khơng âm, bình ph ng v i:  x  1  x2  x2  x  ng hai v ta đ   c:  x  1  x2  x2  x     x4  x3  x2  5x     x  1 x3  x2  3x    x  1TM  x       x  2x  3x    x  2x  3x    *  Ta c n ch ng minh ph Xét hàm s ng trình vơ nghi m mi n xác đ nh f  x   x3  2x2  3x  v i x  Ta có: f '  x   3x2  4x   B ng bi n thiên:  T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com x  f '  x +  f  x ng trình x3  2x2  3x   vô nghi m v i x  T b ng bi n thiên ta th y ph Nh v y ph ng trình ch có nghi m nh t x  (Th a mãn u ki n ) K t lu n: V y ph Bài 12: Gi i ph ng trình cho có nghi m nh t: x  ng trình   log    log  2x   2x      x   x2  x   x   x  log    x   x  12 x    Đi u ki n xác đ nh: x  Ph ng trình cho t ng đ   log    log  2x   2x   ng v i :    x   x2  x   x   x  log  x   x2  12 x          x   x2  x   log  log       2x   2x  x   x   x   x  12 x     2x   2x   2x   2x  x8  x   x   x2  x 2x   4x2  12x  2x   2x  2x   2x   x8  x  x   x2  x 4x   4x2  12x  T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com 2x   2x     x8  x  x8  x   x   x  8  x x   2x     2x  1  2x   2x   2x  2x     x8  x  2x   2x    x   x  2x   2x   2x   x  2x   x  Bình ph ng hai v ta đ c: 3x   2 x  x  3x   2 x  x   x  x  x  x   x  K t lu n: V y ph ng trình cho có nghi m nh t: x 