BÀI 1 TÍNH đơn điệu của hàm số

CHUYÊN ĐỀ ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ BÀI TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ Mục tiêu  Kiến thức + Biết, hiểu cơng thức, quy tắc tính đạo hàm + Nắm vững tính đơn điệu hàm số + Thấy mối liên hệ biến thiên hàm số thơng qua đạo hàm + Biết quy tắc xét dấu học lớp 10 + Nhận biết mối liên hệ hàm số biết bảng biến thiên hàm số y  f  x  , y  f  u  x   biết bảng biến thiên hàm số y  f  x  , đồ thị hàm số y  f  x  đồ thị hàm số y  f '  x   Kĩ + Biết áp dụng công thức, quy tắc tính đạo hàm vào hàm số + Nhận diện bảng biến thiên, đồ thị hàm số đơn điệu khoảng cụ thể + Vẽ bảng biến thiên, đồ thị hàm số bản, hàm chứa trị tuyệt đối + Vận dụng tính chất hàm số trùng phương, hàm số bậc ba, hàm hữu tỷ vào giải nhanh tốn trắc nghiệm + Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến hàm số y  f  x  , y  f  u  x   , y  f  u  x  �h  x    x  ) biết bảng biến thiên đồ thị hàm số y  f  x  ( y  f � I LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM Định nghĩa Ví dụ 1: Cho hàm số y  f  x  có đồ thị hình Cho hàm số f xác định khoảng (đoạn vẽ nửa khoảng) K Hàm số f gọi đồng biến (tăng) K x1  x2 � f  x1   f  x2  Dựa vào đồ thị ta thấy Hàm số đồng biến khoảng  1;0  Hàm số nghịch biến khoảng  0;1 Hàm số f gọi nghịch biến (giảm) K Ví dụ 2: Cho hàm số y  f  x  Ta có bảng xét dấu Trang x1  x2 � f  x1   f  x2  sau: x �  y� � 1   Ta thấy Hàm Định lí thuận Giả sử hàm số f có đạo hàm khoảng K  x   0, x �K hàm số đồng biến Nếu f � số đồng biến khoảng � 1� �; � ;  1; � � � 3� �1 � Hàm số nghịch biến khoảng � ;1� �3 � Ví dụ 3: Cho hàm số g  x   x  x  khoảng K a20 �  x   0, x �K hàm số nghịch biến Hàm số có � Nếu f �    5   4.2.6  23  � khoảng K � g  x   0, x ��  x   0, x �K hàm số khơng đổi Nếu f � Chú ý: Định lí thuận dạng “mở rộng”: khoảng K f�  x  �0 x �K dấu “=” hữu hạn điểm Định lí đảo K hàm số nghịch biến K Giả sử hàm số f có đạo hàm khoảng K Nếu hàm số f đồng biến khoảng K f�  x  �0, x �K Nếu hàm số f nghịch biến khoảng K f�  x  �0, x �K Lưu ý: - Hàm số f  x  đồng biến K đồ thị hàm số đường lên từ trái sang phải, biểu diễn bảng biến thiên dấu mũi tên hướng lên từ trái sang phải - Hàm số f  x  nghịch biến K đồ thị hàm số đường xuống từ trái sang phải, biểu diễn bảng biến thiên dấu mũi tên hướng xuống từ trái sang phải Xét dấu tam thức bậc hai g  x   ax  bx  c Trang  a �0  g  x  �0, x ��� g  x   0, x ��� g  x  �0, x ��� g  x   0, x ���     a0 ;  �0 a0 ; 0 a0 ;  �0 a0 0 SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HĨA TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ Cho hàm số f xác định khoảng (đoạn nửa khoảng) K Hàm số nghịch biến Hàm số đồng biến Định lí thuận Định lí thuận  x   0, x �K hàm số nghịch biến - Nếu f �  x   0, x �K hàm số đồng biến - Nếu f � khoảng K khoảng K Định lí đảo Định lí đảo - Nếu hàm số f nghịch biến khoảng K - Nếu hàm số f đồng biến khoảng K f�  x  �0, x �K Định lí thuận “mở rộng” f�  x  �0, x �K dấu hữu hạn điểm f�  x  �0, x �K Định lí thuận “mở rộng” f�  x  �0, x �K dấu hữu hạn điểm K hàm số đồng biến K Đồ thị K hàm số nghịch biến K Đồ thị - Đồ thị hàm số đường xuống từ trái sang phải Định nghĩa - Đồ thị hàm số đường lên từ trái sang phải Định nghĩa Hàm số f gọi nghịch biến K Hàm số f gọi đồng biến K x1  x2 � f  x1   f  x2  x1  x2 � f  x1   f  x2  Trang II CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Xét tính đơn điệu hàm số khơng chứa tham số Bài tốn Tìm khoảng đơn điệu hàm số cho công thức y  f  x  Phương pháp giải Thực bước sau: x3 Ví dụ: Hàm số y    x  x  đồng biến Bước Tìm tập xác định D  f�  x Bước Tính đạo hàm y � khoảng đây?  x   Bước Tìm giá trị x mà f �  x  không xác định giá trị làm cho f � A  5; � B  �;1 C  2;3 D  1;5  Hướng dẫn giải Bước Lập bảng biến thiên xét dấu trực tiếp Tập xác định D  � đạo hàm   x2  6x  Bước Kết luận tính đơn điệu hàm số Ta có y � x 1 �  �  x2  6x   � � Ta có y � x5 � y  f  x  (chọn đáp án) Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số đồng biến khoảng  1;5  Chọn D Ví dụ mẫu Ví dụ Cho hàm số y  x  3x  x  15 Khẳng định khẳng định sai? A Hàm số nghịch biến khoảng  3;1 B Hàm số đồng biến  9; 5  C Hàm số đồng biến � D Hàm số đồng biến  5; � Hướng dẫn giải Tập xác định D  �  3x  x  Ta có y � x 1 � 0� � Cho y � x  3 � Trang Từ bảng biến thiên, mệnh đề C sai Chọn C Ví dụ Các khoảng nghịch biến hàm số y   x  x  A  1;0   1; � B  �;1  1; � C  1;0   0;1 D  �; 1  0;1 Hướng dẫn giải Tập xác định D  �  4 x  x Ta có y � x0 � y� 0� � x  �1 � Bảng biến thiên hàm số y   x  x  sau Dựa vào bảng biến thiên suy hàm số nghịch biến  1;0   1; � Chọn A Ví dụ Cho hàm số y  x 1 Mệnh đề đúng? x2 A Hàm số đồng biến � B Hàm số nghịch biến khoảng xác định C Hàm số đồng biến �\  2 D Hàm số đồng biến khoảng miền xác định Hướng dẫn giải Tập xác định D  �\  2  Ta có y �  x  2  0, x �D nên hàm số y  x  đồng biến khoảng miền xác định x2 Chọn D Trang Ví dụ Hàm số nghịch biến �? B y  A y   x3  x x2 x 1 C y  x  3x D y  x  3x Hướng dẫn giải Tập xác định D  �  3 x   0, x �� Ta có y   x3  x � y� Vậy hàm số y   x  x nghịch biến � Chọn A Ví dụ Cho hàm y  x  x  Mệnh đề đúng? A Hàm số đồng biến khoảng  5; � B Hàm số đồng biến khoảng  3; � C Hàm số đồng biến khoảng  �;1 D Hàm số nghịch biến khoảng  �;3 Hướng dẫn giải Tập xác định D   �;1 � 5; �  Ta có y � x 3 x  6x   0, x � 5; � Vậy hàm số đồng biến khoảng  5; � Chọn A Ví dụ Hàm số y  x  đồng biến khoảng đây? x A  0; � B  2;  C  2;0  D  2; � Hướng dẫn giải Tập xác định D  �\  0 Ta có y �  x2  x2  � � y  �  � x  �2 x2 x2 Bảng biến thiên Từ bảng biến thiên suy hàm số đồng biến  �; 2   2; � Trang Chọn D.  Ví dụ Cho hàm số f  x     x  2019 Khẳng định sau đúng? A Hàm số đồng biến � B Hàm số đồng biến  �;0  C Hàm số nghịch biến  �;0  D Hàm số nghịch biến � Hướng dẫn giải Tập xác định D  � Đạo hàm f �  x   2019.  x  Vì 2019   x  2018 2018   x  � 2019   x  2018  2 x  �0 , x �� nên dấu đạo hàm dấu với   x  x0  x  � � Ta có f � � x  �1 � Ta có bảng biến thiên x f�  x �  1 f  x  0   � 0 � � Vậy hàm số đồng biến  �;0  Chọn B Chú ý: Dấu hiệu mở rộng kết luận khoảng đồng biến  �;0  Ví dụ Cho hàm số f  x   x  x  x  cos x Với hai số thực a, b cho a  b Khẳng định sau đúng? A f  a   f  b  B f  a   f  b  C f  a   f  b  D f  a  �f  b  Hướng dẫn giải Tập xác định D  �  x   3x  x   sin x   3x  x  1    sin x   0, x �� Suy f  x  đồng biến � Ta có f � Do a  b � f  a   f  b  Chọn C Trang Ví dụ Hàm số y  x  x  đồng biến khoảng đây? A  �; 1 B  1;3 C  1; � D  3; � Hướng dẫn giải Tập xác định D  � Ta có y  x  x   x  x   � y�   x    x  x  3 x  x  3 y�  � x   � x  ; y �không xác định x  1; x  Ta có bảng biến thiên � x y� y 1   �  �  � Hàm số đồng biến khoảng  1;1  3; � Chọn D Chú ý: - Vì f  x    - Đạo hàm y � f  x  nên xét tính đơn điệu hàm số y  f�  x f  x f  x f  x  để suy kết Bài toán Xét tính đơn điệu hàm số y  f  x  cho hàm số y  f �  x Phương pháp giải Thực theo ba bước sau:  x   Bước Tìm giá trị x mà f �  x  không xác định giá trị làm cho f � Ví dụ: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm �  x   x  x  1 Hàm số cho đồng biến f � khoảng Bước Lập bảng biến thiên xét dấu trực tiếp A  1; � B  �;0  ;  1; � đạo hàm C  0;1 D  �;1 Bước Kết luận tính đơn điệu hàm số y  f  x  (chọn đáp án) Hướng dẫn giải x0  x   � x  x  1  � � Ta có f � � x 1 � Ta có bảng xét dấu x f�  x �  0   � Vậy hàm số đồng biến khoảng  1; � Chọn A Ví dụ mẫu Trang Ví dụ Cho hàm số f  x  có đạo hàm f �  x    x  1  x  1   x  Hàm số y  f  x  đồng biến khoảng nào, khoảng đây? A  1;1 B  1;  C  �; 1 D  2; � Hướng dẫn giải x2  x  � � Ta có f � � x  �1 � Bảng xét dấu x f�  x � 1    �  Hàm số f  x  đồng biến khoảng  1;  Chọn B Ví dụ Cho hàm số y  f  x  xác định khoảng  0;3 có tính chất f�  x  �0, x � 0;3 f �  x   , x � 1;  Tìm khẳng định khẳng định sau A Hàm số f  x  đồng biến khoảng  0;  B Hàm số f  x  không đổi khoảng  1;  C Hàm số f  x  đồng biến khoảng  1;3 D Hàm số f  x  đồng biến khoảng  0;3 Hướng dẫn giải  x   , x � 1;  nên f  x  hàm khoảng  1;  Vì f �  x   , x � 1;  nên Trên khoảng  0;  ,  1;3 ,  0;3  hàm số y  f  x  thỏa f  x  �0 f � f  x  không đồng biến khoảng Chọn B Bài toán Xét tính đơn điệu hàm số y  f  x  cho bảng biến thiên đồ thị Phương pháp giải Khi cho bảng biến thiên: - Trên khoảng  a; b   x  mang dấu  f � (dương) ta kết luận f  x  đồng biến  a; b   x  mang dấu  (âm): - Trên khoảng  c; d  f � ta kết luận f  x  nghịch biến  c; d  Ví dụ: Cho hàm số y  f  x  có bảng biến thiên sau: x �  y� y � 2  1   � � Trang Hàm số y  f  x  đồng biến khoảng Khi cho đồ thị: - Hàm số f  x  đồng biến  a; b  hàm số có đây? đồ thị đường lên từ trái sang phải  a; b  A  �;0  - Hàm số f  x  nghịch biến  a; b  hàm số C  2;0  B  0;  D  2; � Hướng dẫn giải có đồ thị đường xuống từ trái sang phải  0, x � 0;  � Dựa vào bảng biến thiên, ta có y �  a; b  - Trong trường hợp: Hàm số f  x  hàm hàm số đồng biến  0;  (không đổi)  a; b  hàm số có đồ thị Chọn B đường song song trùng với trục Ox  a; b  Ví dụ mẫu Ví dụ Cho hàm số y  f  x  có bảng biến thiên sau x y� y � �   � f  2 � Hỏi bảng biến thiên bảng biến thiên hàm số hàm số đây? A y   x3  x  12 x B y  x  x  12 x C y   x3  x  x D y   x  x  Hướng dẫn giải Xét hàm số y   x3  x  12 x y�  3 x  12 x  12  3  x   �0, x ��, thỏa mãn Xét hàm số y  x  x  12 x y�  3x  12 x  12   x   �0 , x ��, không thoả mãn Xét hàm số y   x3  x  x � x � � y  3x  8x  4, y  � � không thoả mãn � x2 � Xét hàm số y   x  x  y�  2 x  4, y �  � x  nghiệm Trang 10 Có giá trị nguyên m thuộc  0; 2020  để hàm số g  x   f  x  x  m  nghịch biến khoảng  1;0  ? A 2017 B 2018 C 2016 D 2015 Câu 8: Cho hàm số bậc ba y  f  x  có đồ thị hình vẽ Hàm số f  3x   nghịch biến khoảng  ;   Khi giá trị lớn    A B C D Câu 9: Cho hàm số y  f  x   ax  bx  cx  d có đồ thị Đặt g  x   f  x2  x  2  Chọn khẳng định khẳng định sau? A g  x  nghịch biến khoảng  0;  B g  x  đồng biến khoảng  1;0  �1 � C g  x  nghịch biến khoảng � ;0 � �2 � D g  x  đồng biến khoảng  �; 1 Câu 10: Cho hàm số y  f  x  có đồ thị hình Hàm số y  2019 f  x  đồng biến khoảng A  1;  B  2;3 C  1;0  D  1;1 Câu 11: Cho hàm số y  f  x  có đồ thị Số giá trị nguyên tham số m để hàm số y  f  x  x  m  nghịch biến  0;1 A B C Trang 46 D  x  hình vẽ Hàm Câu 12: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm � có đồ thị hàm f � số g  x   f  x  x  đồng biến khoảng nào? �1 � A � ;1� �2 � B  1;  � 1� C �1; � � 2� D  �; 1  x  có đồ thị Câu 13: Cho hàm số y  f  x  Hàm số y  f � hình vẽ bên Hàm số y  f   x  nghịch biến khoảng đây?  3; � B   3; 1 C  1;  A D  0;1  x  có đồ thị hình vẽ bên Câu 14: Cho hàm số y  f  x  liên tục � Biết hàm số y  f � Hàm số y  f  x   nghịch biến khoảng khoảng sau đây? A  �; 3 B  5; 2  �1 � C � ; � �2 � D  2; � Trang 47 Câu 15: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm � Biết đồ thị hàm  x  hình vẽ Gọi S tập giá trị nguyên tham số y  f � số m thoả mãn m � 2019; 2019  cho hàm số g  x   f  x  m  đồng biến khoảng  2;0  Số phần tử tập S A 2017 B 2019 C 2015 D 2021 Câu 16: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm � hình bên  x đồ thị đạo hàm y  f � Hàm số g  x   2 f   x   x nghịch biến khoảng A  3; 2  B  2; 1 C  1;0  D  0;   x  hình vẽ Hàm số y  f   x   Câu 17: Cho hàm số y  f  x  có đồ thị hàm số y  f � x2 x nghịch biến khoảng � 3� A �1; � � 2� B  2;0  Câu 18: Cho hàm số y  f  x  C  3;1 D  1;3 có đạo hàm � thoả f  2   f    đồ thị hàm số y  f �  x  có dạng hình bên Hàm số y   f  x   nghịch biến khoảng khoảng sau? Trang 48 � 3� A �1; � � 2� B  1;1 C  2; 1 D  1;   x  hình Câu 19: Cho hàm số y  f  x  Đồ thị hàm số y  f � bên f    f  2   Hàm số g  x   � �f   x  � � nghịch biến khoảng khoảng sau? A  2;  B  1;  C  2;5  D  5; �   x  hình vẽ Câu 20: Cho hàm số y  f  x  có đồ thị hàm số y  f � bên Hàm số y  f  x  đồng biến khoảng sau đây? A  2;  B  1;3 C  2;1 D  0;1 Câu 21: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục � Đồ thị hàm số y f�  3x   hình vẽ Hàm số y  f  x  nghịch biến khoảng nào? A  �;8  �4 �  ; �� B � �3 � �4 � C � ; � �3 � Câu 22: Cho hàm số y  f  x  , hàm số y  f  x   ax  bx  cx  d D  8;10   a, b, c, d �� có đồ thị hình  x   nghịch biến khoảng đây? vẽ Hàm số g  x   f  f � Trang 49 A  1; � B  �; 2  C  1;0  � 3�  ; D � � � � � 3 �  x  hình vẽ Câu 23: Cho hàm số y  f  x  có đồ thị f � Hỏi hàm số g  x   f  x  1  f   x   x  x  đồng biến khoảng cho đây? A  �;0  B  0;3 C  1;  D  3; �  x  hình vẽ bên Các giá trị m để Câu 24: Cho hàm số y  f  x  có đồ thị hàm số y  f � hàm số y  f  x    m  1 x đồng biến khoảng  0;3 A m  B m �4 C m �4 D  m   x  hình vẽ Câu 25: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục � đồ thị hàm số y  f � Trang 50 Đặt g  x   f  x  m    x  m  1  2019 với m tham số thực Gọi S tập giá trị nguyên dương m để hàm số y  g  x  đồng biến khoảng  5;6  Tổng phần tử S A B 11 C 14 D 20 Dạng 4: Ứng dụng tính đơn điệu vào giải phương trình, bất phương trình Bài tốn Ứng dụng tính đơn điệu vào giải phương trình Phương pháp giải Cho hàm số y  f  x  liên tục đồng biến (hoặc Ví dụ: Giải phương trình nghịch biến) tập D, ta có x  x   3x  1 3x  Với u , v �D mà f  u   f  v  � u  v Hướng dẫn giải Nhận xét: f  x   f  x0  � x  x0 Do phương Điều kiện x � trình f  x   có nhiều nghiệm Ta có x  x   3x  1 3x  � x3  x    3x   3x  Xét hàm số f  t   t  t , t �0  t   3t   , t �0 Ta có f � � hàm số f  t  đồng biến  0; � Do f  x   f   3x  � x  3x   � �x � x2 �� � x 1 � �x  x   Vậy phương trình cho có hai nghiệm x  x 1 Ví dụ mẫu Trang 51 Ví dụ Biết phương trình 27 x  23x   26 x  có nghiệm thực dương x  a c với  b d b, c, d số nguyên tố Khẳng định A  a  d   b  c  B  a  d   b  c  C  a  d   b  c  D  a  d   b  c  Hướng dẫn giải Phương trình 27 x3  23x   26 x  �  3x   3x   26 x  1  26 x  (1) 3  t   3t   , t �� Xét hàm số f  t   t  t � f � � Hàm số đồng biến � Phương trình (1): f  3x   f   26 x  � x  26 x  � 27 x  26 x   x  1  � 1 23 � � 1 23 � x   nghiệm có dạng cho � x � � � a  1, b  2, c  23, d  � 6 a  d   b  c 1 Chọn B Ví dụ Biết phương trình x  12 x  10 x    10 x  1 10 x  có nghiệm thực dương x a b với a, b, c �� a, c số nguyên tố c Khẳng định A  a  c   b  B  a  c   b  C  a  c   b  D  a  c   b  Hướng dẫn giải Nhận xét: - Vế trái đa thức bậc ba, vế phải chứa bậc hai nên ta biến đổi để xuất  10 x  1 10 x   �  10 x  1  � � � 10 x     10 x  Ta có 10 x   10 x  Khi phương trình có dạng  ax  b    ax  b       10 x   10 x  1 Điều kiện x � 10 Trang 52 Phương trình cho �  x  1   x  1    10 x   10 x  (1)  t   3t   , t �� Xét hàm số f  t   t  2t � f � � Hàm số đồng biến � Phương trình  1 � f  x  1  f  x  �0 � 10 x  � x   10 x  � �  x  1  10 x  �  �  41 �x � �� � x � x2  x   � � a  7, b  41, c  �  a  c   b  Chọn D Ví dụ Biết phương trình x 1  a b  , có nghiệm thực x  , với a, b, c �� c số 2x 1  x  2 nguyên tố Khẳng định A 2ac  b  B ac  b  C 2ac  b  D ac  b  Hướng dẫn giải Điều kiện  x �13 x �1 Phương trình cho �  x   x    x    x   �   x 1  x 1    x   2x  � f   x 1  f   x  (1) với f  t   t  t  t   3t  , t �� � Hàm số đồng biến � Xét hàm số f  t   t  t , có f � Do  1 � x  �0 � � x 1  2x  � � x 1  �    2x 1  � 1 �x � �� � �x  x  x  x0 � 1 � � � a  1, b  5, c  � 2ac  b  1 � x  � x � Chọn C Bài toán 2: Ứng dụng tính đơn điệy vào giải bất phương trình Phương pháp giải Cho hàm số y  f  x  liên tục đồng biến (hoặc Ví dụ: Cho hàm số y  f  x  có nghịch biến) tập D , ta có f�  x  , x �� Tìm tất giá trị tham số m để Trang 53 Với u , v γ D : f  u  f  v ۳ u v  D : f  u Với u , v Σ f  v  u v • f  m  2m   f   Hướng dẫn giải  x   , x �� nên hàm số cho đồng Vì f � Với u, biến �� f  m  2m   f  3 m  m  � m  2m   � 3  m  Vậy m � 3;1 giá trị cần tìm thỏa mãn u cầu đề Ví dụ mẫu 1�  x   , x �� Tất giá trị thực x để f � Ví dụ Cho hàm số y  f  x  có f � � � f   �x � � 1� 0; � A x �� � 2� �1 � B x � �;0  �� ; �� �2 � � 1� C x ���; � � 2� � 1� 0; � D x � �;0  �� � 2� Hướng dẫn giải  x   , x �� nên hàm số y  f  x  nghịch biến � Ta có f � 1 2x �1 � �1 �  � x � �;0  �� ; �� Do f � � f   �  � x x �x � �2 � Chọn B Ví dụ Bất phương trình x3  3x  x  16   x �2 có tập nghiệm  a; b  Tổng a  b có giá trị A 2 C B D Hướng dẫn giải Điều kiện: 2 �x �4 Xét f  x   x  x  x  16   x đoạn  2; 4 Có f �  x   x  x  1 x  3x  x  16  Bất phương trình cho ۳ f  x  , x � 2;  , hàm số đồng biến  2; 4 4 x f  1  ۳ x So với điều kiện, tập nghiệm bất phương trình S   1; 4 � a  b  Chọn C Dạng 2: Bài tốn ứng dụng tính đơn điệu vào tốn tìm điều kiện đề phương trình có nghỉệm Trang 54 Phương pháp giải f  x  A Nếu hàm số y  f  x  liên tục có D  B phương trình , max D �A nghiệm thuộc tập hợp D ۣ f  x  g  m g  m Ví dụ: Cho hàm số f  x   x  x Có giá trị ngun tham số m để phương trình có f  f  x    x  2m có nghiệm đoạn  1; 2 ? B A B C D 10 Hướng dẫn giải Hàm số f  x   x3  x � f �  x   3x   , x �� � Hàm số f  x   x  x đồng biến � Ta có ��� x � 2  1; f  1 f  x f  2 f  x 10 Xét phương trình m f  f  x    x  2m � � �f  x  � � f  x   x  3 m �� �f  x  � � x  (1) 3 3 Xét x � 1; 2 ; 23  13 �� �f  x  � � x �10  3 ۣ ۣ �9 � �f  x  � � x 1008 Phương trình cho có nghiệm �  1 có nghiệm �ۣ  2m 1008 2m 210 � m � 4;5;6;7;8;9 Chọn B Ví dụ mẫu m Ví dụ Cho f  x   x  x  Tổng giá trị nguyên tham số m để phương trình f  f  x    x có nghiệm đoạn  1; 4 A B C 21 D 22 Hướng dẫn giải � t  f  x � f  t   t  f  x   x (1) Đặt t  f  x  � � �f  t   x m  u   3u   , u �� Xét hàm số g  u   f  u   u  u  2u  có g � Trang 55 m Do  1 � t  x � f  x   x � x  (2) Phương trình ��� 13 m  1;4 ۣ f  f  x    x có 43 m nghiệm đoạn  1; 4 �   có nghiệm đoạn  0;1; 2;3; 4;5;6 Tổng giá trị         21 Chọn C Ví dụ Cho hàm số f  x   x  x  4m Có giá trị nguyên tham số m để phương trình f   f  x   m  x  m có nghiệm đoạn  1; 2 ? A 15 C 17 B 16 D 18 Hướng dẫn giải Đặt t  f  x   m � f  x   t  m , kết hợp với phương trình ta có hệ phương trình �f  t   x  m � f  t   t  f  x   x (1) � �f  x   t  m Xét hàm số g  u   f  u   u  u  4u  4m � g�  u   5u  12u  0, u � 1; 2 � Hàm số đồng biến đoạn  1; 2 Do  1 � t  x � f  x   x  m � x  x  3m (2) �2 ,3 Với x Σ 1; x5 x3 48 � Phương trình (2) có nghiệm đoạn  1; 2 ۣ� ۣ� � 3m 48 m 16 Chọn B Ví dụ Có giá trị nguyên tham số m để phương trình m  m  2sin x  sin x có nghiệm thực? A C B D Hướng dẫn giải Điều kiện sin x �0 Ta có m  m  2sin x  sin x � m  m  2sin x  sin x � m  2sin x  m  2sin x  sin x  2sin x (1) Xét hàm số f  t   t  2t f�  t   2t   0, t �0 � Hàm số f  t  đồng biến  0; � Phương trình  1 � f   m  2sin x  f  sin x  � m  2sin x  sin x � sin x  2sin x  m Trang 56 Đặt sin x  t � t � 0;1 Phương trình cho có nghiệm phương trình t  2t  m có nghiệm  0;1 Xét hàm số g  t   t  2t , t � 0;1  t   2t  2; g �  t  � t 1 Ta có g � g  t   0; g  t   1 Suy max  0;1  0;1 Do phương trình có nghiệm 1 �m �0 Mà m �� nên m  0; m  1 Chọn D Ví dụ Cho hàm số y  f  x  liên tục �, có đồ thị hình vẽ Có giá trị tham số m để phương trình 9m3  m 3f  x   f  x   có nghiệm thực phân biệt? A C B D Hướng dẫn giải Phương trình � 27m3  3m   f  x    f  x   �  3m   3m  � g  3m   g    3 f  x   f  x   f  x   (1)  t   3t   0, t �� nên hàm số đồng biến � Xét hàm số g  t   t  t � g � � 9m  � �f  x    2 3m � � � � f x   m � �   Do   �2 9m  � f  x  9m  � f x   �    3 � � Dựa vào hình vẽ phương trình (3) vơ nghiệm (vì f  x   0, x ) Trang 57 Do để phương trình cho có ba nghiệm phân biệt �   có ba nghiệm phân biệt hay � 9m  � 35 3 � � m � �� � 9m  11 � m 1 � � � � Chọn B Bài tập tự luyện dạng Câu 1: Biết nghiệm nhỏ phương trình x  x  x   3  a, b, c ��* , 16 x  x  a c có dạng x0  b a tối giản Giá trị biểu thức S  a  b  c b A S  2428 B S  2432 C S  2418 D S  2453 Câu 2: Số nghiệm thực phương trình  x  3 3x   x  x  x  A B C D x2 2 a b  có nghiệm dạng x   với a, c �� b số 2x   x  c nguyên tố Tổng P  a  b  c Câu 3: Biết phương trình A B C   D   2 Câu 4: Biết phương trình  x  1  x  x   x  x   có nghiệm a Khi A  a  B  a  Câu 5: Bất phương trình C 2  a  1 D 1  a  x  x   x  x  11   x  x  có tập nghiệm  a; b  Hiệu b  a có giá trị A B C   D 1 Câu 6: Tập nghiệm bất phương trình  x  1 x   x  �x  có dạng  a; b  Tổng a  b A B C D Câu 7: Có số nguyên thuộc đoạn  2020; 2020 thỏa mãn bất phương trình x  9  x  9 � � � A 4041   1� x � �   x2    ? B 2024 C 2026 D 2025 Câu 8: Gọi S tập hợp giá trị tham số m cho phương trình  x  1   m  3 x  m có hai nghiệm thực Tổng phần tử tập S A B C D Trang 58 3 2 Câu 9: Tập giá trị m để phương trình x  x  m x    m  x  6mx  10  có hai � � nghiệm phân biệt thuộc � ; �là S   a; b  Giá trị biểu thức T  5a  8b � � A T  18 B T  43 C T  30 D T  31 Câu 10: Có giá trị nguyên tham số m để phương trình sin x  6sin x  m3 sin x   15  3m  sin x  6m sin x  10  vô nghiệm? A B C D Vơ số Câu 11: Có giá trị nguyên tham số m để phương trình 2019m  2019m  x  x có nghiệm? A B C Vô số Câu 12: Có giá trị âm tham số m để phương trình A B D C D m  3 m  3sin x  sin x có nghiệm? Câu 13: Cho hàm số y  f  x  liên tục R có đồ thị hình vẽ Có giá trị nguyên m để phương trình f  6sin x  8cos x   f  m  m  1  có nghiệm x ��? A B C D Câu 14: Cho phương trình sin x   cos x    2cos x  m  1 2cos x  m   2cos x  m  Có � 2 � 0; giá trị nguyên tham số m để phương trình có nghiệm x �� �? � � A B C D Câu 15: Cho hàm số f  x  liên tục � có đồ thị hình vẽ Trang 59 Các giá trị tham số m để phương trình A m  � 37 B m  4m  m 2f 2  x   f  x   có nghiệm phân biệt C m  37 D m  �5 ĐÁP ÁN DẠNG Xét tính đơn điệu hàm số khơng chứa tham số 1-D 2-C 3-D 4-B 11-A 12-A 13-B 14-A 21-B 22-D 23-B 24-D DẠNG Các toán chứa tham số 5-C 15-A 6-B 16-D 7-B 17-D 8-D 18-D 9-C 19-A 10-B 20-D 8-D 18-D 9-C 19-D 10-D 20-D 1-C 2-B 3-B 4-A 5-B 6-A 7-C 8-D 11-B 12-C 13-C 14-C 15-C 16-C 17-B 18-D 21-A 22-B 23-C 24-C 25-C DẠNG Ứng dụng tính đơn điệu vào giải phương trình, bất phương trình 9-C 19-C 10-A 20-D 1-B 11-A 9-C 10-A 1-C 2-D 3-A 4-A 5-D 6-C 7-A 11-A 12-C 13-D 14-A 15-D 16-A 17-A 21-C 22-C 23-B 24-C 25-A 26-A 27-C DẠNG Hàm ẩn liên quan đến đồng biến nghịch biến hàm số 2-C 12-A 3-C 13-D 4-D 14-C 5-A 15-C 6-D 7-D 8-C Trang 60 ... ĐỒ HỆ THỐNG HÓA TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ Cho hàm số f xác định khoảng (đoạn nửa khoảng) K Hàm số nghịch biến Hàm số đồng biến Định lí thuận Định lí thuận  x   0, x �K hàm số nghịch biến -... Hàm số f gọi đồng biến K x1  x2 � f  x1   f  x2  x1  x2 � f  x1   f  x2  Trang II CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Xét tính đơn điệu hàm số khơng chứa tham số Bài tốn Tìm khoảng đơn điệu. .. Câu 9: Cho hàm số y  A Hàm số nghịch biến khoảng  �; � B Hàm số nghịch biến khoảng xác định C Hàm số đồng biến khoảng xác định D Hàm số đồng biến khoảng  �; � Câu 10: Hàm số y  x 