Chủ đề 1: TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ

Chuyờn KHO ST HM S Luyn thi i hc 2012 DNG 1: XẫT TNH NG BIN- NGHCH BIN CA HM S Bi 1: Xột tớnh ng bin v nghch bin ca cỏc hm s sau: x +1 a) f ( x ) = x - x b) f ( x ) = ( x ẻ ( -1;2 ) ) x2 + Bi gii: a) TX: D = \ {1} c) f ( x ) = x + - x - x2 + 2x =0 (1 - x) ộx = ị y = f / ( x) = ởx = ị y = Bng bin thiờn: Ta cú: f / ( x) = x 0 f/(x) x đ-Ơ lim y = -Ơ, lim- y = +Ơ x đ1+ f(x) lim y = -Ơ, lim y = +Ơ x đ+Ơ x đ1 Kt lun: Hm s ng bin trờn cỏc khong: ( 0;1) , (1;2 ) Hm s nghch bin trờn cỏc khong: ( -Ơ;0 ) , ( 2; +Ơ ) b) TX: D = x + - ( x + 1) x x + 1) - x ( x + 1) ( 1- x x + / Ta cú : f ( x) = = = 2 2 x +1 ( x + 1) x + ( x + 1) x + ị f ( x) = x = ị y = Lp bng bin thiờn: x -1 f/(x) + _ f(x) Kt lun: Hm s ng bin trờn khong: ( -1;1) Hm s nghch bin trờn khong: (1;2 ) c) iu kin: - x -2 Ê x Ê Hay TX: D = [ -2;2] Giỏo viờn: Lấ B BO Trang T Toỏn THPT Phong in Chuyờn KHO ST HM S Ta cú: f ( x) = / x - x2 Luyn thi i hc 2012 - x2 - x = - x2 f / ( x) = - x - x = - x = x ỡ0 Ê x Ê ỡ0 Ê x Ê ịx= 2 ợ4 - x = x ợx = Lp bng bin thiờn: x f'(x) -2 + + _ 2 f(x) -2 Kt lun: ) Hm s nghch bin trờn khong: ( 2;2 ) ( Hm s ng bin trờn khong: -2; Bi 2: Cho hm s y = sin x + cos x ộ pự ộp ự a) Chng minh rng hm s ng bin trờn ờ0; ỳ v nghch bin trờn ;p ỳ 3ỷ ở3 ỷ b) Chng minh rng vi mi m ẻ ( -1;1) , phng trỡnh sin x + cos x = m (*) cú nghim nht thuc on [ 0;p ] Bi gii: a) Hm s liờn tc trờn [ 0;p ] v y / = 2sin x cos x - sin x = sin x ( cos x - 1) , x ẻ ( 0;p ) Vỡ x ẻ ( 0;p ) ị sin x > nờn trờn ( 0;p ) : y / = cos x = Lp bng bin thiờn: x p y' + p x = , x ẻ ( 0;p ) p _ y -1 ộp ự ộ pự Kt lun: Hm s ng bin trờn ờ0; ỳ v nghch bin trờn ;p ỳ 3ỷ ở3 ỷ b) Ta cú: ộ pự ổp "x ẻ ờ0; ỳ , ta cú y ( ) Ê y Ê y ỗ ữ Ê y Ê nờn phng trỡnh (*) khụng cú nghim vi ố3ứ 3ỷ m ẻ ( -1;1) Giỏo viờn: Lấ B BO Trang T Toỏn THPT Phong in Chuyờn KHO ST HM S Luyn thi i hc 2012 ộp ự ổp "x ẻ ;p ỳ , ta cú y ( p ) Ê y Ê y ỗ ữ -1 Ê y Ê Theo nh lý v giỏ tr trung gian ca ở3 ỷ ố3ứ 5ử ổ ổp hm s liờn tc m ẻ ( -1;1) è ỗ -1; ữ , tn ti mt s thc c ẻ ỗ ;p ữ cho y ( c ) = 4ứ ố ố3 ứ ộp ự S c l nghim ca phng trỡnh sin x + cos x = m v vỡ hm s nghch bin trờn ;p ỳ ở3 ỷ nờn trờn on ny, phng trỡnh (*) cú nghim nht Kt lun: Phng trỡnh ó cho cú nghim nht thuc on [ 0;p ] DNG 2: HM S N IU TRấN D è Phng phỏp: S dng iu kin cn v ca tớnh n iu: ã Hm s y = f ( x ) ng bin trờn D f / ( x ) 0, "x ẻ D ã Hm s y = f ( x ) nghch bin trờn D f / ( x ) Ê 0, "x ẻ D Lu ý: Du = ch xóy ti hu hn im Bi 1: Tỡm m hm s y = x + m cos x ng bin trờn Bi gii: TX: D = Ta cú: y / = - m sin x hm s ng bin trờn y / 0, "x ẻ Cỏch 1: y / = - m sin x 0, "x ẻ m sin x Ê 1, "x ẻ (1) * Vi m = thỡ (1) luụn ỳng 1 * Vi m > thỡ (1) sin x Ê , "x ẻ < m Ê m m 1 * Vi m < thỡ (1) sin x , "x ẻ Ê -1 -1 Ê m < m m Kt lun: Cỏc giỏ tr m tha y.c.b.t l -1 Ê m Ê Cỏch 2: y / = - m sin x 0, "x ẻ y / = {1 - m;1 + m} ỡ1 - m -1 Ê m Ê ợ1 + m Kt lun: Cỏc giỏ tr m tha y.c.b.t l -1 Ê m Ê Bi 2: Tỡm m cỏc hm s sau õy n iu trờn cỏc khong ó ch ra: a) y = f ( x ) = - x + x + ( m + 1) x - 3m + nghch bin trờn m+2 b) y = f ( x ) = x - ( m + ) x + ( m - ) x + m - nghch bin trờn Bi gii: a) TX: D = Ta cú: y / = - x + x + m + cú D / = m + v a = -1 < Hm s y = f ( x ) nghch bin trờn ch y / Ê 0, "x ẻ Giỏo viờn: Lấ B BO Trang T Toỏn THPT Phong in Chuyờn KHO ST HM S Luyn thi i hc 2012 ỡa < y.c.b.t / D / Ê 2m + Ê m Ê ợD Ê Kt lun: Vy cỏc giỏ tr m cn tỡm l m Ê - b) TX: D = Ta cú: y / = ( m + ) x - ( m + ) x + m - cú D / = m + v a = -1 < Hm s y = f ( x ) nghch bin trờn ch y / Ê 0, "x ẻ TH 1: m = -2 lỳc ú y / = -10 < 0, "x ẻ suy hm s y = f ( x ) nghch bin trờn TH 2: Xột m -2 Lỳc ú: ỡa < ùỡm + < y.c.b.t / m < -2 + < 10 m ) ( D Ê ù ợ ợ Kt lun: Vy cỏc giỏ tr m cn tỡm l m Ê -2 Chỳ ý: 1) Nu y / = ax + bx + c thỡ: ộ ỡa = b = ộ ỡa = b = ờớ ờớ ợc ợc Ê * y / 0, "x ẻ * y / Ê 0, "x ẻ ờ ỡa > ỡa < ờớ ờớ ờở ợD Ê ởờ ợD Ê 2) Hm s ng bin ( hoc nghch bin ) trờn D thỡ hm s phi xỏc nh trờn D mx + Bi 3: Tỡm m hm s y = nghch bin trờn ( -Ơ;1) x+m Bi gii: TX: D = \ { - m} Ta cú: y / = m2 - ( x + m) ( x -m ) Hm s nghch bin trờn ( -Ơ;1) ch / ỡm - < ùỡ y < 0, "x ẻ ( -Ơ;1) -2 < m Ê -1 ợ-m ùợ- m ẽ ( -Ơ;1) Bi 3: Tỡm m hm s y = x + 3x + ( m + 1) x + m nghch bin trờn ( -1;1) Bi gii: TX: D = Ta cú: y / = x + x + m + Hm s nghch bin trờn ( -1;1) y / Ê 0, "x ẻ ( -1;1) Cỏch 1: y / Ê 0, "x ẻ ( -1;1) 3x + x + m + Ê 0, "x ẻ ( -1;1) m Ê -3x - x - 1, "x ẻ ( -1;1) m Ê g ( x ) vi g ( x ) = -3 x - x - ( -1;1) Giỏo viờn: Lấ B BO Trang T Toỏn THPT Phong in Chuyờn KHO ST HM S Bi toỏn tr thnh: Tỡm g ( x ) vi g ( x ) = -3 x - x - Luyn thi i hc 2012 ( -1;1) Hng 1: ý h s a = -3 < nờn parabol ( P ) : -3x - x - cú b lừm hng { } xung di nờn giỏ tr g ( x ) > lim+ g ( x ), lim- g ( x ) ( -1;1) x đ-1 x đ1 Ta cú: lim+ g ( x ) = -2 v lim- g ( x ) = -10 nờn g ( x ) > -10, "x ẻ ( -1;1) x đ-1 ( -1;1) x đ1 Suy ra: m Ê -3x - x - 1, "x ẻ ( -1;1) m Ê -10 Hng 2: Xột hm s g ( x ) = -3x - x - 1, "x ẻ ( -1;1) Ta cú: g / ( x ) = -6 x - < 0, "x ẻ ( -1;1) ị g ( x ) nghch bin trờn ( -1;1) v: lim g ( x ) = -2 , lim- g ( x ) = -10 x đ-1+ x đ1 Xột bng bin thiờn: x -1 g/(x) g(x) -2 -10 Kt lun: Giỏ tr m cn tỡm l m Ê -10 Cỏch 2: ỡùa = > Xột phng trỡnh y / = x + x + m + = vi / ùợD = - ( m + 1) = - 3m TH 1: D Ê ị y / "x ẻ ( khụng tha ) TH 2: D / > - 3m > m < -3 - - 3m -3 + - 3m , x2 = vi x1 < x2 Phng trỡnh y / = cú hai nghim x1 = 3 Theo bng xột du: x -Ơ +Ơ x1 x2 + + - 0 y/ ỡ -3 - - 3m Ê -1 ù ỡ x1 Ê -1 ù / y Ê 0, "x ẻ ( -1;1) x1 Ê -1 < Ê x2 ợ x2 ù -3 + - 3m ùợ ỡ -3 - - 3m Ê -1 ỡ ù ù ù-3 - - 3m Ê -3 ùỡ- - 3m Ê "m Ê ớ ùợ-3 + - 3m ùợ - 3m m Ê -10 ù -3 + - 3m ùợ Kt lun: Giỏ tr m cn tỡm l m Ê -10 Giỏo viờn: Lấ B BO Trang T Toỏn THPT Phong in Chuyờn KHO ST HM S DNG 3: Luyn thi i hc 2012 VN DNG TNH N IU CA HM S: CHNG MINH BT NG THC I- NI DUNG í TNG: nh ngha: Hm s y = f ( x) ng bin trờn D "x1 , x2 ẻ D : x1 < x2 ị f ( x1 ) < f ( x2 ) Hm s y = f ( x) ng bin trờn D "x1 , x2 ẻ D : x1 < x2 ị f ( x1 ) > f ( x2 ) t : chng minh mt bt ng thc dng: A > B (1) trờn D thỡ hon ton chỳng ta cú th cú ý tng nh sau: Bc 1: a BT v dng f ( x) > trờn D ( nu thy $a ẻ D : f (a) = ) Lỳc ú: f ( x) > f ( x) > f (a ) Bc 2: Vi x > a cn ch rừ f l hm ng bin Lu ý: 1) i vi dng chng minh f ( x) > f ( y ), x > y hon ton tng t 2) Nhc li mt s BT quan trng: a Bt ng thc Cauchy: "a 0, b : a + b a.b Du = xóy ch a = b b M rng BT Cauchy: "a, b, c : a + b + c 3 a.b.c Du = xóy ch a = b = c 1 c H qu Cauchy: "a > : a + "a : 2a + = a + a + a a a d Cha giỏ tr tuyt i: a Ê a , a - b Ê a + b Ê a + b e Kt qu lng giỏc: "t : sint Ê -1 Ê sint Ê 1, sin3t Ê sin 2t Ê sint ỡ f ( x) = f ( y ), x, y ẻ D ị x= y f ( x ) tăng, giảm D ợ II- V D MINH HA: ổ pử Bi 1: Chng minh x > sinx trờn ỗ 0; ữ bng cỏch xột khong n ố 2ứ iu: f ( x) = x - sinx Bi gii: ộ pử Ta cú f / ( x) = - cosx 0, "x ẻ ờ0; ữ Do cosx Ê 1, "x Suy hm s f ( x) = x - sinx l 2ứ ộ pử hm s ng bin trờn ờ0; ữ T õy x > f ( x) > f (0) hay x - sinx > (.p.c.m) 2ứ Lu ý: ộ pử Mc ớch xột tớnh n iu ca hm f trờn ờ0; ữ nhm ly s bt ng thc 2ứ x > f ( x) > f (0) f Giỏo viờn: Lấ B BO Trang T Toỏn THPT Phong in Chuyờn KHO ST HM S Luyn thi i hc 2012 x2 < cosx, "x > x2 Gii: Ta xột hm s f ( x) = - - cosx ( x 0) / o hm f ( x) = - x + sinx = - ( x - sinx ) Ê 0, "x theo vớ d trờn Suy hm s ó cho Bi 2: Chng minh: - x2 - cosx < (.p.c.m) p Bi 3: Chng minh rng: a sina - b sinb > ( cosb - cosa ) , < a < b < p Bi gii: BT a sina + 2cosa > b sinb + 2cosb , < a < b < p Xột hm s: f (t ) = tsint + 2cost Ê t < pử p ổ Ta cú: f / (t ) = tcost - sint ỗ Ê t < ữ ị f // (t ) = -tsint Ê 0, Ê t < 2ứ ố / / / Suy f ( x) nghch bin vi x > Do ú f ( x) < f (0) = suy f ( x) nghch bin vi x > p T õy: < a < b < ị f (a ) > f ( b ) a sina + 2cosa > b sinb + 2cosb (.p.c.m) Bi 4: (HSPHNII-98) Chng minh mi tam giỏc ABC nhn ta luụn cú: ( sinA + sinB + sinC ) + ( tanA + tanB + tanC ) > p 3 Bi gii: 1 ổ2 ổ2 ổ2 Phõn tớch: ỗ sinA + tanA - A ữ + ỗ sin B + tan B - B ữ + ỗ sin C + tan C - C ữ > 3 ố3 ứ ố3 ứ ố3 ứ ộ pử Xột hm s: f (t ) = sin t + tan t - t vi t ẻ ờ0; ữ 3 2ứ 1ổ 1ổ Ta cú: f / (t ) = cost + - = ỗ 2cost + - = ỗ cost + cost + ữ - (*) 2 ữ 3cos t 3ố cos t ứ 3ố cos 2t ứ nghch bin vi x > T õy x > f ( x) < f (0) hay - cos 2t ộ pử 3 =3 Do t ẻ ờ0; ữ ị cost > nờn ỏp dng BT Cauchy: cost + cost + cos 2t cos 2t 2ứ 1ổ ộ pử T (*) suy ra: f / (t ) = ỗ cost + cost + - - = "t ẻ ờ0; ữ ữ 3ố cos t ứ 2ứ ộ pử Vy hm s f (t ) ng bin trờn ờ0; ữ T t > f (t ) > f (0) = 2ứ ổ pử ộ pử Vi A, B, C ẻ ỗ 0; ữ è ờ0; ữ : A > f ( A ) > F (0) = sinA + tanA - A > (1) 3 ố 2ứ 2ứ Giỏo viờn: Lấ B BO Trang T Toỏn THPT Phong in Chuyờn KHO ST HM S Luyn thi i hc 2012 2 Tng t: sin B + tan B - B > (2) v sin C + tan C - C > (3) 3 3 Cng (1), (2), (3) v theo v ta cú .p.c.m x x3 xn x + + Bi 5: Chng minh rng: "x > 0, n ẻ * : e > + x + + 2! 3! n! Bi gii: Chứng minh phương pháp quy nạp Khi n = 1, ta có: ex > + x (Đúng) Giả sử b.đ.t với n = k , nghĩa là: e x > + x + x x3 xk + + + 2! 3! k! x x3 xk + + + - e x < "x 2! 3! k! Ta chứng minh, b.đ.t với n = k + Thật vậy: 1+ x + Xét hàm số f ( x) = + x + x x3 xk x k +1 + + + + - ex 2! 3! k ! (k + 1)! x x3 xk + + + - e x < 0, "x Vậy f ( x) nghịch biến [0;+Ơ ) 2! 3! k! Suy ra: f ( x) < f (0) = (đ.p.c.m) Nhn xột: vớ d ny chỳng ta ó s dng nh ngha tớnh n iu ca hm s: 1) Hm s y = f ( x) ng bin trờn D: "x Ê y : f ( x) Ê f ( y ) 2) Hm s y = f ( x) nghch bin trờn D: "x Ê y : f ( x) f ( y ) III- BI TP T LUYN: ộ pự Bi 1: Cho hm s f ( x) = x - tan x, x ẻ ờ0; ỳ p 4ỷ ộ pự a Xột chiu bin thiờn ca hm s trờn ờ0; ỳ 4ỷ ộ pự b Chng minh rng tan x Ê x, "x ẻ ờ0; ỳ p 4ỷ Bi 1: Chng minh cỏc bt ng thc trờn cỏc ó ch ra: x3 pử x3 ổ pử ổ sin x x (x > 0) > 2) tan x > x + 3) 1) tanx > x ỗ < x < ữ < x < ỗ ữ 2ứ ố 2ứ ố x3 (x < 0) 4) sinx < x 5) x > sin2 x ( x > 0) Bi 2: Chng minh cỏc bt ng thc sau: ổ pử a CMR: sinx + tanx > x x ẻ ỗ 0; ữ ố 2ứ ỹ Vn dng kt qu trờn: Chng minh bt ng thc sau: Ta có: f / ( x) = + x + Giỏo viờn: Lấ B BO Trang T Toỏn THPT Phong in Chuyờn KHO ST HM S Luyn thi i hc 2012 A B C + cos + cos + cos + + > 3 , x ẻ ổ 0; p ỗ ữ A B C ố 2ứ b CMR: sinx +2 tanx ổ pử , x ẻ ỗ 0; ữ ố 2ứ x +1 c CMR: 3sinx +2 tanx >2 x +1 ổ pử , x ẻ ỗ 0; ữ ố 2ứ Bi 3: Chng minh cỏc bt ng thc sau: pử tana a ổ 1) < ỗ0 < a < b < ữ tanb b ố 2ứ 2) ( 78) Chng minh mi tam giỏc ABC nhn ta luụn cú: sinA + sinB + sinC + tanA + tanB + tanC > 2p ổ 1+ x Bi 4: Cho x > y > Chứng minh rằng: ( x - y ) ( - x - y ) < 2ln ỗ ữ ố1+ y ứ NG DNG TRONG VIC GII PT, BPT, HPT Gii thiu: Bi 1: Cho hm s f ( x ) = x x - a) Chng minh rng hm s ng bin trờn na khong [ 2;+Ơ ) b) Chng minh rng phng trỡnh x x - = 11 cú mt nghim nht Gii: a) TX: D = [ 2; +Ơ ) ổ x x ( x - 8) > 0, "x ẻ ( 2; +Ơ ) o hm: f / ( x) = ỗ x - + ữ= x-2 ứ x-2 ố Do ú hm s ng bin trờn na khong [ 2;+Ơ ) b) Nhn xột: Hm s liờn tc trờn [2;3] v cú f(2) = 0, f(3) = 18 Vỡ < 11 < 18 nờn $c ẻ ( 2;3) cho f (c) = 11 S thc c l mt nghim ca phng trỡnh v vỡ f ( x) ng bin trờn [ 2;+Ơ ) nờn c l nghim nht ca phng trỡnh ó cho Bi 2: Gii phng trỡnh: x + x - - x + = (3) Gii: 1ự ổ t f ( x) = x + x - - x + vi x Ê Ta cú f ( x) l hm liờn tc trờn ỗ -Ơ; ỳ v: 3ỷ ố f / ( x) = x + 3x + > 0, "x < - 3x 1ự ổ Do ú hm s ng bin trờn na khong ỗ -Ơ; ỳ Mt khỏc f (-1) = , nờn x = -1 l mt 3ỷ ố nghim ca (3) v cng l nghim nht ca phng trỡnh ny Giỏo viờn: Lấ B BO Trang T Toỏn THPT Phong in Chuyờn KHO ST HM S Luyn thi i hc 2012 Bi tp: Gii cỏc h phng trỡnh, h bt phng trỡnh sau: ỡ y = x - 12 x + ỡ tan x - tan y = y - x ù pử ù ổ p a) b) z = y - 12 y + 5p ỗ - < x, y < ữ 2ứ ố ùợ2 x + y = ù ợ x = z - 12 z + 3 ùỡ x - x = y - y c) ùợ x + y = Giỏo viờn: Lấ B BO ỡ x + 5x + < d) ợ x + x - x - 10 > Trang 10 T Toỏn THPT Phong in ... Lu ý: Du = ch xóy ti hu hn im Bi 1: Tỡm m hm s y = x + m cos x ng bin trờn Bi gii: TX: D = Ta cú: y / = - m sin x hm s ng bin trờn y / 0, "x ẻ Cỏch 1: y / = - m sin x 0, "x ẻ m sin... k! x x3 xk + + + - e x < "x 2! 3! k! Ta chứng minh, b.đ.t với n = k + Thật vậy: 1+ x + Xét hàm số f ( x) = + x + x x3 xk x k +1 + + + + - ex 2! 3! k ! (k + 1)! x x3 xk + + + - e x < 0, "x... BI TP T LUYN: ộ pự Bi 1: Cho hm s f ( x) = x - tan x, x ẻ ờ0; ỳ p 4ỷ ộ pự a Xột chiu bin thiờn ca hm s trờn ờ0; ỳ 4ỷ ộ pự b Chng minh rng tan x Ê x, "x ẻ ờ0; ỳ p 4ỷ Bi 1: Chng minh cỏc bt ng