Chủ đề 1: TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ

a Chứng minh rằng hàm số đồng biến trên é pù ë0;3û và nghịch biến trên ép pù ë3; û... Số c là nghiệm của phương trình 2x+ x=m sin cos và vì hàm số nghịch biến trên ép pù ë3; û nên trên

DẠNG 1: XÉT TÍNH ĐỒNG BIẾN- NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ

Bài tập 1: Xét tính đồng biến và nghịch biến của các hàm số sau:

+

-+

2 2

1 a) ( ) 4 b) ( ) 1;2 c) ( ) 4

1

x

x

Bài giải:

a) TXĐ: D= \ 1{ }

Ta có:

2 /

2

2

(1 )

- +

f x

x

( ) 0

= Þ = é

ë

f x

Bảng biến thiên:

lim , lim lim , lim

Kết luận: Hàm số đồng biến trên các khoảng: ( ) ( )0;1 , 1;2

Hàm số nghịch biến trên các khoảng: (-¥;0 , 2;) ( +¥)

b) TXĐ: D =

Ta có :

2

2 2

/

1 1

( )

x

x x

f x

-+

Lập bảng biến thiên:

Kết luận:

Hàm số đồng biến trên khoảng: (-1;1 )

Hàm số nghịch biến trên khoảng: ( )1;2

c) Điều kiện: 4-x2 ³ Û - £ £0 2 x 2

Hay TXĐ: D= -[ 2;2]

0 4

0 0

f(x)

f/(x)

x

0

0

2

-1 x

f/(x)

f(x)

2 1

Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi Đại học 2012

Ta có:

2 /

4 ( ) 1

f x

2

x

Lập bảng biến thiên:

Kết luận:

Hàm số đồng biến trên khoảng: (-2; 2 )

Hàm số nghịch biến trên khoảng: ( 2;2 )

Bài tập 2: Cho hàm số y= 2x+ x

sin cos a) Chứng minh rằng hàm số đồng biến trên é pù

ë0;3û và nghịch biến trên ép pù

ë3; û b) Chứng minh rằng với mọi mÎ -( 1;1), phương trình 2x+ x=m

sin cos (*) có nghiệm duy nhất thuộc đoạn [ ]0;p

Bài giải:

a) Hàm số liên tục trên [ ]0;p và y/ = x x- x= x( x- ) xÎ( )p

2 sin cos sin sin 2 cos 1 , 0;

Vì xÎ( )0;p Þsinx>0 nên trên ( )0;p : y/ = Û x = Û =1 x p xÎ( )p

Lập bảng biến thiên:

Kết luận: Hàm số đồng biến trên é pù

ë0;3û và nghịch biến trên ép pù

ë3; û b) Ta có:

x é pù

" Î êë0; úû

3 , ta có y( )£ £y yæ öp Û £ £y

ç ÷

è ø

5

3 4 nên phương trình (*) không có nghiệm với

mÎ -1;1

2 2

x f'(x) f(x)

2 0

+

-1

5 4 1

_ +

p

3 0

0

p

y y' x

x ép pù

" Î êë ; úû

3 , ta có y( )p £ £y yæ öp Û - £ £y

ç ÷

è ø

5 1

3 4 Theo định lý về giá trị trung gian của hàm số liên tục mÎ -( ) Ì -æ ö

5 1;1 1;

4 , tồn tại một số thực c æp pö

Îçè ; ÷ø

3 sao cho y c( ) =0

Số c là nghiệm của phương trình 2x+ x=m

sin cos và vì hàm số nghịch biến trên ép pù

ë3; û

nên trên đoạn này, phương trình (*) có nghiệm duy nhất

Kết luận: Phương trình đã cho có nghiệm duy nhất thuộc đoạn [ ]0;p

DẠNG 2: HÀM SỐ ĐƠN ĐIỆU TRÊN D Ì 

Phương pháp: Sử dụng điều kiện cần và đủ của tính đơn điệu:

· Hàm số y= f x( ) đồng biến trên D Û f/ x ³ " Îx D

( ) 0,

· Hàm số y= f x( ) nghịch biến trên D Û f/ x £ " Îx D

( ) 0,

Lưu ý: Dấu “=” chỉ xãy ra tại hữu hạn điểm

Bài tập 1: Tìm m để hàm số y= +x mcosx đồng biến trên 

Bài giải:

TXĐ: D=

Ta có: /

1 sin

Để hàm số đồng biến trên /

0,

Û ³ " Î

Cách 1: /

1 sin 0, sin 1, (1)

y = -m x³ " Î Ûx  m x£ " Îx 

* Với m=0 thì (1) luôn đúng

* Với m>0 thì (1) sinx 1, x 1 1 0 m 1

* Với m<0 thì (1) sinx 1, x 1 1 1 m 0

Kết luận: Các giá trị m thỏa y.c.b.t là 1- £ £m 1

1 sin 0, min min 1 ;1 0

m

m m

- ³

ì

Kết luận: Các giá trị m thỏa y.c.b.t là 1- £ £m 1

Bài tập 2: Tìm m để các hàm số sau đây đơn điệu trên các khoảng đã chỉ ra:

y= f x = -1x3+ x2+ m+ x- m+

3 nghịch biến trên 

m

y= f x = +2x3- m+ x2 + m- x+m2

3 nghịch biến trên 

Bài giải:

a) TXĐ: D=

Ta có: y/ = - +x2 x+ m+

4 2 1 có D =/ m+

2 5 và a= - <1 0

Hàm số y= f x ( ) nghịch biến trên  khi chỉ khi y/ £ " Îx

0, 

Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi Đại học 2012

y.c.b.t ìa< m m

-D £

î

/ /

0 2 5 0

5 0

Kết luận: Vậy các giá trị m cần tìm là m£ -2

5

b) TXĐ: D=

Ta có: y/ =(m+ )x2- (m+ )x+ -m

2 2 2 8 có D =/ m+

2 5 và a = - <1 0

Hàm số y= f x ( ) nghịch biến trên  khi chỉ khi y/ £ " Îx

0, 

TH 1: m= -2 lúc đó y/ = - < " Îx

10 0,  suy ra hàm số y = f x( ) nghịch biến trên 

TH 2: Xét m¹ -2 Lúc đó:

y.c.b.t

m a

m m

+ <

-+ <

2 0 0

2

10 2 0

Kết luận: Vậy các giá trị m cần tìm là m£ -2

Chú ý:

1) Nếu y/ =ax2+bx+c thì:

*

a b c

a

éì = = í

î ê

³ " Î Û ê >ì

êíD £ êî ë

/

0 0

0,

0 0

a b c

a

éì = = í

î ê

£ " Î Û ê <ì

êíD £ êî ë

/

0 0

0,

0 0



2) Hàm số đồng biến ( hoặc nghịch biến ) trên D thì hàm số phải xác định trên D

Bài tập 3: Tìm m để hàm số y mx 4

+

= + nghịch biến trên(-¥;1)

Bài giải:

TXĐ: D=\{ }-m

Ta có:

2 /

2 4

m

-+

Hàm số nghịch biến trên (-¥;1) khi chỉ khi

1

;1

m m

m

ì < " Î -¥ ì - <

- ³

Bài tập 3: Tìm m để hàm số 3 2 ( )

y=x + x + m+ x+ m nghịch biến trên(-1;1)

Bài giải:

TXĐ: D=

Ta có: / 2

y = x + x+ +m

Hàm số nghịch biến trên ( ) / ( )

1;1 y 0, x 1;1

Cách 1:

0, 1;1 3 6 1 0, 1;1 3 6 1, 1;1

y £ " Î -x Û x + x+ + £m " Î -x Û £ -m x - x- " Î -x

min ( )

( ) 3 6 1

g x = - x - x-

Bài toán trở thành: Tìm

( 1;1 )

min ( )g x

( ) 3 6 1

g x = - x - x- Hướng 1: Để ý hệ số a= - <3 0 nên parabol ( ) 2

: 3 6 1

P - x - x- có bề lõm hướng xuống dưới nên giá trị

min ( ) min lim ( ), lim ( )

Ta có:

1

lim ( ) 2

x +g x

®- = - và

1

lim ( ) 10

x -g x

® = - nên

1;1

min ( )g x 10, x 1;1

- > - " Î

3 6 1, 1;1 10

m£ - x - x- " Î -x Û £ -m

Hướng 2: Xét hàm số 2 ( )

( ) 3 6 1, 1;1

g x = - x - x- " Î -x

( ) 6 6 0, 1;1 ( )

g x = - x- < " Î -x Þg x nghịch biến trên (-1;1) và:

1

lim ( ) 2

x +g x

®- = - ,

1

lim ( ) 10

x -g x

® = - Xét bảng biến thiên:

Kết luận: Giá trị m cần tìm là m£ -10

Cách 2:

Xét phương trình / = 2+ + + =

y x x m với

= >

ìï

-ïî /

3 0

9 3 1 6 3

a

TH 1: D £ Þ0 y/ ³ " Î0 x  ( không thỏa )

TH 2: /

0 6 3m 0 m 2

D > Û - > Û <

Phương trình y/ =0 có hai nghiệm = - - - = - +

,

Theo bảng xét dấu:

/

y + 0 - 0 +

2

3 6 3

1

0, 1;1 1 1

1 3

m x

-ï

£

ïî

3 6 3

3

1 3

m

ïî

Kết luận: Giá trị m cần tìm là m£ -10

1

-2

-10 g(x)

g/(x)

Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi Đại học 2012

DẠNG 3: VẬN DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ:

CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC

I- NỘI DUNG Ý TƯỞNG:

Định nghĩa:

Hàm số y= f x( ) đồng biến trên D Û "x x1, 2ÎD x: 1<x2Þ f x( )1 < f x( )2

Hàm số y= f x( ) đồng biến trên D Û "x x1, 2ÎD x: 1<x2Þ f x( )1 > f x( )2

Đặt vấn đề: Để chứng minh một bất đẳng thức dạng: A B> (1) trên D thì hoàn toàn

chúng ta có thể có ý tưởng như sau:

Bước 1: Đưa BĐT về dạng ( ) 0f x > trên D ( nếu thấy $ Îa D f a: ( ) 0= )

Lúc đó: ( ) 0f x > Û f x( )> f a ( )

Bước 2: Với x a> cần chỉ rõ f là hàm đồng biến

Lưu ý:

1) Đối với dạng chứng minh ( )f x > f y x( ), > y hoàn toàn tương tự

2) Nhắc lại một số BĐT quan trọng:

a Bất đẳng thức Cauchy: " ³a 0, b³0 : a b+ ³2 a b Dấu “=” xãy ra khi chỉ khi a b=

b Mở rộng BĐT Cauchy: "a b c, , ³0 : a b c+ + ³33 a b c Dấu “=” xãy ra khi chỉ khi a b c= =

c Hệ quả Cauchy: a 0 :a 1 2 a: 2a 12 a a 12 3

d Chứa giá trị tuyệt đối: a£ a, a - £ + £b a b a + b

e Kết quả lượng giác: "t sint: £ Û - £1 1 sint£1, sin t sin t sint3 £ 2 £

f ( ) ( ), ,

( ) hoÆc t¨ng, hoÆc gi¶m trªn D

f x

ì

Þ = í

î

II- VÍ DỤ MINH HỌA:

Bài tập 1: Chứng minh x>sinx trên 0;

2

p

è ø bằng cách xét khoảng đơn

điệu: ( )f x = -x sinx

Bài giải:

Ta có /( ) 1 cos 0, 0;

2

p

= - ³ " Îêë ÷ø

f x x x Do cosx £ "1, x Suy ra hàm số ( ) f x = -x sinx là

hàm số đồng biến trên 0;

2

p

÷

êë ø Từ đây x> Û0 f x( )> f(0) hay x-sinx>0 (đ.p.c.m)

Lưu ý:

Mục đích xét tính đơn điệu của hàm f trên 0;

2

p

÷

êë ø nhằm “lấy số 0” trong bất đẳng thức

0 ( ) (0)

x> Û f x > f

Bài tập 2: Chứng minh:

2

1 cos , 0 2

- x < x " >x

Giải: Ta xét hàm số

2 ( ) 1 cos

2

= - x

-f x x ( x³0)

Đạo hàm f x/( )= - +x sinx= - -(x sinx) £0, " ³x 0 theo ví dụ trên Suy ra hàm số đã cho nghịch biến với x>0 Từ đây do x> Û0 f x( )< f(0) hay

2

1 cos 0 2

-x - x< (đ.p.c.m)

Bài tập 3: Chứng minh rằng: sin sin 2 cos( cos ), 0

2

p

Bài giải: BĐT sin 2cos sin 2cos , 0

2

p

Xét hàm số: ( ) sin 2cos 0

2

p

Ta có: /( ) cos sin 0 //( ) sin 0, 0

Suy ra f x nghịch biến với /( ) x>0 Do đó f x/( )< f /(0) 0= suy ra f x nghịch biến với ( ) 0

x>

Từ đây: 0 ( ) ( )

p

< < < Þ > Ûa asin +2cosa b b> sin +2cosb (đ.p.c.m)

Bài tập 4: (ĐHSPHNII-98) Chứng minh trong mọi tam giác ABC nhọn ta luôn có:

sin sin sin tan tan tan

3 A+ B+ C +3 A+ B+ C >p

Bài giải:

Phân tích: 2sin 1tan 2sin 1tan 2sin 1tan 0

3 A 3 A A 3 B 3 B B 3 C 3 C C

Xét hàm số: 2 1

( ) sin tan

f t = t+ t t- với 0;

2

tÎé p ö

÷

êë ø

Ta có: /

Do 0; cos 0

2

tÎé p öÞ t >

÷

êë ø nên áp dụng BĐT Cauchy:

2 3

1 cos

cos cos

t

Từ (*) suy ra: /

2

( ) cos cos 1 3 1 0 0;

t

p

Vậy hàm số ( )f t đồng biến trên 0;

2

p

÷

êë ø Từ t > Û0 f t( )> f(0) 0=

Với , , 0; 0; : 0 ( ) (0) 0 2sin 1tan 0

A B CÎæ p ö éÌ p ö A> Û f A >F = Û A+ A A- >

Chuyờn đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi Đại học 2012

Tương tự: 2 1

3 B+3 B B- > (2) và 2 1

3 C+3 C C- > (3) Cộng (1), (2), (3) vế theo vế ta cú đ.p.c.m

Bài tập 5: Chứng minh rằng:

2 3

2! 3! ! e

n

n

Bài giải:Chứng minh bằng phương pháp quy nạp

2 3

2 3

2! 3! !

1 ( ) 1

x Khi ta có: e (Đúng)

Giả sử b.đ.t đúng với , nghĩa là:

Ta chứng minh, b.đ.t cũng đúng với Thật vậy:

Xét hàm số

= +

= + +

k x

k x

k

k

n k x

2 3 /

2! 3! ! ( 1)!

( ) (0) 0

Ta có: Vậy nghịch biến trên 0;+ Suy ra: (đ.p.c.m)

+

-+

< =

x

k x

e

k

f x f

Nhận xột: Ở vớ dụ này chỳng ta đó sử dụng định nghĩa tớnh đơn điệu của hàm số:

1) Hàm số y= f x( ) đồng biến trờn D: " Êx y f x: ( )Ê f y( )

2) Hàm số y= f x( ) nghịch biến trờn D: " Êx y f x: ( )³ f y( )

III- BÀI TẬP TỰ LUYỆN:

Bài tập 1: Cho hàm số ( ) 4 tan , 0;

4

p

a Xột chiều biến thiờn của hàm số trờn 0;

4

p

b Chứng minh rằng tan 4 , 0;

4

p

Ê " ẻ ờở ỳỷ

Bài tập 1: Chứng minh cỏc bất đẳng thức trờn cỏc miền đó chỉ ra:

1) tan 0

2

p

> ỗ < < ữ

x x x 2)

3 tan 0

p

> + ỗ < < ữ

x

x x x 3)

3 sin ( 0)

6

> - x >

4)

3 sin ( 0)

6

< - x <

x x x 5) 2x>sin2 (x x>0)

Bài tập 2: Chứng minh cỏc bất đẳng thức sau:

a CMR: sin tan 2 0;

2

p

ỹ Vận dụng kết quả trờn: Chứng minh bất đẳng thức sau:

1 1 1

2

cos cos cos

,

x

p

b CMR: 2sin 2tan 2 ,1 0;

2

p

x x x x c CMR:

3 1 3sin tan 2

2

p

Bài tập 3: Chứng minh các bất đẳng thức sau:

1) tan 0

< ç < < < ÷

2) (Đề 78) Chứng minh trong mọi tam giác ABC nhọn ta luôn có:

sinA+sinB+sinC+tanA+tanB+tanC>2p

1

y

æ + ö

+

Giới thiệu: ỨNG DỤNG TRONG VIỆC GIẢI PT, BPT, HPT

Bài tập 1: Cho hàm số f x( ) =2x2 x-2

a) Chứng minh rằng hàm số đồng biến trên nửa khoảng [2;+¥)

b) Chứng minh rằng phương trình 2x2 x- =2 11 có một nghiệm duy nhất

Giải:

a) TXĐ: D=[2;+¥)

x x x

Do đó hàm số đồng biến trên nửa khoảng [2;+¥)

b) Nhận xét:

Hàm số liên tục trên [2;3] và có f(2) = 0, f(3) = 18 Vì 0 < 11 < 18 nên $ Îc ( )2;3 sao cho f c( ) 11= Số thực c là một nghiệm của phương trình và vì ( )f x đồng biến trên

[2;+¥) nên c là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho

Bài tập 2: Giải phương trình: x5+x3- 1 3- x+ =4 0 (3)

Giải:

Đặt f x( )= x5+x3- 1 3- x+4 với 1

3

£

x Ta có ( )f x là hàm liên tục trên ;1

3

æ-¥ ù

è û và:

3

2 1 3

x

Do đó hàm số đồng biến trên nửa khoảng ;1

3

æ-¥ ù

è û Mặt khác ( 1) 0f - = , nên x= -1 là một

nghiệm của (3) và cũng là nghiệm duy nhất của phương trình này

Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi Đại học 2012

Bài tập: Giải các hệ phương trình, hệ bất phương trình sau:

2

2

2

6 12 8 tan tan

2 3

3

3

3 a) b)

p

8 4

c)

1

-ï

í

ì

>

-+

<

+ +

0 10 9 3

0 4 5 2 3

2

x x x

x x