CHỦ ĐỀ 5 NGUYÊN HÀM CỦA HÀM HỮU TỈ A LÝ THUYẾT I Các công thức cần nhớ (1) (2) (3) II Nguyên hàm dạng Nếu bậc của tử số lớn hơn hoặc của mẫu số thực hiện phép chia đa thức ta có Dưới đây là một số dạng thường gặp Dạng 1 Phân tích khi đó Dạng 2 ( Trường hợp 1 Phân tích (Đồng nhất hệ số để tìm A, B) ( Trường hợp 2 ( Trường hợp 3 Phân tích Khi đó Dạng 3 với ( Trường hợp 1 Phân tích (Trường hợp 2 Phân tích ( Trường hợp 3 trong đó vô nghiệm Phân tích Dạng 4 Tham khảo và nâng cao trong đó bậc của P(.
CHỦ ĐỀ 5: NGUYÊN HÀM CỦA HÀM HỮU TỈ A LÝ THUYẾT I Các công thức cần nhớ dx (1) ∫ x + a dx = ln x + a + C → ∫ ax + b = a ln ax + b + C (2) ∫x (3) ∫x dx x −a = ln +C −a 2a x + a 1 x 1 u dx = arctan + C → ∫ du = arctan + C 2 +a a a u +a a a II Nguyên hàm dạng I = ∫ P ( x ) dx Q( x) Nếu bậc tử số lớn mẫu số thực phép chia đa thức ta có: P( x) Q( x) = g ( x) + P '( x ) Q( x) Dạng 1: I = ∫ Phân tích: P( x) ax + b Dạng 2: I = ∫ Dưới số dạng thường gặp P ( x ) dx ax + b = g( x) + dx k I = ∫ g ( x ) dx + k ∫ ax + b ax + b mx + n dx ax + bx + c Trường hợp 1: ∆ = b − 4ac > Phân tích: mx + n mx + m 1 A B = = + ÷ ax + bx + c a ( x − x1 ) ( x − x ) a x − x1 x − x (Đồng hệ số để tìm A, B) ⇒I= ( A ln x − x1 + Bln x − x ) + C a Trường hợp 2: ∆ = b − 4ac = m ( x − x0 ) + p mx + n mx + n m P = = = + 2 a.x + bx + c a ( x − x ) a ( x − x0 ) a ( x − x0 ) a ( x − x0 ) Trường hợp 3: ∆ = b − 4ac < Phân tích: k ( 2ax + b ) mx + n p = + ax + bx + c ax + bx + c a ( x − x ) + q Khi I = ∫ ( kd ax + bx + c ax + bx + c ) +p a ∫(x−x ) + n2 dx Dạng 3: I = ∫ P ( x ) dx Q( x) với Q ( x ) = ax + bx + cx + d Trường hợp 1: ax + bx + cx + d = a ( x − x1 ) ( x − x ) ( x − x ) Phân tích: P( x) ax + bx + cx + d = A B C + + x − x1 x − x x − x Trường hợp 2: ax + bx + cx + d = a ( x − x1 ) ( x − x ) Phân tích: P( x) ax + bx + cx + d = A Bx + C + x − x1 ( x − x ) ( ) 2 Trường hợp 3: ax + bx + cx + d = a ( x − x1 ) mx + nx + p mx + nx + p = vơ nghiệm Phân tích: P( x) ax + bx + cx + d = A Bx + C + x − x1 mx + nx + p Dạng 4: [Tham khảo nâng cao]: I = ∫ Trường hợp 1: I = ∫ Phân tích: P( x) x +a = P ( x ) dx x4 ± a2 bậc P(x) nhỏ P ( x ) dx x4 + a2 ( ) ( ) A x + a + B x − a + Cx + Dx x +a a a dx − ÷ x +a du x x dx = dx = ∫ → I1 = ∫ Khi ta có: I1 = ∫ 2 ∫ a x +a u + 2a a x2 + x − ÷ + 2a x x 1+ a a dx + ÷ x −a du x x dx = I2 = ∫ dx = ∫ → I2 = ∫ 2 2 ∫ a x +a u − 2a a x2 + x + ÷ − 2a x x 1− ( ) x 3dx d x +a I3 = ∫ = ∫ = ln x + a + C x +a x +a ( ) xdx d x du I4 = ∫ = ∫ → I4 = ∫ 2 x +a x +a u + a2 Từ suy nguyên hàm I = ∫ Trường hợp 2: I = ∫ Phân tích: P( x) x −a = P ( x ) dx x4 + a2 P ( x ) dx x4 − a2 ( Ax + Bx + Cx + D x −a ) ( ) ( ) d x4 − a2 d x2 Ax + Bx A B A du B dv Khi xét: I1 = ∫ x − a dx = ∫ x − a + ∫ x − a → I1 = ∫ u + ∫ v − a Phân tích I = ∫ Cx + D N M dx = ∫ + ÷dx (Đồng tìm M, N) x −a x −a x +a Dạng [Tham khảo nâng cao]: Một số nguyên hàm hữu tỷ Q(x) đa thức bậc • I1 = ∫ dx dx 1 =∫ = ∫ − ÷ x −1 x −1 x +1 x −1 x +1 • I2 = ∫ xdx dx du = → I2 = ∫ 3 ∫ x −1 x2 −1 u −1 • I3 = ∫ x dx d x du = → I3 = ∫ 6 ∫ x −1 x −1 u −1 ( )( ) ( ) ( ) ( ) • 2 x 3dx x d x udu I4 = ∫ = ∫ → I4 = ∫ x −1 x −1 u −1 • x4 + x2 +1 + x −1 − x dx dx dx dx I5 = ∫ =∫ dx = ∫ −∫ − 2∫ 2 x −1 x −1 x + x +1 x −1 x −1 x + x +1 ( Với K = ∫ ( )( ) ( ( ) ) ) ( ) 2 dx x +1 − x −1 x2 +1 x2 −1 = dx = ∫ dx − ∫ dx x4 + x2 +1 ∫ x4 + x2 +1 x + x2 +1 x + x2 +1 1 1 dx − ÷ dx + ÷ 1 1 x x = ∫ dx − ∫ dx = ∫ − ∫ 1 x2 +1+ x2 +1+ 1 x + ÷− x − ÷ +3 x2 x2 x x 1+ →K= x2 1− x2 du dv − ∫ 2 ∫ u + v −1 B VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ 1: Tìm ngun hàm hàm số sau: A I1 = ∫ dx 2x − B I = ∫ x +1 dx x −1 C I3 = ∫ 2x + dx − 4x D I = ∫ Lời giải a) I1 = ∫ 4 d ( 2x − 1) dx = ∫ = ln 2x − + C 2x − 2x − b) I = ∫ x +1 x −1 + 2 dx dx = ∫ dx = ∫ 1 + = x + ln x − + C ÷dx = ∫ dx + ∫ x −1 x −1 x −1 x −1 c) I = 2x + dx = ∫ − 4x ∫ − ( − 4x ) + 2 dx = − + ∫ 2 ( − 4x ) − 4x dx dx = − x + ∫ = ÷ ÷ 2 − 4x x2 + x + x +3 d ( − 4x ) 5 =− x− ∫ = − x − ln − 4x + C → I3 = − x − ln − 4x + C − 4x 8 d) I = ∫ d ( x + 3) x x2 + x + 10 = ∫x − 2+ dx = x − dx + 10 ÷ ∫( ) ∫ x + = − 2x + 10 ln x + + C x +3 x +3 Ví dụ 2: Tìm ngun hàm hàm số sau: A I5 = ∫ x3 − x + dx 2x + C I7 = ∫ 4x + 3x + x + dx 2x + B I6 = ∫ 3x + 3x + x + dx x −1 Lời giải 49 21 a) Chia tử số cho mẫu số ta x − x + = x − x+ − 2x + 2x + 49 1 ÷ x3 − x + 21 21 49 dx 1 dx = ∫ x − x + − ÷dx = ∫ x − x + ÷dx − ∫ Khi đó: I5 = ∫ 2x + 2x + ÷ 2x + 2 2 x x 21 49 d ( 2x + ) x 5x 21x 49 = − + x− ∫ = − + − ln 2x + + C 16 2x + 8 16 b) Ta có I6 = ∫ 3x + 3x + x + dx = ∫ 3x + 6x + + ÷dx = x + 3x + 7x + ln x − + C x −1 x − 4x + 3x + x + c) Chia tử số cho mẫu số ta = 2x − x + 2x − + 2x + 2x + ÷ 4x + 3x + x + 1 dx I7 = ∫ dx = ∫ 2x − x + 2x − + ÷dx = ∫ 2x − x + 2x − ÷dx + ∫ 2x + 2x + ÷ 2 2x + x x3 d ( 2x + 1) x x = − + x − x + ∫ = − + x − x + ln 2x + + C 4 2x + Ví dụ 3: Tìm ngun hàm hàm số sau: 2dx 2x + dx C I3 = ∫ −3x + 4x − x − 3x − Lời giải 3x + dx 5x + 6x + A I1 = ∫ dx dx x − 2x − a) I1 = ∫ dx dx ( x + 1) − ( x − 3) dx dx x − dx = ∫ = ∫ dx = ∫ −∫ +C ÷ = ln x − 2x − x −3 x +1 x +1 ( x + 1) ( x − 3) ( x + 1) ( x − 3) B I = ∫ D I = ∫ 2 b) Ta có I = ∫ 2dx dx dx −2 ( 3x − 1) − ( x − 1) = −2 ∫ = −2 ∫ = dx −3x + 4x − 3x − 4x + ( x − 1) ( 3x − 1) ∫ ( x − 1) ( 3x − 1) dx dx 1 d ( 3x − 1) 1 3x − = − ∫ − 3∫ = − ln x − + ln 3x − + C = ln + C ÷ = − ln x − + ∫ x −1 3x − 2 3x − 2 x −1 c) I3 = ∫ 2x + dx x − 3x − Cách 1: Nhận thấy mẫu số có hai nghiệm x = −1 x = , 2x + 2x + A B = = + x − 3x − ( x + 1) ( x − ) x + x − A = − 2 = A + B ↔ Đồng ta 2x + ≡ A ( x − ) + B ( x + 1) → 3 = −4A + B B = 11 11 −5 ÷ 2x + dx 11 dx 11 ⇒ I3 = ∫ dx = ∫ + ÷dx = − ∫ + ∫ = − ln x + + ln x − + C x − 3x − x +1 x − 5 x +1 x − ÷ 11 Vậy I3 = − ln x + + ln x − + C 5 Cách 2: Do mẫu số có đạo hàm 2x – nên ta phân tích tử số có chứa đạo hàm mẫu sau: ( ) d x − 3x − 2x − 3) dx ( 2x + 2x − + dx dx I3 = ∫ dx = ∫ dx = ∫ + 6∫ =∫ + 6∫ x − 3x − x − 3x − x − 3x − x − 3x − x − 3x − ( x + 1) ( x − ) = ln x − 3x − + ( x + 1) − ( x − ) dx dx x −4 dx = ln x − 3x − + ∫ −∫ +C ÷ = ln x − 3x − + ln ∫ ( x + 1) ( x − ) 5 x−4 x +1 x +1 Nhận xét: Nhìn hai cách giải, nhìn lầm tưởng toán hai đáp số Nhưng, vài phép biến đổi logarit đơn giản ta có kết Thật vậy, thao cách ta có: x−4 6 11 ln x − 3x − + ln = ln x − + ln x + + ln x − − ln x + + C = − ln x + + ln x − x +1 5 5 Rõ ràng, thấy ưu điểm cách đồng nhất, không cần đến giấy nháp ta giải nhanh gọn tốn, điều mà tơi mong muốn bạn thực được! d) I = ∫ 3x + 3x + dx = ∫ dx 5x + 6x + ( x + 1) ( 5x + 1) Cách 1: A=− 3 = 5A + B 3x + A B = + → 3x + ≡ A ( 5x + 1) + B ( x + 1) ↔ → ( x + 1) ( 5x + 1) x + 5x + 4 = A + B B = 17 Từ I = ∫ 3x + 17 dx = ∫ − + ( x + 1) ( 5x + ) ( x + 1) ( 5x + 1) dx 17 dx dx = − ∫ + ÷ ÷ x + ∫ 5x + 17 → I = − ln x + + ln 5x + + C 20 Cách 2: Do mẫu số có đạo hàm 10x + nên ta phân tích tử số có chứa đạo hàm mẫu sau: 22 10x + ) + ( ( 10x + ) dx + 22 3x + dx 10 dx = I4 = ∫ dx = ∫ 10 2 ∫ ∫ 5x + 6x + 5x + 6x + 10 5x + 6x + 10 5x + 6x + ( ) d 5x + 6x + 22 dx 22 ( 5x + 1) − ( x + 1) = ∫ + ∫ = ln 5x + 6x + − ∫ dx 10 5x + 6x + 10 ( 5x + 1) ( x + 1) 10 40 ( 5x + 1) ( x + 1) = 22 dx 5x 11 x +1 ln 5x + 6x + − ∫ −∫ + C ÷ = ln 5x + 6x + − ln 10 40 x + 5x + 10 20 5x + Ví dụ 4: Tìm nguyên hàm hàm số sau: 4x + 2x − dx x2 −1 A I5 = ∫ B I6 = ∫ 5−x dx − 2x − x Lời giải Do tử số có bậc lớn mẫu nên chia đa thức ta I5 = ∫ 4x + 2x − 6x − dx = ∫ 4x + ÷dx x −1 x −1 A= = A + B 6x − 6x − A B = = + ⇒ 6x − ≡ A ( x − 1) + B ( x + 1) ⇔ ⇔ Mà x − ( x − 1) ( x + 1) x + x − −1 = − A + B B = → I5 = ∫ 4x + + ( x + 1) ( x − 1) b) Ta có: dx = 2x + ln x + + ln x − + C ÷ ÷ 2 5−x x −5 x −5 A B = = = + → x − ≡ A ( x + 3) + B ( x − 1) − 2x − x x + 2x − ( x − 1) ( x + 3) x − x + 1 = A + B A = −1 5−x dx dx −1 → ⇔ → I6 = ∫ dx = ∫ + dx = − ∫ + 2∫ ÷ − 2x − x x −1 x +3 x −1 x + −5 = 3A − B B = = − ln x − + ln x + + C = ln ( x − 3) x −1 + C → I = ln ( x − 3) x −1 +C Ví dụ 5: Tìm ngun hàm hàm số sau: A I1 = ∫ 2dx x − 2x + a) I1 = ∫ d ( x − 1) 2dx dx 2 = 2∫ = 2∫ =− + C → I1 = − +C 2 x − 2x + x −1 x −1 ( x − 1) ( x − 1) 2 B I = ∫ dx 6x + 9x + Lời giải C I3 = ∫ dx 25x − 10x + b) I = ∫ dx dx d ( 3x + 1) 1 =∫ = ∫ =− + C → I2 = − + C 2 6x + 9x + ( 3x + 1) ( 3x + 1) ( 3x + 1) ( 3x + 1) c) I3 = ∫ dx dx d ( 5x − 1) 1 =∫ = ∫ =− + C → I3 = − +C 2 25x − 10x + ( 5x − 1) ( 5x − 1) ( 5x − 1) ( 5x − 1) 2 Ví dụ 6: Tìm ngun hàm hàm số sau: a I = ∫ 2x − dx 4x + 4x + 4x − b I5 = ∫ dx 4x + 12x + Lời giải c I6 = ∫ − 5x dx 9x − 24x + 16 2x − 2x − dx a) I = ∫ 4x + 4x + dx = ∫ ( 2x + 1) Cách 1: 2x = t − 2x − t − dt dt 2dt 1 → I4 = ∫ dx = ∫ = ∫ − ∫ ÷ = ln t + + C Đặt t = 2x + → t 2 t t t ( 2x + 1) dt = 2dx → I4 = 1 ln 2x + + +C 2x + Cách 2: ( 8x + ) − ( 8x + ) 2x − 1 dx I4 = ∫ dx = ∫ dx = ∫ dx − ∫ 4x + 4x + 4x + 4x + 4x + 4x + ( 2x + 1) ( ) ( ) 2 d ( 2x + 1) d 4x + 4x + d ( 2x + 1) d 4x + 4x + = ∫ = −∫ = ∫ −∫ 2 2 4x + 4x + ( 2x + 1) 4x + 4x + ( 2x + 1) = 1 1 ln 4x + 4x + + + C = ln 2x + + +C 2x + 2x + b) I5 = ∫ d ( 2x + 3) 4x − 12x + 12 dx dx = ∫ 1 − = x − 6∫ =x+ +C ÷dx − 12 ∫ 2 4x + 12x + 2x + 4x + 12x + ( 2x + 3) ( 2x + 3) − 5x − 5x dx c) I6 = ∫ 9x − 24x + 16 dx = ∫ ( 3x − ) Cách 1: ( t + 4) t+4 1− x = − 5x dt 5t + 17 Đặt t = 3x − → dx = ∫ =− ∫ dt → I6 = ∫ 2 t t 3x − ( ) dt = 3dx 1 17 1 17 17 = − 5ln t − ÷+ C → I6 = − 5ln 3x − − +C ÷+ C = − ln 3x − + 9 t 9 3x − 9 ( 3x − ) Cách 2: I6 = ∫ =− − 5x ( 3x − ) dx = ∫ − 17 ( 3x − ) − dx 17 dx 3 dx = − − ∫ = ∫ 3x − ( 3x − ) ( 3x − ) d ( 3x − ) 17 d ( 3x − ) 17 − ∫ = − ln 3x − + +C ∫ ( 3x − ) ( 3x − ) 9 3x − 17 → I6 = − ln 3x − + +C 9 ( 3x − ) Ví dụ 7: Tìm nguyên hàm hàm số sau: a I1 = ∫ dx x + 2x + b I = ∫ dx 4x + 4x + Lời giải c I3 = ∫ d ( x + 1) dx dx I = = = 2 ∫ ∫ ∫ a) x + 2x + ( x + 1) + ( x + 1) + ( ) = dx 9x + 24x + 20 x +1 arctan ÷+ C b) I = ∫ d ( 2x + 1) dx dx 1 =∫ = ∫ = arctan ( 2x + 1) + C 2 4x + 4x + ( 2x + 1) + ( 2x + 1) + c) I3 = ∫ d ( 3x + ) dx dx 3x + =∫ =∫ = a rctan ÷+ C 2 9x + 24x + 20 ( 3x + ) + ( 3x + ) + 22 2 Ví dụ 8: Tìm nguyên hàm hàm số sau: a I = ∫ 3x + dx 2x + x + 10 b I5 = ∫ 4x − dx 6x + 9x + Lời giải c I6 = ∫ 2x − x dx x + 2x + 17 4x + 1) + ( 3x + dx a) dx = ( 4x + 1) dx + 17 I4 = ∫ dx = ∫ 2 ∫ ∫ 2x + x + 10 2x + x + 10 2x + x + 10 2x + x + 10 ( ) d 2x + x + 10 17 dx 17 dx = ∫ + ∫ = ln 2x + x + 10 + ∫ 2 2x + x + 10 x2 + x + 79 x + ÷ + 16 ( ) 1 dx + ÷ 17 17 4x + 4 = ln 2x + x + 10 + ∫ = ln 2x + x + 10 + arc tan ÷+ C 2 79 79 79 ÷ x + ÷ + 4 ( Vậy I = b) ) ( ) 17 4x + ln 2x + x + 10 + arctan ÷+ C 79 79 ( ) ( 12x + ) − 4x − 1 ( 12x + ) dx dx I5 = ∫ dx = ∫ dx = ∫ dx − 4∫ 2 6x + 9x + 6x + 9x + 6x + 9x + 6x + 9x + ( ) d ( 3x + 1) d 6x + 9x + dx = ∫ dx − ∫ = ln 6x + 9x + − ∫ 2 6x + 9x + ( 3x + 1) + ( 3x + 1) + 3 ( ) ( ) 3x + = ln 6x + 9x + − arctan ÷+ C 3 ( ) 3x + ⇒ I5 = ln 6x + 9x + − arctan ÷+ C 3 ( ) 2x − x 25x − 2x 25x − dx = ∫ 2x − 4x + + − 2x + x + ∫ dx c) I6 = ∫ ÷dx = x + 2x + x + 2x + x + 2x + 25 ( 2x + ) − 32 25x − 25 ( 2x + ) dx dx Đặt J=∫ dx = ∫ 2 dx = dx − 32 ∫ 2 ∫ x + 2x + x + 2x + x + 2x + x + 2x + ( ) 25 d x + 2x + dx 25 d(x + 1) = −∫ = ln x + 2x + − 32 ∫ 2 ∫ 2 x + 2x + ( x + 1) + ( x + 1) + ( ( ) ( ) ) 25 d x + 2x + 32 x +1 = − arctan ∫ x + 2x + 6 ⇒ I6 = 2x 25 32 x +1 − 2x + x + ln x + 2x + − arctan ÷+ C ( ) Tổng kết: Qua ba phần trình bày hàm phân thức có mẫu số bậc hai, nhận thấy điểm mấu chốt giải toán xử lý mẫu số Nếu P( x) ax + bx + c P( x) 1 A B = + ÷ ax + bx + c a x − x1 x − x du u ax + bx + c = ( mx + n ) + k → ∫ = arctan + C u +α α α du ax + bx + c = ( mx + n ) → ∫ = − + C u u ax + bx + c = a ( x − x1 ) ( x − x ) → Ví dụ 9: Tìm ngun hàm hàm số sau: dx a I1 = ∫ x − x − ( ) ( ) 6x + x − dx b I = ∫ x x2 −1 ( 3x − x + 3z − dx c I3 = ∫ x x2 + x − ) ( ) Lời giải dx dx a) I1 = ∫ x − x − = ∫ ( ) ( x − ) ( x + ) ( x − 3) ( Ta có ) A B C = + + ⇒ ≡ A x − + B ( x − ) ( x − 3) + C ( x − ) ( x + ) ( x − ) ( x + 3) ( x − 3) x − x + x − ( ) A = − 0 = A + B + C ⇔ 0 = −5B + C ⇔ B = 30 1 = −9A + 6B − 6C C = Nhận xét: Ngoài cách giải truyền thống trên, biến đổi cách khác sau mà khơng nhiều thời gian cho việc tính toán Suy nghĩ: ( x + 3) − ( x − 3) dx = dx dx dx = ∫ dx − ∫ ∫ ( x − ) ( x − 3) ( x − ) ( x + 3) ( x − ) ( x + 3) ( x − ) ( x − ) ( x + ) ( x − ) I1 = ∫ Đến đây, toán trở dạng biến đổi đơn giản xét đến! b) I = ∫ 6x + x − 6x + x − dx = ∫ x ( x + 1) ( x − 1) dx x x −1 ( ) Cách 1: 6x + x − A B C = + + → 6x + x − ≡ A x − + Bx ( x − 1) + Cx ( x + 1) Ta có x ( x + 1) ( x − 1) x x + x − ( ) A = 6 = A + B + C ÷ 3 ⇔ 1 = −B + C ⇔ B = → I = ∫ + + ÷dx = ln x + ln x + + ln x − + C 2 −2 = − A x x +1 x −1 ÷ C + Cách 2: I2 = ∫ ( x −x J=∫ ) ( ) ) ) dx + dx dx ∫ x ( x + 1) + ∫ x ( x − 1) ( x + 1) = ln x −x +J+K ( x + 1) − x dx = − dx = ln x − ln x + = ln x dx =∫ ∫ x x + ÷ x ( x + 1) x ( x + 1) x +1 K=∫ =∫ ( d x3 − x = 2∫ ( 3x − + ( x − 1) + 3x − dx ( x − 1) dx 6x + x − dx dx = dx = dx + +∫ = 3 ∫ ∫ ∫ x −x x −x x −x x −x x x −1 ( x + 1) − x dx = dx dx dx =∫ −∫ = ∫ x ( x − 1) ( x + 1) x ( x − 1) ( x + 1) x ( x − 1) ( x + 1) ( x − 1) x − ( x − 1) x ( x − 1) dx − x − ( x − 1) ( x + 1) − ( x − 1) ( x + 1) − ( x − 1) dx = ∫ dx − ∫ dx ∫ ( x + 1) ( x − 1) x ( x − 1) ( x + 1) ( x − 1) 1 1 x −1 x −1 = ∫ − ÷dx − ∫ − − ln ÷dx = ln x −1 x +1 x x +1 x −1 x Từ ta I = ln x − x + ln x x −1 x −1 + ln − ln +C x +1 x x +1 Nhận xét: Cách phân tích chưa thực tối ưu, xin dành cho bạn đọc! c) I3 = ∫ 3x − x + 3x − 8x − 3x + dx = 3x − ∫ x x2 + x − x x2 + x − Với J = ∫ Ta có: ( ) ( ) 3x dx = − 3x + J 8x − 3x + 8x − 3x + dx = ∫ x ( x − 1) ( x + ) dx x x2 + x − ( ) 8x − 3x + A B C = + + → 8x − 3x + ≡ A ( x − 1) ( x + ) + Bx ( x + ) + Cx ( x − 1) x ( x − 1) ( x + ) x x − x + A = − 8 = A + B + C 15 ⇔ −3 = A + 2B − C ⇔ B = ⇒ J = − ln x + ln x − + ln x + + C 2 7 = −2A 15 C = Vậy I3 = 3x 15 − 3x − ln x + ln x − + ln x + + C 2 Ví dụ 10: Tìm ngun hàm: I = ∫ 4x + dx 2x + A I = 2x − ln 2x + + C B I = 2x − ln 2x + + C C I = x − ln 2x + + C D I = x − ln 2x + + C Lời giải Ta có: I = ∫ ( 2x + 1) − 4x + dx dx = ∫ dx = ∫ 2dx − ∫ = 2x − ln 2x + + C Chọn B 2x + 2x + 2x + 3x + 2x + Ví dụ 11: Tính nguyên hàm: I = ∫ dx x +1 A I = x + x + ln x + + C B I = x − x − ln x + + C C I = x − 2x + ln x + + C D I = x − x + ln x + + C Lời giải Ta có: 3x + 2x + 3x ( x + 1) − ( x + 1) + 2 = = 3x − + x +1 x +1 x +1 Khi I = x − x + ln x + + C Chọn D Ví dụ 12: Tính nguyên hàm: I = ∫ dx 2x + x − 2x − +C A I = ln x +1 Ta có: I = ∫ = 2x − +C B I = ln x +1 2x − +C C I = ln x +1 Lời giải ( 2x − 1) + C D I = ln x +1 dx dx ( x + 1) − ( 2x − 1) =∫ = ∫ dx 2x + x − ( 2x − 1) ( x + 1) ( 2x − 1) ( x + 1) 2dx dx 1 2x − − − ∫ = ln 2x − − ln x + + C = ln + C Chọn A ÷dx = ∫ ∫ 2x − x + 2x − x + 3 x +1 Ví dụ 13: Tính nguyên hàm: I = ∫ x +1 +C A I = ln x −1 x −5 dx x2 −1 x −1 +C B I = ln x +1 ( x + 1) C I = ln ( x − 1) ( x + 1) I = ln ( x − 1) +C D Lời giải Ta có: ( A + B) x + A − B x −5 A B = + = x −1 x −1 x +1 x −1 A + B = A = −2 ⇔ Đồng vế ta có: A − B = −5 B = ( x + 1) + C − Suy I = ∫ Chọn C ÷dx = 3ln x + − ln x − + C = ln x +1 x −1 ( x − 1) Ví dụ 14: Tính nguyên hàm: I = ∫ 2x + ( 3x + ) dx A I = ln 3x + − + C 3x + B I = 1 ln 3x + + +C 3 3x + C I = 1 ln 3x + + +C 3x + D I = 1 ln 3x + + +C 9 3x + Lời giải ( 3x + ) − dx dx Ta có: I = ∫ ( 3x + ) dx = ∫ ( 3x + ) dx = ∫ 3x + − ∫ ( 3x + ) 2x + = 1 ln 3x + + + C Chọn D 9 3x + Ví dụ 15: Tính nguyên hàm: I = ∫ ( 2x + 3) dx 4x − 4x + A I = − ln 2x − + C − 2x B I = + ln 2x − + C − 4x C I = + ln 2x − + C 2x − D I = + ln 2x − + C − 2x Lời giải +C ( 2x + 3) dx Ta có: 4x − 4x + Khi I = ∫ = 4dx ( 2x − 1) 2x + ( 2x − 1) +∫ = 2x − + ( 2x − 1) = + 2x − ( 2x − 1) dx −2 = + ln 2x − + C Chọn D 2x − 2x − 4x + dx x + 2x + Ví dụ 16: Tính nguyên hàm: I = ∫ ( 2 ) A I = ln x + 2x + − arctan ( x + 1) + C ( ) C I = ln x + 2x + − arctan ( x + 1) + C ( ) B I = ln x + 2x + + arctan ( x + 1) + C ( ) D I = ln x + 2x + + arctan ( x + 1) + C Lời giải Ta có: I = ∫ =∫ ( 2x + ) − 4x + dx = ∫ dx x + 2x + ( x + 1) + ( 2d x + 2x + x + 2x + 2 ( )− ∫ ( x + 1) +1 = 2ln x + 2x + − arctan ( x + 1) + C ) = ln x + 2x + − arctan ( x + 1) + C Chọn A Ví dụ 17: Tính nguyên hàm: I = ∫ dx x −x A I = ln x − − ln x + C B I = ln x − − ln x + C 2 C I = ln x − − ln x + C D I = ln x − − ln x + C Lời giải Ta có: I = ∫ =∫ dx dx x +1− x =∫ =∫ dx x −x x ( x + 1) ( x − 1) x ( x + 1) ( x − 1) dx dx 1 1 −∫ = ∫ − ÷dx − ∫ − ÷dx x −1 x + ( x − 1) x ( x − 1) ( x + 1) x − x = ln x −1 x −1 − ln + C = ln x − − ln x + C Chọn D x x +1 Ví dụ 18: Tính nguyên hàm: I = ∫ A I = 1 x −1 − ln +C ( x − 1) x + C I = − 1 x −1 − ln +C ( x − 1) x + dx x − 3x + B I = − D I = Lời giải 1 x −1 − ln +C ( x − 1) x + 1 x −1 − ln +C ( x − 1) x + Ta có: I = ∫ = dx = ( x − 1) ( x + ) ( x + ) − ( x − 1) dx ∫ ( x − 1) ( x + ) dx dx −1 1 − ∫ = − ∫ − ÷dx ∫ ( x − 1) ( x − 1) ( x + ) ( x − 1) x − x + =− 1 x −1 − ln + C Chọn B ( x − 1) x + Ví dụ 19: Tính nguyên hàm: I = ∫ A I = 3x + dx x4 − x− x ln + arctan + C x+ 2 C I = ln B I = ln x− x + arctan + C x+ 2 D I = x− x + arctan + C x+ 2 x− x ln + arctan + C x+ 2 Lời giải ( ) ( ) 2 ( A + B ) x + 2A − 2B 3x + A x + + B x − = = Ta có: x −4 x2 − x2 + x2 − x x2 + ( )( ) ( )( ) A + B = A = ⇔ Đồng vế ta có: 2A − 2B = B = Khi I = ∫ 2dx dx x− x +∫ = ln + arctan + C Chọn D x −2 x +2 x+ 2 BÀI TẬP TỰ LUYỆN 2x + 3x + Câu 1: Tìm nguyên hàm I = ∫ dx x +1 A I = x − 3ln x + + C B I = x + 3ln x + + C C I = x + x − 3ln x + + C D I = x + x + 3ln x + + C Câu 2: Tìm nguyên hàm I = ∫ x3 dx x +1 A I = x3 x2 + + x − ln x + + C B I = x3 x2 + + x + ln x + + C C I = x3 x2 − + x − ln x + + C D I = x3 x − + x + ln x + + C Câu 3: Tìm nguyên hàm I = ∫ x + 2x − x dx x +1 A x3 x − − 2x + ln x + + C B x3 x + − 2x + ln x + + C C x3 x − + 2x + ln x + + C D x3 x + − 2x − ln x + + C Câu 4: Tìm nguyên hàm F(x) hàm số f ( x ) = x2 thỏa F ( 1) = ln x + 3x + A F ( x ) = x + ln x + − ln x + + ln − B F ( x ) = x + ln x + − ln x + + ln + C F ( x ) = x + ln x + + ln x + + ln + D F ( x ) = x + ln x + + ln x + + ln − Câu 5: Tìm nguyên hàm hàm số f ( x ) = x − 5x thỏa F ( ) = ln x − 5x + A F ( x ) = x − ln x −3 −4 x−2 B F ( x ) = x − ln x −3 +4 x−2 C F ( x ) = x − ln x−2 +4 x −3 D F ( x ) = x − ln x−2 −4 x −3 Câu 6: Hàm số f ( x ) = A e F( −6) = 64 5x + 11 có nguyên hàm F(x) thỏa F ( 3) = 3ln Tìm e F( −6) x + 3x − 10 B e F( −6) = 512 C e F( −6) = 4096 D e F( −6) = 32768 Câu 7: Hàm số f ( x ) = 9x − 10 có nguyên hàm F(x) thỏa mãn F ( 1) = ln Gọi x1, x2 hai 6x − 11x + nghiệm phương trình F ( x ) = ln 3x − + ln Tính 3x1 + 3x A 3x1 + 3x = 28 x x C + = B 3x1 + 3x = Câu 8: Tìm nguyên hàm F(x) hàm số f ( x ) = 730 27 x x D + = x2 thỏa F ( ) = x − 7x + 12 A F ( x ) = x + 16 ln x − − ln x − − ln B F ( x ) = x − 16 ln x − + ln x − + ln C F ( x ) = x + 16 ln x − − ln x − + ln D F ( x ) = x − 16 ln x − + ln x − − ln Câu 9: Tìm nguyên hàm hàm số f ( x ) = ; giả sử hàm số xác định x + ( a + b ) x + ab ∫ f ( x ) dx = ln x+b +C x+a B ∫ f ( x ) dx = x+a ln +C b−a x +b C ∫ f ( x ) dx = ln x+a +C x+b D ∫ f ( x ) dx = x+b ln +C b−a x +a A Câu 10: Hàm số f ( x ) = A e F( 2) = 3 B e F( 2) = Câu 11: Hàm số f ( x ) = A F ( −5 ) = −33ln C e F( 2) = D e F( 2) = 3 2x − 10 ln Tính e F( −1) có ngun hàm F(x) thỏa F ( ) = x +x−2 B e F( −1) = ln A e F( −1) = 25 Câu 12: Hàm số y = 14 x4 có nguyên hàm F(x) thỏa F ( ) = − Tính e F( ) x −1 C e F( −1) = D e F( −1) = 45 5x + có nguyên hàm F(x) thỏa F ( −2 ) = 18ln Tìm F ( −5 ) x + 7x + 12 B F ( −5 ) = −21ln C F ( −5 ) = −17 ln Câu 13: Tìm nguyên hàm F(x) hàm số f ( x ) = D F ( −5 ) = −11ln − x + 5x + thỏa mãn F ( 1) = 2 4−x A F ( x ) = x3 + ln x − − B F ( x ) = x3 − ln x − − C F ( x ) = x2 + − ln − x D F ( x ) = x2 − ln − x + 82 27 có nguyên hàm F(x) thỏa mãn F ( ) = − ln Phương trình x − 5x + Câu 14: Hàm số f ( x ) = a a F ( x ) = có nghiệm x = ; với phân số tối giản Tìm a + b b b A a + b = −2 B a + b = C a + b = Câu 15: Tìm nguyên hàm F(x) hàm số f ( x ) = − D a + b = x ( x + 1) ; biết đồ thị hàm số y = F ( x ) qua gốc tọa độ O A F ( x ) = x − ln x + x +1 + ln x + + x +1 C F ( x ) = − Câu 16: Hàm số f ( x ) = B F ( x ) = x − − ln x + x +1 D F ( x ) = x + ln x + x +1 có nguyên hàm F(x) thỏa F ( 1) = ln Tính F ( −2 ) x ( x + 1) A F ( −2 ) = − ln 2 B F ( −2 ) = − ln 2 C F ( −2 ) = − ln 2 D F ( −2 ) = − ln 2 Câu 17: Tìm nguyên hàm F(x) hàm số f ( x ) = x −1 , biết đồ thị hàm số y = F ( x ) qua điểm x2 1 M e; + ÷ e A F ( x ) = ln x − +2 x C F ( x ) = ln x + −2 x B F ( x ) = ln x + +1 x D F ( x ) = ln x − ln x + Câu 18: Tìm nguyên hàm F(x) hàm số f ( x ) = x + 2x − , biết đồ thị hàm số y = F ( x ) cắt x + 2x + trục hồnh điểm có hồnh độ A F ( x ) = x + −2 x +1 C F ( x ) = x − ln ( x + 1) B F ( x ) = x + +2 x +1 D F ( x ) = x − +2 x +1 Câu 19: Gọi F(x) nguyên hàm hàm số f ( x ) = hàm số F(x) x + 3x + 3x − F = thỏa Xác định ( ) x + 2x + A F ( x ) = x2 13 +x+ + x +1 B F ( x ) = x2 11 +x+ + x +1 C F ( x ) = x2 13 +x+ − x +1 D F ( x ) = x2 11 +x+ − x +1 LỜI GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN 2x + 3x + 2x ( x + 1) + ( x + 1) + 3 Câu 1: = = 2x + + ⇒ I = x + x + 3ln x + + C Chọn D x +1 x +1 x +1 x3 x3 + −1 x3 x 2 Câu 2: = = x − x +1− ⇒I= − + x − ln x + + C Chọn C x +1 x +1 x +1 ( ) ( ) x + x + x + x − ( x + 1) + 2 Câu 3: x + 2x − x = = x2 + x − + x +1 x +1 x +1 x3 x ⇒I= + − 2x + ln x + + C Chọn B Câu 4: f ( x ) = − ( x + 1) − ( x + ) 3x + = 1− = 1− − ÷ ( x + 1) ( x + ) ( x + 1) ( x + ) x + x +1 ⇒ F ( x ) = ∫ f ( x ) dx = x − ln x + + ln x + + C ⇒ F ( 1) = − ln + ln + C = ln ⇒ C = −1 + ln Chọn A Câu 5: f ( x ) = − = 1− − ÷ ( x − ) ( x − 3) x −3 x −2 ⇒ F ( x ) = ∫ f ( x ) dx = x − ln x − + ln x − + C ⇒ F ( ) = + ln + C = ln ⇒ C = −4 Chọn A Câu 6: f ( x ) = ( x − 2) + ( x + 5) 5x + 11 = = + x +5 x −2 ( x − ) ( x + 5) ( x − ) ( x + 5) ⇒ F ( x ) = ln x + + 3ln x − + C ⇒ F ( ) = ln + C = 3ln ⇒ C = ln ⇒ F ( −6 ) = 3ln + ln = ln ⇒ e F( −6 ) = 4096 Chọn C Câu 7: f ( x ) = ( 2x − 3) + ( 3x − 1) 9x − 10 = = + ( 2x − 3) ( 3x − 1) ( 2x − 3) ( 3x − 1) 3x − 2x − ⇒ F ( x ) = ln 3x − + ln 2x − + C ⇒ F ( 1) = ln + C = ln ⇒ C = x = 1 ⇒ F ( x ) = ln 3x − + ln 2x − = ln 3x − + ln ⇒ 2x − = ⇔ ⇒ Chọn A 2 x = Câu 8: f ( x ) = + 116 ( x − 3) − ( x − ) 7x − 12 16 = 1+ = 1+ − x −4 x −3 ( x − 3) ( x − ) ( x − 3) ( x − ) ⇒ F ( x ) = x + 16 ln x − − ln x − + C ⇒ F ( ) = − ln + C = ⇒ C = ln Chọn C Câu 9: f ( x ) = ( x + a ) ( x + b) Câu 10: f ( x ) = = 1 x+a − ln + C Chọn B ÷⇒ F ( x ) = b−a x +a x +b b−a x +b x4 −1+1 1 1 = x2 +1+ = x2 +1+ − ÷ x −1 x −1 x +1 ( x − 1) ( x + 1) x3 x −1 14 ⇒ F( x ) = + x + ln + C ⇒ F ( ) = C = − ⇒ e F( ) = Chọn D x +1 3 ( x − 1) + ( x + ) 2x − Câu 11: f ( x ) = =3 ⇒ F ( x ) = ln x + + ln x − + C 3 ( x − 1) ( x + ) ( x − 1) ( x + ) 10 ⇒ F ( ) = ln + C = ln ⇒ C = ⇒ e F( −1) = Chọn C 3 Câu 12: y = 17 ( x + 3) − 12 ( x + ) 5x + = ⇒ F ( x ) = 17 ln x + − 12 ln x + + C ( x + 3) ( x + ) ( x + 3) ( x + ) F ( −2 ) = 17 ln + C = 18ln ⇒ C = ln ⇒ F ( −5 ) = −11ln Chọn D ( ) x x2 − − x − x − 5x − x2 Câu 13: f ( x ) = = = x − ⇒ F x = − ln x − + C ( ) x2 − x2 − x−2 ⇒ F ( 1) = + C = ⇒ C = Chọn C 2 Câu 14: f ( x ) = ( x − ) ( x − 3) ⇒ F ( x ) = ln x −3 + C ⇒ F ( ) = ln + C = − ln ⇒ C = x−2 x −3 x − =1 x −3 x −3 ⇒ F ( x ) = ln +1 = ⇔ =1⇔ ⇔ x = Chọn C x−2 x−2 x − = −1 x − Câu 15: f ( x ) = − x +1−1 ( x + 1) 1 + ⇒ F ( x ) = − ln x + − +C x + ( x + 1) x +1 =− ⇒ F ( ) = −1 + C = ⇒ C = Chọn A Câu 16: f ( x ) = 1+ x − x 1 x = 2− ⇒ F ( x ) = − − ln +C x ( x + 1) x x ( x + 1) x x +1 ⇒ F ( 1) = −1 − ln + C = ln ⇒ C = ⇒ F ( −2 ) = − ln Chọn D 2 Câu 17: f ( x ) = 1 1 − ⇒ F ( x ) = ln x + + C ⇒ F ( e ) = + + C = + ⇒ C = Chọn B x x x e e Câu 18: f ( x ) = − Câu 19: f ( x ) = ⇒ F( x ) = ( x + 1) ⇒ F( x) = x + ( ) + C ⇒ F ( 1) = + C = ⇒ C = −2 Chọn A x +1 x x + 2x + + x + 2x + − x + 2x + = x +1− ( x + 1) x2 13 +x+ + C ⇒ F ( 1) = + C = ⇒ C = − Chọn C x +1 ... = ∫ 10 2 ∫ ∫ 5x + 6x + 5x + 6x + 10 5x + 6x + 10 5x + 6x + ( ) d 5x + 6x + 22 dx 22 ( 5x + 1) − ( x + 1) = ∫ + ∫ = ln 5x + 6x + − ∫ dx 10 5x + 6x + 10 ( 5x + 1) ( x + 1) 10 40 ( 5x + 1) ( x +... 1) = 22 dx 5x 11 x +1 ln 5x + 6x + − ∫ −∫ + C ÷ = ln 5x + 6x + − ln 10 40 x + 5x + 10 20 5x + Ví dụ 4: Tìm nguyên hàm hàm số sau: 4x + 2x − dx x2 −1 A I5 = ∫ B I6 = ∫ 5? ??x dx − 2x −... = 25 Câu 12: Hàm số y = 14 x4 có nguyên hàm F(x) thỏa F ( ) = − Tính e F( ) x −1 C e F( −1) = D e F( −1) = 45 5x + có nguyên hàm F(x) thỏa F ( −2 ) = 18ln Tìm F ( ? ?5 ) x + 7x + 12 B F ( −5