Chủ đề 13 ỨNG DỤNG của TÍCH PHÂN TÍNH THỂ TÍCH KHỐI TRÒN XOAY

CHỦ ĐỀ 13 ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TÍNH THỂ TÍCH 1) Tính thể tích vật thể Cắt một vật thể bởi hai mặt phẳng và vuông góc với trục lần lượt tại Một mặt phẳng tuỳ ý vuông góc với tại điểm ( ) cắt theo thiết diện là (hình vẽ) Giả sử liên tục trên đoạn Khi đó thể tích của vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng và được tính bởi công thức 2) Tính thể tích vật tròn xoay sinh bởi diện tích S quay quanh trục Ox Giả sử một hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số , trục và hai đường thẳng và quay quanh trục tạo t.

CHỦ ĐỀ 13: ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TÍNH THỂ TÍCH 1) Tính thể tích vật thể Cắt vật thể  H hai mặt phẳng  P  Q vng góc với trục Ox x  a; x  b  a  b  Một mặt phẳng tuỳ ý vng góc với Ox điểm x ( a �x �b ) cắt  H  theo thiết diện S  x  (hình vẽ) Giả sử S  x  liên tục đoạn  a; b  Khi thể tích V vật thể  H  giới hạn hai mặt phẳng  P   Q  tính cơng thức: b V � S  x  dx a 2) Tính thể tích vật trịn xoay sinh diện tích S quay quanh trục Ox Giả sử hình thang cong giới hạn đồ thị hàm số y  f  x  , trục Ox hai đường thẳng x  a  a  b xb quay quanh trục Ox tạo thành khối trịn xoay (hình vẽ) Khi ta tích vật thể là: b V S  x  dx a Mặt khác điểm x ta có S  x  hình trịn có bán kính R  f  x  � S  x    R   f  x  Vậy VOx   b �f  x  dx a Trong trường hợp S  x  giới hạn hai đồ thị hàm số y  f  x  y  g  x  ta khối tròn xoay tích là: b VOx   �f  x   g  x  dx a Chú ý: Khi tốn khơng cho hai đường thẳng giới hạn x  a x  b ta giải phương trình f  x   g  x  để tìm cận tích phân, x  a nghiệm nhỏ x  b nghiệm lớn phương trình 3) Tính thể tích vật trịn xoay sinh diện tích S quay quanh trục Oy Thể tích khối trịn xoay sinh quay hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y  f  x  trục Oy hai đường thẳng y  f  a  ; y  f  b  - Bước 1: Biến đổi y  f  x  dạng x  f1  y  - Bước 2: Khi VOy   f  b �f  y  dy f  a Tương tự: Trong trường hợp VOy sinh diện tích hình phẳng hai đồ thị hàm số y  f  x  ; y  g  x  hai đường thẳng n y  m ; y  n ta có VOy   � f12  y   g12  y  dy m Chú ý: Khi quay diện tích hình phẳng S quanh trục Ox ta khối trịn xoay tích VOx Khi quay quanh trục Oy ta khối trịn xoay tích VOy Hầu VOx không VOy Chúng số trường hợp đặc biệt 4) Ứng dụng tính thể tích khối cầu, khối chỏm cầu số hình đặc biệt a) Thể tích khối cầu Trong hệ tọa độ Oxy cho nửa đường trịn có phương trình:  P  : x  y r với r  0; y �0 (hình vẽ) Quay nửa hình trịn quanh trục hồnh ta mặt cầu có bán kính r Thể tích mặt cầu là: V   rđvtt   Thật vậy: Ta có x  y r  y  r  x Với y 0 ta có: y  r  x có đồ thị nửa đường trịn phía trục hồnh Khi r  V  �r x r thể  tích khối cầu r r �2 x3 � dx  2 �  r  x  dx  2 �r x  � � �0 2 �3 r � 4 r  2 �rđvtt  � � 3�   b) Thể tích khối chỏm cầu Khi quay hình phẳng tơ đậm quanh trục Ox ta khối chỏm cầu bán kính r chiều cao h � r Khi đó: VC   r  x2 r h  dx   r r �  x  dx r h r �r x � � h�   �  x3 �   h �r  � � 3� �3 �r  h c) Thể tích khối nêm (xem hình vẽ) �NP  R  x � � tan   h � � Đặt OP  x; h  MN ;   MPN � R �MN  NP tan  R 1 h V � S  x  dx S  x   MN NP   R  x  2 R R R h h � R � R h R tan  �V  � R  x  dx  � 2R    � R R 2R � � 3 5) Hệ thống Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Cho hình phẳng  H  giới hạn đường y  x ; y  0; x  Tính thể tích V khối trịn xoay thu quay  H  quanh trục Ox 32 A V  B V  Lời giải: C V  8 D V  32 x5 32 x dx    Chọn D Thể tích cần tính V   � 5 Ví dụ 2: Cho hình phẳng D giới hạn đường cong y  x  , trục hoành đường thẳng x  0, x  Khối tròn xoay tạo thành quay D quanh trục hồnh tích V bao nhiêu? 4 A V  B V  2 C V  D V  3 Lời giải: 4 Chọn A Thể tích cần tính V   � x  dx    Ví dụ 3: Cho hình phẳng D giới hạn đường cong y   cos x , trục hoành đường thẳng x  0; x   Khối trịn xoay tạo thành quay D quanh trục hồnh tích V bằng: A V     1  B V        Thể tích cần tính V     cos x  dx    x  sinx  �  cos x dx   � D V     1  C V    Lời giải:      1  Chọn A Ví dụ 4: Cho  H  hình phẳng giới hạn đường cong  C  : y  x  x đường thẳng d : y  x Tính thể tích V vật thể trịn xoay hình phẳng  H  quay xung quanh trục hoành 81 81 108 108 A V  B V  C V  D V  10 5 10 Lời giải:  x 0 2 Phương trình hồnh độ giao điểm là:  x  x  x   x  x 0    x 3  x  x   x dx  Thể tích cần tìm là: V   � 108 Chọn C Ví dụ 5: Tính thể tích khối trịn xoay tạo thành quay hình phẳng giới hạn đường y  x ln   x  ; y  0; x  xoay quanh trục Ox �2 ln �  � A V   � 3� �3 �ln � B V   �  � �3 �  ln � 2�  � C V   � 3� �3 Lời giải: ln � 2� D V   �  � �3 �  Phương trình hồnh độ giao điểm là: x ln  x 0  x 0 x ln   x  dx Gọi V thể tích khối trịn xoay cần tìm ta có: V   � � 3x du  � �x3  � u  ln   x  � �  x3 � �� � V   ln   x  Đặt � � x 1 dv  x dx � � � v � � �2 ln �  �  � đvtt  Chọn A 3� �3 � � x dx � � 0 � Ví dụ 6: Thể tích V khối trịn xoay tạo thành quay hình phẳng giới hạn đường y  0, y  x ln  x  1 ; x  xung quanh trục Ox 5 5 C V  18 A V    12 ln  5  D V   12 ln   18 Lời giải: B V  Phương trình hồnh độ giao điểm  C  Ox x ln  x  1 0  x 0 dx  du   u ln x  1  x 1 x ln  x  1 dx Đặt    Thể tích khối trịn xoay cần tính  �  dv x dx  dv  x   1 x3  x ln  x  1 dx  ln  x  1 Ta có: � �  x2  x  1 dx   12ln   18  Do V  12 ln  5 Chọn D 18 Ví dụ 7: Tính thể tích hình khối hình phẳng giới hạn đường x  y  5; x   y quay quanh Oy A V  153  B V   C V  81  10 D V  153  Lời giải:  y  Tung độ giao điểm là:  y  3  y    y 2 2 153 CASIO �V   � �V     y  5    y  dy ��� 1 153  (đvtt) Chọn D Vậy V  x Ví dụ 8: Gọi  H  hình phẳng giới hạn  C  : y  ,  d  : y   x  a trục Oy Biết  C   d cắt điểm có hồnh độ Tính thể tích V khối trịn xoay sinh  H  quay quanh trục Ox 19 � �  A V  �  � �3 ln � �35 �  C V  �  � �3 ln � 19 � �  B V  �  � �3 ln � �35 �  D V  �  � �3 ln � Lời giải: Theo đề ta có   a  a 3  (d ) : y  x  Gọi V1 thể tích khối trịn xoay thu quay hình phẳng  S1  giới hạn đường  C  ,  d  , Oy, Ox   x  dx  2x  dx   � hình bên quanh trục Ox � V1   � 2 �8 � � V1   �  � �3 ln � Gọi V2 thể tích khối trịn xoay thu quay hình phẳng giới hạn đường  d  , Ox hình bên quanh trục hồnh, 19 �  Chọn A   x  dx  9 Khi V  V2  V1  � Suy V2   � �  � �3 ln � Ví dụ 9: Để tạo chậu hoa hình lê, người ta dùng khn đường cong có phương trình hệ trục tọa độ y  x3  k  x   k   Biết đơn vị hệ trục tọa độ Oxy tương ứng với chiều dài dm Hãy xác định k để thể tích chậu hoa 12,15 dm3 A k = B k = C k = Lời giải: D k 4 243 Ta có: y x  k  x   đồ thị cắt trục Ox điểm  0; k  k k � x x5 � �k k � x  k  x  dx   � k  �   �  � 12,15 Thể tích chậu hoa là: V   � � �0 �4 �  k 243  k 3 Chọn C Ví dụ 10: Cho hình thang cong  H giới hạn đường y  ; y  0; x  1; x  Đường x thẳng x  k với  k  chia  H  thành hai phần  S1   S  quay quanh trục Ox ta thu hai khối tròn xoay tích V1 V2 Xác đinh k để V1  2V2 A k  B k  15 C k  ln D k  25 Lời giải: k �1 � � � �dx F k  F x      � k  15 dx V1 1� �  Ta có �2    F  x  �  Chọn B x x V2 F  5  F  k  �1 � � � �dx x k� � Ví dụ 11: Cho hình thang cong  H giới hạn đường y  x ; y  0; x  1; x  Đường thẳng x  k với  k  chia  H  thành hai phần  S1   S  quay quanh trục Ox ta thu hai khối trịn xoay tích V1 V2 Xác đinh k để V1  2V2 A k  33 C k  B k  33 33 D k  33 Lời giải: k Ta có x � x V  F  x �  V2    � x dx     � x dx k F  k   F  1 �49 �  � F  k   2�  F  k � F  7  F  k  �2 � 33 � F  k   � k  33 Chọn B Ví dụ 12: [Đề Tham khảo Bộ Giáo dục Đào tạo 2017] Tính thể V phần vật thể giới hạn hai mặt phẳng x  x  3, biết cắt vật thể mặt phẳng tùy ý vng góc với trục Ox điểm có hồnh độ x  �x �3 thiết diện hình chữ nhật có độ dài hai cạnh 3x B V  A V  32  15 124 C V   124 3x  ?  D V  32  15  Lời giải: 3 1 S  x  dx  � 3x 3x  dx  Ta có: S  x   S HCN  3x 3x  � V  �   3x  2 3  3 x  d  3x   � 21 124 Chọn C Ví dụ 13: Tính thể tích vật thể nằm hai mặt phẳng x  x  1, biết thiết diện vật thể cắt mặt phẳng  P  vng góc với trục Ox điểm có hồnh độ x  �x �1 hình chữ nhật có độ   dài hai cạnh x ln x  A ln  B  ln  1 C ln  Lời giải: D  ln   Do thiết diện hình chữ nhật nên diện tích thiết diện là: S  x   x ln x  1 x ln  x  1 dx Ta tích cần tính V  � V  1 1 ln  x  1 d  x  1   x  1 ln  x  1  � x  1 d ln  x  1  � 20 20  ln  1 xdx  ln  Chọn C � 20 Ví dụ 14: Tính thể tích vật thể nằm hai mặt phẳng x  x   , biết thiết điện vật thể cắt mặt phẳng  P  vng góc với trục Ox điểm có hồnh độ x  �x �  tam giác có cạnh sin x B V  2 A V  Diện tích thiết diện S  x     C V  Lời giải: sin x D V   sin x   0 Ta tích cần tính V  �3 sin xdx   cos x  Chọn C Ví dụ 15: [Đề Chuyên Đại học Vinh 2017] Gọi V thể tích khối trịn xoay tạo thành quay hình phẳng giới hạn đường y  x ; y  0; x  quanh trục Ox Đường thẳng x  a   a   cắt đồ thị hàm số y  x M (hình vẽ bên) Gọi V1 thể tích khối trịn xoay tạo thành quay tam giác OMH quanh trục Ox Biết V 2V1 Khi B a  A a  2 C a  D a  Lời giải: xdx  8 � V1  4 Ta có V   � Gọi N giao điểm đường thẳng x  a trục hồnh Khi V1 thể tích tạo xoay hai tam giác OMN MNH quanh trục Ox với N hình chiếu M OH 2 1 Ta có V1   a a     a  a   a  4 � a  3 3 Chọn D     Ví dụ 16: Có vật thể hình trịn xoay có dạng giống ly hình vẽ đây: Người ta đo đường kính miệng ly cm chiều cao cm Biết thiết diện ly cắt mặt phẳng qua trục đối xứng parabol Tính thể tích V  cm  vật thể cho? A V  72 C V  12 B V  12 D V  72 Lời giải: Chọn hệ trục tọa độ hình suy phương trình Parabol là: y  Thể tích vật thể tích khối trịn xoay quay hình y  12 , x  0, y  6; y  x quanh trục  H x  12 y  12 � x2  giới hạn đường tung 0 y  12 �1 � dy   � y  y �  12 Chọn Khi V   � �3 �6 6 C Ví dụ 17: Một đồng hồ cát hình vẽ, gồm hai phần đối xứng qua mặt nằm ngang đặt hình trụ Thiết diện thẳng đứng qua trục hai parabol chung đỉnh đối xứng qua mặt nằm ngang Ban đầu lượng cát dồn hết phần đồng hồ chiều cao h mực cát chiều cao bên (xem hình) Cát chảy từ xuống với lưu lượng không đổi 2,90 cm3/ phút Khi chiều cao cát cịn cm bề mặt cát tạo thành đường tròn chu vi  cm (xem hình) Biết sau 30 phút cát chảy hết xuống phần bên đồng hồ Hỏi chiều cao khối trụ bên cm? (Kết làm tròn đến hàng đơn vị) A cm B 12 cm C cm D 10 cm Lời giải: Gọi (α) mặt phẳng song song với đáy hình trụ cắt đồng hồ cát 2 Khi mặt cắt hình trịn có bán kính x nên diện tích hình trịn St R x Chọn hệ trục tọa độ Oxy hình vẽ, gọi phương trình parabol  P  y ax  bx  c Vì  P  qua điểm O  0;0  , A  4;  , B  4; 4  x2 � x  y � S  4 y Nên phương trình  P  : y  h h 0 St dy mặt cắt vng góc với Oy Suy V  �  4 y  dy mà thể tích → Thể tích cát ban đầu V  � khối cát Vc  2,9.30  87 cm h ��  4 y  dy  87 � 2 y  87 � 2 h2  87 � h  h 87 2 4 87 Vậy chiều cao khối trụ bên .h  �9,92 cm Chọn D 3 2 Ví dụ 18: Một chậu nước hình bán cầu băng nhơm có bán kính R  10 cm, đặt khung hình hộp chữ nhật (Hình 1) Trong chậu có chứa sẵn khối nước hình chỏm cầu có chiều cao h  cm Người ta bỏ vào chậu viên bi hình cầu kim loại mặt nước dâng lên vừa phủ kín viên bi (Hình 2) Bán kính viên bi gần bằng: A 9,63 B 2,09 C 1,72 Lời giải: Gọi x bán kính viên bi hình cầu Điều kiện:  x  10   x  h� 2� Chú ý: Cơng thức thể tích chỏm cầu: V   h �R  � � 3� D 4,01 Thể tích khối nước hình chỏm cầu chưa thả viên bi vào: h  416   V1 h  R   16 10     3 3   Khi thả viên bi vào khối chỏm cầu gồm khối nước viên bi tích là: x  4x  30  x  2 V2   x   R     3 Ta có phương trình: V2  V1  x  4x  30  x   416 4x �x �9,626  (lo �i)  3x �30 x 104 � Chọn B �x 2,0940 � �x  1,72 (lo�i) Ví dụ 19: Từ khối gỗ hình trụ có đường kính dm, bác nơng dân dùng cưa để cắt theo mặt cắt qua điểm đường sinh cách đáy dm qua đường kính đáy (như hình vẽ) để "khối nêm” Giúp bác nơng dân tính thể tích "khối nêm” ? A 0,06 m3 C 0,018 m3 B 0,006 m3 D 0,006 m3 Lời giải: Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ Khi khúc gỗ bé có đáy nửa hình trịn có phương trình: y   x  x � 3;3  Một mặt phẳng cắt vuông góc với trục Ox điểm có hồnh độ x, x � 3;3 Câu 28: Cho hình phẳng  D  giới hạn đồ thị hàm số y e trục Ox hai đường thẳng x x  0, x  Viết cơng thức tính thể tích V khối trịn xoay quay hình  D  quay quanh trục Ox A V   2 e dx B V   � e dx � x x 0 �1 x � C V  �� e dx � �0 � e x dx D  � Câu 29: Cho hai hàm số y  f1  x  y  f  x  liên tục đoạn  a; b có đồ thị hình vẽ bên Gọi S hình phẳng giới hạn hai đồ thị đường thẳng x  a, x  b Thể tích V vật thể tròn xoay tạo thành quay S quanh trục Ox tính cơng thức sau đây? b � A V   � �f1  x   f  x  � �dx a b � C V   � �f1  x   f  x  � �dx a b 2 � B V  � �f1  x   f  x  � �dx a b 2 � D V   � �f1  x   f  x  � �dx a Câu 30: Nêu công thức tính thể tích vật thể trịn xoay thu quay hình phẳng (phần gạch sọc hình vẽ) xung quanh trục hoành Ox x dx   x  dx   � A V   �   x  dx B V   � xdx   �2  xdx C V   � x dx   �   x  dx D V   � Câu 31: Nêu cơng thức tính thể tích vật thể trịn xoay thu quay hình phẳng (phần gạch sọc hình vẽ) xung quanh trục hoành Ox 4 � � xdx   x   dx � A V   � � � � � 4 � � V   xdx   x   dx � B � � � � � � � xdx  x  dx   C V   � � � � � � � � xdx  �  x   dx � D V   � � � � Câu 32: Tính thể tích V vật thể trịn xoay thu quay hình phẳng (phần gạch sọc hình vẽ) xung quanh trục hồnh Ox A V  15 ln B V  8 ln C V  15 ln D V  17 ln Câu 33: Tính thể tích V vật thể trịn xoay thu quay hình phẳng (phần gạch sọc hình vẽ) xung quanh trục hoành Ox A V  4 ln  B V    ln  3 C V  4 ln  3 D V    ln  3 Câu 34: Cho hình phẳng  H giới hạn đường y  ln x , y  0, x  1, x  k với k  hình vẽ Gọi Vk thể tích khối trịn xoay thu quay hình  H  quanh trục Ox Biết Vk  , chọn khẳng định đúng? A  k  B  k  D  k  C  k  Câu 35: Tính thể tích V vật thể trịn xoay thu quay hình phẳng (phần gạch sọc hình vẽ) xung quanh trục hồnh Ox A V  2 B V  e C V   e  1  D V   Câu 36: Tính thể tích V vật thể trịn xoay thu quay hình phẳng (phần gạch sọc hình vẽ) xung quanh trục hoành Ox A V  35 B V  31 C V  32 D V  34 Câu 37: Tính thể tích V vật thể trịn xoay thu quay hình phẳng (phần gạch sọc hình vẽ) xung quanh trục hoành Ox A 24 B 27 C 25 D 26 Câu 38: Tính thể tích V vật thể trịn xoay thu quay hình phẳng (phần gạch sọc hình vẽ) xung quanh trục hoành Ox A V  81  10 B V  81  C V  108  D V  50 Câu 39: Tính thể tích V vật thể trịn xoay thu quay hình phẳng (phần gạch sọc hình vẽ) xung quanh trục hoành Ox A V  12 B V  53 15 C V  153 D V  31 13 Câu 40: Tính thể tích V vật thể trịn xoay thu quay hình phẳng (phần gạch sọc hình vẽ) xung quanh trục hồnh Ox A V  27 B V  9 C V  11 D V  55 Câu 41: Tính thể tích V vật thể trịn xoay thu quay hình phẳng (phần gạch sọc hình vẽ) xung quanh trục hồnh Ox A V  125 B V  25 C V  157 D V  13 Câu 42: Tính thể tích V vật thể trịn xoay thu quay hình phẳng (phần gạch sọc hình vẽ) xung quanh trục hồnh Ox A V  B V  55 24 C V  25 D V  125 Câu 43: Tính thể tích V vật thể tròn xoay thu quay hình phẳng (phân gạch sọc hình vẽ) xung quanh trục hoành Ox A V  11 B V  31 C V  32 D V  34 15  4 ln thể tích vật thể trịn xoay thu quay hình phẳng (phần gạch Câu 44: Biết V  sọc hình vẽ) xung quanh trục hồnh Ox Tìm k , biết k  A k  4e B k  C k  ln 2 e2 D k  Câu 45: Ký hiệu  H  hình phẳng giới hạn đường y  x  1 e x 2 x , y  0, x  Tính thể tích V khối trịn xoay thu quay hình  H  xung quanh Ox A V  V   2e  3 2e   2e  1 2e B V    e  3 2e D V    e  1 2e C Câu 46: Tính thể tích V vật thể trịn xoay sinh cho hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y  x ln x , trục hoành đường thẳng x  e quay quanh Ox A V  2e   B V  2e   C V  2e   D V  2e    1, y  , x Câu 47: Gọi V thể tích khối trịn xoay sinh cho hình  H  giới hạn y  15 � � x  1, x  k (k  1) quay xung quanh Ox Tìm k để V   �  ln16 � �4 � A k  B k  4e D k  C k  e Câu 48: Cho hình  H  giới hạn đường y  x ln x , trục hoành đường thẳng x  e Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành quay  H  quanh trục Ox A   5e3   25 B   5e3   27 C   5e3   25 D   5e3   27 Câu 49: Cho hình phẳng giới hạn đường y  x ln x , y  0, x  e quay xung quanh trục Ox Thể tích khối trịn xoay tạo thành ? A 4e3   B 4e3   C 2e3   D 2e3   Câu 50: Cho hình phẳng giới hạn đường y  x3  x  x, y  quay xung quanh trục Ox Thể tích khối tròn xoay tạo thành A 729 35 B 27 C 256608 35 D 776 Câu 51: Cho hình phẳng giới hạn đường y  x , y  x quay xung quanh trục Ox Thế tích khối trịn xoay tạo thành A 88 B 9 70 C 4 D Câu 52: Gọi  H  hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y  6 x , trục Ox đường thẳng x   x2 Tính thể tích V khối trịn xoay thu quay hình  H  xung quanh trục Ox A V   ln B V  ln C V   ln Câu 53: Cho hình phẳng giới hạn đường y  cos x, Ox, x  0, x  Thể tích khối trịn xoay tạo thành D V   ln  quay xung quanh trục Ox A 2 B 2 16 C  �  �  D � � �16 � Câu 54: Cho hình phẳng giới hạn đường y  x  , trục Ox đường thẳng x  quay xung quanh trục Ox Thể tích khối tròn xoay tạo thành A  B 3 C 2 D  Câu 55: Cho hình phẳng giới hạn đường y  x  1, y  0, x  0, x  quay xung quanh trục Ox Thể tích khối trịn xoay tạo thành A 79 63 B 23 14 C 5 D 9 Câu 56: Cho hình phẳng giới hạn đường y  ax , y  bx  a �0, b �0  quay xung quanh trục Ox Thể tích khối trịn xoay tạo thành b3 �1 �  A �  � a �3 � b5 B  5a b5 C  3a b5 �1 �  D �  � a �3 � 2 Câu 57: Cho hình phẳng giới hạn đường y   x , y  x quay xung quanh trục Ox Thể tích khối trịn xoay tạo thành A 24 B 28 C 28 D 24 Câu 58: Cho hình phẳng giới hạn đường y  x, y  x, x  0, x  quay xung quanh trục Ox Thể tích khối tròn xoay tạo thành A  B  C  D  LỜI GIẢI CHI TIẾT b f  x  dx Chọn A Câu 1: Thể tích khối trịn xoay cần tính V   � a b f  x  dx Chọn A Câu 2: Thể tích khối trịn xoay cần tính V   � a b f  x   g  x  dx Chọn A Câu 3: Thể tích khối trịn xoay cần tính V   � a  f  x  dx Chọn C Câu 4: Thể tích khối trịn xoay cần tính V   � e x0 � Câu 5: Phương trình hồnh độ giao điểm  P  d x  x � � x 1 � 1 x dx   � x dx Chọn C Dựa vào hình vẽ, thể tích khối trịn xoay cần tính V   � 0 x0 � Câu 6: Phương trình hồnh độ giao điểm  P  d x  x � � x2 � 1 x dx   � x dx Chọn A Do x  x , x   0;2 nên thể tích khối trịn xoay cần tính V   � 2 0 x0 � Câu 7: Phương trình hồnh độ giao điểm  P   C  x  x � � x 1 � x Vậy thể tích khối trịn xoay cần tính V   �   x 2 dx   �  x  x  dx Chọn D x 1 � Câu 8: Phương trình hồnh độ giao điểm  P  d x  x   x � � x2 � 2 � x   x  3x   � Vậy thể tích khối trịn xoay cần tính V   � � �dx Chọn C � y '  1  nên phương trình tiếp tuyến  P  y  x Câu 9: Ta có y '  x  �� Phương trình hồnh độ giao điểm  P  d x   x � x  1 �  x  1  x2 � Vậy thể tích khối trịn xoay cần tính V   � � �dx Chọn B Câu 10: Diện tích hình chữ nhật ABCD S  x   x 3x  3 1 S  x  dx  � 3x x  dx  Do đó, thể tích cần tính V  � 124 Chọn C Câu 11: Diện tích hình chữ nhật ABCD S  x   x  x 3 0 S  x  dx  � x  x dx  18 Chọn B Do đó, thể tích cần tính V  � Câu 12: Diện tích hình chữ nhật ABCD S  x   x  x 2 0 S  x  dx  � x  x dx  Do đó, thể tích cần tính V  � 16 Chọn B x2 Câu 13: Diện tích tam giác cạnh x S  x   x2 3 S  x  dx  � dx  Chọn A Do đó, thể tích cần tính V  � 0 Câu 14: Diện tích hình chữ nhật ABCD S  x  2 x sin x   0 S  x  dx  � x sin xdx  Chọn C Do đó, thể tích cần tính V  � Câu 15: Diện tích tam giác cạnh x S  x      0  sin x  cos x   sin x  cos x  Do đó, thể tích cần tính V  S  x  dx   sin x  cos x  dx  Chọn B � � Câu 16: Diện tích đường trịn bán kính sin x S  x      0  sin x  S  x  dx  �  sin xdx  2 Chọn D Do đó, thể tích cần tính V  � d x2 Câu 17: Bán kính đường trịn R   2  Diện tích nửa đường trịn bán kính R S  x   5 x 5x4 V  S x dx   dx  4 Chọn C   Do đó, thể tích cần tính � � 0 Câu 18: Diện tích tam giác cạnh 2x S   2x  x   sin x Suy diện tích lục giác cạnh 2x S  x   �S  x 4 1 S  x  dx  � x dx  126 Chọn B Do đó, thể tích cần tính V  � 1 x dx   3x  dx   � Câu 19: Dựa vào hình vẽ, thể tích cần tính V   �  x2  4x  4  Câu 20: V   � 31 Chọn D  x2  x  dx   �  x4  x3  x2  dx  Câu 21: V   � 0  8 Chọn A 8 Chọn B 15   cos x 2 dx  Chọn A  sin x  dx   � Câu 22: V   � 2 0   Câu 23: V   � e x dx   � e x dx    e  1 Chọn A 2 � 12 2x � x e dx   xe x dx   e Chọn A Câu 24: V   � � � � � 1� 1  e Câu 25: V   � x 1  dx   � e x 1 dx   3e  e  Chọn A  Câu 26: Phương trình hoành độ giao điểm  C  Ox   x  0  x 1   x  x  dx  Do đó, thể tích khối trịn xoay cần tính V   � x  dx   � 1 7 Chọn A b S  x  dx Chọn A Câu 27: Cơng thức thể tích vật thể  H  là: V  � a 1 �2x � e dx   e x dx Chọn B Câu 28: V   � � � � 0� � 2 Câu 29: Dựa vào hình vẽ ta có: f1  x   f  x   với x � a; b  � f1  x   f  x  x � a; b  Thể tích khối tròn xoay tạo thành quay S quanh trục là: b b 2 � V � f1  x   f  x  dx   � �f1  x   f  x  � �dx Chọn D 2 a 2 a   �  x �dx   x dx     x  dx x dx   � Câu 30: V   � Chọn D � � � � � � 1   Câu 31: V   � x 4 dx   � xdx   �  x   dx   �  x   dx Chọn B 2 2 Câu 32: V   � 2  x  Câu 33: V   � ln x 4x 15 dx   � dx    Chọn A ln ln 4 x  dx   � ln xdx 4 1 ln xdx  x ln x  � xd  ln x   ln  � dx  ln  Lại có: � Do V    ln  3 Chọn D k  Câu 34: V   � ln x k  k dx   � ln xdx k k 1 ln xdx  x ln x  � xd  ln x   k ln k  � dx  k ln k   k  1 Lại có: � k Do V   k ln k  k  1  k  ln k  1 0  k1 ln k 1  k e Chọn C Câu 35: Thể tích V vật thể tròn xoay thu quay hình phẳng (phần gạch sọc hình vẽ) � e � dx   � ln xdx   � e� ln xdx � xung quanh trục hoành Ox là: V   � � � e e 2 Sử dụng máy tính CASIO ta được: V 2 Chọn A Câu 36: Ta có: x0 � x  x2  � � x4 � Thể tích V vật thể trịn xoay thu quay hình phẳng (phần gạch sọc hình vẽ) xung quanh  trục hồnh Ox là: V   � x  x  � � dx   �  x  x  dx   �2 x  x3 �  323 Chọn C � �0  x 0  x 0  Câu 37: Giải phương trình hoành độ giao điểm: x  x  x   2  x 3  x 6 x  x Thể tích V vật thể trịn xoay thu quay hình phẳng (phần gạch sọc hình vẽ) xung quanh  x dx   � x  x trục hoành Ox là: V   �   x3 dx   �  x  x  dx 3 � x3 �  9   � 3x  �  27 Chọn B �3 �  x 0 2 Câu 38: Phương trình hoành độ giao điểm đồ thị là: x 4 x  x  x  x 0    x 3 Khi thể tích khối tròn xoay tạo thành là: 108 CASIO � V � dx   � x  x  15 x  dx ��� �V  Chọn C �4 x  x   x �  � 0 3  x  2 Câu 39: Phương trình hoành độ giao điểm đồ thị là:  x 5  x  x  x  0    x 2 2 � dx Khi thể tích khối trịn xoay tạo thành là: V   � �5  x     x  � � 1 CASIO  � �V   x  11x  x  16  dx ��� 1 153 Chọn C Câu 40: Lấy đối xứng đường thẳng y  x  qua trục Ox ta đường thẳng y  x  Giải phương trình 1  V  �x2 2   x  x  x    Thể tích khối trịn xoay tạo thành  x  1 55 Chọn C CASIO dx   � �V   x   dx  ��� 1 Câu 41: Lấy đối xứng đường thẳng y  x qua trục Ox ta đường thẳng y 2 x x0 � Giải x  x � � Thể tích khối trịn xoay tạo thành x4 �  V � x  CASIO dx   � x dx  ��� �V  157 Chọn C Câu 42: Lấy đối xứng đường thẳng y   x qua trục Ox ta đường thẳng y  x   x 1 Giải phương trình x   x     x 2   CASIO �V    x  dx ��� Thể tích khối tròn xoay tạo thành V   � x  dx   � Câu 43: Xét phương trình 2 �x �4 �x �4 x2  4 x � � � � x2 �2 �x   16  x  x �x  x  14  2  x   dx   �   x  dx Thể tích khối trịn xoay tạo thành là: V   � 55 Chọn A �x � � x � 32   �  2x �   � 16 x  x  �  Chọn C �2 �2 �2 � k k �x  � � 1� 1 � Câu 44: Thể tích khối trịn xoay tạo thành là: V   � � �dx   � � x � x� 1� 1� k k 1� 1� � � � � V � 1  � dx   �x  ln x  �    � k   2ln k   � � x x � x� k� � � 1� 15 15  4 ln   ln k   ln k  k 4 Chọn D Do V  4 k Câu 45: Phương trình hồnh độ giao điểm  C  Ox  x  1 e x Khi đó, V   � 2 x dx   x  1 e x 2 x  � x   x2 2 x  2   e  1 e d  x  x   e x 2 x  Chọn D � 21 2e Câu 46: Phương trình hồnh độ giao điểm  C  Ox x ln x  � ln x  � x  1   x ln x Khi đó, thể tích cần tính V   � 2e3   (bấm máy) Chọn A dx  k k �1 � � � Câu 47: Thể tích khối trịn xoay V   � �  1�dx  �x   ln x � x � � x � 1� 15 15 � � � �   �k   2ln k �  �  ln16 ��� � k   ln k   ln16 � k  Chọn A k � k � �4 � Câu 48: Phương trình hồnh độ giao điểm  C  Ox x.ln x  � ln x  � x  1 Khi đó, thể tích cần tính V   �  x.ln x  dx    5e3   27 (bấm máy) Chọn B Câu 49: Phương trình hồnh độ giao điểm  C  Ox x ln x  � ln x  � x  1  x ln x Khi đó, thể tích cần tính V   �  dx  2e3   (bấm máy) Chọn C x0 � Câu 50: Phương trình hồnh độ giao điểm  C  Ox x  x  x  � � x3 �  x3  x2  x  dx  Khi đó, thể tích cần tính V   � 729 Chọn A 35 Câu 51: Ta có y  x � y  x � y  x x0 � Phương trình hồnh độ giao điểm  C1   C2  x  x � � x 1 �   2x2   x Khi đó, thể tích cần tính V   �  dx  6 Chọn D Câu 52: Phương trình hồnh độ giao điểm  C  Ox x  � x   x2 � x Khi đó, V   � � �  x2 0� �  � �dx  ln (bấm máy) Chọn C �    x sin x �  Chọn B Câu 53: V    cos x  dx    cos8 x dx   � � � � � 2 16 16 � � 0 Câu 54: Phương trình hồnh độ giao điểm  C  Ox   x   � x  3 �x � x  dx   Khi đó, V   � x  dx   �   �  x �  2 Chọn C �2 � 1 �x x � 23 x  dx   x  x  dx   Chọn B Câu 55: V   �     �   x� � �7 �0 14 0 x0 � � Câu 56: Phương trình hồnh độ giao điểm  C  d ax  bx � b � x � a b a 1 � Chọn D Khi đó, thể tích khối trịn xoay cần tính V   a x  b x dx  b �  �  � � a �3 � � x  x2  x2 � � x � Câu 57: Phương trình hồnh độ giao điểm  C   P  Do đó, thể tích khối trịn xoay cần tính V   �  4 x  2 �x � 28  � � dx  Chọn B �3 � x dx   Chọn A  3x  dx   � Câu 58: Thể tích khối trịn xoay cần tính V   � 0 ... Câu 1: Thể tích khối trịn xoay cần tính V   � a b f  x  dx Chọn A Câu 2: Thể tích khối trịn xoay cần tính V   � a b f  x   g  x  dx Chọn A Câu 3: Thể tích khối trịn xoay cần tính V... quanh trục Ox ta khối trịn xoay tích VOx Khi quay quanh trục Oy ta khối trịn xoay tích VOy Hầu VOx không VOy Chúng số trường hợp đặc biệt 4) Ứng dụng tính thể tích khối cầu, khối chỏm cầu số... xứng parabol Tính thể tích V  cm  vật thể cho? A V  72 C V  12 B V  12 D V  72 Lời giải: Chọn hệ trục tọa độ hình suy phương trình Parabol là: y  Thể tích vật thể tích khối trịn xoay