VDC CHỦ đề 3 ỨNG DỤNG của TÍCH PHÂN

NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN LỚP 12 HK2 CHỦ ĐỀ ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN Cơ sở lý thuyết Định lí Diện tích hình phẳng  y = f1 ( x )   y = f2 ( x ) Hình phẳng giới hạn đường  ( f1 ( x ) , f ( x ) liên tục đoạn  a; b  ),  x=a  x = b b diện tích S tính theo cơng thức S =  f1 ( x ) − f ( x ) dx a Định lí Thể tích khối tròn xoay  y = f ( x)   y = Ox Quay quanh trục Ox: Cho hình phẳng giới hạn đường  (trong f ( x ) liên tục x = a x = b  đoạn  a; b  ) quay quanh trục Ox , ta khối tròn xoay Thể tích V x khối trịn xoay b tính theo công thức Vx =   f ( x ) dx a x = f ( y)   x = Oy Quay quanh trục Oy: Cho hình phẳng giới hạn đường  (trong f ( y ) liên tục y = a y = b  đoạn  a; b  ) quay quanh trục Oy , ta khối tròn xoay Thể tích V y khối trịn xoay b tính theo cơng thức Vy =   f ( y ) dx a Ngồi ra, ta dùng tích phân để giải tốn thực tế khác Các dạng tốn Dạng Tính diện tích hình phẳng Vấn đề Đề cho hai đường y = f1 ( x ) , y = f ( x ) (có thể có thêm x = a, x = b ) Phương pháp giải: - Bước 1: giải phương trình hồnh độ giao điểm f1 ( x ) = f ( x ) tìm nghiệm lớn nhỏ x = a, x = b Nếu đề cho sẵn TOP MƠN TỐN THI TỐT NGHIỆP THPT x = a, x = b khơng cần giải phương trình hoành độ giao điểm - Bước 2: áp dụng cơng thức tính diện tích hình phẳng Ví dụ (THPT Quốc Gia 2018) Gọi S diện tích hình phẳng giới hạn đường y = x , y = , x = x = Mệnh đề đúng? 2 A S =  x dx 2 B S =   22 x dx D S =   x dx C S =  22 x dx 0 2 0 Hướng dẫn giải Áp dụng cơng thức tính diện tích hình phẳng ta có S =  x dx =  x dx (do x  0, x   0;2 ) Chọn A Ví dụ (THPT Quốc Gia 2019) Cho hàm số f ( x ) liên tục Gọi S diện tích hình phẳng giới hạn đường y = f ( x ) , y = , x = −1 x = (như hình vẽ bên) Mệnh đề đúng? y -1 O A S = −  f ( x ) dx +  f ( x ) dx −1 C S = x B S = −1 −1 1  f ( x ) dx −  f ( x ) dx 1  f ( x ) dx +  f ( x ) dx −1 Hướng dẫn giải Ta có diện tích hình phẳng cần tìm S = −1 = 4 −1 −1  f ( x ) dx =  f ( x ) dx +  f ( x ) dx  f ( x ) dx −  f ( x ) dx Chọn B Ví dụ Hình phẳng ( H ) giới hạn parabol y = Diện tích hình phẳng ( H ) A D S = −  f ( x ) dx −  f ( x ) dx ( 4 + ) Phân tích Các bước giải: B 4 + Bước 1: Lập phương trình hồnh độ giao điểm a, b x2 x2 đường cong có phương trình y = − 12 C 4− + D 4 + x2 x2 tìm hai nghiệm lớn nhỏ = 12 NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN LỚP 12 HK2 b Bước 2: diện tích cần tính x2  12 − 4− a x2 dx 4− Hướng dẫn giải Phương trình hồnh độ giao điểm Diện tích hình phẳng ( H ) S =  4− −2 kết 9.53  ( 4 + 3 x2 x4 x2 x2  x = 2  4− = = 144 12 x2 x2 − dx Ta cần bấm máy tính tích phân đươc 12 ) Chọn A y O x Ví dụ Cho hình thang cong ( H ) giới hạn đường y = e x , y = , x = , x = ln8 Đường thẳng x = k y (  k  ln 8) chia ( H ) thành hai phần có diện tích S1 S Tìm k để S1 = S B k = ln ln D k = ln5 A k = ln C k = Hướng dẫn giải Ta có S1 + S2 =  e dx = ( e ) ln x x ln =7; S1 =  e x dx = ( e x ) = e k − k k O 7  ek − =  k = ln Chọn B 2 Ví dụ Cho hàm số f liên tục đoạn k x ln(8) Mà S1 = S2  S1 = y  −6;5 , có đồ thị gồm hai đoạn thẳng nửa đường trịn hình vẽ Tính giá trị I =   f ( x ) + 2 dx −6 A I = 2 + 35 C I = 2 + 33 B I = 2 + 34 D I = 2 + 32 -6 -4 O x -1 TOP MƠN TỐN THI TỐT NGHIỆP THPT 1 −  x  −2 2 x +   Hướng dẫn giải Ta có f ( x ) = 1 + − x −  x  2  x−  x   I =   f ( x ) + 2 dx = −6 5 −6 −6  f ( x ) dx +  dx −2 ( ) −2 1 1  2 =   x +  dx +  + − x dx +   x −  dx + 22 3  −6  −2 2 ( ) x 1  1 =  x + x  + J +  x −  + 22 = J + 28 Tính J =  + − x dx Đặt x = 2sin t 32 4  −6 3 −2  dx = 2cos tdt Đổi cận: Khi x = −2 t = −  (1 + J= −2 )   ; x = t =  Khi đó:  2 − x dx = +  cos tdt = +  (1 + cos 2t ) dt = + 2 Vậy I = 32 + 2 Chọn D 2 −  −  Vấn đề Đề cho ba đường y = f1 ( x ) , y = f ( x ) , y = f3 ( x ) Phương pháp giải: - Bước 1: giải phương trình hồnh độ giao điểm f1 ( x ) = f ( x ) , f1 ( x ) = f ( x ) , f ( x ) = f ( x ) phương trình tìm nghiệm lớn nhỏ x = a, x = b Bước 2: vẽ hình sẻ hình để áp dụng cơng thức tính diện tích hình phẳng Ví dụ Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường y = x , y = − x + trục hoành 3 343 11 39 61 A B C D 162 Phân tích Bài tốn ba đường y y y = x , y = − x + y = nên bắt buộc phải vẽ 3 hình tính Các cơng thức dùng để tính hai đường y Hướng dẫn giải Phương trình hồnh độ giao điểm 4 O đường y = x , y = − x + x = − x + 3 3 x =  3x + x − =   Hoành độ giao điểm x = −  đường thẳng y = − x + với trục hoành x = 3 x NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN LỚP 12 HK2 Hoành độ giao điểm parabol y = x với trục hoành x = Ta chia hình làm hai phần 4  hình vẽ để áp dụng cơng thức diện tích hình phẳng: S =  x d x +   − x +  d x 3 1 11 x3   +  − x + x  = Chọn A  1 = Ví dụ Cho parabol ( P ) : y = x + hai tiếp tuyến ( P ) y điểm M ( −1;5 ) N ( 2;8 ) Diện tích hình phẳng giới hạn ( P) hai tiếp tuyến 13 B 4 21 C D 4 Hướng dẫn giải Phương trình tiếp tuyến M ( −1;5 ) A d1 : y = −2 x + Phương trình tiếp tuyến N ( 2;8 ) d : y = x Phương trình hồnh độ giao điểm d1 d : −2x + = 4x 2  x = Vậy S =  x + + x − dx +  x + − x dx = −1 O x Chọn A Dạng Tính thể tích khối tròn xoay Vấn đề Đề cho hai đường y cụ thể y = f1 ( x ) , y = f2 ( x ) ( có thêm x = a, x = b ) Phương pháp giải: - Bước 1: giải phương trình hồnh độ giao điểm f1 ( x ) = f ( x ) tìm nghiệm lớn nhỏ x = a, x = b đề không cho - Bước 2: áp dụng cơng thức tính diện tích hình phẳng Ví dụ Kí hiệu ( H ) hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = 2( x − 1)e x , trục tung trục hồnh Tính thể tích V khối trịn xoay thu quay hình ( H ) xung quanh trục Ox B V = ( − 2e )  A V = − 2e C V = e − D V = ( e − )  Hướng dẫn giải Phương trình hồnh độ giao điểm ( x − 1) e x =  x = Thể tích khối trịn xoay thu quay hình ( H ) xung quanh trục Ox là: V =    ( x − 1) e x  dx = 4  ( x − 1) e x dx =  ( e − 5) ( bấm máy tính gần so với đáp án 2 đề cho ) Chọn D Ví dụ (THPT Quốc Gia 2017) Cho hình phẳng D giới hạn đường cong y = + sin x , trục hoành đường thẳng x = , x =  Khối tròn xoay tạo thành quay D quay quanh trục hồnh tích V bao nhiêu? TOP MƠN TỐN THI TỐT NGHIỆP THPT B V = 2 ( + 1) A V = 2 Hướng dẫn giải Ta có phương trình  V = ( ) C V = 2 D V = ( + 1) + sin x = vô nghiệm nên:   + sin x dx =   ( + sin x ) dx =  ( x − cos x ) = 2 ( + 1) Chọn B 0 Ví dụ Cho hình phẳng ( H ) giới hạn đường y = x + , y = , x = , x = Gọi V thể tích khối tròn xoay tạo thành quay ( H ) xung quanh trục Ox Mệnh đề đúng? B V =   ( x + 3) dx A V =   ( x + 3) dx 2 0 C V =  ( x + 3) dx D V =  ( x + 3) dx 2 0 Hướng dẫn giải Thể tích khối trịn xoay tạo thành quay ( H ) xung quanh trục Ox là: V =   ( x + 3) dx Chọn C 2 Ví dụ ( Tham khảo THPT Quốc Gia 2017) Tính thể tích V phần vật thể giới hạn hai mặt phẳng x = x = , biết cắt vật thể mặt phẳng vng góc với trục Ox điểm có hồnh độ x (  x  ) thiết diện hình chữ nhật có độ dài hai cạnh 3x x − 124 124 A V = 32 + 15 B V = C V = D V = (32 + 15) 3 Hướng dẫn giải Diện tích thiết diện là: S ( x) = x x − suy thể tích vật thể là: V =  3x 3x − 2dx = 124 Cơng thức: Thể tích phần vật thể giới hạn hai mặt phẳng x = a, x = b cắt vật thể mặt phẳng vng góc với trục Ox điểm có hồnh độ x   a; b  diện tích thiết diện b S ( x ) V =  S ( x ) dx a Vấn đề Đề cho ba đường y cụ thể y = f1 ( x ) , y = f ( x ) , y = f ( x ) Phương pháp giải: - Bước 1: giải phương trình hồnh độ giao điểm f1 ( x ) = f ( x ) , f1 ( x ) = f ( x ) , f ( x ) = f ( x ) phương trình tìm nghiệm lớn nhỏ x = a, x = b Bước 2: vẽ hình sẻ hình để áp dụng cơng thức tính diện tích hình phẳng Ví dụ Thể tích khối trịn xoay hình phẳng giới hạn đường x + y − = ; y = x ; y = quay quanh trục Ox 6 A B C 2 Hướng dẫn giải Hình phẳng cho chia làm phần sau: D 5 NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN LỚP 12 HK2 y O x Phần : Hình phẳng giới hạn đường y = x ; y = ; x = ; x = Khi quay trục Ox phần ta khối trịn xoay tích V1 =   x dx =  x2 =  Phần : Hình phẳng giới hạn đường y = − x ; y = ; x = ; x = Khi quay trục Ox phần ta khối trịn xoay tích V2 =   ( − x ) dx =  ( x − 2) 3 =  Vậy thể tích khối trịn xoay cần tính V = V1 + V2 = 5 Chọn D Ví dụ Tính thể tích vật thể tròn xoay tạo phép quay xung quanh trục Ox hình phẳng giới hạn đường y = , y = x , y = x − 16 8 A B 3 C 10 D 8 y 0 = x  x =  Hướng dẫn giải Ta có: 0 = x −  x =   x = x−2 x=4 Dựa vào hoành độ giao điểm ba đường ta có diện tích hình phẳng gồm hai phần Phần thứ giới hạn y = x , y = x = 0; x = Phần thứ hai giới O x hạn y = x , y = x − x = 2; x = Thể tích vật thể bằng: V = ( x ) dx +   ( x − 2) 2 2 ( − x dx =   xdx +   x − ( x − ) 2 )  x ( x − )3  x2 16  = +  − dx =      2 Chọn B Ví dụ Gọi D hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = x , cung trịn có phương trình y = − x2 (− 6x ) y trục hồnh (phần tơ đậm hình vẽ bên) Tính thể tích V vật thể trịn xoay sinh quay hình phẳng D quanh trục Ox 22 A V = 8 − 2 B V = 8 + 22 22 C V = 8 − D V = 4 + 3 - O x TOP MƠN TỐN THI TỐT NGHIỆP THPT Hướng dẫn giải Cách Cung tròn quay quanh Ox tạo thành khối cầu tích V =  = 8 Thể tích nửa khối cầu V1 = 4 Xét phương trình: x = − x  x    x = Thể tích khối trịn xoay có quay hình phẳng ( H ) giới hạn  x + x − = ( ) đồ thị hàm số y = x , cung trịn có phương trình y = − x , hai đường thẳng x = 0, x = 22 Vậy thể tích vật thể trịn xoay cần tìm quanh Ox V2 =   ( − x − x ) dx = 22 Chọn D Cách Cung tròn quay quanh Ox tạo thành khối cầu tích  x  V1 =  = 8 Xét phương trình: x = − x    x=2  x + x − = V = V1 + V2 = 4 + ( ) Thể tích khối trịn xoay có quay hình phẳng ( H ) giới hạn đồ thị hàm số y = x , cung trịn có phương y = − x2 trình đường y=0 thẳng quanh Ox 12 − 28 22  = 4 − Vậy thể tích vật thể trịn xoay cần tìm V2 =   xdx +   ( − x ) dx = 2 + 3 2 22 22   Chọn D V = V1 − V2 = 8 −  4 −  = 6 + 3   Ví dụ Thể tích V khối tròn xoay sinh quay hình phẳng giới hạn đường trịn ( C ) : x + ( y − 3) y = xung quanh trục hoành A V = 6 B V = 6 C V = 3 D V = 6 Hướng dẫn giải ( C ) : x + ( y − 3) =  ( y − 3) = − x  y =  − x ( y − 3) O = − x   −1  x  Thể tích khối trịn xoay sinh quay hình phẳng giới hạn đường trịn ( C ) : x + ( y − 3) = xung quanh trục hoành ( V =   + − x2 −1 ) dx −   (3 − −1 − x2 ) dx = 6 2 Chọn D x NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN LỚP 12 HK2 Dạng Ứng dụng tích phân để xử lí toán hàm số Vấn đề Cho đồ thị y = f ( x ) Phương pháp giải: - Bước 1: tính x1 , x2 , , xn g ' ( x ) y = f  ( x ) Hỏi tính chất hàm g ( x ) - Bước 2: giải g ' ( x ) = tìm nghiệm liên quan đến hàm y = f ( x ) x1 , x2 , , xn - Bước 3: sử dụng tích phân để so sánh giá trị g ( x1 ) , g ( x1 ) , , g ( xn ) sau kết luận theo yêu cầu đề y Ví dụ Cho hàm số y = f ( x ) liên tục R có đồ thị y = f  ( x ) cho hình bên Đặt g ( x ) = f ( x ) − ( x + 1) Mệnh đề A g ( x ) = g (1)  −3;3 B max g ( x ) = g (1)  −3;3 C max g ( x ) = g ( 3) -3  −3;3 O D Không tồn giá trị nhỏ g ( x ) đoạn  −3;3 Hướng dẫn giải Ta có g ( x ) = f ( x ) − ( x + 1) x x -2 y  g  ( x ) = f  ( x ) − ( x + ) =  f  ( x ) = x + Quan sát đồ thị ta có hồnh độ giao điểm f  ( x ) y = x + khoảng ( −3;3) x = Vậy ta so sánh giá trị g ( −3) , g (1) , g ( 3) Xét 1 −3 −3  g  ( x )dx =   f  ( x ) − ( x + 1)dx   g (1) − g ( −3)   g (1)  g ( −3) Tương tự xét 3 1  g  ( x )dx = 2  f  ( x ) − ( x + 1)dx  -3 O  g ( 3) − g (1)   g ( 3)  g (1) Xét 3 −3 −3  g  ( x )dx =   f  ( x ) − ( x + 1)dx + 2  f  ( x ) − ( x + 1)dx  -2  g ( 3) − g ( −3)   g ( 3)  g ( −3) Do ta có y g (1)  g ( 3)  g ( −3) Vậy max g ( x ) = g (1) Chọn B  −3;3 Ví dụ (THPT Quốc Gia 2017) Cho hàm số y = f ( x ) Đồ thị y = f ( x ) hàm số hình bên Đặt g ( x ) = f ( x ) + x Mệnh đề ? A g (1)  g ( 3)  g ( −3) x O -3 -1 B g (1)  g ( −3)  g ( 3) C g ( −3)  g ( 3)  g ( −1) -3 TOP MƠN TỐN THI TỐT NGHIỆP THPT D g ( 3)  g ( −3)  g (1) Hướng dẫn giải Ta có g  ( x ) = f  ( x ) + x  g  ( x ) =  x  −3;1;3 Từ đồ thị y = f  ( x ) ta có bảng biến thiên hàm g ( x ) − x g( x ) −3 + − + g ( − 3) g ( x) + − g ( 3) g (1) − − −3 ( − g  ( x ) ) dx  1 g  ( x ) dx  1 g  ( x ) dx  1 g  ( x ) dx  g ( −3) − g (1)  g ( 3) − g (1)  g ( −3)  g ( 3) Vậy ta có g ( −3)  g ( 3)  g (1) Chọn A y Ví dụ Cho hàm số y = f ( x ) Đồ thị hàm số y = f  ( x ) hình bên Đặt g ( x ) = f ( x ) − ( x + 1) Mệnh đề Suy g ( 3)  g (1) Kết hợp với BBT ta có: −3 3 ? A g ( 3)  g ( −3)  g (1) B g ( −3)  g ( 3)  g (1) C g (1)  g ( −3)  g ( 3) D g (1)  g ( 3)  g ( −3) -3 x = g( x ) =  f ( x ) = x +    x = 3 Bảng biến thiên −3 x − g( x ) − g ( x) O Hướng dẫn giải Ta có g  ( x ) = f  ( x ) − ( x + 1) , x x -2 + −1 + − + g (1) + + g ( −3 ) g ( 3) Suy g ( −3)  g (1) g ( 3)  g (1) y Dựa vào hình vẽ, ta thấy diện tích phần S1 lớn phần S , nghĩa   f  ( x ) − ( x + 1) dx   ( x + 1) − f  ( x ) dx  , −3 1 −3 hay   f  ( x ) − ( x + 1) dx +   f  ( x ) − ( x + 1) dx  , suy   f  ( x ) − ( x + 1) dx  -3 −3 Từ đó: O g ( 3) − g ( −3) = 3 −3 −3  g  ( x ) dx =   f  ( x ) − ( x + 1) dx  Vậy g (1)  g ( 3)  g ( −3) Chọn D 10 -2 NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN LỚP 12 HK2 Dạng Một số toán thực tế Vấn đề Ứng dụng tích phân tích diện tích, thể tích vật thể thực tế Phương pháp giải: - Bước 1: dựng hệ trục gắn vào vật thể để dễ tính tốn - Bước 2: tính tọa độ điểm đặc biệt, viết phương trình hàm số biểu diễn đường - Bước 3: áp dụng cơng thức tính diện tích, thể tích để giải tốn Ví dụ Ơng An có mảnh vườn hình elip có độ dài trục lớn 16m độ dài trục bé 10m Ông muốn trồng hoa dải đất rộng 8m 8m nhận trục bé elip làm trục đối xứng (như hình vẽ) Biết kinh phí để trồng hoa 100.000 đồng/ 1m Hỏi ông An cần tiền để trồng hoa dải đất ? (Số tiền làm trịn đến hàng nghìn) A 7.862.000 đồng B 7.653.000 đồng C 7.128.000 đồng D 7.826.000 đồng Hướng dẫn giải Chọn hệ trục Oxy có gốc tọa độ tâm Elip Elip có phương trình  x2  y = 1− 2 x2 x y 64 Diện tích cần tính S =  − dx  76.529 + =1   64 64 25 −4  y = −5 − x  64 Do số tiền cần 76.529*100  7.653 triệu đồng Chọn B Ví dụ Bổ dọc dưa hấu ta thiết diện hình elip có trục lớn 28cm , trục nhỏ 25cm Biết 1000cm dưa hấu làm cốc sinh tố giá 20000 đồng Hỏi từ dưa hấu thu tiền từ việc bán nước sinh tố? Biết bề dày vỏ dưa không đáng kể A 183000 đồng B 180000 đồng C 185000 đồng D 190000 đồng Hướng dẫn giải Đường elip có trục lớn 28cm , trục nhỏ 25cm có phương trình x2 y2  25  + =  y2 =   2 14    25      2  x2  25 x2 1 −   y =  − Do thể tích dưa 14  14  14  25  x2  x2  x3   25   25   V =   −  dx =     1 −  dx =     x −   14  3.142  −14   −14  14     −14  14 14 8750 20000  25  56 8750  183259 đồng Chọn A =  = cm3 Do tiền bán nước thu 3.1000 3   Chú ý: diện tích elip S elip =  ab , thể tích elip quay quanh trục lớn V =  a.b , thể tích elip quay quanh trục bé V =  a b 11 TOP MƠN TỐN THI TỐT NGHIỆP THPT Vấn đề Ứng dụng tích phân giải tốn liên quan đến chuyển động Phương pháp giải: cần biết công thức - Quãng đường vật di chuyển từ thời điểm t = a đến t = b với vận tốc v ( t ) b s =  v ( t ) dt a - Nguyên hàm gia tốc vận tốc Ví dụ Một xe ô tô sau chờ hết đèn đỏ bắt đầu phóng nhanh với vận tốc tăng liên tục biểu thị đồ thị đường cong parabol có hình bên Biết sau 10s xe đạt đến vận tốc cao 50 m/s bắt đầu giảm tốc Hỏi từ lúc bắt đầu v(m) 50 đến lúc đạt vận tốc cao xe quãng đường mét? 1000 1100 m m A B 3 10 O t(s) 1400 m C D 300 m Hướng dẫn giải Quãng đường xe diện tích hình phẳng giới hạn Parabol trục Ox Gọi ( P ) : y = ax + bx + c Do ( P ) qua gốc tọa độ nên c =  −b b = 10 10  2a = 10 b = −20a 1000     Đỉnh ( P ) I (10;50 ) nên   Ta có   − x + 10 x  dx =  a = − b = − 200 a      − = 50   4a 1000 m Chọn A Vậy quãng đường xe Ví dụ Một vật chuyển động với vận tốc 10 m/s tăng tốc với gia tốc tính theo thời gian a ( t ) = t + 3t Tính quãng đường vật khoảng thời gian giây kể từ vật bắt đầu tăng tốc A 136m B 126m C 276m D 216m t 3t +C Hướng dẫn giải Ta có v ( ) = 10 m/s v ( t ) =  a ( t ) dt =  ( t + 3t ) dt = + t 3t + 10 Vậy quãng đường vật S =  v ( t ) dt Mà v ( ) = 10  C = 10  v ( t ) = + 2 6 1  1  =   t + t + 10  dt =  t + t + 10t  = 276 m Chọn C 12  0   Ví dụ Một ô tô bắt đầu chuyển động nhanh dần với vận tốc v1 ( t ) = 7t ( m/ s ) Đi 5s , người lái xe phát chướng ngại vật phanh gấp, ô tô tiếp tục chuyển động chậm dần với gia tốc a = −70 ( m/ s ) Tính quãng đường S ô tô từ lúc bắt đầu chuyển bánh dừng hẳn A S = 96, 25 ( m ) B S = 87,5 ( m ) C S = 94 ( m ) D S = 95,7 ( m ) 12 NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN LỚP 12 HK2 Hướng dẫn giải Chọn gốc thời gian lúc ô tô bắt đầu Sau 5s ô tô đạt vận tốc v ( ) = 35 ( m/s ) Sau phanh vận tốc ô tô v ( t ) = 35 − 70 ( t − ) Ơ tơ dừng thời điểm t = 5,5s 5,5 Quãng đường ô tô S =  7tdt +  35 − 70 ( t − 5) dt = 96,25 ( m ) Chọn A Ví dụ Để đảm bảo an tồn lưu thơng đường, xe ô tô dừng đèn đỏ phải cách tối thiểu 1m Một ô tô A chạy với vận tốc 16 m/s gặp ô tô B dừng đèn đỏ nên ô tô A hãm phanh chuyển động chậm dần với vận tốc biểu thị công thức v A ( t ) = 16 − 4t (đơn vị tính m/s ), thời gian tính giây Hỏi để có tơ A B đạt khoảng cách an tồn dừng lại tơ A phải hãm phanh cách ô tô B khoảng ? A 33 B 12 C 31 D 32 Hướng dẫn giải Ta có: v A ( ) = 16 m/s Khi xe A dừng hẳn: v A ( t ) =  t = 4s Quãng đường từ lúc xe A hãm phanh đến lúc dừng s =  (16 − 4t ) dt = 32 m Do xe phải cách tối thiểu 1m để đảm bảo an toàn nên dừng lại ô tô A phải hãm phanh cách tơ B khoảng 33m Chọn A Bài tập rèn luyện Mức độ - Câu Cho hình ( H ) giới hạn đường y = − x + x , trục hồnh Quay hình phẳng ( H ) quanh trục Ox ta khối tròn xoay tích là: 16 496 32 4 A B C D 15 15 15 Câu Cho hàm số y = f ( x ) liên tục đoạn  a; b  Gọi D hình phẳng giới hạn đồ thị hàm ( a  b ) Thể tích khối tròn xoay tạo thành số y = f ( x ) , trục hoành hai đường thẳng x = a , x = b quay D quanh trục hồnh tính theo cơng thức b b A V =   f ( x ) dx B V = 2  f ( x ) dx a a b b D V =   f ( x ) dx C V =   f ( x ) dx a a Câu Viết cơng thức tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = f ( x ) , trục Ox đường thẳng x = a, x = b ( a  b ) b b A  f ( x ) dx a B  f ( x ) dx a b C  f ( x ) dx a b D   f ( x ) dx a Câu Diện tích S hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = x , trục hoành Ox , đường thẳng x = , x = A S = B S = C S = D S = 3 Câu Diện tích hình phẳng giới hạn bới hai đường thẳng x = , x = π , đồ thị hàm số y = cos x trục Ox 13 TOP MƠN TỐN THI TỐT NGHIỆP THPT π π π D S =   cos x dx 0 π C S =  cos x dx B S =  cos x dx A S =  cos x dx Câu Tính diện tích S hình phẳng giới hạn đường y = e x , y = , x = , x = A S = 4ln + e − B S = 4ln + e − Câu Cho hình phẳng ( H ) giới hạn đồ thị hai hàm số f1 ( x ) f ( x ) liên tục đoạn  a; b  D S = e − C S = e − y f2(x) hai đường thẳng x = a , x = b (tham khảo hình vẽ dưới) Cơng thức tính diện tích hình ( H ) b A S =  f1 ( x ) − f ( x ) dx a b B S =  ( f1 ( x ) − f ( x ) ) dx a c1 c2 b x a b C S =  f1 ( x ) + f ( x ) dx f1(x) a b b a a D S =  f ( x ) dx −  f1 ( x ) dx Câu Viết cơng thức tính thể tích V phần vật thể giới hạn hai mặt phẳng vng góc với trục Ox điểm x = a , x = b ( a  b ) có diện tích thiết diện bị cắt mặt phẳng vng góc với trục Ox điểm có hoành độ x (a  x  b) S ( x ) a B V =   S ( x ) dx b C V =   S ( x ) dx b a a A V =  S ( x ) dx D V =  S ( x ) dx a Câu Cho hàm số y = f ( x ) liên tục có đồ thị hình y bên Gọi D hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số cho trục Ox Quay hình phẳng D quanh trục Ox ta khối trịn xoay tích V xác định theo công thức b b A V =    f ( x )  dx B V = 13  f ( x )  dx  31 O x C V =    f ( x )  dx y D V =   f ( x )  dx y=f(x) Câu 10 Cho hàm số y = f ( x ) liên tục có đồ thị hình vẽ bên Hình phẳng đánh dấu hình vẽ bên có diện tích b A c  f ( x ) dx −  f ( x ) dx a B b b c C −  f ( x ) dx +  f ( x ) dx a 14 b D b c a b  f ( x ) dx +  f ( x ) dx b b a c  f ( x ) dx −  f ( x ) dx b a O c x NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN LỚP 12 HK2 Câu 11 Diện tích hình phẳng ( H ) giới hạn y đồ thị hàm số y = f ( x ) , trục hoành hai đường thẳng x = a , x = b ( a  b ) (phần tô đậm hình vẽ) tính theo cơng thức: c b a a c b c b a c b C S =  f ( x ) dx C:y=f(x) B S = −  f ( x ) dx +  f ( x ) dx A S =  f ( x ) dx c a O b x D S =  f ( x ) dx +  f ( x ) dx a đường thẳng y = , x = , x x = Thể tích V khối trịn xoay sinh cho hình phẳng ( H ) quay quanh trục Ox Câu 12 Cho hình phẳng ( H ) giới hạn đồ thị hàm số y = 3 C D 2ln −1 4 Câu 13 Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = − x y = x 11 A B C D 2 Câu 14 Tính diện tích S hình phẳng ( H ) giới hạn đường cong y = − x + 12 x y = − x A 2 ln B 343 397 937 793 B S = C S = D S = 12 12 4 Câu 15 Cho hình phẳng ( H ) giới hạn đường y = x , y = x Thể tích khối trịn xoay A S = tạo thành quay ( H ) xung quanh trục Ox bằng: 16 32 64 21 B C D 15 15 15 15 Câu 16 Tính thể tích khối trịn xoay tạo thành quay hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = x − x trục hoành, quanh trục hoành 85 81 41 8 A (đvtt) B (đvtt) C (đvtt) D (đvtt) 10 10 7 Câu 17 Tìm cơng thức tính thể tích khối trịn xoay cho hình phẳng giới hạn parabol ( P ) : y = x đường thẳng d : y = x quay xung quanh trục Ox A A   ( x − x ) dx 2 2 0 B   x 2dx −   x 4dx 2 0 C   x 2dx +   x 4dx D   ( x − x ) dx Câu 18 Cho hình phẳng D giới hạn đường cong y = + cos x , trục hoành đường thẳng  x = , x = Khối tròn xoay tạo thành quay D quanh trục hồnh tích V bao nhiêu? A V =  − B V =  + C V =  ( − 1) D V =  ( + 1) Câu 19 Tính thể tích V vật thể trịn xoay sinh cho hình phẳng giới hạn đường y = , y = , x = , x = a , ( a  1) quay xung quanh trục Ox x  1  1  1  1 A V = 1 −  B V = 1 −   C V = 1 +   D V = 1 +  a  a  a  a  Câu 20 Bạn Minh ngồi máy bay du lịch giới vận tốc chuyển động máy bay v ( t ) = 3t + (m/s) Tính quãng đường máy bay từ giây thứ đến giây thứ 10 15 TOP MƠN TỐN THI TỐT NGHIỆP THPT A 246 m B 252 m C 1134 m D 966 m x −1 Câu 21 Gọi S diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số ( H ) : y = trục tọa độ x +1 Khi giá trị S A S = ln − B S = 2ln − C S = 2ln + D S = ln + Câu 22 Một ô tô chạy với tốc độ 10 ( m s ) người lái đạp phanh, từ thời điểm tơ chuyển động chậm dần với v ( t ) = −5t + 10 ( m s ) , t khoảng thời gian tính giây, kể từ lúc bắt đầu đạp phanh Hỏi từ lúc đạp phanh đến dừng hẳn, ô tơ cịn di chuyển mét A 8m B 10 m C 5m D 20 m thỏa mãn f ( )   f ( −1) Gọi S diện tích hình Câu 23 Cho hàm số y = f ( x ) liên tục phẳng giới hạn đường y = f ( x ) , y = , x = −1 x = Xét mệnh đề sau  S = −1 S = f ( x ) dx +  f ( x ) dx S = S =  f ( x ) dx −1 −1 Số mệnh đề A  f ( x ) dx −1  f ( x ) dx B C D x2 y + = Hình phẳng ( H ) giới Câu 24 Trong hệ trục tọa độ Oxy cho elip ( E ) có phương trình 25 hạn nửa elip nằm trục hoành trục hồnh Quay hình ( H ) xung quanh trục Ox ta khối trịn xoay, tính thể tích khối trịn xoay đó: 1188 1416   D 25 25 Câu 25 Thể tích khối trịn xoay thu quay quanh trục Ox hình phẳng giới hạn đồ A V = 60 B 30 C thị hàm số y = x e x , trục hoành đường thẳng x = là:   1 A ( e + 1) B ( e + 1) C ( e − 1) D ( e − 1) 4 4 Câu 26 Tính thể tích V vật trịn xoay tạo thành quay hình phẳng ( H ) giới hạn đường y = x2 ; y = x quanh trục Ox 9 3 B V = 10 10 Câu 27 Cho hình ( H ) giới hạn trục hồnh, A V = đồ thị Parabol đường thẳng tiếp xúc với Parabol điểm A ( 2;4 ) , C V =  10 D V = 7 10 y hình vẽ bên Thể tích vật thể trịn xoay tạo hình ( H ) quay quanh trục Ox 16 32 A B O 15 2 22 C D Câu 28 Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = x , trục hoành hai đường thẳng x = −1 , x = biết đơn vị dài trục tọa độ cm 16 x NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN LỚP 12 HK2 A 15 (cm ) Câu 29 Cho 15 17 C (cm ) (cm ) 4 hình phẳng giới hạn parabol (H ) y = x , cung trịn có phương trình y = − x 4 + 12 B 4 − y (với  x  ) trục hồnh (phần tơ đậm hình vẽ) Diện tích ( H ) A D 17 (cm ) B O 4 + − C x − 2 Câu 30 Một ô tô chạy với vận tốc 20 m/s người lái xe đạp phanh Sau đạp phanh, ô tô chuyển động chậm dần với vận tốc v ( t ) = −4t + 20 ( m/s ) , t khoảng thời gian tính D giây kể từ lúc bắt đầu đạp phanh Hỏi từ lúc đạp phanh đến dừng hẳn, ô tô di chuyển mét? A 150 mét B mét C 50 mét D 100 mét Câu 31 Người ta trồng hoa vào phần đất tô màu đen giới hạn cạnh AB , CD đường trung bình MN mảnh đất hình chữ nhật ABCD đường cong hình sin (như hình vẽ) Biết AB = 2 ( m ) , AD = ( m ) Tính diện tích phần cịn lại A 4 − A B M N D C B ( − 1) C 4 − D 4 − Câu 32 Cổng trường Đại học Bách Khoa Hà Nội có hình dạng Parabol, chiều rộng 8m , chiều cao 12,5 m Diện tích cổng là: A 100 ( m ) B 200 ( m ) 100 200 D (m ) (m ) 3 Câu 33 Tính diện tích S hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = ln x , y = , y =1− x C 1 B S = e − C S = e + D S = e + 2 2 Câu 34 Một ôto chuyển động với vận tốc 20 ( m/s ) hãm phanh chuyển động chậm A S = e − dần với vận tốc v ( t ) = −2t + 20 ( m/s ) , t khoảng thời gian tính giây kể từ lúc bắt đầu hãm phanh Tính qng đường mà ơto 15 giây cuối đến dừng hẳn A 100 ( m ) B 75 ( m ) C 200 ( m ) D 125 ( m ) 17 TOP MƠN TỐN THI TỐT NGHIỆP THPT Câu 35 Cho hình phẳng giới hạn đường y = − x , y = , y = x có diện tích S = a + b. Chọn kết đúng: A a  , b  B a + b  C a + 2b = D a + 4b  Câu 36 Diện tích hình phẳng giới hạn đường cong y = sin x , y = cos x đường thẳng x = , x =  ? A B 2 C −2 Câu 37 Tính diện tích S miền hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số f ( x ) = ax + bx + c , đường D y thẳng x = −1 , x = trục hồnh (miền tơ đen) cho hình 52 51 A S = B S = 8 50 53 O -1 x C S = D S = 8 Câu 38 Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị ( P ) : y = x − x + tiếp tuyến ( P ) A (1;2 ) B ( 4;5 ) 9 B C D Câu 39 Một chất điểm chuyển động với vận tốc v0 = 15m / s tăng tốc với gia tốc A a ( t ) = t + 4t ( m / s ) Tính qng đường chất điểm khoảng thời gian giây kể từ lúc bắt đầu tăng vận tốc A 70, 25m B 68, 25m C 67, 25m D 69,75m Câu 40 Bác Năm làm cửa nhà hình parabol có chiều cao từ mặt đất đến đỉnh 2, 25 mét, chiều rộng tiếp giáp với mặt đất mét Giá thuê mét vuông 1500000 đồng Vậy số tiền bác Năm phải trả là: A 33750000 đồng B 3750000 đồng C 12750000 đồng D 6750000 đồng Câu 41 Cho hình phẳng D giới hạn đường cong y = e x −1 , trục tọa độ phần đường thẳng y = − x với x  Tính thể tích khối trịn xoay tạo thành quay D quanh trục hoành  ( 5e − 3) e −1 e2 − 1 e −1 +  B V = C V = + D V = + 2 2e 2e 2 e 6e Câu 42 Một ô tô chuyển động nhanh dần với vận tốc v ( t ) = 7t ( m/s ) Đi ( s ) người lái A V = 2 xe phát chướng ngại vật phanh gấp, ô tô tiếp tục chuyển động chậm dần với gia tốc a = −35 ( m/s ) Tính qng đường tơ từ lúc bắt đầu chuyển bánh dừng hẳn? A 87.5 mét B 96.5 mét C 102.5 mét D 105 mét Câu 43 Đặt S diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = − x , trục hoành 25 đường thẳng x = −2 , x = m , ( −2  m  ) Tìm số giá trị tham số m để S = A B C D 18 NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN LỚP 12 HK2 Câu 44 Trong hệ trục tọa độ Oxy , cho parabol ( P ) : y = x2 hai đường thẳng y = a , y = b (0  a  b) (hình vẽ) Gọi S1 diện tích hình phẳng giới hạn parabol ( P ) đường thẳng y = a (phần tô đen); ( S ) diện tích hình phẳng giới hạn parabol ( P) đường thẳng y = b (phần gạch chéo) Với điều kiện sau a b S1 = S ? A b = 4a B b = 2a C b = 3a D b = 6a Câu 45 Cho hai đường tròn ( O1 ;5 ) ( O2 ;3) cắt hai điểm A , B cho AB đường kính đường tròn ( O2 ;3) Gọi ( D ) hình phẳng giới hạn hai đường trịn (ở ngồi đường trịn lớn, phần gạch chéo hình vẽ) Quay ( D ) quanh trục O1O2 ta khối trịn xoay Tính thể tích V khối tròn xoay tạo thành 68 14 40 C V = D V = 3 Câu 46 Trong đợt hội trại “Khi 18 ” tổ chức trường THPT X, Đồn trường có thực dự án ảnh trưng bày pano có dạng parabol hình vẽ Biết Đồn trường yêu cầu lớp gửi hình dự thi dán lên khu vực hình chữ nhật ABCD , phần cịn lại trang trí hoa văn A V = 36 B V = cho phù hợp Chi phí dán hoa văn 200.000 đồng cho m bảng Hỏi chi phí thấp cho việc hoàn tất hoa văn pano (làm trịn đến hàng nghìn)? A 900.000 đồng B 1.232.000 đồng C 902.000 đồng D 1.230.000 đồng Câu 47 Cho khối trụ có hai đáy hai hình trịn ( O; R ) ( O '; R ) , OO ' = 4R Trên đường tròn ( O; R ) lấy hai điểm A , B cho AB = a Mặt phẳng ( P ) qua A, B cắt đoạn OO ' tạo với đáy góc 600 , ( P ) cắt khối trụ theo thiết diện phần elip Diện tích thiết diện  4  2  2  4 3 3 3 3 A  B  C  D  + − + −  R  R  R  R 3 4         Câu 48 Cho parabol ( P ) : y = x đường thẳng d thay đổi cắt ( P ) hai điểm A , B cho AB = 2018 Gọi S diện tích hình phẳng giới hạn ( P ) đường thẳng d Tìm giá trị lớn S max S A Smax = 20183 + B Smax = 20183 C Smax = 20183 − D Smax = 20183 19 TOP MƠN TỐN THI TỐT NGHIỆP THPT x2 , Câu 49 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , gọi ( H1 ) hình phẳng giới hạn đường y = x2 , x = −4 , x = hình ( H ) hình gồm điểm ( x; y ) thỏa: x + y  16 , x + ( y − )  , y=− x2 + ( y + 2)  y y 4 O -4 O x -4 x -2 -4 -4 Cho ( H1 ) ( H ) quay quanh trục Oy ta vật thể tích V1 , V2 Đẳng thức sau đúng? B V1 = V2 C V1 = 2V2 D V1 = V2 Câu 50 Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = x − nửa đường tròn A V1 = V2 x + y = bằng? A  − B  −1 C  −1 D  −1 Học sinh điền đáp án vào bảng sau 11 21 31 41 12 22 32 42 13 23 33 43 14 24 34 44 Mức điểm 8+: 10 điểm cộng Mức điểm 9+: 15 điểm cộng Mức điểm 9,5+: 20 điểm cộng 20 15 25 35 45 16 26 36 46 17 27 37 47 18 28 38 48 19 29 39 49 10 20 30 40 50 NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN LỚP 12 HK2 TÌM ĐỌC 21 ... x + 1) Mệnh đề Suy g ( 3)  g (1) Kết hợp với BBT ta có: ? ?3 3 ? A g ( 3)  g ( ? ?3)  g (1) B g ( ? ?3)  g ( 3)  g (1) C g (1)  g ( ? ?3)  g ( 3) D g (1)  g ( 3)  g ( ? ?3) -3 x = g( x... 11 21 31 41 12 22 32 42 13 23 33 43 14 24 34 44 Mức điểm 8+: 10 điểm cộng Mức điểm 9+: 15 điểm cộng Mức điểm 9,5+: 20 điểm cộng 20 15 25 35 45 16 26 36 46 17 27 37 47 18 28 38 48 19 29 39 49... ( x + 1) dx  -3 ? ?3 Từ đó: O g ( 3) − g ( ? ?3) = 3 ? ?3 ? ?3  g  ( x ) dx =   f  ( x ) − ( x + 1) dx  Vậy g (1)  g ( 3)  g ( ? ?3) Chọn D 10 -2 NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN LỚP 12 HK2 Dạng