CHỦ đề 12 ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TÍNH DIỆN TÍCH

CHỦ ĐỀ 12 ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TÍNH DIỆN TÍCH A LÝ THUYẾT 1) Công thức tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số Cho hai đồ thị của hai hàm số liên tục trên đoạn và hai đường thẳng Khi đó hình phẳng giới hạn bởi bốn đường và hai đường thẳng có diện tích S được tính theo công thức Đặc biệt Trong trường hợp là trục hoành ( ) ta được công thức tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số , trục hoành và hai đường thẳng là (1) Để tính diện tích S ta phải tính tích phân (.

CHỦ ĐỀ 12: ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TÍNH DIỆN TÍCH A LÝ THUYẾT 1) Cơng thức tính diện tích hình phẳng giới hạn hai đồ thị hàm số Cho hai đồ thị hai hàm số y = f ( x ) , y = g ( x ) liên tục đoạn [ a; b] hai đường thẳng x = a; x = b ( a < b ) Khi hình phẳng giới hạn bốn đường y = f ( x) , y = g ( x) x = a; x = b tích có diện S hai đường thẳng tính theo công thức: b S = ∫ f ( x ) − g ( x ) dx a Đặc biệt: Trong trường hợp g ( x ) trục hoành ( g ( x ) = ) ta cơng thức tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = f ( x ) , trục hoành hai đường thẳng x = a, x = b là: b S = ∫ f ( x) dx (1) a Để tính diện tích S ta phải tính tích phân (1), muốn ta phải phá dấu giá trị tuyệt đối: b b a a b b a a  Nếu f ( x ) ≥ 0, ∀x ∈ [ a; b ] S = ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx  Nếu f ( x ) ≤ 0, ∀x ∈ [ a; b ] S = ∫ f ( x ) dx = ∫ ( − f ( x ) ) dx Muốn xét dấu biểu thức f ( x ) ta thường có số cách làm sau:  Cách 1: Sử dụng bảng xét dấu cho f ( x ) với ghi nhớ qua nghiệm bội lẻ f ( x ) đổi dấu, qua nghiệm bội chẵn f ( x ) không đổi dấu  Cách 2: Dựa vào đồ thị hàm số y = f ( x ) đoạn [ a; b ] để suy dấu f ( x ) đoạn đó: - Nếu đoạn [ a; b ] đồ thị hàm số y = f ( x ) nằm phía trục hồnh f ( x ) ≥ 0, ∀x ∈ [ a; b ] - Nếu đoạn [ a; b ] đồ thị hàm số y = f ( x ) nằm phía trục hồnh f ( x ) ≤ 0, ∀x ∈ [ a; b ] b  Cách 3: Nếu f ( x ) không đổi dấu [ a; b ] ta có: S = ∫ f ( x ) dx = a b ∫ f ( x ) dx a  Cách 4: Sử dụng máy tính CASIO, nhiên xu hướng đề thi THPT Quốc gia hạn chế CASIO nên cần ý cách giải tổng quát hiểu rõ chất! Chú ý: - Khi tính diện tích hình phẳng giới hạn hai đồ thị hàm số ta có: b b a a S = ∫ f ( x ) − g ( x ) dx = ∫ h ( x ) dx ta làm hoàn toàn tương tự - Nếu đề không cho đường thẳng giới hạn x = a; x = b ta giải phương trình f ( x ) = g ( x ) (hoặc f ( x ) = trường hợp g ( x ) trục hồnh) để tìm cận tích phân 2) Ứng dụng tính diện tích hình trịn hình Elip a) Tính diện tích hình trịn 2 Trong hệ tọa độ Oxy cho đường trịn có phương trình: x + y = r ( r > ) Khi hình trịn có diện tích là: S = πr x2 + y = r ⇔ y = ± r − x2 Ta có Với y ≥ , ta có: y = r − x có đồ thị nửa đường trịn phía trục hoành r Bằng cách đặt x = r sin t ta có diện tích S1 = ∫ −r r r − x dx = ∫ r − x dx = Do S = S1 = πr b) Tính diện tích hình Elip x2 y Trong hệ tọa độ Oxy cho elip có phương trình: + = 1, < b < a a b Chứng minh tương tự ta có diện tích elip là: S = πab (đvdt) II VÍ DỤ MINH HỌA πr Ví dụ 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = − x + x − , trục hoành đường thẳng x = 0, x = Lời giải Diện tích S hình phẳng S = ∫ − x + x − dx Ta có: − x + x − ≤ 0, ∀x ∈ [ 0;3]  x3  S = ∫ − x + x − dx = ∫ ( x − x + ) dx =  − x + x ÷ = (đvdt)  0 0 3 2 Ví dụ 2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = f ( x ) = −x − , trục hoành x −1 đường thẳng x = −1, x = Lời giải Gọi S diện tích hình phẳng trên, ta có: S = ∫ −1 Ta có: −x − dx x −1 −x − ≥ 0, ∀x ∈ [ −1;0] x −1 Do đó: S = ∫ −1 − ( x − 1) − −x −   −x −   dx = ∫  dx = ∫  −1 − ÷dx = ∫ ÷dx x −1 x −1  x −1 x −1  −1  −1 −1  = ( − x − 3ln x − ) −1 0 = 3ln − (đvdt) Ví dụ 3: Diện tích hình phẳng giới hạn hai đồ thị hàm số y = x − x + 1, y = x + A − B C D Lời giải x = 2 Phương trình hồnh độ giao điểm đồ thị là: x − x + = x + ⇔ x − x = ⇔  x = 2 2 Diện tích cần tìm là: S = ∫ x − x + − x − dx = ∫ x − x dx = ∫ ( x − x ) dx 2 0  x3  =  x − ÷ = Chọn B 0  Ví dụ 4: Tính diện tích S hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = e x + x đường thẳng x − y + = 0, x = ln A S = − ln B S = − ln Ta có: x − y + = ⇔ y = x + C S = + ln Lời giải D S = + ln Phương trình hồnh độ giao điểm hai đồ thị là: e x + x = x + ⇔ e x = ⇔ x = ln Diện tích hình phẳng cần tìm là: S = ln ∫ e x − dx = ∫ (e x − 1) dx = ( e x − x ) ln = − ln Chọn B Ví dụ 5: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường y = x + 11x − 6; y = x ; x = 0; x = Lời giải 3 Đặt f ( x ) = ( x + 11x − ) − x = x − x + 11x −  x = 1; x = f ( x) = ⇔  Gọi S diện tích phần giới hạn đường ta có:  x = (loai ) Bảng xét dấu: x h ( x) − + Khi S = − ∫ ( x − x + 11x − ) dx + ∫ ( x − x + 11x − ) dx 1  x4   x4  11x 11x = −  − x3 + − x ÷ +  − x3 + − x ÷ = (đvdt) 2  0  1 Ghi nhớ: Nếu phương trình f ( x ) = có k nghiệm phân biệt x1 ; x2 xk thuộc ( a; b ) khoảng ( a; x1 ) , ( x1; x2 ) , ( xk ; b ) biểu thức f ( x ) có dấu khơng đổi b Khi để tính tích phân S = ∫ f ( x ) dx ta tính sau: a b S = ∫ f ( x ) dx = a x1 x2 b a x1 xk ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx + + ∫ f ( x ) dx Áp dụng với ta có: S = ∫ ( x − x + 11x − ) dx + ∫( x − x + 11x − ) dx Ví dụ 6: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường: y − y + x = 0; x + y = Lời giải y = Phương trình tung độ giao điểm là: y − y = − y ⇔  y = Gọi S diện tích hình phẳng giới hạn với đường cho ta có:  y3 y2  S = ∫ y − y − ( − y ) dy = ∫ y − y dy = ∫ ( − y + y ) dy =  − + ÷ = (đvdt) 0  0 3 2 Nhận xét: Đối với tốn việc tính theo dx gặp nhiều khó khăn, ta nên tính diện tích hình phẳng theo dy cách coi x hàm biến y, diện tích hình phẳng giới hạn đường cong x = g ( y ) , x = h ( y ) (g h hai hàm liên tục đoạn [ c; d ] ) hai đường thẳng y = c, y = d là: d S = ∫ g ( y ) − h ( y ) dy c Ví dụ 7: Cho đồ thị hàm số y = f ( x ) đoạn [ −2; 2] hình vẽ bên có diện tích S1 = S = 22 76 , S3 = Tính tích phân I = ∫ f ( x ) dx 15 15 −2 A I = 32 15 B I = C I = 18 D I = − 32 15 Lời giải Ta có I = ∫ f ( x ) dx = S − S1 − S = −2 76 22 32 − = Chọn A 15 15 15 Ví dụ 8: Cho hàm số f ( x ) liên tục ℝ Đồ thị hàm số y = f ′ ( x ) cho hình bên Diện tích hình phẳng ( K ) ,( H ) A f ( ) = 11 C f ( ) = 19 Biết f ( −1) = , tính f ( ) 12 12 B f ( ) = − D f ( ) = Lời giải Ta có: K = 5 ∫ f ′ ( x ) dx = f ( ) − f ( −1) = 12 ⇒ f ( ) = 12 + f ( −1) = −1 2 0 Lại có: H = ∫ f ′ ( x ) dx = − ∫ f ′ ( x ) dx = f ( ) − f ( ) = 8 −2 ⇒ f (2) = f ( ) − = Chọn B 3 Ví dụ 9: Cho ( H ) hình phẳng giới hạn hai parabol y = x y = − x đường trịn có phương trình x + y = (phần tơ đậm hình vẽ) Tính diện tích S hình ( H ) A S = π + B S = 2π − C S = π − D S = 2π + Lời giải Xét phần tơ đậm nằm phía trục Ox, nửa đường trịn phía Ox có phương trình y = − x Giải phương trình hồnh độ giao điểm: x = − x ⇔ x + x − = ⇔ x = ⇔ x = ±1 ∫( ) Diện tích phần khơng tơ đậm phía trục hồnh là: S = − x − x dx −1 = ∫ −1 x3 − x dx − π π ∫ x = sin t  → − 2sin td −π −1 π ( ) 2 sin t − = ∫ cos tdt − −π π  sin 2t  π = ∫ ( + cos 2t ) dt − =  t + ÷ − = +   −π 3 −π 4 Diện tích nửa đường trịn S ′ = πR = π π 1  Khi S( H ) = ( S ′ − S ) =  π − − ÷ = π − Chọn C 3  Ví dụ 10: Cho hình thang cong ( H ) giới hạn đường y = e x , y = 0, x = x = ln Đường thẳng x = k ( < k < ln ) chia ( H ) thành hai phần có diện tích S1 S2 hình vẽ bên Tìm k để S1 = S A k = ln B k = ln D k = ln C k = ln Lời giải 2 Do S1 = S ⇒ S1 = S = 3 ln ∫ e dx = x ln ∫ e dx = e x ln =2 x k x k k Do S1 = ∫ e dx = e − = ⇔ e = ⇔ k = ln Chọn D Ví dụ 11: Cho hình thang 1 y = ,x = ,x = x ( H) trục giới hạn đường hoành Đường thẳng 1  x = k  < k < ÷ chia ( H ) thành hai phần có diện tích S1 2  S hình vẽ Tìm tất giá trị thực k để S1 = 3S2 A k = C k = B k = D k = Lời giải Gọi S diện tích hình ( H ) ⇒ S = ∫ x dx = ln 2 1 ln ln ⇒ ln k = = ln ⇒ k = Chọn A Lại có S = ∫ dx = ln − ln k = S = x 2 k Ví dụ 12: [Đề tham khảo Bộ giáo dục Đào tjao 2018] Cho ( H ) hình phẳng giới hạn parabol y = x , cung trịn có phương trình y = − x (với ≤ x ≤ ) trục hồnh (phần tơ đậm hình vẽ) Diện tích ( H ) bằng: A 4π + 12 B 4π − C 4π + − D − 2π Lời giải Phương trình hồnh độ giao điểm là: 0 ≤ x ≤ 3x = − x ⇒  ⇔ x = 3x = − x Dựa vào hình vẽ ta có: S = ∫ x dx + ∫ 1 x3 − x dx = + I1 = + I1 3 2 Với I1 = ∫ − x dx , sử dụng CASIO đặt x = 2sin t ⇒ dx = cos tdt π π π x =1⇒ t = 2 ⇒ I1 = ∫ − 4sin t cos tdt = ∫ ( + cos 2t ) dt = ( 2t − sin 2t ) Đổi cận π π π x =2⇒t = 6 ⇒ I1 = ( π π ) 4π − 4π − 3 Do S = Chọn B 6 Ví dụ 13: Tính diện tích S phần hình phẳng giới hạn đường Parabol qua gốc tọa độ hai đoạn thẳng AC BC hình vẽ bên: A S = 25 B S = 20 C S = 10 D S = Lời giải Gọi S1 diện tích hình phẳng giới hạn đường y = x , y = x + 2, x = 0, x =  x2 x3  22 23 10 ⇒ S1 = ∫ ( x + − x ) dx =  + x − ÷ = + 2.2 − = 0 3  2 Khi diện tích hình phẳng phần gạch chéo S = 2.S1 = 20 Chọn B Ví dụ 14: Ơng An có mảnh vườn hình elip có độ dài trục lớn 16m có độ dài trục bé 10m Ơng muốn trồng hoa dải đất rộng 8m nhận trục bé elip làm trục đối xứng (như hình vẽ) Biết kinh phí để trồng hoa 100.000 đồng/1 m Hỏi ông An cần tiền để trồng hoa dải đất đó? (Số tiền làm trịn đến hàng nghìn) A 7.862.000 đồng B 7.653.000 đồng C 7.128.000 đồng D 7.826.000 đồng Lời giải Chọn hệ trục hình vẽ với 2a = 16; 2b = 10 Suy a = 8; b = Khi phương trình elip là: x2 y2 + =1 64 25 Xét đường cong nằm phía trục Ox có phương trình y = 25 − x2 64 Ta có: S = ∫ − −4 x   π π x2 dx Đặt sin t =  t ∈  − ;  ÷ suy   2 64 cos tdt = dx −1 π π π ⇒t =− 6 2 Đổi cận Do S = ∫ − sin t 8cos tdt = 40 ∫ cos tdt π π π − − x = ⇒ sin t = ⇒ t = 6 x = −4 ⇒ sin t = π π 20π  sin 2t  = 20 ∫ ( + cos 2t ) dt =  t + + 10 ÷ −π =   π − 6 Vậy diện tích trồng hoa ST = 2S = 40π + 20 ( m ) Do số tiền ông An cần để trồng hoa là: T = ST 100.000 ≈ 7.653.000 Chọn B Ví dụ 15: Một viên gạch hoa hình vng có cạnh 40cm Người thiết kế sử dụng bốn đường parabol có chung đỉnh tâm viên gạch để tạo bốn cánh hoa (được tơ màu sẫm hình vẽ bên) Diện tích cánh hoa viên gạch A 800 cm C 250cm B 400 cm D 800cm2 Lời giải Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ: Với A ( 20; 20 ) , xét hình phẳng góc phần tư thứ Hai parabol có phương là: y = ax x = ay Do parabol qua điểm A ( 20; 20 ) ⇒ a = 20 = 20 20  x2 y =  ⇒ 20  y = 20 x  Diện tích phần tơ đậm góc phần tư thứ là: 20  2 x2  x3  400 S = ∫  20 x − ÷dx =  20 x − ÷ = Chọn B 20  60  3  20 Ví dụ 16: Một cổng chào có dạng hình parabol chiều cao 18m, chiều rộng chân đế 12m Người ta căng hai sợi dây trang trí AB, CD nằm ngang đồng thời chia hình giới hạn parabol mặt đất thành ba phần có diện tích (xem hình vẽ bên) Tỉ số A C B 1+ 2 D AB bằng: CD Lời giải Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ Parabol có dạng y = ax , ( P ) qua điểm ( 6;18 ) ⇒ a =  x2  Diện tích thiết diện cổng trào là: S0 = ∫ 18 − ÷dx = 144 2 −6  Để diện tích phần diện tích phần S0 = 48  b2   d  AB b B = Gọi  b; ÷; D  d ; ÷ CD d  2   b  b2 x2   b2 x x3  − ÷ = 24 ⇒ b3 = 72 Ta có: ∫  − ÷dx = 24 ⇔  2 0  0 b  d x2  AB = Chọn A Tương tự ta có ∫  − ÷dx = 48 ⇒ d = 144 ⇒ 2 CD 0 d Ví dụ 17: [Đề Sở GD&DT Thanh Hóa] Một cơng ty quảng cáo X muốn làm tranh trang trí hình MNEIF tường hình chữ nhật ABCD có chiều cao BD = 6m, chiều dài CD = 12m (hình vẽ bên) Cho biết MNEF hình chữ nhật có MN = 4m, cung EIF có hình dạng phần cung parabol có đỉnh I trung điểm cạnh AB qua hai điểm C, D Kinh phí làm tranh 900.000 đồng/ m Hỏi công ty X cần tiền để làm tranh đó? A 20.400.000 đồng B 20.600.000 đồng C 20.800.000 đồng D 21.200.00 đồng Lời giải Gọi O trung điểm MN trùng với gốc tọa độ ⇒ M ( −2;0 ) , N ( 2;0 ) Phương trình parabol đỉnh I ( 0;6 ) qua hai điểm C ( −6;0 ) , D ( 6;0 ) ( P ) : y = − x Diện tích tranh diện tích giới hạn hàm số y = f ( x ) = − x2 S = − Khi ∫−2 dx = x2 x = −2, x =   x2  x3  208 − dx = x − (m )  ÷ = ∫−2  ÷ 18  −2  Số tiền công ty X cần dùng để làm tranh T = 208 × 900.000 = 20.800.000 đồng Chọn C Ví dụ 18: [Đề Chuyên Đại học Vinh 2017] Trong cơng viên Tốn học có mảnh đất hình dáng khác Mỗi mảnh trồng lồi hoa tạo thành đường cong đẹp tốn học Ở có mảnh đất mang tên Bernoulli, tạo thành từ đường Lemniscate có phương 2 trình hệ tọa độ Oxy 16 y = x ( 25 − x ) hình vẽ bên Tính diện tích S mảnh đất Bernoulli biết đơn vị hệ trục tọa độ Oxy tương ứng với chiều dài mét A S = 125 (m ) B S = 125 (m ) C S = 250 (m ) D S = 125 (m ) Lời giải Hoành độ giao điểm đồ thị với trục hoành x = 0; x = −5; x = Dễ thấy diện tích mảnh đất Bernoulli bao gồm diện tích mảnh đất nhỏ Xét diện tích s mảnh đất nhỏ góc phần tư thứ ta có: Câu 68: Cho hình thang cong ( H) giới hạn đường y = e x , y = 0, x = 0, x = Đường thẳng x = k ( < k < 1) chia ( H ) thành hai phần có diện tích S1 S2 hình vẽ bên Tìm k để S1 > S2 A k > e +1 C < k < ln B ln e +1 e +1 < k ln e +1 Câu 69: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục ℝ hàm số y = g ( x ) = xf ( x ) có đồ thị đoạn [ 0; 2] hình vẽ Biết diện tích miền tơ màu S = Tính I = ∫ f ( x ) dx B I = C I = D I = 11 A I = Câu 70: Một sân chơi dành riêng cho trẻ em hình chữ nhật có chiều dài 50m chiều rộng 30m, người ta làm đường sân (như hình vẽ) Biết viền ngồi viền đường hai đường elip chiều rộng mặt đường 2m Kinh phí để làm m làm đường 500.000 đồng Tính tổng số tiền làm đường (số tiền làm trịn đến hàng nghìn) A 119.000.000 đồng B 152.000.000 đồng C 119.320.000 đồng D 125.520.000 đồng Câu 71: Người ta trồng hoa phần đất gạch sọc giới hạn cạnh AB, CD, đường trung bình MN mảnh đất hình chữ nhật ABCD đường cong hình sin (như hình vẽ) Biết AB = 2π ( m ) AD = ( m ) Tính diện tích phần lại A 4π − B ( π − 1) C 4π − 2 D 4π − Câu 72: Ông An muốn cửa rào sắt có hình dạng kích thước hình vẽ bên, biết đường cong phía parabol Giá 1m rào sắt 700.000 đồng Hỏi ông An phải trả tiền để làm cửa sắt (làm trịn đến hàng phần nghìn) A 6.520.000 đồng B 6.320.000 đồng C 6.417.000 đồng D 6.620.000 đồng Trục hoành hai đường thẳng x = −5 ;x = 2 Câu 73: Một khn viên dạng nửa hình trịn có đường kính m Trên người ta thiết kế hai phần để trồng hoa có dạng cánh hoa hình parabol có đỉnh trùng với tâm nửa đường tròn hai đầu mút cánh hoa nằm nửa đường trịn (phần tơ màu), cách khoảng 4m Phần cịn lại khn viên (phần không tô màu) dành để trồng cỏ Nhật Bản Biết kích thước cho hình vẽ kinh phí để trồng cỏ Nhật Bản 100.000 đồng/ m Hỏi cần tiền để trồng cỏ Nhật Bản? (làm trịn đến hàng nghìn) A 3.895.000 đồng B 1.948.000 đồng C 2.388.000 đồng D 1.194.000 đồng Câu 74: (Đề thi THPT Quốc gia 2017 – Mã đề 101) Cho y = f ( x ) có đồ thị y = f ′ ( x ) hình vẽ Đặt h ( x ) = f ( x ) − x Mệnh đề đúng? A h ( ) = h ( −2 ) > h ( ) B h ( ) = h ( −2 ) < h ( ) C h ( ) > h ( ) > h ( −2 ) D h ( ) > h ( −2 ) > h ( ) Câu 75: (Đề thi THPT Quốc gia 2017 – Mã đề 104) Cho y = f ( x) có đồ thị y = f ′( x) hình vẽ Đặt g ( x ) = f ( x ) + ( x + 1) Mệnh đề đúng? A g ( 1) < g ( 3) < g ( −3) B g ( 1) < g ( −3) < g ( 3) C g ( 3) = g ( −3) < g ( 1) D g ( 3) = g ( −3) > g ( 1) Câu 76: Cho y = f ( x ) có đồ thị y = f ′ ( x ) hình vẽ Đặt g ( x ) = f ( x ) + cos x Mệnh đề đúng? π A g ( ) < g ( π ) < g  ÷ 2 π B g  ÷ < g ( ) < g ( π ) 2 π C g  ÷ < g ( π ) < g ( ) 2 π D g ( π ) > g ( ) > g  ÷ 2 D LỜI GIẢI CHI TIẾT b Câu 1: Ta có S = ∫ f ( x ) dx Chọn D a b Câu 2: Ta có S = ∫ f1 ( x ) − f ( x ) dx Chọn A a x = Câu 3: Phương trình hồnh độ giao điểm x = − x ⇔   x = −2 1 + ∫ x dx Chọn C 2 Dựa vào đồ thị hàm số ta có S = ∫ x dx + ∫ ( − x ) dx = x = 3 Câu 4: Phương trình hồnh độ giao điểm x − x = x ⇔ x − 3x = ⇔   x = 3( l ) Do S = ∫( x −1 − x ) dx + ∫ ( 3x − x ) dx Chọn C 2x = − x ⇔ x = Câu 5: Phương trình hồnh độ giao điểm Dựa vào đồ thị hàm số ta có S = ∫ xdx + ∫ ( − x ) dx Chọn B x = Câu 6: Phương trình hồnh độ giao điểm x − x = ⇔  x = 2 Dựa vào đồ thị hàm số ta có S = ∫ ( x − x ) − ∫ ( x − x ) dx Chọn B x = 2 Câu 7: Phương trình hoành độ giao điểm x = − x ⇔   x = −1 Ta có S = ∫ −1 1 −1 x − ( − x ) dx = ∫ − x dx = ∫ ( − x ) dx Chọn B x = Câu 8: Phương trình hồnh độ giao điểm x − x = ⇔  x = Dựa vào đồ thị hàm số ta có S = ∫( x −1 2 − x ) dx − ∫ ( x − x ) dx Chọn B c b a c Câu 9: Dựa vào đồ thị hàm số ta có S = ∫  f ( x ) − g ( x )  dx + ∫  g ( x ) − f ( x )  dx Chọn A Câu 10: Dựa vào đồ thị hàm số ta có S = ∫ −2 f ( x ) dx − ∫ f ( x ) dx Chọn A b b a a Câu 11: Dựa vào đồ thị hàm số ta có S = ∫ f ( x ) dx − ∫ g ( x ) dx Chọn B c b a c Câu 12: Dựa vào đồ thị hàm số ta có S = − ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx Chọn C Câu 13: Ta có diện tích bên trục tung nên S = ∫ f ( x ) dx Chọn B Câu 14: Dựa vào đồ thị hàm số ta có S = −2 ∫ f ( x ) dx − ∫ f ( x ) dx Chọn C b a Câu 15: Dựa vào đồ thị hàm số ta có S D = − ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx Chọn B Câu 16: Dựa vào đồ thị hàm số ta có S = ∫ −2 Câu 17: Dựa vào đồ thị hàm số ta có S = ∫ 2 f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx Chọn B −3 f ( x ) dx − ∫ f ( x ) dx = a − b Chọn B −1 Câu 18: Dựa vào đồ thị hàm số ta có S = − ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx = b − a Chọn D x x Câu 19: Dựa vào đồ thị hàm số ta có S = ∫ ( x + 0,5 − 1) dx + ∫ ( log x − 0,5 − ) dx Chọn D b Câu 20: Dựa vào đồ thị hàm số ta có S = ∫ g ( y ) dy Chọn C a c b a c Câu 21: Dựa vào đồ thị hàm số ta có S = ∫  g ( y ) − f ( y )  dy + ∫  f ( y ) − g ( y )  dy Chọn C b c b c a b a b 6 4 Câu 22: Ta có S = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx = − ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx = − ( −3) + = Chọn C Câu 23: Ta có S = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ g ( x ) dx Chọn B − m ≥3 → x2 − 4x + − m ≥ x2 − 4x + = ( x − 2) ≥ Câu 24: S = ∫ x − x + − m dx   x3  ⇒ S = ∫ ( x − x + − m ) dx =  − x + ( − m ) x ÷ = −3m − Chọn D  0 x = 10  13  x − x = −x ⇔  ⇒ S = x − x ÷dx Câu 25: Xét PT: 13  ∫ x = 3  0  x = 3 10    x−x = x−2 ⇔ ⇒ S = ∫  + x − x ÷dx Lại có x = − 3  1   13 x x   x x3  13 ⇒ S = S1 + S =  − ÷ +  x+ − ÷ = Chọn C 0  1  x =  Câu 26: Xét PT: x − x = x − x ⇔  x = ⇒ S = ∫ x + x − x dx −2  x = −2 = ∫ −2 x3 + x − x dx + ∫ x3 + x − x dx = 0 −2 3 ∫ ( x + x − x ) dx + ∫ − ( x + x − x ) dx  x x3   x x3  37 =  + − x2 ÷ −  + − x2 ÷ = + = Chọn A   −2   12 12 2 x = 3 ⇒ S = ∫ x − x dx = ∫ x − x dx + ∫ x − x dx Câu 27: Xét PT: x − x = x ⇔   x = ±2 −2 −2  x4  x4  2 = ∫ ( x − x ) dx + ∫ ( x − x ) dx =  − x ÷ +  x − ÷ = Chọn D 0   −2  −2 0 3  x = −1 Câu 28: Xét PT: x + x − = x + ⇔  x = 2 ⇒S= ∫ −1  x3 x  x − x − dx = ∫ − ( x − x − ) dx = −  − − x ÷ = Chọn A   −1 −1 2 1  x x3  x = 2 ⇒ S = ∫ x − x dx = ∫ ( x − x ) dx =  − ÷ = Chọn D Câu 29: Xét PT: x = x ⇔  x =  0 0 Câu 30: Ta có S = ∫ x + x dx = −1 ∫ −1 x + x dx + ∫ x + x dx 0  x3   x3  = ∫ − ( x + x ) dx + ∫ ( x + x ) dx = −  + x ÷ +  + x ÷ = Chọn A   −1  0 −1 0 2 x =1 Câu 31: Xét PT: x − x + = −2 x + x − ⇔ x − x + = ⇔  x =  2 4   Chọn A x2 ⇒ S = ∫ 3x − x + dx = ∫ − ( 3x − x + ) dx = −  x − + 4x ÷ =   54 1 x = 3 Câu 32: Xét PT: x − x + = −2 x + x + x + ⇔ x − x = ⇔   x = ±1 ⇒S= ∫ −1 x − x dx = ∫ −1 x − x dx + ∫ x − x dx 0  x4   x4  = ∫ ( x − x ) dx + ∫ − ( x − x ) dx =  − x ÷ −  − x ÷ = Chọn A   −1  0 −1 0 3 x = ⇒ S = ∫ x4 − 4x2 = Câu 33: Xét PT: x − x = x ⇔  x = ± −  2 ∫( x − x ) dx  x5 x3  64 64  → ∫ ( x − x ) dx =  − Chọn A ÷ =− ⇒S = 0 15 15  x = x x Câu 34: Xét PT: ( e + 1) x = ( + e ) x ⇔ ex = xe ⇔  x = 1 ⇒S=∫  ex  e x ( e − e ) dx = ∫ x ( e − e ) dx =  + e x − xe x ÷ = − Chọn A  0 x x 4 0 ( ) x = − x ⇔ x = ⇒ S = ∫ x + x − dx = ∫ − x + x − dx Câu 35: Xét PT:    x2 ÷ x3 22 = − − − 6x ÷ = Chọn D 3  ÷  0 e e x = x ln x = ⇔ ⇒ S = x ln x dx = x ln x dx + Câu 36: Xét PT: x =1 ∫0 ∫0 ∫1 x ln x dx  e = ∫ − x ln xdx + ∫ x ln xdx  → ∫ x ln xdx = 1 2 1 x2 ln xd x = x ln x − x dx = x ln x − +C ( ) 2∫ 2∫ x e 1 x2   x2  e2 + ⇒ S = −  x ln x − ÷ +  x ln x − ÷ = Chọn B 0 2 1 2 x = x = ⇔ ⇒ S = ∫ ( x − 1) e x − ( x − 1) dx Câu 37: Xét PT: ( x − 1) e = x − ⇔  x e = x +  x = 0 x  x x x x3  = ∫ ( x − 1) e − ( x − 1) dx =  xe − e − e − + x ÷ = e − Chọn D 3  0 x 3 k k Câu 38: Xét PT: − x = ⇔ x = ⇒ S = ∫ − x dx = ∫ ( − x ) dx + ∫ ( x − ) dx   x2   x2  k2  =  x − ÷ +  − x ÷ = −  2k − ÷ = 16 ⇒ k = − 31 Chọn D k  2   2  k k Câu 39: Xét PT: ln x = ⇔ x = ⇒ S = ∫ ln x dx = x ln x − ∫ xd ( ln x ) = k ln k − ( k − 1) = ⇒ k = e Chọn B k b b b a a a Câu 40: S1 = ∫ f ( x ) − g ( x ) dx; S = ∫ f ( x ) − − ( g ( x ) − 2) dx = ∫ f ( x ) − g ( x ) dx = S1 Chọn B Câu 41: Diện tích hình phẳng giới hạn đường y = x , y = 0, x = 0, x = a a a 3 x = a 3 S ′ = ∫ xdx = Lại có S( H ) = ( a + 1) a ⇒ S ′ = a Câu 42: S = ∫ S( H ) ⇔ a = ( a + 1) a ⇒ a = Chọn D a a 2x −1 − dx = ∫ dx = 3ln x + 1 = 3ln a + = 3ln ⇒ a = Chọn B x +1 x +1 4 Câu 43: S = ∫ xdx − ∫ ( x − ) dx = 10 Chọn D c b c b a c a c Câu 44: S = ∫ f ( x ) − g ( x ) dx + ∫ f ( x ) − g ( x ) dx = ∫  f ( x ) − g ( x )  dx + ∫  g ( x ) − f ( x )  dx Chọn B Câu 45: Phương trình hồnh độ giao điểm f ( x ) h ( x ) x = Phương trình hoành độ giao điểm g ( x ) h ( x ) 27 ⇔ x =3 x 27 x = ⇔ x =9 x 27 Khi đó, diện tích cần tìm S = ∫ f ( x ) − g ( x ) dx + ∫ h ( x ) − g ( x ) dx = 27 ln Chọn B Câu 46: Diện tích cần tìm S = ∫ x2 x2 1 dx − S ∆ = ∫ dx − 1.1 = Chọn C 4  x=  e Câu 47: Phương trình hồnh độ giao điểm ( C ) d ln x = ⇔  x = e e e 1 e S = + ln x dx + − ln x dx = − + e − + x ln x − x − x ln x − x ( ) ( ) ( ) ( ) ∫ ∫ Diện tích cần tìm 1 e e a = b = 1 = e − + − − = e + −  → Vậy P = a + b + c = + − = Chọn B e e e c = −2 Câu 48: S = ∫ −2 2 −2 f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx = − ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx Chọn C → ( P ) : y = − x2 + 2x Câu 49: Vì parabol qua điểm A ( 0;0 ) , B ( 2;0 ) , I ( 1;1; )  2 0 Do đó, diện tích hình phẳng cần tính S = ∫ f ( x ) dx = ∫ x − x dx = Chọn A → ( P ) : y = x2 − 2x + Câu 50: Vì parabol qua điểm A ( 0;3) , đỉnh I ( 1; )  x = Phương trình hồnh độ giao điểm ( P ) d x − x + = ⇔  x = 2 0 Do đó, diện tích cần tính S = ∫ f ( x ) − g ( x ) dx = ∫ x − x dx = Câu 51: Gọi phương trình đồ thị hàm số y = Chọn A ax + b cx + d   Vì đồ thị qua A ( 0;1) , B  − ;0 ÷ có hai đường tiệm cận x = −1; y =   2x +1 2x +1 Suy y = Do đó, diện tích cần tìm S = ∫ x + dx = − ln Chọn A x +1 − Câu 52: Phương trình hồnh độ giao điểm đồ thị hàm số y = − x đường thẳng y = x là: x ≥ − x2 = x ⇔  ⇔ x =1 2 2 − x = x Ta có: S = ∫ xdx + ∫ − x dx = 1 + 2 ∫ − x dx Xét ∫ − x dx , ta đặt x = sin t I= ∫ π x = sin t − x dx  → ∫ − 2sin td π π π 4 ( ) π 2 sin t = ∫ cos tdt π π  sin 2t  π = ∫ ( + cos 2t ) dt =  t + ÷π = − ⇒ S =  4  π Cách 2: Diện tích cần tìm hình quạt có góc đỉnh 45° ⇒ S = 45° π πR = π.2 = Chọn D 360° x = Câu 53: Phương trình hồnh độ giao điểm x − x = ⇔  x = 2  x3  Diện tích hình phẳng cần tìm là: S = ∫ x − x dx = ∫ ( x − x ) dx =  x − ÷ = 0  0 2 2 Vậy số nguyên lớn không vượt S Chọn B x x Câu 54: Phương trình hoành độ giao điểm đồ thị là: = − x ⇔ f ( x ) = + x = x Do f ′ ( x ) = ln + > ( ∀x ∈ ¡ ) f ( 1) = nên f ( x ) = f ( 1) ⇔ x =  3x x  − ÷ = − Diện tích cần tìm là: S = ∫ + x − dx = ∫ ( − − x ) dx =  x − Chọn D ln  ln  0 1 x x Câu 55: Phương trình hồnh độ giao điểm ax = ( a > 0; x ≥ ) ⇔ x = a 2 4 x = a ⇒ k = Chọn B Diện tích cần tìm là: S = ∫ axdx = a 3 0 2 Câu 56: Ta có: x − x + − ( x + 1) = x − x m Khi S = ∫ m 3x x3 x − x dx → ∫ ( 3x − x ) dx = − m∈( 0;3) m = 3m m3 − Chọn B 0 m m m 2 m< → S = ∫ ( x − x ) dx Câu 57: Diện tích cần tìm là: S = ∫ x − x + − ( − x ) dx = ∫ x − x dx   x3 x  m m3 = − ÷ = − = ⇔ m = −1 Chọn C  m x = 2 Câu 58: Ta có: y ′ = x − 4m x = x ( x − 2m ) = ⇔  2  x = 2m Hàm số có điểm cực trị m ≠ Do a = > ⇒ điểm cực đại đồ thị hàm số ( 0; ) Phương trình đường thẳng phương với trục hồnh qua điểm cực đại d : y =  x2 = x = 2 ⇔ Phương trình hồnh độ giao điểm x − 2m x + = ⇔   x = ±2 m 2   x = 4m 2m  x 4m x    Giả sử m > tính chất đối xứng nên S = ∫  − x + 2m x ÷dx =  − + ÷ 0    2m =− 32m5 32m5 64m5 64 + = = ⇔ m =1 15 15 Tương tự m < ⇒ m = −1 Vậy m ∈ { ±1} Chọn B Câu 59: Dựa vào đồ thị suy y = a ( x + ) ( x − 1) Do đồ thị hàm số qua điểm ( 0; ) ⇒ = 2a ⇒ a = 1 Khi S = ∫ ( x + ) ( x − 1) −2 dx = 27 Chọn B Câu 60: Tọa độ giao điểm đồ thị nghiệm hệ  x2 x = x4 y = = 2mx ⇔ x ( x − 8m3 ) = ⇔  2m ⇒  4m  x = 2m  y = 2mx  2m  2 x2  x3  dx = m x − Khi S = ∫  2mx − ÷  ÷ 2m  6m  3  2m = 8m 4m 4m − = = ⇔ m = Chọn A 3 ln Câu 61: Ta có S1 + S = ∫ e dx = x k Lại có: S1 + S2 = ⇒ S1 = k 5 = ∫ e x dx ⇔ = e x = e k − ⇒ k = ln Chọn C 3 S + S = dx = ln x ∫ Câu 62: Ta có x 2 = ln = ln 2 Do S1 = 3S2 ⇒ S1 + S1 = ln ⇒ S1 = ln k Mặt khác S1 = ∫ x dx = ln x k Câu 63: Do S1 = S2 ⇒ S1 = = ln 2k = 2 S= 3 ln = ln ⇒ 2k = ⇔ k = Chọn A ln ∫ e x dx = ln ∫ e x dx = e x ln =2 k x x k Do S1 = ∫ e dx = e − = ⇔ e = ⇔ k = ln Chọn C ln Câu 64: Ta có S1 + S = ∫ e dx = − e x Do P = S12 + ( − e − S1 ) = S12 − ( − e ) S1 + ( − e ) Khi Pmin ⇔ S1 = −b ( − e ) − e = = 2a 2.2 k x k Lại có: S1 = ∫ e dx = e − e = 6−e e+6 e+6 ⇒ ek = ⇒ k = ln Chọn D 2 ln Câu 65: Ta có S1 + S = ∫ e dx = − e x Do S1 < S − ⇒ S1 < − e − S1 − ⇔ S1 < − k x k Lại có: S1 = ∫ e dx = e − e < − e e e+4 e+4 ⇔ ek < ⇒ < k < ln Chọn D 2 ln Câu 66: Ta có S1 + S = ∫ e dx = x  S12 + S22 =  S = 2; S = 2  → Do S1 + S = ⇒   S1 = 1; S =  S1 + S = e k − =  k = ln ⇔ ⇒ tổng phần tử tập hợp X ln + ln = ln Lại có: S1 = ∫ e dx = e − ⇒  k  k = ln e − = k x k Chọn B Câu 67: Đồ thị hàm số y = x − x + cắt trục hồnh điểm ( 2;0 ) Diện tích phần gạch chéo S = ∫ ( x − ) ( x − 2) dx = 3 = Đường thẳng d qua điểm A ( 0; ) có hệ số góc k suy d : y = kx +  −4  Đường thẳng d cắt Ox điểm C  ;0 ÷( k < ) (Do C có hồnh độ dương)  k  Theo giả thiết tốn ta có: S −4 OC.OA = = ⇔ = ⇒ k = Chọn C 2 k x Câu 68: Ta có S1 + S = ∫ e dx = e − Do S1 > S ⇔ S1 > e − − S1 ⇔ S1 > k x k Lại có: S1 = ∫ e dx = e − > Kết hợp < k < ⇒ ln 2 Đổi cận suy suy 2 ∫ xf ( x ) dx = e −1 e +1 e +1 ⇔ ek > ⇔ k > ln 2 e +1 < k < Chọn B Câu 69: Ta có ∫ g ( x ) dx = e −1 2 ∫ xf ( x ) dx = Đặt t = x 2 ta có: dt = xdx 4 f ( t ) dt = ⇒ ∫ f ( t ) dt = ⇒ I = Chọn C ∫ 21 Câu 70: Đường elip phía ngồi có phương trình Đường elip phía có phương trình x2 y2 + = có diện tích S1 = π25.15 252 152 x2 y2 + = có diện tích S = π23.13 232 132 Diện tích mặt đường S = S1 − S2 Do kinh phí để làm đường là: T = ( S1 − S ) 500, 000 = 119.320.000 đồng Chọn C Câu 71: Gọi O trung điểm MN Chọn hệ trục tọa độ Oxy có trục Ox // BC, Oy // AB Khi đồ thị có dạng y = A sin bx Do AD = ⇒ max y = ⇒ A = Do hàm số tuần hồn với chu kì 2π ⇒ b = ⇒ y = sin x π π Diện tích phần đất trồng hoa là: S = ∫ sin xdx = −2 cos x = Diện tích phần đất cịn lại là: 2π.2 − = ( π − 1) Chọn B Câu 72: Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ  3 5 3 Trong A  − ; ÷; B  ; ÷;C ( 0; )  2 2 2 Giả sử đường cong phía Parabol có dạng y = ax + bx + c với a, b, c ∈ ¡ Do Parabol qua  3 5 3 điểm A  − ; ÷; B  ; ÷; C ( 0; )  2 2 2 nên ta có hệ phương trình:  25 −2   a− 2b+c = a=   25  −2  25 x +2  a + b + c = ⇔ b = ⇒ phương trình parabol là: y = 2 25  c = c =     Diện tích S cửa rào sắt diện tích phần hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = hoành hai đường thẳng x = −5 ;x = 2 5  x3 2 55  −2  x + ÷dx =  − + x ÷ = Ta có: S = ∫    25  25  −5 − 2 Vậy ông An phải trả số tiền để làm cửa sắt T = 700000.S = 6417000 đồng Chọn C Câu 73: Ta có S = S − S1 Trong S1 diện tích hình phẳng giới hạn đường y = 20 − x , y = x , x = −2, x = tơ màu hình bên, S2 diện tích nửa hình trịn có bán kính ⇒S= ( π ) 2 −∫ −2 ( ) 20 − x − x dx Suy S ≈ 19, 476 ( m ) ⇒ Chi phí 100.000 S = 1.948.000 đồng Chọn B −2 x + , trục 25 Câu 74: Ta có h′ ( x ) = f ′ ( x ) − x; h′ ( x ) = ⇔ f ′ ( x ) = x Nhận thấy nghiệm h′ ( x ) = nghiệm f ′ ( x ) = x hoành độ giao điểm hai đồ → x = { −2; 2; 4} thị hàm số y = f ′ ( x ) đường thẳng y = − x  Vẽ đường thẳng y = x chia đồ thị thành phần diện tích hình phẳng 2 −2 −2 Khi S1 = ∫  f ′ ( x ) − x  dx = ∫ h′ ( x ) dx = h ( ) − h ( −2 ) > ⇒ h ( ) > h ( −2 ) 4 2 Và S = ∫  x − f ′ ( x )  dx = − ∫ g ′ ( x ) dx = h ( ) − h ( ) > ⇒ h ( ) > h ( ) Lại có S1 > S ⇔ 2S1 > 2S ⇔ h ( ) − h ( −2 ) > h ( ) − h ( ) ⇔ h ( ) > h ( −2 ) Vậy h ( ) > h ( ) > h ( −2 ) Chọn C Câu 75: Ta có g ′ ( x ) = f ′ ( x ) + ( x + 1) ; g ′ ( x ) = ⇔ f ′ ( x ) = − x − Nhận thấy nghiệm g ′ ( x ) = nghiệm f ′ ( x ) = − x − hoành độ giao điểm hai → x = { −3;1;3} đồ thị hàm số y = f ′ ( x ) đường thẳng y = − x −  Vẽ đường thẳng y = − x chia đồ thị thành phần diện tích hình phẳng 1 −3 −3 Khi S1 = ∫  − ( x + 1) − f ′ ( x )  dx = − ∫ g ′ ( x ) dx = g ( −3) − g ( 1) > ⇒ g ( −3 ) > g ( 1) 3 1 Và S = ∫  f ′ ( x ) − ( − x − 1)  dx = ∫ g ′ ( x ) dx = g ( 3) − g ( 1) > ⇒ g ( 3) > g ( 1) Lại có S1 > S ⇔ 2S1 > 2S ⇔ g ( −3) − g ( 1) > g ( 3) − g ( 1) ⇔ g ( −3 ) > g ( 3) Vậy g ( −3) > g ( 3) > g ( 1) Chọn A Câu 76: Ta có g ′ ( x ) = f ′ ( x ) − sin x; g ′ ( x ) = ⇔ f ′ ( x ) = sin x Nhận thấy nghiệm g ′ ( x ) = nghiệm f ′ ( x ) = sin x hoành độ giao điểm hai  π  → x = 0; ; π  đồ thị hàm số y = f ′ ( x ) đường thẳng y = sin x    Vẽ đường thẳng y = sin x chia đồ thị thành phần diện tích hình phẳng π π Khi S1 = sin x − f ′ ( x )  dx = − g ′ ( x ) dx = g ( ) − g  π ÷ > ⇒ g ( ) > g  π ÷  ∫0  ∫0 2 2 π π 2 π π ′ ′ > ⇒ g ( π ) > g  ÷ Và S = ∫  f ( x ) − sin x  dx = ∫ g ( x ) dx = g ( π ) − g  ÷  2 π π π π Lại có S1 > S ⇔ g ( ) − g  ÷ > g ( π ) − g  ÷ ⇔ g ( ) > g ( π ) 2 2 π Vậy g  ÷ < g ( π ) < g ( ) Chọn B 2 ... = −5; x = Dễ thấy diện tích mảnh đất Bernoulli bao gồm diện tích mảnh đất nhỏ Xét diện tích s mảnh đất nhỏ góc phần tư thứ ta có: y = x 25 − x ; x ∈ [ 0;5] ⇒ s = 125 125 125 x 25 − x dx = ⇒... Câu 26: (Đề thi minh họa – Bộ GD&ĐT 2017) Tính diện tích hình phẳng S giới hạn đồ thị hàm số y = x − x đồ thị hàm số y = x − x A S = 37 12 B S = C S = 81 12 D S = 13 Câu 27: Tính diện tích S hình... tự - Nếu đề không cho đường thẳng giới hạn x = a; x = b ta giải phương trình f ( x ) = g ( x ) (hoặc f ( x ) = trường hợp g ( x ) trục hoành) để tìm cận tích phân 2) Ứng dụng tính diện tích hình