ứng dụng tích phân từ 5 đến 10 điểm

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Chuyên đề 27 ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH TRUNG BÌNH MỨC 5-6 ĐIỂM Dạng Ứng dụng tích phân để tìm diện tích (C1 ) : y = f ( x )  (C2 ) : y = g ( x)  x = a, x = b ( a < b)  b S = ∫ f ( x) − g ( x ) dx a  Hình phẳng ( H ) giới hạn diện tích (C1 ) : y = f ( x )  b (C2 ) : Ox : y = S = ∫ f ( x) dx  x = a, x = b ( a < b ) ( H ) a  Hình phẳng giới hạn diện tích Selip = π ab x2 y (E) : + = a b  Hình thức đề thường hay cho Hình thức 1: Khơng cho hình vẽ, cho dạng ( H ) :{ y = f ( x), y = g ( x), x = a, x = b ( a < b)} b casio  → ∫ f ( x ) − g ( x) dx = kết quả, so sánh với bốn đáp án Hình thức 2: Khơng cho hình vẽ, cho dạng ( H ) :{ y = f ( x), y = g ( x)} a xi  → ∫ f ( x) − g ( x ) dx x , , x , x x f ( x ) = g ( x ) x1 i với nhỏ nhất, i lớn Giải tìm nghiệm Hình thức 3: Cho hình vẽ, giải phương trình tìm tọa độ giao điểm (nếu chưa cho hình), chia diện tích nhỏ, xổ hình từ xuống, ghi cơng thức bấm máy tính Hình thức 4: Cho ba hàm trở lên, chẳng hạn y = f ( x), y = g ( x), y = h( x) ta nên vẽ hình casio Câu (THPT Lê Xoay Vĩnh Phúc 2019) Cho hàm số y = f ( x) Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số x = a, x = b tính theo cơng thức b A Câu S = ∫ f ( x ) dx a b B S = ∫ f ( x ) dx a xác định liên tục đoạn y = f ( x) , trục hoành hai đường thẳng b C S = − ∫ f ( x ) dx a [ a; b ] a D S = ∫ f ( x ) dx b (Đề Minh Họa 2020 Lần 1) Diện tích hình phẳng gạch chéo hình bên Trang ( −2 x A ∫ 2 −1 ∫ ( −2 x C Câu −1 + x + ) dx − x + ) dx D S = π ∫ ( x + 1) dx C Câu Câu Câu −1 + x − ) dx S = ∫ ( x + 1) dx B S = ∫ ( x − 1) dx D S = ∫ ( x + 1) dx (Mã 101 - 2020 Lần 1) Diện tích hình phẳng giới hạn hai đường y = x − y = x − 4π A 36 B C D 36π (Mã 102 - 2020 Lần 1) Diện tích hình phẳng giới hạn hai đường y = x − y = x − π 13 13π A B C D (Mã 104 - 2020 Lần 1) Diện tích hình phẳng giới hạn hai đường y = x − y = x − 125π 125 π A B C D (Mã 103 - 2020 Lần 1) Diện tích hình phẳng giới hạn hai đường y = x − y = 3x − 9π 125 125π A B C D x (Mã 102 2018) Gọi S diện tích hình phẳng giới hạn đường y = , y = , x = , x = Mệnh đề đúng? A Trang ∫ ( 2x − x − ) dx (Đề Tham Khảo 2020 Lần 2) Diện tích S hình phẳng giới hạn đường y = x , y = −1 , x = x = tính cơng thức sau đây? A Câu −1 Câu ( 2x B ∫ S = π ∫ x dx B S = ∫ x dx C S = π ∫ 2 x dx D S = ∫ 22 x dx TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Câu x (Mã 101 2018) Gọi S diện tích hình phẳng giới hạn đường y = e , y = , x = , x = Mệnh đề đúng? A Câu 10 S = ∫ e x dx S = π ∫ e x dx B 0 y = f ( x) (Mã 102 - 2019) Cho hàm số đường y = f ( x ) , y = 0, x = −1 C S = π ∫ e x dx D S = π ∫ e x dx liên tục ¡ Gọi S diện tích hình phẳng giới hạn x = (như hình vẽ bên) Mệnh đề sau đúng? A −1 S= C Câu 11 S = − ∫ f ( x)dx − ∫ f ( x )dx 1 −1 ∫ f ( x)dx − ∫ f ( x)dx S= A B D f ( x) ∫ −1 C −1 1 −1 1 B S = − ∫ f ( x ) dx − ∫ f ( x ) dx −1 S= S = − ∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx S = − ∫ f ( x ) dx+ ∫ f ( x ) dx ∫ −1 (như hình vẽ bên) Mệnh đề đúng? f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx f ( x)dx + ∫ f ( x)dx liên tục ¡ Gọi S diện tích hình phẳng giới hạn y = f ( x ) , y = 0, x = −1, x = D 1 −1 ∫ f ( x ) dx − ∫ f ( x ) dx (Đề Minh Họa 2017) Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = x − x đồ thị hàm số y = x − x 37 A 12 Câu 13 (Mã 103 - 2019) Cho hàm số đường Câu 12 S= B 81 C 12 (Đề Tham Khảo 2017) Gọi S diện tích hình phẳng D 13 ( H ) giới hạn đường y = f ( x) , trục Trang hoành hai đường thẳng x = −1 , x = Đặt đúng? A S = b − a Câu 14 B S = b + a A , b = ∫ f ( x ) dx C S = −b + a , mệnh đề sau D S = −b − a C ∫ ( −2 x + ) dx B −1 ∫ ( −2 x −1 + x + ) dx ∫ ( x − ) dx −1 D ∫ ( 2x S= A −1 (Mã 101 - 2019) Cho hàm số đường Trang ∫ f ( x ) dx −1 (Đề Tham Khảo 2019) Diện tích phần hình phẳng gạch chéo hình vẽ bên tính theo cơng thức đây? Câu 15 a= f ( x) y = f ( x ) , y = 0, x = −1 −1 ∫ f ( x ) dx − ∫ f ( x ) dx − x − ) dx liên tục ¡ Gọi S diện tích hình phẳng giới hạn x = (như hình vẽ bên) Mệnh đề đúng? S= B −1 ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 C Câu 16 −1 S = − ∫ f ( x ) dx − ∫ f ( x ) dx (Mã 104 - 2019) Cho hàm số đường C Câu 17 D f ( x) −1 S = − ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx liên tục ¡ Gọi S diện tích hình phẳng giới hạn cá y = f ( x ) , y = 0, x = −2 x = (như hình vẽ) Mệnh đề đúng? A S = − ∫ f ( x ) dx − ∫ f ( x ) dx −2 1 −2 S= B S = − ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx ∫ −2 S= D f ( x ) dx − ∫ f ( x ) dx 1 −2 ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx (Chun KHTN 2019) Diện tích phần hình phẳng gạch chéo hình vẽ bên tính theo cơng thức đây? A ∫ ( 2x −1 − x − ) dx C ∫ ( −2 x −1 2 B + x + ) dx ∫ ( 2x −1 + x − ) dx D ∫ ( −2 x −1 − x + ) dx y = f ( x) Câu 18 Gọi S diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số , trục hoành, đường thẳng x = a, x = b (như hình vẽ bên) Hỏi cách tính S đúng? b A S = ∫ f ( x ) dx a S= B c b a c ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx Trang C Câu 19 c b a c S = − ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx D b a c (THPT Đoàn Thượng - Hải Dương 2019) Gọi S diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số: y = x − 3x , y = x Tính S A S = B S = Câu 20 c S = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx C S = D S = (Chuyên Hùng Vương Gia Lai 2019) Gọi S diện tích hình phẳng giới hạn đường y = 3x , y = , x = , x = Mệnh đề đúng? A Câu 21 S = ∫ 3x dx B S = π ∫ 32 x dx S = π ∫ 3x dx C y = f ( x) (THPT Đơng Sơn Thanh Hóa 2019) Cho hàm số D S = ∫ 32 x dx liên tục đoạn [ a; b ] Gọi D ( C ) : y = f ( x ) , trục hoành, hai đường thẳng x = a , x = b diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị (như hình vẽ đây) Giả sử S D diện tích hình phẳng D phương án A, B, C, D cho đây? A C b S D = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx a 0 b a S D = ∫ f ( x ) dx − ∫ f ( x ) dx B D b a 0 b a S D = − ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx S D = − ∫ f ( x ) dx − ∫ f ( x ) dx y = ( x − 2) −1 Câu 22 Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số x = 1, x = A Câu 23 B C D [ a ; b ] Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị Cho hai hàm số f ( x ) g ( x) liên tục hàm số y = f ( x) , y = g ( x ) đường thẳng x = a , x = b b b A Trang , trục hoành hai đường thẳng ∫ [ f ( x ) − g ( x)] dx a B ∫ a b f ( x ) + g ( x ) dx C ∫ a b f ( x ) − g ( x ) dx D ∫ [ f ( x) − g ( x) ] dx a TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Câu 24 (KTNL GV Bắc Giang 2019) Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = x − x trục Ox 34 B A 11 31 C 32 D Câu 25 (Chuyên Nguyễn Tất Thành Yên Bái 2019) Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị y = f ( x) a < b) hàm số , trục hoành hai đường thẳng x = a , x = b ( (phần tơ đậm hình vẽ) tính theo công thức ? A C Câu 26 c b a c S = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx c b a c b S = − ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx B S = ∫ f ( x ) dx a b S= D ∫ f ( x ) dx a (Việt Đức Hà Nội 2019) Tính diện tích S hình phẳng giới hạn đường y = x + 1, x = −1, x = trục hoành A S = Câu 27 B S = 16 13 D S = 13 (THPT An Lão Hải Phịng 2019) Gọi S diện tích hình phẳng giới hạn đường y = x + , y = x , x = , x = Tính S A B Câu 28 C S= C D (THPT An Lão Hải Phòng 2019) Gọi diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số −3 x − x − hai trục tọa độ S Tính S ? 4 S = − ln S = ln S = ln − 3 A B C ( C) : y = Câu 29 Diện tích hình phẳng giới hạn y = x ; y = 0; x = 1; x = A B C Câu 30 S = ln − D D (THPT Lê Xoay Vĩnh Phúc 2019) Gọi S diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số x −1 x + trục tọa độ Khi giá trị S A ln − B ln + C ln − ( H):y = D ln + Trang Câu 31 (Toán Học Tuổi Trẻ 2019) Gọi S diện tích hình phẳng giới hạn đường y = , x = , x = e Mệnh đề đúng? e A Câu 32 ln x S = π ò dx x e B ln x S = ò dx x e C ỉ ln x ÷ dx S = ũỗ ỗ ữ ữ ỗ ố ứ x e D y= ln x x2 , ỉ ln x ÷ dx S = π ũỗ ỗ ữ ữ ỗ ố ứ x (Chuyen Phan Bội Châu Nghệ An 2019) Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = − x + x + , y = x − x + A Câu 33 B C D 10 (THPT Yên Phong Bắc Ninh 2019) Tính diện tích hình phẳng giới hạn hai đồ thị y = x2 + 2x , y = x + A Câu 34 B (Chuyên Hạ Long 2019) Hình phẳng C ( H) ( H) Tính diện tích hình phẳng A (đvdt) B (đvdt) Câu 35 Câu 37 B e + C (đvdt) y = ln x, y = đường thẳng x = D e − C 2e (THPT Lê Quý Đôn Đà Nẵng 2019) Tính diện tích phần hình phẳng gạch chéo (tam giác cong OAB ) hình vẽ bên 5π B C 15 8π D 15 (KTNL GV Thuận Thành Bắc Ninh 2019) Tính diện tích S hình phẳng giới hạn đường y = x − x , y = , x = −10 , x = 10 2000 S= A B S = 2008 Trang D (đvdt) Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = x − x đường thẳng y = x 20 16 A B C D A Câu 38 giới hạn đường y = x , y = 3x − (THPT Gang Thép Thái Ngun 2019) Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số A e Câu 36 11 D C S = 2000 D S= 2008 TÀI LIỆU ƠN THI THPTQG 2021 Câu 39 (THPT Ngơ Sĩ Liên Bắc Giang 2019) Gọi S diện tích hình phẳng giới hạn đường y = f ( x) , trục hoành hai đường thẳng x = −3 , x = (như hình vẽ bên) Đặt a= ∫ f ( x ) dx −3 , b = ∫ f ( x ) dx Mệnh đề sau A S = a + b Câu 40 B S = a − b B 3 C 23 D 15 (Chuyên Phan Bội Châu 2019) Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = − x + x + , y = x − x + A B Câu 42 D S = b − a (Chuyên Bắc Giang 2019) Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = x đường thẳng y = x : A Câu 41 C S = −a − b D 10 C (Hsg Bắc Ninh 2019) Gọi S diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số trục tọa độ Khi giá trị S A S = + ln B S = ln − C S = ln + y= x −1 x + D S = ln − Câu 43 Diện tích hình phẳng giới hạn hai đồ thị hàm số y = x , y = x − x + trục Ox (tham khảo hình vẽ) tính theo cơng thức đây? A ∫ x − ( x − x + ) dx ∫ x dx − ∫ ( x C − x + ) dx B − ∫ x 3dx + ∫ ( x − x + ) dx ∫ x dx + ∫ ( x D − x + ) dx Trang Dạng Ứng dụng tích phân để tìm thể tích  Thể tích vật thể Gọi B phần vật thể giới hạn hai mặt phẳng vng góc với trục Ox điểm a b, S ( x) diện tích thiết diện vật thể bị cắt mặt phẳng vng góc với trục Ox điểm x, (a ≤ x ≤ b) Giả sử S ( x) hàm số liên tục đoạn [a; b] Khi đó, thể tích vật thể B b xác định: V = ∫ S ( x) dx a  Thể tích khối trịn xoay a) Thể tích khối trịn xoay sinh quay hình phẳng giới hạn đường y = f ( x), trục hoành hai đường thẳng x = a, x = b quanh trục Ox : Trang 10 hồ bơi khơng có nước Hỏi sau bơm số nước độ sâu hồ bơi (làm tròn đến giây)? A 36 giây B 34 giây C 35 giây D 36 giây Lời giải Gọi x thời điểm bơm số nước độ sâu bể ( x tính giây ) x x 3 t + 3d t = 210 ⇒ t + = 105000 ( ) ∫0 500 ⇒ ( x + 3) x + − 3 = 140000 Ta có: ⇒ ( x + 3) = 3 + 140000 ⇒ x + = (3 3 + 140000 ) ⇒x= (3 3 + 140000 ) −3 ⇒ x ≈ 7234,8256 Câu 31 (THPT Ngô Quyền - Quảng Ninh 2018) Một bác thợ xây bơm nước vào bể chứa nước Gọi h( t) h′ t = 6at + 2bt thể tích nước bơm sau t giây Cho ( ) ban đầu bể khơng có nước 3 Sau giây thể tích nước bể 90m , sau giây thể tích nước bể 504m Tính thể tích nước bể sau bơm giây 3 B 600m A 1458m ∫ ( 6at ∫ ( 6at + 2bt ) dt = 90 2at ⇔( + 2bt ) dt = 504 2at ⇔( C 2200m Lời giải + bt ) = 90 D 4200m 3 ⇔ 54a + 9b = 90 (1) + bt ) = 504 ⇔ 432a + 36b = 504 (2)  a =  b = Từ (1), (2) ⇒ Sau bơm giây thể tích nước bể là: V = ∫( Câu 32 ) phần giao hai khối hình trụ có bán kính a , hai trục hình trụ vng góc với hình vẽ sau Tính thể tích khối ( H) (Chuyên Nguyễn Trãi - Hải Dương - Lần - 2020) Gọi ( H) Trang 182 4  4t + 12t dt  t + 6t ÷ = 1458 ( m3 ) 0 = TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 A V( H ) = a B V( H ) = 3a V( H ) = C Lời giải 2a D V( H ) = π a3 Chọn C ( Oyz ) cắt trục Ox x : thiết • Đặt hệ toạ độ Oxyz hình vẽ, xét mặt cắt song song với mp 2 ( ≤ x ≤ a) diện mặt cắt ln hình vng có cạnh a − x 2 S ( x) = a − x • Do thiết diện mặt cắt có diện tích: a  x3  V( H ) = ∫ S ( x ) dx = ∫ ( a − x ) dx =  a x − ÷ = 2a 0  0 • Vậy Dạng Ứng dụng tích phân để giải số toán đại số a a Câu Cho hàm số đoạn y = f ( x) [ 0;5] có đạo hàm f ′( x) liên tục đoạn [ 0;5] đồ thị hàm số y = f ′( x) cho hình bên Tìm mệnh đề f = f ( 5) < f ( 3) f < f ( 0) = f ( 5) A ( ) B ( ) f < f ( ) < f ( 5) f < f ( 5) < f ( ) C ( ) D ( ) Lời giải Ta có ∫ f ′ ( x ) dx = f ( 5) − f ( 3) > , f ( ) > f ( 3) ∫ f ′ ( x ) dx = f ( 3) − f ( 0) < 0 , f ( 3) < f ( ) , f ( 5) < f ( ) ∫ f ′ ( x ) dx = f ( 5) − f ( 0) < 0 Trang 183 Câu (Mã 110 B 2017) Cho hàm số g ( x ) = f ( x ) − ( x + 1) A C y = f ( x) Đồ thị hàm số Mệnh đề đúng? g ( 1) > g ( −3) > g ( 3) g ( 3) > g ( −3) > g ( 1) B D g ( 1) > g ( 3) > g ( −3) g ( −3) > g ( 3) > g ( 1) Lời giải Chọn B Ta có g ′ ( x ) = f ′ ( x ) − ( x + 1) x = g′ ( x ) = ⇔ f ′ ( x) = x + ⇔   x = ±3 Bảng biến thiên Suy Trang 184 g ( −3) < g ( 1) g ( 3) < g ( 1) (1) y = f ′( x) hình bên Đặt TÀI LIỆU ƠN THI THPTQG 2021 Gọi S1 diện tích hình phẳng giới hạn đường: y = f '( x), y = x + 1, x = −3, x = diện tích hình phẳng giới hạn đường: y = x + 1, y = f '( x), x = 1, x = S > S2 > Dựa vào hình vẽ, ta thấy: S −S >0 Suy ra: Gọi ⇒ ⇒ S2 −3 1 −3 ∫  f ′ ( x ) − ( x + 1)  dx − ∫ ( x + 1) − f ′ ( x )  dx > ∫  f ′ ( x ) − ( x + 1)  dx + ∫  f ′ ( x ) − ( x + 1)  dx > ⇒ ∫  f ′ ( x ) − ( x + 1)  dx > −3 Khi đó: g ( 3) − g ( −3) = Từ (1) (2) suy ra: Câu 3 −3 −3 ∫ g ′ ( x ) dx = ∫  f ′ ( x ) − ( x + 1)  dx > g ( 1) > g ( 3) > g ( −3) (Mã 105 2017) Cho hàm số g( x) = f ( x) + x2 A C (2) y = f (x) Đồ thị y = f ′(x) hàm số hình bên Đặt Mệnh đề đúng? g( 3) < g( −3) < g( 1) B g( −3) < g( 3) < g( −1) g( 1) < g( −3) < g( 3) g( 1) < g( 3) < g( −3) D Lời giải Trang 185 Chọn D g′ ( x) = f ′ ( x) + 2x ⇒ g′ ( x) = ⇒ x ∈ { −3;1;3} Ta có y = f ′ ( x) g( x) Từ đồ thị ta có bảng biến thiên hàm Suy g( 3) > g( 1) Kết hợp với BBT ta có: ∫ ( − g′ ( x) ) dx > ∫ g′ ( x) dx ⇔ ∫ −3 −3 g′ ( x) dx > ∫ g′ ( x) dx ⇔ g( −3) − g( 1) > g( 3) − g( 1) ⇔ g( −3) > g( 3) Vậy ta có Câu g( −3) > g( 3) > g( 1) (Mã123 2017) Cho hàm số h( x) = f ( x) − x2 A C y = f ( x) Đồ thị hàm số Mệnh đề đúng? h( 4) = h( −2) < h( 2) h( 4) = h( −2) > h( 2) B D h( 2) > h( −2) > h( 4) h( 2) > h( 4) > h( −2) Lời giải Chọn D h'( x) = 2 f ' ( x) − x ; h'( x) = ⇒ x ∈ { −2;2;4} Ta có Bảng biến thiên Trang 186 y = f '( x) hình vẽ Đặt TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Suy h( 2) > h( 4) Kết hợp với đồ thị hàm số y=x ta có ∫ −2 h′ ( x) dx > ⇔ h( 4) − h( −2) > ⇔ h( 4) > h( −2) Vậy ta có Câu h( 2) > h( 4) > h( −2) y = f ( x) y = f ′( x) (Sở Bắc Ninh - 2020) Cho hàm số có đồ thị cắt trục Ox ba điểm có hồnh độ a < b < c hình vẽ Mệnh đề đúng? A C f ( b) > f ( a) > f ( c) f ( c) > f ( a) > f ( b) B Ta có bảng biến thiên hàm số f ( c) > f ( b) > f ( a) D Lời giải Chọn A f ( a) > f ( b) > f ( c) y = f ( x) Trang 187 b b c c S1 = ∫ f ′ ( x ) dx = ∫ f ′ ( x ) dx = f ( b ) − f ( a ) S = ∫ f ′ ( x ) dx = − ∫ f ′ ( x ) dx = f ( b ) − f ( c ) a a b b Ta có ,  S1 < S ⇔ f ( b ) − f ( a ) < f ( b ) − f ( c ) ⇔ f ( c ) < f ( a ) b ⇒ f ( c) < f ( a) < f ( b)   ∫ f ′ ( x ) dx > ⇔ f ( b ) > f ( a ) Vì  a Câu (Chuyên Thái Bình - Lần - 2020) Cho hàm số y = f ′( x) y = f ( x) hàm đa thức bậc bốn, có đồ thị hình vẽ f x =0 Phương trình ( ) có nghiệm thực phân biệt f < < f ( m) f >0 A ( ) B ( ) f m < < f ( n) f < < f ( n) C ( ) D ( ) Lời giải Chọn A x = f ′ ( x ) = ⇔  x = m  x = n Xét Bảng biến thiên: y = f ′ ( x ) Ox; x = m; Oy Gọi S1 diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị ; y = f ′ ( x ) ; Oy; x = n Gọi S2 diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị Từ hình vẽ ta thấy S > S1 n ⇔ ∫ f ′ ( x ) dx > ∫ f ′ ( x ) dx m n 0 m ⇔ ∫ f ′ ( x ) dx > ∫ − f ′ ( x ) dx ⇔ f ( n ) − f ( ) > −  f ( ) − f ( m )  Trang 188 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 ⇔ f ( n) > f ( m) f ( n) > f ( m) Từ bảng biến thiên kết hơp với điều kiện nghiệm thực phân biệt Câu ⇔ f ( 0) < < f ( m) ta thấy để phương trình f ( x) = có y = f ( x) f ′( x) Cho hàm số liên tục ¡ có đồ thị hàm số hình bên Mệnh đề sau đúng? A C f ( ) > f ( ) > f ( −1) f ( ) > f ( ) > f ( −1) B f ( ) > f ( −1) > f ( ) f ( −1) > f ( ) > f ( ) D Lời giải Theo đồ thị, ta có: f ( ) − f ( −1) = ∫ f ′ ( x ) dx > −1 ⇒ f ( ) > f ( −1) ( 1) f ( ) − f ( −1) = ∫ , f ′ ( x ) dx = −1 ⇒ f ( −1) > f ( ) Từ Câu ( 1) ∫ −1 f ′ ( x ) dx + ∫ f ′ ( x ) dx < 0 ( 2) ( ) ⇒ f ( ) > f ( −1) > f ( ) (Phú Thọ -2019) Cho hàm số f ( x) Đồ thị hàm số y = f ′( x) [ −3; 2] hình vẽ (phần cong đồ thị phần parabol y = ax + bx + c ) Biết f ( −3) = 0, giá trị f ( −1) + f ( 1) Trang 189 23 A 31 B 35 C Lời giải D Chọn B I ( −2;1) ( −3; ) nên ta có Parabol y = ax + bx + c có đỉnh qua điểm  b  − 2a = −2  a = −1    4a − 2b + c = ⇔ b = −4 ⇒ y = − x − x − 9a − 3b + c =  c = −3   Do f ( −3) = nên f ( −1) + f ( 1) =  f ( 1) − f ( )  +  f ( ) − f ( −1)  +  f ( −1) − f ( −3 )  −1 −1 31 = ∫ f ′( x)dx + ∫ f ′( x)dx + ∫ ( − x − x − ) dx = S1 + S + ∫ ( − x − x − 3) dx = + + = −1 −3 −3 y = f ′( x) , Với S1 , S2 diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số trục Ox hai đường thẳng x = −1, x = x = 0, x = Dễ thấy Câu (THPT Lương Văn Can - 2018) Cho hàm số vẽ Đặt g ( x ) = f ( x ) − ( x − 1) Đồ thị hàm số B g ( −1) < g ( ) < g ( 3) Ta có bảng biến thiên g < g ( ) < g ( −1) D ( ) Lời giải g ′ ( x ) =  f ′ ( x ) − ( x − 1)  g ′ ( x ) = ⇔ f ′ ( x ) = x − ; Dựa vào đồ thị ta có nghiệm sau: Trang 190 y = f ( x) Mệnh đề đúng? g −1 < g ( 3) < g ( ) A ( ) g < g ( −1) < g ( 3) C ( ) Ta có S1 = 1; S2 =  x = −1 x =   x = y = f ′( x) hình TÀI LIỆU ƠN THI THPTQG 2021 Ngoài dựa vào đồ thị ta có 1 g ′ ( x ) dx > − ∫ g ′ ( x ) dx ∫ ⇔ g ( x ) −1 > − g ( x ) −1 23 ⇔ g ( 3) − g ( −1) > g ( 3) − g ( ) ⇔ g ( 5) > g ( −1) Vậy Câu 10 g ( 3) > g ( ) > g ( −1) ( C ) Biết đồ thị ( C ) C H = 51 D H = 58 y = f ′ ( x ) = a′x + b′x + c′ có đồ qua gốc tọa độ đồ thị hàm số y = f '( x) cho hình vẽ Lời giải y = f ( x ) = ax + bx + cx + d ( a, b, c, d ∈ ¡ , a ≠ ) dạng y = f ( x) = ax + bx + cx + d ( a, b, c, d ∈ ¡ , a ≠ ) bên Tính giá trị H = f (4) − f (2) ? A H = 45 B H = 64 Theo (THPT Hậu Lộc - 2018) Cho hàm số thị y = f ′( x) hàm bậc hai có  c′ =  a′ =    a′ − b′ + c′ = ⇔ b′ =  a′ + b′ + c′ =  c′ = ⇒ y = f ′ ( x ) = x +  Dựa vào đồ thị ta có:  y = f ′( x) Gọi S diện tích phần hình phẳng giới hạn đường , trục Ox , x = 4, x = Ta có S = ∫ ( 3x + 1) dx = 58 Lại có: 4 2 S = ∫ f ′ ( x ) dx = f ( x ) = f ( ) − f ( ) Trang 191 Do đó: Câu 11 H = f ( ) − f ( ) = 58 (Thanh Hóa - 2018) Cho hàm số y = f ( x) Đồ thị hàm số y = f ′( x) hình vẽ bên Đặt M = max f ( x ) m = f ( x ) [ −2;6] [ −2;6] , , T = M + m Mệnh đề đúng? A T = f ( ) + f ( −2 ) C T = f ( 5) + f ( ) B D T = f ( ) + f ( −2 ) T = f ( 0) + f ( 2) Lời giải y = f ′( x) Gọi S1 , S2 , S3 , S4 diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số với trục hoành Quan sát hình vẽ, ta có ∫ f ′ ( x ) dx > ∫ − f ′ ( x ) dx ⇔ f ( x) > f ( x)  ⇔ f ( ) − f ( −2 ) > f ( ) − f ( ) ⇔ f ( −2 ) < f ( ) −2 −2 ∫ − f ′ ( x ) dx < ∫ f ′ ( x ) dx ⇔ f ( x) < f ( x) ⇔ f ( x) > f ( x)  ⇔ f ( ) − f ( ) < f ( ) − f ( ) ⇔ f ( ) < f ( 5) ∫ f ′ ( x ) dx > ∫ − f ′ ( x ) dx  ⇔ f ( 5) − f ( ) > f ( 5) − f ( ) ⇔ f ( ) < f ( ) Ta có bảng biến thiên Trang 192 TÀI LIỆU ƠN THI THPTQG 2021 Dựa vào bảng biến thiên ta có T = f ( ) + f ( −2 ) Khi Câu 12 M = max f ( x ) = f ( ) [ −2;6] m = f ( x ) = f ( −2 ) [ −2;6] ¢ (THPT Thăng Long 2019) Cho hàm số f ( x ) = ax + bx + cx + dx + e Hàm số y = f ( x) có đồ thị hình vẽ Trong khẳng định sau, khẳng định đúng? A a + c > C a + c < b + d B a + b + c + d < D b + d - c > Lời giải Chọn A ¢ Theo đồ thị ta có f (0) = Û d = hệ số a < Xét ị f ¢( x)dx = f ( x) - =- a + b - c + d , mà - ò f ¢( x)dx < - Hay a + c > b + d Do ta loại C Thay d = ta có a > b - c , a < nên b - c < Loại nên ta có - a + b - c + d < (1) D 1 ị f ¢( x)dx = f ( x) = a +b + c + d ò f ¢( x)dx > Xét , mà nên ta có a + b + c + d > (2) Do ta loại B a b - c - d < cộng vế với (1) ta có a + c > Từ (2) ta có Câu 13 Cho hàm số y = f ( x) có đồ thị gồm phần đường thẳng phần parabol có đỉnh gốc tọa độ O hình vẽ Giá trị ∫ −3 f ( x ) dx Trang 193 26 A 38 B 28 D C Lời giải Chọn D Ta có, phương trình đường thẳng có dạng y = ax + b Từ hình vẽ, ta thấy đường thẳng qua hai điểm A ( −2;0 ) , B ( −1;1)  −2 a + b = a = ⇔ ⇒ y = x+2  − a + b = b =   Suy ra, ta có hệ phương trình Ta có, phương trình parabol có dạng y = ax , a ≠ Từ hình vẽ, ta thấy parabol qua điểm Do đó, hàm số ∫ Vậy, −3 Câu 14  x + 2, x ≤ −1 y = f ( x) =   x , x ≥ −1 f ( x ) dx = ∫ −1 −3 ( x + ) dx + ∫−1 x dx ( x + 2) = 2 −1 −3 x3 + 3 = −1 1 28 − +9+ = 2 3 y = f ( x) y = f ( x) Cho hàm số có đạo hàm đến cấp ¡ Biết hàm số đạt cực tiểu x =- , có đồ thị hình vẽ đường thẳng D tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm x = Tính Trang 194 B ( −1;1) ⇒ y = x ị f ¢¢( x 2) d x TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 A B C D Lời giải Chọn C ( 0; - 3) ( 1;0) nên D : y = 3x - suy hệ số góc Dễ thấy đường thẳng D qua điểm ¢ D k = Þ f ( 2) = y = f ( x) f ¢( - 1) = Hàm số đạt cực tiểu x =- suy Vậy Câu 15 ò f ¢¢( x - 2) dx = f ¢( x - 2) = f ¢( 2) - f ¢( - 1) = - = (SGD Hưng Yên 2019) Cho hàm số vẽ Giá trị biểu thức A − y = f ( x) 0 có đạo hàm liên tục ¡ có đồ thị hình I = ∫ f ' ( x − ) dx + ∫ f ' ( x + ) dx B C Lời giải D 10 Chọn C Xét 4 0 0 I = ∫ f ' ( x − ) dx + ∫ f ' ( x + ) dx = ∫ f ' ( x − ) d ( x − ) + ∫ f ' ( x + ) d ( x + ) = f ( x − ) + f ( x + ) =  f ( ) − f ( −2 )  +  f ( ) − f ( )  = f ( ) − f ( −2 ) = − ( −2 ) = 0 Câu 16 Cho hàm số f ( x) liên tục có đồ thị hình bên Trang 195 −1 F ′ ( x ) = f ( x ) , ∀x ∈ [ −5; 2] Biết −145 −89 A B ∫ f ( x ) dx = −3 14 Tính 145 C F ( ) − F ( −5 ) 89 D Lời giải Chọn C Dựa vào đồ thị ta nhận thấy, đồ thị hàm số f ( x) liên tục xác định đoạn [ −5; 2] xây  f1 ( x ) − ≤ x < −3  f ( x ) =  f ( x ) − ≤ x ≤ −1   f ( x ) − < x ≤ Trong đó: dựng ba hàm số f1 ( x ) ( −5;5) đường thẳng qua hai điểm f1 ( x ) = ( −3; ) −x + có phương trình: f2 ( x ) ( −3; ) đến điểm ( −1; ) có đồ thị đường cong nối từ điểm f3 ( x ) ( −1; ) ( 0;3) có phương trình f3 ( x ) = x + đường thẳng qua hai điểm F ( ) − F ( −5 ) = −3 −1 ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx Vậy: −3 −1 −x + =∫ dx + ∫ f ( x ) dx + ∫ ( x + ) dx = + 14 + 21 = 145 −5 −3 −1 = −5 Trang 196 −5 −3 −1 ... + x ÷ = π  15 3 0 Chuyên đề 27 ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH KHÁ MỨC 7-8 ĐIỂM Trang 40 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Dạng Ứng dụng tích phân để tìm diện tích (C1 )... thể tích vật thể tạo nên quay quanh trục Ox hình ( P ) : y = x − x trục Ox bằng: phẳng D giới hạn đồ thị 19π 13π 17π V= V= V= 15 15 15 A B C D V= 16π 15 Trang 15 Chuyên đề 27 ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN... (Mã 104 - 2020 Lần 1) Diện tích hình phẳng giới hạn hai đường y = x − y = x − 1 25? ? 1 25 π A B C D (Mã 103 - 2020 Lần 1) Diện tích hình phẳng giới hạn hai đường y = x − y = 3x − 9π 1 25 1 25? ?