thể tích khối chóp từ 5 đến 10 điểm

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Chuyên đề 10 THỂ TÍCH KHỐI CHĨP DẠNG CÂU HỎI DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH TRUNG BÌNH MỨC 5-6 ĐIỂM PHƯƠNG PHÁP CHUNG THỂ TÍCH KHỐI CHĨP – KHỐI LĂNG TRỤ A¢ B¢ C ¢ S C B A 1 Vchãp = ìS áy chiều cao = ìS áy d( ỉ nh; mặ t phẳ ng đáy) 3 Th tớch chúp Vlăng trụ = S áy chiều cao Thể tích khối lăng trụ g Thể tích khối lập phương V = a g Thể tích khối hộp chữ nhật V = abc a c b a Tỉ số thể tích g Cho khối chóp S.ABC , đoạn thẳng SA, SB, SC VS A ¢B ¢C ¢ = SA ¢ SB ¢ SC ¢ × × × SA SB SC V lấy điểm A ¢, B ¢, C ¢khác S Khi ta ln có tỉ số thể tích: S.ABC g Ngồi cách tính thể tích trên, ta cịn phương pháp chia nhỏ khối đa diện thành đa diện nhỏ mà dễ dàng tính tốn Sau cộng lại g Ta thường dùng tỉ số thể tích điểm chia đoạn theo tỉ lệ Tính chất hình chóp g Đáy đa giác (hình chóp tam giác có đáy tam giác đều, hình chóp tứ giác có đáy Trang hình vng) g Chân đường cao trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy g Các mặt bên tam giác cân g Góc cạnh bên mặt đáy g Góc mặt bên mặt đáy Tứ diện bát diện đều: g Tứ diện hình chóp có tất mặt tam giác g Bát diện hình gồm hai hình chóp tứ giác ghép trùng khít hai đáy với Mỗi đỉnh đỉnh chung bốn tam giác Tám mặt tam giác Nếu nối trung điểm hình tứ diện tâm mặt hình lập phương ta thu hình bát diện Hình lăng trụ đứng hình lăng trụ đều: g Hình lăng trụ đứng hình lăng trụ có cạnh bên vng góc với mặt phẳng đáy Do mặt bên hình lăng trụ đứng hình chữ nhật nằm mặt phẳng vng góc với mặt phẳng đáy g Hình lăng trụ hình lăng trụ đứng có đáy đa giác XÁC ĐỊNH CHIỀU CAO THƯỜNG GẶP a) Hình chóp có mợt cạnh bên Ví dụ: Hình chóp S.ABC có cạnh bên vng góc với đáy: Chiều cao SA vng góc với mặt phẳng đáy, tức hình chóp độ dài cạnh bên SA ^ (ABC ) chiều cao hình vng góc với đáy SA chóp b) Hình chóp có mặt bên Ví dụ: Hình chóp S.ABCD có mặt vng góc với mặt đáy: Chiều bên (SAB ) vng góc với mặt cao hình chóp chiều cao (ABCD ) chiều cao tam giác chứa mặt bên phẳng đáy vng góc với đáy hình chóp SH chiều cao D SAB c) Hình chóp có mặt bên Ví dụ: Hình chóp S.ABCD có hai vng góc với mặt đáy: Chiều mặt bên (SAB ) (SAD) cao hình chóp giao tuyến (ABCD) hai mặt bên vuông góc vng góc với mặt đáy với mặt phẳng đáy chiều cao hình chóp SA d) Hình chóp đều: Ví dụ: Hình chóp Chiều cao hình chóp đoạn S.ABCD có tâm đa giác đáy thẳng nối đỉnh tâm đáy giao điểm hai đường Đối với hình chóp đáy chéo hình vng ABCD tam giác tâm trọng tâm G có đường cao SO tam giác DIỆN TÍCH CỦA MỘT SỐ HÌNH THƯỜNG GẶP  Diện tích tam giác thường: Cho tam giác ABC đặt AB = c, BC = a, CA = b Trang TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 a +b+c : nửa chu vi Gọi R, r bán kính đường trịn ngoại tiếp nội tiếp tam giác ABC Khi đó: p= g SDABC 1 = a.ha = bh b = ch 2 c 1 = ab sinC = bc sin A = ac sin B = 2 abc = = pr 4R = p(p - a)(p - b)(p - c), (Hộron) g Stam giác vuông = ì (tớch hai cạnh góc vng) A ch r b B H aR a C (cạnh huyền)2 g Stam giác vuông cân = ì (cạnh)2 cạnh g Stam giác = ị Chiều cao tam giác = ì  Shình chữ nhật = dài ´ rộng v Shỡnh vuụng = (cnh)2 (đáy lớ n + đáy bé)ì(chiều cao) ì Tích hai đờng chéo Tích đờng chéo STứ giác có đờng chéo vuông góc = ị Shình thoi = ì 2 Sh×nh thang = HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC Hệ thức lượng tam giác vuông Cho D ABC vng A, có AH đường cao, AM trung tuyến Khi đó: 2 * BC = AB + AC (Pitago), AH BC = AB AC * AB = BH ×BC AC = CH ×CB 1 = + 2 AB AC AH = HB ×HC * AH * BC = 2AM 1 SDABC = ×AB ×AC = ×AH ×BC 2 * Hệ thức lượng tam giác thường A B HM C a +b +c Cho D ABC đặt (nửa chu vi) Gọi R, r bán kính đường trịn ngoại tiếp nội tiếp tam giác ABC Khi đó: a b c A = = = 2R * Định lý hàm sin: sin A sin B sinC 2 ïìï c b µ Þ cosA µ = b +c - a 2 g a = b + c bc cosA ïï 2bc ïï ïï a + c2 - b2 a à 2 C ìB g b = a + c - 2ac cosB Þ cosB = M ïï 2ac 2 ïï µ Þ cosC µ = a +b - c ïï g c = a2 + b2 - 2ab cosC 2ab * Định lý hàm cos: ïïỵ AB = c, BC = a, CA = b, p = Trang 2 ìï ïï g AM = AB + AC - BC ïï ïï 2 BA + BC AC ïí g BN = × ïï ïï CA + CB AB ïï g CK = ïïỵ * Cơng thức trung tuyến: ìï ïï g MN P BC Þ AM = AN = MN = k ïï AB AC BC ì ổ ùù SDAMN AM ữ ỗ ữ =ỗ =k ùù g ữ ỗ ữ S AB è ø ï D ABC * Định lý Thales: ỵ A M N B C Dạng Cạnh bên vng góc với đáy Câu (Đề Tham Khảo 2020 Lần 2) Cho khối chóp có diện tích đáy B = chiều cao h = Thể tích khối chóp cho A B 12 C 36 D Câu (Mã 101 - 2020 Lần 1) Cho khối chóp có diện tích đáy B = chiều cao h = Thể tích khối chóp cho bằng: A B C D 12 Câu (Mã 102 - 2020 Lần 1) Cho khối chóp có diện tích đáy B = chiều cao h = Thể tích khối chóp cho A B 12 C D Câu Câu (Mã 102 - 2020 Lần 2) Cho khối chóp có diện tích đáy B = 6a chiều cao h = 2a Thể tích khối chóp cho bằng: 3 3 A 2a B 4a C 6a D 12a (Đề Minh Họa 2017) Cho hình chóp tứ giác S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a , cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy SA = a Tính thể tích V khối chóp S ABCD A V= 2a B V= 2a C V = 2a D V= 2a 3 Câu (Mã 105 2017) Cho khối chóp S.ABC có SA vng góc với đáy, SA = , AB = 6, BC = 10 CA = Tính thể tích V khối chóp S.ABC A V = 32 B V = 192 C V = 40 D V = 24 Câu (THPT Nguyễn Khuyến 2019) Cho hình chóp tứ giác S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a , cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy SA = 2a Tính thể tích khối chóp S ABCD A Câu 2a Trang C 2a D 2a 3 (THPT Đoàn Thượng - Hải Dương 2019) Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác cạnh a3 a , cạnh bên SA vng góc với đáy thể tích khối chóp Tính cạnh bên SA a A Câu B 2a a B C a D 2a (THPT Minh Châu Hưng n 2019) Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác cạnh TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 a Biết SA ⊥ ( ABC ) SA = a Tính thể tích khối chóp S ABC a3 a3 a A B C Câu 10 Câu 11 3a D (THPT Việt Đức Hà Nội 2019) Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác cạnh a Cạnh bên SC vuông góc với mặt phẳng ( ABC ) , SC = a Thể tích khối chóp S ABC a3 a3 a3 a3 A B 12 C D 12 (THPT An Lão Hải Phịng 2019) Cho tứ diện ABCD có AD vng góc với mặt phẳng ( ABC ) biết đáy ABC tam giác vuông B AD = 10, AB = 10, BC = 24 Tính thể tích tứ diện ABCD A V = 1200 B V = 960 C V = 400 D V= 1300 Câu 12 (THPT Hùng Vương Bình Phước 2019) Cho hình chóp S ABC có cạnh bên SA vng góc với ( ABC ) Biết SA = a , tam giác ABC tam giác vuông cân A , AB = 2a Tính mặt phẳng đáy theo a thể tích V khối chóp S ABC a3 a3 2a V= V= V= A B C D V = 2a Câu 13 (Chuyên KHTN 2019) Cho khối chóp S ABC có đáy ABC tam giác vuông B , AB = a, AC = 2a, SA ⊥ ( ABC ) SA = a Thể tích khối chóp cho 2a a3 a3 a3 A B C D Câu 14 (Sở Cần Thơ 2019) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, AB = 3a AD = a Cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng ( ABCD ) SA = a Thể tích khối chóp S ABCD 2a 2a 3 3 A 2a B 12 2a C D 3 Câu 15 (Sở Cần Thơ 2019) Thể tích khối chóp có diện tích đáy chiều cao A B C D Câu 16 (Sở Nam Định 2019) Cho khối chóp S ABC có đáy ABC tam giác vuông cân B , độ dài cạnh AB = BC = a , cạnh bên SA vuông góc với đáy SA = 2a Tính thể tích V khối chóp S ABC a3 a3 a3 V= V= V = 3 A B C V = a D Câu 17 (Bạc Liêu – Ninh Bình 2019) Cho hình chóp S ABC , có đáy ABC tam giác vuông cân A ( ABC ) Thể tích khối chóp S ABC , SA = AB = a , SA vng góc với mặt phẳng a3 a3 a3 3a A B C D Trang Câu 18 (Nguyễn Khuyến HCM-2019) Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đơi vng góc OA = OB = OC = a Khi thể tích tứ diện OABC a3 A 12 a3 B a3 C a3 D Câu 19 (THPT Minh Khai - 2019) Cho hình chóp S ABC có diện tích đáy a , cạnh bên SA vng góc với đáy, SA = a Tính thể tích khối chóp S ABC theo a a3 a3 a3 3 A a B C D Câu 20 (Thpt Vĩnh Lợc - Thanh Hóa 2019) Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng ABCD cạnh a , cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy SA = a Thể tích khối chóp S ABCD A V = 2a B V= 2a C V= 2a D V= 2a 3 Câu 21 (Hợi trường chun ĐBSH - 2019) Cho hình chóp tứ giác S ABCD có đáy ABCD hình SA ⊥ ( ABC ) SA = 3a vuông cạnh a , , Thể tích V khối chóp S ABCD là: V = a3 3 3 A V = a B V = 3a C D V = 2a Câu 22 (THPT Hàm Rồng 2019) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a Biết SA ⊥ ( ABCD ) SA = a Thể tích khối chóp S.ABCD là: a3 a3 a3 3 A 12 B a C D Câu 23 (THPT Cộng Hiền - 2019) Khẳng định sau sai? V = Bh A Thể tích khối chóp có diện tích đáy B chiều cao h B Thể tích khối lăng trụ có diện tích đáy B chiều cao h V = Bh C Thể tích khối hộp chữ nhật tích ba kính thước D Thể tích khối chóp có diện tích đáy B chiều cao h V = 3Bh Câu 24 (Lý Nhân Tông - Bắc Ninh 2019) Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vuông B Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy Biết SA = AB = 2a , BC = 3a Tính thể tích S ABC 3 3 A 3a B 4a C 2a D a Câu 25 (Kinh Mơn - Hải Dương 2019) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật với AB = 4a , BC = a , cạnh bên SD = 2a SD vng góc với mặt phẳng đáy Thể tích khối chóp S ABCD 3 a a 3 A 6a B 3a C D Câu 26 (Sở Điện Biên - 2019) Tính thể tích khối chóp S ABC có SA đường cao, đáy tam giác BAC vuông cân A ; SA = AB = a a3 V= A Trang a3 V= B 2a V= C a3 V= D TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Dạng Mặt bên vng góc với đáy Câu (THPT Lương Thế Vinh Hà 2019) Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vuông cân B AB = 2a Tam giác SAB nằm mặt phẳng vng góc với đáy Tính thể tích V khối chóp S ABC a3 a3 a3 2a 3 V= V= V= V= 12 A B C D Câu (Chuyên Bắc Ninh 2019) Cho khối chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh a , tam giác SAC vuông S nằm mặt phẳng vuông góc với đáy, cạnh bên SA tạo với đáy góc 60o Tính thể tích V khối chóp S ABCD a3 V= 12 A a3 V= B a3 V= 12 C a3 V= 12 D Câu (SGD Nam Định 2019) Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh 2a Mặt bên ( SAB ) tam giác nằm mặt phẳng vng góc với mặt phẳng ( ABCD ) Thể tích khối chóp S ABCD a3 a3 4a 3 3 A 4a B C D Câu Cho khối chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a , tam giác SAB cân S nằm mặt phẳng vuông góc với đáy, SA = 2a Tính theo a thể tích khối chóp S ABCD a 15 a 15 2a V = V = V = 12 A V = 2a B C D Câu Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vuông C , tam giác SAB nằm mặt phẳng vng góc với đáy Tính theo a thể tích khối chóp Biết AB = a 3; AC = a a3 B a3 A a3 C a3 D Câu Cho hình chóp tứ giác S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a , mặt bên SAB tam ( ABCD ) Tính thể tích khối chóp S ABCD giác nằm mặt phẳng vng góc với đáy a3 a3 a3 a3 A B C D Câu (Chun ĐH Vinh 2019) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a , a SA = , tam giác SAC vuông S nằm mặt phẳng vng góc với ( ABCD ) Tính theo a thể tích V khối chóp S ABCD A Câu V= 6a 12 B V= 6a 3 C V= 6a D V= 2a · Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác cân A , AB = AC = a , BAC = 120° Tam giác SAB tam giác nằm mặt phẳng vng góc với mặt đáy Tính thể tich V khối chóp S ABC a3 a3 V= V= 3 A B V = 2a C V = a D Trang Câu Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh 2a Tam giác SAB cân S nằm 4a mặt phẳng vng góc với đáy Biết thể tích khối chóp S ABCD Gọi α góc SC mặt đáy, tính tan α A tan α = 3 B tan α = 5 C tan α = 7 D tan α = 5 Câu 10 (Sở Bắc Giang 2019) Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vng A Hình chiếu ( ABC ) trung điểm H BC , AB = a , AC = a , SB = a Thể S lên mặt phẳng tích khối chóp S ABC a3 a3 a3 a3 A B C D Dạng Thể tích khối chóp Câu (Chun Hùng Vương Gia Lai 2019) Thể tích khối chóp tứ giác có tất cạnh a a3 a3 a3 A B C a D Câu (Mã 104 2017) Cho khối chóp tam giác S ABC có cạnh đáy a cạnh bên 2a Tính thể tích V khối chóp S ABC 11a 11a 13a 11a V= V= V= V= 12 12 A B C D (Chuyên Vĩnh Phúc 2019) Cho hình chóp tam giác có cạnh đáy a , góc cạnh Câu bên mặt phẳng đáy 45 Thể tích khối chóp a3 a3 a3 A 12 B 12 C 36 Câu Câu (Dề Tham Khảo 2019) Cho khối chóp tứ giác có tất cạnh 2a Thể tích khối chóp cho 8a 2a 2a 2a 3 3 A B C D (Mã 123 2017) Cho khối chóp tứ giác có cạnh đáy a, cạnh bên gấp hai lần cạnh đáy Tính thể tích V khối chóp cho A Câu a3 D 36 V= 2a3 B V= 14a3 C V= 2a3 14a3 (Liên Trường Thpt Tp Vinh Nghệ An 2019) Cho khối chóp tứ giác có cạnh đáy 2a cạnh bên a Thể tích khối chóp cho 5a 3 3 A 5a B 3a C Trang D V= 3a 3 D TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Câu (THPT Lương Tài Số 2019) Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy a , góc cạnh bên mặt đáy 60 Tính thể tích V khối chóp S.ABC? A V = 9a Câu a3 B a3 C a3 D 10a 3 B 8a 3 C 8a 3 D (Thi thử Lômônôxốp - Hà Nội 2019) Xét khối chóp tam giác cạnh đáy a , cạnh bên lần chiều cao tam giác đáy Tính thể tích khối chóp a3 A Câu 11 D V = 6a (Chuyên Nguyễn Du ĐăkLăk) Cho hình chóp S ABCD có chiều cao a độ dài cạnh bên a Thể tích khối chóp S ABCD bằng: 10a 3 A Câu 10 C V = 3a (THPT Gia Lộc Hải Dương 2019) Cho hình chóp tam giác S ABC có độ dài cạnh đáy ° a , góc hợp cạnh bên mặt đáy 60 Thể tích khối chóp cho a3 A 12 Câu B V = 2a a3 B 18 a3 C (SP Đồng Nai - 2019) Thể tích khối tứ diện có cạnh A B 2 C a3 D D Câu 12 Cho khối chóp tứ giác có cạnh đáy a , cạnh bên gấp hai lần cạnh đáy Tính thể tích V khối chóp cho 14a 14a 2a 2a V= V= V= V= A B C D Câu 13 (Nguyễn Huệ- Ninh Bình- 2019)Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a Cạnh bên SA tạo với đáy góc 60 Tính thể tích khối SBCD a3 A a3 B 12 a3 C a3 D 12 Câu 14 Cho khối chóp S ABCD có cạnh đáy a , mặt bên tạo với đáy góc 60° Tính thể tích khối chóp a3 a3 a3 a3 A B 12 C D · Câu 15 Cho khối chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy a Biết ASC = 90°, tính thể tích V khối chóp a3 V = A a3 V = B a3 V = C a3 V = 12 D Câu 16 Cho hình chóp tứ giác S ABCD có cạnh đáy a , góc cạnh bên mặt đáy 60° Thể tích khối chóp S ABCD a3 a3 a3 a3 A B C 12 D Câu 17 (Trường THPT Thăng Long 2019) Hình chóp tam giác S ABC có cạnh đáy a mặt bên tạo với đáy góc 45° Tính theo a thể tích khối chóp S ABC Trang a3 A Câu 18 a3 B 24 a3 C 12 a3 D ( a > ) cạnh (THPT Quỳnh Lưu- Nghệ An- 2019) Cho khối chóp có đáy hình thoi cạnh a bên tạo với đáy góc 45° Thể tích khối chóp cho 3a 3 a a 3 2 2a A B C D Câu 19 (Chun Quang Trung- Bình Phước 2019) Tính thể tích khối tứ diện có tất cạnh a 3 a a 3 A a B 12 C 12 D 6a Câu 20 (Hậu Lợc 2-Thanh Hóa -2019) Cho hình chóp tứ giác có cạnh đáy a , góc cạnh bên mặt đáy 60° Thể tích khối chóp a3 A a3 B a3 C a3 D Câu 21 Cho hình chóp tam giác S ABC có cạnh đáy 2a , cạnh bên tạo với đáy góc 60° Thể tích khối chóp S ABC 2a 3 a3 a3 3 A B C D a Câu 22 (SGD Điện Biên - 2019) Cho hình chóp tứ giác S ABCD có cạnh đáy 2a , cạnh bên 3a Tính thể tích V khối chóp cho A V = 7a Câu 23 7a3 V= B D V= 7a3 (Nguyễn Huệ- Ninh Bình- 2019)Kim tự tháp Kê - ốp Ai Cập xây dựng vào khoảng 2500 năm trước Công nguyên Kim tự tháp khối chóp tứ giác có chiều cao 147 m , cạnh đáy 230 m Thể tích 3 A 2592100 m B 2952100 m Chuyên đề 10 4a V= C C 2529100 m D 2591200 m THỂ TÍCH KHỐI CHĨP DẠNG CÂU HỎI DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH TRUNG BÌNH MỨC 5-6 ĐIỂM Trang 10 1 a a3 = S ABCD SH = a = Thể tích khối chóp S ABCD là: V Câu (HKI-NK HCM-2019) Cho hình chóp tứ giác S ABCD độ dài cạnh đáy a Biết mặt SB′ = P phẳng ( ) qua A vng góc với SC , cắt cạnh SB B′ với SB Tính thể tích khối chóp S ABCD a3 A a3 B a3 C Lời giải a3 D Chọn A BD ⊥ AC   ⇒ BD ⊥ ( SAC ) ⇒ BD ⊥ SC BD ⊥ SO  Ta có: P ⊥ SC ⇒ ( P ) // BD Mà ( ) SAC ) G Trong ( , gọi { } SG SB′ = AC ′ ∩ SO ⇒ GB′ // BD ⇒ SO = SB = Suy G trọng tâm ∆SAC ⇒ C ′ trung điểm SC Nên ∆SAC tam giác cạnh AC = a 1 a a3 ⇒ VSABCD = S ABCD SO = a = 3 Câu ⇒ SO = a =a 2 (Sở Quảng Trị2019) Cho hình chóp tứ giác có cạnh đáy 2a cạnh bên tạo với mặt phẳng đáy góc 45° Thể tích khối chóp 4a a3 a3 3 A B C D 2a Lời giải Chọn A Dựng hình chóp tứ giác S ABCD thỏa mãn điều kiện đề với Trang 80 { O} = AC ∩ BD TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 · ( ABCD ) góc 45° suy SAO = 45° Theo giả thiết ta có AB = 2a , SA tạo với mặt phẳng ABCD hình vng cạnh 2a nên tính AC = 2a ⇒ OA = a · Tam giác SOA vng cân O có SO ⊥ OA, SAO = 45° suy SO = OA = a 1 4a3 V = S ABCD SO = 4a a = 3 Vậy thể tích khối chóp Câu (THPT Trần Phú - 2019) Cho hình chóp tứ giác S ABCD có cạnh đáy 2a , khoảng cách hai đường thẳng SA CD 3a Thể tích khối chóp cho bằng: 8a 3 3 A a B 6a C 12a D Lời giải Chọn C Gọi O = AC Ç BD ìï CD // AB ïí Þ d ( CD, SA) = d ( CD, ( SAB ) ) = d ( D, ( SAB ) ) = 2d ( O , ( SAB ) ) ïï AB Ì ( SAB ) ợ Ta cú ùỡù OK ^ AB 3a ị OH ^ ( SAB ) Þ OH = d ( O, ( SAB ) ) = í ï Kẻ ïỵ OH ^ SK 1 D SOK : = + Û SO = 3a 2 OH SO OK Xét S ABCD : V = S ABCD SO =12a Vậy thể tích khối chóp Câu (Kiểm tra lực - ĐH - Quốc Tế - 2019) Cho hình chóp tam giác S ABC , cạnh AB = a cạnh bên hợp với đáy góc 45° Thể tích V khối chóp a3 a3 a3 a3 V= V= V= V= 12 A B C D Lời giải Chọn A Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC SO ⊥ ( ABC ) Vì S ABC hình chóp tam giác nên S ABC Do hình chóp tam giác nên cạnh bên tạo với mặt đáy góc · Góc cạnh SC với đáy góc hai đường thẳng SC OC góc SCO Theo · ta có SCO = 45° ⇒ ∆SOC vng cân O a a CO = SO = = 3 Tam giác ABC cạnh a nên Trang 81 a2 Diện tích đáy: 1 a a a3 V = S ABC SO = = 3 12 Thể tích khối chóp S ABC = Câu 10 Cho khối chóp tứ giác có tất cạnh 2a Thể tích khối chóp cho bằng: 8a 2a 2a 2a 3 A B C D Lời giải Chọn D SO ⊥ ( ABCD ) Gọi O tâm hình vng ABCD , ta có 1 SA = 2a, AO = AC = 2a = a 2 Xét tam giác SOA vng O có Suy SO = SA2 − AO = ( 2a ) ( − a ) =a 1 4a 2 VS ABCD = SO.S ABCD = a ( 2a ) = 3 Vậy Dạng Thể tích khối chóp khác Câu (Đề Minh Họa 2017) Cho tứ diện ABCD có cạnh AB , AC AD đơi vng góc với nhau; AB = 6a , AC = 7a AD = 4a Gọi M , N , P tương ứng trung điểm cạnh BC , CD , DB Tính thể tích V tứ diện AMNP 28 V = a3 V = a3 3 A V = 7a B V = 14a C D Lời giải Chọn A 1 AB AD AC = 6a.7a.4a = 28a 3 Ta có 1 S MNP = S MNPD = S BCD ⇒ VAMNP = VABCD = 7a 4 Ta nhận thấy VABCD = Trang 82 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Câu (Chuyên Hùng Vương - Phú Thọ - 2020) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABC tam giác vuông cân đỉnh A, AB = a Gọi I trung điểm BC , hình chiếu vng góc đỉnh S uu r uuu r ABC ) ( IA = − IH , góc SC mặt phẳng ( ABC ) H lên mặt phẳng điểm thỏa mãn 60° Thể tích khối chóp S ABC a3 a3 a 15 a 15 A B C D 12 Lời giải Chọn C 1 AB AC = a 2.a = a 2 a IH = BC = 2a, IA = a, S ABC = HC = HI + IC = a2 5a a + a2 = ⇒ HC = 4 Tam giác HIC vng I ta có SH a a 15 · · tan SCH = ⇔ SH = HC tan SCH = 3= HC 2 1 a 15 a 15 VS ABC = SH S ABC = a = 3 Vậy Câu (Sở n Bái - 2020) Cho hình chóp S ABC có ABC tam giác cạnh 3a , · · SAB = SCB = 900 , góc (SAB ) (SCB ) 600 Thể tích khối chóp S ABC 2a3 A B 2a3 C 2a 24 2a3 D Lời giải Chọn D Trong mặt phẳng (ABC ) lấy D nằm đường trung trực AC cho SD ⊥ (ABC ) · · · · BCD = BAD = 900 ⇒ SAB = SCB = 900 Trang 83 BC O = AC ∩ BD ⇒ BD = = 2a ⇒ CD = a OB Gọi · · Dựng AM ⊥ SB , ∆SAB = ∆SCB ⇒ CM ⊥ SB ⇒ ((SAB ),(SCB )) = (AM ,CM ) OC · AMC = 600 ⇒ MC = = 3a = BC sin300 + Nếu vơ lí tam giác MBC vuông M OC 3a 3a · AMC = 1200 ⇒ MC = = ⇒ SC = ⇒ SB = 2 sin60 + Nếu SD = SB − BD = Câu a 1 9a2 a 9a3 ⇒ VS ABC = SABC SD = = 3 Cho hình chóp tứ giác S ABCD có tất cạnh Gọi G trọng tâm tam giác SBC Thể tích tứ diện SGCD 2 A 36 B C 36 D 18 Lời giải Chọn A Gọi O tâm hình vng ABCD , M trung điểm BC SO ⊥ ( ABCD ) Vì S ABCD hình chóp tứ giác nên VSGCD SG 2 = = VSGCD = VSMCD VSMCD SM suy (1) Mặt khác: S ABCD S MCD có chung đường cao SO Hình chóp S ∆MCD = 1 S ∆BCD = S ABCD VSMCD = VS ABCD nên (2) VSGCD = VS ABCD Từ (1) (2) suy ra: Mặt khác Vậy Câu Trang 84 SO = SA2 − AO = VSGCD = 1 2 VS ABCD = SO.S ABCD = = , 3 36 · · Cho hình chóp S ABC có AB = AC = , BC = , SA = , SAC = SAB = 30 Tính thể tích khối chóp S ABC TÀI LIỆU ƠN THI THPTQG 2021 C Lời giải B A D Chọn A Ta có: · SC = SA2 + AC − SA AC.cos SAC ⇒ SC = 48 + 16 − 2.4 3.4 ⇒ SC = · SB = SA2 + AB − 2SA AB.cos SAB ⇒ SB = Gọi M , N trung điểm cạnh BC , SA Ta có: ∆SBC cân S , ∆ ABC cân A  SM ⊥ BC ⇒ ⇒ BC ⊥ ( SAM )  AM ⊥ BC Kẻ SH ⊥ AM Mà BC ⊥ ( SAM ) ⇒ BC ⊥ SH Vậy, SH ⊥ ( ABC ) 2 Ta có, SM = SC − MC = 15 = AM Nên ∆SAM cân M ⇒ MN ⊥ SA Ta có: MN = AM − AN = ; MN SA = SH AM ⇒ SH = S∆ABC = Câu MN SA 15 = AM ; 1 15 AM BC = 15 VS ABC = SH S∆ABC = 15 =4 3 Do đó: (Chuyên - Vĩnh Phúc - 2019) Cho hình chóp S ABC có cạnh SA = BC = ; SB = AC = ; SC = AB = Tính thể tích khối chóp S ABC A 390 B 390 C Lời giải 390 12 D 390 Chọn A Áp dụng công thức thể tích khối tứ diện gần đều: 390 2 2 2 2 = a + b − c a − b + c − a + b + c = ( ) ( ) ( ) VS ABC 12 Câu Cho khối chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh 2a , SA = SB = a Khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( SCD) a Thể tích khối chóp cho A a3 B a3 C a3 a3 D Trang 85 Lời giải Chọn D Gọi I J trung điểm AB CD theo đề ta có: SA = SB = a nên hình chiếu H S lên đáy nằm đường thẳng IJ Dễ thấy CD ^ ( SIJ) d ( A, ( SCD )) = d ( I , ( SCD )) = d ( I , SJ ) = a Suy SI = d ( I , SJ ) = a Þ SI ^ ( SCD ) Tam giác SAB vuông cân S nên SI = a suy 2 SI SJ a ( 2a ) - a a SH IJ = SI SJ Þ SH = = = IJ 2a Trong tam giác vng SIJ ta có: 1 a 3a V = S ABCD AH = 4a = 3 Thể tích khối chóp S ABCD là: Câu · Cho khối chóp S ABCD có đáy ABCD hình thoi tâm O , AB = a, BAD = 60°, SO ^ ( ABCD ) mặt phẳng ( SCD ) tạo với mặt phẳng đáy góc 60° Thể tích khối chóp cho 3a 3a 3a 3a A B 24 C 48 D 12 Lời giải Chọn A · Từ giả thiết hình thoi ABCD có AB = a, BAD = 60° nên BD = a, AC = a Dựng OK ^ CD, ( K Î CD) CD ^ ( SOK ) Þ CD ^ SK Ta có SO ^ ( ABCD ) Þ SO ^ CD OK ^ CD nên · Do góc mặt phẳng ( SCD) ( ABCD ) góc SKO = 60° 1 1 16 = + = + = 2 2 2 OK OC OD 3a ổa ổa ữ ữ ỗ ỗ ữ ữ ỗ ỗ ữ ữ ỗ2 ứ ỗ ữ ố Ã ỗ ố ứ Trong tam giỏc vuụng OCD, (COD = 90°) có a Þ OK = a 3a · SO = OK tan SKO = tan 60°= · SOK , ( SOK = 90 ° ) 4 Trong tam giác vng có Trang 86 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 AC.BD a 3.a 3a = = 2 Diện tích hình thoi ABCD là: 1 3a 3a 3a VS ABCD = S ABCD SO = = 3 Vậy S ABCD = Câu Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác cạnh a , khoảng cách từ điểm A đến mặt a 15 a 15 phẳng ( SBC ) , khoảng cách SA BC Biết hình chiếu S lên mặt phẳng ( ABC ) nằm tam giác ABC , tính thể tích khối chóp S ABC a3 B a3 A a3 C Lời giải a3 D Chọn D Dựng hình bình hành ABCD Gọi O hình chiếu vng góc S lên mặt phẳng ( ABCD) Dựng đường thẳng d qua O , vng góc với BC cắt BC , AD H , M Khi AD, BC ^ ( SHM ) Trong D SHM , dựng HK ^ SM ( K Î SM ) MN ^ SH ( N Î SH ) Ta có MN ^ SH MN ^ BC nên MN ^ ( SBC ) Vì MN = d ( M , ( SBC )) = d ( A, ( SBC )) = a 15 a 15 Do nên d ( BC , SA) = d ( BC , (SAD )) = d ( H , ( SAD )) = HK Suy Do D SHM có hai đường cao MN = HK nên cân S Suy O trung điểm MH a a MH = d ( AD, BC ) = d ( A, BC ) = MO = (do D ABC đều, cạnh a ) Suy Ta có Xét hai tam giác đồng dạng MKH MOS , ta có HK = BC / / ( SAD ) a a 15 ´ KH MK MO.KH a = Þ SO = = = 2 SO MO MK ỉa ÷ ổa 15 ữ ỗ ỗ ữ ữ ỗ ỗ ữ ỗ ữ ữ ỗ ữ ỗ ứ ố ứ ỗ ố V = SO SD ABC Vậy thể tích khối chóp S ABC a a a3 = ´ ´ = · SO ⊥ ( ABCD ) Câu 10 Hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thoi tâm O , AB = a , BAD = 60° , SCD ) mặt phẳng ( tạo với mặt đáy góc 60° Tính thể tích V khối chóp S ABCD Trang 87 A V= 3a 24 B 3a 48 V= V= C Lời giải 3a 12 D V= 3a Chọn D · Do ABCD hình thoi tâm O , AB = a , BAD = 60° , nên tam giác BCD cạnh a a2 · S ABCD = AB AD.sin BAD = Ta có Gọi E trung điểm CD I trung điểm ED OI ⊥ CD BE = a a OI = BE = , BE ⊥ CD nên 3a ·SIO ·SIO = 60° SO = OI tan 60° = mặt đáy góc , suy ( SCD ) Nên góc mặt phẳng 1 a 3a a 3 V = S ABCD SO = = 3 Vậy thể tích V khối chóp S ABCD · Câu 11 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh x , BAD = 60° , gọi I giao điểm AC BD Hình chiếu vng góc S lên mặt phẳng ( ABCD ) H cho H trung điểm BI Góc SC ( ABCD) 45° Tính thể tích V khối chóp S ABCD A V= 39 x 12 B V= 39 x 36 V= C Lời giải 39 x 24 D V= 39 x 48 Chọn C Tam giác ABD cạnh x Þ BD = x Þ IH = Áp dụng định lí cosin cho tam giác Trang 88 x ABC : AC = x + x - x.x.cos120° = x Þ IC = x TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Xét tam giác IHC vuông I : HC = IH + IC = 2 x 3x x 13 + = 16 4 · SCH = ( SC , ( ABCD ) ) = 45° Do tam giác SHC vng H , có nên tam giác SHC vuông cân x 13 HC = SH = H Suy ra: 1 x 13 x 39 VS ABCD = AC.BD.SH = x 3.x = 24 Vậy thể tích khối chóp S ABCD : · · Câu 12 Cho hình chóp S ABC có AB = AC = , BC = , SA = , SAB = SAC = 30º Tính thể tích khối chóp S ABC A VS ABC = B VS ABC = V =4 C S ABC Lời giải D VS ABC = 12 Chọn C Gọi M trung điểm cạnh BC Vì D ABC cân A (do AB = AC = ) nên AM ^ BC SD ABC = AM BC = 15 2 AM = AC - MC = 15 ; D SAB = D SAC ( c - g - c ) phẳng nên SB = SC Gọi H hình chiếu vng góc điểm S mặt ( ABC ) suy H Ỵ AM 2 Áp dụng định lí cosin cho D SAB , ta có: SB = SA + AB - 2SA AB.cos 30°= 16 Þ SB = 2 D SMB vuông M nên SM = SB - MB = 15 SM + AM - SA2 · cos SMA = =2.SM AM Áp dụng định lí cosin cho D SAM , ta có · · Þ sin SMA = 1- cos SMA = 4 15 · Þ SH = SM sin SMA = 15 = 5 1 15 VS ABC = SD ABC SH = 15 =4 3 Vậy Cách 2: Trang 89 Áp dụng định lí cosin cho D ABC , ta có AB + AC - BC cos A = = AB AC abc V= 1- cos α - cos β - cos γ + cos α cos β cos γ Sử dụng cơng thức AB AC.SA Þ V= 1- cos 30°- cos 30°6 ỉư 7÷ ç + cos 30°.cos 30° = ÷ ç ữ ỗ ố8 ứ 0 Ã Ã Câu 13 Cho hình chóp S ABC có SA = a, AB = a , AC = a Góc SAB = 60 , BAC = 90 , · AS = 1200 C Thể tích khối chóp S ABC a3 A a3 B a3 C Lời giải a3 D Chọn B Lấy cạnh AB ; AC điểm M ; P cho AS = AM = AP = a Ta có: SM = a ; MP = a ; SP = a Þ D SMP vng M ( SMP) tâm đường tròn ngoại tiếp tam Do AS = AM = AP = a Þ Hình chiếu A đáy giác SMP , H 1 a2 SD SMP = SM MP = a.a = 2 Ta có: ỉSP ÷ AH = SA - ç = a2 ÷ ç ÷ ç è2 ø 2 ổa a a3 ữ ỗ ữ = ị V = S AH = ỗ ữ ASMP D SMP ỗ ữ ỗ 12 è ø VA SBC AB AC a a3 = = Þ VS ABC = VA.SBC = 6.VA.SMP = = AM AP 12 Ta lại có: VA.SMP Trang 90 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Câu 14 (THPT Minh Khai - lần 1) Cho hình chóp S ABC có AB = 7cm, BC = 8cm, AC = 9cm Các mặt bên tạo với đáy góc 30° Tính thể tích khối chóp S ABC Biết hình chiếu vng góc S ( ABC ) thuộc miền tam giác ABC 20 63 3 cm3 cm3 20 cm 72 cm3 A B C D Lời giải Chọn A ( ) ( ) ( ) ( AB + BC + AC = 12 ( cm ) Ta có S = p ( p − AB ) ( p − AC ) ( p − BC ) = 12 cm ABC Diện tích tam giác ( ABC ) Gọi H hình chiếu vng góc S Gọi K , N , M hình chiếu vng góc H AB, BC , CA ) p= ( ) · · · Theo ta có SKH = SNH = SMH = 30° Ta có ∆SKH = ∆SNH = ∆SMH · · · SHK = SHN = SHM = 90° , SH chung, · · · SKH = SNH = SMH = 30° Suy KH = NH = MH Vậy H tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC S KH = NH = MH = ∆ABC = ( cm ) p Khi SH = HK tan 30° = 15 ( cm ) 1 15 20 V = SH S ∆ABC = 12 = ( cm3 ) S ABC 3 3 Thể tích khối chóp SAB ) , ( SAC ) , ( SBC ) Câu 15 Cho hình chóp S ABC có mặt bên ( tạo với đáy góc AB = 13 a , AC = 14 a , BC = 15 a 60° Biết , tính thể tích V khối chóp S ABC Trang 91 A V = 28 3a B V = 112 3a C V = 84 3a Lời giải D 84a Chọn B ABC ) Gọi H hình chiếu S mặt phẳng ( Gọi M , N , K hình chiếu H cạnh BC , AC , AB Khi đó,ta có tam giác ∆SHK , ∆SHM , ∆SHN ⇒ HM = HN = HK = r ,với r bán kính đường trịn nội tiếp tam giác ABC Ta có nửa chu vi tam giác ABC Ta có: Mà S ABC = AB + BC + CA 13 + 14 + 15 = = 21 2 p ( p − AB ) ( p − BC ) ( p − AC ) = 21.( 21 − 13) ( 21 − 14 ) ( 21 − 15 ) = 84 S ABC = pr ⇔ r = Ta lại có: p= S ABC 84 = = = HM p 21 · = 60° ⇒ SH = r.tan 60° = (·( SBC ) , ( ABC ) ) = SMH ⇒ VS ABC = 84.4 = 112 3 Câu 16 Trang 92 Cho hình chóp S ABC có SA = SB = SC = , AC = ; ABC tam giác vuông cân B Tính thể tích V khối chóp S ABC 16 16 V= V= 3 A V = 16 B C V = 16 D Lời giải Chọn D TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021  Gọi H hình chiếu S mặt phẳng ( ABC ) Do SA = SB = SC nên ∆SHA = ∆SHB = ∆SHC (cạnh huyền-cạnh góc vng) ⇒ HA = HB = HC ⇒ H tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Tam giác ABC vuông cân B nên H trung điểm AC HA = HC = AC = ⇒ SH = SA2 − HA2 = 2 Suy  Ta có: BA = BC = AC =2 2 ( )( ) 1 16 VS ABC = S ABC SH = 2 2 = 3 Vậy Câu 17 (THPT Quỳnh Lưu Nghệ An 2019) Cho hình chóp S ABC biết SA = SB = SC = a , ·ASB = 120° BSC · = 60° ·ASC = 90° Thể tích khối chóp S ABC , a3 a3 a3 a3 A 12 B C D Lời giải · Ta có SB = SC = a , BSC = 60° suy tam giác BSC ⇒ BC = a · Lại có SA = SC = a , ASC = 90° suy tam giác ASC vuông cân S ⇒ AC = a · Mặt khác, SA = SB = a , ASB = 120° , áp dụng định lí cosin cho tam giác ASB , ta được: AB = SA2 + SB − 2SA.SB.cos ·ASB = 3a ⇔ AB = a 2 2 2 Xét tam giác ABC có BC + AC = a + 2a = 3a = AB suy tam giác ABC vuông C a2 S∆ABC = AC.BC = 2 Vậy diện tích tam giác ABC là: Gọi O trung điểm cạnh AB suy O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC ⇒ SO ⊥ ( ABC ) Mà SA = SB = SC  3a  a SO = SA − AO = a −  = ÷ ÷   Xét tam giác vuông ASO vuông O có 1 a a a VS ABC = S∆ABC SO = = 3 2 12 Vậy thể tích khối chóp S ABC là: Câu 18 2 (THPT Lương Thế Vinh Hà Nợi 2019) Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác 15 SBC SCA ( ) , từ B đến ( ) 10 , từ C đến ( SAB ) cạnh , biết khoảng cách từ A đến 30 20 hình chiếu vng góc S xuống đáy nằm tam giác ABC Tính thể tích khối chóp VS ABC Trang 93 A 36 B 48 C 12 D 24 Lời giải Chọn B Gọi M , N , P hình chiếu H lên cạnh AC , BC , AB h SH = h ⇒ VS ABC = h = 12 Đặt AP = Ta có S SAB 6VS ABC h 30 = S SAB = = : = h 10 AB 20 d ( C ; ( SAB ) ) Tương tự, tính HM = 2h, HN = h ⇒ PH = SP − SH = 3h Ta có Vậy Trang 94 S ABC = S HAB + S HAC + S HBC = VS ABC = 3 = 12 12 48 3 ( HP + HM + HN ) ⇔ 3h = ⇔ h = 12 ... 259 2100 3 Thể tích là: Vậy thể tích Kim tự tháp 259 2100 m ( Chuyên đề 10 ) THỂ TÍCH KHỐI CHĨP TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH KHÁ MỨC 7-8 ĐIỂM PHƯƠNG PHÁP CHUNG THỂ TÍCH KHỐI CHĨP – KHỐI... khoảng 250 0 năm trước Công nguyên Kim tự tháp khối chóp tứ giác có chiều cao 147 m , cạnh đáy 230 m Thể tích 3 A 259 2100 m B 2 952 100 m Chuyên đề 10 4a V= C C 252 9100 m D 259 1200 m THỂ TÍCH KHỐI... 2) Cho khối chóp có diện tích đáy B = chiều cao h = Thể tích khối chóp cho A B 12 C 36 D Câu (Mã 101 - 2020 Lần 1) Cho khối chóp có diện tích đáy B = chiều cao h = Thể tích khối chóp cho