CHỦ ĐỀ 7 THỂ TÍCH KHỐI CHÓP I LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM Công thức tính thể tích khối chóp V = Trong đó S là diện tích đáy và h là chiều cao của khối chóp II CÁC DẠNG TOÁN TRỌNG TÂM VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI Dạng 1 Thể tích khối chóp có đường cao sẵn có Ví dụ 1 Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với đáy, đường thẳng SC tạo với đáy một góc Thể tích khối chóp S ABC bằng? A B C D Lời giải Chú ý Nếu tam giác ABC đều cạnh a thì độ dài đường trung tuyến bằng m = Ta có Chọn.
CHỦ ĐỀ 7: THỂ TÍCH KHỐI CHĨP I LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM Cơng thức tính thể tích khối chóp: V = S h Trong đó: S diện tích đáy h chiều cao khối chóp II CÁC DẠNG TOÁN TRỌNG TÂM VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI Dạng 1: Thể tích khối chóp có đường cao sẵn có Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh a, cạnh bên SA vng góc với đáy, đường thẳng SC tạo với đáy góc 60� Thể tích khối chóp S.ABC bằng? A a3 B a3 C a3 D 3a Lời giải: Chú ý: Nếu tam giác ABC cạnh a độ dài đường trung tuyến m = a � � 60� Ta có: SA ( ABC ) � (SC;(ABC)) SCA ް ް �tan � 60 SA AC SA AC tan 60 a 3,S ABC a2 1 a2 a3 � V SA.S ABC a 3 4 Chọn B Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a, hình chiếu vng góc S lên mặt phẳng (ABCD) trùng với trung điểm cạnh AD, cạnh bên SB hợp với đáy góc 60� Tính theo a thể tích V khối chóp S.ABCD A V a 15 B V a 15 C V Lời giải Gọi H trung điểm AD � AH ( ABCD ) a� a Ta có: BH � � � a �2 � a a 15 3 2 1 a 15 a 15 SH S ABCD a 3 SH BH tan 60� VS ABCD Chọn B a3 D V a 15 18 Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác cạnh a, SA ( ABC ) Biết mặt phẳng ( SBC ) tạo với đáy góc 60� Thể tích khối chóp S.ABC a3 24 A B a3 C a3 D a3 18 Lời giải: Gọi M trung điểm BC � AM BC AM a Lại có: � � 60� BC SA � BC ( SMA) � (( SBC );( ABC )) SMA Khi SA AM tan 60� 3a a2 ,S ABC Thể tích khối chóp là: V a3 Chọn B SA.S ABC Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác vng B có AB=a, BC= a Hình chiếu đỉnh S mặt phẳng đáy trùng với trung điểm cạnh AC Biết SB tạo với đáy góc 30� Thể tích khối chóp S.ABC là: A a3 B a3 C a3 D a3 Lời giải: Gọi H trung điểm AC � AH ( ABC ) � Ta có: Khi (� SB ); ( ABC )) SBH AC AB BC 2a Tam giác ABC có đường trung tuyến BH ứng với cạnh huyền nên BH AC a Do � 30�� SH HB tan 30� a SBH Lại có: S ABC a2 BA.BC 2 1 a a a3 Chọn Suy ra: VS ABC SH S ABC 3 D Ví dụ 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật có AB= 2a, AD= a , cạnh bên SA vuông góc với đáy, gọi M trung điểm cạnh CD Biết SM tạo với mặt phẳng (ABCD) góc 60�, tính thể tích V khối chóp S.ABCD A V= 2a C V= 12a B V= 4a 3 D V= 4a Lời giải: � 60� Do SA ( ABCD) � (� SM ;( ABCD)) SMA Ta có: AM AD DM 2a � SA AM tan 60 2a Mặt khác S ABCD AB AD 2a VS ABCD 2a 3.2a 4a Chọn D Ví dụ 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a, SA vng góc với mặt đáy, SD tạo với mặt phẳng (SAB) góc 30�.Tính thể tích V khối chóp S.ABCD A V= 6a 18 B V= 3a C V= 6a 3 D V= 3a Lời giải: �AD AB � AD ( SAB ) Ta có: � AD SA � � � 30�suy ;( SAB) DSA Khi đó: SD SA tan 30� AD � SA a a3 Do VS ABCD SA.S ABCD Chọn D 3 Ví dụ 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình chữ nhật ABCD có AB= 2a Hình chiếu vng góc đỉnh S xuống mặt đáy trung điểm AB Biết SA= a mặt phẳng (SCD) tạo với đáy góc 60� Thể tích khối chóp là: A 4a B 2a 3 C Lời giải: 2a D 4a 3 Ta có: SH SA2 HA2 a �HK CD Dựng HK CD ta có: � �SH CD � 60� Suy CD ( SHK ) � SKH Khi HK tan 60� SH � HK a a AD 4a 3 Khi S ABCD 2a 2 � V SH S ABCD 3 Chọn D Ví dụ 8: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thang vng A B có AD = 2AB= 2CD= 2a SA (ABCD) Biết SA tạo với (SCD) góc 30� Thể tích khối chóp S ABCD là: A a3 B a3 C a3 D a3 Lời giải: Ta có: AC AB BC a Gọi I trung điểm AD � ABCI hình vng cạnh a � CI AD a � ACD vuông C CD SA � � CD ( SAC ) Khi đó: � CD AC � � ;( SCD) � ASN � ASC 30� Dựng AN SC � SA Suy SA AC cot 30� a Lại có: S ABCD AD BC 3a AB 2 a3 Do VS ABCD SA.S ABCD Chọn D Ví dụ 9: Cho khối chóp S.ABCD có đáy hình vng có cạnh a, SA vng góc với đáy SC tạo với mặt phẳng (SAB) góc 30� Tính thể tích V khối chóp cho A V= 6a B V= 2a C V= Lời giải: 2a D V= 2a �BC AB � BC (SAB ) Ta có: � BC SA � � � 30� ;( SAB) SCB Do SC Khi đó: SB BC.cot 30� a � SA SB AB a a3 2 Mặt khác S ABCD a � VS ABCD Chọn D Ví dụ 10: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi tâm O cạnh a, hình chiếu vng góc đỉnh S lên mặt phẳng đáy trùng với tâm H tam giác ABC, biết mặt phẳng (SDC) tạo với mặt phẳng (ABCD) góc 60� Thể tích khối chóp S.ABCD là: a3 A a3 C a3 B D a3 12 Lời giải: Ta có ABC cạnh a nên H trực tâm tam giác ABC � CH AB � CH BC � 60� � CD ( SHC ) � SCH Ta có: OB a a � BD a � HB HC OB 3 Khi đó: SH a a2 tan 60� a,S ABCD S ABC a a3 Chọn A VS ABCD a Ví dụ 11: Cho hình chóp S.ABC có SA vng góc với mặt phẳng (ABC), đáy ABC tam giác vng B có AB= a, BC= a , biết góc hai mặt phẳng (SAC) (SBC) 60� Tính thể tích khối chóp S.ABC A a3 12 B a3 C Lời giải: a3 12 D a3 Dựng BH AC � BH ( SAC ) � 60� Dựng HK SC � ( HKB) SC � HKB a Ta có: BH == � BK sin 60 a BK a �BC AB � BC SB Khi SBC vng B nên ta Do � �BC SA có: 1 a � SB a � SA SB AB 2 SB BC BK 2 a a3 VS ABCD a 3 Chọn A 2 12 Ví dụ 12: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy hình vng ABCD tâm O cạnh 4a, M điểm thuộc cạnh AB cho MA=3MB, hình chiếu vng góc H lên mặt phẳng (ABCD) trung điểm cạnh OM Biết góc hai mặt phẳng (SBC) đáy 60� Thể tích khối chóp S.ABCD là: A 4a 3 B 3 a C 8a 3 D 4a Lời giải: Dựng HE BC , OF BC � 60� Ta có (SHE) BC � SEH Mặt khác ME đường trung bình hình thang MOFB � ME MB OF 3a 2 Ta có: SH HE.tan 60� 3a 3a V S ABCD 16a 8a 3 Chọn C Ví dụ 13: Cho hình chóp S.ABCD có đáy nửa lục giác cạnh a, AD= 2a, SA ( ABCD ) Mặt phẳng (SCD) tạo với đáy góc 45� Thể tích khối chóp S.ACD là: A a3 B a3 C Lời giải: 3a D a Gọi O trung điểm AD dễ thấy OC AB a AD � ACD vuông C CD AC � � CD ( SAC ) Khi � CD SA � � 45� Lại có tam giác ACD vng C Do SCA nên AC AD CD a � SA a 3.tan 45� a � CD.sin 60� a Ta có: d (C ; AD) CD sin CDA Do S ABCD AD BC a 3a 2 3a Vậy VS ABCD SA.S ABCD Chọn C Dạng 2: Thể tích khối chóp có mặt bên vng góc với đáy Phương pháp giải: Giả sử hình chóp S.ABC có mặt phẳng ( SAB ) (ABC) Ta dựng SH AB (trong trường hợp SAB cân S H trung điểm AB) � ( SAB) (ABC) � SH AB � SH ABC Khi � �AB SAB � ABC � Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác ABC vng B có AB= a , BC= a Tam giác SAC cân S thuộc mặt phẳng vng góc với đáy, mặt phẳng (SAB) tạo với đáy góc 60o Thể tích khối chóp S.ABC là: A a3 B a3 C a3 Lời giải: Gọi H trung điểm AC ta có SH AC Mặt khác SAC ABC suy SH ABC Dựng HE AB HE đường trung bình tam giác ABC Do đó: HE BC a 2 �AB HE � 60� � AB ( SHE ) � SEH Mặt khác: � �AB SH D 2a Do SH HE.tan 60� a3 a AB.BC a � Chọn B V SH S ,S ABC S ABC ABC 2 Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác ABC có AB= AC= 2a BC= 2a , gọi M trung điểm BC Tam giác SAM cân S thuộc mặt phẳng vng góc với đáy Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) A a Thể tích khối chóp S.ABC là: a3 B 3a C a3 D a3 Lời giải: Gọi H trung điểm AM ta có SH AM Mặt khác SAM ABC nên SH ABC Ta có: BM MC a � AM AB BM a � S ABC AM BC a Dựng HK SM � HK SBC Khi d A; SBC 2d H ; SBC HK � HK a 1 a � � SH 2 SH HK HM a3 S ABC a Do VS ABC SH S ABC Chọn D Ví dụ 3: Cho khối chóp S.ABC có đáy tam giác ABC vng A, tam giác SAB vuông S thuộc mặt phẳng vuông góc với đáy Biết SA= a , SB= a AC= 2a Thể tích khối chóp S.ABC là: A a B 3a C Lời giải: Dựng SH AB Mặt khác SAB ABC suy SH ABC Ta có: AB SA2 SB 3a Áp dụng hệ thức lượng tam giác vng SAB ta có: HA � SH SA2 HA2 a 2,S ABC AB AC 3a Khi VS ABC SH S ABC a Chọn A SA2 2a AB a3 D a3 Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABC có mặt phẳng (SAC) vng góc với mặt phẳng (ABC), SAB tam giác cạnh a , BC= a ,đường thẳng SC tạo với mặt phẳng (ABC) góc 60� Thể tích khối chóp S.ABC bằng: A a3 B 2a C a3 D a3 Lời giải: � � 60� Ta có SC ; ABC � SC ; AC SCA Gọi H trung điểm AB mà ABC cân � BH SAC Gọi K trung điểm SA mà SAB � BK SA Suy SA BHK � SA HK mà HK PSC � SA SC Tam giác SAC vuông S, có � 60�� SC SH AC a SCA a2 Diện tích tam giác ABC SABC AB AC 2 Tam giác ABH vuông H, có BH AB AH a Vậy a3 thể tích khối chóp S.ABC V BH.SABC Chọn D Ví dụ 5: Cho khối chóp S.ABC có đáy tam giác Tam giác SAC cân S thuộc mặt phẳng vng góc với đáy, đường thẳng SB tạo với đáy góc 60� Biết khoảng cách từ S đến mặt đáy (ABC) h Thể tích khối chóp tính theo h là: A h3 B h3 C h3 27 D h3 18 Lời giải: Gọi H trung điểm AC ta có SH AC Mặt khác SAC ABC nên SH ABC � 60� Khi SH= h Mặt khác SBH Do HB tan 60� h � HB Đặt AB= a � HB Chọn C h a h 2h a h2 h3 �a Do S ABC � VS ABC SH S ABC 27 Ví dụ 6: Cho khối chóp S.ABC có đáy tam giác cạnh a Gọi M trung điểm BC Tam giác SAM vuông S thuộc mặt phẳng vng góc với đáy Biết SA= A a3 B a3 12 C a , thể tích khối chóp S.ABC là: a3 18 D a3 24 Lời giải: Dựng SH AM ta có SAM ABC nên SH ABC Mặt khác AM a 2 Suy SM AM SA Lại có: SH SA.SM SA2 SM a a a3 Vậy VS ABC SH S ABC Chọn D 24 Ví dụ 7: Cho khối chóp S.ABCD có đáy hình chữ nhật ABCD Tam giác SAB cạnh 2a thuộc mặt phẳng vng góc với đáy Đường thẳng SC tạo với đáy góc 30� Thể tích khối chóp S.ABCD là: A 4a B 2a C 4a D 4a Lời giải: Gọi H trung điểm AB ta có SH AB Mặt khác SAB ABC nên SH ABC , SH a Đường thẳng SC tạo với đáy góc 30� Do HC tan 30� SH � HC 3a Khi BC HC HB 2a 4a3 Do VS ABCD SH S ABCD Chọn A 3 Ví dụ 8: Cho khối chóp S.ABCD có đáy hình chữ nhật Tam giác SAB vng S thuộc mặt phẳng đáy Biết SA= SB= 4, mặt phẳng (SCD) tạo với đáy góc 60� Thể tích khối chóp LỜI GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN 1 a3 2 Câu 1: Ta có S ABCD a � VS ABCD SA.S ABCD a 2.a Chọn D 3 Câu 2: SA SB AB 2a , BC AC AB a � S ABC a2 AB.BC 2 1 a 2 a3 Ta có VS ABC SA.S ABC 2a Chọn A 3 Câu 3: SA SC AC a 3; BC AC AB a � S ABC a2 AB.BC 2 1 a 2 a3 Ta có: VS ABC SA.S ABC a Chọn A 3 � SAB ABC � � SH ABC Câu 4: Ta có � SAC ABC � Ta có SA SC AC a Ta có S ABC a2 1 a3 a3 Chọn B � VS ABC SA.S ABC a 3 12 Câu 5: SH SA2 AH 2a 1 4a Ta có S ABCD AB AD 2a � VS ABCD SH S ABCD 2a.2a Chọn C 3 Câu 6: SH 2a 1 4a 3 2 Chọn B a , S ABCD (2a) 4a � VS ABCD SH S ABCD a 3.4a 3 � 30� Câu 7: SB � ABC B SA ABC � � SB, ABC � SB, AB SBA � tan SBA SA � a � SA AB tan SBA AB BC AC AB a � S ABC VS ABC a2 AB.BC 2 1 a a2 a3 Chọn C SA.S ABC 3 18 � SAB ABC � � SA ABC Câu 8: Ta có � SAC ABC � � 30� SB � ABC B SA ABC � � SB, ABC � SB, AB SBA � tan SBA SA � a � SA AB tan SBA AB S ABC a2 1 a a a Chọn D � VS ABC SA.S ABC 3 12 � SAB ABC � � SA ABC Câu 9: Ta có � SAC ABC � � 60� SM � ABC M SA ABC � � SM , ABC � SM , AB SMA � tan SMA S ABC SA � mà AM a � SA a tan 60� 3a � SA AM tan SMA AM 2 a2 � 1 3a a a 3 Chọn C VS ABC SA.S ABC 3 � 45� Câu 10: SC � ABC C SA ABC � � SC , ABC � SC , AC SCA AC BC AB a � tan SCA S ABC SA � a � SA AC tan SCA AC a2 1 a a Chọn A AB AC � VS ABC SA.S ABC a 2 3 2 � 60� Câu 11: SM � ABC M SA ABC � � SM , ABC � SM , AB SMA � tan SMA S ABC SA � mà AM BC a � SA a.tan 60� a � SA AM tan SMA AM a2 1 3a a a 3 Chọn C � VS ABC SA.S ABC 3 � 45� Câu 12: SC � ABCD C SA ABCD � � SC , ABCD � SC , AC SCA � tan SCA SA � 2a � SA AC tan SCA AC BC AC AB a � S ABCD AB.B C a � 1 2a 3 Chọn A VS ABCD SA.S ABCD a a 3 � 60� Câu 13: SO � ABCD O SA ABCD � � SO, ABCD � SO, OA SOA OA AC a � tan SOA SA � a � SA OA tan SOA OA BC AC AB a � S ABCD AB.BC a 1 � VS ABCD SA.S ABCD a 3.a a Chọn C 3 � SAB ABCD � � SA ABCD Câu 14: Ta có: � SAD ABCD � � 45� SC � ABCD C SA ABCD � � SC , ABCD � SC , AC SCA AC AB BC a SA � a � SA AC tan SCA AC � tan SCA 1 a Chọn B S ABCD a � VS ABCD SA.S ABCD a 2.a 3 � SAB ABCD � � SA ABCD Câu 15: Ta có: � SAD ABCD � � 60� SM � ABCD M SA ABCD � � SM , ABCD � SM , AM SMA AM AB BM a SA � a 15 � SA AM tan SMA AM � tan SMA 1 a 15 a 15 Chọn A S ABCD a � VS ABCD SA.S ABCD a 3 � 60� Câu 16: SC � ABCD C SH ABCD � � SC , ABCD � SC , HC SCH CH BC BH a � tan SCH SH � a 15 � SH CH tan SCH CH 1 4a 15 Chọn B S ABCD 2a 4a � VS ABCD SH S ABCD a 15.4 a 3 � 45� Câu 17: SC � ABCD C ; SA ABCD � � SC , ABCD � SC , AC SCA � sin SCA SA � 2a � AC SC SA2 2a � SA SC sin SCA SC BC AC AB a � S ABCD AB.BC a 2 Câu 18: Ta có VS ABC Câu 19: Ta có S BCD 2a 3 Chọn B V SA S � S ABCD ABCD 3 a3 SA.SB.SC Chọn A 6 a2 1 a a3 BC CD � VS BCD SA.S BCD a Chọn C 2 3 � SAB ABCD � � SA ABCD Câu 20: Ta có � SAD ABCD � �BC AB � 30� � BC SAB mà SC � SAB S � � Lại có � SC , ABC � SC , SB CSB BC SA � � tan CSB BC BC � SB a � SA SB AB a � SB tan CSB 1 a Chọn D S ABCD a � VS ABCD SA.S ABCD a 2.a 3 � SAB ABCD � � SA ABCD Câu 21: Ta có � SAD ABCD � � 30� SC � ABCD C ; SA ABCD � � SC , ABCD � SC , AC SCA AC AB BC a � tan SCA SA � a � SA AC tan SCA AC 1 a a Chọn D S ABCD a � VS ABCD SA.S ABCD a 3 Câu 22: Gọi M trung điểm BC �BC AM � BC SAM Ta có � �BC SA � 60� � � SM , AM SMA SBC , ABC � � tan SMA SA � a tan 60� 3a � SA AM tan SMA AM 2 a2 1 3a a a3 � VS ABC SA.S ABC 3 Chọn A abc Câu 23: Ta có VS ABC SA.SB.SC Chọn C 6 S ABC � 60� Câu 24: SB � ABC B SA ABC � � SB, ABC � SB, AB SBA � tan SBA SABC SA � a � SA AB tan SBA AB a Chọn B a2 � VS ABC SA.S ABC 4 Câu 25: Ta có HD AH AD a 3a � SH SD HD 2 a3 Lại có S ABCD a � VS ABCD SH S ABCD Chọn D Câu 26: Gọi M trung điểm BC �BC AM � BC SAM Ta có � �BC SA � 60� � � SM , AM SMA SBC , ABC � � tan SMA SA � a tan 60� 3a � SA AM tan SMA AM a2 1 3a a a 3 � VS ABC SA.S ABC 3 Chọn A S ABC a3 2 Câu 27: Ta có: S MNPQ a � VS MNPQ SM S MNPQ Chọn D 3 Câu 28: Ta có: 202 212 29 � đáy tam giác vuông 1 Sday= 20.21 210 � V= 100.210 7000 Chọn A � 45� Câu 29: SC � ABCD C SH ABCD � � SC , ABCD � SC , HC SCH HC HB BC a � tan SCH SH � a � SH HC tan SCH HC 1 2a Chọn B S ABCD AB AD 2a � VS ABCD SH S ABCD a 2.2a 3 �SA 19 �SA2 SB AB 25 � SA2 19 � � � � 2 Câu 30: �SB SC BC 36 � �SB � �SB �SA2 SC AB 49 � � SC 30 � � �SC 30 � VS ABC Câu SA.SB.SC 95 Chọn D 31: Kẻ BH AC ta � 30� SB � SAC S � � SB, SAC � SB,SH SBH 1 a � BH 2 BH BC BA 3a � tan BSH BH BH 3a � SH � SH tan BSH có �BH AC � BH SAC � �BH SA mà AH AB BH a ; SA SH AH a S ABCD AB AD a � a Chọn D VS ABCD SA.S ABCD 3 Câu 32: Ta có tâm H đường trịn ngoại tiếp ABC Kẻ HK AB, HP SK � d H ; SAB HP HK BK AB tan 30� � HK BK 3 1 AB 120 VS ABC 30 SH S ABC SH � SH 3 AB 120 AB 1 SH HK AB 2 S ABC SK AB AB AB 15 2 HP 2 Chọn B � 45� Câu 33: SD � ABCD D SH ABCD � � SD, ABCD � SD, HD SDH � tan SDH SH � � SH HD tan SDH mà HD AD a � SH a HD 1 2a Chọn C S ABCD AB AD 2a � VS ABCD SH S ABCD a.2a 3 � 60� Câu 34: SC � ABCD C SH ABCD � � SC , ABCD � SC , HC SCH � tan SCH SH � mà � SH HC tan SCH HC HD CD a � SH a HC 1 2a Chọn B S ABCD AB AD 2a � VS ABCD SH S ABCD a 6.2a 3 Câu 35: Gọi H trung điểm AB � SH AB � SAB ABCD � SH ABCD Ta có: � �SH AB AB AB � AB � SH 3 1 AB 36 � VS ABC D SH S ABCD 3.36 36 Chọn B 3 S ABC S ABCD Câu 36: Gọi H trung điểm AB � SH AB SAB ABCD � � SH ABCD Ta có: � �SH AB AB 3a S 2 , ABCD AB 9a 2 1 3a 9a 3 VS ABCD SH S ABCD 9a 3 2 SH Chọn B Câu 37: Gọi H trung điểm AB � SH AB SAB ABCD � � SH ABCD Ta có: � �SH AB 3a 2 AB , S ABCD AB 9a 2 1 3a 9a Chọn D VS ABCD SH S ABCD 9a 3 2 SH Câu 38 Gọi H trung điểm AB � SH AB � SAB ABCD � SH ABCD Ta có: � �SH AB SC � ABCD C SH ABCD � � � 60o � SC, ABCD SC, HC SCH CH BH BC 3a SH � 3a 15 � SH HC tan SCH HC 2 AB 9a � � tan SCH S ABCD 1 3a 15 9a3 15 VS ABCD SH S ABCD 9a 3 2 Chọn B Câu 39: Kẻ SH AB ta có � SAB ABCD � SH ABCD � �SH AB Dễ thấy SA2 SB AB 4a � SAB vuông S 1 a � SH SH SA SB 3a 2 S ABCD AB.AD 6a 1 a VS ABCD SH S ABCD 6a a 3 Chọn A 3 Câu 40: Kẻ SH BD � SBD ABCD � SH ABCD Ta có � �SH BD SD � ABCD D � 30� SH ABCD � � SD, ABCD � SD, DH SDH BD AB AD 2a � SB � SB BD sin SDH � a � SD a sin SDH BD 1 a 2 � SH 2 SH SB SD 3a 1 a a Chọn D S ABCD AB AD a � VS ABCD SH S ABCD a 3 2 Câu 41: Kẻ SH AB � SAB ABC � SH ABC Ta có � �SH AB 1 a � SH SH SA SB 3a AB 2 AB SA SB 2a � S ABC a2 1 a a3 VS ABC SH S ABC a Chọn D 3 2 Câu 42: Gọi H trung điểm AB � SH AB � SAB ABCD � SH ABCD Ta có � �SH AB 1 S ABC S ABCD (2a) 2a 2 3V VS ABC SH S ABC � SH S ABC 2a S ABC HC BH BC a � SC SH HC 3a Chọn A Câu 43: Kẻ SH AC SAC ABC � � SH ABC Ta có � �SH AC � SH � SH SA sin SAC � a sin SAC SA AC BC AB 4a � S ABC AB.AC a 1 VS ABC SA.S ABC a.6a 2a Chọn D 3 Câu 44: Kẻ SH AC � SAC ABC � SH ABC Ta có � �SH AC � SH � SH SA sin SAC � a sin SAC SA AC BC AB 4a � S ABC AB.AC a 2 1 VS ABC SH S ABC a 3.6a 2a 3 Chọn A 3 Câu 45: Gọi H tâm đường tròn ngoại tiếp ABC � SH (ABC) Gọi M trung điểm AB a 1 a 3 a , MH CM SM AB 2 3 2 a SH SM MH S ABC a 3 VS ABC SH S ABC 3a a 3a a Chọn C Câu 46: Diện tích đáy hình chóp Sđ= a2 Gọi O tâm hình vng ABCD � SO (ABCD) Dựng OE CD, CD SO � CD SE 3a a a 4 a2 Diện tích mặt bên là: S OE.CD 2 Ta có: SE h OE a2 Diện tích tồn phần hình chóp : S a 3a Chọn B Câu 47: Diện tích đáy hình chóp Sđ= a2 Gọi O tâm hình vng ABCD � SO (ABCD) Dựng OE CD, CD SO � CD SE Sxq 4SSCD 2SE.CD 2SE.a Mặt khác Sxq=2Sđ � 2.SE.a 2a � SE a a� a Do SO SE OE a � � � �2 � a3 Thể tích khối chóp là: V= SO.S ABCD Chọn A Câu 48: Gọi H = AC �BD � SH ABCD �BC SH � BC HF Dựng HE BC, HF SE � � �BC HE Mặt khác HF SE � HF (SBC) � d H ; SBC HF Do I trung điểm � d H ; SBC 2d I; SBC 2b HF 1 � SH 2 HE SH Lại có: HF Do VS ABCD HE.HF HE HF ab a2 4b a3 b SH S ABCD Chọn A 3 a 16b Câu 49: Giả sử tứ diện S.ABC cạnh a Gọi H trọng tâm tam giác ABC suy SH (ABC) a Gọi M trung điểm BC ta có AM 2 a a Khi AH AM � 3 a a 3 a a a3 Chọn A 3 12 Lại có SH SA2 AH a � VS ABC SH S ABC Câu 50: Gọi O tâm hình vng ABCD SO (ABCD) suy � � SDO SD; ABCD BD a 2 a tan Suy SO OD tan a3 Khi VS ABCD SO.S ABCD tan Chọn A Lại có BD a � OD � SAB ABCD � � SA ABCD Câu 51: Ta có � SAD ABCD � SB � ABCD B SA ABCD � 30� �� SB, ABCD � SB, BA SBA AB BD AD a � SA � SA AB tan SBA � a tan SBA AB 3a S ABCD AB.( AD BC ) 2 SH 1 a 3a a 3 Chọn A VS ABCD SA.S ABCD 3 � SAB ABCD � � SA ABCD Câu 52: Ta có � SAD ABCD � SO � ABCD O SA ABCD � 45� � � SO, ABCD � SO, AO SOA AB BD AD a � AC AB BC a 2 2a AO AC 3 � SA � SA AO tan SOA � 2a tan SOA AO S ABCD 3a 1 2a 3a a Chọn C AB.( AD BC ) � VS ABCD SA.S ABCD 2 3 3 Câu 53: SC � ABCD C SH ABCD � 45� � � SC , ABCD � SC , CH SCH � 60�� BD a , AC a Ta có IH BD a BAD 4 a S ABCD AC.BD 2 a 13 HC IH IC � SH � SH HC tan SCH � a 13 tan SCH HC 1 a 13 a a 39 Chọn C VS ABCD SH S ABCD 3 24 Câu 54: SC � ABCD C SA ABCD � 45� �� SC , ABCD � SC , AC SCA AC AB BC a � SA � SA AC tan SCA � a tan SCA AC a2 a2 S AMN AM AN , S BCM BM BC 5a S MCDN S ABCD S AMN S BCM 1 5a 5a VS MCDN SH SMCDN a 3 24 Chọn D C â u 5 : C c h : T a c ó CM SA � � � CM SA � v u ô n g c â n t i H M ặt khác CM SAH � AK CM � AK (SHC ) �AK KI Do � Lại có SC AI � SC ( AIK ) �AK SC Hình chóp S.AIK có đường cao SI đáy tam giác AKI vuông K SA AC 2 , AH HC 2 Ta có: AI SA2 AC SA AH AK � KI AI AK 3 SA2 AH Tam giác SAC vuông cân A nên I trung điểm SC SC � SI 2 2 16 S AKI AK KI � VS AIK SI S AKI 1 Cách 2: VS AHC SA.S AHC 2 3 16 SA2 SK 42 SA2 SI Lại có: SA SK SH SI SC � ; SH SH 42 SC SC 2 Khi VS AIK SK SI 1 16 � VS AIK VS AHC Chọn D VS AHC SH SC 3 Câu 56: a AC 4 a 14 Do Mặt khác SH SA2 AH a 14 SA.CM SH AC 2S SAC � a.CM a a a Do CM � AM AC CM � M 2 trung điểm SA SA a , AC a � AH 1 a 14 a a 14 a3 14 Ta có: VS ABC SH SABC Do đó: VS M BC = VS ABC Chọn D 3 24 48 Câu 57: AB / / CD � d AB; SD d AB; SCD Do d A; SCD 2d O; SCD (Do AC 2OC ) a a � d O; SCD OE CD , Dựng OF SE � CD OF � OF SCD Mặt khác d AB; SD Khi d O; SCD OF a mà AD a 2 1 a � SO 2 SO OE OF 10 S ABCD a � Mặt khác OE a 15 Chọn A VS ABCD SO.S ABCD 30 Câu 58: Gọi O tâm hình chữ nhật NO đường trung SA bình tam giác SAC NO 2 Do I AO �BM � I trọng tâm SBD 1 Ta có: AI AO AC � S AIB S ACB 3 2 Mặt khác: S ABC AB.BC � S ABI S ABC 2 Thể tích khối chóp ANIB là: 1 2 V= NO.S ABI Chọn D 3 36 Câu p 59:Nửa chu vi tam giác ABC là: AB BC CA 9a Diện tích tam giác ABC tính theo cơng thức He-rông là: S ABC p ( p a )( p b)( p c) 6a Gọi H hình chiếu vng góc S mặt phẳng (ABC) HM AB , HN AC , Dựng � SNH � SPH � 60�.Khi HP BC � SMH SHM SHN SHP suy HM HN HP � H tâm đường tròn � HM r nội tiếp S a 2a p 9a Suy SH HM tan 60� 2a � tam giác ABC VS ABC SH S ABC 8a 3 Chọn A ... Chọn B Dạng 3: Thể tích khối chóp Phương pháp giải: Khối chóp khối chóp có đáy đa giác cạnh bên Khối chóp tam giác Khối chóp tam giác khối chóp có đáy tam giác cạnh bên Nếu cho khối chóp S.ABC... Như khối tứ diện trường hợp đặc biệt khối chóp tam giác Khối tứ diện khối chóp tam giác có cạnh bên cạnh đáy Khối chóp tứ giác Khối chóp tứ giác khối chóp có đáy hình vng cạnh bên Nếu cho khối. .. =a, SM = a Thể tích khối chóp A a3 B a3 C a3 D a3 Câu 28: Một hình chóp tam giác có đường cao 100cm cạnh đáy 20cm, 21cm,29cm Thể tích khối chóp A 70 00cm3 B 6213cm3 C 6000cm3 D 70 00 2cm3