TÓM TẮT LÝ THUYẾT CHỦ ĐỀ 8: THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ

CHỦ ĐỀ 8: THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ I LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM Cơng thức tính thể tích khối lăng trụ: V S h Trong đó: S diện tích đáy h chiều cao khối lăng trụ II CÁC DẠNG TOÁN TRỌNG TÂM VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI  Dạng 1: Thể tích khối lăng trụ đứng Chú ý: Lăng trụ hình lăng trụ đứng có đáy đa giác Ví dụ 1: Cho hình lăng trụ đứng ABC AB C  có đáy tam giác dều cạnh a Biết mặt phẳng (A'BC) tạo với đáy góc 60° Thể tích khối lăng trụ cho là: A 2a 3 B a3 C 3a 3 D 3a 3 Lời giải Diện tích đáy cùa lăng trụ S ABC  a2 Dựng AH  BC , có BC  AA  BC  ( AHA) Do đó:   ABC  ;  ABC   AHA 60 Ta có: AH  a 3a  AH  AH tan 60  2 Thể tích khối lăng trụ là: V  S ABC AA  3a 3 Chọn C Ví dụ 2: Cho hình lăng trụ đứng ABC AB C  có đáy tam giác cạnh a Đường thẳng AC tạo với mặt phẳng ( BCC B ) góc 30 Thể tích khối lăng trụ cho A a 15 B a3 C a 15 D a3 Lời giải Dựng AH  B C   H trung điểm B C  Mặt khác AH  BB   AH  ( BCC B ) Khi ( AC ;( BCC B ))  ACH 30 Ta có: AC sin 30  AH  a  AC a Suy AA  AC  AC a Thể tích khối lăng trụ là: V  S ABC AA  a2 a3 a  4 Chọn D Ví dụ 3: Cho hình lăng trụ đứng ABC AB C  có đáy tam giác vng cân A có AB  AC a Biết diện tích tam giác ABC A 2a a2 Thể tích khối lăng trụ cho B a C 3a D a3 Lời giải Diện tích đáy lăng trụ S ABC  a2 Dựng AH  BC , có BC  AA  BC  ( AHA)  BC  AH Mặt khác BC  AB  AC a  AH  Do AH  S ABC  a BC BC a   AA  AH  AH a 2 a3 Thể tích khối lăng trụ là: V  S ABC AA  Chọn D  Ví dụ 4: Cho khối lăng trụ đứng ABC AB C  có đáy ABC tam giác cân với AB  AC  a , BAC 120 , mặt phẳng ( AB C ) tạo với đáy góc 60 Tính thể tích V khối lăng trụ cho 3a A V  9a B V  a3 C V  Lời giải 3a D V  Gọi M trung điểm B C   B C   AM  B C   ( AMA)  AMA 60 Khi   B C   AA Ta có: BC 2a  2a cos120 3a  BC a a 3 a a AM  a      AA h  AM tan 60  2   a2 3a S ABC  a sin120   V  S ABC AA  Chọn A Ví dụ 5: Cho hình lăng trụ đứng ABC AB C  có đáy ABC tam giác cân A có AB  AC 3a Biết AA a mặt phẳng  ABC  tạo với đáy góc 60 Thể tích khối lăng trụ cho là: A a B 6a Lời giải Gọi M trung điểm BC, ta có AM  BC C 2a D 2a Mặt khác BC  AA  BC   AAM  Do AMA 60 Khi AA  AM tan 60  AM a  BM  AB  AM 2a 2 Khi S ABC  BC AM  BM AM 2a 2 Do VABC ABC   AA.S ABC a 3.2a 2 2a Chọn C Ví dụ 6: Cho hình lăng trụ đứng ABC AB C  có đáy tam giác ABC vng B có AB a 3, BC a Gọi M trung điểm AC, đường thẳng BM tạo với đáy góc 45 Thể tích khối lăng trụ cho là: A a3 B a3 C a3 D a3 6 Lời giải Ta có: AC  AB  BC 2a Do BM  AC a (tính chất trung tuyến tam giác vng) a2 Lại có: S ABC  AB AC  2  MB 45 Mặt khác:  B M ;  ABC    B Suy BB   BM tan 45 a Vậy V  BB .S ABC  a3 Chọn A Ví dụ 7: Cho hình lăng trụ đứng ABC AB C  có tam giác ABC vng B có BC 3a Gọi M trung điểm AC  I giao điểm AC AM Khoảng cách từ I đến mặt phẳng ( ABC ) 2a AB 5a Thể tích khối lăng trụ cho là: A 6a Do AM / / AC nên B 2a C 9a Lời giải D 18a IA MA AC     IC AC IC Do d  A;  ABC    d  I ;  ABC   3a  AA Mặt khác AB  AB  AA2 4a Do VABC ABC   AA.S ABC 3a 4a.3a 18a Chọn D Ví dụ 8: Cho khối lăng trụ đứng ABC AB C  có đáy tam giác ABC vng A có AB 5a, AC 12a Biết mặt phẳng  ABC  tạo với đáy góc 60 Tính thể tích khối lăng trụ ABC AB C  A 800a 3 13 B 3600a 3 13 C 900a 3 13 D 1800a 3 13 Lời giải Dựng AH  BC Mặt khác AA  BC Do  AHA   BC Khi   ABC  ;  ABC    AHA 60 Mặt khác AH  AB AC AB  AC  60 a 13 60 Suy AA  AH tan AHA  a 13 1800a 3 Vậy V  AA.S ABC  Chọn D 13  Ví dụ 9: Cho khối lăng trụ đứng ABC AB C  có đáy tam giác ABC có BAC 60 , AB 3a AC 4a 3a 15 Gọi M trung điểm BC , biết khoảng cách từ M đến mặt phẳng (BAC) Thể tích khối 10 lăng trụ cho là: A a B 9a C 4a Lời giải D 27a  3a Ta có: S ABC  AB AC sin BAC  BC  B B Dựng BE  AC ; BF  B E Khi   BC  BE Suy BC  BF  BF  (BAC) Do d  M ;(BAC)  BF ; BE  AB sin A  3a Mặt khác d  M ;(BAC)   d  C;(BAC)  1 3a 15 3a 15  d  B;(BAC)   BF   BF  2 10 Mặt khác 1    BB 3a  VABC ABC  BB.S ABC 27 a Chọn D 2  BF BB BE Ví dụ 10: Cho hình lăng trụ đứng ABC AB C  có đáy ABC tam giác vng, AB=BC=a Biết góc hai mặt phẳng  ACC  ( AB C ) 60 (tham khảo hình vẽ bên) Thể tích khối chóp B  ACC A A a3 B C a3 D a3 3a Lời giải Dựng B M  AC   B M   ACC A Dựng MN  AC   AC   (MNB ) Khi  ( AB C );  AC A  (MNB ) 60 Ta có: B M  B M a a  MN   tan (MNB )  Mặt khác tan AC A  Trong MN  MN AA  C N AC  a a , MC    C N  C M  MN  a  AA a AB a3 V a3 Thể tích lăng trụ V  h   VB ACC A V  VB.BAC V   V  Chọn A 2 3 Ví dụ 11: Cho hình lăng trụ đứng ABC AB C  có AB  AC a, ACB 30 , đường thẳng A C tạo với mặt phẳng  ABB A góc 45 Thể tích khối lăng trụ cho A a3 B a3 C Lời giải  C  30 Ta có tam giác ABC cân A B  BAC 120 Dựng CH  AB , có CH  AA suy  H 45 CH   ABB A   CA;  ABB A  CA a  Mặt khác CH  AC sin CAH a sin 60  Suy CAsin 45 CH  AC   AA  AC  AC  a a  V  AA.S ABC a3 Chọn B   AA AB.sin120  a3 D a3 Ví dụ 12: Cho khối lăng trụ đứng ABCD AB C D  có đáy hình chữ nhật ABCD có AB a, AD a Mặt phẳng  ABD  tạo với đáy góc 60 Thể tích khối lăng trụ cho là: A 3a 3 B 3a C a3 D a3 Lời giải Dựng AH  BD, ta có AH  AA   AAH   BD Do   ABD  ;  ABCD    AHA 60 Mặt khác AH  AB AD AB  AD Suy AA  AH tan 60   a 3a , S ABCD  AB AD a  VABCD ABC D  AA.S ABCD  3a 3 Chọn A Ví dụ 13: Cho hình hộp chữ nhật ABCD AB C D  có đáy hình chữ nhật ABCD có AB 3a, AD 4a Đường thẳng AC tạo với mặt phẳng  AB BA  góc 30 Thể tích khối hộp chữ nhật cho là: A 2a 39 B 18a 39 C a 39 Lời giải D 6a 39  BC  AB  BC   ABB A Ta có:   BC  B B  B 30   AC ;  ABB A  CA Khi AB.tan 30  BC 4a  AB 4a Do AA  AB  AB a 39  V  AA AABCD 6a 39 Chọn D Ví dụ 14: Cho hình hộp chữ nhật ABCD AB C D  đáy hình chữ nhật có AB 2a, AD 6a Gọi M trung điểm AD, biết khoảng cách từ C đến mặt phẳng  ABM  12a Thể tích khối hộp ABCD AB C D  là: A 24a B 12a C 3a Lời giải D 8a Gọi I  AC  BM ta có IA AM   IC BC 12 Do d  C ;  ABM   2d  A;  ABM    a Dựng AE  BM , AF  AE d  A;  ABM    6a  AF Mặt khác 1 1 1       2 2 2 AE AA AF AF AM AB AA2  AA a  V  AA.S ABCD 12a Chọn B  Dạng 2: Thể tích khối lăng trụ xiên Ví dụ 1: Cho hình lăng trụ ABC AB C  có đáy tam giác vng cân AC  BC 3a , hình chiếu vng góc B  lên mặt đáy trùng với trọng tâm tam giác ABC, mặt phẳng  ABB A tạo với mặt phẳng  ABC  góc 60 Thể tích khối lăng trụ cho là: A 9a B 9a C 3a D 9a Lời giải Dựng CI  AB  I trung điểm AB  IG 60 Ta có:  B GI   AB  B 3a a Lại có: CI  AB   GI  2  B G GI tan 60  a VABC ABC   B G.S ABC  a 9a 9a Chọn B  2 Ví dụ 2: Cho hình lăng trụ ABC AB C  có đáy tam giác cạnh a, hình chiếu vng góc B  lên mặt phẳng đáy trùng với trung điểm H cạnh AB, góc mặt phẳng  BCC B  mặt phẳng đáy 60 Thể tích khối lăng trụ cho là: A 3a 3 B 9a 3 16 Lời giải C 3a 16 D 3a 3 16  KH 60 Kẻ HK  BC  BC   B HK   B Ta có: HK  HB sin 60  VABC ABC   B H S ABC  a 3a  B H  HK tan 60  4 3a a 3a3  4 16 Chọn D Ví dụ 3: Cho hình lăng trụ ABC AB C  có đáy tam giác cạnh a Hình chiếu vng góc A mặt phẳng  ABC  trùng với trọng tâm tam giác ABC, góc đường thẳng AA mặt phẳng đáy  ABC  A 30 Thể tích khối lăng trụ ABC AB C  là: a3 B a3 16 C 5a 3 12 Lời giải Gọi H trọng tâm tam giác ABC M trung điểm BC Ta có: AM  a a  AH  AM  3 a a2 Khi đó: AH  HA tan 30  , S ABC  Do vậy: VABC ABC   S ABC AH  a3 12 Chọn D Ví dụ 4: Cho lăng trụ ABC AB C  có đáy tam giác cạnh 4a Hình chiếu A mặt phẳng  ABC  điểm H thuộc cạnh AB cho HB 3HA Góc tạo đường thẳng AC mặt đáy 30 Thể tích khối lăng trụ ABC AB C  là: A 4a 13 B a 13 a 13 Lời giải Ta có: HB 3a; HA a Gọi E trung điểm AB Ta có: CE   4a   2a  CH  HA2  AC  HA.AC cos 60 13a Hoặc CH  CE  HE a 13 C a 13 D D a3 12  AH CH tan 30  a 13 ; S ABC  4a Khi VABC ABC   S ABC AH 4a 13 Chọn A Ví dụ 5: Cho hình lăng trụ ABC AB C  có đáy ABC tam giác vng cân C có AC  BC 2a, hình chiếu vng góc A lên mặt đáy trùng với trung điểm AB Biết khoảng cách đường thẳng AC AB 2a Thể tích khối lăng trụ ABC AB C  là: B 8a A 4a C 4a Lời giải D 2a Gọi H trung điểm AB  CH a  CH  AB  AB   AHC  Khi ta có:   AB  AH Dựng HK  AC  d  AC ; AB   HK Mặt khác 1    AH 2a HK AH HC Do VABC ABC   AH S ABC 4a Chọn C Ví dụ 6: Cho hình lăng trụ ABC AB C  có đáy tam giác cạnh a Gọi M trung điểm AB, tam giác C MC cân C  thuộc mặt phẳng vuông góc với đáy Đường thẳng AC  tạo với đáy góc 60 Thể tích khối lăng trụ là: A 3a 16 B a 21 16 C Lời giải Ta có: CM  a a2 , S ABC  Gọi H trung điểm CM suy C H  CM Mặt khác có  C MC    ABC   C H   ABC   AH 60  AC ;  ABC   C Lại có AH  MH  AM  Suy C H  AH tan 60  a a 21 3a 3 16 D a 21 Vậy VABC ABC  C H S ABC  3a Chọn A 16 Ví dụ 7: Cho hình lăng trụ ABC AB C  có tam giác ABC vng B, có AB a, AC 2a Tam giác AAC cân A thuộc mặt phẳng vng góc với đáy Mặt phẳng  AAC  tạo với đáy góc 45 Thể tích khối lăng trụ ABC AB C  là: A 2a 3 B a3 12 C a3 D a3 Lời giải Gọi H trung điểm AC AH  AC Mặt khác  AAC    ABC  Do AH   ABC  Dựng HK  BC   AHK   BC  AKH  45 Ta có: HK  VABC ABC  AB a a   AH  HK  2 a a a3   A H S ABC   2 Chọn D Ví dụ 8: Cho khối lăng trụ ABC AB C  có đáy tam giác ABC vng B có AB  BC 2a Biết hình chiếu A lên mặt đáy trùng với trọng tâm tam giác ABC Biết AC  2a 14 Thể tích khối lăng trụ cho là: A 2a B 4a C 4a 3 D 8a Lời giải Gọi H trọng tâm tam giác ABC Gọi M trung điểm AB ta có: CM  MB  CB a  CH  a  AH  AC  CH  2a Do VABC ABC   AH S ABC 2a  2a  2  4a Chọn B Ví dụ 9: Cho khối lăng trụ ABC AB C  có đáy tam giác ABC cạnh 6a Hình chiếu vng góc đỉnh A xuống mặt đáy thuộc cạnh AC cho HC 2 HA Biết khoảng cách từ C đến mặt phẳng  ABB A 9a Thể tích khối lăng trụ ABC AB C  là: A 18a 3 B 36a 3 C 54a 3 Lời giải D 27 a 3 Dựng HK  AC , HF  AE  HF   ABA Ta có: d  C ;  ABA  3d  H ;  ABA  3HF  9a Lại có: HE  HA sin 60 2a sin 60 a 3; HF  Mặt khác: 3a 1    AH 3a 2 HE AH HF Vậy VABC ABC   AH S ABC 3a  6a  27 a 3 Chọn D Ví dụ 10: Cho hình lăng trụ ABC AB C  có đáy tam giác cạnh a Biết hình chiếu vng góc A xuống đáy trùng với trung điểm AB AC   A a3 B 3a Thể tích khối lăng trụ cho là: a3 12 C a3 D a3 12 Lời giải a Gọi H trung điểm AB  AH  Ta có: AB  AH ; AB  CH  C H  AB  AH  HC 2  AC 2  HC 2  AC 2  AH 2a  AH  HC 2  AC 2 a VABC ABC   AH S ABC a a a3 Chọn C  4 Ví dụ 11: Cho hình lăng trụ ABC AB C  biết C  ABC hình chóp tam giác có đường cao h Đường thẳng AA tạo với đáy góc 60 Thể tích khối lăng trụ cho tính theo h là: A h3 B h3 C 3h3 D h3 Lời giải Gọi H trọng tâm tam giác ABC Khi C H   ABC  C H h Ta có: AA / /CC  suy CC  tạo với đáy góc 60  CH 60 Khi CH tan 60 h  CH   C h a a h    h a Đặt AB a  CH  3 Do VABC AB C   h3 Chọn B Ví dụ 12: Cho hình lăng trụ ABC AB C  có đáy tam giác cạnh a Hình chiếu vng góc A a 15 xuống đáy trung điểm AB Biết khoảng cách từ A đến mặt phẳng  ABC  Thể tích khối lăng trụ ABC AB C  là: A 3a B 3a C Lời giải Gọi H trung điểm AB  AH   ABC  Dựng HE  BC , HF  A E Khi d  H ;  ABC    HF a a Mặt khác HE  HB sin ABC  sin 60  Lại có d  A;  ABC   2d  H ;  ABC   2 HF   HF  1 a 15   Mặt khác: 2 HF HE AH 10  AH  a 3a Chọn A  V  AH S ABC  a 15 a3 D a3 Ví dụ 13: Cho hình chóp hộp ABCD AB C D  có đáy hình chữ nhật có AB 3a, AD 4a Biết AA  AB  AC  AD mặt phẳng  ACD  tạo với đáy góc 60 Thể tích khối hộp cho là: A 4a 3 B 12a 3 C 8a 3 Lời giải D 24a 3 Ta có AA  AB  AC  AD nên hình chiếu A xuống mặt đáy trùng với tâm H hình chữ nhật ABCD Dựng HK  CD Lại có AH  CD  CD   ACD  Do   ACD  ;  ABCD    AKH 60 Lại có HK  AD 2  AH  HK tan 60 2a Vậy VABCD ABC D  AH S ABCD 24a 3 Chọn D Ví dụ 14: Cho hình lăng trụ ABCD AB C D  có đáy hình thoi ABCD tâm O có AC 2a, BD 2a Hình chiếu vng góc B  xuống đáy trùng cới trung điểm OB Đường thẳng B C tạo với đáy góc 45 Thể tích khối lăng trụ cho là: A 2a B 2a 3 C 3a 21 D a 21 Lời giải Gọi H trung điểm OB Khi OC a, OH  a a  CH  OC  OH  2  CH 45 Ta có: B C;  ABC    B  B H CH  a 2 Lại có: S ABCD  AC.BD 2a  VABCD ABC D 2a a a 21 Chọn D Ví dụ 15: Cho hình lăng trụ ABCD AB C D  có đáy hình vng ABCD cạnh 6a Hình chiếu vng góc A xuống đáy trùng với trọng tâm tam giác ABD Biết tam giác AAC vuông A Thể tích khối lăng trụ ABCD AB C D  là: A 72 a B 144 a C 72 a 3 Lời giải D 48a Gọi G trọng tâm tam giác ABD ta có: GA  AC Mặt khác AC 6a Suy GA 2a 2, GC 4a Áp dụng hệ thức lượng tam giác ACA vuông A có đường cao AG nên ta có: AG  GA.GC 4a  VABCD ABC D  AG.S ABCD 144 a Chọn B Ví dụ 16: Cho lăng trụ ABCD AB C D  có đáy ABCD hình chữ nhật có AB 2a, AD 2a 3, hình chiếu vng góc A lên mặt phẳng  ABCD  trùng với tâm O hình chữ nhật ABCD Biết cạnh AA tạo với đáy góc 60 Thể tích lăng trụ ABCD AB C D  là: A 8a B 12 a C 24 a Lời giải Ta có:  AA;  ABCD    AAO 60 Mặt khác: AC  AB  BC 4a  OA 2a  OA OA tan 60 2a VABCD ABC D OA.SABCD 2a 3.4a 24 a Chọn C D a ...diện tích tam giác ABC A 2a a2 Thể tích khối lăng trụ cho B a C 3a D a3 Lời giải Diện tích đáy lăng trụ S ABC  a2 Dựng AH  BC , có BC  AA  BC... 18a Chọn D Ví dụ 8: Cho khối lăng trụ đứng ABC AB C  có đáy tam giác ABC vng A có AB 5a, AC 12a Biết mặt phẳng  ABC  tạo với đáy góc 60 Tính thể tích khối lăng trụ ABC AB C  A... D Ví dụ 8: Cho khối lăng trụ ABC AB C  có đáy tam giác ABC vng B có AB  BC 2a Biết hình chiếu A lên mặt đáy trùng với trọng tâm tam giác ABC Biết AC  2a 14 Thể tích khối lăng trụ cho